1Matemticas Financiera Ingeniera EconmicaEIQ 657Primer Semestre 2012Profesor: Luis Vega A 23 4Valor del dinero en el tiempoEl valor del dinero en el tiempo es el concepto fundamental de la Ingeniera Econmica.5Eldinerocomocualquierotrobien,tieneunvalorintrnseco. Unhombrepuedetenerunacasaopuedecambiarlapor dineroenefectivo,otenerunautoycambiarlopordineroen efectivo. Si este hombre no es dueo de una casaynecesita utilizar una, deber rentarla, es decir, deber pagar por ello; si noposeeunautoynecesitautilizaruno,deber pagaruna renta, no importando si es por media hora, como en el caso de untaxi,oporundaounmes.Delmismomodo,sieste hombrenotienedineroylonecesita,deber pagarcierta cantidad para tenerlo.En general, el uso de bienes ajenos con valor intrnsico implica necesariamente un pago por ese uso.6Elinters esunamedidadelvalordeldineroeneltiempo, representa el incremento entre la suma originalmente prestada o invertida y la cantidad final debida o acumulada.Inters y tasa de intersPara un prstamoOriginal Prestamo - Debida Cantidad Inters =Original Inversin - Acumulada Cantidad Inters =Para una inversin7Cuandoseexpresaelinterscomoporcentajedelmonto originalporunidaddetiempoelresultadoeslaTasade Inters.100original Cantidadtiempo de unidad poracumulado IntersPorcentualIntersde Tasa|||

\|=||||

\|Juntoalatasadeinterssedebeidentificarlaunidadde tiempousada,aestaunidaddetiemposeledenomina Periodo de Inters. El periodo ms comnmente empleado es de1ao,sinembargo,amenudoseutilizanperiodosde intersmascortosqueunao(interstrimestral,inters mensual, etc.). 8Inters simple e inters compuestoCuandoseconsideramsdeunperiododeinterses necesario distinguir entre inters simple e inters compuesto.El Inters Simple se calcula considerando el capital inicial solamentesinconsiderarlasgananciasgeneradasentre los periodos.ElcalculoconIntersCompuesto consideraelcapitaly las ganancias obtenidas entre los periodos.9Ejemplo.Sesolicitaunprstamode$1000aun14%anual. Cuanto dinero se deber al cabo de 3 aos?a) Calculo con inters simple.Fin de Capital Interes Cantidadao adeudada0 10001 140 11402 140 12803 140 1420420 $ .14) 1000)(3)(0 $ (interes) de tasa periodos)( de nmero (Capital)( Interes= ==1420 $ 420 $ 1000 $) (Intereses (Capital)Adeudada Cantidad= + =+ =10b) Calculo con inters compuesto.Fin de Capital Interes Cantidadao adeudada0 1000 10001 140,00 1140,002 159,60 1299,603 181,94 1481,54481,541481.54 $ 481.54 $ 1000 $(Inters) (Capital) Adeudada Candidad= + =+ =Cantidad adeudada luego de tres aos:Inters SimpleInters Compuesto $ 1481.54$ 1420.0011Flujos de efectivo o Flujo de cajaUn flujo de efectivo (o flujo de caja) es el resultado neto de los diversosingresosdedineroypagosdedinero(costos)que ocurren en ciertos intervalos de tiempo.Unaempresatieneunflujodeefectivopositivocuandorecibe dinero por la venta de sus productos; de igual forma, tendr un flujo de efectivo negativo cuando el dinero salga de la empresa,como cuando paga el sueldo a sus trabajadores.Ingresos por Ventas + $ 10.000Pago de sueldos - $ 4.000Flujo de Efectivo Neto = $ 6.00012Unflujodecajanormalmentetendr lugarenalgntiempo dentro de un periododeinters.Comnmentepara simplificar seadoptalaconvencindefindeperiodo quesuponeque todoslosflujosdedineroocurrenalfinaldelcorrespondiente periodo de inters.Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov DicFecha real de pagoEne Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov DicCon el convenio de fin de periodo13Seacostumbrarepresentarlosflujosdeefectivoenforma grfica.Al tiempo se le representa como una lnea horizontal. El inicio del periodo siempreseubicaenelextremoizquierdoyelfinal en el extremo derecho de la lnea. Los flujos de efectivo estarn representadosporflechas,conlapuntahaciaarribaohacia abajo, segn sea positivo o negativo el flujo analizado.+-0 1 2 3 4 5 6 7 8Aos$ 3600$ 700$ 1800$ 600$ 320014Formulas de Ingeniera EconmicaLasformulasmatemticasdeingenieraeconmicageneral-mente involucran los siguientes trminos:P : Suma de dinero en el tiempo presente.F : Suma de dinero en algn tiempo futuro.A : Una serie consecutiva e igual de dinero al finalde cada periodo.G : Gradienten : Nmero de perodos.i : Tasa de inters por perodo 15Tanto P como F son valores sencillos que ocurren una sola vez eneltiempo,expresadasenunidadesmonetarias,mientras queA seexpresaenunidadesmonetariasporunidadde tiempo.0 1 2 3 7 8aosP F 4 5 6AAA 160 1 2 3 n-1 naosP conocida F ?Considerando que se conoce el valor presente de una inversin P y se quiere conocer su valor futuro F al final del periodo n con una tasa de inters anual i.170 1 2 3 n-1 naosF1 F ?El monto de dinero acumulado al final del primer ao seria:) i 1 ( P i P P F1+ = + =180 1 2 3 n-1 naosF2 co F ?Al final del segundo ao la cantidad acumulada F2ser igual a laacumuladaalfinaldelprimeraoF1maslosinteresesdel segundo periodo.21 1 2) i 1 ( P i ) i 1 ( P ) i 1 ( P i F F F + = + + + = + =19Delamismaformatenemosquelacantidaddedinero acumulada al final del tercer ao es:3 22 2 2 3) i 1 ( P ) i 1 ( ) i 1 ( P ) i 1 ( F i F F F + = + + = + = + =De los resultados anteriores se puede generalizarparanaos como:n) i 1 ( P F + =Ejemplo.Sidepositahoy$50.000enunbancoquepagael 26% anual. Qu cantidad de dinero habr acumulado al cabo de 5 aos, si usted no hace ningn retiro durante dicho tiempo?( ) 790 . 158 $ 26 . 0 1 000 . 50 ) i 1 ( P F5 n= + = + =20De la ecuacin anterior obtenemos:( ) (((

+ =ni 1 1F PPodemos conocer el valor presente de un valor futuro conocido al fin del periodo n a un inters i.Ejemplo. Cuanto debe depositarsehoyenunbanco quedaun 2% mensual para poder retirar dentro de un ao $300000?( )548 . 236 $02 . 0 11300000 P12=((

+ =21Si conocemos el valor de una serie de pagos o cuotas iguales A en n periodos a una tasa de inters i y queremos conocer el valor presente P.0 1 2 3 n-1 naos P ?AAAAAA 22Considerando cada A como un valorfuturo para el calculo del valor presente tenemos:(((

+ +(((

+ + +(((

+ +(((

+ +(((

+ = n 1 n 3 2 1) i 1 (1A) i 1 (1A .........) i 1 (1A) i 1 (1A) i 1 (1A P0 1 2 3 n-1 naos P ?AAAAAA 23Factorizando y reordenado la relacin anterior obtenemos:0) (i) i 1 ( i1 ) i 1 (A Pnn(((

+ + =Ejemplo.Cuntodebedepositarsehoyenvezdedepositar mensualmente$3000enunbancoal2%mensualdurante3 aos?76.467 $) 02 . 0 1 ( 02 . 01 ) 02 . 0 1 (3000 P3636=((

+ + =24Delarelacinanteriorpodemosconocerelvalordeunaserie decuotasopagosigualesequivalentesarealizarhoyuna inversin P.(((

++ =1 ) i 1 () i 1 ( iP AnnEjemplo. Un banco otorga un crdito de $5.000.000 a 2 aos a unatasadel3%mensual.Culser elvalordeldividendo mensual?295237 $1 ) 03 . 0 1 () 03 . 0 1 ( 03 . 05000000 A2424=((

++ =25ParaconocerelvalorA delaseriedecuotasuniformes equivalentes a un valor futuro F conocido en el periodo n a una tasa de inters i.0 1 2 3 n-1 naosF AAAAAA A? 26Combinando las dos ecuaciones anteriores:(((

+ =1 ) i 1 (iF Ann) i 1 ( P F + =0) (i) i 1 ( i1 ) i 1 (A Pnn(((

+ + =Obtenemos:Ejemplo.Cuantodebedepositarmensualmenteenunbanco quedaun3%mensual,parateneracumuladoalfinaldedos aos la suma $5.000.000?145.237 $1 ) 03 . 0 1 (03 . 0000 . 000 . 5 A24=((

+ =27De la relacin anterior obtenemos:

i1 ) i 1 (A Fn(((

+ =670604.5 $02 . 01 ) 02 . 0 1 (50000 F12=((

+ =Ejemplo. Cunto se tendr acumulado al final de un ao en un banco que da un 2% mensual si se hacen depsitos mensuales de $50.000?28n) i 1 ( P F + =( ) (((

+ =ni 11F P((

+ + =nn) i 1 ( i1 ) i 1 (A P(((

++ =1 ) i 1 () i 1 ( iP AnnFactor Cantidad Compuesta Pago Unico (FCCPU).FactorValorPresentePago nico (FVPPU).FactorValorPresenteSerie Uniforme (FVPSU).FactordeRecuperacinde Capital (FRC)29((

+ =1 ) i 1 (iF An((

+ =i1 ) i 1 (A FnFactor Fondo de Amortiza-cin (FFA).FactorCantidadCom-puestaSerieUniforme (FCCSU).30PAFn) i 1 ( P F + =) i 1 ( i1 ) i 1 (A Pnn(((

+ + =(((

+ =1 ) i 1 (iF Ani y nEn resumen:31En algunos casos se conoce la cantidad de dinero invertida P y larecibidaF despusdeunnumeroespecificodeaos,yse desea determinar la tasa de inters o tasa de retorno. La tasa de inters desconocida puede determinarse por solucin directa de la ecuacin cuando slo estn involucrados un pago nico y unaentradanica,ounaserieuniformedepagosoentradas. Sinembargo,cuandosetratadepagosnouniformesovarios factoresestninvolucrados,elproblemadeberesolversepor medio de mtodos de ensayo y error.32Ejemplo. Si hoy se hace una inversin comercial que de $3.000 pararecibir$5.000dentrode5aos.Cualseralatasade retorno sobre la inversin?( ) 1076 . 0 135i i 1 3000 5000) i 1 ( P F515n= ||

\|= + =+ =0 1 2 3aosF =5000P=3000 i ? 4 533En otro casos, se requiere determinar el numero de periodosrequeridosparaqueunainversinproduzcaunacantidad determinada de dinero.34Ejemplo. En cunto tiempo se duplicarn $ 1000 si la tasa de inters es de 5% anual? 0 1 2 3 n-1 naosF=2000 i=5% P=1000 n ? ( )( )nnn05 . 0 1 205 . 0 1 1000 2000) i 1 ( P F+ =+ =+ = Aplicando logaritmo: n=14.2Luego, en 14.2 aos se duplica el capital.35Lamejorherramientaparamedirelcostodeuncrditoola rentabilidaddeunainversinlaconstituyelatasadeinters efectiva. Es comn, que cuando se habla de tasas de inters se haga referencia a tasa nominales; por esta razn es necesario aprender a calcular las tasas de inters efectivas con las cuales semedirnloscostosdeuncrditoylarentabilidaddeuna inversin.Tasa de inters nominal y tasa de inters efectiva36Lastasasdeinterscompuestasysimpletienelamisma relacinquelastasasdeintersefectivaynominal,enloque respecta a considerar los intereses ganados entre periodos. La diferencia esta en que la tasas de inters efectiva y nominal se utilizan cuando el periodo de capitalizacin es menor a un ao.Cuando se ocupan periodos de capitalizacin menor a un ao se utilizan las tasas de inters nominal y efectiva37La tasa inters nominal tiene relacin con el inters simple; ya queelcalculodelatasanominalignoraelvalordeldinero ganado en el tiempo. Sedefinelatasadeintersnominal r comolatasadeinters del periodo por el numero de periodo.periodos) de umero periodo)(N por interes de Tasa ( r =Ejemplo. La tasa de inters nominal del 1.8% mensual puede expresarse como: 5.4%nominal trimestral(1.8% 3). 10.8%nominal semestral(1.8% 6). 21.6%nominal anual (1.8% 12).38La ecuacin para obtener la tasa de inters efectiva a partir de una tasa de inters nominal es la siguiente:cin capitaliza de periodos de numero mperiodo por interes de nominal tasa rperodo por efectiva interes de tasa i: Donde===Latasadeintersefectiva esaquellaqueindicaculesla rentabilidad de una inversin o cul es el costo de un crditoy tiene cierta relacin con el inters compuesto.1mr1 im ||

\|+ =En la ecuacin anterior tanto i como r deben ser expresados con el mismo periodo de capitalizacin.39Ejemplo. Un banco anuncia que su tasa de inters nominal para prestamos es 5%trimestral. Calcule:[ ] [ ] [ ][ ] anual % 55 . 21 2155 . 0 1420 . 01 ianual % 20 trimestre 4 trimestral % 5 r4= = ||

\|+ == =[ ] [ ] [ ][ ] semestral % 25 . 10 1025 . 0 1210 . 01 isemestral % 10 trimestres 2 trimestral % 5 r2= = ||

\|+ == =a) Tasa de inters efectiva semestralb) Tasa de inters efectiva anual401) Cuando no se especifica un periodo de capitalizacin, la tasa deintersesunatasaefectiva,suponiendoqueelperiodode capitalizacin es igual al periodo de tiempo especificado.Interpretaciones de las tasas de inters:anual % 12 i =Seinterpretacomoun12%efectivoanualcompuesto anualmente (o capitalizado anualmente).2)Cuandoseespecificaelperiododecapitalizacinsin determinar si la tasa de inters es nominal o efectiva, se supone queest esnominal.Elperiododecapitalizacinescomoel expresado.ente semestralm compuesto anual, % 14 i =Seinterpretacomoun14%nominalanualcompuesto semestralmente.413)Silatasadeintersseexpresacomounatasaefectiva, entonces es una tasa efectiva. Si el periodo de capitalizacin no estadado,sesuponequeesteperiododecapitalizacin coincide con el periodo establecido.trimestral efectivo % i 6 =Seinterpretacomoun6%efectivotrimestralcompuesto trimestralmente.Enlatabla3-2dellibrodeBlankyTarquinIngeniera Econmica seentregandiversasformasdeentregarla tasas de inters y su interpretacin42Amedidaqueelperiododecapitalizacindisminuye,elvalor dem,nmerodeperiodosdecapitalizacinporperiodode inters,aumenta.Cuandoelinterssecapitalizaenforma continua,mseacercaainfinitoylafrmuladelatasade inters efectiva puede escribirse de una nueva forma.1mr1 im ||

\|+ =Considerando la definicin de la base del logaritmo natural.... . ehlimhh71828 211 = = ||

\|+ Tasas de inters efectivas continua.43Aplicandolimitealaecuacindelintersefectivocuandom tiende al infinito:= ||

\|+ = 1mr1 lim i limmm mTomando:h1mr=1h11 lim i lim 1h11 lim i limrhm mr hm m(((

||

\|+ = = ||

\|+ = Luego:1 e ir =Estaecuacinseutiliza paracalcularlatasade inters efectiva continua.44Ejemplo: Cul es la tasa inters efectiva continua anual de una tasa nominal del 15% anual?16183 . 0 1 e i15 . 0= = ) % 183 . 16 (Ejemplo:Siuninversionistaexigeunretornoefectivodeporlo menosel15%sobre sudinero,Culeslatasamnimaanual nominal aceptable si tiene lugar una capitalizacin continua?15 . 0 1 er= 15 . 1 er=) 15 . 1 ( ln ) e ( lnr=14 . 0 r =45Periodos de pago menores que el periodo de capitalizacinEs muy importante distinguir entre periodo de capitalizacin y periodo de pago porque en muchos casos pueden no coincidir.46Ejemplo.Siunaempresadepositadinerocadamesenuna cuenta que paga un inters nominal del 14% anual capitalizado semestralmente.meses. seis es cin capitaliza de periodo Elmes. un es pago de periodo ElMeses 1 2 3 4 5 6 7Periodo de capitalizacin0Periodo de pago47Para los casos donde los periodos de pago son menores que el periododecapitalizacin existenvarioscaminosparacalcular elvalorpresenteovalorfuturodependiendodelas suposicioneshecharespectoalmanejodelospagoshechos entre los periodos de capitalizacin.No hay un inters pagado sobre el dinero depositado o retirado entre los periodos de capitalizacin.Eldinerodepositadooretiradoentrelosperiodosde capitalizacin gana un inters simple.Todaslastransaccionesentrelosperiodosgananun inters compuesto.1.2.3.48Caso 1. Si no se paga inters sobre las transacciones entre los periodos,entoncesseconsideraquecualquiercantidadde dinerodepositadooretiradoentrelosperiodosde capitalizacinhasidodepositadaalfinaldelperiodode capitalizacin o retirada al principio de dicho periodo. Esta eslamanerahabitualdeoperacindelosbancose instituciones de crdito.49Ejemplo. Considerando el siguiente diagrama de flujo de caja y capitalizacin trimestral.0 1 3 2 4 5 6 71208 91011121502007510050meses90450 1 3 2 4 5 6 7 8910111215020017550meses1659050Elsegundodiagramadeflujodecajaquesemuestra anteriormente es la disposicin que toma el primer diagrama de flujodecajaparaelcalculodelvalorpresenteovalorfuturo paraunperiododecapitalizacintrimestralysuponiendono pagodeinteresessobreeldinerodepositadooretiradoentre periodo de capitalizacin.51Caso2.Paraelcasodondecualquiercantidaddedineroque sedepositeoretireentreperiodosdecapitalizacingana inters simple; con el objeto de obtener el inters ganado en el interperiodo, cada depsito debe multiplicarse por:iNM ||

\|cin. capitaliza de perodo por inters de tasa : icin. capitaliza de periodo del final al anteriores perodos de nmero : Mcin. capitaliza de perodo un en perodos de nmero : N: Donde52Ejemplo. Calcule la cantidad de dinero que habra en la cuenta deahorrodeunapersonadespusde12meses,sisehan hechodepsitoscomolomuestralafigura.Supongasequeel bancopaga6%anualcapitalizablesemestralmenteeinters simple sobre depsitos interperidicos.0 1 3 2 4 5 6 7 F ?8 9 10 11121009080758570meses530 1 3 2 4 5 6 7 F ?8 9 10 11 121009080758570meses273.85 $ 80 03 . 06390 90 03 . 065100 100 F6= +((

||

\|+ +((

||

\|+ =Primerosecalculalacantidaddedineroqueseacumulaen cada periodo de capitalizacin (cada seis meses) utilizando una tasa del3% semestral:54La cantidad acumulada el segundo periodo de capitalizacin es:233.93 $ F03 . 06170 70 03 . 06485 85 03 . 06575 75 F1212=((

||

\|+ +((

||

\|+ +((

||

\|+ =0 1 3 2 4 5 6 7 F ?8 9 10 11 12758570meses273.8555El valor futuro F al final del ao ser:516.0 $ 93 . 233 ) 03 . 0 1 ( 85 . 273 F1= + + =Con lo que el diagrama de flujo de caja se reduce:0 1 3 2 4 5 6 7 F ?8 9 10 11 12273.85meses233.9356Comnmentelosflujosdecajaencontradosenlosproblemas del mundo real no se ajustan a los flujos de caja con los cualesdeducimoslasecuacionesfinancierasencontradasanterior-mente, por lo que ser necesario combinar estas ecuaciones a fin de resolver estos problemas.Factores mltiples0 1 2 3 4 5 667 860 0001 100 000i = 8%50 00080 000200 00057Noesposiblecompararcantidadesdedineroubicadasen diferentestiemposdebidoalasdiferenciasenelpoder adquisitivo que se tiene en el tiempo.Paracompararvalederamentecantidadesdiferentesdedinero ubicadasendistintosperiodossenecesitareducirestas cantidadesaunabasecomn;esdecirtransportarestas cantidades a una misma ubicacin en el tiempo, esto se conoce comomecanismodemovilizacinotransformacinde dinero en el tiempo.58Diferentes sumas de dinero en diferentes tiempos pueden tener igual valor econmico59Ejemplo.Sideposita$600hoy,$300dosaosmastardey$400 dentro de cinco aos. Cuanto tendr en su cuenta dentro de 10 aos, si la tasa de inters es 5%?1 0 2 3 4F? 5 6 7 8i =5%$600$300 $400910Trasladamos todos los depsitos al ao 10 para determinar F.1931 ) 05 . 0 1 ( 400 ) 05 . 0 1 ( 300 ) 05 . 0 1 ( 600 F5 8 10= + + + + + =60Problemas Resueltos610 1 2 3 30 29 28 27A=1000F?( )( )164494 $1 . 01 1 . 0 11000 Fi1 i 1A F30n=(((

+=(((

+=ProblemaN1 (2.31).Siseefectandepsitosanualesde $1000enunacuentadeahorrodurante30aosempezando dentrode1ao.Cuntohabr enlacuentainmediatamente despus que se efecta el ultimo deposito, si est paga inters a una tasa anual de 10%?62ProblemaN2.Unbancoanunciaquesutasadeinterspara prestamoses2%nominalmensual.Calculelatasadeinters efectiva semestral.[ ] [ ] [ ]% 62 . 12 1262 . 0 1612 . 01 isemestral % 12 meses 6 mensual % 2 r6= = ||

\|+ == =1mr1 im ||

\|+ =63Problema N3 (3.13). Que tasa de inters nominal trimestral es equivalente a una tasa anual efectiva de 6%?[ ] trimestral % 467 . 1 01467 . 0 1 06 . 1 r144 r1 06 . 0414= = = ||

\| + =1mr1 im ||

\|+ =64Problema N4. Interprete las siguiente expresiones de inters yestablezcasielintersesnominaloefectivo,ademsde indicar el periodo de capitalizacin.a) 15% anual, compuesto mensualmente.Tasa Periodo deCapitalizacinNominal Mensualb) 15% anual.Tasa Periodo deCapitalizacinEfectiva Anualc) 20% anual, compuesto trimestralmente.Tasa Periodo deCapitalizacinNominal Trimestral65c) 2% nominal mensual, compuesto semanalmente.Tasa Periodo deCapitalizacinNominal Semanald) 2% mensual, compuesto mensualmente.Tasa Periodo deCapitalizacinEfectiva Mensuale) 2% efectivo mensual, compuesto diariamente.Tasa Periodo deCapitalizacinEfectiva Diariaf) 1% semanal, compuesto continuamente.Tasa Periodo deCapitalizacinNominal Continua66ProblemaN5 (4.5).SiustedhadepositadoUS$700anuales durante 8 aos. A partir del noveno ao aument sus depsitos US$ 1200 anuales durante 5 aos. Cuanto dinero tendr en su cuentainmediatamentedespusquehizosultimodepsitosi la tasa de inters es 15% anual?0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13F?A` = 700A``= 1200i = 15%67Transformamos las anualidades de US$ 700 en un valor futuro ubicado en el ao 8.9608.8 US$15 . 01 ) 15 . 0 1 (700 F88=(((

+ =0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13F?A``= 1200i = 15%F8= 9608.80 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13F?A` = 700A``= 1200i = 15%680 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13F?A``= 1200i = 15%F8= 9608.8Calculo del valor futuro en el ao 13 de las anualidades de US$ 1200.8090.9 US$15 . 01 ) 15 . 0 1 (1200 F513=(((

+ =0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13F?i = 15%F8= 9608.9 F13= 8090.9690 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13F?i = 15%F8= 9608.9 F13= 8090.9Luego:27417.8 $ US 9 . 8090 ) 15 . 0 1 ( 9 . 9608 F5= + + =70ProblemaN6 (4.24).Unacompaapetroleraestaplaneando venderunacantidaddepozospetrolferosenproduccin.Se esperaquelospozosproduzcan100000barrilesdepetrleo porao,durante11aosms.Sielpreciodeventaporbarril esactualmentedeUS$35,cuntoestarausteddispuestoa pagarporlospozossiseesperaqueelpreciodelpetrleo aumenta US$3porbarrilcada3aos, conelprimeraumento despusdel2 aos?Supongaquelatasadeinterses12% anual para los primeros 4 aos y 15% por aodespus y que las ventas de petrleo se hacen al final de cada ao.01 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11i = 15% i = 12%3538414471( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ((

+((

+((

+ + +((

+((

+((

+ + +((

+((

+ +((

+((

+ + +((

+ + =4 4 3354 1 3354 152 22522512 . 0 1115 . 0 11) 15 . 0 1 ( 15 . 01 ) 15 . 0 1 (10 44 12 . 0 1115 . 0 11) 15 . 0 1 ( 15 . 01 ) 15 . 0 1 (10 41 12 . 0 1115 . 0 1110 3812 . 0 11) 12 . 0 1 ( 12 . 01 ) 12 . 0 1 (10 38 ) 12 . 0 1 ( 12 . 01 ) 12 . 0 1 (10 35 P01 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11i = 15% i = 12%35384144 ) i ( i) i (A Pnn(((

+ + =11 172( )( ) ( )) 6355 . 0 )( 5718 . 0 )( 2832 . 2 ( 10 44) 6355 . 0 )( 8696 . 0 )( 2832 . 2 ( 10 41) 6355 . 0 ( 8696 . 0 10 38 ) 7972 . 0 ( 6901 . 1 10 386901 . 1 10 35 P555 55 + + + + =510 6 . 219 $ US P =73( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )55555 55555510 219.6 US$ P0.6355 0.5718 2.2832 10 440.6355 0.8696 2.2832 10 41 0.6355 0.8696 10 38 0.7972 1.6901 10 38 1.6901 10 35 P4 12%, P/F, 4 15%, P/F, 3 15%, P/A, 10 44 4 12%, P/F, 1 15%, P/F, 3 15%, P/A, 10 41 4 12%, P/F, 1 15%, P/F, 10 382 12%, P/F, 2 12%, P/A, 10 3812%,2 P/A, 10 35 P =+ + + + =+ + + + =ResolucinutilizandofactoressacadosdelasTablasde Inters.74ProblemaN7.Calculelacantidaddedineroquehabraenla cuenta de ahorro de una persona despus de 12 meses, si se hanhechodepsitosyretiroscomolomuestralafigura. Supongaqueelintersquepagaelbancoes8%anual capitalizabletrimestralmente.Considereinterssimplesobre losdepsitosinterperidicosynoconsiderepagodeinters interperidicos para los retiros. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10900170011 12900110080015008001000 F ?mes750 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10900170011 12900110080015008001000 F ?mes02 . 0408 . 0i = =1812 900 ] 02 . 032900 900 [ D3= + + =3 . 1107 ] 02 . 0311100 1100 [ D6= + =2310 800 ] 02 . 0311500 1500 [ D9= + + =760 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10170011 1218121107,380023101000 F ?mes0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10170011 121012107,32310 F ?mes0.02) (1 2310 0.02) (1 3 . 107 0.02) (1 1012 0.02) (1 1700 F2 3 4+ + + + + + + =91 . 5381 F =77Problema Resueltos en Clases78ProblemaN1 .Unestudianteprevisorplaneatenerunahorro personalporuntotaldeUS$1.000.000cuandosejubilealos 65aosdeedad.Ahoratiene20aos.Silatasadeinters anual en promedio ser 7% durante los prximos 45 aos para sucuentadeahorro,Qu cantidaduniformedebeahorraral final de cada ao para cumplir su objetivo?ProblemaN2 (3.154Ed). Qu tasadeinterses mejor:20% anualcompuestoanualmenteo18%anualcompuestocada hora? Asuma un ao de 8760 horas. 79Problema N3 (4.50 4Ed). Para los siguientes flujos de efectivo, calculeelvalorpresenteyelvaloranualuniformeequivalente considerando i=10% anual.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10120014001600$800300200700aos80ProblemaN4 (4.29).Unaimportante compaa manufacturera compr unamaquinasemiautomticaporUS$13000.Su mantenimientoanualyelcostodeoperacinascendierona US$1700.Despusdelquintoaodelaadquisicininicial,la compaadecidi comprarunaunidadadicionalparaquela mquina fuera totalmente automtica. La unidad adicional tuvo uncostooriginaldeUS$7100.Elcostodeoperacindela mquinaencondicionestotalmenteautomticasfueUS$900 anuales. Si la compaa us la mquina durante un total de 16 aos y luego vendi la unidad automtica en US$ 1800. Cual eslacuotaanualuniformeequivalentedelamquinaauna tasa de inters de 9% anual?81ProblemaN5.Calculeelvalorfuturodelosflujosdeefectivo que se muestranenelsiguientediagrama.Dondelastasasde inters son 10%, 12% y 14% anuales.1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1010%12% 14%$ 12000$ 5000$ 8000$ 400082ProblemaN6 .Calculeelvalorpresentedelosdepsitosy retiros que muestra la figura. Suponga que el inters que paga el banco es 10% anual capitalizable semestralmente. Considere interssimplesobrelosdepsitosinterperidicosyno considere pago de inters interperidicos para los retiros.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10900170011 129001200700150080010002000mes60083Problema N7. Determinar la Cuota Anual Uniforme Equivalente (A)del siguienteflujodeefectivosque se muestraenlafigura, dondelascantidadesestnenmillonesdepesos.Latasade inters es del 12% anual.0 1 2 3 4 5aos1001534 34 34 34 346 7 8 9 1062 62 6284Problema N8. Un prstamo de $ 60.000.000 es pagado en 20 cuotasanuales,dondelaprimeracuotasepagaeltercerao. Determine el valor de la cuota, si la tasa de inters es del 10% anual capitalizable bimensualmente.0 1 2 3 4 5 6 7 22 21 20A$ 60.000.00085Anexos86Tablas de Factores de IntersPara simplificar los clculos rutinarios de Ingeniera Econmica queinvolucranlosfactoresanteriormentevistos,sedisponen detablasdevaloresdefactoresparatasasdeintersdesde 0.5%hastael50%yperiodosdepagodesde1hasta100. Esta tablas de encuentran en el Apndice A del texto gua.Algunas veces es necesario localizar el valor de un factor para una tasa de inters i o un ao n que no aparece en las tablas de inters. Para estos casos: Usar las formulas deducidas. Interpolar en la tabla. Calculadoras con factores programados.87Notacin Estndar con Tablas de Inters ( ) n i%, Y, /XLo que se quiere encontrarLo dado (conocido)La tasa de inters en porcentajeNumero de periodos involucrados) 20 %, 6 , P / F (Significa obtener el factor que al ser multiplicado por un P dado permita encontrar la cantidad futura F que se acumulara en 20 periodos si el inters es del 6% por periodo.