IESB Logística Empresarial - Métodos Quantitativos - Volume II

INSTITUTO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DE BRASÍLIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO LATO SENSU EM LOGÍSTICA EMPRESARIAL

Apostila 02: Testes de hipótese e

Teoria das Filas

Disciplina: Estatística e modelos de otimização aplicados à logística

Prof. Rafael José Rorato

Brasília, abril de 08

INSTITUTO DE EDUCAÇÃO DE BRASÍLIA Pós-graduação Lato Sensu em Logística Empresarial

Módulo: Estatística e modelos de otimização aplicados à logística

2

c2008 INSTITUTO DE EDUCAÇÃO DE BRASÍLIA Campus Jovanina Rimoli SGAN Quadra 609 – Módulo D – Avenida L2 Norte Brasília – DF CEP:70850-090 Este exemplar é de propriedade do Instituto de Educação de Brasília, que poderá incluí-lo em base de dados, armazenar em computador, microfilmar ou adotar qualquer forma de arquivamento. É permitida a menção, reprodução parcial ou integral e a transmissão entre bibliotecas deste trabalho, sem modificação de seu texto, em qualquer meio que esteja ou venha a ser fixado, para ensino, comentários e citações, desde que sem finalidade comercial e que seja feita a referência bibliográfica completa. Os conceitos expressos neste trabalho são de responsabilidade do autor.



3

4

4

4

4

Erro Tipo I

Erro Tipo II

Nível de Significância

5

Unicaudal à Esquerda

Unicaudal à Direita

6

7

8Estimativa da diferença entre as

médias de duas populações com

amostras Independentes

Inferência sobre a diferença entre as

médias de duas populações com

amostras relacionadas

11

13

13

Clientes

Servidores

13

13

13

13

13

14

FIFO

LIFO

15

16

16

16

17

17

18

Fórmulas específicas para filas M/M/1............

Filas M/M/1/k: População finita e restrição de

capacidade do sistema........................................

Determinação do tamanho da amostra..........

Capacidade do Sistema...................................

Processo de chegada......................................

Disciplina de fila...............................................

Teste bicaudal ou bilateral...............................

Procedimento geral de teste..........................

Testes de Hipótese envolvendo comparações

entre médias................................

Mecanismo de serviço....................................

Características dos Sistemas de Filas...............

População........................................................

Disciplinas de filas.............................................

Notação padrão para sistemas de filas (Kendall

Notation)..............................................

Medidas de desempenho de sistemas de filas..

Sistemas estáveis..............................................

Postulados.......................................................

Fórmulas genéricas.........................................

1) Teste de Hipótese..........................................

Hipótese Nula (H0).........................................

Hipótese Alternativa (Ha)................................

2) Base introdutória em Teoria das Filas...........

Tipos de Erros.................................................

Teste unicaudal ou unilateral...........................

ÍNDICE



4

1) Teste de Hipótese

É inegável nos dias de hoje a importância da Estatística na vida do cidadão. Para o exercício pleno da cidadania, o indivíduo deve além de saber ler gráficos e tabelas, saber interpretar e poder avaliar criticamente, as informações estatísticas constantemente divulgadas pela mídia no campo da política, da economia, da medicina, da educação e nos censos. A natureza da Estatística possibilita pessoas mal intencionadas e não éticas o uso inadequado de seus métodos. “Todo cidadão precisa saber quando um argumento estatístico está ou não a ser utilizado com propriedade” (Ponte et al. 2003, p. 91). (Fonte: PONTE, J. P.; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações Matemáticas na Sala de Aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2003, 151p.)

Teste de Hipótese: Quando o analista logístico apresentar a necessidade de avaliar os dados de uma amostra ou população comparando-os com algum padrão pré-estabelecido ou pré-definido, utilizar-se-á de um método da Inferência Estatística conhecido como teste de hipótese. Com o teste de hipótese podemos comparar se uma amostra comporta-se semelhante a uma “média” desejada; também poderemos calcular para amostras de tamanhos diferentes ou iguais se ambas são iguais ou não. Ex.: Verificando o histórico de movimentação de contêineres de 20 ou 40 TEUs (exportação e importação) pelo Porto de Santos, podemos questionar se a distribuição amostral do ano de 2006 é igual a distribuição amostral de 2007. Podemos questionar estatisticamente se o tempo médio de atrasos no Aeroporto Internacional de Brasília no último trimestre é inferior a 1 hora. Vamos então, para isso ver alguns conceitos pertinentes aos testes de hipótese: Hipótese Nula (H0): hipótese teoricamente considerada verdadeira no procedimento de teste de hipótese. É um valor suposto para um parâmetro. Se os resultados da amostra não forem muito diferentes de H0 ela não poderá ser rejeitada. Hipótese Alternativa (Ha): é a hipótese que se conclui ser verdadeira, caso a hipótese nula for rejeitada. É uma hipótese que contraria a hipótese nula. Ela somente será aceita se os resultados forem muito diferentes de H0. Nos testes de hipóteses na tomada de decisão a favor ou contra uma hipótese, existem dois tipos de erros que podem ser cometidos. Pode-se rejeitar a hipótese nula quando de fato ela é verdadeira (erro tipo I) ou pode-se falhar em rejeitar H0 quando de fato ela é falsa (erro tipo II). Existe um balanço entre esses dois tipos de erros, no sentido de que ao tentar-se minizar a possibilidade de um tipo, aumenta-se a probabilidade do outro. Freqüentemente denotamos as probabilidades destes dois erros como α e β respectivamente.



5

Verdade Aceitar H0 Rejeitar H0Tempo Médio Atraso em BSB < 1h Atrasos inferiores a 1h Erro Tipo IITempo Médio Atraso em BSB > 1h Erro Tipo I Atrasos superiores a 1h

Conclusão H0 Verdadeiro Ha VerdadeiraAceitar H0 Conclusão Correta Erro Tipo II (β)Rejeitar H0 Erro Tipo I (α) Conclusão Correta

O poder de um teste é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando esta é de fato falsa. Isto é igual a 1- β. Em geral, quanto maior o tamanho da amostra, maior o poder do teste. É desejável decidir sobre um tamanho de amostra conveniente antes de conduzir um estudo de forma que os resultados do teste de hipótese terão poder suficiente para responder a questão científica de interesse. Podemos verificar os erros de estimativas do teste de hipóteses conforme o exemplo citado anteriormente. A criação de um teste de hipótese consiste na elaboração do conjunto H0 e Ha

segundo a estimativa do parâmetro de comparação e como é o critério dessa comparação. Para tal, temos os testes unicaudais e bicaudais. A probabilidade α de cometer um erro do tipo I é um valor especificado pela pessoa que conduz o teste de hipótese, e defini-se como Nível de Significância para o teste. Os valores mais comuns utilizados para o nível de significância são 0,05 (5% dos valores da amostra ou população serão considerados com hipótese nula verdadeira quando o correto será a hipótese alternativa) e 0,01 (1% dos valores da amostra ou população serão considerados com hipótese nula verdadeira quando o correto será a hipótese alternativa) Teste unicaudal ou unilateral: teste de hipótese no qual a rejeição da hipótese nula ocorre para valores da estatística do teste em uma cauda da distribuição amostral, contendo σ (desvio padrão) conhecido. Elas podem ser: Unicaudal à Esquerda: Ex.: H0: µ = 50 Ha: µ > 50

µ = 50 Neste exemplo questiona-se como hipótese alternativa que a média de uma determinada variável apresenta um valor superior ao valor de 50. Assim o teste do score z normal é maior que o zα, tal que:

H0: µ = µ0 Ha: µ > µ0

Rejeitar H0 se z > zα



6

Unicaudal à Direita: Ex.: H0: µ = 50 Ha: µ < 50

µ = 50 Neste exemplo questiona-se como hipótese alternativa que a média de uma determinada variável apresenta um valor inferior ao valor de 50. Assim o teste do score -zα é maior que o z normal, tal que:

H0: µ = µ0 Ha: µ < µ0

Rejeitar H0 se z < -zα

Teste bicaudal ou bilateral: teste de hipótese no qual a rejeição da hipótese nula ocorre para valores da estatística do teste em ambas as caudas da distribuição. Ex.: H0: µ = 50 Ha: µ ≠ 50

µ = 50

Nesse caso afirmamos que a hipótese alternativa é estatisticamente diferente da média da hipótese nula. Dizemos que o valor da nova média é totalmente diferente de 50. Assim o critério de rejeição da hipótese nula dar-se-á quando o módulo do score normal z for maior que o score calculado zα/2.

H0: µ = µ0 Ha: µ ≠ µ0

Rejeitar H0 se |z| > zα/2

Para ilustrar a rejeição ou aceitação de um teste bicaudal temos a figura a seguir:



7

Procedimento geral de teste

1. Estabeleça a hipótese nula, H0 e a hipótese alternativa Ha;

2. Decida qual o teste a ser usado, checando se este é válido para o seu problema;

3. Especificar o nível de significância α do teste;

4. Calcule a estatística de teste:

• z: teste de média com σ conhecido;

N

xz

σ

µ0−=

Sendo:

=x média da população (comparado)

µ0 = média do teste de hipótese (com o que se compara)

σ = desvio padrão da população

N = número de registros ou tamanho da população

• t: teste de média com σ desconhecido.

ns

xtz n

01

µ−== −

Sendo:

=x média da amostra (comparado)

µ0 = média do teste de hipótese (com o que se compara)

s = desvio padrão da amostra

n = número de registros ou tamanho da amostra

*********

Nem sempre conseguimos saber qual é o desvio-padrão de uma população. Se dispusermos somente de uma amostra de n elementos de uma população, com base na qual iremos realizar o teste, devemos então usar essa mesma amostra para estimar o desvio-padrão σ da população. Ao substituir σ por s na fórmula da equação do escore z, a variável resultante terá uma distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade. Assim, os testes unicaudais e bicaudal apresentarão rejeição de hipótese nula com:

Unicaudal à esquerda Unicaudal à direita Bicaudal H0: µ = µ0 Ha: µ > µ0

Rejeitar H0 se tn-1 > tn-1, α

H0: µ = µ0 Ha: µ < µ0

Rejeitar H0 se tn-1 < -tn-1, α

H0: µ = µ0 Ha: µ ≠ µ0

Rejeitar H0 se |tn-1| > tn-1,α/2

*********



8

5. Encontre a probabilidade (p-valor) de observar um valor tão extremo ou maior do que t se a hipótese nula é de fato verdadeira. Você precisará se referir aos valores críticos nas tabelas estatísticas as quais fornecem p-valores correspondendo aos valores das estatística de teste.

6. Avalie a força da evidência contra H0.(Quanto menor p-valor, tanto mais evidência contra a hipótese nula.) Se necessário, decida se esta é evidência suficiente para rejeitar (ou não rejeitar) a hipótese nula.

7. Estabeleça as conclusões e interpretação dos resultados.

O p-valor é a probabilidade de observar dados tão extremos quanto os obtidos se a hipótese nula é verdadeira. Note as seguintes interpretações de p-valores:

Esteja ciente da diferença entre significância estatística e significância prática. Um efeito pode ser estatisticamente significante mas não ter qualquer importância prática e vice-versa. Por exemplo, um estudo muito grande pode estimar a diferença entre a média de peso SKU como sendo 0.0001 gramas e concluir que a diferença é estatisticamente significativa (p<0.05). Contudo, na prática, esta diferença é negligível e provavelmente de pouca importância prática. Testes de Hipótese envolvendo comparações entre médias: quando se deseja investigar o comportamento entre duas populações ou amostras perante o quanto se diferenciam entre si (não se confundirem com os conceitos de covariância e correlação em Estatística Descritiva) temos os seguintes métodos:

1. Estimativa da diferença entre as médias de duas populações com amostras Independentes

2. Inferência sobre a diferença entre as médias de duas populações com

amostras relacionadas Estimativa da diferença entre as médias de duas populações com amostras Independentes Possibilita trabalhar com populações e amostras aleatórias de tamanhos diferentes, cujas fontes de geração dessas variáveis quantitativas sejam independentes entre si. (Ex.: comparar Terminal A com Terminal B, Dados da Avon com Dados da Natura, etc)



9

O procedimento associado com o teste da diferença entre duas medias é semelhante ao utilizado no teste de um valor hipotético da media populacional, exceto que se utiliza o erro padrão da diferença entre medias como base para se determinar o valor da estatística de teste associada com os resultados das amostras. A hipótese nula (H0) usualmente testada é a de que as duas amostras tenham sido obtidas de populações com médias iguais e a hipótese alternativa (Ha) sugere que as amostras foram obtidas de populações com médias diferentes, ou seja:

Unicaudal à esquerda Unicaudal à direita Bicaudal H0: µ1 – µ2 ≤ 0 Ha: µ1 – µ2 > 0

Rejeitar H0 se:

z > 1,65 α = 0,05

H0: µ1 – µ2 ≥ 0 Ha: µ1 – µ2 < 0

Rejeitar H0 se:

z < -1,65 α = 0,05

H0: µ1 – µ2 = 0 Ha: µ1 – µ2 ≠ 0

Rejeitar H0 se:

z < -1,96 ou z > 1,96 α = 0,05/2

Para o score z,

( ) ( )

2

22

1

21

2121

nn

xxz

σσ

µµ

+

−−−=

Sendo:

=21 xex média da amostra 1 e 2

µ1 e µ2 = média da população 1 e 2

=22

21 σσ e variância da população 1 e 2

n1 e n2 = número de registros ou tamanho da amostra

Para o caso de pequenas amostras utilizar-se do score t de Student:

( ) ( )

+

−−−=

21

2

2121

11

nns

xxt

µµ

Sendo:

=21 xex média da amostra 1 e 2

µ1 e µ2 = média da população 1 e 2

s = variância da amostra

n1 e n2 = número de registros ou tamanho da amostra

Unicaudal à esquerda Unicaudal à direita Bicaudal

H0: µ1 – µ2 ≤ 0 Ha: µ1 – µ2 > 0

Rejeitar H0 se:

z > 1,71 α = 0,05

H0: µ1 – µ2 ≥ 0 Ha: µ1 – µ2 < 0

Rejeitar H0 se:

z < -1,71 α = 0,05

H0: µ1 – µ2 = 0 Ha: µ1 – µ2 ≠ 0

Rejeitar H0 se:

z < -2,07 ou z > 2,07 α = 0,05/2



10

Sem filtro particulado Com filtro particulado1 351 151 200 2693.612 374 350 24 51938.413 336 117 219 1082.414 588 297 291 1528.815 463 284 179 5314.416 423 191 232 396.017 388 36 352 10020.018 460 170 290 1451.619 436 77 359 11470.41

10 445 55 390 19071.6111 426 277 149 10588.4112 560 248 312 3612.0113 331 301 30 49239.6114 404 204 200 2693.6115 564 84 480 52029.6116 322 269 53 39561.2117 447 150 297 2034.0118 510 177 333 6577.2119 484 242 242 98.0120 465 59 406 23746.81

Média (dbarra): 251.9 295147.8

(di - dbarra)2

Particulado Sólido (ppm) Diferença nas emissõesVeículo

Inferência sobre a diferença entre as médias de duas populações com amostras relacionadas Conhecida também como amostras emparelhadas, isto é, compara-se amostras aleatórias de populações distintas, de mesmo tamanho n. Indicado para comparar técnicas ou processos. (ex.: em uma frota de ônibus de uma empresa de transporte público composta de 20 veículos estudou-se o nível de emissão de CO2 e de Particulados Sólidos em duas situações: a) frota somente com filtro catalítico e b) frota com filtro particulado instalado após o filtro catalítico)

H0: µd = 0 Ha: µd ≠ 0 Calculando-se,

n

dd

i∑= Média dos valores da diferença entre as populações

( )1

2

−

−=∑

n

dds

i

d Desvio-padrão das amostras relacionadas

n

s

dt

d

dµ−= Teste t Student para amostras relacionadas

Para ilustrarmos um exemplo temos:



11

63.12419

8.295147==ds 4519.0

2063.124

09.251=

−=t

Como o teste é bicaudal e considerando o Nível de Significância α = 0,05 e n – 1 = 19 graus de liberdade tem-se na tabela de Distribuição t (encontrado nos livros de estatística) que t0,025 = 2,093. A regra de rejeição para o teste bicaudal ficaria: Rejeitar H0 se t < -2,093 ou se t > 2,093 0.4519 < -2,093 (falso!)

0.4519 > 2,093 (falso!) H0: µd = 0 e Ha: µd ≠ 0

Resposta: Hipótese Nula não é descartada. Segundo este teste da média dos valores da diferença para a população a redução da emissão dos particulados não é significativo.

Unicaudal à esquerda Unicaudal à direita Bicaudal H0: µd = 0 Ha: µd > 0

Rejeitar H0 se tn-1 > tn-1, α

H0: µd = 0 Ha: µd < 0

Rejeitar H0 se tn-1 < -tn-1, α

H0: µd = 0 Ha: µd ≠ 0

Rejeitar H0 se |tn-1| > tn-1,α/2

*********

Determinação do tamanho da amostra: no caso de grandes amostras (n>30) caso o desvio-padrão populacional (σ) for conhecido podemos fazer uma declaração sobre o erro da estimativa de amostragem, sempre que a média da amostra for usada para fornecer a estimativa pontual da média da população:

� Há uma probabilidade de 1 – α de que o valor da média da amostra fornecerá um erro de amostra de xz σα ×2 [lê-se: probabilidade normal z de

nível de significância α/2 (bicaudal) multiplicado pelo desvio-padrão da média x ] ou menos.

Sendo que: n

x

σσ =

� Há uma probabilidade de 1 – α de que o valor da média da amostra

fornecerá um erro de amostra ( )nz σα ×2 ou menos.

A quantidade ( )nz σα ×2 é a margem de erro. Dessas declarações sabemos que

os valores de σα ,2z e o tamanho da amostra n se combinam para determinar a

margem de erro. Uma vez selecionado pelo elaborador do dimensionamento o



12

coeficiente de confiança ou probabilidade de 1 – α, 2αz (tirado de uma tabela

normal) pode ser determinado. Dando-se os valores de σα ,2z podemos

determinar o tamanho da amostra n necessária para fornecer qualquer margem de erro desejada. O desenvolvimento da fórmula usada para calcular o tamanho solicitado da amostra n desenvolve-se com o seguinte raciocínio: Seja E = a margem de erro desejada, temos:

E

zn

nzE

σσ αα

×=∴×= 2/

2/

Temos então que a fórmula para obter o tamanho de uma Amostra para uma Estimativa por Intervalo de uma Média da População é:

( )2

222/

E

zn

σα ×=

Nessa fórmula, o valor de E é a margem de erro que o usuário está apto a aceitar no nível de confiança dão e o valor de 2αz decorre diretamente do nível de

confiança a se usado no desenvolvimento da estimativa por intervalo. Embora a preferência do usuário deva ser considerada, o valor de confiança de 95% é o mais freqüente escolhido, sendo assim o valor de z0,025 = 1,96. Também nessa equação vimos que ocorre a necessidade do uso do desvio-padrão da população (σ) ou mais precisamente, a variância (σ2). Em muitos dos casos nos deparamos em não sabermos qual é o desvio-padrão da população. No entanto, podemos utilizar um “valor planejado” para σ. Na prática podemos escolher entre os seguintes procedimentos:

a) Usar o desvio-padrão da amostra (s) a partir de uma amostra prévia de mesmas unidades ou de unidades similares.

b) Usar de um estudo piloto para selecionar uma amostra preliminar. O desvio-padrão da amostra a partir da amostra preliminar pode ser usado como o valor planejado para σ.

c) Use o julgamento ou o melhor palpite para o valor de σ. Por exemplo, podemos começar estimando o maior valor e o menor valor que uma estimativa por intervalo para os dados nos fornece. Finalmente, o intervalo dividido por quatro é sugerido como uma aproximação grosseira do desvio-padrão e portanto, um valor aceitável de σ.

Fonte: ANDERSON, D. R., SWEENEY, D.J. & WILLIAMS, T.A. (2002). Estatística Aplicada à Administração e Economia, 2ª. Edição, Ed. Pioneira, São Paulo Nota: Para maiores informações sobre dimensionamento de amostra consultar bibliografia recomendada para o curso. Também, sugere-se, como curiosidade ler sobre o conceito e técnica de Planejamento de Experimentos (DOE: Design of Experiments) que contempla a determinação de amostragem para realização de pesquisas de campo para obtenção de dados qualitativos e quantitativos.

*********



13

2) Base introdutória em Teoria das Filas Um sistema de filas (queueing system) consiste de um ou mais servidores que fornecem um tipo de serviço para clientes. Clientes que chegam ao sistema e encontram todos servidores ocupados podem geralmente entrar em uma ou mais filas (ou linhas) , daí o nome de sistema de filas.

Historicamente, uma grande porção de todos os estudos de simulações discretas orientadas a eventos desenvolvidos até hoje envolveu a modelagem de sistemas de filas do mundo real, ou então pelo menos um componente do sistema simulado era um sistema de filas.

Características dos Sistemas de Filas Os elementos chave de um sistema de filas são os clientes e os servidores. O termo clientes pode se referir a pessoas, partes, máquinas, aviões, processos de computador, entre outros. Servidores são caixas de banco, operadores de máquinas, controladores de tráfego, operadores de computador, etc. Alguns conceitos importantes para Teria das Filas são: População: conjunto potencial de clientes; pode ser finito ou infinito. Capacidade do Sistema: o limite do número de clientes que o sistema pode acomodar em um dado instante de tempo. Processo de chegada: as chegadas podem ocorrer em tempos programados ou em tempos aleatórios, sendo que no segundo caso normalmente assume-se alguma distribuição de probabilidade. A distribuição Poisson é a mais comum. Disciplina de fila: o comportamento da fila em reação ao seu estado atual ou a maneira como a fila é organizada pelo servidor. Mecanismo de serviço (atendimento): o tempo de atendimento (service time) pode ser constante ou ter uma duração randômica . O atendimento pode se dar através de um só canal (mono-canal) ou através de múltiplos canais. Observações importantes: Uma variável importante do processo de chegada é a taxa de chegada (λλλλ) dos clientes no sistema de filas. Esta taxa especifica que, por exemplo, 10 clientes por segundo vão chegar ao sistema (e possivelmente serão atendidos ou então podem entrar em uma ou mais filas).



14

Layout típico de um sistema de filas: As disciplinas de filas se referem as regras que o servidor vai empregar para decidir qual será o próximo cliente da fila a ser atendido. As disciplinas mais comuns são:

� FIFO - First-In, First-Out: Também é conhecida como FCFS (First-come-First-served). Nesta disciplina de fila, consiste que a ordem do processamento do cliente pelo servidor dá-se pela ordem de chegada na fila. Os processos FIFO podem apresentar um ou vários canais de serviço, apresentando as variações com filas paralelas (uma fila para cada canal de atendimento) ou o processo de fila única (única fila para vários canais de processamento).

� LIFO - Last-In, First-Out: Essa disciplina de fila apresenta um comportamento de pilha. O cliente atendido será sempre o último cliente do período em que o servidor tornou-se liberado ao processamento do atendimento.

População de clientes

fila Servidor 1 Servidor 2 Servidor n



15

Notação padrão para sistemas de filas (Kendall Notation)

A/B/c/K/m/Z Sendo: A: distribuição do tempo entre-chegadas (inter-arrival time) B: distribuição do tempo de atendimento (service time) c: número de servidores (paralelos) K: capacidade das filas m: número de clientes na fonte (tamanho da população) Z: disciplina da fila Por exemplo, um sistema de filas M/M/1/∞/∞ temos:

M / M / 1 / ∞∞∞∞ / ∞∞∞∞ Este sistema de fila é usualmente abreviado como M/M/1. A ausência das duas últimas letras (K , m) indicam o uso dos valores padrão para infinito. Observações: O M é usado para denotar distribuição exponencial por causa da propriedade Markoviana de não ser influenciado por estados anteriores (memoryless) O Z é considerado FIFO por default, não sendo obrigatória a presença neste caso.

Tempo entre-chegadas distribuído exponencialmente

População de tamanho infinito

Fila de capacidade ilimitada

1 servidor

Tempo de atendimento distribuído exponencialmente



16

Medidas de desempenho de sistemas de filas As seguintes variáveis são empregadas na definição e no cálculo do desempenho de um sistema de filas: C : número de servidores do sistema λλλλ : taxa média de chegada de clientes µµµµ : taxa média de atendimento (serviço) por servidor a : número de servidores necessários para o serviço ρρρρ : taxa de utilização do servidor; é uma medida de congestionamento do servidor se ρρρρ < 1 então não há congestionamento se ρρρρ = 1 então sistema está em equilíbrio se ρρρρ > 1 então há congestionamento Wq : descreve o tempo gasto por um cliente na fila Ws : descreve o tempo gasto por um cliente durante atendimento (serviço) W: descreve o tempo total de um cliente no servidor (fila + atendimento) Lq : descreve o número de clientes na fila Ls : descreve o número de clientes em atendimento (serviço) L: descreve o número total de clientes Sistemas estáveis: Sistema estável é aquele em que a taxa média de chagada de clientes (λλλλ) e a taxa média de atendimento do servidor (µµµµ) se mantêm constantes ao longo do tempo. Se λλλλ e µµµµ não são estáveis, a análise do comportamento do sistema pela teoria das filas só é possível se retalharmos o período de tempo, o que torna a análise muito mais complexa. Postulados: os postulados básicos do processo de teoria de filas são:

� Em qualquer sistema estável, o fluxo que entra é igual ao fluxo que sai.

� Em um sistema estável, o fluxo de entrada se mantém nas diversas seções do sistema.

� Em um sistema estável, a junção de fluxos equivale às suas somas.

� Um sistema estável, o fluxo se desdobra aritmeticamente.



17

Fórmulas genéricas:

Número de servidores: sW

aλ

=

Taxa de utilização do servidor: c

a=ρ ou

µ

λρ

×=

c

Tempo total do cliente: sq WWW +=

Número total de clientes: sq LLL += ou WL ×= λ

Número de clientes na fila: qq WL ×= λ

Número de clientes em atendimento ss WL ×= λ Fórmulas específicas para filas M/M/1: Taxa de utilização do servidor sW×= λρ

Tempo total do cliente: ( )ρ−

=1

sWW

Tempo de um cliente na fila: WWq ×= ρ

Número total de clientes: WL ×= λ ou ρ

ρ

−=

1L

Número de clientes na fila: qq WL ×= λ ou ρ

ρ

−=

1

2

qL

P[L = n] = (1-ρ) x ρ x n probabilidade do sistema ter n clientes P[L ≥ n] = ρ x n probabilidade do sistema ter n ou + clientes

*********

Exemplo: Suponhamos um pedágio onde há somente uma caixa fazendo o atendimento; os carros chegam a uma taxa de 2 carros por minuto e o tempo médio de atendimento de cada carro por parte da caixa é de 10 segundos. Logo temos:



18

c = 1 número de servidores (só há uma caixa, logo c=1) λ = 2 / 60 = 0,0333 2 carros a cada 60 segundos Ws = 10 segundos (tempo de atendimento ou serviço) µ = 1/10 = 0,1 é a taxa média de serviço; a cada segundo são

atendidos 0,1 carros a = 0,0333 x 10 = 0,333 servidores são necessários para o atendimento ρ = 0,0333 x 10 = 0,333 taxa de utilização = 33,3 % (há subutilização do

servidor) Este é um caso M/M/1, portanto: W = 10 / (1 - 0,333) = 10 / 0,66667 = 14,99 ≅ 15 segundos (é o tempo de permanência de cada cliente no sistema ⇒ fila + atendimento ) Wq = 0,333 x 14,99 = 4,99 ≅ 5 seg. (é o tempo médio de permanência na fila) L = 0,0333 x 14,99 = 0,499 ≅ 0,5 clientes (é o número médio de clientes no sistema) Lq = 0,0333 x 4,99 = 0,16 clientes ( é o número médio de clientes na fila) Ls = 0,0333 x 10 = 0,333 clientes (é o número médio de clientes sendo atendidos) Qual a probabilidade da fila ter 0,5 clientes? P[L = 1,5] = (1 – 0,333) x 0,333 x 1,5 = 0,128 E qual a chance de ter 0,5 ou mais clientes? P[L ≥ 1,5] = 0,333 x1,5 = 0,192

*********

Filas M/M/1/k: População finita e restrição de capacidade do sistema

Número de clientes na fila: ( )PkLq −×+

−= 1λ

µλ

Número total de clientes: ( )µ

λ

λ

µλ+−×

+−= PkL 1

Tempo de um cliente na fila: ( )( )

2

1

λ

µλ

λ

PkWq

−+−=



19

Tempo total do cliente: ( )( )

µλ

µλ

λ

112

+−+

−=Pk

W

Probabilidade do sistema ter n clientes

( ) ∑=

−

×−

=

k

j

j

nk

jnk

P

0 !!

λ

µ

λ

µ

IESB Logística Empresarial - Métodos Quantitativos - Volume II

Education

Transcript of IESB Logística Empresarial - Métodos Quantitativos - Volume II