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3º ESO

ACADÉMICAS

IES GIL Y CARRASCO PONFERRADA

IES GIL Y CARRASCO 3º ESO

ACADÉMICAS

2

TEMA 1: CONJUNTOS NUMÈRICOS

1. Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en forma de fracción irreducible:

a) 3 1 5 1:

5 2 6 3 b)

3 1 5 1:

5 2 6 3

c) 3 1 5 1

:5 2 6 3

d)

3 1 5 1:

5 2 6 3

2. Al mediodía me he comido la mitad de una tortilla de patatas. A la hora de la merienda, Ana ha tomado un tercio de la tortilla original, y para cenar, Luis se ha tomado tres cuartas partes de lo que quedaba. ¿Qué porción de la tortilla queda al final del día? Representa con dibujos cada paso del problema.

3. Mi hermano pequeño ha terminado su colección de cromos de la liga, y le han sobrado 200 cromos. Los ha repartido entre sus tres amigos de la siguiente forma:

A Diego le ha dado 2

5 de los cromos que le han sobrado

A Sergio, 5

12 de lo que queda

A Patricia, el resto

¿Qué amigo recibe más cromos? ¿Qué amigo recibe menos?

4. Clasifica los siguientes números en racionales o irracionales. En caso de que sean racionales halla su fracción generatriz.

a) 12,323232… c) 0,1010010001… e) -3,33333… g) 6,54321

b) 3,12345678… d) -4,24344444…. f) 66,001 h) -23,232323232…

5. Realiza estas operaciones, pasando primero las expresiones decimales a fracción y, a continuación, operando con fracciones.

a) 6,41 5,2 b) 1,51 0,63 c) 7,520 :1,035

6. ¿Qué aparato tiene mayor precisión?

A. Una balanza que indica 2,1 kg cuando pesa un cuerpo de 2 kg.

B. Un velocímetro que indica 39 km/h cuando vamos a 40 km/hora.


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3

TEMA 2: POTENCIAS Y RAÍCES

1. Calcula.

a) 30 b) 0

1

5

c) (–1024)0 d) 0

4

3

e) (–1)–6 f) (–1)–25

2. Expresa como una potencia de exponente positivo los siguientes números.

a) 3–5 d) 1

1

9 g) (–7)–3 j)

41

5

m) 4

1

5

p) 3

2

3

b) 5

1

2

e) (–5)–2 h) 5

1

7

k) 2

1

6 n)

3

1

5

q) 4

2

5

c) 4–1 f) 2

1

7

i) (–5)–4 l) 6

1

5 o)

32

3

r) 4

2

5

3. Expresa como una única potencia el resultado de las siguientes operaciones.

a) 5 7 2 6

5 3 4

3 3 3 3

3 3 3 3

b)

10 1 7

3 2

4 4 4

4 4 4

c)

2 5 4

1 2

( 5) ( 5) ( 5)

( 5) ( 5)

d)

2 3

5

( 2) (2)

2 ( 2)

e) 2 3

4

( ) ( )

( )

x x

x x

4. Reduce a una sola potencia.

a) 4 43 5 b) 3

3

2

8

c)

2

2

( 4)

5

d)

5

5

( 1)

( 3)

5. Expresa como una potencia de exponente positivo.

a) 432 b)

315

c)

323

4

d) 42

10

e)

511

10

6. Descompón en forma de potencia o producto de potencias de exponentes positivos cuyas

bases sean números primos.

a) 15–3 b) 2

1

10

c) 8–2 d) (–24)–5 e) 100–3

7. Simplifica las siguientes expresiones. Da el resultado en forma de potencia o producto de

potencias de exponente positivo.


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4

a) 3 3

6

2 3

6

b)

3 5

9

8 5

10

c)

1 2

2 3 2

10 14

7 2 5

d) 4 4 2

2 1

100 2 5 3

6 15

e)

31 2

5 4

6 3

1 2

7. Completa los pasos para expresar las siguientes magnitudes en notación científica.

a) 5 942 000 000 000 000 000 000 000 = 5,942 10

b) 0,000 012 = 1,2 10

c) 13 835 000 000 = ...,........ 10

d) 0,000 000 000 066 7 = 10

8. Expresa las siguientes magnitudes en notación científica.

a) 69 900 d) 0,000 000 000 025

b) 602 200 000 000 000 000 000 000 e) 0,000 000 0302 5

c) 778 500 000 f) 0,000 002 001

9. Expresa las siguientes magnitudes expresadas en notación científica en notación decimal.

a) 57,28 10 d) 75,13 10

b) 138,012 10 e) 113,021 10

c) 107,14 10 f) 44,0025 10

10. Extrae todos los factores posibles de los siguientes radicales.

a) 72 c) 1215 e) 4 7 1332a b c

b) 192 d) 3 432 f) 3 8 15 49a b c

11. Simplifica estas sumas y restas con radicales.

a) 8 2 98 b) 147 27 12

Se desplaza la coma …… posiciones hacia la izquierda.

Se desplaza la coma …… posiciones hacia la derecha.

Se desplaza la coma …… posiciones hacia la derecha.

Se desplaza la coma …… posiciones hacia la izquierda.


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5

c) 32 6 24 200 d) 3 3 316 2000 250

TEMA 3: POLINOMIOS

1. Llamamos x a la edad de Juan. Escribe expresiones algebraicas que describan los siguientes enunciados.

a) La edad de Juan dentro de 10 años

b) El doble de la edad de Juan hace 5 años

c) La tercera parte de la edad de Juan dentro de 2 años

d) La tercera parte de la mitad de la edad de Juan

2. Escribe expresiones algebraicas que describan los siguientes enunciados.

b) Tengo un número indeterminado de billetes de 5 € y de 10 €. Expresa algebraicamente que tengo 225 € juntando todos los billetes.

c) En un garaje hay coches y motocicletas. Expresa algebraicamente el número de ruedas que tienen los vehículos del garaje en total.

d) En un teatro hay butacas de patio que cuestan 20 € y butacas de entresuelo que cuestan 10 €. Expresa el dinero recaudado para una representación en función de las localidades vendidas de cada tipo.

e) Tres números pares consecutivos.

3. Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones para los valores de x que se indican.

x =1 x=-3 1

2x x= 0

2 2x

2 5x

2 5 8x

22 7

5 7

x

x

3 2 6x x

x

2

3x

4. Dados los polinomios 3 2( ) 2 5 3 1P x x x x , 3 2( ) 5 6 3Q x x x y 2( ) 3 2R x x x , calcula:


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6

a) P x Q x

c) P x R x e) 3P x Q x

g) 5 2P x Q x

b) P x Q x d) Q x R x

f) 2 5P x R x h)

1 1

2 2P x R x

5. Sea 4 2( ) 6 3 9 3P x x x x . Calcula:

a) x P x b) 2x P x

c) 1

3x P x d)

32

3

xP x

6. Dados los polinomios: 2( ) 3 1P x x x , ( ) 2 3Q x x y ( ) 3 2R x x , calcula:

a) P x Q x

c) Q x R x

e) 2

Q x

b) P x R x d) 2

P x P x P x f) 2

R x

7. Dados los polinomios: ( ) 1P x x , 2( ) 1Q x x , ( ) 3R x x y ( ) 2 3S x x , calcula:

a) P x Q x

c) Q x R x

e) 2

P x P x P x g)

2R x

b) P x R x d) Q x S x f) 2

Q x h) 2

S x

8. Extrae factor común en las siguientes expresiones.

a) 6 4 22 5x x x c) 5 4 33 6 9x x x e) 2 2 2 23 18 9xy x y x y g) 4 4 3 3 24x y x y x y

b) 4 3 22 5x x x x d) 6 210 5 5x x f) 3 2 2 2 35 7 3x y xy x y h) 6 3 4 2 22 8x y x y x y

9. Desarrolla, usando las identidades notables, las siguientes potencias.

a) 2

5x c)

22 2x e)

235 x g)

24 a

b) 2

3x d)

25 4x f)

222 x h)

258 y

10. Efectúa las siguientes operaciones.

a)

22 1x

c)

233 1x

e)

224 3y x

b) 2

5 3x d)

224 3x f)

223 3a b

11. Desarrolla:

a)

23

12

x

c)

2

3 23

3x y

e) 243ab a


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7

b)

2259

3

x d)

2

456

2xy x f)

226 5a ab

12. Desarrolla las siguientes expresiones.

a) 5 5x x c) 3 33 2 3 2x y x y

e)

3 31 1

2 2

x x

b) 5 3 5 3x x d) 2 24 3 4 3x x f)

4 45 56 6

2 2xy x xy x

13. Escribe las siguientes expresiones como productos o cuadrados.

a) 4 22 1x x c) 4 2 29 24 16x x y y e) 4425

9x

b) 225

99

x d) 2 26 9y xy x f) 2 44 1x y

14. Identifica las identidades notables que hay entre las siguientes expresiones.

a) 4 210 25x x

b) 2 24 4x xy y

c) 225 25 25x x

d) 649 16x

e) 236 25x

f) 22 25 9y x

g) 49 1x

h) 4 29 12 16x x

TEMA 4: DIVISIÓN Y FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

1. Realiza las siguientes divisiones de monomios.

a) 32 :x x c) 4 35 : 2x x e) 5 3: 2x x g) 6 614 : 7x x

b) 5 2:x x d) 2 27 :x x f) 35 : 4x x h) 7 74 : 4x x

2. Dados los polinomios 5 4 32 6 3P x x x x , 3 25 10Q x x x y 2 33 6R x x x calcula:

a) 3:P x x c) 3: 3P x x e) : 5Q x x g) 2:R x x

b) 2: 2P x x d) 2x : 5xQ f) 2: 3R x x h) : 6xR x

3. Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones.

a) 3 2 22 5 1 : 1x x x x c) 3 2 23 : 1x x x x x

b) 4 3 2 32 2 2 2 :x x x x x x d) 7 6 5 4 3 2 22 2 2 : 2x x x x x x x x x


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8

4. Utiliza la regla de Ruffini para efectuar las siguientes divisiones. Identifica el cociente y el resto.

a) 5 4 3 24 5 3 2 3 : 3x x x x x x d) 4 16 : 1x x

b) 3 1 : 1x x e) 32 2 4 : 3x x x

c) 32 3 2 : 2x x x f) 2 4 4 : 2x x x

5. Utiliza la regla de Ruffini para realizar las siguientes divisiones exactas. Expresa el dividiendo como divisor por cociente.

a) 3 3 2 : 2x x x e) 6 55 5 : 5x x x x

b) 4 3 23 2 7 3 : 3x x x x x f) 2 36 : 6x x

c) 4 34 4 : 4x x x x g) 2 6 9 : 3x x x

d) 3 24 6 5 : 5x x x x h) 2 20 100 : 10x x x

6. Calcula el valor de k para que las siguientes divisiones sean exactas

a) 3 3 : 1x x k x c) 3 22 2 6 : 3x x kx x

b) 3 22 5 : 1x x x k x d) 3 22 4 : 2x x kx x

7. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas.

a) 2

2 2

x x

x x

d)

2

2

3 2

1

x x

x

b) 3 2

2

3

3

x x

x x

e)

2

5

10 25

x

x x

c) 4 3 2

2

6 9

2 6

x x x

x x

f)

2

1x

x x

TEMA 5 ECUACIONES Y SISTEMAS

1. Indica si x = 2 es solución de las siguientes ecuaciones.

a) 2 5( 2) 4 4x x x c)

4

42 3

x xx

b) 2 3 2 0x x d) 3 24 5 2x x x


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9

2. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado.

a) 2( 1) 5 3 1x x x e) 3( 1) 5(2 5) 4x x x

b) 3 5( 2) 7( 3) 5x x x f)

2

105 2

x x

c) 5 1 3

2 ( 2)2 2 2

xx x

g) 2( 1) 4 20x x x x

d)

1

3 43

xx x h) 2 2 23( 1) 4(2 ) 5x x x x

3. Resuelve las siguientes ecuaciones de grado 2 incompletas.

a) 2 22 4 2( )x x x x c)

2 3 2 ( 1)x x x x

b) 2 21 2 24x x d) 2 1 2( 1)( 2) 3x x x

4. Resuelve las siguientes ecuaciones de grado 2 completas.

a) (2 1)( 5) 0x x c)

2( 1) 5

4 3

x x x

b) ( 1) 2

2 4

x x x d) 25( 3)(4 20) 0x x

5. Resuelve las siguientes ecuaciones de grado mayor que 2.

a) 3 2 0x x x b) 4 24 0x x c) 3 25 6x x x d) 3 22 5 6 0x x x

6. Halla tres números enteros consecutivos cuya suma sea 966.

7. Halla dos números impares consecutivos cuyo producto sea 51075.

8. Halla dos números múltiplos de 3 consecutivos cuyo producto sea 1188.

9. Halla la edad de Juan sabiendo que el doble de la edad que tenía hace 5 años es 30.

10. Halla la edad de María sabiendo que la mitad de la edad que tendrá dentro de 20 años es 15.

11. El espacio recorrido por un coche a velocidad constante durante 2 horas es 100 km. Halla la velocidad a la que circula.


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10

12. La madre de Daniel tiene 30 años más que él y entre los dos suman 42 años. Calcula la edad de Daniel.

13. Un marco mide 10 cm más de alto que de ancho. Halla sus dimensiones si sabemos que su área es de 264 cm2.

14. En un triángulo rectángulo, un cateto mide 12 m y la hipotenusa mide 4 m más que el otro cateto. Calcula el otro cateto y la hipotenusa.

15. En un triángulo isósceles, el ángulo desigual es el triple que uno de los otros dos. ¿Cúanto miden los ángulos del triángulo?

16. Cuatro amigos se han comido una tarta que han repartido de la siguiente forma: Daniel se ha comido la mitad que María, Pedro, la tercera parte que Daniel y Silvia se ha comido tanta tarta como Daniel y Pedro juntos. ¿Qué parte de la tarta se ha comido cada uno?

17. Una finca tiene forma de triángulo rectángulo. Sabemos que uno de los lados que forma el ángulo recto es la mitad que el otro y que el lado opuesto al ángulo recto mide 500 m. Indica las dimensiones de la finca y la cantidad de cerca que se necesita.

18. Comprueba si la pareja de números 2x e 3y es solución de los siguientes sistemas.

a)

2 1

2 8

x y

x y b)

2 1

5

x y

x y c)

34

2 3

21

5

x y

x y d)

04 6

21

3 9

x y

x y

19. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de sustitución.

a)

2 1

2 4

x y

x y c)

2 2 12

3 4 18

x y

x y e)

2( 1) 3 11

5 2( 4) 2

x y

x y g)

2 3 2

36

2

x y

x y


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11

b)

2 7

4 1

x y

x y d)

2 3 3

5 2 9

x y

x y f)

42 3

24 2

x y

x y

h)

2( 1) 43

5 33( 1)

14 7

x y

x y

20. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de igualación.

a)

2 1

3 2

x y

x y c)

2 2 12

4 6

x y

x y e)

5 44

3 52

xy

xy

b)

2 5

4 1

x y

x y d)

2 3 5

5 2 18

x y

x y f)

22 4

42

x y

yx

21. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de reducción.

a)

1

5

x y

x y c)

2 2 12

3 4 6

x y

x y e)

2 5 4

3 12

x y

xy

b)

2 5

2 3 1

x y

x y d)

2 3 9

5 5 15

x y

x y f)

12 4

02

x y

yx

22. Clasifica los siguientes sistemas de ecuaciones lineales según el número de soluciones.

a)

2 3 11

5 5

x y

x y b)

2 4

2 4 2

x y

x y c)

2 12 4

3 18 6

x y

x y d)

2 1

52

x y

yx

23. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales mediante el método gráfico, clasifícalos según el número de soluciones e identifica la posición relativa de las rectas correspondientes.

a)

2

3 2

x y

x y b)

2 3 6

2 3

x y

x y c)

2 3 4

4 6 12

x y

x y d)

2 1

4 2 2

x y

x y

24. Clara ha comprado en una tienda 5 bocadillos de jamón y 5 refrescos y ha pagado 25 €. Enrique ha comprado en la misma tienda 3 bocadillos de jamón y 5 refrescos y ha pagado 18 €. ¿Qué precio tienen los bocadillos de jamón y los refrescos?

25. Las edades de una madre y su hija se diferencian en 26 años, hace 10 años la madre tenía el triple que su hija. ¿Cuáles son las edades actuales de las dos?


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12

26. David tiene billetes de 5 € y de 10 €. En total tiene 215 €. Si tiene 25 billetes, ¿cuántos tiene de cada clase?

27. En un hotel hay habitaciones con dos camas y habitaciones con cinco camas. En total se pueden alojar 500 personas. Si hay 106 habitaciones, ¿cuántas habitaciones hay de cada clase?

28. En una tienda alquilan bicicletas y triciclos. Todos usan las mismas ruedas. En total hay 42 vehículos y las ruedas que se necesitan para tenerlos todos funcionando son 100. ¿Cuántos vehículos hay de cada clase?

29. Se ha mezclado leche de 1 €/l con leche de 0,75 €/l y se han obtenido 150 l de leche a un precio de 0,8 €/l. ¿Cuántos litros de cada clase se han usado?

30. Una finca de forma rectangular tiene 25 m más de largo que de ancho. Para vallarla se necesitan 1000 m de cerca ¿Cuáles son las dimensiones de la finca?

31. Tenemos un poster al que ponemos una cartulina negra de 10 cm de ancho en tres de sus lados. El poster tiene un perímetro de 180 cm y la cartulina negra tiene un perímetro exterior de 200 cm. ¿Cuáles son las dimensiones del poster?

32. Un autobús sale de una ciudad A hacia otra ciudad B y lleva una velocidad constante de 60 km/h. Al mismo tiempo sale un autobús desde B hacia A con velocidad de 70 km/h. Las dos ciudades distan 195 km.

a) ¿Cuántos kilómetros recorre cada autobús hasta que se encuentran? b) ¿Cuánto tiempo tardan en encontrarse?


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13

TEMA 6: PROPORCIONALIDAD

1. Calcula las medidas desconocidas:

2. Una piscina tiene una capacidad de 200 000 l. Se ha construido otra semejante a ella pero con lados tres veces más grandes. ¿Cuántos litros de agua caben en la nueva piscina?

3. Un depósito con forma de prisma triangular tiene una capacidad de 500cm3. Queremos construir otro semejante con capacidad de 2000 cm3, ¿cuál es la razón entre los lados de los prismas?

4. La escala de un mapa es 1:15 000 000. Dos ciudades distan 5 cm en el mapa. ¿Cuánto distan en la realidad?

5. En el plano de una casa un dormitorio tiene 6cm2 de superficie. Si la escala es 1:150, ¿cuál es la superficie real del dormitorio?

TEMA 7: FIGURAS PLANAS

1. Completa la siguiente tabla en la que tenemos datos de dos de los lados de un triángulo rectángulo.

Cateto b Cateto c Hipotenusa a

45 cm 60 cm

8 dm 15 dm

20 m 80 m

6 m 6 m


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14

2. Estudia si los triángulos cuyas medidas de lados se indican son rectángulos.

a) 40 cm, 30 cm y 50 cm

b) 25 dm, 18 dm y 40 dm

c) 4 cm, 4 cm y 6 cm

d) 20 m, 16 m y 12 m

3. Un triángulo equilátero tiene 10 cm de lado, ¿cuánto mide su altura?

4. La altura correspondiente al lado desigual de un triángulo isósceles mide 8cm. El lado desigual mide 4 cm, ¿cuánto mide cada uno de los otros lados?

5. Se quiere sujetar una antena de 25 m de altura mediante un cable al suelo. El punto de sujeción está a 8m de la base de la antena. ¿Cuánto mide el cable?

6. La diagonal de un rectángulo mide 14 dm. Si un lado mide 7 dm, ¿cuánto mide su perímetro?

7. Calcula los perímetros de las siguientes figuras. Las medidas están en centímetros.

8. Calcula las áreas de las siguientes figuras. Las medidas están en metros.


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15

9. Calcula las longitudes marcadas en rojo. Las medidas están en decímetros.

10. Calcula las áreas sombreadas en las siguientes figuras. Las medidas están en decímetros.

11. Calcula el área y el perímetro de un triángulo rectángulo que tiene una hipotenusa de 13 cm, y un cateto, de 12 cm.

12. La diagonal menor de un rombo mide 8 m y su área es 48 m2 Calcula su perímetro.

13. Calcula el área de las figuras sombreadas en verde. Las medidas están en metros.

b)

TEMA9: CUERPOS GEOMÉTRICOS

1. Calcula el área total de un cubo de 5 cm de lado.

2. Calcula la cantidad de cartón que se necesita para hacer una caja de cartón sin tapadera cuya base tiene 25 cm de ancho y 30cm de largo, y cuya altura es de 50 cm.

3. Calcula el área lateral de un prisma triangular regular de 10 dm de altura, cuya base tiene un lado de 6 dm.


ACADÉMICAS

16

4. Calcula el área total de una pirámide triangular regular cuya base tiene lado 8 cm y cuya arista lateral mide 10 cm.

5. Calcula el área lateral de una pirámide cuadrangular regular cuya base tiene lado 8 cm y cuya arista lateral mide 7 cm.

6. Calcula el volumen de un prisma hexagonal regular cuya base tiene lado 6 m y que mide 5 m de altura.

7. Calcula el volumen de un prisma triangular cuya base es un triángulo rectángulo de catetos 3 cm y 6 cm y cuya altura es de 20 cm.

8. Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular regular cuya base tiene 10 m de lado y que tiene una altura de 25 m.

9. Calcula el volumen de una pirámide hexagonal regular de lado 4 dm y arista lateral 12 dm.

10. Identifica los siguientes poliedros. Calcula su área lateral, su área total y su volumen.

a) b)

11. Calcula el área total de un cilindro de 5 cm de radio y 10 cm de altura.

12. Calcula la cantidad de hojalata que se necesita para hacer una lata cilíndrica sin tapadera, cuya base tiene 20 cm de diámetro, y su altura, 50 cm.

13. Calcula el área lateral de un cono de 10 dm de altura, cuya base tiene 6 dm de radio.


ACADÉMICAS

17

14. Calcula el área total de un cono cuya base tiene 8 cm de radio y cuya generatriz mide 10 cm.

15. Calcula el área de una superficie esférica de 8 cm de diámetro.

16. Calcula el volumen de un cilindro cuya base tiene 6 m de diámetro y que mide 15 m de altura.

17. Calcula el volumen de un cono cuya base tiene 10 cm de radio y cuya altura es de 20 cm.

18. Calcula el volumen de un cono cuya base tiene 10 m de radio con una generatriz de 25 m.

19. Calcula el volumen de una esfera de radio 4 dm.

20. Identifica los siguientes cuerpos. Calcula su área lateral, su área total y su volumen.

a) b)

TEMA10: SUCESIONES

1. Averigua si las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas. Calcula la diferencia en aquellas que lo sean.

a) 1, 7, 13, 19, 25… c) 2 4 6 8 10

, , , , ...3 5 7 9 11

e) 4, 9, 16, 25, 36…

b) –2, 4, 6, 8, –10… d) 8, 5, 2, –1, –4… f) 1, 3, 5, 7, 11…

2. Calcula el término general de las siguientes progresiones aritméticas.

a) 3, 2, –7, –10… c) 5 7 8

, 2, , ...3 3 3

b) 11, 13, 15, 17… d) 1,2; 1,6; 2; 2,4…


ACADÉMICAS

18

3. Calcula el término general y los términos 100, 200 y 500 de las siguientes progresiones aritméticas.

a) a1 = 3, d = 2 c) 1

3 1,

2 4c d

b) b1 = –5, d = –3 d) d1 = 5, d = –4

4. Calcula el término general de las siguientes progresiones aritméticas.

a) a1 = 3, a4 = 15 c) c3 = 7, c7 = 9

b) b2 = 6, b5 = 0 d) d1 = –3, d9 = –19

5. Calcula la suma de los veinte primeros términos de las progresiones aritméticas del ejercicio 3.

6. Averigua si los siguientes números pertenecen a las progresiones que se indican. En caso afirmativo, indica qué lugar ocupan.

a) 2702 y an = 3n + 5

b) 150 y bn= 140 – 2n

c) 106 y cn = 10 + 4n

7. El primer término de una progresión aritmética es 100, y la suma de sus 40 primeros términos, 7900. ¿Cuál es el término general de la progresión?

8. Averigua si las siguientes sucesiones son progresiones geométricas. Calcula la razón en aquellas que lo sean.

a)

1 1 1 11, , , , ...

2 4 6 8 c)

1 1 1 11, , , , ...

2 4 8 16 e) 2, –4, 8, –16, 32…

b) 5 10 20 40

, , , ...7 7 7 7

d) 1, 3, 3, 9, 27… f) 1 2 4 8

, , , ...3 9 27 81

9. Calcula el término general de las siguientes progresiones geométricas.

a) 1 1 1 1

1, , , , ...2 4 8 16

c) 1 2 4 8

, , , ...3 9 27 81

b) 2, –4, 8, –16, 32… d) 1, –1, 1, –1, 1, –1…

10. Calcula el término general y la posición 12 de las siguientes progresiones geométricas.

a) a1 = 3, r = –2 c) 1

181,

3c r

b) b1 = 5, r = 0,1 d) 1

1, 2

4d r

11. Calcula el término general de las siguientes progresiones geométricas.

a) a1 = 3, a4 = –24


ACADÉMICAS

19

b) b2 = 0,0006, b6 = 6 y sus términos son positivos.

12. Calcula la suma de los ocho primeros términos de las progresiones geométricas del ejercicio 3.

13. Calcula la suma de los infinitos términos de las progresiones geométricas siguientes.

a) 81, 27, 9, 3, 1…

b) 50; 5; 0,5; 0,05…

c) 8, 4, 2, 1…

14. Cierto tipo de bacterias se reproducen por fisión cada 30 minutos, es decir, de cada bacteria se obtienen dos en ese plazo de tiempo. Si se introducen 10 bacterias en un cultivo, ¿cuántas habrá al cabo de 24 horas si ninguna de ellas muere?

TEMA11 y 12: FUNCIONES

1. Indica, de forma razonada, si las siguientes gráficas corresponden a funciones.

2. Representa las funciones dadas a partir de las siguientes tablas.

x –3 –1 0 2 4 x –4 –1 0 1 5 x –6 –3 0 1 3

y 7 –1 –2 2 14 y –6 –3 –2 –1 3 y 3 3 3 3 3

3. Una función está definida por la siguiente expresión: f(x) = x2 + 3.

a) Calcula f(–2), f(0), f(2) y f(3).

b) Con los valores obtenidos representa la función.

4. María sale de casa para ir a clase a las 8 de la mañana. Va a una velocidad constante al principio, pero se encuentra con una amiga y se para con ella. Después, aumenta su velocidad porque, si no, no llega a tiempo. Cuando está cerca del instituto, se da cuenta de que tiene que comprar un bolígrafo y se ha pasado la papelería, vuelve a la papelería y cuando tiene el bolígrafo, se va rápidamente a clase.


ACADÉMICAS

20

La siguiente gráfica representa la distancia (en metros) de María a su casa, en función del

tiempo (en minutos).

Contesta a las siguientes preguntas.

a) ¿Cuánto tiempo tarda María en llegar a clase?

b) ¿Cuánto tiempo está parada con la amiga?, ¿a qué hora se encuentra con ella?

c) ¿Cuánto tiempo tarda en volver a la papelería?

d) ¿Cuánto tiempo transcurre desde que deja a la amiga hasta que llega a clase?

e) ¿A qué distancia de su casa se encuentra con la amiga?

f) ¿Qué distancia hay de su casa al centro?

5. Representa las siguientes funciones definidas a trozos.

a) 2 si 02 si 0 5

xf xx x

b) 2 2 si 3 11 si 1 2

x xf xx x

c) 3 si 2 22 si 2

x xf xx

6. En las siguientes funciones indica el dominio y el recorrido.


ACADÉMICAS

21

7. Identifica las funciones continuas entre las siguientes. Indica, en su caso, los puntos de discontinuidad.

a) b) c)

8. En la siguiente gráfica estudia el dominio y la continuidad. Calcula f(0), f(2) y f(4).

9. Dibuja la gráfica de la siguiente función y estudia su continuidad.

2 8 si 4 2

4 si 2 04 si 0

x xf x x

x x

10. Calcula el valor de a en la función f(x) para que la función sea continua.

2 8 si 4 2si 2 10

x xf xx a x

11. Estudia la simetría de las siguientes funciones.

a) b) c)


ACADÉMICAS

22

12. Di si las siguientes funciones son periódicas. En caso afirmativo, halla su periodo.

13. Identifica las funciones crecientes, decrecientes o constantes entre las siguientes.

b) b) c)

14. Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones.

a) b) c)

15. Estudia los extremos de las siguientes funciones.

a) b)

16. Estudia el dominio, crecimiento, decrecimiento y extremos de la siguiente función.


ACADÉMICAS

23

17. Indica la pendiente de las siguientes rectas.

a) b) c) d)

18. Calcula la pendiente de las rectas que pasan por los puntos A y B.

a) A(1, 3) y B(2, 6) b) A(–2, 3) y B(2, 1) c) A(2, 5) y B(–2, 9) d)A(0, –2) y B(2, 5)

19. Indica la pendiente y la ordenada de las siguientes rectas.

a) b) c) d)

20. Asocia cada recta con su ecuación.

a) b) c) d)

I. y = 1 – x II. y = –x – 1 III. y = –3x – 1 IV. 2

13

xy

21. Halla la ecuación explícita de las rectas de las siguientes rectas.

a) Tiene pendiente 2 y ordenada en el origen 1

3 .

b) Pasa por los puntos A (1, 1) y B(–1, 2).

c) Tiene pendiente 3 y pasa por el punto (4, –1).

d) Pasa por el origen y tiene pendiente –4.

e) Pasa por el punto (0, –2) y tiene pendiente 1

2 .


ACADÉMICAS

24

22. Halla la ecuación implícita de las siguientes rectas.

a) y = 3x – 2 b) y – 2 = 4 · (x – 1) c) 2

13

y x

23. Indica cuál de las siguientes expresiones representan parábolas.

a) f(x) = –x2 – x – 1 b) f(x) = –1 + (x + 3)2 – 2x c) f(x) = x2 – (x – 2)2

24. Identifica las parábolas entres las siguientes gráficas.

25. Calcula las coordenadas del vértice de las siguientes parábolas. Sin dibujar, razona si es un máximo o un mínimo.

a) f(x) = –x2 – 2x + 1 c) f(x) = 3x2 – 12x + 12 e)f(x) = x2 – 5x + 3

b) f(x) = 2x2 – 6x – 2 d) f(x) = 5 – 2x2 f)f(x) = –(x + 3)2

26. Calcula el eje de simetría e indica el sentido de las ramas de las siguientes parábolas.

a) f(x) = –x2 – 4 c) f(x) = 3x2 + 6x – 2 e) f(x) = 2x2 – 8x

b) f(x) = 2x2 – 5x + 1 d) f(x) = –3 + 2x2 f) f(x) = –x2 – x – 1

27. Calcula los puntos de corte con los ejes de las siguientes parábolas.

a) f(x) = –x2 + 5x – 6 b) f(x) = 3x2 + 10 c) f(x) = –4x2 + 8x

28. Representa las siguientes parábolas.

a) f(x) = x2 – x – 2 c) f(x) = –2x2 –4x – 4 e) f(x) = –x2 – 1

b) f(x) = 2x2 + x + 1 d) f(x) = 2x2 f) f(x) = –2x2 + 6x

29. Asocia a cada gráfica su expresión.

I. f(x) = x2 – 4x + 4 II. f(x) = –x2 – 2x III. f(x) = –x2 + 2x + 3


ACADÉMICAS

25

TEMA ESTADÍSTICA

1. ¿De qué tipo son las siguientes variables estadísticas?

a) Marca del móvil de los estudiantes de secundaria del Instituto.

b) Número de personas que conviven en la residencia familiar.

c) Gasto mensual en móvil.

d) Nota de la 2ª evaluación en Lengua de los alumnos de 3º A.

e) Tiempo que tarda una persona en llegar desde su casa al trabajo.

2. En un centro de secundaria se ha preguntado a los alumnos de 3º por el número de materias aprobadas en la segunda evaluación. Las respuestas han sido:

N.º asignaturas

aprobadas

0 1 2 3 4 5 6 7 8

N.º de alumnos 2 3 2 3 4 6 7 2 1

a) Construye la tabla de frecuencias absolutas, relativas y acumuladas.

b) Construye un gráfico estadístico que represente los datos.

3. Se ha preguntado a 30 asistentes a un curso de formación su impresión acerca de la preparación del ponente del curso. Las respuestas han sido:

Muy mala 2

Mala 5

regular 8

Buena 10

Muy

buena 5

Haz un diagrama de sectores y otro de barras que representen la información.


ACADÉMICAS

26

4. La talla de zapato de las personas que entran en una tienda a lo largo de un día viene dado en la siguiente tabla.

Talla de zapato 37 38 39 40 41 42 43 44 45

N.º alumnos 5 3 12 8 5 10 12 4 1



5. Se han recogido las temperaturas mínimas de las capitales de provincia durante el mes de junio, obteniendo los siguientes datos.

Temperaturas [10,12) [12,14) [14,16) [16,18) [18,20) [20,22) [22,24) [24,26)

N.º de capitales 3 5 12 10 12 5 3 1



6. En un centro de secundaria se ha preguntado a los alumnos de 3º por el número de materias aprobadas en la segunda evaluación. Las respuestas han sido.

N.º asignaturas

aprobadas

0 1 2 3 4 5 6 7 8

N.º de alumnos 2 3 2 3 4 6 7 2 1

a) Halla la moda, la mediana, la media, los cuartiles y el diagrama de cajas.

b) Halla la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación.

7. La talla de zapato de las personas que entran en una tienda a lo largo de un día viene dado en la siguiente tabla.

Talla de zapato 37 38 39 40 41 42 43 44 45

N.º alumnos 5 3 12 8 5 10 12 4 1

a) Halla la moda, la mediana, la media, los cuartiles y el diagrama de cajas.



ACADÉMICAS

27

8. La duración de las llamadas telefónicas de una persona a lo largo de un día vienen recogidas en la siguiente tabla.

Duración [0,4) [4,8) [8,12) [12,16) [16,20) [20,24) [24,28) [28,32)

N.º de llamadas 25 10 12 15 12 3 4 1

a) Halla la media.


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