Revista INTEGRACIONUnivel'$idad Industrial de SantanderEscuela de Matemátic~Vol. 12, No 2, p. 123-138, juni<>-<iieiembre1994

Identificación de Coeficientes enEcuaciones Parabólicas*

Resumen

Se presenta el Método de Regu1~iz~ón por CQnvolución (Molli-fication) como procedimiento para regularizar problemas inversos,y se discute su aplicación a un....•.problema unidimensional que con-siste en la estimación de un ~ficiente de difusión en una ecuaciónparabólica lineal. La implementación de la regularización por con-volución se hace por medio de esquemas e8tabl~s de diferenciasfinitas con sentido de marcha en la dirección del espacio. Algunosejemplos numéricos ilustran las propiedades del método.

El presente trabajo está basado en el artículo [4] que el autor escribió enconjunto con D.. Murio. Presenta una modificación al método de regulari-zación hiperbólica utilizado por Ewing y Lin en [2], que lo hace realista ygeneral. La modificación consiste en la combinación de la. regularizaciónde Ewing y Lin con el Método de Regularización por Convolución. Elresultado es que todos los datos del problema pueden admitirse conta-minados por algún error de medición y no solamente los de las fronteras,como es el caso en (2).

• Investigación apoyada parcialmente por Colciencias.tDepartamento de Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia, Medellín.

Problemas corno el estudiado aquí son modelo para problemas comple-jos que surgen naturalmente en varias disciplinas científicas, corno enel estudio de la conducción de calor o en el estudio 'del flujo en mediosporosos, etc. El último de los temas tiene aplicaCiones a la explotación depetróleo y al estudio de reservas de aguas subterráneas. Para una visióngeneral sobre las matemáticas en la simulación y explotación de reservaspetroleras, recomend~s el libro [1) editado por Ewing.El trabajo comprende cuatro partes, así: ltegularlzación hiperbólica;Método de Regu~ariZi\9ón por'C~>Dvolución;pombinación de los dos an-teriores; Observaciones finales.

2. Identificación por regularización hiperbólica

En [2]Ewing y Lin proponen una estabilización por perturbación singularpara resolver el siguiente problemainversó: 'Identificar el coeficien,te a(x), O S; x ::;1, en

Ut - (aux)x + J(x, t),u(x, O) _g(x),u(O,t) =t/J(t),ux(O,t)= 4>(t),

o < x < 1, 0< t,O <x < 1,0< t,(j <t.

La estabilización, llamada por los autores Regularización Hiperbólica,consiste en cambiar el problema parabólico (1) por el siguiente problemahiperbólico:Identificar el coeficiente a( x), O ::; x ::; 1, en

T2Utt + Ut = (aux)x + ¡(x, t),U(x,O} = g(3:),u(O, t) = ?p(t),vZ'(~,t) =-f/>(t),Ut(x,OT= (a(x')Ux(.x,O»x+J(x,O),

_O< x < 1, O< t,Q < x < 1,

-0< t,0< t,O < x < 1,

donde T' el parámetro de regularización" es una constante positiva.La estrategia para la solución consiste en un proceso de marcha en ladirección de la variable espacial x basado en un esquema explícito dediferenci~s finitas para el problema (2). Más precisamente:

Sean M y N enteros positivos, h = 1" k = k,Xj == jh, j ='0,1, ...,M,tn = nk, n = 0,1, ..., L, donde L depende de h'y k en una forma que se~xplicará posteriormente. Para n :::::O, denotamos

fj=f(jh,nk), gj=g(jh) y aj+t=a((j+~)h).

Además, denotamos por Uj" y Aj+ 1 las variables· discretas del métodonumérico. Sus valores iniciales para1todo n :::::O, son:

U~ - .p(nk),Uf, •.... .p(nk) + ht/>(nk),Al*

:1

Ai -El esquema de marcha en la dirección de la variable espacial lo definen

. las siguientes ecuaciones,· en las cuaÍes j :::::1:

u!'- + _.1 {A. 1 (u!'- - U!'- 1)} A 1. }--} }-J+ 2' :1

+h2 (UJ+1-9j+l _. r9 )}. " k 'Jj+t

Dos observaciones deben tenerse en cuenta para el análisis de este es-quema:

1. Para garantizar la estabilidad y convergencia del método numéricose requiere oonocer la condición inicial en tiempo, g(x), de formaexacta, y. además.senecesita que haya constantes do y dI tales que

2. El análisis del método en [2] muestra que la regularización hiper-bólica restaura la continuidad con respecto a perturbaciones en lascondiciones de borde.

Un ejemplo puede ser útil en este momento.Ejemplo 1. (Ewing y Lin, (2}). Identificar C¡(íl;) en

Ut = (aux)z - (x2 + 2x)exp(x + t),u(x, O) = exp(x),u(O, t) = exp(t),ux(O,t} = exp(t),

O< x < 1, 0< t,O < x < 1,0< t,0< t.

Las soluciones exactas son a(x) = 1+ x2 y u(x,t) = exp(x + t).La Tabla 1 relaciona el máximo nivel de error permitido en los datosde frontera, t, el máximo nivel de error en la condición inicial, tI, elparámetro de regularización, I y la norma discreta del error en el coefi-ciente calculado, definida por

E El '1 16AI20.0000 OOסס.0 0.0550 0.00320.0030 0.0000 0.1000 0.06120.0050 0.0000 0.1000 0.14700;0030 OOסס.0 0.1500 0.02520.0050 0.0000 0.1500 0.04940.0000 0.0020 0.1500 0.32210.0000 O.OO2Oe 0.1800 0.35920.0030 0.0030 0.1500 1.0047

Los datos iniciales con error, para efectos de laexperimenta.ción, se ob-tienen así: 9m(Xj)= 9j + tj" dondetj es unavariablealeatoria condistribución normal de varianza u2 = t~. Similarinente para simular losdatos de frontera con error.Puede verse que la presencia de error en la condición inicial, es decir,tI :> O,es sencillamente inadmisi~le. Se observa también que la regulari-zación es efectiva cuando sé presentan perturba.cion~ en las condicionesde borde solamente, o sea cuando t > Oy tI = O.

La Figura 1 corresponde, ~ la pri~r~ fila .de la Tabla l .. La }i'igura2reporta la calidad de la identificación que se obtiene cuando hay erroresen los datos de la frontera activa. En ambas figuras, M = N = 200.

2.00

)(

1.48

o

0.80 ~ ," , " , , 'i , , ••," i ' , , , , , Oj , , , " 'Oj i ' '" •• , Oj

0.00 0.20 0.~ 0.60 0.80 1.00Ve I or de X

Figura 1: Coeficiente reconstruido a(3;) en. Ej,emplo 1. .Regularizaciónhiperbólica: Exacta (* * *) y Calculada (_)' .

2.2812·-1

0.800.. a.28 e.4I e.~ a.se l."

Valor de X

Figura 2: Coeficiente reconstruido a(z) en Ejemplo 1. Regularizaciónhiperbólica: Exacta (* * *) y Cakúlada(_' )

La pregunta es: ¿Será posible modificar este método de manera que tam-bién·restaure la continuidad con respecto a perturbaciones en la condicióninicial g( x)? La respuesta es afirmativa y será explicada en las próximasseccIones.

3. Regularización por cottvolución

1 (_t2)P6( t) = b.l exp --¡;:z .

La 6- Regularización de una función / , cuyo cuadrado es integrable, estádada por la convolución .

00

J6/(t) = (P6 * f)(t) = J P6(t - 8)/(8)d8,-00

a.. Si /(t) E C2(I), 1 intervalo en R, entonces existe una constante Cindependiente de 6 tal que

b. Si /m(t) E C°(I) y 11/ - /mlloo.I ~ f, entonces

IIJ6/ - J6/mI\00.1'~ f

I\(J6/)' - (J6/m),1I00.1 ~ (~) i·

4. Regularización hiperbólica y regularización porconvolución

En esta sección proponemos una situación más realista que{Qe discutidaampliamente por Mejíay Murio en [4}. SupoaeIDosque para resolver (1)

sólo conocemos funciones continuas gm(x), tPm(t) y ~m(t) Yuna toleranciapositiva f que cumplen

El problema estabilizado se obtiene por combinación de la regularizaciónhiperbólica. y el método de regularización por con volución. Es el siguiente:Identificar a(x), O < x< 1, en

"'Y2uu + Ut = (auz)z + f(x, t),u(x, O) = J6!1m{X),u(O, t) = J6tPm(t),uz(O, t) = J6~m(t),Ut(x,O) = (a(x)J69m(X»z + f(x,O),

O < x < 1,O < x < 1,0< t,0< t,O < x < 1,

donde h es el radio de regularización por convolución, hgm (x) es la re-gularización por convolución en x de gm(x), y J6tPm(t) Y J6~m(t) son lasregularizaciones en t de tPm(t) y ~m(t) respectivamente.

4.1. El esquema-explícito de ~archa

Sean M, N, h, k,J'l,gj Y aj+lcomo en la sección 2. Denotamos v(x,t)=,:1 .

uz(x,t) y w(x, t) == "'YUt(x,t). pa.ra n ~ O, hacemos

Gj - J69m(jh), j ~O,U~ - .u(jh, nle),

J

vj+l - v«j + i)h, nk), j > 1,w~ - w(jh, nk), j>l.

J

Las variables del'métofilo numérico, Uj, Jtj~i' W;'l y Aj+~' son funcionesdiscretas definidas en.la subdivisión con parámetros h y k. Sus valoresiniciales se definen para todo n, pues el sentido de la marcha es en ladirección del eje x. Estos valores son: '.

U,'Il - J6tPm(nk),oV'Il = J6~m(nk),t

'W:'Il - "'Y ( J6tPm)' (nk ),oAl - a(~h),U¡ - U;; + hVi.

129

El esquema explícito de marcha está dado por las siguientes ecuaciones:

Uj+1 = Uj + Aj~; {Aj-t (ujn - ujn_1)

A 1. - 1 {A. 1. (G'+l - G·)j+1+2" - Gj+2-Gj+l 1+2" 1 1

+h2 (U:tl~Gj+t - Jf+l)}las cuales, en términos de las otras variables, son:

Aj+1+! Vj~l+t - Ai+! Vj~th

Aj+1+!(Gj+2 - Gj+1) - Ai+,tGi+1 - Gj) __ .!:.W~ _ r<J (11)h2 - 'Y J+1 Jj+1'

Los cálculos se hacen en una región triangular en ei plano (x, t). Si sedispone de Q.na,cantidad suficiente L + 1 de valores para los datos defrontera en x = O, ~ pueden aproximar no solo el coeficiente a, sinotambién la solución u de la ecuación diferencial en (1) Y sus derivadascon respecto a x y,tpara O < x < 1y 0< t < T. Suponemos entoncesque (L + l)k = r¡T, donde r¡ es una constante.

Ahora presentamos el principal estimado de estabilidad del artículo deEwing y Lin para. el problema con 'regularimción ,hiperbólica. y regulari-zación por convolución.Debe anotarse que ahora también se restaura lacontinuidad con respecto a 108 datos iniciales para t = O. Empezamoscon la definición de las funciones de error

óVj~l -vi+! -Vj~t'óW!' ::o: w~ - Wt&,

J J" .

ÓAi+t - ai+t - Ai+t,y con las suposiciones que tKXl necesarias para el análisis.

Suposición 2. g( x) E C2([0, 1)) y hay constantes positivas Mo y MItales que

Mo::; iní \g'(x)\::; sup 19'(x)\::; MI,ze[O,I) zE(O,1)

Mo::; iní IJ6g'(x)1 ~ 8UP IJ6g'(x)l::; MI,zE(O,I) zE(O,1) .

Mo < iní I(J6gm)'(x)\ < sup \(J6gm)'(x)1 ::; MI'zE(O,I) sE(O,1] . "

Suposición 3. Existen constantes positivas M2 y Ma tales que

M2'::; ~in 'Aj+l ~ m:x Aj+l < Ma,

mtx 1w:1 < Ma•

Suposición 4. Regularidad de la solución u del problema parabólico(1): u(x, t) E C2([0, 1] x [O,T».

La suposición 2 es la herramienta (fUenos posibilita utilizar los resultadosde [2] en este caso más general. Las demás suposiciones, las mismas delartículo citado, son las usuales para esta clase de prgblemas de identifi-cación.El principal resultado está basado en las siguientes normas:

~6l'j+!1f2116WjH

2

-r!f6~+112 ,,,=1 J 2L-j 2- Eo 16Wj" I '

116JII:= 116lj+!1f2 k + 116Wjll2 k + IAAj+!12. (12)

La cota para el error en el siguiente teorema depende de h, k, "'(Y 1f6~lLc'Este último es 'el error en x = OYes el que refle:ja la dependencia. de f yh del error total. Lo consideraremos en más detalle:

Demóstraci6n. La prueba es una consideradón de los dos primerostérminos del error (12) Y se basa en la consistencia y la estabilidad de laregularización por convolución de los dat~ de frontera.

- ntll~VrI2k+ nto I~Wó'12k

- Élv~- v!"12

k + É Iwo - WO'I2 kn=l ~ 2 n=O

L- E 14>(nk) + O(h) - J.s4>m(nk)12 k

n=H

L .•+ E ItP'(nk) - (J.stPm)'(nk)12,k.

n=O

< kL(C6 + t +'0(4)2 +1'k(L +1)(C6 + *~)2

< M6T (6 +f + h)2 + ,(6 + ~)2),

y de aquí se concluye (13).0La continuidad con respecto-alos datos se presenta en el siguiente teo-rema.

Teorema 6. (Ewing y Lin [2]). Si se cumplen las Suposidones2-4 y hY k satisfacen

k .- <M sh-

para constantes no nulas M7 y Ms, entonces existen constantes ltlg y M10

tales que

11~:+tII:~ OI~~:+ O(k) + O(h) +-y~)(Mg +hC(h, k,-y)exp(C(h, k,-y»,

donde q(h, k,,) = M1<tÍ;'+ 1+ O(h)'+ O(k».

Demostración. Ver [2"].0

Nota 1. El error 116111k noinc1uyeexplfcitamente una componente conel error en Uj. En la.siguientesubsección se muestra que también esposible aproximar a u(x, t), como Josugiere el esquema de marcha.

Ahora pasamos. a discutir la- implementación .del esquema propuesto. Entodos los ejemplos' utilizaremos los siguientes parámetros: M = N =

'1 >.

200, h = k = M' Xj = jh, j = O,l, ...,M, T = 1 = ltlk, TI = 3,L = 3ltl, in = nk, n ~ 0,1, ...,3M. Así como en la sección 2, la aproxi-mación obtenida probablemente por una med¡'tión de la condición inicialen tiempo se simula así:

9.m(Xj) = g(Xj) + fj,

donde fj es una variable aleatoria con distribución normal de varianza(72 = f2. ~

Los valores discretos de las condiciones de borde tPm( in) Y q,m( in) seobtienen de forma similar. Utilizamos el mismo nivel máximo de error f

tanto para condiciones de borde como para la condición inicial.Para ilustrar la estabilidad y.precisiQt! del nuevo método numérico se usandiferentes valores para"' el Iiivelmáximó de perturbaciones f, y valoresapropiados para los parámetros de regularización, y h. Los errores ena(x) y u( x, t) se miden con las normas discretas

IMI, = [~, ~ Élu(jh,nk) - U;¡f,respectivamente.El primer experimento que presentamos se realiza en el Ejemplo 1 dela sección 2. Las figuras 3 y 4 muestran la éalidad de la ~ximacióndel coeficiente a(z) y de la solución u(z, t) de la ecuación diferencial. Seutiliza un nivel máximo de perturbación E = 0.005, tanto en condicionesde borde como en la condición inicial. Los parámetr08 de regularizaciónson "y = 0.1 Y 6 = 0.03. La Tabla 2 reporta otros ensayos con el mismoejemplo. En todos se aprecia la estabili4ad del método.

(

0.0000.0030.005

"'1

0.0500.1000.100

60.0000.020

030

Figura 3: Coeficiente retonstruido a(z}"enEjemploL Regularizac:iónhiperbólica y Regularización por Convolución: Exacta (**.) y Calculada(-. )

Figura 4: Error en u(z, t)en Ejemplo 1. R.egularización hiperbólica yRegularización por Convolución: Exacta (* * "!) Y Calculada (_)

Ejemplo 2. (Ewing y Lin, [2]). Reconstrucción de un coeficiente a(z)que solamente es diferenciable en subintervalos.Identificar a( x) en

Uc = (auz)z + f(x + t),u(x,O) =~p(z),u(O,t) = exp(t),uz(O, t) = exp(t),

o <;;Í < 1,0< z·< 1,0< t,0< t,

¡~exp(x + t),

f(x, t) = - (~+ 3x) exp(x + t),(~x + !)exp(x + t),~exp(x + t),

El coeficiente exacto es la función

{

1i'

( ) _ . ·3x - ~, .ax - 3 +7

-ix 4'il.'

O<X<!.••. - 3'

1~ x ~ ~,1~ x ~ J,J ~ x ~ l.

La Tabla 3 y la Figura ,1) ilustran la estabilidad y precisión de la recons-trucción d@ 8t@ cMficifmt@, qu@ e8 un v@rd¡d80 r@to. Lo8 pMímetrospara la figura son "Y = 0.12, f. = 0.005 Y 6 = 0.03. De nuevo hay pertur-baciones en los datos para t = Oy en las condiciones de borde .

( "'( ~ \6A\2 . l~UI20.000 0_ .0.000 0.004 0.0000.003 0;120 O.~ 0.026 0.0130.005 0.120 8.030 0.029 0.017

""-:"

Tabla 3: 'Ngtmas de Error en Ejemplo 2.

8.21 l.. u.... l..X - val ue'·

,...x "~ .."o

Figura 5: Coeficiente reconstruido a( x) en Ejemplo 2. Regularizaciónhiperbólica y Regularización por ConvOltición: Exacta (* * *) y Calculada(--)

La decisiva participación del Método de Regularización por Convoluciónen la regularización .del problema (1) lleva a pensar en la posibilidad deutilizar esta técnica sin combinarla con otra para la solución de problemas

semejantes. A esta conclusión se llega también al revisar las distintasaplicaciones del método a la solucióride problemas inversos. La referencia[5] hace una reseña muy completa de dichas aplicaciones.Nuestros resultados en .esta dirección son halagüeños. Una parte de ellos

- fu~ron reportados recientem:ent~ en [3] y Sbn una generalizaciórt de lospresentados en este artículo en varios aspectos. Nosotros resaltamos laposibilidad de estimar la condición inicial en tiempo y la posibilidad quetiene el coeficiente de difusión de depender tanto de x como de t.El problema tratado en [3] es el siguiente: .Identificar a(x,t), (x,t) E (0,1) x (0,1) yu(x,O),x E (0,1) en

Ut = (au;)x+ f(x, t),u(6, t) = t/J(t),'-'ux(O, t) = <p(t),a(xo, t) = (10(t),a(xt, t) = (11(t),

(x,t) E D,0< t,0< t,0< t,0< t,

donde O < Xo < Xl ~ 1 Y las funciones t/J(t), <p(t), (10(t) Y (11(t) nose conocen exactamente. En su lugar conocemos a t/Jm(t), <Pm(t), (1~(t)y (1~(t), las aproximaciones obtenidas por mediciones de las funciones-dato exactas t/J(t), <p(t), UO(t) Y u1(t). Se suponen válidas las siguientesestimaciones: 1It/J - t/Jmlloo,l ~ f, 1I<p - <Pmlloo,l $ f Y lIui

- u:nlloo,l ~ f,

i = O,1, donde f es una constante positiva.El método numérico que propusimos para la solución de (17) es una im-plementación del Método de Regularización por Convolución por mediode un esquema explícito de diferencias finitas. El 'artículo [3] incluyeanálisis de error y resultados numéricos que ilustran la calidad de losresultados que se obtienen.Nos preocupan otras generalizaciones, muy en especial el paso a dimen-siones más altas. El campo de las aplicaciones ofrece además una granvariedad de pr~blemas 9ue sería bueno tratar de resolver.

[1] EWING R.E. editor, The Mathematics 01 Reservoir Simulation,SIAM, Philadelphia, 1983.

[2] EWING R., LIN T. Parameter identification problems in single-phaseand two--phase flow, lntemational &ríes of Numerical Mathematics,Birkhauser Verlag, Basel, 91 (1989),85-108.

[3] MEJÍA C. E. IdeJltificación de coeficientes por el método de 'Mo-lifica.ciónpor convolución, en Memorial Escuela de Verano en Ge-omelr(4 Diferencial, An&isis N.mérlM SI Ee.ceiones Diferenciales

11; •Pan:itJles, Medellín, 1994. . .

[4] MEJíA, C.E.; MURlO, D.A. Mollified Hyperbolic Method for ea-efficient Identification Problems, Comptlters ami Mathematics withApplictJtions. 26, No. 5 (1993), 1-12.

[5] MURIO, D.A. The Mollification Method and the Numerical Solutionof fll-Posed Problems, John Wiley and Sons, ~ew York, 1993.