Demostrar:
Solucion:
Se parte del teorema de la suma y diferencia de angulos, postulado por el matematico persa Abu al-Wafa’ Buzjani en el siglo X:
sin(α± β ) = sin α cos β ± sin β  cos α   (1)
cos(α± β ) = cos α cos β  sin β  sin α   (2)
Separamos sin 3θ  en una suma de angulos:
sin3θ = sin (θ + 2θ)
sin(θ + 2θ) = sin θ cos2θ + sin 2θ cos θ   (3)
Ahora se aplica la identidad (2) para cos 2θ:
cos2θ = cos (θ + θ)
cos2θ = cos2 θ − sin2 θ
Se hace lo mismo para sin 2θ  con la identidad (1):
sin2θ = sin (θ + θ)
sin2θ = 2 sin θ cos θ
Se sustituyen ambas identidades en la ecuacion (3):
sin3θ = sin θ(cos2 θ − sin2 θ) + (2 sin θ cos θ)cos θ
sin3θ = sin θ cos2 θ − sin3 θ + 2 sin θcos2θ
sin3θ = sin θ(cos2 θ − sin2 θ + 2cos2θ) (4)
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sin2 θ + cos2θ = 1
sin3θ = sin θ((1− sin2 θ)− sin2 θ + 2(1− sin2 θ))
sin3θ = sin θ(1− 2sin2 θ + 2 − 2sin2 θ)
sin3θ = sin θ(3− 4sin2 θ)
sin3θ = 3 sin θ − 4sin3 θ
Y con esto se demuestra la identidad trigonometrica de sin 3θ.
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