Identificacion_ARX_bw
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7/23/2019 Identificacion_ARX_bw
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Identificacin de un modelo ARXIdentificacin de un modelo ARX
con Estima de Mnimos Cuadradoscon Estima de Mnimos Cuadrados
Identificacin de SistemasIdentificacin de Sistemas
Autor: Dr. Juan Carlos Gmez
ISIS 2
Identificacin de un modelo ARX usando Estima de
Mnimos cuadrados
IdentificaciIdentificacin de un modelo ARX usando Estima den de un modelo ARX usando Estima de
MMnimos cuadradosnimos cuadrados
Proceso:Proceso: Motor de Corriente Continua con excitacinMotor de Corriente Continua con excitacin
independiente constanteindependiente constante
Ra
J
Lac
+
-
m
u(t)
i(t)
(t) b
=
=
ki
k
m
Conversin Electromecnica
f.c.e.m.
torque
-
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ISIS 3
Estructura de ModeloEstructura de Modelo
Basndose en principios fsicos (2da. Ley de Newton, Leyes de
Kirchhoff y Faraday), es fcil ver que la FT entre la velocidad
y la tensin de armadura del MCC es de la forma
( ) ( )( ) 22
2
2 nn
n
ssK
sUssG
++==
donde
a
an
L
R
J
b+=2
JL
kbR
a
an
22 +=
2kbR
kK
a +=
Considerando entonces que tiene un equivalente discreto
(equivalente ZOH: Zero Order Hold) de la forma
ISIS 4
ZOH G(s)
u(n) y(t)u(t) y(n)
T
Salida discretaSalida continuaEntrada continuaEntrada discreta
Equivalente Discreto ZOHEquivalente Discreto ZOH
-
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ISIS 5
( ) ( ){ }2
2
1
1
2
2
1
1
1ZOH
++
+==
zaza
zbzbsGzG
es natural tratar de identificar los parmetros del modelo ARX
que se deriva de esta transferencia discreta, i.e.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2121 2121 ++= nubnubnanan
(1)Definiendo el vector de parmetros
[ ]Tbbaa 2121=
y el vector de regresin
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]Tnununnn 2121 =
ISIS 6
la ecuacin en diferencias (1) puede escribirse en la forma de un
regresorregresor lineallineal
( ) ( ) nny T=
donde ( ) ( )nny =
Estructura de ModeloEstructura de Modelo
Estimacin de parmetrosEstimacin de parmetros
Basndose en la Estructura de Modelo, puede definirse un predictorpredictor
de la salida en funcin de los datos pasados hasta el instante n-1 y el
vector de parmetros , como
( ) ( ) nnny T= ,1|
La estima de parmetros puede entonces computarse minimizando un
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ISIS 7
criterio cuadrtico en los errores de prediccinerrores de prediccin
( ) ),1|()(, n-nynyn =
Es decir, considerando que se dispone de Npares de datos de
entrada-salida
[ ][ ]{ }=
=N
k
TTT
N kkykkyN
V1
)()()()(Tr1
)(
{ })(argmin
NN V=
{ }Nn
nynu1
)(),( =
CriterioCriterio
CuadrticoCuadrtico
i.e.
=
=
=
N
k
N
k
T
N kykkk1
1
1
)()()()( Estima de MnimosEstima de Mnimos
CuadradosCuadrados
ISIS 8
El sistema realEl sistema real
mHy5.2=aL = 062.0aR Nm/A6.6=k
Nms275.1=b 2Nms30=J
821.5803370.1
99.87)(
2 ++=
sssG Sistema Real (FT)Sistema Real (FT)
{ }9999.09999.1
)1(104399.0)(ZOH)(
2
6
+
+==
zz
zsGzG
Equivalente ZOH (Equivalente ZOH (Ts = 10-4 seg))
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Resultados de IdentificacinResultados de Identificacin
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2
-1
0
1
2
Input
Estimation Data
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
Time [s]
Output
Datos de Entrada-Salida de Estimacin
ISIS 12
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
S alida (verde) y S alida Es timada (roja)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
Tiempo [s ]
Error de Estima
Datos de Validacin
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La FT (en tiempo continuo) estimada puede calcularse con el
siguiente script Matlab
numd=[thetahat(3) thetahat(4)];
dend=[1 thetahat(1) thetahat(2)];
sysd=tf(numd,dend,Ts);
sysc=d2c(sysd,'zoh');
tf(sysc)
y resulta
El modelo IdentificadoEl modelo Identificado
8.580337.1
99.87
)( 2 ++= sssG Modelo IdentificadoModelo Identificado
