IEDO
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Integrantes:
Galiano Sandoval, Stephanie
Huapaya Napán, Marianela
Olazabal Aquise, Diana
Métodos numéricos II Ecuaciones lineales
diferenciales de diferencias finitas con coeficientes constantes de orden n
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CONTENIDO:
I. Conceptos previos: TeoríaI. Definición de casosII. Ecuaciones diferenciales homogéneas de orden superior con coeficientes constantes.
II. AlgoritmoI. Aplicación en Matlab
III. Método IV. Aplicación a la Física
I. Conceptos previosII. Análisis del problemaIII. Matlab
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CONCEPTOS PREVIOS
Una ecuación diferencial finita se dice lineal y de orden n, si es de la forma
Dada la ecuación de diferencias finitas lineales no homogéneas y de orden n
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Se procede de la siguiente manera:
1. Se hallan las raíces del polinomio característico
Cuyas raíces son:
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2.Se halla la solución particular de la EDF no homogénea utilizando la tabla respectiva.
3.La solución general de la EDF no homogénea es :
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Ecuaciones diferenciales homogéneas de orden superior con coeficientes constantes
Una ecuación diferencial de orden superior que tiene la forma:
En donde si f(x)=0 la ecuación diferencial se denomina homogénea, pero si f(x) ≠0 entonces la ecuación diferencial se denomina no homogénea.
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Principio de Superposición o linealidad
Dependencia e independencia lineal
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Wronskiano
De una ecuación diferencial homogénea de orden n, dicho conjunto de soluciones es linealmente independiente si y solo si, en algún punto de un intervalo se cumple que:
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Ejemplo:
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MÉTODO
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Método de Runge- Kutta
Año: 1900
Matemáticos: Carl Runge y Martin Kutta
Es un método iterativo tanto implícito como explicito para aproximar las soluciones de las ecuaciones ordinarias.
Objetivo: el análisis y solución de los problemas de valor inicial de ecuaciones diferenciales ordinarias
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Características
Es una extensión del método de Euler. Es un método de convergencia mayor Utiliza varias derivadas para aproximar la función
desconocidas
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PROGRAMANDO EN MATLAB
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Ecuaciones de diferencias finitas de orden 3
clear;clc;format longfprintf('Ecuacion de diferencias finitas \n');a=input('ingrese xo:');b1=input('ingrese y(xo):');b2=input('ingrese y´(xo):');b3=input('ingrese y"(xo):');h=input('ingrese h:');n=input('ingrese el numero de iteraciones(n):');
fprintf('Sea la ecuacion de diferencias finitas: an*J(k+3)+t2*J(k+2)+t1*J(k+1)+t0*J(k)=M(x) \n');disp('Donde t0,t1 y t2 son constantes');an=input('Ingrese an=');t2=input('Ingrese t0=');t1=input('Ingrese t1=');t0=input('Ingrese t2=');MM=input('Ingrese M(x)=','s');M=inline(MM,'x');
t2=t2/an;
t1=t1/an;
t0=t0/an;
fprintf('La ecuacion es: \n');
fprintf(' J(k+3) + %f J(k+2) + %f J(k+1) + %f J(k) = ',t2,t1,t0);
disp(MM);
syms F1(x,y,z,u) F2(x,y,z,u);
F1=z;
f=inline(F1,'x','y','z','u');
F2=u;
g=inline(F2,'x','y','z','u');
F3=-t0*y - t1*z -t2*u + MM;
r=inline(F3,'x','y','z','u');
x=a:h:n*h;
y=zeros(n+1,1);
z=zeros(n+1,1);
u=zeros(n+1,1);
y(1)=b1;
z(1)=b2;
u(1)=b3;
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fprintf(' x y y´ y" \n');
for i=1:n
k1=h*f( x(i),y(i),z(i),u(i) );
t1=h*g( x(i),y(i),z(i),u(i) );
M1=h*r( x(i),y(i),z(i),u(i) );
k2=h*f( x(i)+(1/2)*h, y(i)+(1/2)*k1, z(i) + (1/2)*t1, u(i)+(1/2)*M1 );
t2=h*g( x(i)+(1/2)*h, y(i)+(1/2)*k1, z(i) + (1/2)*t1, u(i)+(1/2)*M1 );
M2=h*r( x(i)+(1/2)*h, y(i)+(1/2)*k1, z(i) + (1/2)*t1, u(i)+(1/2)*M1 );
k3=h*f( x(i)+(1/2)*h, y(i)+(1/2)*k2, z(i) + (1/2)*t2, u(i)+(1/2)*M2 );
t3=h*g( x(i)+(1/2)*h, y(i)+(1/2)*k2, z(i) + (1/2)*t2, u(i)+(1/2)*M2 );
M3=h*r( x(i)+(1/2)*h, y(i)+(1/2)*k2, z(i) + (1/2)*t2, u(i)+(1/2)*M2 );
k4=h*f( x(i)+h, y(i)+k3, z(i) + t3, u(i)+M3 );
t4=h*g( x(i)+h, y(i)+k3, z(i) + t3, u(i)+M3 );
M4=h*r( x(i)+h, y(i)+k3, z(i) + t3, u(i)+M3 );
y(i+1)=y(i)+(1/6)*( k1+ 2*k2 +2*k3 +k4 ) ;
z(i+1)=z(i)+(1/6)*( t1+ 2*t2 +2*t3 +t4 ) ;
u(i+1)=u(i)+(1/6)*( M1+ 2*M2 +2*M3 +M4 ) ;
format long
fprintf('%f \t %5.8f \t %5.8f \t %5.8f \n',a,y(i),z(i),u(i));
a=a+h;
end
fprintf('%f \t %5.8f \t %5.8f \t %5.8f \n',a,y(n+1),z(n+1),u(n+1));
plot(y,'linewidth',3)
grid
xlabel('dominio');
ylabel('rango');
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APLICACIÓN A LA FÍSICA
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Conceptos Previos
Preliminares:
Tercera ley de Newton Reacción del resorte
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Ley de Robert Hooke
“ La fuerza que ejerce un resorte es directamente proporcional a la deformación que experimenta y está dirigida en sentido contrario a la
fuerza responsable de esta deformación”
La fuerza elástica se calcula como:
F = - k ∆x
Donde:
∆x= desplazamiento de la posición normal
K= constante de la elasticidad del resorte
F= fuerza elástica
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La energía de deformación o energía potencial elástica asociada al estiramiento o acortamiento un resorte lineal viene dada por la integración de trabajo realizado en cada cambio infinitesimal de su longitud:
Si el resorte no es lineal entonces la rigidez del resorte es dependiente de su deformación y en ese caso se tiene una formula algo más general:
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PROBLEMA
Cierto material de forma cubica, con una masa de M= 0.5 kg se pone en el extremo inferior de un resorte sin masa. El extremo superior se fija a una estructura en reposo. El cubo recibe una resistencia de R= -B del aire, donde B es una constante de amortiguamiento. La ecuación de movimiento es
Donde y es el desplazamiento desde la posición estática, es la constante del resorte y B= 10 kg/seg.
a) Calcule y (t), para 0 <t < 10 segundos y h = 0.05.
b) Repita el cálculo con B = 0.
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Solución:
La ecuación seria:
a) Con el programa:
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En Matlab
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![Page 25: IEDO](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062720/563db77f550346aa9a8b9864/html5/thumbnails/25.jpg)
En Matlab
![Page 26: IEDO](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062720/563db77f550346aa9a8b9864/html5/thumbnails/26.jpg)
Se muestran los resultados computacionales hasta 0.75 segundos:
t(seg)a) y(metros)
(B= 10)b) y(metros)
(B=0)
0 1.000 1.000
0.05 0.823 0.760
0.1 0.508 0.155
0.15 0.238 -0.523
0.2 0.066 -0.951
0.25 -0.016 -0.923
0.3 -0.042 -0.45
0.35 -0.038 0.235
0.4 -0.025 0.810
0.45 -0.013 0.996
0.5 -0.004 0.705
0.55 0.000 0.075
0.6 0.001 -0.590
0.65 0.001 -0.973
0.7 0.001 -0.889
0.75 0.000 -0.378
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![Page 28: IEDO](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062720/563db77f550346aa9a8b9864/html5/thumbnails/28.jpg)
![Page 29: IEDO](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022062720/563db77f550346aa9a8b9864/html5/thumbnails/29.jpg)
Bibliografía
MATHEWS.Métodos numéricos con matlab. Genny Alexandra Navarrete Molano. Introducción a las ecuaciones en diferencias. Disponible en:
http://www.konradlorenz.edu.co/images/stories/suma_digital_matematicas/gennyecuacionesl4.pdf Shoichiro Nakamura. Métodos numéricos aplicados con software. Primera edición. México. Prentice-
Hall Hispanoamérica. 1992. Rodríguez Ojeda, Luis. Análisis Numérico Basico . Segunda edición. Guayaquil-Ecuador. http://es.slideshare.net/DesireO/trabajo-range-kutta-computacion Análisis matemático para Ingeniería. M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA (pdf) http://www.monografias.com/trabajos97/ecuaciones-diferenciales-homogeneas-orden-superior/
ecuaciones-diferenciales-homogeneas-orden-superior.shtml Amos Gilat. Matlab, Una introducción con ejemplos prácticos. Primera edición. España. Editorial
Reverte
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GRACIAS