Identificación©taro/Matemáticas/Álgebra/PQ... · libro “El hombre que calculaba”. Se...

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SISTEMA DE

GESTIÓN DE

LA CALIDAD

ISO 9001:2008

PLANEACIÓN DIDÁCTICA DOCENTES FEPD-004

V 06 ELABORACIÓN DE PLANEACIÓN DIDÁCTICA PP-PPA-EPD-06

PQ-ESMP-05

Identificación

Asignatura/submodulo: Algebra Secuencia 1-3 Plantel :Querétaro

Profesor (es): Juan Luis Reséndiz Arteaga

Periodo Escolar: Agosto 2017 -Enero 2018

Academia/ Módulo: Matemáticas

Semestre: Uno

Horas/semana: 4 horas Horas/semestre: 64 horas

Competencias: Disciplinares (x) Profesionales ( ) 1.- Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 2.- Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

4.- Argumenta la solución obtenida de un problema con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales

mediante el lenguaje verbal matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

Competencias Genéricas: 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción

con pasos específicos.

Resultado de Aprendizaje: Que el estudiante desarrolle el razonamiento matemático, haga uso del lenguaje algebraico, a partir de la resolución

de problemas de la vida cotidiana, dentro y fuera del contexto matemático, representados en modelos donde se

aplican conocimientos y conceptos algebraicos.

Tema Integrador: El álgebra en la vida cotidiana

Competencias a aplicar por el docente (según acuerdo 447): 2. Domina y estructura los saberes para facilitar experiencias de aprendizaje significativo 5. Evalúa los procesos de enseñanza y de aprendizaje con un enfoque formativo. 6. Construye ambientes para el aprendizaje autónomo y colaborativo.

7. Contribuye a la generación de un ambiente que facilite el desarrollo sano e integral de los estudiantes.

Dimensiones de la Competencia

Conceptual: • Realiza operaciones fundamentales algebraicas • Aplica y desarrolla los productos

Procedimental: •Desarrolla las operaciones fundamentales y productos notables aplicando las diferentes reglas.

Actitudinal: Compromiso, su creatividad, el orden, la participación y la cooperación, el respeto hacia sus compañeros, la puntualidad, la limpieza en sus trabajos, la tolerancia, la perseverancia, la libertad, la responsabilidad y la motivación.

Actividades de Aprendizaje

Tiempo Programado: 21 horas Tiempo Real:

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Fase I Apertura

Competencias a desarrollar (habilidad,

conocimiento y actitud)

Actividad / Transversalidad

Producto de Aprendizaje

Ponderación Actividad que realiza

el docente (Enseñanza)

No. de sesiones

Actividad que realiza el alumno

(Aprendizaje)

El material didáctico a

utilizar en cada clase.

DISCIPLINARES:

1 y 2

GENÉRICAS:

4.1 y 8.3

1.- Explica el contenido del curso, así como la forma de evaluación, la interrelación con otras asignaturas, el material didáctico obligatorio, software, etc., así como otros aspectos disciplinarios y motivacionales. 1 Sesión

Toma nota sobre forma de evaluar, temas a desarrollar en durante el semestre

Secuencia, Cuaderno de

trabajo, cuaderno de

trabajo

No aplica

No aplica

2.- Pide al grupo

realizar la actividad: 1,

2, 3 por mí y por mi

comunidad del fichero

CONSTRUYE-T.

1 Sesión

Realiza de forma ordenada la actividad CONSTRUYE- T

Hoja de

actividad CONSTRUYE-T

No aplica

No aplica

3.- Solicita al estudiante resolver el examen diagnóstico. 1 Sesión

Resuelve examen diagnostico

Examen

Examen resuelto

No aplica

4.- Se solicita leer al alumno inicio de la lectura Capítulo 3 del libro “El hombre que calculaba”. Se resuelve examen diagnostico 1 Sesión

Generar de forma individual un reporte de la lectura y mencionar en sus conclusiones que es lo más relevante. Toma notas sobre solución de examen diagnóstico.

Reporte individual

Reporte escrito 4%

5.- Solicita a los alumnos suscribirse a los canales de YouTube “julioprofe” y “math2me” Actividad extra clase

Se suscribe a los canales señalados

Computadora

No aplica NA

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6.- Pide a los alumnos ver en internet videos en YouTube. Relacionados con el Algebra, aspectos históricos, elementos, para que se utiliza, etc. Actividad extra clase

Realiza un organizador gráfico con los conceptos más relevantes del video.

Video en YouTube

Organizador grafico

3%

DISCIPLINARES:

1 y 2

GENÉRICAS:

4.1 y 8.3

7.- Solicita a los estudiantes observar en los canales suscritos los siguientes temas:

1.-Traducción del lenguaje común al algebraico. 2.-Traducción del lenguaje algebraico a común 3.-Valor numérico de un polinomio 4.-Operaciones algebraicas fundamentales (suma, resta, multiplicación, división, potencia y raíz Actividad extra clase

Realiza un organizador gráfico con los conceptos más relevantes de los video

Video en YouTube

Organizador grafico

3%

8.- En plenaria realiza preguntas detonantes dircetas o indirectas sobre el álgebra:¿Que es el álgebra? ¿Qué es un término algebraico?, ¿Qué nombre reciben las partes de un término algebraico?, que son términos semejantes?, ¿Cuáles son las reglas de los exponentes en las operaciones fundamentales? 1 sesión

Participar en la sesión plenaria para aportar información de la cual se partirá para realizar ejercicios relacionados con las operaciones fundamentales

Pizarrón Cuaderno de

apuntes

Notas en el pizarrón y el cuaderno (Retroalimentación de las actividades anteriores)

No aplica

Fase II Desarrollo

Actividad/ transversalidad Ponderación

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Actividad que realiza el docente

(Enseñanza) No. de sesiones


(Aprendizaje)

El material didáctico a utilizar en cada clase.


DISCIPLINARES:

1 y 2

GENÉRICAS:

4.1 y 8.3

9.- Realiza ejercicios y ejemplos en el pizarrón de los temas a desarrollar. Traducción de lenguaje común a algebraico y viceversa, evaluación de expresiones algebraicas, operaciones fundamentales algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, potencia y raíz) y Ley de exponentes y radicales. Resuelve dudas. 5 sesiones

Toma nota de los ejemplos en el pizarrón, desarrolla las prácticas de clase incluidas en el cuaderno de trabajo y pregunta dudas al respecto.

Cuaderno de trabajo,

pizarrón plumones

Notas en el cuaderno y en

el pizarrón

No aplica

10.- Solicita resolver las actividades 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9 y 10 del cuaderno de trabajo. De acuerdo al grupo se puede realizar en equipos de trabajo. Durante el proceso resuelve dudas. 7 sesiones

Resuelve las actividades 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9 y 10 del cuaderno de trabajo Pregunta dudas

Cuaderno de trabajo pizarrón plumones

Problemarios resueltos

20%

Fase III Cierre Competencias a

desarrollar (habilidad,


Actividad/transversalidad


Ponderación Actividad que realiza el

docente (Enseñanza)

No. de sesiones


(Aprendizaje)



DISCIPLINARES:

1 y 2

GENÉRICAS:

4.1 y 8.3

11.- Solicita a los alumnos resolver las actividades del Anexo:

El álgebra en la vida cotidiana.

2 sesiones

Desarrolla la actividad de aplicación de los temas del parcial

Libro de texto, pizarrón plumones

Actividades

resueltas en el cuaderno de

trabajo

10%

12.- El docente aplica evaluación escrita al alumno 1 sesión

Resuelve la evaluación que se le proporciona

Evaluación

Examen 60%

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13.- Se retroalimenta en plenaria sobre los objetivos planeados y los alcances de la evaluación, se analizan los temas y se dejan tareas de los temas del siguiente parcial. 1 sesión

El alumno da sus puntos de vista sobre los resultados de evaluación, inicia actividades del parcial 2.

Cuaderno de trabajo o antología, resultado de evaluación

No aplica

No aplica

Se cumplieron las actividades programadas: SI ( ) NO ( )

*EN CASO DE REALIZAR CAMBIOS VER REGISTRO DE LOS MISMO EN ANEXO*

Elementos de Apoyo (Recursos)

Equipo de apoyo Bibliografía

- Computadora - Proyector - Cuaderno de apuntes - Software - Internet

- Pérez y Romero, Alejandro. (2000). El Algebra en la Prepa. México: Editorial propia.

- Sánchez Almanza Oscar (2015) Algebra Bachillerato Tecnológico México : Editorial KeepReading

- Cuaderno de trabajo avalado por la academia

Evaluación

Criterios: Heteroevaluación Coevaluación Autoevaluación Examen 60% Productos 40 %

Instrumento: Rúbrica general Examen de conocimiento.

Porcentaje de aprobación a lograr: 80% Fecha de validación: 9 de Agosto de 2017

Fecha de Vo. Bo de Servicios Docentes 7 de Agosto de 2017

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RUBRICA GENERAL PARA EVALUAR 1er PARCIAL FASE DE APERTURA

ACTIVIDAD EXCELENTE MUY BIEN BIEN REGULAR EN PROCESO

PORCENTAJE 4% 3% 2% 1.5% 1%

4.- Reporte de

lectura Capitulo

3 El Hombre

que Calculaba

Entrega a tiempo, Orden, limpieza y ortografía adecuada. Presenta el 100% de los elementos abordados en la lectura da conclusiones de la misma.


Entrega a tiempo, Orden, limpieza y ortografía adecuada. Presenta el 80% de los elementos abordados en la

lectura da conclusiones de

la misma.


lectura da conclusiones de la

misma.

Entrega a tiempo, Orden, limpieza y ortografía adecuada. Presenta el 60% o

menos de los elementos

abordados en la lectura no hay conclusiones


PORCENTAJE 3% 2.5% 2% 1.5% 1%

6.- Organizador

grafico sobre el

video ¿Qué es el

Algebra?

Entregó en tiempo y forma; El organizador está conformado por conceptos o ideas clave. Existe la jerarquización de conceptos. Orden y limpieza

Entregó en tiempo y forma; El organizador está conformado por conceptos o ideas clave. Existe la jerarquización de conceptos.

Entregó en tiempo y forma; El organizador está conformado por conceptos o ideas clave.

Entregó en tiempo y forma; El organizador está conformado la mayor parte de ideas clave.

Entregó en tiempo y forma; El organizador está no tiene orden ni expresa en el las ideas clave.


PORCENTAJE 3% 2.5% 2% 1.5% 1%

7.- Organizador

grafico sobre el

videos

relacionados

con los temas a

desarrollar






FASE DE DESARROLLO


PORCENTAJE 20% 15% 10% 8% 5%

10.- resolver las actividades 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9

y 10 del cuaderno de

trabajo

Resuelve , entrega a tiempo y limpio el 100% de las actividades

Resuelve entre el 80% y 90% de las

actividades


actividades

Resuelve entre el 50% de las actividades

Resuelve menos del 50% de las

actividad

FASE DE CIERRE

ACTIVIDAD

EXCELENTE MUY BIEN BIEN REGULAR

PORCENTAJE 10 % 8 % 6 %

4 %

11.- Resolver El álgebra en la vida cotidiana.

Resuelve el 100% de las actividades


actividades


actividades

Resuelve el 50% o menos de las actividades

ACTIVIDAD VALOR DEL A EVALUACION 60% PORCENTAJE

12.- Resolver evaluación

Resuelve Evaluación

CALIFICACION PRIMER PARCIAL

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COEVALUACION

ACTITUDINAL

Alumno:1 Nombre:

Alumno:2 Nombre:

Alumno:3 Nombre:

Alumno:4 Nombre:

Califica el desempeño de tus compañeros en una escala del 1 al 10

Indicadores Alumno 1 Alumno 2 Alumno 3 Alumno 4

1.- Fue responsable al momento de resolver los problemas

2.- Compartió ideas y opiniones con los compañeros

3.- Respeta las críticas e ideas de sus compañeros

4.- Motivo el trabajo en equipo mediante diferentes actitudes con sus compañeros

Total

AUTOEVALUACION

ACTITUDINAL

Nombre:

Califica tu desempeño en una escala del 1 al 10

Indicadores Evaluación

1.- Fui responsable y me interese por mi aprendizaje

2.- Compartí ideas y opiniones con mis compañeros

3.- Respeta y fui tolerante a las críticas e ideas de mis compañeros

4.- Resolví los problemarios y aprendí los conceptos principales de los temas

5.- Entregue mis trabajos a tiempo y limpios

6.- Estoy consciente que el resultado obtenido es producto de mi esfuerzo y dedicación

Total

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Actividad 2

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Actividad 3

Docente:

EJERCICIO DIAGNÓSTICO ALGEBRA FECHA:

SEMESTRE Y

ESPECIALIDAD: ACIERTOS:

ALUMNO: (Apellido, Nombre)

CALIFICACIÓN:

INSTRUCCIONES: Analiza cada reactivo y coloca el resultado de acuerdo a lo que calculaste.

1) ¿Qué fracción es equivalente a 18

24 ?

A) 3/12 B)6/12 C)6/8 D)9/6

2) ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación matemática (18

10) (

8

3) ?

A) 5/24 B)27/40 C)26/13 D)24/5

3) El saldo de una cuenta bancaria era $ 2 000.00, el mes pasado. ¿Cuál será el

saldo al final de este mes, utilizando signo (+) para los depósitos y signo ( -) para

los retiros, según los datos siguientes?

A) -2 200 B)-200 C)200 D) 4400

4) Se han consumido 7/8 de un bidón de aceite. Reponemos 38 l y el bidón ha quedado lleno hasta sus 3/5 partes. Calcula la capacidad del bidón. A) 0.79 B)52.41 C)80 D)84

5) Laura recibió como herencia la tercera parte de un terreno, el cual repartió entre

sus dos hijos. ¿Cuál de las siguientes fracciones expresa lo que le toco a cada

uno de ellos?

A) 1/6 B)2/6 C)2/3 D)3/2

6) Obtener el resultado de la siguiente operación: [(4/3- 3/5) + 7/3]. A) 8/15 B)41/15 C)3 1/15 D)15/2

7) ¿Cuál respuesta corresponde a un monomio con exponente de dos, una base de x

y un coeficiente de 3?

A) 3x2 B)2x3 C)x2/3 D)2x2

8) Calcula la respuesta correcta: 2 − 3[4 − 3×5 ÷ 15 + 1] A) -10 B)-3 C)10 D)11

9) Se reparten 133 chocolates entre dos grupos de alumnos, de manera que el segundo grupo recibe 19 chocolates más que el primero. ¿Cuál es la ecuación que determina el número de chocolates que recibe el primer grupo? A) x + 19 = 133 B)x + 19 = 133/2 C)2x - 19 = 133 D)2x + 19 = 133

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10) Una máquina de ensamblaje retiene una p ieza cada cierto momento, para recibir servicio de enfriamiento. La siguiente tabla muestra el número de servicios de enfriamiento que recibe, así como el número de la pieza que retiene:

No. de servicio 1 2 3 4

Pieza no. 7 10 13 16

¿Cuál de las siguientes expresiones relacionan el número de servicios S con el número de piezas P en el que se realizará? A) P = 10S – 3 B)P = 3S + 4 C)P = 5S – 2 D)P = 2S + 5

Actividad 4 El hombre que calculaba

CAPÍTULO 3 Singular aventura acerca de 35 camellos que debían ser repartidos entre tres árabes.

Beremís Samir efectúa una división que parecía imposible, conformando plenamente a los

tres querellantes. La ganancia inesperada que obtuvimos con la transacción.

acía pocas horas que viajábamos sin interrupción, cuando nos ocurrió una

aventura digna de ser referida, en la cual mi compañero Beremís puso en

práctica, con gran talento, sus habilidades de eximio algebrista.

Encontramos, cerca de una antigua posada medio abandonada, tres

hombres que discutían acaloradamente al lado de un lote de camellos.

Furiosos se gritaban improperios y deseaban plagas:

- ¡No puede ser!

- ¡Esto es un robo!

- ¡No acepto!

El inteligente Beremís trató de informarse de que se trataba.

- Somos hermanos –dijo el más viejo- y recibimos, como herencia, esos 35 camellos. Según

la expresa voluntad de nuestro padre, debo yo recibir la mitad, mi hermano Hamed Namir

una tercera parte, y Harim, el más joven, una novena parte. No sabemos sin embargo, como

dividir de esa manera 35 camellos, y a cada división que uno propone protestan los otros

dos, pues la mitad de 35 es 17 y medio. ¿Cómo hallar la tercera parte y la novena parte de

35, si tampoco son exactas las divisiones?

- Es muy simple –respondió el “Hombre que calculaba”-. Me encargaré de hacer con

justicia esa división si me permitís que junte a los 35 camellos de la herencia, este hermoso

animal que hasta aquí nos trajo en buena hora.

Traté en ese momento de intervenir en la conversación:

- ¡No puedo consentir semejante locura! ¿Cómo podríamos dar término a nuestro viaje si

nos quedáramos sin nuestro camello?

- No te preocupes del resultado “bagdalí” –replicó en voz baja Beremís-. Sé muy bien lo

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que estoy haciendo. Dame tu camello y verás, al fin, a que conclusión quiero llegar.

Fue tal la fe y la seguridad con que me habló, que no dudé más y le entregué mi hermoso

“jamal” [1] , que inmediatamente juntó con los 35 camellos que allí estaban para ser

repartidos entre los tres herederos.

- Voy, amigos míos –dijo dirigiéndose a los tres hermanos- a hacer una división exacta de

los camellos, que ahora son 36.

Y volviéndose al más viejo de los hermanos, así le habló:

- Debías recibir, amigo mío, la mitad de 35, o sea 17 y medio. Recibirás en cambio la mitad

de 36, o sea, 18. Nada tienes que reclamar, pues es bien claro que sales ganando con esta

división.

Dirigiéndose al segundo heredero continuó:

- Tú, Hamed Namir, debías recibir un tercio de 35, o sea, 11 camellos y pico. Vas a recibir

un tercio de 36, o sea 12. No podrás protestar, porque también es evidente que ganas en el

cambio.

Y dijo, por fin, al más joven:

- A ti, joven Harim Namir, que según voluntad de tu padre debías recibir una novena parte

de 35, o sea, 3 camellos y parte de otro, te daré una novena parte de 36, es decir, 4, y tu

ganancia será también evidente, por lo cual sólo te resta agradecerme el resultado.

Luego continuó diciendo:

- Por esta ventajosa división que ha favorecido a todos vosotros, tocarán 18 camellos al

primero, 12 al segundo y 4 al tercero, lo que da un resultado (18 + 12 + 4) de 34 camellos.

De los 36 camellos sobran, por lo tanto, dos. Uno pertenece, como saben, a mi amigo el

“bagdalí” y el otro me toca a mí, por derecho, y por haber resuelto a satisfacción de todos,

el difícil problema de la herencia [2] .

- ¡Sois inteligente, extranjero! –exclamó el más viejo de los tres hermanos-. Aceptamos

vuestro reparto en la seguridad de que fue hecho con justicia y equidad.

El astuto beremís –el “Hombre que calculaba”- tomó luego posesión de uno de los más

hermosos “jamales” del grupo y me dijo, entregándome por la rienda el animal que me

pertenecía:

- Podrás ahora, amigo, continuar tu viaje en tu manso y seguro camello. Tengo ahora yo,

uno solamente para mí.

Y continuamos nuestra jornada hacia Bagdad.

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Actividad 11 El álgebra en la vida cotidiana

Completa la tabla traduciendo al lenguaje común o lenguaje algebraico según sea el caso

Lenguaje natural Lenguaje algebraico

1. El doble de un número más la mitad del mismo

2. 𝟑𝒎 −

𝒎

𝟑

3. La suma de los cuadrados de dos números

4. 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐

𝟓

5. La mitad del triple de la diferencia de dos números

6.

Hace 10 años la edad de un hombre era el doble de la

de su hijo y dentro de 10 años, la edad del hombre

será 𝟑

𝟐 que la de su hijo.

Completa los datos que se solicitan 𝒔𝒊 𝒂 = 𝟑, 𝒃 = 𝟓, 𝒄 = 𝟒, 𝒅 = 𝟔, 𝒆 = 𝟐

Figura Nombre

Formula

del

perímetro

Formula

del área Perímetro Área

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Llena el siguiente crucigrama, resolviendo las operaciones siguientes, los signos +y – ocupan un espacio.

Verticales

29. 𝑥(5 + 𝑥) − 𝑥2=

30. 2(6𝑥 + 4𝑦) − 3(4𝑥 + 2𝑦) =

31. (5𝑥𝑦 + 5) − (5 + 3𝑥𝑦) =

32. (𝑥2 + 𝑦2 − 2) − (𝑥2 − 𝑦2 + 2) =

36. 15𝑥3𝑦3

5𝑥3𝑦2− 2𝑥𝑦 =

37. 4𝑥 − (2𝑦 + 5𝑥) − (−8𝑥 − 3𝑦) =

41. (27𝑥3𝑦3)

(3𝑥3𝑦2)− 12𝑦 =

Horizontales

31. (𝑥)(2𝑥) =

32. (5𝑥 + 2𝑦) − (3𝑥 + 𝑦) =

33. (8𝑦2 + 7𝑦) − (7𝑦2 + 7𝑦) =

34. (2𝑥2𝑦𝑧 + 𝑦2 + 𝑧2) − (𝑥2𝑦𝑧 + 𝑦2 + 𝑧2) =

35. (−7 − 𝑥 + 4𝑦2𝑧) ÷ (2𝑥 − 4𝑦2𝑧) =

38. (−3𝑥 − 4 − 3𝑥2𝑦) − (−4 − 7𝑥 − 3𝑥2𝑦) =

39. (3𝑥2 + 5𝑦2 + 3𝑦𝑧) − (3𝑥2 + 5𝑦2 − 5𝑦𝑧) =

40. 5𝑦 + 3𝑥2 − 5𝑧2 + 2𝑥2𝑦2 − (4𝑦 + 3𝑥2 − 2𝑧2 + 2𝑥2𝑦2) =

42. (𝑥 + 𝑦 − 2𝑧) − (𝑥 + 𝑦 − 5𝑧) =

44. (5𝑥2 − 3𝑥 − 2𝑧2) − (4𝑥2 − 3𝑥 − 2𝑧2) =

29 30 31

32

33 34

35 37 36

38 40 41 43

42

39 44

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Identificación

Asignatura/submodulo: Algebra Secuencia 2-3

Plantel :Querétaro


Periodo Escolar: Agosto 2017-Enero 2018


Semestre: Uno





Competencias Genéricas: 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso

de acción con pasos específicos.




Tema Integrador: La construcción




Conceptual: •Identifica los casos de productos notables y factorización y sus respectivas reglas

•Conoce las propiedades de los números reales para solucionar ecuaciones lineales

Procedimental: •Desarrolla los productos notables y la factorización, resuelve ecuaciones lineales aplicando los métodos establecidos.



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GESTIÓN DE

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Fase I Apertura



Actividad / Transversalidad


Ponderación Actividad que realiza

el docente (Enseñanza)

No. de sesiones


(Aprendizaje)

El material didáctico a utilizar

en cada clase.

DISCIPLINARES:

1 y 2

GENÉRICAS:

4.1 y 8.3

1.- Se solicita leer al alumno el artículo:

“El álgebra mejora el tratamiento de cáncer de próstata”

Actividad extra clase

Leer el artículo y realizar de forma individual un reporte de la lectura y mencionar en sus conclusiones que es lo más relevante.

Reporte individual

Reporte individual elaborado en computadora

4%

2.- Solicita a los alumnos observar en los canales de YouTube suscritos, videos sobre los temas: Productos Notables (Casos y reglas) La factorización. (Casos y reglas) Ecuaciones de primer grado Actividad extra clase

Realiza un organizador gráfico con los conceptos más relevantes de la investigación.

Internet,

computadora, libro de texto

Reporte individual elaborado

en computador

a

6%

3.- En plenaria realiza preguntas detonantes directas o indirectas sobre los temas investigados. ¿Qué son los productos notables y la factorización?, ¿Cuántos casos de cada uno encontraste?, Menciona algunos tipos y sus reglas de solución. ¿Qué es una igualdad?, ¿De qué elementos se compone? ¿Cuáles son las reglas para resolverlas? 3 sesiones

Participar en la sesión plenaria para aportar información de la cual se partirá para realizar ejercicios relacionados con las factorización y las igualdades.

Pizarrón


No aplica

Fase II Desarrollo

Actividad/ transversalidad Ponderación

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(Aprendizaje)



DISCIPLINARES:

1 y 2

GENÉRICAS:

4.1 y 8.3

4.- Realiza ejercicios y ejemplos en el pizarrón de los temas a desarrollar. Productos Notables y Factorización (Diferentes métodos de factorización) Ecuaciones de primer grado con una incógnita Resuelve dudas. 6 sesiones

Toma nota de los ejemplos en el pizarrón y

pregunta dudas al respecto.

Libro de texto, pizarrón

plumones

Notas en el cuaderno y

en el pizarrón

No aplica

5.- Pide resolver las actividades 11, 12, 13 y 14 del cuaderno de trabajo Durante el proceso resuelve dudas. De acuerdo al grupo se puede realizar en equipos de trabajo 8 sesiones

Resuelve Actividades 11, 12, 13 y 14 del cuaderno

de trabajo sobre los temas: Productos

notables, Factorización y

Ecuaciones lineales Pregunta dudas



20%








No. de sesiones


(Aprendizaje)

El material didáctico a utilizar

en cada clase.

DISCIPLINARES:

1 y 2

GENÉRICAS:

4.1 y 8.3

6.- Solicita a los alumnos resolver las actividades del anexo:

La construcción 2 sesiones

Desarrolla la actividad der aplicación de Factorización y ecuaciones lineales

Cuaderno de trabajo

Actividades

resueltas

10%

7.-El docente proporciona la evaluación escrita al alumno 1 sesión

Resuelve la evaluación que se le proporciona

Evaluación

Examen

60%

8..- Se retroalimenta en plenaria sobre los objetivos planeados y los alcances de la evaluación, se analizan los temas y se dejan tareas de los temas del siguiente parcial.

El alumno da sus puntos de vista sobre los resultados de evaluación, inicia actividades del parcial 3.

No aplica

No aplica

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Evaluación




Fecha de Vo. Bo de Servicios Docentes 7 de Agosto de 2017

RUBRICA GENERAL PARA EVALUAR 2do PARCIAL

FASE DE APERTURA


PORCENTAJE 4% 3% 2% 1.5% 1%

1.- Reporte del

artículo “El álgebra

mejora el

tratamiento de

cáncer de

próstata”





misma.



misma.

Entrega a tiempo, Orden, limpieza y ortografía adecuada. Presenta el 60% o

menos de los elementos

abordados en la lectura no hay conclusiones


PORCENTAJE 6% 4% 3% 2% 1%

2.- Organizador

grafico sobre los

temas a desarrollar

en el parcial






FASE DE DESARROLLO

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PORCENTAJE 20% 15% 10% 8% 6%

5.- Resolver las actividades 11, 12, 13 y 14 del

cuaderno de trabajo



actividades


actividades



actividades

FASE DE CIERRE

ACTIVIDAD


PORCENTAJE 10 % 8 % 6 %

4 %

6.- Resolver la actividad

La construcción



actividades


actividades


ACTIVIDAD VALOR DEL A EVALUACION 60% PORCENTAJE



CALIFICACION SEGUNDO PARCIAL

COEVALUACION

ACTITUDINAL

Alumno:1 Nombre:

Alumno:2 Nombre:

Alumno:3 Nombre:

Alumno:4 Nombre:







Total

AUTOEVALUACION

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Actividad 1

Noticias de la Ciencia y la Tecnología (Amazings® / NCYT®)

Miércoles, 16 diciembre 2015

Matemáticas

El álgebra mejora el tratamiento de cáncer

de próstata

A través de la predicción del movimiento de los órganos comprometidos en la radioterapia

(vesículas seminales, próstata, recto y vejiga), el modelo matemático ayuda a precisar las

dosis del tratamiento, así como a evitar efectos secundarios.

“Una de las formas más comunes de tratamiento del cáncer de próstata, cuando éste no ha

hecho metástasis, es la radioterapia, que consiste en tomar una foto de los órganos

comprometidos, que se delinean y así se propone la dosis por utilizar”, explica Richard Ríos

Patiño, estudiante del Doctorado en Ingeniería Sistemas Energéticos de la Facultad de Minas

de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín, y de la Université de Rennes 1, en

Francia.

Sin embargo, dicha fotografía no es fiel a la distribución de los órganos ya que estos se

mueven. Por eso, previendo esta situación, la propuesta del ingeniero se centra en predecir

cómo lo hacen, especialmente la vejiga.

“De acuerdo con la posición que ésta ocupe en el cuerpo, y teniendo en cuenta que solo tiene

ciertas direcciones sobre las cuales se deforma, lo que hicimos fue identificarlas y predecir

su movimiento”, amplía el doctorando, vinculado al Grupo de Automática de la Universidad

Nacional (Gaunal) y al laboratorio LTSI de la Université de Rennes 1.

Basado en ese modelo, señala, se pudieron cuantificar las incertidumbres que genera el

movimiento de la vejiga durante el tratamiento, lo cual afecta la dosis que se puede irradiar.

Para llegar al resultado, la metodología utilizada por el investigador incorporó una técnica

de algebra lineal que permite la descomposición de una matriz en tres componente, conocida

como machine learning (máquinas de aprendizaje).

Así, el ingeniero Ríos mezcló variantes e información como: dosis, órganos, movimiento y

toxicidad, que incluyó en un modelo matemático con el que consiguió reducir la

incertidumbre en cuanto al movimiento de los órganos involucrados en el cáncer de próstata.

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El joven investigador menciona que una de las razones por las cuales los órganos se mueven

es porque los pacientes consumen agua, lo que hace que tanto la vejiga como el recto se

llenen y empujen unos órganos contra otros.

Esta situación hace que la dosis que inicialmente se planea para la radioterapia no sea eficaz,

pues cuando ésta se realiza se irradian tanto las células afectadas como las sanas; por el

contrario, aumentan las probabilidades de que el paciente desarrolle efectos secundarios o

que se pierda el control sobre el tumor.

Por ejemplo, en la vejiga se incrementa la frecuencia urinaria, lo que puede afectar la calidad

de la vida de la persona.

El cáncer de próstata es uno de los tipos de cáncer más comunes que afecta a los hombres a

nivel mundial, se calcula que uno de cada siete lo padece. En el país la tasa de mortalidad de

esta enfermedad rodea al 3 % de la población afectada. (Fuente: UN/DICYT)

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Actividad 6

1.- Las áreas de un departamento están representadas en el diagrama. Las cuales están expresadas

en término de una longitud fija, Por ejemplo: Recamara 2𝑎2 + 4𝑎 + 3.

Factoriza las expresiones que representan el área del departamento

para identificar las medidas de sus longitudes.

• Si el closet tiene una área de 2𝑎2 − 4𝑎 + 2 y se sabe que

tiene de largo el doble que de ancho. ¿Cuáles son sus

dimensiones?

• El área total de departamento es igual a 5𝑎2 + 19𝑎 − 30.

Factoriza esta expresión para determinar las dimensiones

de un rectángulo con la misma área del departamento.

• Determina el área y el perímetro del departamento.

2.- Determina la longitud de las dimensiones de cada área del departamento, así como su perímetro y si área si 𝑎 = 2.5𝑚

Área Largo Ancho Perímetro Superficie

Cocina

Baño

Sala-Comedor

Recamara

Closet

3.- Seis terrenos rectangulares tienen como superficie la expresión representada por los polinomios. Factoriza cada uno para encontrar las dimensiones de sus lados.

Polinomio Largo Ancho

144𝑥2 − 121𝑦2

48𝑎2 + 90𝑎3 − 12𝑎4

8𝑎3𝑥 − 8𝑎2𝑏 + 12𝑏𝑚 − 12𝑎𝑚𝑥

𝑥2 − 2𝑥 − 168

9𝑥2 + 100𝑥 − 96

169𝑥2 − 104𝑥 + 16

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Identificación

Asignatura/submodulo: Algebra Secuencia 3-3

Plantel :Querétaro


Periodo Escolar: Agosto 2017-Enero 2018


Semestre: Uno





Competencias Genéricas: 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso

de acción con pasos específicos.




Tema Integrador: El Auditorio




Conceptual: •Identifica los casos de sistemas de ecuaciones y ecuaciones cuadráticas y sus diferentes métodos de solución.

Procedimental: •Resuelve diferentes casos de solución de sistemas de ecuaciones y ecuaciones cuadráticas aplicando los métodos establecidos.




Fase I Apertura

Actividad / Transversalidad Ponderación

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(Aprendizaje)




DISCIPLINARES:

1 y 2

GENÉRICAS:

4.1 y 8.3

1.- Se pide al alumno leer el artículo: “Las matemáticas explican cómo se orienta la mariposa monarca”

Actividad Extra clase

Generar de forma individual un reporte de la lectura y mencionar en sus conclusiones que es lo más relevante.

Reporte individual

Reporte individual

elaborado en computadora

4%

2.- Solicita a los alumnos observar en los canales suscritos en YouTube Los temas: Sistemas de ecuaciones 2x2 y 3x3. Ecuaciones Cuadráticas ¿Qué son? ¿Para qué se utiliza en algebra? Diferentes métodos de solución, etc. Actividad extra clase

Realiza un organizador gráfico con los conceptos más relevantes de la investigación.

Internet,

computadora, libro de texto

Reporte

individual elaborado en computadora

6%

3.- En plenaria realiza preguntas detonantes directas o indirectas sobre los temas investigados ¿Qué es un sistema de ecuaciones?, ¿Cuántos tipos de solución existen?,. ¿Qué es una ecuación cuadrática?, ¿De qué elementos se compone? ¿Cuántos tipos y métodos de solución existen? 1 sesión

Participar en la sesión plenaria para aportar información de la cual se partirá para realizar ejercicios

Pizarrón


No aplica

Fase II Desarrollo



Actividad/ transversalidad


Ponderación Actividad que realiza el docente



(Aprendizaje)


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DISCIPLINARES:

1 y 2

GENÉRICAS:

4.1 y 8.3

4.- Realiza ejercicios y ejemplos en el pizarrón de los temas a desarrollar. Ecuaciones 2x2 y 3x3 (Diferentes métodos de solución) Ecuaciones de cuadráticas (Diferentes tipos y métodos de solución. Resuelve dudas. 6 sesiones

Toma nota de los ejemplos en el pizarrón y

pregunta dudas al respecto.

Libro de texto,

pizarrón plumones

Notas en el cuaderno y en

el pizarrón

No aplica

5.- Pide resolver actividades 15, 16 y 17 correspondientes a los temas : Sistemas de ecuaciones (Por Igualación, por sustitución, eliminación, matrices, gráfico) Sistemas de ecuaciones 3x3 (Solución por eliminación) Ecuaciones cuadráticas (Diferentes casos y métodos de solución) Durante el proceso resuelve dudas. 9 sesiones y extra clase

Resuelve actividades 15,16 y 17 del cuaderno de trabajo: Sistemas de

ecuaciones (Por Igualación, por

sustitución, eliminación, matrices, gráfico)

Ecuaciones cuadráticas (Diferentes casos y

métodos de solución) . Pregunta dudas



20%








No. de sesiones


(Aprendizaje)



DISCIPLINARES:

1 y 2

GENÉRICAS:

4.1 y 8.3

6.- Solicita a los alumnos resolver las actividades del anexo:

El auditorio 4 sesiones

Desarrolla la actividad de aplicación sobre los temas del tercer parcial.

Libro de texto, pizarrón plumones

Actividades

resueltas

10%

7.- El docente aplica la evaluación escrita al alumno 1 sesión

Realiza la evaluación Evaluación Examen 60%

8.- Se realiza visita a la Ciudad de Guanajuato, Mina el Nopal, Museo de la Inquisición, Museo de la Alhóndiga.

Realiza visita de acuerdo a lo planificado por el docente No aplica No aplica No aplica

9.- Se retroalimenta en plenaria sobre los

El alumno da sus puntos de vista sobre

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objetivos planeados y los alcances de la evaluación 1 sesión

los resultados de evaluación

No aplica

No aplica

No aplica









Evaluación




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RUBRICA GENERAL PARA EVALUAR 3er PARCIAL FASE DE APERTURA


PORCENTAJE 4% 3% 2% 1.5% 1%

1.- Reporte del

artículo “Las

matemáticas

explican cómo

se orienta la

mariposa

monarca”

Entrega a tiempo, Orden, limpieza y

ortografía adecuada.

Presenta el 100% de los elementos abordados en la

lectura da conclusiones de

la misma.





misma.





misma.





misma.



Presenta el 60% o menos de los

elementos abordados en la lectura no hay conclusiones


PORCENTAJE 6% 4% 3% 2% 1%

2.- Organizador

grafico sobre los

temas a

desarrollar en el

parcial

Entregó en tiempo y forma; El

organizador está conformado por

conceptos o ideas clave. Existe la

jerarquización de conceptos. Orden

y limpieza



conceptos o ideas clave. Existe la

jerarquización de conceptos.



conceptos o ideas clave.


organizador está conformado la mayor parte de

ideas clave.


organizador está no tiene orden ni expresa en el las

ideas clave.

FASE DE DESARROLLO


PORCENTAJE 20% 15% 10% 8% 5%

5.- Resolver actividades 15,

16 y 17



actividades


actividades



actividades

FASE DE CIERRE

ACTIVIDAD


PORCENTAJE 10% 8% 6%

4%

6.- Resolver Actividad

El auditorio



actividades


actividades


ACTIVIDAD VALOR DEL A EVALUACION 60%, PORCENTAJE



CALIFICACION TERCER PARCIAL

COEVALUACION

ACTITUDINAL

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Alumno:2 Nombre:

Alumno:3 Nombre:

Alumno:4 Nombre:




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Actividad 2

Noticias de la Ciencia y la Tecnología (Amazings® / NCYT®)

Sábado, 16 abril 2016

Entomología

Las matemáticas explican cómo se orienta

la mariposa monarca

Al finalizar el otoño, las mariposas monarca (Danaus archippus) emprenden el viaje más

largo de su vida. Estos insectos están genéticamente programados para volar más de 3.000

kilómetros hacia el suroeste desde el este de Norteamérica hasta el centro de México, donde

afrontan el invierno. En primavera, realizan la ruta inversa dirección noreste. Para navegar

sin desorientarse emplean una peculiar brújula solar de tiempo compensado que combina la

hora del día y la posición del sol.

“Las mariposas monarcas usan una brújula solar para su migración, pero la posición del sol

no es suficiente para determinar la dirección correcta. Necesitan combinar la información

con la hora del día para saber adónde dirigirse”, señala Eli Shlizerman, autora principal de

un estudio publicado en Cell Reports y científica en la Universidad de Washington en Seattle

(EE UU).

Estudios anteriores ya habían demostrado la habilidad de estos insectos para recorrer miles

de kilómetros guiándose por la luz solar y la posición del sol. Sin embargo, hasta ahora los

científicos no entendían cómo el cerebro de las mariposas monarcas recibe y procesa esta

información.

Aunque sus enormes y complejos ojos les permiten tomar el sol como referencia y sus

antenas alojan un mecanismo de cronometraje molecular, “no entendemos cómo este reloj

interno y su brújula solar se conectan de tal manera que se oriente su comportamiento de

vuelo”, apunta Steven Reppert, coautor del trabajo y neurocientífico en la Universidad de

Massachusetts Medical School (EE UU).

Para resolver esta cuestión neurológica, el equipo estadounidense, liderado por la

Universidad de Washington, ha creado un modelo matemático que reproduce los cálculos

internos de los animales para averiguar cómo se conectan neurológicamente los datos

procedentes de su brújula.

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Shlizerman, junto al matemático de la Universidad de Michigan, David Forger, desarrollaron

una serie de ecuaciones para monitorizar la actividad neuronal de las mariposas.

Tras estimar las tasas de disparo de las neuronas situadas en antenas y ojos, los

investigadores extrapolaron la manera en la que estas células del sistema nervioso que

propagan los impulsos pueden interactuar entre ellas en un modelo simplificado.

A continuación crearon ecuaciones que indican si un ángulo de vuelo concreto es correcto o

si la mariposa necesita dirigirse hacia la izquierda o la derecha para seguir la dirección

suroeste o noreste, cuando vuelven a Canadá en primavera. El modelo final predijo los

comportamientos reales de los insectos orientándose ellos mismos en un simulador de vuelo

en momentos diferentes del día. Así se logró reproducir todos los comportamientos de vuelo

de las monarca.

El principal hallazgo del estudio fue la existencia de un ángulo separador en el campo visual

de las monarca, “que le permite cambiar de posición a lo largo del día y marca la referencia

a partir de la cual debe hacer una rotación completa o reorientarse sola”, explican los autores.

Esta característica les permite controlar si giran a la izquierda o a la derecha para seguir su

rumbo.

Si este ángulo es estrecho, cercano al sol, cualquier mínima molestia en su vuelo –una ráfaga

de viento, por ejemplo– podría obligarla a girar sobre sí misma varias veces hasta volver a

orientarse hacia el suroeste. Si el ángulo es ancho, con el punto de rotación opuesto al sol, la

mariposa puede dirigirse eficientemente hacia la izquierda o la derecha para corregir su ruta

con cambios menores.

“Los más importante ahora es definir lo que describe el modelo en términos biológicos.

Podemos usar sus parámetros para diseccionar los circuitos implicados en la navegación de

estas mariposas”, concluye Reppert. (Fuente: SINC)

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Actividad 7 Actividad El auditorio

1.-En el auditorio de un pueblo hubo 600 personas en un evento, en total se recaudaron $13,000.00. El precio de admisión fue de $25.00 para los adultos y $15.00 para los niños.

a) Plantea un sistema de ecuaciones que represente los elementos que intervinieron en el evento.

b) Aplica el método por sustitución para resolver el sistema. c) Aplica el método por igualación y compara los resultados d) ¿Cuántos adultos y cuantos niños asistieron al evento?

2.- La suma de tres números es 4. El primero más dos veces el segundo más el tercero es 1. Tres veces el primero más el segundo menos el tercero es -2.

e) ¿Cuáles son los tres números?

3.- Para cercar una finca rectangular de 750 𝑚2, se han utilizado 110 m de malla. Calcula las dimensiones de la finca.

f) Determina la ecuación cuadrática que resulta del problema. g) Resuelve la ecuación por cualquier método

4.- Una fábrica desea construir charolas de dos diferentes tamaños con la característica siguiente: De largo sea el doble del ancho más 3 unidades, ¿Qué dimensiones deben tener las charolas para que cubran superficies de 560 𝑐𝑚2 y 1080 𝑐𝑚2?

5.- Se han consumido 3

4 de un tinaco. Luego de reponer 44 litros, se llenan

4

5 partes del mismo. ¿Cuál

es la capacidad del tinaco? 6.- Roberto compro 5 playeras del mismo valor y 4 pares de calcetines del mismo valor por $20.00. Más tarde regreso a la misma tienda y compro a los mismos precios 2 playeras y 6 pares de calcetines por $340.00

h) Plantea un sistema de ecuaciones que represente lo comprado. i) Resuélvelo por cualquier método. j) ¿Cuál es el precio de cada prenda?

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7.- Utiliza Geógebra para completar las tablas (x=calcetines, y=playeras)

Ecuación 1 Ecuación 2

x y x y

10 10

20 20

30 30

40 40

50 50

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Prof. Juan Luis Reséndiz Arteaga

REGLAMENTO DE CLASE.

DISCIPLINA

1. La entrada a clase debe ser puntual se te darán 5 min de tolerancia. 2. No se permite comer en el salón de clase 3. Solo se puede tomar agua dentro del salón de clase 4. Es OBLIGATORIO tener todo el material necesario para clase, (cuaderno de apuntes y cuaderno de

trabajo engargolado) 5. Debes cumplir con el 80% de asistencias en el semestre, de lo contrario tu calificación será reprobatoria

a pesar de que se entreguen todos los trabajos y apruebes los exámenes. 6. Los justificantes se deben presentar a la brevedad para poder hacer la revisión de trabajos y no

retrasarnos. 7. No se permite el uso del celular ni computadora personal durante las clases

ENTREGA DE TRABAJOS

1. Todos los trabajos del cuadernillo se realizaran durante la hora de clase, por ello es importante traerlo todos los días de clase.

2. Las actividades que se realicen se deben entregar limpias y los resultados marcados con un cuadro en color rojo.

3. No se revisan actividades que no se realicen en el cuaderno de trabajo 4. Se debe contar con el cuadernillo de trabajo de lo contrario no se revisarán las actividades. 5. Si se detectan realizando copias entre compañeros se reprueba el parcial de forma automática.

EXAMENES PARCIALES

1. Para tener derecho a examen parcial, es necesario: tener contestadas y calificadas todas las actividades del parcial.

2. No exceder el número de faltas permitidas por parcial.

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PRESENTACION.

El álgebra es una de las ramas principales de las matemáticas, su uso involucra distintas actividades de nuestra vida cotidiana, es la parte de las matemáticas analiza la combinación de elementos de estructuras abstractas con el uso de ciertas reglas.

El álgebra generaliza por ejemplo si tenemos 10 plumas y 5 gomas, algebraicamente podemos representarlas como 10p y 5g, por lo tanto el álgebra es una herramienta fundamental para el desarrollo de otras áreas de estudio, como la química, física, materias subsecuentes de matemáticas, etc.

No podemos dejar de mencionar que en el bachillerato las matemáticas son la materia que tiene un alto índice de reprobación, una de la principales causas de esto es que para aprender matemáticas se requiere la práctica, es por ello que en este material encontraras un compendio extenso de ejercicios que te servirán de apoyo para tu aprendizaje es esta materia.

Todo esto en conjunto con la planeación diseñada para el trabajo en base a este cuaderno de trabajo, en dicha planeación encontraras diversas actividades en las cuales aplicaras el álgebra en cuestiones de la vida cotidiana, así como el uso de las TICS y de diversas tecnologías que actualmente son de uso general, el presente material y planeación didáctica del mismo fueron realizadas en base a las necesidades que hemos observado de nuestros estudiantes en el salón de clases, esperando sean una herramienta que te permita desarrollar tus habilidades en esta materia y en otras en las que esta se aplica, y con ello reducir los índices de reprobación en la materias de matemáticas en el plantel.

“No creo que haya nada útil que los hombres puedan conocer con exactitud que no se

pueda saber mediante la aritmética y el álgebra.”

Jorge Luis Borges

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INDICE

TEMA PAGINA Expresión Algebraica Representación algebraica de expresiones en lenguaje común Interpretación de expresiones algebraicas Evaluación numérica de expresiones algebraica

……………………………………………………………………………... 5

Operaciones fundamentales Suma y resta Multiplicación División Potencia Raíz Leyes de exponentes y radicales

..……………………………………………………………………. 14

Productos Notables Binomio al cuadrado Binomio al cubo Binomios conjugados Binomios con término común Productos que dan suma o diferencia de cubos

………………………………………………………..………………… 29

Factorización Trinomio cuadrado perfecto Factor común Cuatrinomio cubo perfecto Trinomio cuadrado no perfecto de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 con a=1 Trinomio cuadrado no perfecto de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 con a≠1 Agrupación Diferencia de cuadrados Suma o diferencia de cubos

…………………………………...………………………………………. 35

Ecuaciones de primer grado ………………………………………………………………..…………... 43 Problemas que se resuelven con ecuaciones de primer grado

……………………………………………………………………………. 47

Sistemas de ecuaciones con 2 incógnitas Suma o resta (eliminación) Igualación Sustitución Determinantes

Grafico

………………………………..……………….………………………… 52

Sistemas de ecuaciones con 3 incógnitas Suma o resta (eliminación) ……………….………….…………………………………………….. 60 Ecuaciones cuadráticas Incompletas puras Despeje Fórmula general Incompletas mixtas Factorización Formula general Completas de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 con a=1

Factorización Completando el trinomio cuadrado perfecto Formula general Completas de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 con a≠1 Factorización Completando el trinomio cuadrado perfecto Formula general

………………….……………………………………………………..… 63

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A los árabes se debe el desarrollo de una de las más importantes ramas de la matemáticas: el Algebra. Al Juarismi, el más grande matemático musulmán, dio forma a esta disciplina. Nació en la ciudad Persa de Hwarizmi, conocida actualmente como Khiwa a fines del siglo VIII. Al-Gabr significa ecuación o restauración, el álgebra no es más que una teoría de las ecuaciones. Es la rama de las matemáticas que estudia la cantidad considerada del modo más general posible.

En aritmética, cuando solo efectuamos operaciones con números, se dice que empleamos el lenguaje numérico. En algebra, para lograr la generalización, las cantidades se representan por medio de letras las cuales pueden representar cualquier valor. De esta forma una letra a puede representar cualquier valor

Una ‘expresión algebraica’ es el resultado de combinar, mediante operaciones aritméticas uno o más términos algebraicos. Un ‘término algebraico’ es el producto de una o más variables (llamado factor literal) y una constante literal o numérica (llamada coeficiente). En todo término algebraico podemos distinguir: signo, coeficiente numérico y factor literal, tal como se muestra

LENGUAJE ALGEBRAICO. Con las cantidades algebraicas representadas por literales pueden hacerse las mismas operaciones que con los números aritméticos. VENTAJAS DEL LENGUAJE ALGEBRAICO.

El lenguaje algebraico es más preciso que el lenguaje numérico, se puede enunciar de una manera breve.

El lenguaje algebraico permite expresar relaciones y propiedades numéricas de carácter general, ejemplo: 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐

ORIGENES DEL ALGEBRA

1.-EXPRESION ALGEBRAICA

1.1 REPRESENTACIÓN ALGEBRAICA DE EXPRESIONES EN LENGUAJE

COMÚN.

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El lenguaje algebraico permite expresar números desconocidos y se pueden hacer operaciones aritméticas con ellos, por ejemplo: el triple de un número es -24, esto se expresa como 3𝑥 = −24

PRACTICA DE CLASE

Traduce a lenguaje algebraico las siguientes situaciones

1. El doble de un número.

2. El cuadrado de un número menos tres.

3. La suma de dos números.

4. La diferencia de los cuadrados de dos números

5. La mitad de un número.

6. El cuádruplo de un número.

7. El cociente de la suma de dos números sobre tres

8. El cociente de la suma de dos números sobre 3 veces el primer sumando.

9. La diferencia de los números es mayor que su cociente.

10. El triple del cuadrado de la diferencia de un binomio.

11. La suma del doble de un número con otro número.

12.El cubo de la raíz cuadrada de la suma de dos números

PRACTICA DE CLASE

Escribe en lenguaje común las siguientes expresiones algebraicas.

1.- 𝑎𝑏

2

2.- 2𝑛 + 1

3.- 2𝑎

7=2

7

4.- (𝑛 + 5)((𝑛 − 5)

5.- (𝑛 + 10)2

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Algebra Página 7


6.- (𝑛 − 1)3

7.- 4(𝑛 + 8)

8.- 5𝑛2 + 𝑛 + 6

9.- (3𝑛 + 2)2 + 5

10.- 𝑥2 + 1

𝑥3− 1

11.- 2𝑛 − 1

𝑛 + 3, 𝑛 ≠ −3

12.- 5𝑥 − 1 = 9

ACTIVIDAD 1 Expresa en lenguaje algebraico cada uno de los siguientes enunciados:

1. El 30% de un número.

2. El área de un rectángulo de base 3 cm y altura desconocida.

3. El perímetro de un rectángulo de base 3 cm y altura desconocida.

4. El doble del resultado de sumarle a un número entero su siguiente.

5. El triple del resultado de sumar un número con su inverso

6. El doble de la edad que tendré dentro de cinco años.

7. El quíntuplo del área de un cuadrado de lado x.

8. El área de un triángulo del que se sabe que su base es la mitad de su altura.

9. La mitad del resultado de sumarle 3 a un número.

10. La tercera parte del área de un rectángulo en el que la base mide el doble que la altura.

11. El cuadrado de la suma de dos números enteros consecutivos

12. La media de un número y su cuádruplo.

13. La cuarta parte de un número entero más el cuadrado de su siguiente.

14. El perímetro de un triángulo isósceles del que sabemos que su lado desigual mide 4 cm menos que cada uno de los dos lados iguales.

15. La diagonal de un cuadrado de lado x.

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Algebra Página 8


16. El doble de la edad que tenía hace 7 años.

17. La suma de un número con el doble de otro

18. El precio de una camisa rebajado en un 20%.

19. El área de un círculo de radio x.

20. La suma de tres números enteros consecutivos.

21. Tres números consecutivos suman 123

22. Si a un número le agregamos 12, el resultado es el doble de ese numero

23. Un circulo cuya área es igual a su perímetro

24. Un rectángulo cuyo perímetro es 1000 y su base es la quinta parte de la altura

25. La altura de un triángulo equilátero es igual a la raíz de la diferencia de uno de sus lados al cuadrado, menos la mitad del cuadrado de otro de sus lados

Expresa en lenguaje común las siguientes expresiones algebraicas:

26. 𝑥 + 5 = 12

27. 𝑥

5+ 2 = 6

28. (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)

29. 𝑥 + (𝑥 + 2) + (𝑥 + 4) = 1020

30. Escriba aquí la ecuación. 3𝑥 − (2𝑥 + 5) = 𝑥 + 4

31. 𝑥2 + 7𝑥 + 12 = 0

32. 3𝑛2 + 𝑛 + 2

33. 𝑥 − 8

5= 2𝑥2 + 𝑥 − 3

34. 𝑥2 + (𝑥 + 1)2

35. √𝑎 + 𝑏

𝑎 − 𝑏

36. (𝑎 + 𝑏

2)2

=

37. 𝑥2 − 2𝑥

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Algebra Página 9


38. 𝑥2 − 𝑦2

39. 𝑥

𝑦=1

5(𝑥 − 𝑦)

40. 4

3𝑧 + 2 = 𝑧

41. 3𝑦 − 2 = 25

42. 5𝑥 = 30

43. 𝑐

𝑐 + 1

44. 𝑥3 + 𝑦3

45. (𝑎 + 𝑏)2

46. 1

𝑥

47. 5

6𝑎

48. 3𝑥2

49. 2𝑎 − 11

50. 𝑥 + 3

Puede ser de dos clases: absoluto y con relación a una variable. La expresión 4𝑎 es de primer grado porque el exponente del factor literar es 1. El término 4𝑥2𝑦3 tiene grado cinco porque la suma de los exponentes de la parte literal es cinco. El grado de un término con respecto a una variable, es el exponente de dicha variable.

De esta forma el termino 4𝑥2𝑦3 es de segundo grado con respecto a la variable x y es de tercer grado con respecto a la variable y.

Monomio: Si tiene solo un término algebraico. Ejemplo: 5𝑥2𝑦𝑧2 Binomio: Si posee dos términos algebraicos. Ejemplo: 3 – 5𝑏 Trinomio: Si posee tres términos algebraicos. Ejemplo: 𝑎 + 5𝑏 − 19 Polinomio: Si posee más de un término algebraico. Ejemplo: 2𝑥 – 4𝑦 + 6𝑧 – 8𝑚 Termino independiente: Es el término que no tiene dicha variable. Ejemplo: 3

4𝑥3 − 𝑥2 + 3𝑥 + 5

El término independiente con respecto a la variable x es 5.

1.2 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

GRADO DE UN TÉRMINO

CLASIFICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

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Algebra Página 10


PRACTICA DE CLASE

Dadas las siguientes expresiones algebraicas, identifica, monomios, binomios, trinomios y polinomios

Termino Clasificación Orden descendente con respecto a

una letra

𝟒𝒂𝟒𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝟑𝒙 − 𝒂𝟒

𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟏

𝒂𝟐 + 𝟏

𝒙𝟑 +𝒙

𝒚

𝒙

𝟓

PRACTICA DE CLASE Dados los siguientes términos identifica sus elementos

Termino Signo Coeficiente Literal Grado

−𝟕𝒙𝟐

𝟓(𝒂𝟐 + 𝒃𝟐)

𝟐𝒂𝒃𝟐𝒄

−𝟑𝒙𝟐𝒚 𝒂

𝒃𝒙

ACTIVIDAD 2

Completa la siguiente tabla.

Polinomio Coeficientes Parte literal Grado

absoluto Grado con

respecto a x

1.- 𝟑𝒙𝟒 + 𝟐𝒙 − 𝟏

2.- 𝟑

𝟒𝒙𝟑𝒚

3.- 𝒙𝟑

𝟐+ 𝟓𝒚

4.- −𝟑

𝟒𝒙𝟐 + 𝟓𝒚 − 𝟕

5.- 𝟏. 𝟐𝟓𝒂𝟑𝒃𝟑

6.- 𝟖𝒙𝟑𝒚𝟐𝒛𝟐

7.- −𝟕𝒂𝟐

𝟑

8.- −𝟏

𝟐𝒙𝟑𝒚

9.- 𝟐

𝟑𝒙𝟕

10.- 𝟖𝒙𝟑𝒚𝟐𝒛𝟒

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Algebra Página 11


ACTIVIDAD 3 Completa la siguiente tabla

Expresión algebraica Clasificación Orden ascendente con

respecto a una letra

1.- −𝟓𝒙𝟑𝒚𝟐 − 𝟕𝒙𝟐𝒚𝟑

2.- 𝟔𝒙𝒚𝟒 − 𝟐𝒚𝟓 + 𝒙𝟐

3.- −𝟑𝒙𝟓𝒚𝟔 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝒚𝟐 + 𝒚𝟓 − 𝒙𝟑𝒚 + 𝟒𝒙𝟒𝒚𝟑

4.- 𝒎𝟐 + 𝟔𝒎−𝒎𝟑 +𝒎𝟒

5.- 𝟔𝒂𝒙𝟐 − 𝟓𝒂𝟑 + 𝟐𝒂𝟐𝒙 + 𝒙𝟑

6.- −𝒂𝟐𝒃𝟑 + 𝒂𝟒𝒃 + 𝒂𝟑𝒃𝟐 − 𝒂𝒃𝟒

7.- 𝒂𝟒 − 𝟓𝒂 + 𝟔𝒂𝟑 − 𝟗𝒂𝟐 + 𝟔 =

8.- −𝒙𝟖𝒚𝟐 + 𝒙𝟏𝟎 + 𝟑𝒙𝟒𝒚𝟔 − 𝒙𝟔𝒚𝟒 + 𝒙𝟐𝒚𝟖

9.- 𝒂𝟐𝒃𝟒 + 𝒂𝟒𝒃𝟑 − 𝒂𝟔𝒃𝟐 + 𝒂𝟖𝒃 + 𝒃𝟓

10.- 𝒚𝟏𝟐 − 𝒙𝟗𝒚𝟔 + 𝒙𝟏𝟐𝒚𝟒 − 𝒙𝟑𝒚𝟏𝟎

El valor numérico de una expresión algebraica es el resultado obtenido al sustituir las literales por los valores numéricos dados y efectuar las operaciones indicadas.

PRACTICA DE CLASE

Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones

Hallar el valor numérico para 𝒂𝟐 − 𝟓𝒂𝒃 + 𝟑𝒃𝟑, 𝒔𝒊 𝒂 = 𝟑 𝒚 𝒃 = 𝟒

Hallar el valor numérico para 𝟑𝒂

𝟒

𝟐−

𝟓𝒂𝒃

𝒙+

𝒃

𝒂𝒙 𝒔𝒊 𝒂 = 𝟐, 𝒃 =

𝟏

𝟑 , 𝒙 =

𝟏

𝟔

1.3 VALOR NUMERICO DE EXPRESIONES SIMPLES

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Algebra Página 12


ACTIVIDAD 4 Encuentra el valor numérico de las siguientes expresiones

𝒂 = 𝟏, 𝒃 = 𝟐, 𝒄 = 𝟑, 𝒎 = 𝟏

𝟐, 𝒏 =

𝟏

𝟑, 𝒑 =

𝟏

𝟒

1.- 𝟑𝒂𝒃 = 2 .- 𝟓𝒎 − 𝟐𝒏 + 𝟑𝒚 =

3.- 𝟓𝒂𝟐𝒃𝟑𝒄 = 4.- 𝒃𝟐𝒎𝒏 =

5.- 𝟐𝟒𝒎𝟐𝒏𝟑𝒑 = 6.- 𝟐

𝟑𝒂𝟒𝒃𝟐𝒎𝟑 =

7.- 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 = 8.- 𝒄𝟐 + 𝟐𝒄𝒅 + 𝒅𝟐 =

9.- 𝒂𝟐

𝟑−𝒃𝟐

𝟐+𝒎𝟐

𝟔= 10.-

𝟑

𝟓𝒄 −

𝟏

𝟐𝒃 + 𝟐𝒅 =

Encuentra el valor numérico de las siguientes expresiones para:

𝒎 = −𝟐, 𝒏 = 𝟑, 𝒑 =𝟏

𝟒, 𝒙 =

𝟏

𝟑, 𝒚 = 𝟏𝟎, 𝒛 =

𝟏

𝟐

11.- 𝟐𝒎 + 𝒏 = 12.- 𝒎− 𝒏+ 𝒚 =

13.- 𝟐𝒛 + 𝟔𝒙

𝒏 14.- 𝟓𝒎 − 𝟐𝒏 + 𝟑𝒚 =

15.- 𝒙 − 𝒛 − 𝒑 = 16.- 𝒎𝒏

𝟑𝟐− 𝒑𝒏 + 𝒛𝒏 =

17.- (𝟔𝒙 − 𝟐𝒑)(𝟑𝒎𝟐 − 𝒛𝟑) = 18.- 𝟐(𝒑 − 𝒙)

𝒛+𝒎𝟐 + 𝒏𝟐

𝒑=

19.- 𝟐√𝒑 − √𝟑

𝒙+ √

𝟐𝟒

𝟓𝒙𝒚 = 20.-

𝟓√𝒎𝟐𝒏𝟐

𝟐+𝟑√𝟔 + 𝒚

𝟒− 𝟑√𝒑 =

Se considera que dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas literales, o sea, iguales letras afectadas de iguales exponentes, no importa el signo ni el coeficiente. Ejemplo: Los términos 𝟑𝒙𝟐𝒚 y 𝟐𝒙𝟐𝒚 son semejantes porque tienen las mismas literales. Los términos 𝟒𝒂𝒃 y −𝟔𝒂𝟐𝒃 no son semejantes porque aunque tienen literales iguales, no tienen los mismos exponentes. La reducción de términos semejantes es una operación que tiene por objeto convertir en un solo término dos o más términos semejantes Para reducir términos semejantes se deben de tomar en cuenta las siguientes reglas:

1.4 TERMINOS SEMEJANTES

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· Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo.

Se suman los coeficientes, poniendo delante de la suma obtenida el mismo signo que tienen todos los términos y a continuación se escribe la parte literal. · Reducción de dos términos semejantes de distinto signo. Se restan los coeficientes, poniendo delante de esta diferencia el signo del mayor término y a continuación se escribe la parte literal. · Reducción de más de dos términos semejantes de distinto signo. Se reducen a un solo término todos los positivos y a un solo término todos los negativos y a los dos resultados obtenidos se restan sus coeficientes, poniendo delante de esta diferencia el signo del mayor término y a continuación se escribe la parte literal. SIGNOS DE AGRUPACIÓN. Los signos de agrupación se utilizan para indicar que las cantidades incluidas en ellos deben considerarse como un todo, o sea, una sola cantidad. Los signos de agrupación son de tres clases: el paréntesis ( ), el paréntesis angular o corchete [ ] y las llaves { }. Reglas para suprimir signos de agrupación. Para suprimir signos de agrupación precedidos por un signo positivo se deja el mismo signo que tenga cada una de las cantidades que se hallan dentro de él. Para suprimir signos de agrupación precedidos de un signo negativo se deberá cambiar el signo a cada una de las cantidades que se hallan dentro de él. Cuando algunos signos de agrupación están incluidos dentro de otros, se deberá suprimir de uno en uno en cada paso empezando por el más interior hasta suprimir los que están en los extremos.

Reglas Simplificar, suprimiendo los signos de agrupación y reduciendo los términos semejantes. 1) Para suprimir signos de agrupación precedidos de un signo negativo, se deberá cambiar el signo a cada una de las cantidades que se hallan dentro de él. 2) Para suprimir signos de agrupación precedidos por un signo positivo se deja el mismo signo que tenga cada una de las cantidades que se hallan dentro de él. 3) Reducción de dos términos semejantes de distinto signo. Se restan los coeficientes, poniendo delante de esta diferencia el signo del mayor término y a continuación se escribe la parte literal.

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Algebra Página 14


Reglas 1. Solo se pueden sumar o restar términos semejantes, esto significa tener las mismas letras y los

mismos exponentes, no importa el signo ni el coeficiente. 2. Los coeficientes se suma o restan de acuerdo a la ley de los signos 3. Las letras y exponentes se pasan igual 4. Signos iguales: Se deja el signo de ambos y se suman los coeficientes 5. Signos diferentes: Se deja el signo del mayor coeficiente, y se le resta el menor coeficiente.

PRACTICA DE CLASE

Reduce al mínimo mediante suma y resta los siguientes términos semejantes.

1.-

𝒂 + (𝒃 − 𝒄) + 𝟐𝒂 − (𝒂 + 𝒃) =

2.-

𝟓𝒙 + (−𝒙 − 𝒚) − [−𝒚 + 𝟒𝒙] + {𝒙 + 𝟔} =

3.-

𝒎+ (𝟒𝒏 − 𝟔) + 𝟑𝒎 − (𝒏 + 𝟐𝒎 − 𝟏) =

4.-

𝒙𝟐 − {−𝟕𝒙𝒚[−𝒚𝟐 + (−𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝒚 − 𝟐𝒚𝟐)]} =

2.- OPERACIONES FUNDAMENTALES

2.1 SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS ALGEBRAICOS

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Algebra Página 15


ACTIVIDAD 5

En tu cuaderno de trabajo suprime los signos de agrupación y reduce al mínimo los siguientes polinomios con términos semejantes.

1.- +(𝟐𝒂𝟐 − 𝒃𝟑 + 𝟕) =

2.- +(−𝟒𝒂𝒃 − 𝟓𝒙 + 𝟖) =

3.- −(𝟐𝒂𝒙 − 𝟖𝒚 − 𝟐) =

4.- −(−𝟐𝒂𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝒚) =

5.- 𝟑𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟓 + 𝟗𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟖 =

6.- 𝟖𝒂𝒃 − 𝟗𝒙 + 𝟒 − 𝟔𝒂𝒃 + 𝟗𝒙 + 𝟖 =

7.- 𝟕𝒂𝒙 + 𝟖𝒃𝟐 − 𝟑𝒚 + 𝟖𝒂𝒙 − 𝟏𝟐𝒃𝟐 + 𝟕𝒚 + 𝟗𝒂𝒙 − 𝟐𝒃𝟐 − 𝟓𝒚 =

8.- −𝒎−𝒎𝒏 +𝟏

𝟏𝟎𝒎 −𝒎𝒏 +𝒎𝒏 −𝒎 =

9.- (𝟐𝒂𝟐 − 𝟓𝒂 + 𝟗) + (𝟕𝒂𝟐 − 𝟗𝒂 − 𝟏𝟐) =

10.- (𝟐𝒂𝒃 − 𝟖𝒙 + 𝟓) + (𝟕𝒂𝒃 + 𝟒𝒙 − 𝟖) − (𝟔𝒂𝒃 + 𝟑𝒙 + 𝟏𝟐) =

11.- (𝟑𝒙𝒚 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟖) − (𝟒𝒙𝒚 + 𝟓𝒙𝟐 − 𝟓) =

12.- 𝟑𝒙𝟐 − [𝟖𝒙 − (𝟗𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙) + (𝟓𝒙𝟐 − 𝟒) − 𝟓𝒙 + 𝟖] =

13.- 𝟐𝒙 − {𝟒𝒙𝒚 − [(𝟐𝒙𝟐 + 𝟕𝒙) + (𝟐𝒙𝒚 − 𝟖𝒙𝟐) + 𝟑𝒙𝒚]} =

14.- 𝟒𝒂 − {𝟖𝒃 + [𝟓𝒂 − 𝟐𝒃 − (𝟒𝒂 − 𝟕𝒃)] + (𝟑𝒂 − 𝟐𝒃)} =

15.- 𝒙𝟐 − {−𝟕𝒙𝒚 + [−𝒚𝟐 + (−𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝒚 − 𝟐𝒚𝟐)]} =

16.- 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚𝟐) + [−𝒙𝟐 + 𝒚𝟐] =

17.- −(𝒙𝟐 − 𝒚𝟐) + 𝒙𝒚 + (−𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝒚)[−𝒚𝟐 + 𝒙𝒚] =

18.- 𝟒𝒙𝟐 + [−(𝒙𝟐 − 𝒙𝒚) + (−𝟑𝒚𝟐 + 𝟐𝒙𝒚) − (−𝟑𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)] =

19.- 𝒂 + {(−𝟐𝒂 + 𝒃) − (−𝒂 + 𝒃 − 𝒄) + 𝒂} =

20.- 𝒙𝟐 − {−𝟕𝒙𝒚[−𝒚𝟐 + (−𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝒚 − 𝟐𝒚𝟐)]} =

21.- 𝟓𝒙 + 𝟔𝒚 − (𝟑𝒙 + 𝒚) + 𝟑𝒛 − 𝒚(𝟑 + 𝟏) + (−𝟒𝒛 + 𝟒𝒚) =

22.- −[(𝟒𝒂𝒃 + 𝟓𝒂𝒛 − 𝟑𝒂) − 𝟐𝒂𝒛 + 𝒂𝒃 + 𝟕] + [−(𝟐𝒂𝒛 + 𝟑𝒂 − 𝟐) + 𝒂𝒛 − 𝟔𝒂] =

23.- −[−𝟐𝒎+ 𝟑𝒏 − (𝟓𝒏 + 𝟕𝒎) + 𝟑] + [(𝟐𝒎 + 𝟖𝒏) − (𝟏𝟎𝒏 − 𝟓) + 𝟒 − 𝟑𝒎] =

24.- [−(𝟖𝒙 − 𝟏𝟎𝒚) − (−𝟑𝒙 + 𝟒𝒚) − 𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟔𝒚] − [𝟓𝒚 − (𝟒𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟔) + (𝟑𝒚 − 𝟐)] =

25.- 𝟓𝒂 − {𝟑𝒃 − 𝟖𝒄 − [𝒂 + 𝟐𝒄 + 𝟔𝒃 − (𝒃 − 𝒄) − 𝟑𝒂] − 𝟓𝒄} =

26.- −{𝟒𝒎 − [𝒏 − 𝟔 − (𝟐𝒎 − 𝟒𝒏 + 𝟐) + 𝟕𝒏] − 𝟑𝒎} =

27.- (𝟑

𝟒𝒃 −

𝟓

𝟔𝒂 − 𝒙) − (

𝟏

𝟐𝒃 +

𝟏

𝟑𝒂 − 𝟑𝒙) =

28.- 𝑹𝒆𝒔𝒕𝒂𝒓 𝟖𝒙𝟑 − 𝟐𝒃 + 𝟓 𝒅𝒆 𝟑𝒙𝟑 − 𝟒𝒃 − 𝟏 =

29.- 𝑹𝒆𝒔𝒕𝒂𝒓 𝟐. 𝟓𝒂𝟒 − 𝟑. 𝟒𝒃𝟑 − 𝟐 𝒅𝒆 𝟖. 𝟑𝒂𝟒 + 𝟏. 𝟐𝒃𝟑 − 𝟓 =

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Algebra Página 16


30.- 𝑫𝒆 𝟔𝒂𝒃 − 𝟕𝒎 + 𝒛 𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂𝒓 𝟗𝒂𝒃 − 𝟐𝒎 + 𝟑𝒛 =

31.- 𝑫𝒆 𝟏

𝟑𝒙𝟑 +

𝟐

𝟓𝒙𝟐 −

𝟏

𝟐𝒙 𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂𝒓

𝟐

𝟓𝒙𝟑 +

𝟏

𝟑𝒙𝟐 +

𝟏

𝟐𝒙 =

32.- 𝑫𝒆 𝟐

𝟑𝒂 + 𝟕𝒃 −

𝟒

𝟑𝒄 + 𝒑 𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂𝒓

𝟓

𝟑𝒂 +

𝟏

𝟐𝒃 −

𝟏

𝟑𝒄 + 𝟗 =

33.- 𝑨 𝒍𝒂 𝒆𝒙𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊𝒐𝒏 𝟐

𝟑𝒂 + 𝟕𝒃 −

𝟒

𝟑𝒄 + 𝒑 𝒔𝒖𝒎𝒂𝒓

𝟓

𝟑𝒂 +

𝟏

𝟐𝒃 −

𝟏

𝟑𝒄 + 𝟗 =

34.- 𝑫𝒆 𝟓

𝟖𝒎 +

𝟏

𝟒𝒏 −

𝟒

𝟑𝒑 + 𝟒 𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂𝒓

𝟓

𝟑𝒎 +

𝟏

𝟐𝒏 −

𝟏

𝟑𝒑 + 𝟑 =

35.- 𝟐. 𝟓𝒙𝟐 + [(𝒙𝟐 − 𝟑. 𝟏𝒙) − (𝟓. 𝟐𝒙𝟐 + 𝟖. 𝟑𝒙)] =

36.- 𝟐

𝟑𝒎 − (

𝟏

𝟑𝒙 + 𝟐𝒚) − [𝟒𝒙 − (

𝟐

𝟓𝒚 + 𝟔𝒎)] =

37.- 𝟔𝒙𝟐 − {−𝟑𝒙 − (𝒙𝟐 + 𝟓) + 𝟖𝒙𝟐 − [𝟐 + (𝒙𝟐 + 𝟔𝒙)]} =

38.- 𝟖𝒃 − {(𝟓𝒃 − 𝒂) − [𝟑𝒂 − (𝒂 + 𝒃)]} − 𝟐𝒃 + 𝟑𝒂 =

39.- 𝟖. 𝟑𝒙 + (𝟐. 𝟑𝒚 + 𝟒𝒛) − [(𝟏. 𝟑𝒛 − 𝟖𝒚) − (𝟒. 𝟐𝒙 + 𝒚)] =

40.- [𝒂𝟐 − (𝟐𝒎 + 𝟑𝒃 − 𝟒)] + [𝟐𝒂𝟐 − (𝟑𝒃 − 𝟓 + 𝟕𝒎)] =

41.- 𝟐𝒃 + [−(𝟑𝒙 + 𝟖𝒚) + (−𝟓𝒙 + 𝟐𝒚) − (𝟔𝒃 + 𝟏𝟎𝒙)] =

42.- 𝟖

𝟑𝒂 − {

𝟏

𝟐𝒃 − (

𝟑

𝟓𝒂 − 𝒃) − [−

𝟏

𝟑𝒃 − (𝒂 −

𝟐

𝟑𝒃)]} =

43.- (𝟖𝒂𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐) − (𝟏

𝟓𝒂𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟓) − (−𝟔𝒂𝟐 −

𝟏

𝟐𝒙 − 𝟗) =

44.- 𝟔𝒙 − {𝟖𝒂 − [𝟗𝒃 + (𝟑𝒙 − 𝒃) − 𝒙 − 𝟖𝒂] − (𝟏𝟔𝒙 − 𝟑𝒂 + 𝟔𝒃)} =

45.- (𝟑𝒙𝟑 − 𝟔 + 𝒙 − 𝟐𝒙𝟐) + (𝒙𝟒 − 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐) =

46.- (𝟑𝒎𝟐𝒏 − 𝟐𝒎𝒏𝟐 − 𝟑𝒏𝟐 − 𝟖𝒎𝒏) + (𝟖𝒎𝟐𝒏 − 𝟔𝒎𝒏 + 𝟓𝒎𝟐 − 𝟒𝒎𝒏𝟐) =

47.- (𝒂𝒙 − 𝒂𝒚 − 𝒂𝒛) + (−𝟓𝒂𝒙 − 𝟔𝒂𝒛 − 𝟕𝒂𝒚) + (𝟖𝒂𝒛 + 𝟗𝒂𝒚 + 𝟒𝒂𝒙)

48.- (𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒚𝟐 − 𝟓𝒙𝒚) + (𝟑𝒙𝒚 − 𝟖𝒚𝟐 − 𝟓𝒙𝟐) + (𝟕𝒚𝟐 + 𝟗𝒙𝟐 − 𝟑𝒙𝒚) =

49.- (𝟏

𝟗𝒂𝟑 +

𝟑

𝟓𝒂𝒙𝟐 −

𝟐

𝟑𝒂𝒙𝟑) + (

𝟐

𝟕𝒂𝟐𝒙 +

𝟕

𝟒𝒂𝒙𝟐 −

𝟏

𝟗𝒂𝒙𝟑) + (−

𝟐

𝟑𝒂𝟑 −

𝟏

𝟑𝒂𝟐𝒙 −

𝟏

𝟒𝒂𝒙𝟒) =

50.- (𝟏

𝟒𝒖𝟐 −

𝟏

𝟐𝒗𝟐) + (

𝟏

𝟖𝒖𝟐 −

𝟏

𝟔𝒖𝒗) + (

𝟏

𝟑𝒖𝒗 −

𝟏

𝟐𝒗𝟐) =

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Algebra Página 17


Para multiplicar polinomios se utiliza la misma definición para monomios de manera general, se retoman las leyes de los exponentes, las leyes de los signos y la ley de los coeficientes.

Reglas 1. Los coeficientes se multiplican 2. Los exponentes de las letras iguales se suman

3. Al multiplicar signos iguales da positivo (+)(+) = + ; (−)(−) = +

4. Al multiplicar signos diferentes da negativo (+)(−) = + ; (+)(−) = +

Veremos tres casos que se pueden presentar al multiplicar

a) Monomio por monomio

(𝑎2𝑏𝑐3)(𝑎𝑏𝑐4) = 𝑎2+1𝑏1+1𝑐3+4 = 𝒂𝟑𝒃𝟐𝒄𝟕

b) Monomio por polinomio

Para multiplicar un término por varios términos, se debe multiplicar el término de afuera por los términos de adentro.

𝑥2𝑦 (5𝑥𝑦 + 3𝑥2𝑦 − 7) = 𝟓𝒙𝟑𝒚𝟐 + 𝟑𝒙𝟒𝒚𝟐 − 𝟕𝒙𝟐

4𝑎3𝑏(2𝑎2 − 5𝑎4𝑏2 + 3𝑏4) = 𝟖𝒂𝟓𝒃𝟐 − 𝟐𝟎𝒂𝟕𝒃𝟑 + 𝟏𝟐𝒂𝟑𝒃𝟓

c) Polinomio por polinomio

Para multiplicar un polinomio por otro, se multiplican cada uno de los términos del primer polinomio por todos los términos del otro, se simplifican los términos semejantes.

(3𝑥2𝑦 − 2𝑥𝑦2)(9𝑥4𝑦2 + 6𝑥3𝑦3 + 4𝑥2𝑦4) =

= 3(9)𝑥2+4𝑦1+2 + 3(6)𝑥2+3𝑦1+33(4)𝑥2+2𝑦1+4(−2)(9)𝑥1+4𝑦2+2(−2)(6)𝑥1+3𝑦2+3(−2)(4)𝑥1+2𝑦2+4

= 27𝑥6𝑦3 + 18𝑥5𝑦4 + 12𝑥4𝑦5 − 18𝑥5𝑦4 − 12𝑥4𝑦5 − 8𝑥3𝑦6

= 𝟐𝟕𝒙𝟔𝒚𝟑 + 𝟏𝟐𝒙𝟒𝒚𝟓 − 𝟏𝟐𝒙𝟒𝒚𝟓 − 𝟖𝒙𝟑𝒚𝟔

2.2 MULTIPLICACION DE TERMINOS ALGEBRAICOS

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Algebra Página 18


PRACTICA DE CLASE: Efectúa las siguientes multiplicaciones

𝟏.−(𝟑𝒙𝟑 − 𝒙𝟐)(−𝟐𝒙) =

𝟐.−(𝒂𝟑 − 𝟒𝒂𝟐 + 𝟔𝒂)(𝟑𝒂𝟐𝒃𝟐) =

𝟑.− (𝟏

𝟐𝒙𝟐 −

𝟏

𝟑𝒙𝒚 +

𝟏

𝟒𝒚𝟐) (

𝟐

𝟑−𝟑

𝟐𝒚) =

ACTIVIDAD 6

Efectuar en tu cuaderno de trabajo las multiplicaciones indicadas

1.- (𝟐𝒂𝟐𝒃)(𝟑𝒂𝟑𝒃𝟒) = 17.- (𝟖𝒙𝟐𝒚 − 𝟑𝒚𝟐)(𝟐𝒂𝟑) =

2.- (𝟓𝒙𝟐𝒚𝟒)(−𝟐𝒙𝟑𝒚) = 18.- (𝒂 + 𝟑)(𝒂 − 𝟏) =

3.- (𝟐𝒂𝟑𝒃𝟐)(−𝟑𝒂𝟐𝒃)(𝟒𝒂𝟐𝒃𝟑) = 19.- (𝒂 − 𝟑)(𝒂 + 𝟏) =

4.- (𝟑𝒙𝟐𝒚𝟑)(−𝟓𝒙𝟑𝒚)(−𝟐𝒙𝟒𝒚𝟓) = 20.- (𝟑𝒙𝟑 − 𝒙𝟐)(−𝟐) =

5.- (𝟐𝒂𝟐𝒃(𝟓𝒂𝒃 − 𝟑𝒂𝟑𝒃𝟐 + 𝟒) = 21.- (𝟏

𝟐𝒂 −

𝟐

𝟑𝒃) (

𝟐

𝟓𝒂𝟐) =

6.- −𝟖𝒂𝟒𝒃𝟐(𝟑𝒂𝟒𝒃𝟐 − 𝟓𝒂𝟐𝒃𝟓 + 𝟐𝒂) = 22.- (𝟑

𝟓𝒂 −

𝟏

𝟔𝒃 +

𝟐

𝟓𝒄) (−

𝟓

𝟑𝒂𝒄𝟐) =

7.- 𝟐𝒙𝟐𝒚𝟐(𝟓𝒂𝒙𝟐 − 𝟑𝒙𝒚𝟑 + 𝟒) = 23.- (𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟏)(𝒙 + 𝟑) =

8.- −𝟕𝒂𝟑𝒃𝟐(𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟓𝒂𝟒𝒃𝒄 − 𝟖) = 24.- 𝒎(𝒎 − 𝟒)(𝒎 − 𝟔)(𝟑𝒎 + 𝟐) =

9.- (𝟐𝒂 + 𝟑𝒃𝟐)(𝟐𝒂 − 𝟑) = 25.- (𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟏)(𝒙 − 𝟑) =

10.- (𝟓𝒂𝟐𝒃𝟐 + 𝟑𝒂𝟑𝒃)(𝟓𝒂𝟐𝒃𝟐 + 𝟑𝒂𝟑𝒃)

= 26.- (𝒙𝒏+𝟏 + 𝟐𝒙𝒏+𝟐 − 𝒙𝒏+𝟑)(𝒙𝟐 + 𝒙) =

11.- (𝟐𝒂 + 𝟑𝒃𝟐)(𝟒𝒂𝟐 − 𝟔𝒂𝒃𝟐 − 𝟗𝒃𝟒)

= 27.- (𝒙𝒏+𝟐 − 𝟐𝒂𝒏 + 𝟑𝒂𝒏+𝟏)(𝒂𝒏 + 𝒂𝒏+𝟏) =

12.- (𝟓𝒙𝟐 − 𝟐𝒂𝟑)(𝟐𝟓𝒙𝟒 + 𝟏𝟎𝒂𝟑𝒙𝟐

+ 𝟒𝒂𝟔) = 28.- 𝟒(𝒂 + 𝟓)(𝒂 − 𝟑) =

13.- (𝒂𝟑 + 𝟐𝒂𝟐 − 𝒂)(𝒂𝟑 − 𝟑𝒂𝟐 − 𝟓) = 29.- 𝟑𝒙(𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)(𝒙 + 𝟏) =

14.- (𝟑𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝟑𝒃 + 𝟒)(𝟑𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝟑𝒃

− 𝟒) = 30.- (𝒂 − 𝟑)(𝒂 − 𝟏)(𝒂 + 𝟒) =

15.- (𝒎𝟒 +𝒎𝟐𝒏𝟐 + 𝒏𝟒)(𝒎𝟐 − 𝒏𝟐) = 31.- (𝒂 − 𝒃)(𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐)(𝒂 + 𝒃) =

16.- (𝟏

𝟐𝒂 −

𝟏

𝟑𝒃) (

𝟏

𝟑𝒂 +

𝟏

𝟐𝒃) = 32.- (𝒙𝟐 + 𝟏)(𝒙𝟐 − 𝟏)(𝒙𝟐 + 𝟏) =

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Para realizar la división de polinomios con monomios se retoman las leyes de los exponentes, la ley de los coeficientes y las leyes de los signos. Y al multiplicar el cociente por el divisor se obtiene el dividendo.

Reglas 1. Los coeficientes se dividen 2. Los exponentes de las letras iguales se restan

3. Al dividir signos iguales da positivo +

+= + ;

−

−= +

4. Al dividir signos diferentes da negativo positivo −

+= − ;

+

−= −

Veremos tres casos que se pueden presentar al dividir

a) Monomio entre monomio

𝑎7

44= 𝑎7−4 = 𝒂𝟑

8𝑎4𝑏5𝑐

4𝑎𝑏3𝑐= 8

4𝑎4−1𝑏5−3𝑐1−1 = 𝟐𝒂𝟑𝒃𝟐

b) Polinomio entre Monomio

En este caso se divide cada uno de los términos del polinomio (dividendo) entre el monomio (divisor).

2𝑎2𝑏2 + 12𝑎3𝑏2 − 8𝑎4𝑏3

2𝑎𝑏= 2𝑎2𝑏2

2𝑎𝑏+12𝑎3𝑏2

2𝑎𝑏−8𝑎4𝑏3

2𝑎𝑏= 𝒂𝒃 + 𝟔𝒂𝟐𝒃 − 𝟒𝒂𝟑𝒃𝟐

5𝑥3𝑦 − 15𝑥2𝑦2 + 25𝑥4𝑦

−5𝑥2𝑦3=

5𝑥3𝑦

−5𝑥2𝑦3−−15𝑥2𝑦2

−5𝑥2𝑦3++25𝑥4𝑦

−5𝑥2𝑦3= −

𝒙

𝒚𝟐+𝟑

𝒚−𝟓𝒙𝟐

𝒚𝟐

c) Polinomio entre polinomio

En esta operación se utilizan las reglas de suma, multiplicación y división.

Regla:

1. Se divide el primer termino de adentro entre el primer termino de afuera 2. El termino resultante se multiplica por todos los términos de afuera 3. Se le cambia el signo y se suman con los términos semejantes de adentro 4. Los términos deben estar ordenados de mayor a menor con respecto a una letra 5. Se repite la regla las veces que sea necesario.

2.3 DIVISION DE TERMINOS ALGEBRAICOS

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Algebra Página 20


PRACTICA DE CLASE. Dividir:

1.-

𝒂𝟐𝒃 ÷ 𝒂𝒃 =

2.-

(𝟑𝒙𝟐𝒚 − 𝟓𝒂𝟐𝒙𝟒) ÷ (−𝟑𝒙𝟐) =

3.-

(𝟐𝟖𝒙𝟐 − 𝟑𝟎𝒚𝟐 − 𝟏𝟏𝒙𝒚) ÷ (𝟒𝒙 − 𝟓𝒙) =

ACTIVIDAD 7 Efectuar en tu cuaderno de trabajo las divisiones indicadas

1.- (𝒂𝟒𝒃𝟐𝒄𝟓) ÷ (𝒂𝒃𝒄𝟐) =

2.- (𝟔𝒙𝟐𝒚𝟓) ÷ (𝟐𝒙𝒚𝟐) =

3.- (𝟏𝟒𝒂𝟐𝒃𝟑𝒄) ÷ (−𝟏𝟒𝒂𝟐𝒃𝟑𝒄) =

4.- (𝟗𝒂𝟐𝒃𝟓𝒄) ÷ (−𝟑𝒂𝟓𝒃𝒄𝟒) =

5.- (𝟏𝟖𝒙𝟑𝒚𝟒𝒛) ÷ (𝟐𝒙𝟓𝒚𝒛𝟐) =

6.- (𝟐𝒙𝟑𝒚𝟒𝒛𝟐) ÷ (−𝟏𝟐𝒙𝟓𝒚𝟐𝒛𝟒) =

7.- 𝟏𝟐𝒂𝟑𝒃𝟐𝒄 + 𝟔𝒂𝟐𝒃𝟑𝒄𝟒 − 𝟐𝒂𝒃𝟐𝒄𝟑) ÷ 𝟐𝒂𝟐𝒃𝒄 =

8.- (𝟕𝒙𝟐𝒚𝟐 − 𝟐𝟏𝒙𝟑𝒚𝟒 + 𝟏𝟒𝒙𝟑𝒚𝟓𝒛) ÷ (𝟕𝒙𝟐𝒚) =

9.- (𝟒𝒂𝟐𝒃𝟒 + 𝟖𝒂𝟓𝒃𝟑𝒄 − 𝟏𝟐𝒂𝟑𝒃𝟐𝒄𝟒) ÷ (𝟒𝒂𝟓𝒃𝟑𝒄𝟐) =

10.- (𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟏𝟐) ÷ (𝒙 + 𝟑) =

11.- (𝟔𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟓) ÷ (𝟑𝒙 + 𝟓) =

12.- 𝟏𝟖𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟒) ÷ (𝟑𝒙 + 𝟏) =

13-. (𝟏𝟐𝒂𝟐𝒃𝟐 − 𝟏𝟔𝒂𝒃𝒙 + 𝟓𝒙𝟐) ÷ (𝟐𝒂𝒃 − 𝒙) =

14.- 𝟏𝟒𝒙𝟑 − 𝟏𝟓𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙) ÷ (𝟐𝒙 − 𝟑) =

15.- (𝟔𝒂𝟐𝒙𝟑 − 𝒂𝒃𝒙𝟐 − 𝟐𝒃𝟐𝒙) ÷ (𝟐𝒂𝒙 + 𝒃) =

16.- (𝟏𝟎𝒂𝟒 + 𝟏𝟏𝒂𝟑 − 𝟔𝒂𝟐 + 𝟔𝒂 + 𝟗) ÷ (𝟐𝒂 + 𝟑) =

17.- (𝟒𝒂𝟑𝒃𝟑 + 𝟔𝒂𝟐𝒃𝟐 + 𝟏𝟎𝒂𝒃 − 𝟐𝒂𝟐𝒃𝟑 − 𝟑𝒂𝒃𝟐 − 𝟓𝒃) ÷ (𝟐𝒂𝒃 − 𝒃) =

18.- (𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟏𝟎) ÷ (𝒙 − 𝟒) =

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Algebra Página 21


La potenciación es una operación que permite escribir de forma abreviada una multiplicación de factores iguales. Tiene múltiples aplicaciones, por ejemplo se sabe que la mayor parte de las bacterias se reproducen por bipartición. Bajo condiciones óptimas, la bacteria Escherichia coli se puede dividir una vez cada 20 minutos, si tenemos una bacteria al cabo de 20 minutos tendremos 2, al pasar 40 minutos 4, etc.

Potencia de una expresión algebraica es el resultado de tomarla como factor dos o más veces.

La primera potencia de una expresión es la misma expresión: (𝟐𝒂)𝟏 = 𝟐𝒂 La segunda potencia o cuadrado de una expresión es el resultado de tomarla como factor dos veces: (𝟐𝒂)𝟐 = 𝟐𝒂 ∙ 𝟐𝒂 = 𝟒𝒂𝟐 El cubo de una expresión es el resultado de tomarla como factor 3 veces: (𝟐𝒂)𝟑 = 𝟐𝒂 ∙ 𝟐𝒂 ∙ 𝟐𝒂 = 𝟖𝒂𝟑. En general (𝟐𝒂)𝒏 = 𝟐𝒂 ∙ 𝟐𝒂 ∙ 𝟐𝒂…𝒏 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔

Reglas 1. Los coeficientes se elevan a la potencia 2. Los exponentes se multiplican por la potencia 3. Signos: Si la cantidad es negativa y se eleva a una potencia impar el resultado será negativo, en

cualquier otro caso el resultado será positivo.

19.- (𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟕) ÷ (𝒙 − 𝟒) =

20.- (𝟐𝟖𝒙𝟐 − 𝟑𝟎𝒚𝟐 − 𝟏𝟏𝒙𝒚) ÷ (𝟒𝒙 − 𝟓𝒚) =

21.- (𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎) ÷ (𝒙 + 𝟓)

22.- (𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟒) ÷ (𝒙 − 𝟐) =

23.- (𝒂𝟐 − 𝒂𝒃) ÷ 𝒂 =

24.- (𝟑𝒙𝟐𝒚𝟑 − 𝟓𝒂𝟐𝒙𝟒) ÷ (−𝟑𝒙𝟐) =

25.- (𝟑𝒂𝟑 − 𝟓𝒂𝒃𝟐 − 𝟔𝒂𝟐𝒃𝟑) ÷ (−𝟐𝒂) =

26.- (𝟏

𝟐𝒙𝟐 −

𝟐

𝟑𝒙) ÷ (−

𝟑

𝟓) =

27.- (𝟏

𝟑𝒂𝟑 −

𝟑

𝟓𝒂𝟐 +

𝟏

𝟒𝒂) ÷ (−

𝟑

𝟓) =

28.- (𝟏

𝟒𝒎𝟒 −

𝟐

𝟑𝒎𝟑𝒏 +

𝟑

𝟖𝒎𝟐𝒏𝟐) ÷ (

𝟏

𝟒𝒎𝟐) =

29.- (𝟏

𝟑𝒙𝟑 −

𝟑𝟓

𝟑𝟔𝒙𝟐𝒚 +

𝟐

𝟑𝒙𝒚𝟐 −

𝟑

𝟖𝒚𝟐) ÷ (

𝟐

𝟑𝒙 −

𝟑

𝟐𝒚) =

30.- (𝟏

𝟔𝒂𝟐 +

𝟓

𝟑𝟔𝒂𝒃 −

𝟏

𝟔𝒃𝟐) ÷ (

𝟏

𝟑𝒂 +

𝟏

𝟐𝒃) =

31.- (𝒂𝟐 + 𝟐𝒂 − 𝟑) ÷ (𝒂 + 𝟑) =

32.- (𝒙𝟐 − 𝟐𝟎 + 𝒙) ÷ (𝒙 + 𝟓)

2.4 POTENCIACION DE TERMINOS ALGEBRAICOS

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Algebra Página 22


ACTIVIDAD 8 Efectuar en tu cuaderno de trabajo las potencias indicadas

1.- (2𝑎2)2 = 17.- (−3𝑥2𝑦)5 =

2.- (3𝑎2𝑏3)2 = 18.- (4𝑎2𝑏)3 =

3.- (−5𝑎4𝑏)2 = 19.- (−5𝑥3𝑦4)3 =

4.- (−7𝑥2𝑦)3 = 20.- (−2𝑎2𝑏2)4 =

5.- (2𝑎4𝑏2)4 = 21.- (−3𝑎3𝑏4)2 =

6.- (𝑎𝑚𝑏𝑛)𝑥 = 22.- (−2𝑥3𝑦5𝑧6)4 =

7.- (−𝑚2𝑛𝑥3)4 = 23.- (7𝑥5𝑦6𝑧8)2 =

8.- (−𝑥

2𝑦)2

= 24.- (−𝑎𝑏2

5)

3

=

9.- (−2𝑚

𝑛2)3

= 25.- (−3𝑥2

4𝑦)

2

=

10.- (−2𝑎𝑏2

3𝑚3)

4

= 26.- (−3𝑎𝑏2𝑥6

2𝑚𝑛4)

5

=

11.- (4𝑎2)2 = 27.- (4𝑎2𝑏3𝑐4)3 =

12.- (−2𝑎𝑏

3𝑚3)4

= 28.- (−3𝑥2

4𝑦)

2

=

13.- (𝑎𝑏2

5)

3

= 29.- (−2𝑚

𝑛2)3

=

14.- (−𝑥

2𝑦)2

= 30.- (7𝑥5𝑦6𝑧8)2

15.- (−2𝑥3𝑦5𝑧6)2 = 31.- (−2𝑥2𝑦3)2 =

16.- (𝑎𝑛𝑏𝑛)𝑥 = 32.- (−6𝑎2𝑏)2 =

Ejemplos: Desarrollar: (3𝑎𝑏2)3 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 𝑎1∙3 ∙ 𝑏2∙3 = 𝟐𝟕𝒂𝟑𝒃𝟔 Desarrollar: (−3𝑎2𝑏3)2 = (−3) ∙ (−3) ∙ 𝑎2∙2 ∙ 𝑏3∙2 = 𝟗𝒂𝟒𝒃𝟔

PRACTICA DE CLASE: Elevar a la potencia indicada

1.- (𝟓𝒂𝟐𝒃)𝟑 =

2.- (−𝟓𝒙𝒚𝟑𝒎𝟒)𝟓 =

3.- (𝟑𝒂𝟐𝒃𝟓𝒄𝟒)𝟒=

CO

PIA

IMP

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Algebra Página 23


Raíz de una expresión algebraica que, elevada a una potencia, se obtiene la misma expresión dada, de esta forma (2𝑎)2 = 4𝑎2, el signo de raíz es √ , llamado radical, dentro de este signo se coloca la cantidad a la que se le extrae la raíz, llamada cantidad subradical. El signo √ lleva un índice que nos indica la potencia a la que hay que elevar la raíz para que produzca la cantidad subradical, cuando el símbolo radical no lleva índice se entiende que su índice es 2.

Reglas 1. Se extrae raíz a los coeficientes 2. Los exponentes se dividen entre el índice de la raíz


1.- √𝟏𝟔𝒂𝟖𝒃𝟏𝟔𝟒

=

2.- √𝟔𝟒𝒂𝟏𝟐𝒃𝟏𝟖𝒄𝟑𝟎𝟔

=

3.- √𝟐𝟕𝒂𝟑𝒃𝟗𝟑

=

ACTIVIDAD 9 Efectuar en tu cuaderno de trabajo las raíces indicadas

1.- √𝟏𝟔𝒂𝟒𝒃𝟐 = 2.- √𝟒𝟗𝒂𝟖𝒃𝟐 = 3.- √𝟐𝟓𝒙𝟐𝒚𝟖 = 4.- √−𝟑𝟐𝒙𝟓𝒚𝟐𝟎𝟓

=

5.- √𝟐𝟕𝒙𝟔𝒚𝟏𝟐𝟑

= 6.- √𝒂𝟑𝒃𝟑𝟑

= 7.- √−𝟏𝟐𝟓𝒂𝟑𝒚𝟔𝟑

= 8.- √𝟔𝟒𝒙𝟐𝒚𝟔 =

9.- √𝟏𝟔𝒂𝟒𝒃𝟖𝟒

= 10.- √𝟔𝟒𝒙𝟑𝒚𝟔𝟑

= 11.- √−𝟖𝒂𝟑𝒃𝟔𝒙𝟏𝟐𝟑

= 12.- √𝟏𝟎𝟎𝟎𝒙𝟗𝒚𝟏𝟖𝟑

=

13.- √𝟔𝟒𝒂𝟏𝟐𝒃𝟏𝟖𝒄𝟑𝟎𝟔

= 14.- √𝟒𝟗𝒂𝟐𝒏𝒃𝟒𝒏 = 15.- √−𝒙𝟓𝒏𝒚𝟏𝟎𝒙 =𝟓

16.- √𝟗𝒂𝟐

𝟐𝟓𝒙𝟒=

17.- √−𝟐𝟕𝒂𝟑

𝟔𝟒𝒙𝟗

𝟑

= 18.- √𝒂𝟓𝒃𝟏𝟎

𝟑𝟐𝒙𝟏𝟓

𝟓

= 19.- √𝒂𝟖

𝟖𝟏𝒃𝟒𝒄𝟏𝟐

𝟒

= 20.- √𝟏𝟐𝟓𝒂𝟓𝒙−𝟏𝟎𝒃𝟔𝟎𝒚−𝟏𝟎𝟓

=

21.- √−𝟐𝟒𝟑𝒎𝟓𝒏𝟏𝟓𝟓

= 22.- √𝒂𝟏𝟐𝒎𝒃𝟑𝟎𝒏𝟔

= 23.- √−𝟐𝟕𝒂𝟑𝒎𝒃𝟗𝒏𝟑

= 24.- √𝟔𝟖𝒂𝟖𝒃𝟐𝟎 =

25.- √−𝟏

𝟐𝟕𝒙𝟑𝒎+𝟑𝒚𝟔𝒏

𝟑

= 26.- √𝟐𝟓

𝟒𝒙𝟐𝒎𝒚𝟔𝒏 = 27.- √

𝟒

𝟗𝒂𝟔𝒃𝟒

𝟑

= 28.- √𝟐𝟕𝒂𝟔𝒎𝒃𝟏𝟐𝒏𝟑

=

29.- √−𝟏𝟐𝟓𝒙𝟗

𝟐𝟏𝟔𝒎𝟏𝟐

𝟓

= 30.- √𝟏𝟐𝟖

𝒙𝟒

𝟕

= 31.- √𝟗𝒂𝟐

𝟐𝟓𝒙𝟒= 32.- √

𝒂𝟏𝟖

𝒃𝟗𝒄𝟐𝟕=

𝟗

2.5 RADICACION DE TERMINOS ALGEBRAICOS

CO

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NO

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Algebra Página 24


Las leyes de los exponentes no es más que sumar, multiplicar o dividir exponentes. Solo necesitamos saber en qué momento tenemos que hacer cada operación. Un exponente se puede definir como el número que define la cantidad de veces que se tiene que multiplicar un factor por sí mismo.

LEYES DE LOS EXPONENTES

LEY EJEMPLO DESCRIPCIÓN

1 𝒙𝟏 = 𝒙 𝟓𝟏 = 𝟓 Toda base de exponente 1 será la misma base.

2 𝒙𝟎=1 𝟒𝟎 = 𝟏 Toda base de exponente cero, su resultado será siempre 1

3 𝒙−𝟏 =𝟏

𝒙 𝟔−𝟏 =

𝟏

𝟔

Toda base de exponente a la -1 su resultado será su reciproco

4 𝒙𝒎𝒙𝒏 = 𝒙𝒎+𝒏 𝒙𝟐𝒙𝟒 = 𝒙𝟐+𝟒 = 𝒙𝟔 Al multiplicar potencias con la misma base, por ley de exponentes tenemos que sumar los exponentes.

5 𝒙𝒎

𝒙𝒏= 𝒙𝒎−𝒏

𝒙𝟔

𝒙𝟐= 𝒙𝟔−𝟐 = 𝒙𝟒

Cuando dividimos potencias donde su base es igual, debemos restar los exponentes, al exponente del numerador restaremos el exponente del denominador.

6 (𝒙𝒎)𝒏 = 𝒙𝒎𝒏 (𝒙𝟑)𝟐= 𝒙𝟑∙𝟐 = 𝒙𝟔

Al elevar una potencia a otra potencia, se mantiene la base y se multiplican los exponentes

7 (𝒙𝒚)𝒏 = 𝒙𝒏𝒚𝒏 (𝒙𝒚)𝟐 = 𝒙𝟐𝒚𝟐 El producto de uno o más factores que se elevan todos a la vez a un exponente es igual a un producto de cada factor elevado al exponente.

8 (𝒙

𝒚)𝒏

=𝒙𝒏

𝒚𝒏 (

𝒙

𝒚)𝟑

=𝒙𝟑

𝒚𝟑

El cociente de uno o más factores que se elevan todos al a vez a un exponente, es igual al cociente de cada factor elevado al exponente.

9 𝒙−𝒏 =𝟏

𝒙𝒏 𝒙−𝟐 =

𝟏

𝒙𝟐

Toda base de exponente negativo su resultado será su reciproco

10 𝒙𝒎𝒏 = √𝒙𝒎

𝒏 𝒙

𝟑𝟒 = √𝒙𝟑

𝟒

Cuando la base esta elevada a un exponente fraccionario, su resultado será un radical, como radicando la base elevada al numerador del exponente fraccionario y como índice el denominador.

2.6 LEYES DE LOS EXPONENTES Y RADICALES

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Algebra Página 25


La radicación es la operación inversa de la potenciación y permite hallar la base correspondiente conociendo las potencias y el exponente.

Se puede expresar un radical en forma de potencia.

POTENCIAS Y RADICALES

Ejemplos:

𝑅𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙 √𝑥𝑚𝑛

= 𝑥𝑚𝑛 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎

RADICALES EQUIVALENTES

Utilizando la notación del exponente fraccionario y la propiedad de las fracciones, el cual dice que si se

multiplica numerador y denominador por un mismo número la fracción es equivalente, obteniendo:

Ejemplos:

𝑥𝑚𝑛 = 𝑥

𝑘𝑚𝑘𝑛 ∴ √𝑥𝑚

𝑛= √𝑥𝑘∙𝑚

𝑘∙𝑛

LEYES DE LOS RADICALES

Raíz de un numero

√𝑥𝑛

= 𝑥1𝑛 √8

3= √23

3= 2

33 = 2

Potencia de un radical

(√𝑥𝑛)𝑚= √𝑥𝑚

𝑛= 𝑥

𝑚𝑛 (√4

2)6= √46

2= 4

62 = 43 = 64

Producto de radicales con el mismo índice radical

√𝑥𝑛

∙ √𝑦𝑛 = √𝑥 ∙ 𝑦

𝑛 √33

∙ √93

= √3 ∙ 93

= √273

= 3

División de radicales con un mismo índice radical

√𝑥𝑛

√𝑦𝑛

= √𝑥

𝑦

𝑛=𝑥1𝑛

𝑦1𝑛

∴ 𝑦 ≠ 0 √83

√273 = √

8

27

3

=813

2713

=2

3

Raíz de raíces

√√𝑥𝑛𝑚

= √𝑥𝑚∙𝑛

√√6423

= √643∙2

= √646

= 2

CO

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RE

SA

NO

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NTR

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Algebra Página 26


Ejemplos

Raíz de un numero

√52

= 512

√273

= √333

= 333 = 3

√31255

= √555

= 555 = 5

Potencia de radical

(√32)8= √38

2= 3

82 = 34 = 81

(√64)12= √612

4= 6

124 = 63 = 216

Producto de radicales con un mismo índice radical

√1254

∙ √54

= √125 ∙ 54

= √6254

= 5

√590496

∙ √96

= √59049 ∙ 96

= √5314416

= 9

División de radicales con un mismo radical

√814

√2564 = √

81

256

4

=81

14

25614

=3

4

√466566

√1176496 = √

46656

117649

6

=46656

16

11764916

=6

7

Raíz de raíces

√√25622

= √2562∙2

= √2564

= 4

√√195312533

= √19531253∙3

= √19531259

= 5

Suma y resta con radicales del mismo índice (se suman o se restan los coeficientes)

3√2 + 2√2 + 5√2 = 10√2

5√4 − 2√5 + 2√4 − 3√5 = 7√4 − 5√5

Sumas y restas del mismo índice, diferente radicando (por descomposición de factores primos

de los radicandos)

2√12 − 3√75 + √27 Paso 1: Se descomponen en números primos los radicandos 𝐷𝑒 12 𝑠𝑜𝑛: 2 ∙ 2 ∙ 3 = 22 ∙ 3 𝐷𝑒 75 𝑠𝑜𝑛: 3 ∙ 5 ∙ 5 = 3 ∙ 52 𝐷𝑒 27 𝑠𝑜𝑛: 3 ∙ 3 ∙ 3 = 33 Paso 2: Se sustituyen los radicandos por los factores primos 2√22 ∙ 3 − 3√3 ∙ 52 + 2√33

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

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Algebra Página 27


Paso 3: Los radicandos de convierten a potencias de 2, porque el índice de la raíz es 2 2√22 ∙ 3 − 3√3 ∙ 52 + 2√32 ∙ 3 Paso 4: Se extraen las potencias de 2 del radical para tener radicandos iguales 2 ∙ 2√3 − 3 ∙ 5√3 + 2 ∙ 3√3 Paso 5: Se realizan operaciones: 4√3 − 15√3 + 6√3 = −5√3


1.- √𝟏𝟐 − 𝟑√𝟑 + 𝟐√𝟕𝟓 =

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

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Algebra Página 28


ACTIVIDAD 10 Efectuar en tu cuaderno de trabajo los siguientes ejercicios aplicando las leyes de exponentes y

radicales

1.- 𝟓𝟐 + 𝟎𝟓𝟕 = 2.- (−𝟓)𝟏 + 𝟒𝟐 = 3.- (−𝟏𝟎)𝟏

(−𝟐)𝟓= 4.- 𝟑𝟐 ∙ 𝟑𝟏 =

5.- (−𝟗)𝟐 − 𝟐𝟑 = 6.- (−𝟐)𝟐

(−𝟐)𝟒= 7.- (−𝟏)𝟖 − 𝟏𝟕𝟏= 8.- 𝟎. 𝟔𝟐 − (

𝟑

𝟓)𝟑

=

9.- (𝟏

𝟗)𝟏

÷ (𝟏

𝟗)𝟐

= 10.- (𝟐

𝟕)𝟐

∙ (𝟏

𝟑)𝟑

= 11.- 𝟒𝟐 + 𝟎. 𝟗𝟏 = 12.- (𝟒

𝟗)𝟐

∙ (𝟑

𝟒)𝟏

=

13.- 𝒙−𝟑 = 14.- (𝒙−𝟓)𝟑= 15.-

𝒙𝟓

𝒙−𝟐= 16.-

𝒚𝟐

𝒚𝟓=

Convierte el radical a potencia

17.- √𝟔𝟐

= 18.- √𝟖𝟏𝟒

= 19.- √𝟏𝟎𝟐𝟒𝟓

= 20.- √𝟖𝟑

=

Efectúa las sumas y restas siguientes

21.- 𝟑√𝟓 + 𝟒√𝟓 = 22.- 𝟓√𝟑𝒙 + 𝟔√𝟑𝒙

− 𝟏𝟎√𝟑𝒙 = 23.-

𝟒√𝟕 − 𝟖√𝟕 − 𝟔√𝟕

− 𝟐√𝟕 = 24.- 𝒂√𝟒𝒃 + √𝒂𝟐𝒃 + √𝟐𝟓𝒂𝟐𝒃 =

Realiza las siguientes multiplicaciones

25.- √𝟑 ∙ √𝟔 = 26.- √𝟏𝟐𝟑

∙ √𝟔𝟑

= 27.- √𝒙𝒚𝟑 ∙ √𝒙𝒚 = 28.- √𝒂𝟑𝟒

∙ √𝟐𝒂𝟐𝟒

∙ √𝟖𝒂𝟐𝟒

=

Realiza las siguientes divisiones

29.- √𝒎𝟔𝒏𝟓𝟒

√𝒎𝟒𝒏𝟒 = 30.-

√𝒙𝟖𝒚𝟏𝟓𝟔

𝒙𝒚𝟐= 31.-

√𝟒𝟕𝒂𝟕𝒃𝟒𝒄𝟑𝟐

√𝟓𝒂𝒄𝟐 = 32.-

√𝟏𝟐𝟖𝒙𝟓𝒚𝟒

√𝟖𝒙𝟒𝒚𝟐=

Realiza las siguientes operaciones

33.- −𝟐√𝟖 + 𝟑√𝟏𝟔𝟐 − 𝟒√𝟓𝟎 + √𝟗𝟖 − 𝟑√𝟑𝟐 = 34.- 𝟓√𝟏𝟖 − 𝟐√𝟏𝟐 − 𝟑√𝟐 + 𝟐√𝟑𝟔𝟑 =

35.- √𝟐𝟑

∙ √𝟑𝟓

= 36.- √𝟓𝟐𝟑

∙ √𝟐𝟑 = 37.- √𝟑𝟑 𝟓

∙ √𝟑𝟐𝟒

= 38.- 𝟕𝟐√𝒙𝟓𝒚𝟕

𝟑

−𝟗√𝒙𝒚𝟑𝟒

=

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

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Algebra Página 29


Proposición: Al cortar al azar una línea recta, el cuadrado de la recta entera es igual a los cuadrados de los segmentos y dos veces el rectángulo comprendido por los segmentos. Esta proposición al traducirla al lenguaje algebraico es un producto notable muy conocido:

(𝒂 + 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 Los productos notables son multiplicaciones especiales, y su uso nos ayuda a obtener los resultados mediante la aplicación de una regla si la necesidad de realizar todo el procedimiento, por lo tanto los productos notables simplifican las operaciones y se identifican fácilmente.

Identificación: Son dos términos separados con un signo positivo o negativo, encerrados en un paréntesis, elevado al cuadrado. Regla: El primer término al cuadrado más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término.

Ejemplos:

(𝒙 + 𝒚)𝟐 = (𝒙)𝟐 + 𝟐(𝒙)(𝒚) + 𝒚𝟐

𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚𝟐

(𝟑𝒎𝟑 − 𝟐𝒂𝟐)𝟐 = (𝟑𝒎𝟑 )𝟐 + 𝟐(𝟑𝒎𝟑)(−𝟐𝒂𝟐) + (−𝟐𝒂𝟐)𝟐

= 𝟗𝒎𝟔 − 𝟏𝟐𝒂𝟐𝒎𝟑 + 𝟒𝒂𝟒

Ejemplos:

(𝒙 + 𝒚)𝟑 = (𝒙)𝟑 + 𝟑(𝒙)𝟐𝒚 + 𝟑𝒙(𝒚)𝟐 + (𝒚)𝟑

𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐𝒚 + 𝟑𝒙𝒚𝟐 + 𝒚𝟑

Identificación: Son dos términos separados con un signo positivo o negativo, encerrados en un paréntesis, elevado cubo Regla: El primer término al cubo más tres veces el primer término al cuadrado por el segundo término, mas tres veces el primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.

3.- PRODUCTOS NOTABLES

3.1 BINOMIO AL CUADRADO

3.2 BINOMIO AL CUBO

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Algebra Página 30


(𝟑𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃)𝟑 = (𝟑𝒂𝟐)𝟑 + 𝟑(𝟑𝒂𝟐)𝟐(𝟐𝒂𝒃) + 𝟑(𝟑𝒂𝟐)(𝟐𝒂𝒃)𝟐 + (𝟐𝒂𝒃)𝟑

= 𝟐𝟕𝒂𝟔 + 𝟑(𝟗𝒂𝟒)(𝟐𝒂𝒃) + 𝟑(𝟑𝒂𝟐)(𝟒𝒂𝟐𝒃𝟐) + 𝟖𝒂𝟑𝒃𝟑

= 𝟐𝟕𝒂𝟔 + 𝟓𝟒𝒂𝟓𝒃 + 𝟑𝟔𝒂𝟒𝒃𝟐 + 𝟖𝒂𝟑𝒃𝟑

PRACTICA DE CLASE Desarrollar los siguientes cubos de binomios.

(𝟐𝒙 + 𝟐𝒃)𝟑 =

(𝟑𝒂𝟐𝒃 − 𝟑𝒂𝒃𝟑)𝟐=

(𝟒𝒂𝟐𝒎 + 𝟒𝒂𝟑𝒏)𝟑=

Ejemplos:

(𝟐𝒂 − 𝒚)(𝟐𝒂 + 𝒚) = (𝟐𝒂)𝟐 − (𝒚)𝟐 =

= 𝟒𝒂𝟐 − 𝒚𝟐

(𝟓𝒙𝟐𝒚 − 𝟑𝒃𝟑)(𝟓𝒙𝟐𝒚 + 𝟑𝒃𝟑) =

𝟐𝟓𝒂𝟒𝒚𝟐 − 𝟗𝒃𝟔

Identificación: Son dos paréntesis multiplicando con dos términos cada uno, los primeros y segundos términos de los paréntesis son iguales, solo difieren en el signo. Regla: El primer término al cuadrado menos el segundo término al cuadrado

3.3 BINOMIOS CONJUGADOS

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

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Algebra Página 31


PRACTICA DE CLASE Desarrollar los siguientes binomios conjugados

(𝒙 + 𝟓)(𝒙 − 𝟓) =

(𝒂𝒃 − 𝟓𝒙𝟐)(𝒂𝒃 + 𝟓𝒙𝟐) =

(𝟒𝒂𝟐𝒎 + 𝟒𝒂𝟑𝒏)(𝟒𝒂𝟐𝒎 + 𝟒𝒂𝟑𝒏) =

Identificación: Son dos paréntesis multiplicando cada uno con dos términos, el primer término de cada paréntesis es igual (termino común), el segundo término es diferente (termino no común). .Regla: El término común al cuadrado, más la suma algebraica de los términos no comunes por el término común, más la multiplicación de los no comunes.

Ejemplos:

(𝒎𝟐 − 𝟖)(𝒎𝟐 + 𝟐) = (𝒎𝟐)𝟐 + (−𝟖 + 𝟐)(𝒎𝟐) + (−𝟖)(+𝟐) 𝒎𝟒 − 𝟔𝒎𝟐 − 𝟏𝟔

(𝟓𝒚𝟑 −𝒎)(𝟓𝒚𝟑 + 𝒏) = (𝟓𝒚𝟑)𝟐 + (−𝒎+ 𝒏)(𝟓𝒚𝟑) + (−𝒎)(𝒏) 𝟐𝟓𝒚𝟔 − 𝟓𝒎𝒚𝟑 + 𝟓𝒏𝒚𝟑 −𝒎𝒏

PRACTICA DE CLASE Desarrollar los siguientes binomios con término común.

1.- (𝒙 + 𝟖)(𝒙 − 𝟑) =

2.- (𝟑𝒂𝟐 + 𝟗)(𝟑𝒂𝟐 − 𝟐) =

3.- (𝟔𝒂𝟑𝒙 − 𝟏𝟎)(𝟔𝒂𝟑𝒙 + 𝟓𝒂𝟐) =

3.4 BINOMIOS CON TERMINO COMUN

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Algebra Página 32


.Ejemplos:

(𝟑𝒙 + 𝒚)(𝟗𝒙𝟐 − 𝟑𝒙𝒚 + 𝒚𝟐) = (𝟑𝒙)𝟑 + (𝒚)𝟑 𝟐𝟕𝒙𝟑 + 𝒚𝟑

(𝟑𝒎 − 𝟐𝒃𝟐)(𝟗𝒎𝟐 + 𝟔𝒃𝟐𝒎+ 𝟒𝒃𝟒) = (𝟑𝒎)𝟑 − (𝟐𝒃𝟐)𝟑 𝟐𝟕𝒎𝟑 − 𝟖𝒃𝟔

Nota: El signo en el resultado obtenido lo determina el primer paréntesis.

Identificación: Son dos paréntesis multiplicando, uno con dos términos y otro con tres términos; en el segundo paréntesis se encuentran, el primer término al cuadrado, la multiplicación de los dos términos, y el segundo término al cuadrado. Regla: El primer término al cubo, más o menos al segundo término al cubo.

Los signos deben tener el siguiente orden:

(𝒙 + 𝒚)(𝒙𝟐 − 𝒙𝒚 + 𝒚𝟐) (𝒙 − 𝒚)(𝒙𝟐 + 𝒙𝒚 + 𝒚𝟐)

PRACTICA DE CLASE Desarrollar los siguientes productos que dan suma o diferencia de cubos

1.- (𝟓𝒂𝟑 − 𝟑)(𝟐𝟓𝒂𝟔 + 𝟏𝟓𝒂𝟑 + 𝟗) =

2.- (𝒙𝒎𝒚𝟑 + 𝒙𝟐𝒚𝒏)(𝒙𝟐𝒎𝒚𝟔 − 𝒙𝟐+𝒎𝒚𝟑+𝒏 + 𝒙𝟒𝒚𝟐𝒏) =

3.- (𝟐𝒙𝟐

𝟓−𝟑𝒙𝒚

𝟐) (

𝟒𝒙𝟒

𝟐𝟓+𝟔𝒙𝟑𝒚

𝟏𝟎+𝟗𝒙𝟐𝒚𝟐

𝟒) =

3.5 PRODUCTOS QUE DAN SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS

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ACTIVIDAD 11 Desarrolla en tu cuaderno de trabajo los siguientes productos notables

1.- (𝒙 + 𝒚)𝟐 = 2.- (𝒙 + 𝒚)𝟑 = 3.- (𝒙 + 𝒚)(𝒙 − 𝒚) =

4.- (𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟐) = 5.- (𝒙 − 𝒚)(𝒙𝟐 + 𝒙𝒚 + 𝒚𝟐) = 6.- (𝟐𝒙 − 𝟑𝒂) =

7.- (𝟐𝒙 − 𝟑𝒂)𝟑 = 8.- (𝟐𝒙 − 𝟑𝒂)(𝟐𝒙 + 𝟑𝒂) =) 9.- (𝟐𝒙 − 𝟑𝒂)(𝟒𝒙𝟐 + 𝟔𝒂𝒙 + 𝟗𝒂𝟐) =

10.- (𝟐𝒂 + 𝟓)(𝟒𝒂𝟐 − 𝟏𝟎𝒂 + 𝟐𝟓) = 11.- (𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟓𝒂𝒃𝟐)𝟐 = 12.- (𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟓𝒂𝒃𝟐)𝟑 =

13.- (𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟓𝒂𝒃𝟐)(𝟑𝒂𝟐𝒃 − 𝟓𝒂𝒃𝟐) = 14.- (𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟖)(𝟑𝒂𝟐𝒃 − 𝟕) = 15.- (𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟓𝒂𝒃𝟐)(𝟗𝒂𝟒𝒃𝟐 − 𝟏𝟓𝒂𝟑𝒃𝟑 + 𝟐𝟓𝒂𝟐𝒃𝟒) =

16.- (𝟐𝒙𝟒 − 𝟖𝒙𝟐𝒚)𝟐 = 17.- (𝟐𝒙𝟒 − 𝟖𝒙𝟐𝒚)𝟑 = 18.- (𝟐𝒙𝟒 − 𝟖𝒙𝟐𝒚)(𝟐𝒙𝟒 + 𝟖𝒙𝟐𝒚) =

19.- (𝟐𝒙𝟒 + 𝟑𝒂)(𝟐𝒙𝟒 + 𝟓𝒃) = 20.- (𝟐𝒙𝟒 − 𝟖𝒙𝟐𝒚)(𝟒𝒙𝟖 + 𝟏𝟔𝒙𝟔𝒚 + 𝟔𝟒𝒙𝟒𝒚𝟐) = 21.- (𝟑𝒂𝟐𝒃𝟐 + 𝟓𝒂𝒃𝟑))𝟐=

22.- (𝟑𝒂𝟐𝒃𝟐 + 𝟓𝒂𝒃𝟑))𝟑= 23.- (𝟑𝒂𝟐𝒃𝟐 − 𝟒)(𝟑𝒂𝟐𝒃𝟐 − 𝟔) = 24.- (𝟑𝒂𝟐𝒃𝟐 + 𝟓𝒂𝒃𝟑)(𝟑𝒂𝟐𝒃𝟐 − 𝟓𝒂𝒃𝟑) =

25.- (𝟑𝒂𝟐𝒃𝟐 + 𝟓𝒂𝒃𝟑)(𝟗𝒂𝟒𝒃𝟒 − 𝟏𝟓𝒂𝟑𝒃𝟓 + 𝟐𝟓𝒂𝟐𝒃𝟔) = 26.- (𝒙𝟒𝒚𝟔 − 𝒙𝟑𝒚𝟐)𝟐= 27.- (𝒙𝟒𝒚𝟔 − 𝒙𝟑𝒚𝟐)

𝟑=

28.- (𝒙𝟒𝒚𝟔 − 𝒙𝟑𝒚𝟐)(𝒙𝟒𝒚𝟔 + 𝒙𝟑𝒚𝟐) = 29.- (𝒙𝟒𝒚𝟔 − 𝒂)(𝒙𝟒𝒚𝟔 − 𝒄) = 30.- (𝒙𝟒𝒚𝟔 − 𝒙𝟑𝒚𝟐)(𝒙𝟖𝒚𝟏𝟐 + 𝒙𝟕𝒚𝟖 + 𝒙𝟔𝒚𝟒) =

31.- (𝒂𝒃 + 𝟐𝒃𝟐)𝟐 = 32.- (𝒂𝒃 + 𝟐𝒃𝟐)𝟑 = 33.- (𝟑𝒙 − 𝟐𝒃)(𝟑𝒙 + 𝟐𝒃) =

34.- (𝒎𝟐 + 𝟐)(𝒎𝟐 + 𝟑) = 35.- (𝒂𝟐 − 𝟐)(𝒂𝟒 + 𝟐𝒂𝟐 + 𝟒) = 36.- (𝒙 + 𝟏)(𝒙𝟐 − 𝒙+ 𝟏) =

37.- (𝒂𝒎 − 𝒃𝟐𝒎)𝟐= 38.- (𝒂𝒎 − 𝟓)(𝒂𝒎 + 𝟑) = 39.- (𝒂𝒎 − 𝒃𝟑)(𝒂𝒎 + 𝒃𝟑) =

40.- (𝒂𝒎 − 𝒃𝟐𝒎)𝟑= 41.- (𝒂𝒎 − 𝟐)(𝒂𝟐𝒎 + 𝟐𝒂𝒎 + 𝟒) = 42.- (

𝟑𝒙𝟐

𝟓+𝟐𝒚𝟑

𝟑)

𝟐

=

43.- (𝟑𝒙𝟐

𝟓+𝟐𝒚𝟑

𝟑)

𝟑

= 44.- (𝟒𝒙𝟑

𝟑−𝟐

𝟓𝒚𝟔)(

𝟒𝒙𝟑

𝟑+𝟐

𝟓𝒚𝟔) = 45.- (

𝟐𝒎𝟐

𝟕+𝟏

𝟑)(𝟐𝒎𝟐

𝟕−𝟏

𝟑) =

46.- (𝟓

𝒂𝒃𝟐+𝟑

𝒃𝟑) (

𝟐𝟓

𝒂𝟐𝒃𝟒−𝟏𝟓

𝒂𝒃𝟓+𝟗

𝒃𝟔) = 47.- (

𝒙𝟑

𝟑−𝒚𝟒

𝟐)(𝒙𝟔

𝟗+𝒙𝟑𝒚𝟒

𝟔+𝒚𝟖

𝟒) = 48.- (𝟑𝒂𝟑𝒃𝟒 − 𝟐𝒂𝟔𝒃𝟓)

𝟐=

49.- (𝟑𝒂𝟑𝒃𝟒 − 𝟐𝒂𝟔𝒃𝟓)𝟑= 50.- (𝟓𝒙𝟑𝒚𝟒 − 𝟕𝒙𝟔𝒚𝟓)(𝟓𝒙𝟑𝒚𝟒 − 𝟕𝒙𝟔𝒚𝟓) = 51.- (𝟖𝒙𝟑𝒚 − 𝟑)(𝟖𝒙𝟑𝒚 − 𝟕) =

52.- (𝟓𝒂𝟑𝒃− 𝟑𝒂𝟒)(𝟐𝟓𝒂𝟔𝒃𝟐 + 𝟏𝟓𝒂𝟕𝒃+ 𝟗𝒂𝟖) = 53.- (𝟑𝒂𝒏𝒃𝟐𝒏 + 𝟓𝒂𝟑𝒏𝒃𝟑)𝟐= 54.- (𝟒𝒂𝟑𝒃𝒏−𝟏 − 𝟑𝒂𝒎𝒃𝟒)

𝟑=

55.- (𝟐𝒂𝒎+𝟏 + 𝒂𝟐)(𝟐𝒂𝒎+𝟏 + 𝒂𝟒) = 56.- (𝟒𝒂𝟐𝒎 + 𝟔𝒂𝟐𝒎−𝟑 + 𝟗𝒂𝟐𝒎−𝟔)(𝟐𝒂𝒎 − 𝟑𝒂𝒎−𝟑) = 57.- (𝟑𝒂𝟐𝒃

𝟓𝒄+𝟐𝒂𝟑𝒃𝟐

𝟑𝒄𝟑)

𝟐

=

58.- (𝟐𝒎𝟑𝒏

𝟑𝒂𝟐+𝟑𝒎𝟒𝒏

𝟒𝒂)

𝟑

= 59.- [(𝟐𝒎 + 𝒏) − 𝟓][(𝟐𝒎 + 𝒏) + 𝟖] = 60.- (−𝟒𝒂𝟑𝒃𝟒 − 𝟐𝒂𝟐𝒃𝟔)𝟐=

61.- (−𝟑𝒙𝟑𝒚𝟐 − 𝟔𝒙𝟐𝒚𝟐)𝟑= 62.- (𝟓𝒂𝟐𝒃𝟒 − 𝟐𝒂𝟑𝒃𝟓)(𝟓𝒂𝟐𝒃𝟒 +−𝟐𝒂𝟑𝒃𝟓) = 63.- (𝟖𝒂𝟐 − 𝟓𝒙)(𝟖𝒂𝟐 − 𝟕𝒙) =

64.- (−𝟐𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝒚)(𝟔𝒙𝟒𝒚 + 𝟗𝒙𝟐𝒚𝟐 + 𝟒𝒙𝟔) = 65.- (𝟑𝒂𝟐𝒃𝟑 − 𝟐𝒂𝟒𝒃)𝟐= 66.- (𝟓𝒙𝟐𝒚 − 𝟖𝒎𝟔)(𝟖𝒎𝟔 + 𝟓𝒙𝟐𝒚) =

67.- (𝒙𝟑𝒚𝟒

𝟐−

𝟑

𝒙𝟒𝒚𝟑)

𝟑

= 68.- (𝟗𝒂𝟒 + 𝒂𝟐𝒎 + 𝟑𝒂𝒎+𝟐)(𝒂𝒎 − 𝟑𝒂𝟐) = 69.- (𝟏

𝟑𝒂𝟑𝒃𝟐 +

𝟐

𝟓𝒂𝟒𝒃)

𝟐

=

70.- (𝟐

𝟑𝒙𝟑 − 𝒙)(

𝟐

𝟑𝒙𝟑 − 𝟓𝒙) =

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El papel de la factorización en matemáticas es muy importante en la modelación de fenómenos y situaciones de la vida real, así como también en la solución de problemas aplicados a diferentes áreas. Es el proceso inverso a la multiplicación. Factores: Se llaman factores de una expresión a las expresiones que multiplicadas entres si, dan como producto la primer expresión. Así, multiplicando 𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝒂 + 𝒃 tenemos:

𝒂(𝒂 + 𝒃) = 𝒂𝟐 + 𝒂𝒃

𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝒂 + 𝒃, son expresiones que multiplicadas entre si dan como producto 𝑎2 + 𝑎𝑏, son factores de 𝑎2 +𝑎𝑏. Del mismo modo (𝒙 + 𝟐)(𝒙 + 𝟑) = 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟔, entonces (𝒙 + 𝟐)(𝒙 + 𝟑)son factores de 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟔 Factorizar un polinomio. No todo polinomio se puede descomponer en dos o más factores distintos de 1, pues del mismo modo que en Aritmética, hay números primos que son divisibles entre ellos mismos y entre 1, hay expresiones algebraicas que solo son divisibles entre ellas mismas y entre 1 y que, por lo tanto no son el producto de otras expresiones algebraicas. Por ejemplo, 𝑎 + 𝑏 no puede descomponerse en dos factores distintos de 1, porque solo es divisible entre 𝑎 + 𝑏 y entre 1.

Identificación: Son tres términos dos de ellos tienen raíz cuadrado exacta. Regla. Se extrae la raíz cuadrada a los términos que la tienen, se coloca el signo del otro término en medio, se encierran en un paréntesis y se eleva al cuadrado

. Ejemplos:

𝒂𝟐 + 𝟒𝒂 + 𝟒 = (𝒂 + 𝟒)𝟐 𝟒𝒙𝟒 − 𝟏𝟐𝒙𝟑𝒚 + 𝟗𝒙𝟐𝒚𝟐 = (𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙𝒚)𝟐

𝒂𝟐 − 𝟖𝒂 + 𝟏𝟔 = (𝒂 − 𝟒)𝟐 𝟏𝟎𝟎𝒙𝟒 − 𝟔𝟎𝒙𝟐𝒚 + 𝟗𝒚𝟐 = (𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟑𝒚)𝟐

PRACTICA DE CLASE Factorizar los siguientes Trinomios cuadrados perfectos

1.- 𝟒𝒎𝟔 + 𝟏𝟐𝒂𝟐𝒃 + 𝟗𝒂𝟐𝒃𝟐 =

2.- 𝒙𝟒

𝟐𝟓+𝟒𝒙𝟒𝒚𝟑

𝟏𝟓+𝟒𝒙𝟒𝒚𝟔

𝟗=

3.- 𝟗𝒂𝟐𝒎 − 𝟏𝟐𝒂𝟑𝒎𝒃𝟑 + 𝟒𝒂𝟒𝒎𝒃𝟔 =

4.1.- TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

4.- FACTORIZACION

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Identificación: Son dos o más términos y alguna literal se repite en cada uno de ellos. Regla. El factor común es el mayor divisor de los coeficientes, y de las literales que se repiten la de menor exponente, se divide cada termino entre el factor común y se encierra entre paréntesis.

Ejemplos:

𝟐𝒙𝒚𝟐 − 𝟑𝒙𝟑𝒚 + 𝒙𝟒𝒚𝒛 = 𝒙𝒚(𝟐𝒚 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝒙𝟑𝒛) 𝟏𝟓𝒙𝟑𝒚 − 𝟐𝟎𝒙𝟒𝒛 + 𝟑𝟎𝒙𝟔𝒎 = 𝟓𝒙𝟑(𝟑𝒚 − 𝟒𝒙𝒛 + 𝟔𝒙𝟑𝒎)

𝟏𝟐𝒎𝟐𝒏𝟐 + 𝟏𝟖𝒎𝟑𝒏 − 𝟐𝟒𝒎𝟔𝒏= 𝟔𝒎𝟐𝒏(𝟐𝒏 + 𝟑𝒎 − 𝟒𝒎𝟒)

𝟒𝒃𝟒𝒄 − 𝟏𝟐𝒃𝟑𝒅 + 𝟐𝟎𝒃𝟐𝒛 = 𝟒𝒃𝟐(𝒃𝟐𝒄 − 𝟑𝒃𝒅 + 𝟓𝒛)

Identificación: Son cuatro termino y dos de ellos tienen raíz cubica exacta Regla. Se extrae la raíz cubica a los términos que la tienen, si todos los signos son positivos se pone un más en medio, si los signo son alternados se pone un menos en medio, se encierran en un paréntesis y se eleva al cubo.

Ejemplos:

𝒂𝟑 + 𝟑𝒂𝟐 + 𝟑𝒂 + 𝟏 = (𝒂 + 𝟏)𝟑 𝒙𝟔

𝟐𝟕+𝟔𝒙𝟓𝒚

𝟐𝟕+𝟏𝟐𝒙𝟒𝒚𝟐

𝟐𝟕+𝟖𝒙𝟑𝒚𝟑

𝟐𝟕= (

𝒙𝟐

𝟑+𝟐𝒙𝒚

𝟑)

𝟑

PRACTICA DE CLASE Factorizar por factor común las siguientes expresiones.

1.- 𝒙𝟑𝒚 + 𝟐𝒙𝟒𝒛 − 𝟓𝒙𝟔𝒎 =

2.- 𝟐𝟏𝒂𝒃𝟐 − 𝟏𝟒𝒂𝟑𝒃𝟒 + 𝟐𝟖𝒂𝟒𝒃 =

3.- 𝟔𝒙𝒚𝟑 − 𝟗𝒏𝒙𝟐𝒚𝟑 + 𝟏𝟐𝒏𝒙𝟑𝒚𝟑 − 𝟑𝒏𝟐𝒙𝟒𝒚𝟑 =

4.- (𝟔𝒙 + 𝟑) + 𝟐𝒂(𝟔𝒙 + 𝟑) =

4.2.- FACTOR COMUN

4.3.- CUATRINOMIO CUBO PERFECTO

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Identificación: Son tres términos no es trinomio cuadrado perfecto y no es factor común. Regla. Se factoriza en dos paréntesis multiplicando, cada uno contendrá dos términos, se extrae el cuadrado al término que lo tiene y se coloca como primer término en ambos paréntesis, se buscan dos

número que multiplicados del el ultimo termino (𝒄) y sumados el de en medio (𝒃𝒙) y se colocan como segundos términos de cada paréntesis.

Ejemplos: Factorizar los siguientes Trinomio Cuadrado No Perfecto de la Forma

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙+ 𝒄 𝑐𝑜𝑛 𝒂 = 𝟏 𝒛𝟐 + 𝟏𝟎𝒛 + 𝟐𝟏 = (𝒛 + 𝟑)(𝒛 + 𝟕) 𝒚𝟐 − 𝟖𝒚 + 𝟏𝟓 = (𝒚 − 𝟑)(𝒚 − 𝟓)

(𝟑)(𝟕) = 𝟐𝟏 𝟑 + 𝟕 = 𝟏𝟎

(−𝟑)(−𝟓) = 𝟏𝟓

−𝟑 − 𝟓 = −𝟖

Ejemplo: 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟐𝟏𝟔

Necesitamos dos números cuya diferencia sea 6 y su producto sea 216, estos números no podemos obtenerlos fácilmente. Para hallarlos, descompondremos en factores primos el tercer término.

216 2 108 2 54 2 27 3 9 3 3 3 1

Ahora utilizando estos factores primos obtenemos dos productos, por tanteo y variando los factores:

2𝑥2𝑥2 = 8 2𝑥2𝑥2𝑥3 = 24 2𝑥2𝑥3 = 12 3𝑥3𝑥3 = 27 3𝑥3 = 9 2𝑥3𝑥3 = 18

27 − 18 = 9; 𝑛𝑜 𝑠𝑖𝑟𝑣𝑒𝑛 24 − 9 = 15; 𝑛𝑜 𝑠𝑖𝑟𝑣𝑒𝑛 18 − 12 = 6; 𝒔𝒊 𝒔𝒊𝒓𝒗𝒆𝒏

18 y 12 son los números buscados porque su diferencia es 6 y su producto necesariamente es 216, ya que para obtener estos números hemos empleado todos los factores que obtuvimos en la descomposición de 216. Por lo tanto:

𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟐𝟏𝟔 = (𝒙 + 𝟏𝟖)(𝒙 − 𝟏𝟐)

Practica de clase Factorizar los siguientes cuatrinomios cubos perfectos.

1.- 𝒂𝟔

𝟐𝟕+𝟑𝒂𝟒𝒃𝟑

𝟏𝟖+𝟑𝒂𝟐𝒃𝟔

𝟏𝟐+𝒃𝟗

𝟖=

2.- 𝟐𝟕𝒙𝟔𝒚𝟑 − 𝟖𝟏𝒙𝟕𝒚𝟒 + 𝟖𝟏𝒙𝟖𝒚𝟓 − 𝟐𝟕𝒙𝟗𝒚𝟔 =

3.- 𝒂𝟔𝒎 + 𝟑𝒂𝟒𝒎𝒃𝒏 + 𝟑𝒂𝟐𝒎𝒃𝟐𝒏 + 𝒃𝟑𝒏 =

4.4.- TRINOMIO CUADRADO NO PERFECTO DE LA FORMA

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 𝑐𝑜𝑛 𝒂 = 𝟏

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Identificación: Son tres términos no es trinomio cuadrado perfecto y no es factor común y el coeficiente

que acompaña a 𝑎𝑥2 es diferente de 1.

Regla. Se factoriza en dos paréntesis multiplicando, cada uno con dos términos, se buscan dos términos que

multiplicados den el primero (𝒂𝒙𝟐) y se colocan como los primeros términos de cada paréntesis, enseguida

se buscan dos números que multiplicados den el ultimo (𝒄), el producto de los extremos sumado con el

producto de los medio deben dar como resultado el termino de en medio (𝒃𝒙).

Ejemplos: 𝟔𝒙𝟐 − 𝟏𝟗𝒙 + 𝟏𝟎 = (𝟐𝒙 − 𝟓)(𝟑𝒙 − 𝟐) 𝟕𝒙𝟐 + 𝟏𝟗𝒙 − 𝟔 = (𝟕𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟑)

(𝟐𝒙)(𝟑𝒙) = 𝟔𝒙𝟐 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 (−𝟓)(−𝟐) = 𝟏𝟎 𝒕𝒆𝒓𝒄𝒆𝒓 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐

𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 (𝟐𝒙)(−𝟐) = −𝟒𝒙

𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜𝑠 (−𝟓)(𝟑𝒙) = −𝟏𝟓𝒙 𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠: − 𝟒𝒙 − 𝟏𝟓𝒙 = −𝟏𝟗𝒙

𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛.

(𝟕𝒙)(𝒙) = 𝟕𝒙𝟐 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 (−𝟐)(+𝟑) = − 𝟔 𝒕𝒆𝒓𝒄𝒆𝒓 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐

𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 (𝟕𝒙)(+𝟑) = 𝟐𝟏𝒙

𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜𝑠 (−𝟐)(𝒙) = −𝟐𝒙 𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠: 𝟐𝟏𝒙 − 𝟐𝒙 = 𝟏𝟗𝒙

𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜, 𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛

Practica de clase Factorizar los siguientes Trinomio Cuadrado No Perfecto de la Forma

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 𝑐𝑜𝑛 𝒂 = 𝟏

1.- 𝒃𝟐 − 𝟕𝒃 + 𝟏𝟐 =

2.- 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟓𝟔 =

3.- 𝒂𝟐 + 𝟒𝒂 + 𝟑 =

4.- 𝒄𝟐 − 𝟏𝟑𝒄 − 𝟏𝟒 =

4.5.- TRINOMIO CUADRADO NO PERFECTO DE LA FORMA

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 𝑐𝑜𝑛 𝒂 ≠ 𝟏

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Identificación: Son cuatro términos, no es factor común y no es cuatrinomio cubo perfecto. Regla. Se eligen por parejas y se obtiene el factor común de cada pareja, se aseguran que los términos de ambos paréntesis queden iguales, se agrupan en un paréntesis los dos factores comunes y en otro paréntesis los términos que quedaron iguales.

Ejemplos:

𝒙𝒚 + 𝒙𝒛 + 𝒘𝒚 +𝒘𝒛

𝒙(𝒚 + 𝒛) + 𝒘(𝒚 + 𝒛)

(𝒙 + 𝒘)(𝒚 + 𝒛)

𝒂𝒄 − 𝒂𝒙 − 𝟑𝒃𝒄 + 𝟑𝒃𝒙

𝒂(𝒄 − 𝒙) − 𝟑𝒃(𝒄 − 𝒙)

(𝒂 − 𝟑𝒃)(𝒄 − 𝒙)

𝟑𝒎𝟐 − 𝟔𝒎𝒏 + 𝟒𝒎− 𝟖𝒏

𝟑𝒎(𝒎 − 𝟐𝒏) + 𝟒(𝒎 − 𝟐𝒏)

(𝒎 − 𝟐𝒏)(𝟑𝒎 + 𝟒)

Practica de clase. Factorizar los siguientes Trinomio Cuadrado No Perfecto de la Forma

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 𝑐𝑜𝑛 𝒂 ≠ 𝟏

1.- 𝟏𝟎𝒃𝟐 − 𝟏𝟒𝒃 − 𝟏𝟐 =

2.- 𝟒𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝟓 − 𝟑𝟑𝒙 =

3.- 𝟔𝒂𝟐 + 𝟑𝟏𝒂 + 𝟑𝟓 =

4.- 𝟐𝟒𝒄𝟐 − 𝟕𝟐𝒄 + 𝟒𝟖 =

Practica de clase Factorizar por factor común por agrupación de términos

1.- 𝒂𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝒂𝒙 + 𝒃𝒙 =

2.- 𝟑𝒎 − 𝟐𝒏 − 𝟐𝒏𝒙𝟒 + 𝟑𝒎𝒙𝟒 =

3.- 𝟑𝒙𝟑 − 𝟗𝒂𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟑𝒂 =

4.- 𝟐𝒙𝟐𝒚 + 𝟐𝒙𝒛𝟐 + 𝒚𝟐𝒛𝟐 + 𝒙𝒚𝟑 =

4.6.- FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINOS

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Identificación: Son dos términos que tienen raíz cuadrada exacta, con un signo menos en medio. Regla. Se factoriza en dos paréntesis multiplicando con dos términos cada uno, se obtiene raíz cuadrada a cada uno de los términos y se colocan como primero y segundo términos de cada paréntesis, solo difieren en el signo.

Ejemplos

𝒙𝟐 − 𝟒

(𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟐)

𝟔𝟒𝒂𝟐 − 𝟏𝟔𝒙𝟐𝒚𝟔

(𝟖𝒂𝟐 − 𝟒𝒙𝒚𝟑)(𝟖𝒂𝟐 + 𝟒𝒙𝒚𝟑)

𝟑𝟔𝒃𝟖 −𝟒

𝟐𝟓𝒙𝟒

(𝟔𝒃𝟒 −𝟐

𝟓𝒙𝟐) (𝟔𝒃𝟒 −

𝟐

𝟓𝒙𝟐)

Identificación: Son dos términos que tienen raíz cubica exacta, con un signo positivo o negativo entre ellos. Regla. Se factoriza en dos paréntesis multiplicando uno con dos términos y otro con tres términos; se le extrae raíz cubica a los términos y se colocan como primeros términos de cada paréntesis, en el segundo paréntesis va el primer término al cuadrado, la multiplicación de los dos y el segundo término al cuadrado. Signos:

𝑫𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒖𝒃𝒐𝒔 (𝒙𝟑 − 𝒚𝟑) = (𝒙 − 𝒚)( 𝒙𝟐 + 𝒙𝒚 + 𝒚𝟐)

𝑺𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒖𝒃𝒐𝒔 (𝒙𝟑 + 𝒚𝟑) = (𝒙 + 𝒚)(𝒙𝟐 − 𝒙𝒚 + 𝒚𝟐)

Ejemplos

𝒂𝟑𝒃𝟑 − 𝟏 = (𝒂𝒃 − 𝟏)(𝒂𝟐𝒃𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝟏)

𝒙𝟗 + 𝒚𝟗 = (𝒙𝟑 + 𝒚𝟑)(𝒙𝟔 − 𝒙𝟑𝒚𝟑 + 𝒚𝟔)

𝟖𝒙𝟔 + 𝟐𝟕𝒃𝟑 = (𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒃)(𝟒𝒙𝟒 − 𝟔𝒃𝒙𝟐 + 𝟗𝒃𝟐)

Practica de clase. Factorizar por diferencia de cuadrados las siguientes expresiones

1.- 𝟏𝟔𝒂𝟐𝒃𝟐 − 𝟗 =

2.- 𝟐𝟓𝒙𝟔𝒚𝟐 − 𝟑𝟔𝒂𝟒𝒃𝟖 =

3.- 𝒙𝟔

𝟒𝟗−

𝟒𝒂𝟏𝟎

𝟏𝟐𝟏=

4.- 𝟐𝟓𝟔 𝒂𝟏𝟐 −

𝟐𝟖𝟗𝒃𝟒𝒎𝟏𝟎 =

4.7.- DIFERENCIA DE CUADRADOS

4.8.- SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS

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Practica de clase Factorizar las siguientes expresiones por suma o diferencia de cubos

1.- 𝟔𝟒𝒙𝟑 − 𝒚𝟔 =

2.- 𝟖𝒂𝟔𝒃𝟔 − 𝟐𝟕 =

3.- 𝟏 + 𝟑𝟒𝟑𝒏𝟑 =

4.- 𝟖𝒙𝟑 + 𝒚𝟑 =

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ACTIVIDAD 12 Anota la identificación en cada caso y posteriormente en tu cuaderno, por medio de las

reglas desarrolla las siguientes factorizaciones.

1.- 𝒂𝟐 + 𝟒𝒂 + 𝟒 = 2.- 𝒂𝒙𝟐 + 𝒂𝟑𝒙𝒚 = 3.- 𝒂𝟑 − 𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 − 𝒃𝟑 =

4.- 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟐 = 5.- 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟔 = 6.- 𝒂𝒄 − 𝒃𝒄 + 𝒂𝒅 − 𝒃𝒅 =

7.- 𝒂𝟑 + 𝒙𝟑 = 8.- 𝒙𝟒 − 𝒚𝟒 = 9.- 𝟗𝒙𝟐 − 𝟑𝟎𝒙 + 𝟐𝟓 =

10.- 𝒙𝟐 − 𝟏𝟏𝒙 + 𝟐𝟒 = 11.- 𝟐𝟕𝒂𝟔 − 𝟏𝟎𝟖𝒂𝟒 + 𝟏𝟒𝟒𝒂𝟐 − 𝟔𝟒 = 12.- 𝒙𝟐 − 𝟏𝟏𝒙 + 𝟐𝟒 =

13.- 𝟐𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟏𝟓 = 14.- 𝟖𝒂𝒃𝟐 + 𝟔𝒂𝟐 − 𝟏𝟐𝒃𝟑 − 𝟗𝒂𝒃 = 15.- 𝒂𝟗 − 𝒃𝟗 =

16.- 𝟗𝒂𝟐 − 𝟐𝟓 = 17.- 𝟒𝒙𝟒 + 𝟏𝟐𝒙𝟐𝒚𝟑 + 𝟗𝒚𝟔 = 18.- 𝟒𝒂𝟑𝒃 − 𝟖𝒂𝒃𝒄 =

19.- 𝒙𝟑 + 𝟗𝒙𝟐 + 𝟐𝟕𝒚𝟑 + 𝟐𝟕𝒙𝒚𝟐 = 20.- 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟏𝟖 = 21.- 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟓 =

22.- 𝟖𝒂𝒄 − 𝟏𝟒𝒂𝒙 + 𝟏𝟐𝒃𝒄 − 𝟐𝟏𝒃𝒙 = 23.- 𝟖𝒙𝟔 − 𝟐𝟕𝒂𝟑 = 24.- 𝟒𝟗𝒃𝟔 − 𝒙𝟖 =

25.- 𝟒𝒂𝟒𝒃𝟐 + 𝟗𝒃𝟒 − 𝟏𝟐𝒂𝟐𝒃𝒙 = 26.- 𝟐𝒙𝒚 + 𝟑𝒙𝟐𝒚𝟐 − 𝟖𝒙𝟑𝒚𝟑 = 27.- 𝟏𝟐𝟓𝒙𝟑 + 𝟐𝟐𝟓𝒙𝟐𝒚+ 𝟏𝟑𝟓𝒙𝒚𝟐 + 𝟐𝟕𝒚𝟑 =

28.- 𝒚𝟐 + 𝟏𝟏𝒚 + 𝟐𝟖 = 29.- 𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟑𝒙 + 𝟔 = 30.- 𝟏𝟓𝒙𝟑𝒚 + 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙𝒚𝟐 − 𝟖𝒚 =

31.- 𝟏𝟐𝟓𝒂𝟑 − 𝟔𝟒𝒙𝟗 = 32.- 𝟑𝟔𝒂𝟐𝒃𝟐 − 𝟒𝒙𝟖 = 33.- 𝟐𝟓𝒂𝟐𝒃𝟒 − 𝟕𝟎𝒂𝒃𝟐𝒙𝒚 + 𝟒𝟗𝒙𝟐𝒚𝟐 =

34.- 𝟑𝒙𝟐𝒚𝟐 − 𝟔𝒙𝒚𝟑 + 𝟗𝒙𝒚 = 35.- 𝒂𝟔𝒃𝟔 − 𝟑𝒂𝟒𝒃𝟒𝒙𝟑 + 𝟑𝒂𝟐𝒃𝟐𝒙𝟔 − 𝒙𝟗 = 36.- 𝒚𝟐 − 𝟏𝟕𝒚 + 𝟕𝟎 =

37.- 𝟔𝒙𝟐 − 𝟏𝟕𝒙 − 𝟏𝟒 = 38.- 𝟖𝒂𝟑𝒃𝟐 − 𝟏𝟒𝒃𝟐 − 𝟏𝟐𝒂𝟑 + 𝟐𝟏 = 39.- 𝟐𝟕𝒂𝟑𝒃𝟗 + 𝟐𝟕𝒙𝟔 =

40.- 𝟏𝟔𝒙𝟖 − 𝟑𝟔𝒂𝟔𝒃𝟐 = 41.- 𝟒𝒙𝟐𝒚𝟐 + 𝟗𝒂𝟔 − 𝟏𝟐𝒂𝟑𝒙𝒚 = 42.- 𝟐𝒂𝟑𝒃𝟐 + 𝟒𝒂𝟒𝒃𝟒 − 𝟓𝒂𝟑𝒃𝟓 =

43.- 𝒚𝟐 − 𝟑𝒚 − 𝟖𝟖 = 44.- 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟑 = 45.- 𝟐𝟏𝒙𝒚𝟐 + 𝟔𝒂𝟐𝒙 + 𝟕𝒚𝟑 + 𝟐𝒂𝟐𝒚 =

46.- 𝟖𝒂𝟑𝒃𝟑 + 𝟔𝟒𝒙𝟔 = 47.- 𝟐𝟓

𝟗𝒃𝟒 −

𝟑𝟔

𝟒𝒄𝟖 = 48.-

𝟒

𝟐𝟓𝒂𝟐𝒃𝟐 − 𝟔𝟒𝒙𝟖 =

49.- 𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟑𝟔 = 50.- 𝟐𝒙𝟐𝒚𝟑 − 𝟔𝒙𝒚𝟐 = 51.- 𝒂𝟔 + 𝟑𝒂𝟒 + 𝟑𝒂𝟐 + 𝟏 =

52.- 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑 = 53.- 𝒂𝒙 + 𝒂𝒚 − 𝒃𝒙 − 𝒃𝒚 = 54.- 𝒙𝟑 + 𝟖 =

55.- 𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 = 56.- 𝟏𝟓𝒂𝟓 − 𝟑𝟒𝒂 + 𝟏𝟓 = 57.- 𝟏𝟐𝒚𝟐 + 𝒚 − 𝟔 =

58.- 𝟒𝒙𝟒 − 𝟐𝟎𝒙𝟑𝒚 + 𝟐𝟓𝒙𝟐𝒚𝟐 = 59.- 𝒎𝟐 − 𝟕𝒎+ 𝟏𝟎 = 60.- 𝟑𝒙𝟓𝒚𝟐 + 𝟗𝒙𝟐𝒚 − 𝟏𝟐𝒙𝟒𝒚𝟑 =

61.- 𝟏𝟓𝒙𝒚 − 𝟓𝒚𝟐 + 𝟔𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒚 = 62.- 𝟐𝟕𝒙𝟔 − 𝟏 = 63.- 𝟔𝟒𝒎𝟖 − 𝟐𝟓𝒙𝟏𝟐 =

64.- 𝟗

𝒙𝟒−𝟑𝒚𝟒

𝒙𝟐+𝒚𝟖

𝟒= 65.-

𝟑

𝟓𝒂𝟐𝒃𝟒 −

𝟗

𝟏𝟎𝒂𝟓𝒃𝟐 = 66.-

𝟏𝟔𝒙𝟐

𝒚𝟒−𝒎𝟏𝟎

𝟐𝟓=

67.- 𝒚𝟐 + 𝟐𝟓𝒚 + 𝟏𝟓𝟔 = 68.- 𝟏𝟐𝟓𝒙𝟏𝟐

𝒛𝟑+𝒎𝟔

𝟐𝟕= 69.- 𝟔𝒙𝟓𝒚𝟓 + 𝟏𝟓𝒙𝒚𝟒 + 𝟖𝒙𝟒𝒚 − 𝟐𝟎𝒙𝟒 =

70.- 𝒂𝟐𝒏 − 𝟐𝒂𝒏𝒃𝒎 + 𝒃𝟐𝒎 = 71.- −𝟑𝟏𝟓 − 𝟔𝒚 + 𝒚𝟐 = 72.- −𝟓𝟔 + 𝟒𝟓𝒚𝟐 − 𝟑𝟕𝒚 =

73.- 𝟖 − (𝒙 − 𝒚)𝟑 = 74.- 𝒎𝟐 − 𝟖𝟓𝟎 − 𝟗𝒎 = 75.- −𝟔𝟎 + 𝟏𝟖𝟑𝒚 + 𝟑𝟗𝒚𝟐 =

76.- 𝟒𝟖𝒂𝟐𝒃𝟐 − 𝟏𝟔𝒂𝒃𝟑 + 𝟏𝟖𝒂𝟑𝒃𝟑 − 𝟔𝒂𝟐𝒃𝟒 = 77.- 𝟑𝟔𝒙𝟏𝟎𝒚 + 𝟑𝟔𝒙𝟕𝒚− 𝟒𝒙𝟖𝒚 − 𝟒𝒙𝟓𝒚 = 78.- 𝒎𝟐 − 𝟔𝟓 − 𝟖𝒎 =

79.- 𝒎𝟐 − 𝟐𝟎𝒎− 𝟑𝟎𝟎 = 80.- 𝟑 + 𝟏𝟏𝒂 + 𝟏𝟎𝒂𝟐 =

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En la actualidad la ecuaciones lineales o de primer grado, tienen múltiples aplicaciones de diversas áreas del conocimiento y así como áreas científicas y administrativas. Por ejemplo: Un capital colocado al 4% durante un año se ha convertido en $3120.00. ¿Cuál es el capital invertido? Si C es el capital de partida, en pesos, al cabo de un año produce el 4% del capital, es decir 4

100𝐶, con lo que se habrá convertido en

𝐶 + 4

100𝐶, que sabemos que son $3120.00, así, se verifica la ecuación 𝑐+4

100𝐶= 3120.00.

Una ecuación de primer grado con una incógnita, es una igualdad compuesta por dos partes, una a la derecha del signo igual y otra parte a la izquierda, una incógnita que regularmente está representada por letras como x,y o z esta siempre elevada a la potencia uno, y para encontrar su valor debemos despejarla.

Despejar una incógnita significa: Dejarla sola Dejarla positiva Dejarla en el numerado en el caso de

fracciones. Para lograrlo debemos hacer lo siguiente:

a) Quitar paréntesis b) Quitar denominadores c) Agrupar los términos que contengan la

incógnita de un lado y los independientes del otro

d) Reducir términos semejantes e) Despejar la incógnita

Para lograr esto existen diversos métodos, como son el despeje tradicional pasando los términos de un lado al otro de la igualdad realizando la operación inversa, es decir si el termino está sumando pasa al otro lado restando, si está multiplicando pasa dividiendo y viceversa; y con la aplicación de las propiedades de los números reales, en este curso analizaremos ambos métodos.

5.- ECUACIONES DE PRIMER GRADO

5.1.- SOLUCION DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA

INCOGNITA

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Algebra Página 43


Ejemplos resueltos por el método tradicional 1.-

𝒙 + 𝟓 = 𝟏𝟕

2.- 𝟑𝒙 − 𝟖 = 𝟕

3.- 𝟑𝟑𝒙 = 𝟗𝟗

4.- 𝟐𝒙 + 𝟐𝟎 = −𝟖𝒙 − 𝟏𝟎

𝒙 = 𝟏𝟕 − 𝟓

𝒙 = 𝟏𝟐

𝟑𝒙 = 𝟕 + 𝟖 𝟑𝒙 = 𝟏𝟓

𝒙 =𝟏𝟓

𝟑

𝒙 = 𝟓

𝒙 =𝟗𝟗

𝟑𝟑

𝒙 = 𝟑

𝟐𝒙 + 𝟖𝒙 = −𝟐𝟎 − 𝟏𝟎 𝟏𝟎𝒙 = −𝟑𝟎

𝒙 =−𝟑𝟎

𝟏𝟎

𝒙 = −𝟑

5.- 𝒙

𝟑+𝒙

𝟔= 𝟒

6.- 𝟑𝒙 + 𝟐

𝟓=𝟓𝒙 − 𝟒

𝟑

7.-

𝟐𝒙 − 𝟑

𝟓= (𝟑𝒙 + 𝟐)

𝟐𝒙 + 𝒙

𝟔= 𝟒

𝟑𝒙

𝟔= 𝟒

𝟑𝒙 = 𝟒(𝟔)

𝟑𝒙 = 𝟐𝟒

𝒙 =𝟐𝟒

𝟑

𝒙 = 𝟖

𝟑(𝟑𝒙 + 𝟐) = 𝟓(𝟓𝒙 − 𝟒)

𝟗𝒙 + 𝟔 = 𝟐𝟓𝒙 − 𝟐𝟎

𝟗𝒙 − 𝟐𝟓𝒙 = −𝟐𝟎 − 𝟔

−𝟏𝟔𝒙 = −𝟐𝟔

𝒙 =−𝟐𝟔

−𝟏𝟔

𝒙 =𝟏𝟑

𝟖

𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟓(𝟑𝒙 + 𝟐)

𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟏𝟓𝒙 + 𝟏𝟎

𝟐𝒙 − 𝟏𝟓𝒙 = 𝟏𝟎 + 𝟑

𝒙 =𝟏𝟑

−𝟏𝟑

𝒙 = −𝟏

Practica de clase Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado

1.- 𝟑(𝟑

𝟐𝒙 +

𝟏

𝟔) −

𝟑

𝟒(𝟐𝒙 + 𝟏𝟖) = −𝟒

2.- 𝒚 − 𝟓 = 𝟑𝒚 − 𝟐𝟓

3.- 𝒙

𝟐+ 𝟔 =

𝟕𝒙−𝟗

𝟖

4.- 𝟑(𝟑𝒙 − 𝟏) + 𝟒(𝟗 − 𝟓𝒙) = 𝟎

5.- [−𝟑(𝒙 − 𝟗)] + [−𝟐(𝒙 + 𝟗) + 𝟖] =𝟑𝒙+𝟗−𝒙

𝟐

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Algebra Página 44


ACTIVIDAD 13

Resuelve en tu cuaderno de trabajo las siguientes ecuaciones de primer grado por el método que te indique el profesor.

1.- 𝟒𝒙 + 𝟏 = 𝟐 2.- 𝒚 − 𝟓 = 𝟑𝒚 − 𝟐𝟓

3.- 𝟓𝒙 + 𝟔 = 𝟏𝟎𝒙 + 𝟓 4.- 𝟗𝒚 − 𝟏𝟏 = −𝟏𝟎 + 𝟐𝒚

5.- 𝟏𝟏𝒙 + 𝟓𝒙 − 𝟏 = 𝟔𝟓𝒙 − 𝟑𝟔 6.- 𝟖𝒙 + 𝟗 − 𝟏𝟐𝒙 = 𝟒𝒙 − 𝟏𝟑 − 𝟓𝒙

7.- 𝟓𝒚 + 𝟔𝒚 − 𝟖𝟏 = 𝟕𝒚 + 𝟏𝟎𝟐 + 𝟔𝟓𝒚 8.- 𝟑𝒙 + 𝟏𝟎𝟏 − 𝟒𝒙 − 𝟑𝟑 = 𝟏𝟎𝟖 − 𝟏𝟔𝒙 − 𝟏𝟎𝟎

9.- 𝟏𝟒 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟑𝟗𝒙 − 𝟏𝟖𝒙 = 𝟐𝟓𝟔 − 𝟔𝟎𝒙 − 𝟔𝟓𝟕𝒙

10.- 𝒙 − (𝟐𝒙 + 𝟏) = 𝟖 − (𝟑𝒙 + 𝟑) 11.- 𝟏𝟓𝒙 − 𝟏𝟎 = 𝟔𝒙 − (𝒙 + 𝟐) + (−𝒙 + 𝟑)

12.- 𝟐(𝟑)(𝟓 − 𝟑𝒙) − (−𝟒𝒙 + 𝟔) = (𝟖𝒙 + 𝟏𝟏) − (𝟑𝒙 − 𝟔)

13.- 𝟏𝟓𝒙 + (−𝟔𝒙 + 𝟓) − 𝟐 − (−𝒙 + 𝟑) = −(𝟕𝒙 + 𝟐𝟑) − 𝒙 + (𝟑 − 𝟐𝒙)

14.- 𝟖𝒙 − 𝟏𝟓𝒙 − 𝟑𝟎𝒙 − 𝟓𝟏𝒙 = 𝟓𝟑𝒙 + 𝟑𝟏𝒙 − 𝟏𝟕𝟐

15.- 𝟑𝟎𝒙 − (−𝒙 + 𝟔) + (−𝟓𝒙 + 𝟒) = −(𝟓 + 𝟔) + (−𝟖𝒃 + 𝟑𝒙)

16.- 𝟐𝒙 + 𝟓 − 𝒙 + 𝟖 = 𝟔𝒙 + 𝟑 − 𝟐𝒙 + 𝟗 17.- 𝟐𝒙 − (𝟕𝒙 − 𝟑) = 𝟖 − (𝒙 + 𝟗)

18.- 𝟏𝟎𝒙 − [𝟔𝒙 − (𝒙 + 𝟗)] = 𝟒𝟎𝒙 − (𝟑𝒙 − 𝟕𝟑)

19.- 𝟏𝟐 − [𝒙 − (𝟔𝒙 + 𝟖)] = 𝟑𝒙 − [𝟏𝟐 − (𝟓𝒙 + 𝟗) − 𝟖]

20.- 𝟑𝒙 + 𝟓 − [𝟏𝟓𝒙 + (𝟐𝒙 − 𝟕)] = 𝟗 − 𝟑𝒙 + [𝟖 − (𝟔𝒙 + 𝟏𝟏)] + 𝟏𝟔

21.- −𝟏𝟖𝒙 + 𝟒(𝒙 − 𝟐) = 𝟑 − 𝟖(𝟓𝒙 + 𝟑) 22.- 𝟑(𝒙 + 𝟓) − 𝟖(𝟐𝒙 + 𝟑) = −(𝟔𝒙 + 𝟗) − 𝟐(𝟒𝒙 − 𝟏)

23.- (𝒙 + 𝟓)(𝒙 − 𝟑) + 𝟗 = (𝒙 + 𝟒)(𝒙 + 𝟖) − 𝟔 24.- 𝟑𝒙 − 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟕𝒙 − 𝟑 + 𝟓𝒙 − 𝒙 + 𝟐𝟒

25.- 𝒙

𝟓+𝒙

𝟑=𝟖

𝟑 26.-

𝟒𝒚

𝟑−𝟓𝒚

𝟐+𝟑𝒚

𝟒= 𝟏 27.-

𝟑𝒚

𝟐+𝟓𝒚

𝟔=𝟐𝒚

𝟑+𝟏

𝟐

28.- 𝒙

𝟐+ 𝟖 =

𝟓

𝟓−𝒙

𝟒 29.-

𝟓

𝟔𝒙−𝟖

𝒙+𝟏

𝟐=𝟔

𝟐𝒙−𝟏

𝟑𝒙−𝟏

𝟒 30.-

𝒙 − 𝟏

𝟒−𝒙 + 𝟒

𝟐=𝒙 − 𝟓

𝟔

31.- 𝟓 −𝟐𝒙 − 𝟖

𝟑= 𝟔𝒙 +

𝟑𝒙 + 𝟓

𝟐 32.-

𝟑

𝟒(𝟔𝒙 − 𝟖) +

𝟓

𝟐(𝟒𝒙 + 𝟑) =

𝟏

𝟑(𝒙 + 𝟑) −

𝟒𝟎

𝟑

25.- 𝟑𝒙

𝟐−𝟏

𝟑(𝒙 + 𝟒) − (𝟓𝒙 − 𝟕) =

𝒙 − 𝟓

𝟏𝟐

26.-

𝟑𝒙 − 𝟓

𝟐𝒙 + 𝟏+𝟑𝒙 − 𝟑

𝟐𝒙 + 𝟓= 𝟑 27.-

𝒙

𝟔+ 𝟓 =

𝟏

𝟑− 𝒙

28.- 𝟑𝒙

𝟓−𝟐𝒙

𝟑+𝟏

𝟓= 𝟎 29.-

𝟏

𝟐𝒙+𝟏

𝟒−

𝟏

𝟏𝟎𝒙=𝟏

𝟓 30.-

𝒙

𝟐+ 𝟐 −

𝒙

𝟏𝟐=𝒙

𝟔−𝟓

𝟒

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Algebra Página 45


31.- 𝟑𝒙

𝟒−𝟏

𝟓+ 𝟐𝒙 =

𝟓

𝟒−𝟑𝒙

𝟐𝟎 32.-

𝟐

𝟑𝒙−𝟓

𝒙=𝟕

𝟏𝟎−𝟑

𝟐𝒙+ 𝟏 33.-

𝒙 − 𝟒

𝟑− 𝟓 = 𝟎

34.- 𝒙 −𝒙 + 𝟐

𝟏𝟐=𝟓𝒙

𝟐 35.- 𝒙 −

𝟓𝒙 − 𝟏

𝟑= 𝟒𝒙 −

𝟑

𝟓 36.- 𝟏𝟎𝒙 −

𝟖𝒙 − 𝟑

𝟒= 𝟐(𝒙 + 𝟑)

37.- 𝒙 − 𝟐

𝟑−𝒙 − 𝟑

𝟒=𝒙 − 𝟒

𝟓 38.-

𝒙 − 𝟏

𝟐−𝒙 − 𝟐

𝟑−𝒙 − 𝟑

𝟒= −

𝒙 − 𝟓

𝟓

39.- 𝒙 − (𝟓𝒙 − 𝟏) −𝟕 − 𝟓𝒙

𝟏𝟎= 𝟏 40.- 𝟐𝒙 −

𝟓𝒙 − 𝟔

𝟒+𝟏

𝟑(𝒙 − 𝟓) = −𝟓𝒙

41.- 𝟑

𝟓+

𝟑

𝟐𝒙 − 𝟏= 𝟎 42.-

𝟐

𝟒𝒙 − 𝟏=

𝟑

𝟒𝒙 + 𝟏 43.-

𝟓

𝒙𝟐 − 𝟏=

𝟏

𝒙 − 𝟏

44.- 𝟑

𝒙 + 𝟏−

𝟏

𝒙𝟐 − 𝟏= 𝟎 45.-

𝟓𝒙 + 𝟖

𝟑𝒙 + 𝟒=𝟓𝒙 + 𝟐

𝟑𝒙 − 𝟒 46.-

𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟖

𝟓𝒙𝟐 + 𝟗𝒙 − 𝟏𝟗= 𝟐

47.- 𝟏

𝟑𝒙 − 𝟑+

𝟏

𝟒𝒙 + 𝟒=

𝟏

𝟏𝟐𝒙 − 𝟏𝟐 48.-

𝟐𝒙 + 𝟏

𝟒=𝟓𝒙 + 𝟏𝟎

𝟐 49.- 𝒂(𝒙 + 𝟏) = 𝟏

50.- 𝒂𝒙 − 𝟒 = 𝒃𝒙 − 𝟐 51.- 𝒂𝒙 + 𝒃𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝒃𝒙 52.- 𝟑(𝟐𝒂 − 𝒙) + 𝒂𝒙 = 𝒂𝟐 + 𝟗

53.- 𝒂(𝒙 + 𝒃) + 𝒙(𝒃 − 𝒂) = 𝟐𝒃(𝟐𝒂 − 𝒙) 54.- 𝒎

𝒙−𝟏

𝒎=𝟐

𝒎

55.- 𝟐

𝟐𝒂−𝟏 − 𝒙

𝒂𝟐=𝟏

𝟐𝒂 56.-

𝒎

𝒙+𝒏

𝒎=𝒏

𝒙+ 𝟏 57.-

𝒂 − 𝟏

𝒂+𝟏

𝟐=𝟑𝒂 − 𝟐

𝒙

58.- 𝟑 (𝟐

𝟑𝒙 +

𝟏

𝟔) −

𝟑

𝟒(𝟐𝒙 + 𝟏𝟖) = −𝟒 59.-

𝟐

𝟑𝒙 −

𝟑

𝟒+𝟏

𝟒𝒙 = 𝒙 −

𝟓

𝟒

60.- [−𝟑(𝒙 − 𝟗)] + [−𝟐(𝒙 + 𝟗) + 𝟖] =𝟑𝒙 + 𝟗 − 𝒙

𝟐

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Algebra Página 46


En los problemas que se resuelven mediante el planteamiento de una ecuación de primer grado con una incógnita, lo primero es identificar la incógnita y asignarle una letra x,y o z y a partir de ella obtendremos las combinaciones necesarias para plantear la ecuación.

Ejemplos. 1.-Encuentra un número que al sumarle 2 da como resultado 18

PLANTEAMIENTO SOLUCION

Un numero cualquiera (𝒙) Un numero sumado con 2 (𝒙 + 𝟐)

𝑥 + 2 = 18 𝑥 = 18 − 2 𝒙 = 𝟏𝟔

2.-La suma de dos números enteros consecutivos da como resultado 25. Encontrar los números.


Un numero cualquiera (𝑥) Un numero consecutivo (𝑥 + 1)

𝑥 + (𝑥 + 1) = 25 𝑥 + 𝑥 + 1 = 25 𝑥 + 𝑥 = 25 − 1

2𝑥 = 24

𝑥 =24

2

𝒙 = 𝟏𝟐 El primer número es 12 El segundo es 12+1= 13

3.- De una caja de naranjas se sacan, la tercera parte, luego la mitad, quedando en la caja solamente 20 naranjas. ¿Cuántas naranjas había en la caja?


Numero de naranjas (𝑥) La tercera parte de las naranjas (𝑥

3)

La mitad de las naranjas (𝑥2)

𝒙 −𝒙

𝟑−𝒙

𝟐= 𝟐𝟎

𝒙 −𝒙

𝟑−𝒙

𝟐= 𝟐𝟎

𝟔𝒙 − 𝟐𝒙 − 𝟑𝒙

𝟔= 𝟐𝟎

𝒙

𝟔= 𝟐𝟎

𝒙 = 𝟔(𝟐𝟎)

𝒙 = 𝟏𝟐𝟎

En la caja había 120 naranjas

5.2.-PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON EL PLANTEAMIENTO DE

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

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Practica de clase Resolver los siguientes problemas mediante el planteamiento de ecuaciones de primer

grado.

1.- La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menos en 8, hallar los números.

2.- Hallar un número que disminuido en 3/8 equivale a su doble disminuido en 11

3.- En un hotel de dos pisos hay 48 habitaciones. Si las habitaciones del segundo piso son la mitad de las del primero ¿Cuántas habitaciones hay en cada piso?

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ACTIVIDAD 14 Resuelve en tu cuaderno de trabajo los siguientes problemas mediante el planteamiento

de una ecuación de primer grado

1. Encuentra un número que disminuido en 5 dé como resultado 78.

2. Encuentra un número que aumentado en 8 unidades de como resultado 31.

3. Encuentra un número que multiplicado por 3 de 21

4. Encuentra un número que sumado con su mitad es igual a 48.

5. Encuentra un número que sumado con su doble y su tercera parte el resultado sea 100.

6. Encuentra un número que aumentado en su mitad y disminuido en su tercera parte es igual a 70.

7. Encuentra dos números enteros consecutivos que sumados den 39.

8. Encuentra dos números de tal manera que el segundo es igual al primero aumentado en 5 y la suma de ambos es 45.

9. Encuentra dos números enteros de tal forma que el segundo es igual al primero disminuido en tres unidades y la suma de ambos es 37.

10. Encuentra dos números enteros pares consecutivos que sumados den 66.

11. En una canasta hay pelotas de tenis, se saca la cuarta parte, la mitad, y 20 pelotas, quedando 30 pelotas en la canasta. ¿Cuántas pelotas había en el a canasta?

12. Un hombre reparte a sus hijos cierto número de centenarios, al hijo mayor le deja la tercera parte, al de en medio la cuarta parte y al menor la quinta parte, quedándose el hombre con 26 centenarios. ¿Cuántos centenarios tenía antes de repartirlos?

13. Una joven le pregunta a su amiga la edad, y le contesta, piensa un número cualquiera, súmale la mitad, auméntale tres veces el número e iguálalo a 72 y sabrás mi edad. ¿Qué edad tiene la joven?

14. Al pasar un grupo de jóvenes un compañero les dice: “adiós a los 25”, uno de los jóvenes contesto, no somos 25, somos nosotros, más la mitad de nosotros, mas tres veces nosotros, mas siete y entonces si seremos 25. ¿Cuántos jóvenes iban en el grupo?

15. La edad de Juan es la quinta parte de la edad de su padre, si sumadas dan 36 años. ¿Qué edad tienen actualmente cada uno?

16. Busca un numero dela baraja cuyo cuádruplo disminuido en 6 es igual a su doble aumentado en 8.

17. Un campesino que tenía un rebaño de borregos dijo: “Vendí la mitad, la cuarta parte y 5 borregos, quedándome solo 12.”¿Cuántos borregos tenia?

18. Piensa en dos números que sumados den 58, si a cada uno le aumentas 10, el primer número será el doble del segundo. ¿Cuáles son esos números?

19. Hallar las edades de tres alumnos si son consecutivas y pares, las tres edades suman 48 años.

20. En un salón hay 80 alumnos, los reprobados son la tercera parte de los aprobados. ¿Cuántos alumnos hay en cada caso?

21. Una panadería cocina cierta cantidad de piezas de pan por día. Sabiendo que la quinta parte de las piezas de pan más 100 es igual a 1500 piezas. ¿Cuántas piezas de pan se producen por día?

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22. Si multiplicas un número por 5, restas 10 y divides el resultado entre 6, resulta 1500. ¿Cuál es ese número?

23. Un ingeniero en desarrollo de software codifica por día la misma cantidad de líneas de código, sabiendo que la décima parte de las líneas de código y 30 es igual a 500. ¿Cuántas líneas codifica por día el ingeniero?, ¿Cuántas líneas codifica en un mes?

24. Hallar el número que disminuido en 56 equivale a su triple disminuido en 14.

25. La suma de la tercera y la cuarta parte de un número equivale al doble del número disminuido en 17. Hallar el número.

26. Hace 10 años la edad de A eran 35 de la edad que tendrá dentro de 20 años. Hallar la edad actual de

A.

27. La suma de dos números es 100 y el doble del mayor equivale al triple del menor. Hallar los números.

28. Dividir 1080 en dos partes, de tal forma que la parte mayor disminuida en 132 sea igual a la menor aumentada en 100.

29. La suma de las edades de A y B es de 84 años, y B tiene 8 años menos que A. Hallar ambas edades.

30. La edad de A es el doble que la edad de B, y ambas edades suman 36 años. Hallar ambas edades.

31. Dividir 85 en dos partes de tal forma que el triple de la parte menor sea igual al doble de la parte mayor.

32. Dividir 93 en tres partes, tales que la segunda sea el doble de la primera aumentada en 3 y la tercera sea las 3

5 partes de la primera. Hallar las tres partes.

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Resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas simultaneas con dos incógnitas significa encontrar el P(x, y) en donde las rectas que representan las ecuaciones se cortan. Al tener dos rectas que representan las ecuaciones de primer grado pueden ocurrir los siguientes casos:

Sistema Consistente

En este caso las rectas se cortan en un solo punto P(X, Y).

Sistema Inconsistente

En este caso las rectas que representan las ecuaciones no se cortan, por lo tanto este tipo de

sistemas no tiene solución

Sistema dependiente.

En este caso las rectas que representan las ecuaciones, están una sobre otra, son la misma recta, por lo tanto este tipo de sistemas no tiene

solución.

Para resolver cualquier sistema de ecuaciones de dos ecuaciones con dos incógnitas de primer grado existen varios métodos de solución:

6.-SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS

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METODOS DE SOLUCION

{

𝑴𝒆𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒐 𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂

𝑴𝒆𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏

𝑴𝒆𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒔𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏𝑴𝒆𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔

𝑴𝒆𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒈𝒓𝒂𝒇𝒊𝒄𝒐

En los cuales lo que varía es la forma pero no la finalidad, que es encontrar el punto de cruce P (x, y), dado que al resolverlo por cualquiera de los métodos obtendremos los mismo resultados. A continuación analizaremos cada uno de los métodos de solución mencionados:

METODOS DE SOLUCION

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Reglas para la solución 1) Se necesita que los coeficientes de 𝑥 ó 𝑦 tengan el mismo valor pero signo contrario, para lograr

esto se debe multiplicar una o ambas ecuaciones por un factor adecuado. 2) Se suman las ecuaciones eliminándose el valor que se igualo y se obtiene al despejar la primera

incógnita. 3) Se sustituye la respuesta obtenida en cualquiera de las dos ecuaciones y se obtiene la segunda

incógnita.

Ejemplos:

𝒂) 𝒙 + 𝒚 = 𝟔

𝒃) 𝒙 − 𝒚 = 𝟐

En este caso no hay que multiplicar porque las y ya tienen un mismo coeficiente y signo contrario

1.-Se eliminan las y por tener mismo coeficiente y signo contrario y se suman los términos de x, y los independientes quedando:

2𝑥 = 8

𝑥 =8

2

𝒙 = 𝟒

2.-Sustituimos el valor encontrado de x en la ecuación a y obtenemos el valor de y.

4 + 𝑦 = 6 𝑦 = 6 − 4 𝒚 = 𝟐

el punto de cruce se las rectas es 𝑷(𝟒, 𝟐)

𝒂) 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟓 𝒃) 𝒙 + 𝒚 = 𝟓

En este caso eliminaremos los términos de y, para lograrlo multiplicamos por (-2 ) la ecuación b

1.-Al multiplicar por (-2) la ecuación b nos queda: −2𝑥 − 2𝑦 = −10 a esta ecuación le llamamos b´ y la sumamos con la ecuación a.

3𝑥 + 2𝑦 = 5 −2𝑥 − 2𝑦 = −10

En esta suma se eliminan los términos de y por tener los mismos coeficientes y signos contrarios, quedando:

𝒙 = −𝟓

2.-Sustituimos el valor encontrado de x en la ecuación b y obtenemos el valor de y.

−𝟓 + 𝒚 = 𝟓

𝒚 = 𝟏𝟎

el punto de cruce se las rectas es

𝑷(−𝟓, 𝟏𝟎)

PRACTICA DE CLASE Resolver por suma y resta los siguientes sistemas de ecuaciones

1.- {𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟐𝟎𝒙 − 𝒚 = 𝟔

6.1.- SOLUCION POR SUMA Y RESTA (ELIMINACION)

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Reglas para la solución 1) Se despeja x ó y en ambas ecuaciones 2) Se igualan la expresiones obtenidas 3) Se obtiene por métodos algebraicos la primer incógnita y se sustituye en cualquiera de las

ecuaciones para obtener la segunda incógnita

Ejemplo:

𝒂) 𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟐 𝒃) 𝟑 𝒙 − 𝒚 = −𝟐

1.- Despejamos y en ecuación a

𝒚 = 𝟏𝟐 − 𝟐𝒙

2.-Despejamos y en ecuación b −𝒚 = −𝟐 − 𝟑𝒙

𝒚 = 𝟐 + 𝟑𝒙

3.- Igualamos los valores despejados de y.

𝒚 = 𝒚

12 − 2𝑥 = 2 + 3𝑥 −2𝑥 − 3𝑥 = 2 − 12

−5𝑥 = −10

𝑥 =−10

−5

𝒙 = 𝟐

4.- Sustituimos el valor encontrado de x en ecuación b obtenemos el valor de y.

3(2) − 𝑦 = −2 6 − 𝑦 = −2 −𝑦 = −2 − 6 −𝑦 = −8

𝒚 = 𝟖

El punto de cruce se las rectas es

𝑷(𝟐, 𝟖)

2.- {𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟗

−𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 = −𝟐𝟐

PRACTICA DE CLASE Resolver por igualación los siguientes sistemas de ecuaciones

1.- {𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 = −𝟓𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟔

2.- {𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟑

−𝟑𝒙 − 𝒚 = −𝟒

6.2.- SOLUCION POR IGUALACION

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Algebra Página 54


Reglas para la solución. 1) Se despeja x ó y en una de las ecuaciones y este valor se sustituye en la otra para obtener la

primer incógnita 2) Se sustituye el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones y se encuentra la segunda incógnita.

Ejemplo:

𝒂) 𝟐𝒙 + 𝒚 = −𝟏

𝒃) 𝒙 + 𝟐𝒚 = −𝟓

1.- Despejamos y en ecuación a

𝒚 = −𝟏 − 𝟐𝒙

2.- Sustituimos el valor de y despejado de la ecuación a en la ecuación b

𝑥 + 2(−𝟏 − 𝟐𝒙) = −5 𝑥 − 2 − 4𝑥 = −5 −3𝑥 = −5 + 2

−3𝑥 = −3

𝑥 =−3

−3

𝒙 = 𝟏

3.- Sustituimos el valor encontrado de x en ecuación b obtenemos el valor de y.

1 + 2𝑦 = −5 2𝑦 = −5 − 1 2𝑦 = −6

𝑦 =−6

2

𝒚 = −𝟑

El punto de cruce de las rectas es

𝑷(𝟏,−𝟑)

PRACTICA DE CLASE Resolver por sustitución los siguientes sistemas de ecuaciones

1.- {𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟐𝟎𝒙 − 𝒚 = 𝟔

2.- {𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟗

−𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 = −𝟐𝟐

6.3.- SOLUCION POR SUSTITUCION

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Algebra Página 55


Reglas para la solución. Si tenemos dos ecuaciones cualesquiera de primer grado con dos incógnitas como:

1) 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒄 2) 𝒅𝒙 + 𝒆𝒚 = 𝒇

Para obtener el valor de las incógnitas se utilizan las siguientes determinantes:

𝒙 =

𝒄 𝒃𝒇 𝒆𝒂 𝒃𝒅 𝒆

𝒙 =𝒄𝒆 − 𝒇𝒃

𝒂𝒆 − 𝒅𝒃 𝒚 =

𝒂 𝒄𝒅 𝒇𝒂 𝒃𝒅 𝒆

𝒚 =𝒂𝒇 − 𝒅𝒄

𝒂𝒆 − 𝒅𝒃

Ejemplo: 𝒂) 𝒙 + 𝒚 = 𝟖 𝒂 = 𝟏 , 𝒃 = 𝟏, 𝒄 = 𝟖

𝒃) 𝒙 − 𝒚 = −𝟒 𝒅 = 𝟏, 𝒆 = −𝟏, 𝒇 = −𝟒

𝒙 =

𝟖 𝟏−𝟒 −𝟏𝟏 𝟏𝟏 −𝟏

=(𝟖)(−𝟏) − (−𝟒)(𝟏)

(𝟏)(−𝟏) − (𝟏)(𝟏)=−𝟖 − (−𝟒)

−𝟏 − (𝟏)=−𝟖+ 𝟒

−𝟏− 𝟏=−𝟒

−𝟐= 𝟐

𝑦 =

𝟏 𝟖𝟏 −𝟒𝟏 𝟏𝟏 −𝟏

=(𝟏)(−𝟒) − (𝟏)(𝟖)

(𝟏)(−𝟏) − (𝟏)(𝟏)=−𝟒 − (𝟖)

−𝟏 − (𝟏)=−𝟒 − 𝟖

−𝟏 − 𝟏=−𝟏𝟐

−𝟐= 𝟔

El punto P de cruce de las rectas es P(2,6)

PRACTICA DE CLASE Resolver por determinantes los siguientes sistemas de ecuaciones

1.- {𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 = −𝟓𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟔

6.4.- SOLUCION POR DETERMINANTES

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Algebra Página 56


Para el método grafico se realizan prácticas en Geógebra

2.- {𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟑

−𝟑𝒙 − 𝒚 = −𝟒

6.5.- SOLUCION POR METODO GRAFICO

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Algebra Página 57


ACTIVIDAD 15

Resuelve en tu cuaderno de trabajo los siguientes sistemas de ecuaciones de primer grado utilizando los métodos vistos previamente.

1. {𝒙 + 𝒚 = 𝟕𝒙 − 𝒚 = 𝟏

2. {𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟒𝒙 + 𝒚 = 𝟎

3. {𝟓𝒙 − 𝟔𝒚 = −𝟔𝒙 + 𝒚 = 𝟏

4. {𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟒

5. {𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟓𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟏

6. {𝟐𝒙 + 𝒚 = −𝟓𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 = −𝟔

7. {𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟐𝟏𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 = −𝟓

8. {𝟔𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟑

−𝟒𝒙 + 𝟕𝒚 = −𝟐 9. {

𝒙 − 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟒

10. {𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟑

−𝟑𝒙 − 𝒚 = −𝟒 11. {

𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟔𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟐

12. {𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟒𝟔𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟑

13. {𝟓𝒙 − 𝟔𝒚 = −𝟐𝟕𝒙 + 𝟗𝒚 = 𝟑

14. {𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 = 𝟑

−𝟑𝒙 + 𝟖𝒚 = −𝟏𝟐 15. {

𝟐𝒙 + 𝒚 = −𝟓𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 = −𝟔

16. {𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟒 = 𝟎𝒚 + 𝟐𝒙 − 𝟐 = 𝟎

17. {𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟏𝒙 − 𝟒𝒚 = −𝟏𝟕

18. {𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟐𝟑𝒙 − 𝒚 = −𝟑

19. {𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟏𝟏 = 𝟎−𝟐𝒚 + 𝒙 = −𝟓

20. {𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟏𝟓𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟔

21. {𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏𝟓𝒙 − 𝟔𝒚 = −𝟏

22. {𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟐𝟐𝒙 − 𝟔𝒚 = −𝟏

23. {𝒙 + 𝟔𝒚 = 𝟐𝟕𝟕𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟗

24. {𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟐𝟓𝒙 + 𝟖𝒚 = −𝟔𝟎

25. {𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟕𝟐𝒙 − 𝒚 = −𝟒

26. {

𝟑𝒙

𝟐+ 𝒚 = 𝟏𝟏

𝒙 +𝒚

𝟐= 𝟕

27. {

𝟓𝒙

𝟏𝟐− 𝒚 = 𝟗

𝒙 −𝟑𝒚

𝟒= 𝟏𝟓

28. {𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟔𝟓𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟏𝟑

29. {𝟓𝒙 + 𝟕𝒚 = −𝟏

−𝟑𝒚 + 𝟒𝒚 = −𝟐𝟒 30. {

𝟒𝒚 + 𝟑𝒙 = 𝟖𝟖𝒙 − 𝟗𝒚 = −𝟕𝟕

31. {𝟔𝒙 − 𝟓𝒚 = −𝟗𝟒𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟑

32. {𝟕𝒙 − 𝟏𝟓𝒚 = 𝟏−𝒙 − 𝟔𝒚 = 𝟖

33. {𝟑𝒙 − 𝟒𝒚 = 𝟒𝟏𝟏𝟏𝒙 + 𝟔𝒚 = 𝟒𝟕

34. {𝟓𝒙 + 𝟕𝒚 = −𝟏

−𝟑𝒚 + 𝟒𝒚 = −𝟐𝟒 35. {

𝟕𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟏𝟑𝟓𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟏𝟗

36. {𝟐𝒙 + 𝟓𝒚 = −𝟐𝟒𝟖𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟏𝟗

37. {𝟓𝒙 + 𝟔𝒚 = 𝟐𝟎𝟒𝒙 − 𝟑𝒚 = −𝟐𝟑

38. {𝟓𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟓𝟒𝒙 + 𝟕𝒚 = 𝟐𝟕

39. {𝒙 + 𝒚 = 𝟔

𝟓𝒙 − 𝟒𝒚 = 𝟏𝟐

40. {𝟕𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟓𝟒𝒙 − 𝒚 − 𝟓 = 𝟎

41. {𝟑𝒙 − 𝟐 = −𝟐𝒚𝟏 = 𝟏𝟓𝒙 − 𝟖𝒚

42. {𝟐𝒙 − 𝟓𝒚 = −𝟏

𝟔𝒙 + 𝟒𝒚 =𝟐𝟑

𝟓

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Algebra Página 58


Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas podemos utilizar también el método por suma y resta y aplicaremos los siguientes pasos:

Reglas para la solución

1. Se combinan dos de las ecuaciones dadas, se elimina una de las incógnitas por suma y resta y con ello se obtiene una ecuación de dos incógnitas.

2. Se combina la tercera ecuación con cualquiera de las otras dos ecuaciones dadas y se elimina entre ellas la misma incógnita que se eliminó en el paso anterior, obteniéndose otra ecuación de dos incógnitas.

3. Se resuelve el sistema formado por las dos ecuaciones con dos incógnitas que se han obtenido, hallando de este modo dos de las incógnitas.

4. Los valores de las incógnitas obtenidos se sustituyen en una de las ecuaciones dadas de tres incógnitas, con lo que obtendremos la tercera incógnita.

Ejemplo: resolver el sistema

𝟏) 𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝒛 = 𝟔 𝟐) 𝟐𝒙 + 𝟓𝒚 − 𝟕𝒛 = −𝟗

𝟑) 𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟐

1.- Combinamos las ecuaciones (1) y (2), vamos a eliminar la 𝑥 . Para ellos multiplicamos la ecuación (1) por 2. Quedando:

{(𝟏) 𝟐𝒙 + 𝟖𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟏𝟐(𝟐) − 𝟐𝒙 − 𝟓𝒚 + 𝟕𝒛 = 𝟗

(𝟒) 𝟑𝒚 + 𝟓𝒛 = 𝟐𝟏

2.- Combinamos la tercera ecuación (3) con cualquiera de las otras 2, la combinamos con la (1), multiplicando la

ecuación (1) por 3 y la ecuación (3) por -1 Quedando:

{(𝟏) 𝟑𝒙 + 𝟏𝟐𝒚 − 𝟑𝒛 = 𝟏𝟖(𝟐) − 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝒛 = −𝟐

(𝟓) 𝟏𝟒𝒚 − 𝟒𝒛 = 𝟏𝟔

Dividiendo entre 2

(𝟓) 𝟕𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟖

3.- Ahora trabajamos con las ecuaciones (4) y (5) y formamos un sistema. (𝟒) 𝟑𝒚 + 𝟓𝒛 = 𝟐𝟏 (𝟓) 𝟕𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟖 Resolvemos el sistema, eliminamos la 𝑧 , para ellos multiplicamos la ecuación (4) por 2 y la ecuación (5) por 5.Quedando. (𝟒) 𝟔𝒚 + 𝟏𝟎𝒛 = 𝟒𝟐 (𝟓) 𝟑𝟓𝒚 − 𝟏𝟎𝒛 = 𝟒𝟎 𝟒𝟏𝒚 = 𝟖𝟐 𝒚 = 𝟐

4.- Sustituimos 𝑦 = 2 en ecuación (5) y se obtiene:

𝟕(𝟐) − 𝟐𝒛 = 𝟖

𝟏𝟒 − 𝟐𝒛 = 𝟖

−𝟐𝒛 = 𝟖 − 𝟏𝟒

𝒛 =−𝟔

−𝟐

𝒛 = 𝟑

5.- Finalmente sustituimos 𝑦 = 2, 𝑧 = 3 en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo la (1), obteniendo: 𝒙 + 𝟒(𝟐) − 𝟑 = 𝟔 𝒙 + 𝟖 − 𝟑 = 𝟔

𝒙 = 𝟔 − 𝟖 + 𝟑

𝒙 = 𝟏

𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 {𝒙 = 𝟏𝒚 = 𝟐𝒛 = 𝟑

7.- SISTEMAS DE TRES ECUACIONES CON TRES INCOGNITAS

7.1- SOLUCION POR SUMA Y RESTA (ELIMINACION)

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Algebra Página 59


PRACTICA DE CLASE Resolver el sistema

{

𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟏 (𝟏)𝒙 − 𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟏𝟑 (𝟐)𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝒛 = 𝟕 (𝟑)

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Algebra Página 60


ACTIVIDAD 16 Resuelve en tu cuaderno de trabajo los siguientes sistemas de ecuaciones de primer

grado utilizando el método visto previamente.

1. {

𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟔𝒙 − 𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟓𝒙 − 𝒚 − 𝟑𝒛 = −𝟏𝟎

2. {

𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟐𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝒛 = 𝟕𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝒛 = 𝟔

3. {

𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟔𝒙 − 𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟓𝒙 − 𝒚 − 𝟑𝒛 = −𝟏𝟎

4. {

𝒙 − 𝒚 + 𝒛 = 𝟐𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟒

𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝒛 = −𝟒 5. {

𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟔𝒙 − 𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟓𝒙 − 𝒚 − 𝟑𝒛 = −𝟏𝟎

6. {

𝟑𝒙 − 𝒚 − 𝟔𝒛 = 𝟎𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟏𝟏𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟗𝒛 = 𝟓

7. {

𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟏𝟖𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝒛 = 𝟐𝟓𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟑𝒛 = −𝟏𝟗

8. {

𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟏𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = −𝟏𝟓−𝟔𝒙 + 𝒚 − 𝟗𝒛 = −𝟏

9. {

𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟑𝒛 = −𝟗𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟏𝟕𝟑𝒙 − 𝒚 − 𝒛 = 𝟐

10. {

𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝒛 = 𝟓𝟒𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = −𝟑𝟔𝒙 + 𝒚 − 𝟒𝒛 = 𝟖

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Algebra Página 61


Las ecuaciones de segundo grado, son ecuaciones que una vez simplificadas, el mayor exponente de la incógnita es 2, de esta forma 4𝑥2 + 7𝑥 + 6 = 0, es una ecuación de segundo grado, si son completas poseen una variable elevada a la segunda potencia ( 𝑥2), una elevada a la primera potencia (𝑥) y un término independiente (c). Hay de tres tipos que se mencionan en la siguiente tabla.

Si la ecuación cuadrática es completa tiene tres términos. 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎

Si la ecuación es incompleta puede darse el caso de ser una ecuación incompleta pura, en donde

el término faltante es la incógnita elevada a la potencia uno.

𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎 , 𝒃 = 𝟎

Si la ecuación es incompleta mixta, el termino que falta es el independiente. 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎 , 𝒄 = 𝟎

El siguiente diagrama se muestran los diferentes métodos de solución para las ecuaciones cuadráticas.

8.- ECUACIONES CUADRATICAS

TIPOS DE ECUACIONES CUADRATICAS

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

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Algebra Página 62


Reglas para la solución:

1.- Se despeja 𝑥2 2.- Se extrae la raíz cuadrada a los dos lados de la ecuación. 3.- Se obtienen las dos incógnitas.

Ejemplos. Resolver por despeje la siguientes ecuaciones incompletas puras

𝟐𝒙𝟐 − 𝟖 = 𝟎 𝟒𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 = 𝟎

𝟐𝒙𝟐 = 𝟖

𝒙𝟐 =𝟖

𝟐

𝒙𝟐 = 𝟒

√𝒙𝟐 =+

−√𝟒

𝟒𝒙𝟐 = 𝟐𝟓

𝒙𝟐 =𝟐𝟓

𝟒

√𝒙𝟐 =+

−√𝟐𝟓

𝟒

𝒙𝟏 = 𝟐 𝒙𝟐 = −𝟐 𝒙𝟏 =𝟓

𝟐 𝒙𝟐 = −

𝟓

𝟐

PRACTICA DE CLASE Resolver por despeje las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas puras de la forma

𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎

1.- 𝟐𝒙𝟐 = 𝟏𝟖

2.- 𝒙𝟐 − 𝟏𝟔 = 𝟎

8.1.- ECUACIONES CUADRATICAS INCOMPLETAS PURAS DE LA FORMA

𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎

SOLUCION POR DESPEJE

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Algebra Página 63


𝒙 =−𝒃

+−√𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂


1.- Se ordena la ecuación colocando primero el término a la segunda potencia ( 𝑥2), luego el termino elevado a la primer potencia (𝑥), y por último el termino independiente (𝑐), y se iguala a cero.

2.- a es el coeficiente que acompaña a ( 𝑥2), b es el coeficiente que acompaña a (𝑥), y c es el termino independiente. 3.- Se sustituyen los valores de a, b y c en la formula general 4.- Se obtienen las respuestas

Ejemplos. Resolver por formula general 𝟒𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 = 𝟎

𝒙 =−𝒃

+−√𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂

𝒙 =

+−√(−𝟏𝟔)(−𝟐𝟓)

𝟒

𝒙 =

+−√

𝟒𝟎𝟎

𝟒

𝒙 =

+−𝟐𝟎

𝟒

𝒙𝟏 =𝟓

𝟐 𝒙𝟐 = −

𝟓

𝟐

𝒂 = 𝟒, 𝒃 = 𝟎, 𝒄 = −𝟐𝟓

Omitimos el valor de b, dado que es cero

𝒙 =

+−√−𝟒(𝟒)(−𝟐𝟓)

𝟐(𝟐)

PRACTICA DE CLASE Resolver por formula general las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas puras de la

forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎

1.- 𝟐𝒙𝟐 = 𝟏𝟖

2.- 𝒙𝟐 − 𝟏𝟔 = 𝟎

SOLUCION POR FORMULA GENERAL

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Algebra Página 64



1.- Se obtiene el factor común 2.- Se iguala cada uno de los factores a cero 3.- Se despejan las incógnitas y se obtienen las respuestas

Ejemplos. Resolver por factor común las siguientes ecuaciones incompletas mixtas

𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 = 𝟎 𝒙𝟐 +𝟑

𝟐𝒙 = 𝟎

Se obtiene el factor común: 𝟑𝒙(𝒙 − 𝟐) = 𝟎

Se iguala cada uno de los factores a cero 𝟑𝒙 = 𝟎 𝒙 − 𝟐 = 𝟎

𝒙𝟏 =𝟎

𝟑 𝒙𝟐 = 𝟐

𝒙𝟏 = 𝟎 𝒙𝟐 = 𝟐

Se obtiene el factor común:

𝒙 (𝒙 −𝟑

𝟐) = 𝟎

Se iguala cada uno de los factores a cero

𝒙 = 𝟎 𝒙 −𝟑

𝟐= 𝟎

𝒙𝟏 = 𝟎 𝒙𝟐 =𝟑

𝟐

Ejemplos. Resolver por formula general

𝟓𝒙𝟐 − 𝟏𝟓𝒙 = 𝟎

𝒙 =−𝒃

+−√𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂

𝒙 =𝟏𝟓+−𝟏𝟓

𝟏𝟎

𝒙𝟏 =𝟏𝟓 + 𝟏𝟓

𝟏𝟎=𝟑𝟎

𝟏𝟎

𝒙𝟏 = 𝟑

𝒙𝟐 =𝟏𝟓 − 𝟏𝟓

𝟏𝟎=𝟎

𝟏𝟎

𝒙𝟐 = 𝟎

𝒂 = 𝟓 𝒃 = −𝟏𝟓 𝒄 = 𝟎

𝒙 =−(−𝟏𝟓)

+−√(−𝟏𝟓)𝟐 − 𝟒(𝟓)(𝟎)

𝟐(𝟓)

𝒙 =𝟏𝟓+−√𝟐𝟐𝟓

𝟏𝟎

𝒙 =𝟏𝟓+−𝟏𝟓

𝟏𝟎

8.2.- ECUACIONES CUADRATICAS INCOMPLETAS MIXTAS DE LA FORMA

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎

SOLUCION POR FACTORIZACION


CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Algebra Página 65


PRACTICA DE CLASE Resolver los métodos anteriores la siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas

mixtas de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎

𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 = 𝟎

𝟗𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 = 𝟎

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Algebra Página 66



1.- Se factoriza utilizando el método del trinomio cuadrado perfecto de la forma

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 con 𝒂 = 𝟏 Regla: Se factoriza en dos paréntesis multiplicando, cada uno contendrá dos términos, se extrae el cuadrado al término que lo tiene y se coloca como primer término en ambos paréntesis, se buscan dos

número que multiplicados del el ultimo termino (𝒄) y sumados el de en medio (𝒃𝒙) y se colocan como segundos términos de cada paréntesis.

2.- Cada uno de los factores de iguala a cero y se obtienen las respuestas

Ejemplos. Resolver por factorización las siguientes ecuaciones cuadráticas completas de la forma

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 con 𝒂 = 𝟏

𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟔 = 𝟎 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓 = 𝟎

Factorizamos:

(𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟐) = 𝟎 Se iguala cada uno de los factores a cero y despejamos:

𝒙 + 𝟑 = 𝟎 𝒙 + 𝟐 = 𝟎

𝒙𝟏 = −𝟑 𝒙𝟐 = −𝟐

Factorizamos:

(𝒙 + 𝟓)(𝒙 − 𝟑) = 𝟎 Se iguala cada uno de los factores a cero y despejamos:

𝒙 + 𝟓 = 𝟎 𝒙 − 𝟑 = 𝟎

𝒙𝟏 = −𝟓 𝒙𝟐 = 𝟑

PRACTICA DE CLASE Resolver por factorización las siguientes ecuaciones cuadráticas completas de la forma

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 con 𝑎 = 1

1. 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐 = 𝟎

2. 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓 = 𝟎

8.3.- ECUACIONES CUADRATICAS COMPLETAS DE LA FORMA

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 con 𝒂 = 𝟏


CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

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Algebra Página 67



𝒙𝟐 − 𝟏𝟏 + 𝟐𝟒 = 𝟎

𝒙 =−𝒃

+−√𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂

𝒙 =𝟏𝟏+−𝟓

𝟐

𝒙𝟏 =𝟏𝟏 + 𝟓

𝟐=𝟏𝟔

𝟐

𝒙𝟏 = 𝟖

𝒙𝟐 =𝟏𝟏 − 𝟓

𝟐=𝟔

𝟐

𝒙𝟐 = 𝟑

𝒂 = 𝟏 𝒃 = −𝟏𝟏 𝒄 = 𝟐𝟒

𝒙 =−(−𝟏𝟏)

+−√(−𝟏𝟏)𝟐 − 𝟒(𝟏)(𝟐𝟒)

𝟐(𝟏)

𝒙 =𝟏𝟏+−√

𝟐𝟓

𝟐

𝒙 =𝟏𝟏+−𝟓

𝟐

PRACTICA DE CLASE Resolver por fórmula general las siguientes ecuaciones cuadráticas completas de la forma

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 con 𝑎 = 1

3. 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐 = 𝟎

4. 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓 = 𝟎


CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Algebra Página 68



1.- Se pasa a la derecha el término independiente 2.- El término que acompaña a 𝑥 se divide entre 2, se eleva al cuadrado y se aumenta a ambos lados de la igualdad. 3.- Se factoriza el Trinomio Cuadrado Perfecto 4.- Se extrae la raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad

5.- Se toma el valor positivo y negativo de la raíz y se obtiene las respuestas

Ejemplos. Resolver por el método de completar el Trinomio Cuadrado Perfecto

𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟕 = 𝟎

Paso 1 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 = 𝟕

Paso 2 𝟔

𝟐= 𝟑 (𝟑)𝟐 = 𝟗 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟗 = 𝟕 + 𝟗

Paso 3 (𝒙 + 𝟑)𝟐 = 𝟏𝟔

Paso 4 √(𝒙 + 𝟑)𝟐 =+

−√𝟏𝟔

Paso 5

𝒙 + 𝟑 =+

−𝟒

𝒙𝟏 = 𝟒 − 𝟑 𝒙𝟏 = 𝟏

𝒙𝟐 = −𝟒 − 𝟑 𝒙𝟐 = −𝟕

PRACTICA DE CLASE Resolver completando el Trinomio cuadrado perfecto las siguientes ecuaciones cuadráticas

completas de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 con 𝑎 = 1

𝒙𝟐 − 𝟏𝟔𝒙 + 𝟔𝟑 = 𝟎

5. 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓 = 𝟎

SOLUCION COMPLETANDO EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

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Algebra Página 69



1.- Se factoriza utilizando el método del trinomio cuadrado perfecto de la forma

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 con 𝒂 ≠ 𝟏. 2.- Cada uno de los factores de iguala a cero y se obtienen las respuestas

Ejemplos. Resolver por factorización las siguientes ecuaciones cuadráticas completas de la forma

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 con 𝒂 ≠ 𝟏

𝟔𝒙𝟐 + 𝟐𝟕𝒙 + 𝟐𝟏 = 𝟎 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟏𝟒𝒙 − 𝟏𝟐 = 𝟎

Factorizamos:

(𝟑𝒙 + 𝟑)(𝟐𝒙 + 𝟕) = 𝟎

Comprobación

(𝟑𝒙)(𝟐𝒙) = 𝟔𝒙𝟐 (𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒂𝒙𝟐)

(𝟑)(𝟕) = 𝟐𝟏 (𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒄)

(𝟑𝒙)(𝟕) = 𝟐𝟏𝒙 (𝟐𝒙)(𝟑) = 𝟔𝒙

𝟐𝟏𝒙 + 𝟔𝒙 = 𝟐𝟕𝒙 ( 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒃𝒙) Se iguala cada uno de los factores a cero y despejamos:

𝟑𝒙 + 𝟑 = 𝟎 𝟐𝒙 + 𝟕 = 𝟎

𝒙𝟏 =−𝟑

𝟑 𝒙𝟐 =

−𝟕

𝟐

𝒙𝟏 = −𝟏 𝒙𝟐 =−𝟕

𝟐

Factorizamos:

(𝟓𝒙 − 𝟑)(𝟐𝒙 + 𝟒) = 𝟎

Comprobación

(𝟓𝒙)(𝟐𝒙) = 𝟏𝟎𝒙𝟐 (𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒂𝒙𝟐)

(−𝟑)(𝟒) = −𝟏𝟐 (𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒄)

(𝟓𝒙)(𝟒) = 𝟐𝟎𝒙 (𝟐𝒙)(−𝟑) = −𝟔𝒙

𝟐𝟎𝒙 − 𝟔𝒙 = 𝟏𝟒𝒙 ( 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒃𝒙) Se iguala cada uno de los factores a cero y despejamos:

𝟓𝒙 − 𝟑 = 𝟎 𝟐𝒙 + 𝟒 = 𝟎

𝒙𝟏 =−𝟑

𝟓 𝒙𝟐 =

−𝟒

𝟐

𝒙𝟏 =−𝟑

𝟓 𝒙𝟐 = −𝟐

8.4.- ECUACIONES CUADRATICAS COMPLETAS DE LA FORMA

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 con 𝒂 ≠ 𝟏


CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

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Algebra Página 70


PRACTICA DE CLASE Resolver por factorización las siguientes ecuaciones cuadráticas completas de la forma

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 con 𝑎 ≠ 1

1. 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏𝟎𝟓 = 𝟎

2. 𝟑𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟐 = 𝟎

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

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Algebra Página 71



1.- Se divide cada uno de los términos entre el coeficiente que acompaña a 𝑥2 y se pasa a la derecha el término independiente 2.- El término que acompaña a X se divide entre 2, se eleva al cuadrado y se aumenta a ambos lados de la igualdad. 3.- Se factoriza el Trinomio Cuadrado Perfecto 4.- Se extrae la raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad 5.- Se toma el valor positivo y negativo de la raíz y se obtiene las respuestas

Ejemplo. Resolver por el método de completar el Trinomio Cuadrado Perfecto

𝟔𝒙𝟐 − 𝟏𝟗𝒙 + 𝟏𝟓 = 𝟎

Paso 1

𝟔𝒙𝟐

𝟔−𝟏𝟗𝒙

𝟔+𝟏𝟓

𝟔= 𝟎

𝒙𝟐 −𝟏𝟗𝒙

𝟔= −

𝟏𝟓

𝟔

Paso 2

𝟏𝟗𝟔𝟐𝟏

=𝟏𝟗

𝟏𝟐 (

𝟏𝟗

𝟏𝟐)𝟐

=𝟑𝟔𝟏

𝟏𝟒𝟒

𝒙𝟐 −𝟏𝟗𝒙

𝟔+𝟑𝟔𝟏

𝟏𝟒𝟒= −

𝟏𝟓

𝟔 +𝟑𝟔𝟏

𝟏𝟒𝟒

𝒙𝟐 −𝟏𝟗𝒙

𝟔+𝟑𝟔𝟏

𝟏𝟒𝟒=(−𝟏𝟓)(𝟏𝟒𝟒) + (𝟔)(𝟑𝟔𝟏)

(𝟔)(𝟏𝟒𝟒)

𝒙𝟐 −𝟏𝟗𝒙

𝟔+𝟑𝟔𝟏

𝟏𝟒𝟒=−𝟐𝟏𝟔𝟎 + 𝟐𝟏𝟔𝟔

𝟖𝟔𝟒

𝒙𝟐 −𝟏𝟗𝒙

𝟔+𝟑𝟔𝟏

𝟏𝟒𝟒=

𝟔

𝟖𝟔𝟒

Se simplifica el término de la derecha al dividirlo entre 6

Paso 3 (𝒙 −𝟏𝟗

𝟏𝟐)𝟐

=𝟏

𝟏𝟒𝟒

Paso 4

√(𝒙 −𝟏𝟗

𝟏𝟐)𝟐

=+

−√𝟏

𝟏𝟒𝟒

SOLUCION COMPLETANDO EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

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Algebra Página 72


Paso 5

𝒙 −𝟏𝟗

𝟏𝟐=+

−

𝟏

𝟏𝟐

𝒙𝟏 =𝟏

𝟏𝟐+𝟏𝟗

𝟏𝟐 𝒙𝟏 =

𝟐𝟎

𝟏𝟐=𝟏𝟎

𝟔=𝟓

𝟑

𝒙𝟐 = −𝟏

𝟏𝟐+𝟏𝟗

𝟏𝟐 𝒙𝟐 =

𝟏𝟖

𝟏𝟐=𝟗

𝟔=𝟑

𝟐

PRACTICA DE CLASE Resolver completando el Trinomio Cuadrado Perfecto las siguientes ecuaciones cuadráticas

completas de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 con 𝑎 ≠ 1

1. 𝟓𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏𝟖 = 𝟎

2. 𝟑𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟐 = 𝟎

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Algebra Página 73



𝟏𝟖𝒙𝟐 − 𝟐𝟗𝒙 + 𝟑 = 𝟎

𝒂 = 𝟏𝟖 𝒃 = −𝟐𝟗 𝒄 = 𝟑

𝒙 =−(−𝟐𝟗)

+−√(−𝟐𝟗)𝟐 − 𝟒(𝟏𝟖)(𝟑)

𝟐(𝟏𝟖)

𝒙 =𝟐𝟗+−√𝟔𝟐𝟓

𝟑𝟔

𝒙 =𝟐𝟗+−𝟐𝟓

𝟑𝟔

𝒙𝟏 =𝟐𝟗 + 𝟐𝟓

𝟑𝟔=𝟓𝟒

𝟑𝟔

𝒙𝟏 =𝟓𝟒

𝟑𝟔=𝟐𝟕

𝟏𝟖=𝟗

𝟔=𝟑

𝟐

𝒙𝟐 =𝟐𝟗 − 𝟐𝟓

𝟑𝟔=𝟒

𝟑𝟔

𝒙𝟐 =𝟒

𝟑𝟔=𝟐

𝟏𝟖=𝟏

𝟗

PRACTICA DE CLASE Resolver por formula general las siguientes ecuaciones cuadráticas completas de la forma

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 con 𝑎 ≠ 1

3. 𝟑𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟐 = 𝟎

4. 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏𝟎𝟓 = 𝟎


CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

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Algebra Página 74


ACTIVIDAD 17 Resuelve en tu cuaderno de trabajo las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando los métodos visto previamente.

1. 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟕 = 𝟎 2. 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟖 = 𝟎 3. 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓 = 𝟎

4. 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟐 = 𝟎 5. 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏𝟐 = 𝟎 6. 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐𝟎 = 𝟎

7. 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟒 = 𝟎 8. 𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟒 = 𝟎 9. 𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟕 = 𝟎

10. 𝒙𝟐 − 𝟏𝟒𝒙 + 𝟒𝟖 = 𝟎 11. 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟏𝟑𝟎 = 𝟎 12. 𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟓 = 𝟎

13. 𝟏𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟗𝒙 − 𝟑 = 𝟎 14. 𝟑𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟐 = 𝟎 15. 𝟒𝟎𝒙𝟐 − 𝟑𝟖𝒙 − 𝟏𝟓 = 𝟎

16. 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟕𝒙 + 𝟔 = 𝟎 17. 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟕𝒙 − 𝟏𝟎 = 𝟎 18. 𝟒𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟑 = 𝟎

19. 𝟏𝟐𝒙𝟐𝟓𝒙 − 𝟑 = 𝟎 20. 𝟏𝟖𝒙𝟐 − 𝟐𝟗𝒙 + 𝟑 = 𝟎 21. 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟑 = 𝟎

22. 𝟑𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟔 = 𝟎 23. 𝟓𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟏 = 𝟎 24. 𝟏𝟓𝒙𝟐 + 𝟏𝟕𝒙 + 𝟒 = 𝟎

25. 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 = 𝟎 26. 4𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 = 𝟎 27. 𝟓𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 = 𝟎

28. 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 = 𝟎 29. 𝟓𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝟓𝒙 = 𝟎 30. 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 = 𝟎

31. 𝟕𝒙𝟐 = 𝟏𝟒𝒙 32. 𝟗𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 = 𝟎 33. 𝟓𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 = 𝟎

34. 𝟒𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 = 𝟎 35. 𝟏𝟖𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 = 𝟎 36. 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙 = 𝟎

37. 𝒙𝟐 − 𝟏𝟔 = 𝟎 38. 𝒙𝟐 − 𝟑𝟔 = 𝟎 39. 𝒙𝟐 − 𝟒𝟗 = 𝟎

40. 𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎 41. 𝒙𝟐 − 𝟖𝟏 = 𝟎 42. 𝒙𝟐 − 𝟔𝟒 = 𝟎

43. 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝟕 = 𝟎 44. 𝟑𝒙𝟐 + 𝟏𝟖 = 𝟎 45. 𝟐𝒙𝟐 + 𝟏𝟖 = 𝟎

46. 𝟒𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 = 𝟎 47. 𝟗𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 = 𝟎 48. 𝟓𝒙𝟐 − 𝟏𝟓 = 𝟎

49. 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐 = 𝟎 50. 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓 = 𝟎 51. 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 = 𝟎

52. 𝟔𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 = 𝟎 53. 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟕𝟖𝒙 + 𝟏𝟐𝟎 = 𝟎 54. 𝟓𝒙𝟐 − 𝟑𝟎 = 𝟎

55. 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝟎𝒙 + 𝟕𝟐 = 𝟎 56. 𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏𝟏 = 𝟎 57. 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝟖𝒙 = 𝟎

58. 𝟏𝟖 = 𝟔𝒙 + 𝒙(𝒙 − 𝟏𝟑) 59. 𝒙𝟐 +𝟕

𝟔𝒙 +

𝟏

𝟑= 𝟎 60. 𝒙 +

𝟐

𝒙= 𝟑

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Algebra Página 75


Bibliografía

[𝟏] Baldor Aurelio, Algebra, Mexico 1997, Publicaciones Cultural.

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[𝟑] Garcia Juárez Marco Antonio, Baldor Cuaderno de Ejercicios, México 2013, Publicaciones

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[𝟒] Sánchez Oscar, Jiménez Ángel., Algebra Bachillerato Tecnológico. KeepReading, México

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[𝟓] Perez y Romero J. Alejandro, Algebra, México 2001

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