Identificación paramétrica de sistemas...

Identificación paramétrica de sistemas dinámicos

Eric Vallejo R.*

Resumen

El avance alcanzado por los sistemas computacionales, tanto en Hardwarecomo en Software, hapermitido eldesarrollo de sistemas de control deprocesosmuy eficientes. La implementaci6n de algoritmos fácilmente manejables porcomputadores o procesadores dedicados al control ha dejado atrás a loscontroladores tradicionales. LA continua aparición de nuevos controladoresalgebraicos yformulaciones de algoritmos de control han impulsado el estudioy la teorizaci6n sobre múltiples tópicos y herramientas matemáticas relacio-nadas. Este artículo muestra In teoría básica sobre Identificaci6n de Sistemasdinámicos en los cuales resulta dificil. si no imposible, obtener de antemano unmodelo matemático.

Abstracl

The advance reaclled by computers systems, liIeeHardware as-well as Soft-ware, tlley have permitted development of very afficient Process controlsystems. Algoritllms to microcomputers and embedded microicontrolers,devoted to tl12control of processes, llave /et back to tl12traditional controllers.The appearance 01 new algebraic controllers and control algorithms haveimpelled tl12study on multiple topical and related matl12matics toals. Tlrisarticle shows the hasic theory on dynamical system identificatíon in those wishappears difficult, ifnot impossible, toobtain beforehand amatl12maticalmodelo

Introducción

Esta ciencia trata de inferir modelos apartir de observaciones y estudiar suspropiedades. Los modelos (hipótesis,leyes de lanaturaleza, paradigmas, etc.)pueden tener un carácter más o menos

·Licenciado en Matemáticas y Fisica de la CUCOEspecialista en Computadores y Sistemas Digitalesde la Universidad del Valle. Profesor del Departa~mento de Ingeniería Eléctrica de la Universidad delNorte.

formal, pero con la característica básicade enlazar observaciones bajo algunospatrones. La Identificación de Sistemastrata el problema de construir modelosmatemáticos de Sistemas Dinámicos apartir de datos obtenidos del propiosistema. El tema se basa en metodolo-gías teóricamente bien sustentadas y,debido a la abundancia de sistemas di-námicos que existen a nuestro alrede-dor, las técnicas de identificación desistemas encuentran un extenso campode aplicación.

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Sistemas dinámicos

En términos generales, un sistema es unobjeto en el cual variables de diferentetipo interactúan yproducenseñales obser-vables. Las señales observables que nosinteresan son llamadas salidas. El siste-ma es afectado por estímulos externos;algunos de los cuales son manipulablespor el observador, las entradas y porotras, las perturbaciones. Estas perturba-ciones pueden ser de dos tipos: las me-dibles directamente y aquellas de lascuales sólo pueden observarse sus efec-tos en la salida. Para el modelado desistemas no es muy importante ladistin-ción entre perturbaciones y entradas.

La noción de sistema es, obviamen-te, muy amplia, por cuanto este concep-to representa un papel muy importanteen la ciencia moderna. Muchos proble-mas de diferente Úldole son soluciona-dos con estructuras orientadas a siste-mas.

En términos muy generales, hablarde sistemas dinámicos implica que elvalor presente en la salida de un siste-ma en un instante depende no solamen-te de los valores de las entradas en eseinstante sino también de sus valoresprevios.

Modelos

Para interactuar con un sistema necesi-tamos conocer la forma como sus varia-bles se relacionan entre sí.Como defini-ción general, llamamos modelo de unsistema a una supuesta relación de talesvariables a partir de la observación. En

otras palabras, los modelos se constru-yen a partir de datos observados, y pue-den ser de diverso tipo:

- Mentales- Gráficos- Matemáticos ( analíticos )- De Software

Los modelos analíticos son los queinteresan fundamentalmente a las cien-cias y la ingeniería, y lógicamente pue-den presentar variados niveles de sofis-ticación, dependiendo de la aplicacióno los objetivos del estudio. Este tipo demodelado se obtiene a partir del conoci-miento de las características físicas delos subsistemas que conforman el siste-ma. No obstante, en la vida diaria mu-chos sistemas son manejados con mo-delos mentales, los cuales no implicanningún formalismo matemático. Ejem-plo de ello es el hecho de tomar un libro.Los movimientos de nuestra mano, in-cluidas la velocidad, dirección y pre-sión de los dedos, se controlan sin crearningún modelo numérico. Los modelosde Software, por su parte, son progra-mas utilizados para analizar y simularsistemas con el apoyo de las herramien-tas computacionales.

Sistemas y modelos

Un sistema y un modelo son dos cosascompletamente diferentes pero relacio-nables. Desde el punto de vista prácti-co, utilizamos el término "Sistema ver-dadero» cuando en realidad nos esta-mos refiriendo a su modelo. Podemoscomparar ciertos aspectos del sistemafísico con su descripción matemática

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pero nunca establecer una conexiónexacta entre ambos; el modelo sólo esuna representación del sistema. La fic-ción anterior nos sirve, sin embargo,para la implementación de técnicas deidentificación, si suponemos que losdatos obtenidos para la inferencia demodelos han sido generados por unasmuy bien definidas reglas matemáti-cas, lo cual, necesariamente, es una idea-lización .

En la figura 1se muestra un sistema,de acuerdo con lo expresado y definidoanteriormente.

v

w

yu

Fig.l. Representación de un sistema con susseñalesdeentradaysalida.u esla(s)entrada(s)manipulada(s), w las perturbaciones medibles,v las perturbaciones no medibles e y la(s)salida(s).

Procedimientos básicos para la identi-ficación de sistemas

Los procedimientos para construir mo-delos e identificar sistemas involucrantécnicas que deben tener en cuenta lossiguientes aspectos:

Planificación experimentalSelección de la estructura del mode-lo

- Estimación de parámetros

- Validación

La construcción de modelos a partirde datos implica tres elementos básicos:

- Los datos- Un conjunto de modelos candidatos

Una regla por medio de la cual losmodelos candidatos puedan serparametrizados y evaluados usan-do los datos.

Planificación experimental

Realizar experimentos en procesos in-dustriales puede resultar costoso, ade-más de dificil. Es, por lo tanto, deseabledisponer de métodos experimentalesque no requieran de señales de entradaespeciales. Los datos de entrada-salidason recogidos mediante un experimen-to de Identificación especialmente dise-ñado, donde el usuario determina lasseñales quese deben medir, lo mismoque cuándo medidas y el tipo de seña-les de entrada que se utilizará.

Estructura del modelo

Se obtiene generalmente del conoci-miento previo que se tenga del sistemay de las perturbaciones. Se escoge unconjunto de modelos candidatos den-tro de un grupo de modelos que pare-cen acomodarse al sistema. Tal esco-gencia es de suma importancia, y no envano, uno de los pasos mas difíciles enel procedimiento de Identificación. En-tran en juego entonces la intuición y elconocimiento a priori del sistema. Enmuchos casos se recurre a representa-ciones de sistemas lineales de tipo gene-

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ra!. Pueden entonces manejarse las es-tructuras del modelo como modelos de«cajas negras». Como ejemplo de mo-delo en ecuación de diferencias tene-mos que

A(q)y(k) = B(q)u(k) + C(q)e(k)

en donde u es la entrada, y la salida, y euna perturbación de tipo ruido blanco.

Estimación de parámetros

Resolver el problema de la estimaciónde parámetros requiere, como se dijoanteriormente, de:

Datos de entrada - salida del proceso- Una clase de modelos- Un criterio

Validación del modelo

Una vez escogido un modelo debe pro-barse para determinar su comporta-miento y «qué tan bien» se ajusta alsistema, o sea, qué tan válido es paranuestros propósitos. La determinaciónde este modelo implica llegar al modeloparticular que mejor describe al sistemade acuerdo con el criterio de escogenciadeterminado.

De lo anterior se desprende que elprocedimiento de identificación sigueun flujo lógico natural: recoger los da-tos, buscar un conjunto de modelos,seleccionar el mejor modelo de acuerdocon el criterio de escogencia y, por últi-mo, validarlo. Generalmente, el primermodelo seleccionado no pasa la valida-ción, razón por la cual es necesario revi-

sar algunos de los pasos seguidos. Lasdeficiencias en un modelo pueden de-berse a varias razones:

El procedimiento numérico es in-adecuado para escoger el mejor mo-delo de acuerdo con nuestro criterio.

- El criterio de escogencia es inade-cuado.

- El conjunto de modelos no es apro-piado.

- El conjunto de datos no contiene lasuficiente información para guiar-nos.

En la figura de la página siguiente semuestra el flujo lógico para la Identifi-cación de sistemas.

Conceptos previos en identificación

• La Identificación pretende estudiarmodelos inferidos a partir de observa-ciones.

• Eldesarrollo del Control Adaptativo(C.A.) debe basarse en el conocimientode las características dinámicas del sis-tema que seva a controlar. SedenominaIdentificación al conjunto de estudios,algoritmos y teorías que pretenden esteconocimiento.

• Obtener las relaciones matemáticasque ligan las variables de un procesofísico no siempre es posible de formadirecta. La Identificación permite, me-diante un conjunto de experiencias so-bre el sistema, la determinación indi-recta de estas ecuaciones.

• En ocasiones, sistemas que se exci-

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tan con la misma señal de entrada endos instantes diferentes no producenlas mismas respuestas. Aparece, pues,la necesidad de considerar la presenciade sistemas deparámetros variables conel tiempo, lo mismo que de dinámica nomodelada.

Flujograma para la identificaciónde sistemas

Conocimientoprevio

Diseño experimental

Datos

Escogenciadel Modelo

Cálculo del Modelo

No: Revisar

Si: Usar

• En algunos casos, la Identifica-ción puede llevarse a cabo fuera delínea; si tenemos la seguridad de que nohabrá variaciones en la estructura delproceso ni en sus características díná-micas, no así si el proceso puede variarsu comportamiento dinámico con eltiempo.

• La Identificación clásica por señalesde prueba tiene ciertas limitaciones alno considerar en general: señales per-turbadoras, hacerse fuera de línea y noser de tipo Paramétrico.

• Las teorías de Identificación han pro-gresado de forma sustancial, hasta elpunto de incluir dentro de sus algorit-mos y técnicas computacionales, la pro-blemática más desfavorable.

• Las ideas anteriores nos llevan a con-cluir que las técnicas sobre sistemas yseñales digitales y los computadorespermiten disponer de Algoritmos deIdentificación con características talescorno:

- Tener en cuenta las posibles señalesperturbadoras y su naturalezaPoder realizarse en líneaSer paramétrica

- De naturaleza recursiva, y por lotanto de fácil implementación com-putacional

• Surgen desventajas. Para no invali-dar sus aplicaciones debe considerarseun elevado número de condiciones, talescomo:

- Naturaleza de la señal de entrada

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- Naturaleza de la estructura del pro-ceso

- Naturaleza de los parámetros delproceso

Identificación paramétrica

- Algunos de los enfoques desarrolla-dos en la Identificación de Parámetrosson los siguientes:

• Métodos de modelo de referencia. Enellos se simula el proceso que se va aidentificar y se compara la respuestacalculada con la realmente obtenida,adecuándose los parámetros del mode-lo de forma que se minimice una fun-ción positiva de la diferencia.

• Métodos de aproximación estocástica.Adecuados para sistemas con presen-cia de ruido. En ellos se resuelve unaecuación expresada mediante la anula-ción del valor medio de una función demedidas y parámetros. La elección deestas medidas es crítica para asegurar larápida convergencia del algoritmo.

• Métodos de minimización del error depredicción. Derivados de la teoría demínimos cuadrados.

- De todos ellos, los métodos de mini-mización del error de predicción son losmás utilizados para la Identificación desistemas discretos. Estos métodos tie-nen dos características fundamentales:

• Sus propiedades de convergencia deforma recursiva son las mismas que lascorrespondientes asus réplicas no recur-sivas, puesto que las primeras derivan

de las segundas (Ljung, 1981).

• Son de fácilimplementación compu-tacional.

Identificación en línea

Es la identificación por computador enlínea con un proceso. Silas informacio-nes de las señales se almacenan en unbloque de datos y procesan conjunta-mente, se tiene un proceso por lotes. Sise procesan en cada período de mues-treo, tenemos un procesamiento en tiem-po real.

Para la identificación en tiempo realse han desarrollado métodos de estima-ción recursiva, tanto para procesos in-variantes como variables en el tiempo,algunas clases de procesos no lineales,etc.

Entre los algorítmos de identifica-ción en linea tenemos: el de mínimoscuadrados (LS ) y el de mínimos cua-drados recursivo (RLS).Otros algorit-mas se basan en el error de predicción,tales como: algoritmo recursivo de mí-nimos cuadrados extendido (RELS),al-goritmode mínimos cuadrados genera-lizado (RGLS), algoritmo de variableinstrumental (RIV) y algorítmos RLScon factor de olvido, entre otros.

Problemas en identificación

Tal y como se dijo, tratamos de cons-truir modelos con base en el conoci-miento experimental del comporta-miento de las variables de un sistema.Estos modelos pueden ser de tipo inter-no (espacio de estados) o de tipo exter-

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no (modelos de e/s). También se hadicho que con fines prácticos y sin per-der demasiada precisión, muchos siste-mas pueden idealizarse como sistemaslineales. De hecho, gran parte de proce-sos físicos se aproximan de buena for-ma a sistemas LTI.

instantes de muestreo, el sistema de lagráfica puede entonces describirse como

y(t)=Lk g(k)u(t-k)+v(t).l" k,,= (1)

v(t) = Lkh(k) e( t - k), O" k" ~

Si hacemos

Otro hecho sabido es que si conoce-mos la dinámica de un sistema LTI cau-sal, y conocemos además la entrada,podemos entonces calcular la corres-pondiente salida. No obstante, en lapráctica siempre habrá señales fuera denuestro control que afectarán al siste-ma. Con nuestra estructura lineal pode-mos suponer que tales efectos puedenreunirse y sumarse a la salida del siste-ma, tal como se muestra:

.(1) ~~ _

¿L y(t)

qu(t) =u( t+ 1) ;( operadorq de adelanto)yq-1u(t) = u( t -1); (operador q de atraso)

entonces ( 1)puede escribirse como

y(t) = G(q)u(t);

donde

G(q) = Lk g(k)q-k , 1::;;k::;;=

G(q) es el operador de transferenciadel sistema lineal descrito. Podría lIa-mársele fun,ción de transferencia en elsentido en que relaciona las secuenciasu(t) ey(t).

Un sistema LTI causal puede descri-birse por su respuesta al impulso como:

y(t) = fg(~)u(t - ~)d~, O::;; ~ ::;;=

Si el análisis lo hacemos en tiempodiscreto y suponemos que la salida esobservada en los instantes de muestreo,la expresión anterior se convierte sinambigiiedades en

y(kt) = fg(t)u(t - ~)d~, O::;; ~::;; =

Tomando T como un unidad detiempo y t como la enumeración de los

De igual forma

H(q) =Lkh(k)q-k, O ::;; k::;;=

entonces

v(t) = H(q)e(t)

y la descripción del sistema linealcon perturbación aditiva se convierteen:

y(t) = G(q)u(t) + H(q)e(t)

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Funciones frecuencia/es

Supongamos una entrada sinuosoidal anuestro sistema, tal como:

u(t) = cos rot

que puede reescribirse como

u(t) = Re ei"'t ; Re es la parte Real de ...

entoncesy(t) = Lk g(k) Re ei"'(t-k); 1 $;k$;=

= Re [ ei'0t • Lk g(k) e-i"'k ]= Re [ ei"'t • G( ei'" ) ]= IG( ei'" ) Ieos ( rot + q> )

dondeq> = argG ( ei'" )

podemos definir entonces

como la función frecuencial del sis-tema (1).

Funciones espectra/es

Para el proceso estocástico definido por

v(t) = H(q)e(t)

donde {e(t)}es una secuencia de va-riables aleatorias independientes convalor medio cero y covarianza 1..,sedefine su espectro

<Pv= 1..1 H( ei"') 12

Para el caso de señales estocásticas ydeterminísticas mezcladas tal como

s(t) = u(t) + v(t)

el espectro resultante es:

<l>s= <l>u(ro)+ <Pv(ro)

Simulación

El más útil de los usos de la descripciónde un sistema es simular la respuesta deéste ante diversas entradas. Para el sis-tema que hemos venid~ analizando,tomemos una entrada u (t), t=1,2, ...N.La respuesta para una salida sin pertur-baciones será:

••y (t) =G(q) u (t), t=1,2, ...N

Para evaluar la influencia de las per-turbaciones podemos generar (por me-dio del cOI),lputador) una secuencia denúmeros e (t), t = 1,2,...N; que puedanser considerados aleatorios y como larealización de un proceso estocástico deruido blanco con varianza 1...Entoncesla perturbación es calculable como:

••v (t) = H(q)e (t)

•• Con el ajuste adecuado de y (t) Yv (t) por parte del usuario, pue<ie tener-se una idea de la ¡espuesta del sistemaante la entrada u (t).

Predicción

Teniendo que

v(t)=H(q)e(t)=Ikh(k)e(t-k), O$k$= (2)

Podríamos tratar de discutir cómoserían los valores futuros de v(t). Para

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ello, supondremos que H es estable;esto es,

Lk Ih(k)I<=;O$k$=

Debemos imponer una propiedadbásica para (2), que sea invertible. Estoquiere decir que si conocemos v(s) paras $ t., entonces se puede calcular e(t)como

e(l) = H'(q) v(l) = Lk h'(k) v( 1- k); O" k" ~

con

Lk1h'(k) I< =; O$k$=

A partir de H(q) podemos determi-nar H'(q) = H-1(q). Esto no resulta evi-dente, aunque con las restricciones im-puestas puede probarse que el filtroH(q) se comporta de manera similar a

suponiendo l/H(z) evaluable enIz I~ 1.

Podemos entonces escribir

Predicción de y un paso adelante

Si consideramos y(s) y u(s) conocidaspara s $ t-1, podriamos entonces cono-cer v(s) para s $ t-1

v(s) = y(s) - G(q)u(s)

y(t) = G(q)u(t) + v(t)

Con la información conocida, la y(t)esperada será

y'(111-1)=H'\q)G(q)U(I) + [1- H-\q) J y(I)·

oH(q)y'(1 I1-1)= G(q)u(l) + [H(q) -1 ] y(l)

• y' (t It-1)se refiere a laprobabilidaddel evento y(t) dado y(t-1).

Para lapredicción del error se infiereque

e(t) = y(t) , y'(1 I1-1) = ,H-1(q)G(q)u(t) + H'

\q)y(l)

Estimación de modelos paramétricos

Por lo visto, un modelo L11está especi-ficado por la respuesta al impulso, elespectro de la perturbación aditiva yposiblemente por una función de densi-dad probabilística de la perturbacióne(t). El modelo completo resulta:

y(t) = G(q)u(t) + H(q)e(t)

feO, la fdp de e (3)

con

Y

H(q) = 1+ Lkh(k)q,k; 1$ k $=

La especificación del modelo dadaQueremos predecir valores de por (3)en términos de un número finito

de valores numéricos, o coeficientes, es


la más importante consecuencia paralos propósitos de identificación de sis-temas. A partir del conocimiento previode los mecanismos físicos que gobier-nan al sistema no es posible determinaresos parámetros. La determinación detodos o algunos de esos parámetros esel tema de la identificación. Los coefi-cientes.en cuestión deben entonces en-trar al modelo (3) como parámetros aser determinados. Estos parámetros serepresentan generalmente por un vectora. Tenemos ahora una descripción delsistema dada por:

y(t) = G(q.a)u(t) + H(q,a)e(t)

en la que fe(x,a) es la fdp de e(t) y{e(t}}es ruido blanco.

y(t)+ a¡y(t-l)+ oo. + anay(t-na)= b¡u(t-l)+oo. + b"U(t-nb)+ e(t)

Los parámetros ajustables en estecaso son:

A() 1 -¡ -naq = + a¡q + oo. + anaq

Así que

G(q,a) = B(q)/ A(q) ; H(q,a) = 1/ A(q)

La representación de este modelocorresponde a la gráfica siguiente:

Con la nueva representación, y te-niendo en cuenta la dependencia de lapredicción del vector q, reescribimos:

y'(tla) = H-l(q,a)G(q,a)u(t)+ [1- H"l(q,a)]y(t) u U/A y

Representación polinómica de funcio-nes de transferencia

Tal vez la vía más inmediata de para-metrizar H y G es representarJas comofunciones racionales haciendo que losparámetros sean los coeficientes delnumerador y el denominador. Estas sonlas estructuras de modelos de caja ne-gra.

Probablemente la relación entrada-salida más simple se obtiene descri-biéndola por una ecuación de diferen-cias lineal de la forma:

Este modelo se conoce como modeloARX,en donde AR se refiere a la parteregresiva A(q)u(t) y X a la entrada adi-cional B(q)u(t) (entrada exógena). Sina = 0, y(t) es un FlR.

Con la nueva representación pode-mos calcular el predictor de y(t), obte-niendo:

y'(t la) = B(q)u(t) + [ 1 - A(q) ] y(t)

Esta nueva expresión para el predic-


tor de y(t) nos permite un manejo másfácil, a la vez que resulta una escogenciaobvia para estructuras estocásticas don-de el término e(t) sea considerado insig-nificante o difícil de conocer. Es perfec-tamente natural utilizado en modelosdeterminísticos.

Introduzcamos ahora el vector

j(t) ~ [-y(t-l) ...-y(t - na)u(t - [) ...u(t- nb)]T

El predictor puede ahora escribirse:

Esta es la propiedad importante alu-dida previamente; el predictor esel pro-ducto escalar entre un vector de datosconocido j y el vector de parámetrosdesconocidos q. Tal modelo es conoci-do en estadística como una regresiónlineal, y al vector j(t) se le llama vectorde regresión.

En el caso de que algunos coeficien-tes de los polinomios A y Bsean conoci-dos, obtenemos una regresión lineal dela forma

y'(t la) ~ jT(t)a+ l1(t)

Donde l1(t)es un término conocido:

La desventaja de este modelo simplees la pérdida de una adecuada libertadpara describir las propiedades del tér-mino perturbación. Para aumentar laflexibilidad describimos la ecuaciónerror como un promedio móvil de rui-do blanco. Esto nos lleva al modelo

y(t) + a¡y(t-l) +...+ anay(t-n.) ~ b¡u(t-l) +...+bnu(t-nb) + C¡ e(t -1) +...+ cnae(t-nc)

Con

C() 1 -1 -ncq ~ + c¡q + ... + cnA

que claramente se corresponde con

G(q,a) ~ B(q)/ A(q) ; H(q,a) ~ C(q)/ A(q)

Debido al promedio móvil (MA )deC(q)e(t), este modelo se conoce comoARMAX. Existen versiones de tal mo-delo como el ARIMA(X), donde 1 serefiere a integración forzada. Una es-tructura más general sería de la forma

A(q)y(t) ~ B(q)u(t) + [C(q)/D(q) ] e(t)

con

el cual, por supuesto, contiene a losanteriores como casos especiales. Lagráfica siguiente tipifica tal modelo. Laestructura de la ecuación del modelodel error corresponde a descripcionesdonde las funciones de transferencia Gy H tienen un polinomio A como factorcomún en sus denominadores. Desde elpunto de vista físico puede verse másnatural parametrizarlas independien-temente. Si definimos

y(t) ~ [B(q)/F(q) ]u(t) + e(t)


_ Te - [b1 b2".bnb f¡ f2 ." fnl ]

El flujo de señal de este modelo semuestra a continuación. Podríamos lla-made modelo del error de salida (OE),con vector de parámetros a determinar

u--.¡ Off

La selección apropiada de la estructuradel modelo es crucial para una exitosaaplicación de identificación. Esta esco-gencia debe estar basada tanto en unclaro entendimiento del proceso de iden-tificación como en un preciso conoci-miento del proceso.

Selección de la estructura del modeloy validación del modelo

Una vez que se ha escogido una es-tructura de modelo, el procedimientode identificación nos entregará un mo-delo con esa estructura. Este modeloserá el mejor disponible. La cuestiónahora es si este modelo es suficiente-mente bueno para nuestros propósitos.Probado es lo que conoce como vali-dación del modelo.

,

--,.-~y

B"

A(q)y(l) = [B(q)/F(q) ]u(l) + [C(q)lD(q) ]e(l)G

Otra estructura muy conocida.es ladel modelo Box - Jenkins, cuya gráficase muestra. En realidad, pueden obte-nerse muchas estructuras diferentes, de-pendiendo de cuáles sean los polino-mios. Sería entonces conveniente unaestructura de modelos generalizada dela forma

Seleccionar la parametrización del mo-delo. Una vez que se ha escogido unconjunto de modelos es necesarioparametrizarlo, esto es, buscar la es-

Escoger el tamaño del conjunto de mo-delos. Se refiere a características talescomo el orden del modelo en espa-cio-estado o el grado de los polino-mios en dichos modelos.

La vía para encontrar una determi-nada estructura involucra al menos trespasos:

- Escoger el tipo del conjunto de modelos.Significa, por ejemplo, escoger entremodelos lineales y no lineales, entreentrada-salida, modelos caja negra yespacio-estado parametrizados físi-camente, etc.

yOffu


tructura del modelo cuyo rango seaigual al del conjunto seleccionado.

Comentarios finales

Se ha tratado de dar una visión generaldel tema Identificación Paramétrica deSistemas Dinámicos sin profundizar enaspectos que estarían fuera del alcancede este artículo, tales como la forma decrear las estructuras de modelos o lastécnicas de validación. Sin embargo,cabría anotar que existen algunas he-rramientas computacionales que facili-tan el trabajo de Identificación, tales

como el Toolbox para Matlab que apa-rece relacionado en la bibliografía, outilidades de Sirnlink diseñadas con elmismo fin.

Bibliografia

ASTROM y WITTENMARK. Siste-mas controlados por computador. Paranin-fo. 1988.

LJUNG, L. System identification:~eory forthe user. Prentice-Hall, 1987.

--- System identification toolbox,For use with MATLAB. User guide.


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