II Bimestre

I.E.P. SANTO TORIBIO MATEMATICAS

CONTENIDO II BIMESTRE

PROPOCISIONES LOGICAS.

CLASIFICACION DE LAS PROPOSICIONES

PRINCIPALES PROPOSICIONES COMPUESTAS.

SISTEMA DE NUMERACION DECIMAL.

OPERACIONES CON NUMEROS NATURALES, ADICION Y SUSTRACCION.

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN.

DIVIDENDO = DIVISOR * COCIENTE.

NUMERO NATURALES EXPRESADOS COMO POTENCIAS.

RADICACION DE NUMEROS NATURALES.

SISTEMA DE NUMERACION.

CONVERSION DE UN NUMERO DE UN SISTEMA A OTRO.

MULTIPLOS Y DIVISORES.

TEORIA DE LA DIVISIBILIDAD.

RESTOS POTENCIALES.

TEORIA DE LOS NUMEROS PRIMOS.

CRITERIO PARA RECONOCER SI UN NUMERO ENTERO ES PRIMO.

DESCOMPOSICION CANONICA.

REGLA PARA DETERMINAR LOS DIVISORES DE UN NUMERO.

ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NUMERO.

MAXIMO COMUN DIVISOR Y MINIMO COMUN MULTIPLO.

NUMERO FRACCIONES.

FRACCIONES COMPLEJAS.

POTENCIACION Y RADICACION DE FRACCIONES.

GRIFOS Y TRABAJOS.

NUMEROS DECIMALES.

CLASIFICACION DE LOS NUMEROS DECIMALES.

PROBLEMAS CON NUMEROS DECIMALES.

PROPOCISIONES LÓGICAS

Entre las diversas disciplinas que pertenecen a la Lógica Formal aparece la LOGICA PROPOSICIONAL, que estudia las leyes lógicas que hay en las relaciones entre las proposiciones a través de los operadores proposicionales. En la lógica moderna es imposible no hablar de las proposiciones Lógicas, a continuación veamos algunos conceptos propios de este tema.

I. Noción de Proposición: Es una expresión lingüística (simbólica o conjunto de palabras) con Sentido Completo, que se pueda demostrar su Verdad o Falsedad.Una proposición lógica es enunciada mediante oraciones aseverativas que pone de manifiesto la función informativa del lenguaje.

Esto trae como consecuencia las siguientes consideraciones:

1. No son proposiciones lógicas- Las creencias, mitos o leyendas.- Las metáforas o refranes.- Las supersticiones.- Los hechos de la literatura o personajes ficticios- Hechos discutibles: La Moral, los valores, la belleza, etc.- Enunciados abiertos o indefinidos: + + = 180°.- Las oraciones:

Exclamativas (admiración, sorpresa)Dubitativas (dudas)Desiderativas (deseos)Interrogativas (preguntas)Imperativas (órdenes, súplicas, prohibiciones)

2. Son proposiciones lógicas- Las fórmulas científicas ya demostradas.- Las leyes o hipótesis científicas aceptadas.- Enunciados cerrados o definidos: + + = 180°, si , , = ángulos de un

mismo triángulo.- Las Oraciones:

Informativas (información)Descriptivas (característica de algún sujeto)Explicativas (causa – efecto)

Ejemplo:

Dados los siguientes enunciados:

1) El señor algún día te perdonará2) a, b R; a > b ó a = b ó a < b3) El perú es un mendigo sobre un banco de oro4) P q - q - p5) Quisiera algún día poderte dar un beso

1


Son proposiciones lógicas:

a) 1, 2 b) 2, 3 c) 3, 4 d) 2, 4 e) 4, 5

Solución:

1) Creencia (no es proposición)2) La ley de Tricotomía (si es proposición)3) Metáfora (no es proposición)4) Equivalencia lógica (si es proposición)5) Deseo (no es proposición)

CLAVE “D”

PRÁCTICA DE CLASE

Indicar ¿Cuál de las siguientes oraciones representan a una proposición lógica?

1. Trujillo es llamada “La Capital de la Marinera”2. Romeo y Julieta se amaron hasta la muerte.3. No todos los razonamientos son válidos4. Universitario es el mejor equipo del balompié peruano.5. Don Quijote es el personaje de una obra literaria.6. Huancayo es una ciudad peruana 7. ¿Cuál es su identidad?8. Batman y Robin son amigos9. La virgen dolorosa es la patrona de Cajamarca.10. El Perú es un país subdesarrollado11. La Virgen de la puerta es milagrosa.12. Freddy Ternero recibió efusivas felicitaciones por su acertado triunfo en la

Recopa Sudamericana 200413. Alan García fue el mejor presidente del Perú14. El gerente general del Poder Judicial ordeno a los trabajadores trabajar

coherentemente15. “Otorongo” es un félido16. “Puma” se refiere a un mamífero felino17. La llama es herbívoro tanto como que es fuego18. (a + 1)2 > 519. (a + 4)2 > 4; a N20. x +(y+z) = (x+y)+z; x, y, z R21. HCl22. HNO3 + NaOH NaNO3 + H2O23. A = {x/8 > x > 2; x R}24. Pacasmayo, San Pedro de Lloc25. Alberto Fujimori no fue ni será presidente del Perú26. Jaime Solórzano es el profesor más lindo del Colegio de ciencias Lord Kelvin27. El que mucho abarca poco aprieta.28. El cielo está compuesto por números primos.

29. x > 0, x N30. Hoy es un día maravilloso.31. ¿Podrías prestarme dinero?32. A rincón quita calzón.33. El viento de la noche gira en el cielo y canta (Neruda).34. ¡Dios mío..... se murió!35. Mi corazón me dice que hoy día te encontraré.

TAREA DOMICILIARIA

Determine el valor de verdad de cada una de los enunciados de la práctica de clase que se consideraron como proposiciones.

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CLASIFICACIÓN DE LAS PROPOSICIONES

I) De acuerdo a la Cantidad .1. Universales .

Cuando se habla de todos los elementos incluidos en el sujetoEjemplos: Todos los peces son vertebrados El hombre es un ser racional Ningún reptil es félido Cualquier canario es ovíparo

2. Particulares .Cuando se habla de algunos elementos incluidos en el sujetoEjemplos: Algunas aves son voladoras Varios ingenieros son administradores Hay reptiles que son carnívoros Muchos deportistas son peruanos

3. Individuales. Cuando el sujeto es nombre propio (es único)Ejemplos: Steffany estudia en la escuela Miguel Grau murió en Angamos Luz trabaja en Chimbote Roberto es italiano

II) De acuerdo a la Calidad .1. Afirmativas .

Cuando el sujeto está incluido, total o parcialmente, en el predicado.Ejemplos: El perro es un vertebrado Miguel estudia inglés Muchos médicos son profesores

2. Negativas .Cuando el sujeto está excluido, total o parcialmente, del predicado.Ejemplos: Ningún pez es mamífero Pocos deportistas son atletas Lorena no trabaja en Francia

III) De acuerdo a la Modalidad .1. Contingentes .

Cuando el valor de verdad depende de un contexto.Ejemplos: Talara es una ciudad norteña

El oro es un metal sólido El pasaje urbano cuesta 0,80 soles Alejandro Toledo es el presidente del Perú

2. Necesarios .Cuando el valor de verdad in invariable.Ejemplos: 1250 + 1350 = 2600 El punto no tiene dimensiones La proposición tiene valor de verdad Los ricos son adinerados

3. Problemáticas .Cuando el valor de verdad es probable.Ejemplos: La inflación peruana el 2006 será menor a 4% Es probable que la suma de dos números sea menor a 20 Juan Pérez ingresará a medicina Es posible que la selección clasifique al mundial 2006

IV) De acuerdo a la Complejidad .

1. Simples o Atómicas .Cuando no tienen operadores proposicionales. Son indivisibles.Se subdividen en:

1.º Predicativas . Cuando se le atribuye alguna cualidad al sujeto (utiliza el verbo SER en cualquiera de sus tiempos). Tienen un solo sujetoEjemplos: Loreto es un departamento peruano Laura estudia derecho El cloro es un gas Carlos Marx fue el creador del Materialismo Dialéctico. Gregorio Mendel es el padre de la Genética.

2.º Relacionales . Cuando se compara un sujeto con otro mediante una relación que puede ser de orden, tiempo, espacio, parentesco, acción, etc. Tienen dos o más sujetos.

Ejemplos:

El cloro es más reactivo que el Yodo Carola es mayor que Elvira Luis y Luisa son vecinos

2. Compuestas .Tienen operadores lógicos proposicionales. Es posible extraer de ellas proposiciones más simples.Se clasifican de acuerdo al operador principal.

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A. El Conector Lógico: Es un término que sirve de enlace entre proposiciones o le cambian el sentido de verdad.

B. Principales Conectores Lógicos:

El negador: “ ............ no ..............”El conjuntor: “ ............ y ..............”El disyuntor: “ ............ o ..............”El condicional: “Si ....... entonces .........”El bicondicional: “.......... si y sólo si ..........”El inalterador: “ ni ............ ni ..............”El Incompatibilizador: “ no ............ o no ..............”

Ejemplos:

Jaime y Janelly estudian en Lord Kelvin Alfredo viajará a Tumbes o a Piura Si trabajo, tengo dinero Es falso que el Perú integre la OTAN.

PRÁCTICA DE CLASE

01. De los siguientes enunciados, cuáles de ellos son proposiciones universales:

1. Los perros son mamíferos.2. Ningún mamífero es herbívoro3. El papagayo esta cantando4. El sol es una estrella5. La leche es una mezcla6. Todos los toros son bóvidos7. Ningún abogado es profesional8. El átomo de carbono en estado basal tiene 4 electrones en su capa de

valencia9. Ningún S es P10. No hay mamíferos reptiles

02. De los siguientes enunciados, cuáles de ellos son proposiciones particulares:

1. Algunos mamíferos son herbívoros2. La mayoría de médicos son pediatras3. La minoría de médicos no son pediatras4. Casi todos los felinos son africanos5. Casi ningún felino es americano6. No todos los animales son vertebrados7. Algunos reptiles son polígonos regulares8. Unos gatos son siameses9. Las pieles de oveja tienen abundante pelo10. Los brasileños son futbolistas

03. De los siguientes enunciados, cuáles de ellos son proposiciones individuales:

1. ”Jaime” es un nombre de persona2. Janelly es alumna del colegio Lord Kelvin3. Ninguna persona se llama Juanacha4. Andrómeda es una galaxia vecina a la Vía Láctea5. La Tierra es el tercer planeta del Sistema Solar6. El Amazonas es el río más caudaloso del mundo7. Amazonas es el nombre de un departamento peruano8. Mi amiga Yoko vive en el jirón Amazonas9. “Dinero” tiene seis letras10. “Dinero” es trisilábica

04. A continuación te presentamos varios enunciados, identifica a aquellos que sean proposiciones simples.

1. Ojalá llueva en la selva.2. Te necesito junto a mí.3. María y Juan son hermanos.4. María y Juan son amigos de Luis.5. María y Juan estudian en la universidad.6. María y Juan intercambian información sobre teología7. María y Juan tienen la misma madre, pero diferente padre.8. La luna es un planeta.9. Bolivia está entre Brasil y Uruguay.10. La lógica es una ciencia formal.11. El oxígeno es un elemento no metálico.12. El cloro no es un elemento metálico.13. No es suficiente estudiar para aprobar un examen.14. Las malas experiencias forman el temple de las personas.15. El perro es el mejor amigo del hombre.16. Los dioses griegos no son los mismos que los dioses romanos.17. Todos y cada uno de los mamíferos son vivíparos.18. Es ilógico que los razonamientos sean objeto de estudio de la psicología.19. Es incoherente el caso que la energía se transforme en materia debido a

procesos de fisión nuclear.20. Una de las posibles causas de la desnutrición infantil es la escasez de

recursos de las familias afectadas.

05. De los siguientes enunciados, son proposiciones compuestas:

1. Energía equivale a trabajo.2. Alex así vemos que también Daniel trabajan juntos.3. Los países de Servia y Croacia se habían unido para formar Yugoslavia4. La glucólisis no consiste en la degradación del acetil coenzima.5. Las Cataratas del Jera se encuentran en Jepelacio.6. El Perú tanto como Japón son países asiáticos.7. El diamante es un material muy duro8. Es mentira que los mamíferos no sean vertebrados.9. Brasil y Ecuador compitieron por ser sedes del mundial de fútbol del 2006.10. Alberto eligió a su novia de entre tres candidatas.

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11. Es cierto que Argentina y Brasil participaron en el Mundial de Fútbol de México en 1986.

12. Si es el mejor amigo del hombre, prémialo.13. Si se toma en cuenta la teoría de Einstein, la energía equivale a la materia.14. No todo está perdido para la selección peruana de fútbol.15. El nitrógeno es un elemento no metálico.16. La calidad total está orientada, principalmente, al servicio post venta.18. El marketing mix es necesario para la empresa.19. De seguro se cumple que para que una empresa no quiebre, no debe estar

bajo el punto de equilibrio.20. Los candidatos a la presidencia del Perú deben dejar de lado sus intereses

personales.

TAREA DOMICILIARIA

01. Enuncia tres proposiciones simples predicativas02. Enuncia tres proposiciones simples relacionales.03. Enuncia tres proposiciones compuestas conjuntivas.04. Enuncia tres proposiciones compuestas disyuntivas.

PRINCIPALES PROPOSICIONES COMPUESTAS

I. LA CONJUNCIÓN: Emplea el operador lógico “^” que se lee “y”, para relacionar a dos proposiciones simples.

Así por ejemplo podemos decir: Janelly estudia y trabaja. El operador “y” relaciona a las proposiciones simple:

- Janelly estudia- Janelly trabaja.

Si representáramos a cada una de las proposiciones simples por letras tales como:

- p = Janelly estudia- q = Janelly trabaja.

Entonces toda la proposición compuesta quedaría representada por: “ p q “Para determinar el valor de verdad de una proposición compuesta conjuntiva se debe tener en cuenta el siguiente cuadro:

p q p qV VV FF VF F

VFFF

Es decir que para que una proposición compuesta conjuntiva sea verdadera, es necesario que las dos proposiciones simples que la forman sean verdaderas, caso contrario la proposición compuesta será falsa.

En algunas ocasiones se suele reemplazar la letra “y” por otra palabra o conjunto de palabras tales como:

p y q = p además q= p al igual que q= p del mismo modo q= p pero q= p sin embargo q= p también q= No solo p tambíen q

II. LA DSIYUNCIÓN: Emplea el operador lógico “ v ” que se lee “o”, para relacionar a dos proposiciones simples.

Así por ejemplo podemos decir: Víctor juega fútbol o juega básquet. El operador “o” relaciona a las proposiciones simples:

- Víctor juega fútbol- Víctor juega básquet.

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Si representáramos a cada una de las proposiciones simples por letras tales como:

- p = Víctor juega fútbol- q = Víctor juega básquet.

Entonces toda la proposición compuesta quedaría representada por: “ p v q “.

Para determinar el valor de verdad de una proposición compuesta conjuntiva se debe tener en cuenta el siguiente cuadro:

p q q qV VV FF VF F

VVVF

Es decir que una proposición compuesta disyuntiva será falsa sólo cuando las dos proposiciones simples que la forman sean falsas, caso contrario la proposición compuesta será verdadera.

En algunas ocasiones se suele reemplazar la letra “o” por otra palabra o conjunto de palabras tales como:

p o q = p a menos que q= p o también q= p a no ser que q= p salvo que q= p y/o q= p excepto que q= p quiazas también q

III. LA NEGACIÓN: Emplea el operador lógico “ ~ ” que se lee “no”. Así por ejemplo si tuviéramos una proposición simple:

p = Alfredo es antipáticosu negación será:

~p = Alfredo no es antipático.

Para determinar el valor de verdad de una proposición compuesta negada se debe tener en cuenta el siguiente cuadro:

p ~pVF

FV

Es decir que si una proposición es verdadera, su negación será falsa y si la proposición fuese falsa, su negación será verdadera.

En algunas ocasiones se suele reemplazar la letra “o” por otra palabra o conjunto de palabras tales como:

No p = Es absurdo que p= Es falso que p= Es imposible que p= Es mentira que p= Jamás se da p= No es cierto que p= Nunca se da que p

Una doble negación se convierte en afirmación, así por ejemplo decir: no es cierto que sea falso que Janett es inteligente es lo mismo decir Janett es inteligente.

PRÁCTICA DE CLASE

Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones compuestas.

01. Simón Bolívar fue Chileno y fue un gran libertador.02. Los animales y las plantas tienen vida03. Jaime Solórzano es profesor de matemática o de historia.04. Lourdes Flores o Alan García fue presidente del Perú.05. Pablo Neruda es un cantante o es un actor.06. Es absurdo que la tierra gire alrededor del Sol.07. Es absurdo que sea falso que Fujimori fue presidente del Perú.08. Es innegable que sea falso que Jaime Castro no sea el Director General del

colegio Lord Kelvin.09. Los peces no respiran bajo el agua.10. Algunos peces nacen por huevos así como los pollos son vivíparos.11. La lechuga no es verdura así como el pan se obtiene del trigo12. Es falso que no es cierto que existe un colegio llamado Lord Kelvin.13. Paulina Rubio es poetiza o es voleybolista14. Shakira es futbolista o Alex Ubago es cantante.15. Así como la tierra gira alrededor del sol, la luna gira alrededor de la tierra.

TAREA DOMICILIARIA

01. Elabora tres proposiciones compuestas conjuntivas verdaderas.02. Elabora tres proposiciones compuestas conjuntivas falsas.03. Elabora tres proposiciones compuestas disyuntivas verdaderas.04. Elabora tres proposiciones compuestas disyuntivas falsas.05. Elabora tres proposiciones simples y luego construye su negación.

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SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

- El sistema de numeración que utilizamos se denomina SISTEMA DECIMAL porque su base es 10.

- En este sistema utilizamos los símbolos 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 a cada uno de estos símbolos se le denomina CIFRA O DÍGITO.

Aprendemos:

Las 12 primeras órdenes de la numeración se aprecian en el siguiente tablero de Valor Posicional

Diez unidades de un orden cualquier equivalente a una unidad de orden inmediato superior

Ejemplo:

Aprendo:

a) 125 438 625

Se lee: “125 millones, 438 mil, 625 unidades”

b) 2 345 824 075

Se lee: “2 mil, 345 millones, 824 mil, 75 unidades”

c) 18 456 395 784 489

Se lee: “18 billones, 456 mil 395 millones, 784 mil 489 unidades”

DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO

1. Según el nombre de la posición de cada dígito:

Ejm:

95 382 647 = 9 DMLL + 5 UMLL + 3CM + 8 DM + 2 UM + 6 C + 4 D + 7 U.

2. Según el valor posicional de cada dígito.

Ejm:

95 382 647 = 90 000 000 + 5 000 000 + 300 000 + 80 000 + 2 000 + 600 + 40 + 7

3. Según el valor por unidades de cada dígito.

Ejm:

95 382 647 = ( 9 x 10 000 000 ) + ( 5 x 1 000 000 ) + (3 x 100 000 ) + ( 8 x 10 000 ) + ( 2 x 1 000 ) + ( 6 x 100 ) + ( 4 x 10 ) + ( 7 x 1 )

4. Según el desarrollo exponencial de cada dígito.

Ejm:

95 382 647 = ( 9 x 107 ) + ( 5 x 106 ) + (3 x 105 ) + ( 8 x 104 ) + ( 2 x 103 ) + ( 6 x 102 ) + ( 4 x 101 ) + ( 7 x 100 )

PRÁCTICA DE CLASE

01. Escribe el valor posicional de cada número 8:

15 875 746 =....................................................................................

..............

485 723 123 =....................................................................................

..............

149 759 847 =....................................................................................

..............

89 342 191 306 =....................................................................................

..............

825 572 193 563 =....................................................................................

..............81

724 000 000 346 =....................................................................................

..............

7


02. Completa el cuadro:

NÚMERO SE LEE

45 789 005 325 498

15 058 729 459

“238 millones, 509 mil 742 unidades”

“15 billones, 6 mil 325 millones, 605 unidades”

45 728 006 358178 932 141 398

006“18 millones, 145 unidades”

38 475 000 000 003

03. Razona y completa el cuadro: (cifras diferentes)

El mayor Número El menor NúmeroDe 4 cifras

De 5 cifras

De 3 cifras

De 6 cifras

De 8 cifras

04. Razona y completa el cuadro: (cifras iguales)

El número Mayor El número MenorDe 3 cifras

De 4 cifras

De 5 cifras

De 7 cifras

05. Descomponer cada número según el nombre de laposición de cada dígito.

NÚMERO DESCOMPOSICIÓN

43 542

6 782 543

544 631

832 982

1 423 532

178 932 141 398

34 256 241

38 475 000 000 003

06. Completa el desarrollo exponencial de cada número:

a) 45 789 564 =

......................................................................................................

b) 123 491 784 =

......................................................................................................

.........................................................................................

.............

c) 145 008 976 495 =

......................................................................................................

.........................................................................................

.............

d) 125 003 945 =

......................................................................................................

.........................................................................................

.............

e) 465 396 124 549 =

......................................................................................................

.........................................................................................

.............

07. Escribe el número que corresponde a cada uno de estos desarrollos:

(9x106) + (5x105) + (4x104) + (8x103) + (5x102) + (3x101) + (2x100) =

................................................................................................................................

....................

(3x104) + (5x103) + (2x102) + (7x101) + (5x100) =

................................................................................................................................

....................

(2x107) + (3x106) + (5x105) + (9x104) + (7x103)+(6x102)+(4x101)+(5x100) =

................................................................................................................................

....................

08. Escribe el número anterior y posterior de:

............................................ 4 498 791 ..............................................

............................................ 18 975 489 ............................................

8


............................................ 3 333 444 ..............................................

............................................ 99 999 999 ............................................

09. Ordena en forma creciente:

16 656 100 – 28 178 000 – 7460 109 – 16565 101 – 28 154 958

................................................................................................................................

....................


4 498 792 – 598 791 – 15 151 516 – 56 200 300 – 3 333 444

................................................................................................................................

....................

11. Escribe “V” o “F” según corresponda:

1 456 128 1 457 128 ( )5 389 010 5 389 001 ( )25 578 100= 25 587 100 ( )16 126 476= 16 126 476 ( )3 576 126 3 576 026 ( )

12. Piensa y Razona:

Si “a” tiene 3 cifras y “b” tiene dos cifras. ¿Cuál es el mayor valor que puede tener a x b?

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01

01. ¿Cuántos millares tiene 3 decenas de millar?

a) 3 b) 30 c) 300 d) N.A

02. ¿Cuánto suman el mayor número de 3 cifras pares diferentes con el menor número impar de 4 cifras?

a) 1428 b) 1737 c) 1865 d) N.A

03. Si “c” es un número de 3 cifras y “d” un número de dos cifras ¿Cuál es el menor valor que puede tener “c - d”?

a) 1 b) 11 c) 101 d) N.A

04. ¿Cuánto aumenta el número 286 si se pone un cero entre el 2 y el 8?

a) 1600 b) 1800 c) 1900 d) N.A

05. Si “a” tiene 3 cifras y “b” tiene dos cifras. ¿Cuál es el mayor valor que puede tener a x b?

a) 1000 b) 98901 c) 68703 d) N.ATAREA DOMICILIARIA

01. Escribe como se lee los números:

25 784

954

795

709

= .........................................................................................

1 742

000

325

462

= .........................................................................................

35 056

785

462

= .........................................................................................

458

729

000

000

345

= .........................................................................................

12 78 000

572

245

= .........................................................................................

02. Escribe los números:

a) “325 millones 123 unidades”

……………………………………………………..

b) “3 billones, 125 millones, 456 mil 308 unidades”

……………………………………………………..

c) “125 billones, 9 mil 125 millones, 457 unidades”

……………………………………………………..

03. Realiza la descomposición exponencial:

57 489 576 = .......................................................................................................

589 742 059 = …..................................................................................................

36 745 327 984 = ................................................................................................

145 678 905 391 458 = .......................................................................................

9


OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALESADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

Recordemos los términos de la adición y la sustracción:

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN

a) Propiedad de Clausura o Cerradura: La suma de dos números naturales da como resultado otro número natural.

Si a y b N, entonces: a + b N

Ejemplo: 8 + 3 = 11 N

b) Propiedad Conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma.

Si a y b N, entonces: a + b = b + a

Ejemplo: 7 + 8 = 8 + 7 = 15

c) Propiedad Asociativa: En una adición se pueden agrupar de diferente forma los sumandos y la suma no cambia.

Si a , b y c N, entonces: ( a + b ) + c = a + ( b + c )

Ejemplo: ( 7 + 3 ) + 5 = 7 + ( 3 + 5 ) = 15

d) Propiedad del Elemento Neutro: Cualquier número sumado con cero es igual al mismo número. El cero es elemento neutro aditivo.

Si a N, entonces: a + 0 = 0 + a = 0

Ejemplo: 0 + 5 = 5 + 0) = 5

PRÁCTICA DE CLASE

01. Halla la diferencia y comprueba:

a) 8 500 – 1 396 b) 13 400 – 8 957 c) 90 000 – 13 458

02. Completa el sumando desconocido: (Recuerda que la sustracción nos permite encontrar el sumando desconocido en una adición).

742 + 1 046 + ............................ = 904 528

............................ + 27 048 = 50 196

............................ + 625 200 = 840 918

............................ + 48 670 = 52 368

24 673 + ............................ = 60 540

43 282 + ............................ = 62 047

03. Completa las siguientes tablas relacionadas con los elementos de la adición y la sustracción.

Sumando Sumando Suma

5 951 742 296 742

10


865 431 2 013 725

4 310 250 6 230 400

520 346 2 000 000

Minuendo Sustraendo Diferencia

64 324 52 478

25 743 16 579

56 480 42 709

47 831 15 406

04. Resuelve cada ejercicio guiándote por la clave:

a = 2541 b = 6740 c = 1043 d = 8095

d – (a + c) (b + c) - a a + (b + c)

(b - a) + (d - c) (a + b) – (d - c) (a - c) + (d - b)

05. Escribe el nombre de la propiedad de la adición que se ha aplicado en cada caso:

a) 450 + 312 = 312 + 450 = …………………………………..

b) 485+ (25 + 182) = (485+25)+182 = …………………………………..

c) 4 350 + 0 = 4 354 = …………………………………..

d) 43 + (12 + 53) = (12 + 53)+ 43 = …………………………………..

e) 84 + ( 43 + 12 ) = ( 84 + 12 ) + 43 = …………………………………..

06. Halla el valor de cada letra en:

a) ( m + 54 ) + 82 = 68 + ( 54 + 75 )

b) ( n + 12 ) + 48 = 38 + 29

c) 27 + ( 54 + d ) = ( 17 + 45 ) + 82

07. Escribe los dígitos que faltan en cada uno de los recuadros para completar las siguientes adiciones:

a)

b)

08. Escribe los dígitos que faltan en cada uno de los recuadros para completar las siguientes sustracciones:

a)

11


b)

05. Si a 27 se le resta 15 y al resultado se le suma 6. ¿Cuál es el resultado final?

10. Si a 27 se le suma 15 y al resultado se le resta 6 ¿Cuál es el resultado final?

11. La suma de dos números es 3 672 845 y uno de ellas es 2 541 778. ¿Cuál es el otro número?

12. En una resta el minuendo es 28 368 y la diferencia es 7 486. ¿Cuál es la suma del minuendo y el sustraendo?

13. Si me sacara S/. 2 800 en la lotería. Tendría 5 834. Si mi hermano tiene 936 menos que yo, y mi prima 893 menos que mi hermano y yo juntos. ¿Cuántos tenemos entre los tres?

14. Si se suma el minuendo con el sustraendo y la diferencia, se obtiene 22. Hallar el minuendo

15. Si 56 + n = 81 y x – 35 = 28. Hallar n + x

12



01. La suma de dos números es 15 287 y uno de ellos es 3 984. ¿Cuál es el otro número?

a) 11 303 b) 10 703 c) 10 623 d) N.A.

02. El signo correcto en cada espacio vacío es:

a) 4 685 + 12 498 36 584 – 20 918

b) 32 187 – 6 943 12 458 + 11 978

a) >; = b) >; > c) <; < d) N.A.

03. ¿Cuánto suman las cifras que completa la operación?

a) 6 b) 9 c) 8 d) N.A.

04. Ordena A, B y C de mayor a menor

a) A < C < B b) C > A > B c) C > B > A d) N.A.

05. Un camión vacío pesa 2585 Kilos y lleno de piedras 3 358 Kilos. ¿Cuántos Kilos pesan las piedras que lleva el camión?

a) 673 b) 753 c) 773 d) N.A.

TAREA DOMICILIARIA

01. Hallar la diferencia y comprueba:

a) 5 840 – 3 958 b) 12 005 – 9 348 c) 23 585 – 15 896

d) 41 000 – 38 538 e) 7 326 – 3 458 f) 35 225 – 27 338

02. Efectuar:

a) 5 895 + 396 + 57 458 b) 57 000 + 3 954 – 27 458

c) 49 783 + 195 + 3956 d) 7 500 – 3 942 + 5 847

03. Resuelve:

a) (2 508 – 1 676) – 673

b) (3 526 – 1 676) + 576

c) 7 + 11 – 13 + 12 + 1

d) (26 - 10) + (36 - 11) – (41 - 31)

e) 11 - 16-18 – (56 - 49)

13


MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

MULTIPLICACIÓN:

Guillermo recibe 5 soles diarios de propina. ¿Cuánto recibe en una semana?

Guillermo recibe 35 soles en una semana

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN:

En la multiplicación de números naturales se cumple las siguientes propiedades:

1. Propiedad Clausurativa:El producto de dos o más números naturales es siempre otro número natural. Por eso la multiplicación es una operación interna en .

4 x 9 = 36 5 x 6 = 30 a . b N

2. Propiedad Conmutativa:El orden de los factores no altera el producto.

7 x 6 = 42 y 6 x 7 = 42 7 x 6 = 6 x 7a . b = b . a

3. Propiedad Asociativa:El producto de varios números naturales no depende del orden en que los asociemos.

4. Propiedad del Elemento Neutro:El producto de un número natural por 1 es igual al mismo número. El elemento neutro de la multiplicación es el 1.

16 x 1 = 6 ; 1 x 9 = 9

5. Elemento Absorbente:El producto de uno o más factores por 0, es 0.

18 x 0 ; 3 x 5 x 0 = 0

6. Propiedad distributiva con respecto a la adición o sustracción:

4 x (5 + 2) = 4 x 5 + 4 x 24 x 7 = 20 + 8 28 = 28

7 (8 - 2) = 7 x 8 – 7 x 27 x 6 = 56 - 14 42 = 42

DIVISIÓN:

I. DIVISIÓN EXACTA DE DOS NÚMEROSEs la operación que permite encontrar el factor desconocido de una multiplicación en la que se conocen el producto y el otro factor.Ejemplo: Se quiere repartir 24 caramelos entre 6 niños. ¿Cuántos caramelos le corresponden a cada niño?

( # Niños ) ( # caramelos / niño ) = (# Total de caramelos )

6 x = 24

El factor desconocido es el cociente exacto de dividir 24 entre 6. Es decir:

= 24 : 6

Luego podemos concluir que:

DIVIDENDO = DIVISOR x COCIENTE

II. DIVISIÓN INEXACTA DE DOS NÚMEROS

14


Se desea repartir 26 caramelos entre 6 niños. ¿Cuántos caramelos le corresponden a cada niño?Se observa que no hay ningún número natural que multiplicado por 6 de 26.

6 x 4 = 24 que es menor que 266 x 5 = 30 que es mayor que 26

Podemos observar que:26 = 6 x 4 + 2

De aquí que:

DIVIDENDO = ( DIVISOR ) . ( COCIENTE ) + RESIDUO

La prueba de una división consiste en comprobar que se cumplen las relaciones:

a) El residuo debe ser menor que el divisor. ( r < d )b) El dividendo es igual al producto del divisor por el cociente más el residuo.

( D = d . C + r)

PRÁCTICA DE CLASE

01. Expresa como factores y calcula

a) 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = .................... b) x + x + x + x = .................

c) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = ..................... d) 5 + 5 + 5 = ....................

e) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = .................... f) a + a + a = ....................

02. Calcula el valor de x y enuncia la propiedad utilizada en cada caso.

a) 3 . x = 3 ...........................................................................

b) 5 . x = 4 . 5 ......................................................................

c) 4 . x . 6 = 24 ....................................................................

d) 3 . 8 . x = 0 ......................................................................

e) 7 . 2 . x = 3 . 14 ...............................................................

f) 6 . 5 . x = 30 . 4 ................................................................

03. Completa con el nombre de la propiedad:

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN en

a . b

a . 1 = a

a . b = b . a

(a . b) . c = a . (b . c)

a . 0 = 0

a (b + c) = ab + ac

04. Para entretenerte:

¿Cuántos años han transcurrido desde que has nacido?

¿Cuántos días? ¿Cuántas semanas?

¿Cuántas horas? ¿Cuántos meses?

05. El auditorio del colegio de Bertha tiene 48 filas y cada fila tienen 26 asientos. Hay 972 alumnos en el auditorio. ¿Cuántos asientos quedan libres?

a) 276 b) 267 c) 376 d) N.A.

06. Completa la analogía:

15


a) 7 b) 3 c) 4 d) N.A.

07. Completa los factores que faltan y dar como respuesta: (A . B) + C

a) 70 b) 80 c) 90 d) N.A.

08. Dada la tabla:

a) 3 b) 6 c) 9 d) N.A.

09. Dados los números 30 y 20 el producto de su suma por su diferencia es:

a) 400 b) 500 c) 600 d) N.A.

10. Hallar el dividendo de cada una de estas divisiones:

C = 524 d = 9 r= 7 C = 128 d = 6 r= 4

C = 429 d = 8 r= 5 C = 702 d = 8 r= 3

11. ¿Qué número multiplicado por 147 da 2646?

12. ¿Qué número multiplicado por 123 da 8364?

13. Calcula mentalmente y responde: 900 : 10 = .................. 7 200 000 : 6 000 = ......................

8 000 : 100 = .................. 4 500 000 : 30 000 = ......................

28 000 : 1400 = .................. 48 000 000 : 60 000 = ......................

14. Al dividir 9753 : 125 el cociente es P y el residuo es Q. Hallar P : Q

16


15. Si multiplicas 48 x 96 entonces en el producto la cifra de las CENTENAS es A y la cifra de las UNIDADES DE MILLAR es B. Hallar 2A : B + 26

16. Efectuar:

a) 6 370 : (60 + 5) b) (376 + 89) : 12

c) (12 x 46) : (96 : 6) d) 9 7852 : (126 + 7)


01. Si 12A =108 y 25B = 900. Hallar B : A

a) 1 b) 100 c) 90 d) N.A.

02. Al dividir 354 entre cierto número natural se obtiene 20 de cociente y 14 de residuo. Entonces el divisor es:

a) 15 b) 20 c) 17 d) N.A.

03. Se repartió un premio de 460 soles entre dos estudiantes calcular lo que recibió cada uno si el que hizo la repartición se quedó con 50 soles más que el otro.

a) 250 y 200 b) 255 y 205 c) 260 y 200 d) N.A.

04. Si sumas las cantidades que tiene Claudia y Sergio obtienes S/. 2176 y si divides lo que divides lo que tiene Claudia entre lo que tiene Sergio obtienes 16, entonces Sergio tiene:

a) 128 b) 17 c) 126 d) N.A.

05. Juan, Inés y Guido viven en casas diferentes, pero los tres contiguas. Se sabe que Inés vive en el lado de Juan y que la casa de Guido no está al lado de Inés. ¿Quién vive en medio de los dos?

a) Juan b) Inés c) Guido d) N.A.

TAREA DOMICILIARIA

01. Hallar el producto de:

578 x 95 9058 x 746 9521 x 579 48507 x 4567862 x 748 5965 x 248 7284 x 364 3945 x 896

02. Aplica todas las propiedades de la multiplicación con los números 8, 6 y 10

03. Resuelve en forma abreviada:

585 x 400 895 x 30 584 x 1000123 x 1000 405 x 700 791 x 200

04. Halla el cociente y comprueba:

a) 5786 : 9 b) 17 613 : 309 c) 950674 : 3254d) 3052 : 28 e) 8736 : 123 f) 47821 : 2256g) 3428 : 32 h) 4648 : 791 i) 820052 : 5270

DESAFÍO MI RAZONAMIENTO

01. ¿Cuál es el número que sumado con su duplo da 45?

Solución:

17


45 es el número que se busca más dos veces dicho número, ósea, el triple del número; luego el número buscado será

45 : 3 = 15

Respuesta: El número es 15

02. ¿Cuál es el número que sumado con su duplo da 261?

03. ¿Cuál es el número que sumado con su triplo da 384?

04. Un hombre que nació en 1911 se casó a los 25 años, 3 años después nació si primer hijo y murió cuando el hijo tiene 27 años ¿En qué año murió?

05. Compré un libro que me costó S/. 16 y un traje que me costó S/. 35, una cámara fotográfica que me costó S/. 42 más que el libro y el traje juntos; un anillo que me costó S/. 13 más que el libro, el traje y la cámara, y un auto que me costó S/. 2585 más que todos lo anterior. Si me sobraron S/. 211 ¿Cuánto dinero tenía?

06. Un comerciante compró 30 chompas S/. 20 cada uno. Vendió 20 chompas S/. 18 cada uno. ¿A como debe vender los restantes para no perder?

07. Un camión lleva 18 cajas de conservas a un supermercado. En cada caja hay 24 cartones y en cada cartón hay 24 latas de conserva. ¿Cuántas latas de conserva lleva el camión en total?

08. A un desayuno asisten 20 jóvenes de los cuales 5 son invitados. Si cada desayuno cuesta 18 soles. ¿Cuánto tiene que pagar cada uno de los restantes?

09. Si un número se divide entre 7, se obtiene 615 de cociente y 3 de residuo. Si dicho número se divide entre 8. ¿Cuál es el residuo?

18


10. Tres amigos almuerzan en un restaurante y la cuenta asiente a S/. 84. Si acordaron pagar en partes iguales y uno de ellos tenía solamente 20 soles. ¿Cuánto tuvo que abonar en partes iguales cada uno de los otros dos para soldar la cuenta?

11. ¿Por qué número se multiplica 13 para que se convierta en 3445?

12. Un comerciante compra un saco de pallar de 45 Kg a 135 soles. Si quiere ganar 1 sol por cada Kg. ¿A como debe vender cada Kg.?

13. Del álbum de Historia del Perú, mi hermano Alberto tiene 4 docenas de figuras, mi hermano Ramón el triple de lo que tiene Alberto y yo tengo la diferencia de ambos. ¿Cuántas figuras tenemos en total?

14. ¿Cuánto ha perdido un comerciante al vender 420 prendas de vestir, si habiéndolas comprado a S/. 84 cada una, las remató en S/. 71 la unidad?


01. Si el producto de 32 y 17 se le disminuye 300 resulta un número que al dividirlo por 4 da:

a) 62 b) 63 c) 61 d) N.A.

02. La edad de mi abuelito es 72 años. Si el triple de mi edad es igual a la mitad de la edad de mi abuelito, entonces el doble de mi edad es:

a) 20 b) 24 c) 18 d) N.A.

03. Si se dividen el mayor entre el menor dos números consecutivos mayores que 2, la suma del cociente y el residuo es:

a) 3 b) 1 c) 2 d) N.A.

04. Si a un número se suma 8, esta suma se multiplica por 4, este producto se divide entre 12, a este cociente se le resta 4 y si a esta diferencia se multiplica por 7 se obtiene 700. El número original es:

a) 305 b) 302 c) 303 d) 304

05. Si tengo una caja roja con 5 cajas blancas dentro y 5 cajas amarillas dentro de cada caja blanca. ¿Cuántos cajas hay en total?

a) 18 b) 28 c) 31 d) N.A.

TAREA DOMICILIARIA

01. Sergio camina 24 Km. el primer día y cada día posterior camina 4 Km menos que el día anterior. ¿Cuántos días camina?

19


02. ¿Cuánto me costó un terreno que al venderlo en 9575 soles perdí 825 soles?

03. Tenía 15386 soles. Compré un terreno de 1525 soles, un camión en 275 soles más que el terreno y un trailer en 3516 más que el camión. ¿Cuánto me quedó?

04. Compré una bicicleta en 340 soles, una moto en 75 soles más que la bicicleta y un auto en 120 soles más que la moto. ¿Cuánto recibí de vuelto si pagué con 13 billetes de 100 soles?

05. En un centro educativo se hará una rifa por el “Día del Padre” y a cada alumno se le entregará 4 boletas. Si hay 4 salones de 32 alumnos cada uno, 3 salones de 39 alumnos cada uno y 2 salones de 40 alumnos. ¿Cuántos boletos se repartieron en total?

06. Diana vendió 45 radios por 5625 soles, ganando 35 soles en cada radio ¿Cuánto le costó cada radio?

07. La profesora Mabel regaló caramelos a sus alumnos. Llevó 181 caramelos. Dio 5 a cada uno de sus alumnos y ella se quedó con los 11 caramelos restantes. ¿cuántos alumnos recibieron caramelos?

NÚMEROS NATURALES EXPRESADOS COMO POTENCIAS

Recordemos:

- El exponente indica las veces que se repite la base como factor.- Si el exponente es cero y la base es diferente de cero, entonces la potencia es 1.

Ejemplo:

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN:

1. Multiplicación de Potencias con bases Iguales:Para multiplicar de la misma base, se deja la misma base y se suman los exponentes.

Observa:

20


2. División de Potencias con Bases Iguales:Para dividir de la misma base, se deja la misma base y se restan los exponentes.

Observa:

3. Potencia de una Potencia:Para elevar una potencia a otra potencia, se deja la misma base y se multiplica los exponentes.

Observa:

4. Potencia de un Producto:Para elevar un producto a una potencia se eleva cada uno de los factores a dicha potencia se multiplican.

Observa:

PRÁCTICA DE CLASE

01. Aplica las propiedades de la Potenciación en cada uno de los ejercicios:

a) .............................. g) ..........................

b) .............................. h)

...........................

c) .............................. i)

...........................

d) .............................. j)

...........................

e) ..................................... k)

.............................

f) ...................................... l)

..............

02. Dividir el cuadrado de la diferencia de 29 y 23 entre el cuadrado de la suma de 2 y 4.

03. Multiplica el cuadrado de 8 por el cubo de 5.

04. Sumar el cuadrado de la diferencia de 15 y 7 con la diferencia de 56 y 48.

05. Dividir el cuadrado de la suma de 5 y 3 entre el cubo de la diferencia de 6 y 2.

06. Completa la tabla:

A 1 5 6 8

A2 16 49 81

A3 8 1000 27

07. Si F = m 8 m 6; K = ( m 4 ) 7; m 7 = 3. Hallar F + K

21


08. Efectuar:

09. Si . Hallar

10. Si : Hallar - 173

11. Si . Hallar 250 - E

12. Si . Hallar N: 501

13. Si Hallar : 4000

14. Completa cada igualdad:

15. Hallar el valor numérico de si:

22


16. Resuelve:


01. Si y si . Hallar 5A.

a) 1800 b) 2400 c) 1600 d) N.A.

02. Se sabe que Entonces E: 2187 es:

a) 25 b) 75 c) 50 d) N.A.

03. Si . Entonces A – B es:

a) 244 b) 241 c) 240 d) N.A.

04. En una operación de sustracción, la suma del minuendo, el sustraendo y la diferencia es 12. En consecuencia el minuendo es:

a) 6 b) 7 c) No se sabe d) N.A.

05. Efectúa:

a) 1 b) 3 c) 6 d) N.A.

TAREA DOMICILIARIA

01. Resuelve aplicando las propiedades:

02. Efectúa:

a) c)

b) d)

03. Efectuar:

5 2 + 2 5 : 4 2 + 4 3 : 2 4

23


RADICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES

¿Qué número debo escribir para completar la igualdad?

Respuesta:

Debo escribir el número 5 porque 52 = 25 decimos entonces que 5 es la raíz cuadrada de 25 se escribe así:

Concluimos

Raíz de un número es el número que elevado a la potencia que indica el índice reproduce la cantidad subradical.

PRÁCTICA DE CLASE

01. Hallar:

a) = .......................... porque ....................................................

b) = .......................... porque ....................................................

c) = .......................... porque ....................................................

d) = .......................... porque ....................................................

e) = .......................... porque ....................................................

f) = .......................... porque ....................................................

g) = .......................... porque ....................................................

02. Si = A = B Hallar: A x B

03. Si = P y = Q. Hallar Q : P + 13

04. Si = 7 Y = 5. Hallar (M + N) : 4

05. Si = 3 Y = B. Hallar B – A - 23

06. Efectuar:

24


07. Resuelvo operaciones combinadas; respetando el orden o jerarquía de desarrollo:

126 + 25 : 8 – 53

08. Si ; ;

Hallar el valor de:

a) A + B – C b)

c) d)

25


e) f)

09. Resuelvo:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)


01. Si . Hallar 100A-B

a) 535 b) 525 c) 515 d) N.a.

02. Si .

Hallar P- 2Q

a) 7 b) 6 c) 8 d) N.a.

26


03. Si

. Hallar 3R – 2M

a) 16 b) 14 c) 15 d) N.a.

04. Si . Hallar 250 - E

a) 242 b) 246 c) 244 d) N.a.

05. La suma de 324 y 296 multiplicado por su diferencia es igual a:

a) 17360 b) 17630 c) 17480 d) N.a.

06. Si a = 17 b = 13 c = 24. Hallar el valor numérico: R = 4a - 3b – 5c

a) 159 b) 149 c) 139 d) N.a.

TAREA DOMICILIARIA

Resolver:

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.

27


SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Es la parte de la aritmética que se encarga del estudio de la correcta formación, lectura y escritura de los números de una manera sencilla, con una limitada cantidad de símbolos llamados numerales.

SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACIÓN

Es un conjunto de reglas, principios, leyes, empleados para expresar y escribir mediante símbolos los numerales.

NúmeroEs un ente o idea matemática por ello se dice que no tiene definición, el cual nos permite cuantificar los objetos de la naturaleza.

NumeralEs la representación escrita de los números por medio de símbolos llamados cifras, güarismos o dígitos.

Ejemplo: ;

4, IV, cuatro, four, ...

☺☺☺☺☺

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES

1. Del OrdenToda cifra en el numeral tiene un orden, por convención se enumera de derecha a izquierda.Ejemplo:

Lugar 1º 2º 3º 4ºNúmero 1 9 9 8Orden 4 3 2 1

Ejemplo:

2. De la BaseEs un numeral referencial que nos indica como se agrupan las unidades de un orden cualquiera para formar la unidad colectiva del orden inmediato superior:

Sea “B” una base: Z

BEs mayor que 1

Base : 2, 3, 4, 5, 6, ......

12 =

REGLA DE LOS SIGNOSEn una igualdad de dos numerales a mayor numeral aparente le corresponde menor base:Ejemplo:

Cumple:z < x

Ejemplo:- +

28


Se cumple: q < p

3. De las cifrasLas cifras son números naturales inclusive el cero, que siempre son menores que la base en la cual son empleadas o utilizadas.

0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ..... , (n-2), (n -1) cifra no cifras significativa significativas

Cifra máxima = n-1Cifra mínima = 0

* El cero no tiene valor por si mismo, si no únicamente valor posicional es decir por el orden que ocupa.

* Así pues, cada cifra dentro de un numeral tiene un valor digital o valor absoluto y un valor de posición o valor relativo.

Valor Absoluto (VA)Es el valor que tiene una cifra de acuerdo por su apariencia o figura.

Valor Relativo (VR)Es el valor que tiene una cifra de acuerdo al orden que ocupa dentro de un numeral.

Ejemplo:

SISTEMA DECIMAL DE NUMERACION

El sistema decimal de numeración es el que tiene como base diez.Diez unidades de cualquier orden forman una unidad del orden inmediatamente superior.

Cifras utilizadas:0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

cero uno dos tres cuatro cinco seis siete ocho nueve

Convencionalismos utilizados cuando las cifras son mayores que, 9

a = = (10)b = = (11)c = = (12)d = = (13)

PRINCIPALES SISTEMAS DENUMERACION

Base Nombre (Sistema) Cifras que se usan23456789

1011

BinarioTernarioCuaternarioQuinarioSenarioHeptanarioOctanarioNonarioDecimal (Décuplo)Undecimal

0, 10, 1, 2

0, 1, 2, 30, 1, 2, 3, 4

0, 1, 2, 3, 4, 50, 1, 2, 3, 4, 5, 6

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 70, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 80, 1, 2, 3, ... , 6, 7, 8, 90, 1, 2, 3, ... 8, 9, (10)

29


1220

n

DuodecimaVigesimal Enésimal

0, 1, 2, . . . (10), (11)0, 1, 2, . . . (18), (19)

0, 1, 2, . . . , (n-3),(n-2),(n-1)

Consideraciones en el Sistema de numeración de base “n”

a. Cualquier número puede ser escrito empleando el sistema de numeración considerando que la primera cifra siempre es diferente de cero.

b. Un número de unidades de cualquier orden que coincida con la base del sistema de numeración, origina una unidad del orden inmediato superior.

c. Cualquier cifra escrita inmediatamente a la izquierda de otra representa unidades tantas veces mayores que ésta como unidades tenga la base del sistema de numeración.

d. En cualquier sistema de numeración la cantidad de cifras posibles a utilizar siempre será numéricamente igual a la base.

Ejemplo:

Base “n” 0, 1, 2, 3, ......, n -1

“n” cifras

e. Para leer un número en un sistema diferente al decimal se le nombra cifra por cifra de izquierda a derecha y al final la base.

Ejemplo: 123(4)

Se lee: uno, dos, tres de base, 4.

Representación literal de numerales.

Cuando las cifras son desconocidas se reemplaza por letras del abecedario, para diferenciar de ser una multiplicación de factores, se coloca una raya horizontal arriba de las letras.

Ejemplo:

: representa un número de 2 cifras del sistema decimal.

: {10, 11, 122, . . . , 98, 99}

: numeral de 3 cifras de la base 7

{1000, 1001, 1002, . . . , 9999}

Numeral Capicúa

Se llama numeral capicúa a aquel numeral que tiene representación simétrica es decir las cifras equidistantes de los extremos son iguales.

Ejemplos:

{11, 22, 33, . . . , 99}

{101, 111, 121, . . . , 999}

{1001, 1111, . . . , 9999}

;

;

;

;

;

DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE NUMERALES

Analicemos los siguientes ejemplos:

* 123 = 1 x 102 + 2 x 10 + 3* 3000204(5) = 3 x 56 + 2 x 52 + 4* 210005(7) = 2 x 75 + 1 x 74 + 5

Ejemplos:

= a x 10 + b = 10a + b

= a x 102 + b x 10 + c = 100a + 10b + c

= a x 103 + b x 102 + c x 10 + d

= m x 82 + n x 8 + p

= 64m + 8n + p

30


= an4 + bn3 + cn2 + dn + e

CONVERSION DE UN NUMERO DE UN SISTEMA A OTRO

Se puede plantear los siguientes casos:

I. De base diferente de 10 a base 10.II. De base 10 a base diferente de 10.III. De base diferente de 10 a otra base diferente de 10.

CASO I: De base diferente de 10 a base 10

Método: POR DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA

Ejemplos:

* = 3 x 72 + 4 x 7 + 4 = 179

* = 1 x 53 + 3 x 52 + 0 + 4 = 204

* = 3 x 73 + 2 x 72 + 4 x 7 + 1 = 1156

CASO II: De base 10 a base diferente de 10Método: DIVISIONES SUCESIVAS

Para pasar un número decimal a otra base se divide el número por la base del nuevo sistema de numeración. El cociente obtenido se vuelve a dividir por la nueva base y así sucesivamente hasta que se obtenga un cociente que sea menor que la nueva base.

Para escribir el número en el nuevo sistema de numeración se escribe el último cociente a la izquierda y cada uno de los restos obtenidos en las divisiones anteriores se van escribiendo sucesivamente a su derecha, así:

Base (B)

=

Ejemplo 171984 B(15)

71984 =

Donde: d = 13 ; e = 14

CASO III: De Base de 10 a otra base de 10

Método general:B(n) B(m) ; m n

n 10 m

Descomposición Divisionespolinómica sucesivas

.

Ejemplo 1: Convertir : a base 6

Paso 1 : B(10)

31


= 4 x 92 + 6 x 9 + 5 = 383

Paso 2 : 383 B(6)

Divisiones sucesivas

PRÁCTICA DE CLASE

I. A continuación propone una serie de ítems, los cuales debes desarrollar en forma grupal consultando con tus compañeros o el profesor.

01. ¿En qué orden se encuentra la cifra 3 en el numeral 5437?

.......................................................................................................................

02. ¿En que lugar se encuentra la cifra 6 en el numeral 436 559?

.......................................................................................................................

03. ¿Qué características tiene el numeral que representa la base de un sistema de numeración?

.......................................................................................................................

04. ¿Cuántos sistemas de numeración existen?

.......................................................................................................................

05. En el sistema decimal cuenta 12 palitos de fósforo y luego agrúpalos de 5 en 5 y responde:

a) ¿Cuántos grupitos se formaron?

b) ¿Cuántos palitos sobraron sin agrupar?

c) ¿En qué sistema de numeración estamos trabajando?

d) ¿En el sistema que estamos trabajando, qué numeral representa?

06. Indicar los Valores Absolutos y los Valores Relativos de las cifras del numeral 24326(8.

07. Expresar la descomposición polinómica de cada uno de los siguientes numerales:

a) 2341(5 =

....................................................................................................

b) 786(9 =

....................................................................................................

c) 12345(6 =

....................................................................................................

d) 23425(B =

....................................................................................................

e) xynm(p =

....................................................................................................

08. Representa 10202(4) en el sistema decimal.


10. Representa 108 en el sistema binario.

32


11. Representa 23102 en el sistema nonal.

12. Representa 3320(4) en el sistema heptanal.

13. Representa 2541(8) en el sistema undecimal.


01. El numeral 32012(4) representado en el sistema decimal es:

a) 900 b) 902 c) 904 d) 905 e) N.a.

02. Expresar en base 10 la suma de: 23A(D) y 107(C)

a) 3301 b) 3401 c) 3402 d) 3341 e) N.a.

03. El numeral 476 escrito en el sistema quinario será:

a) 3301 b) 3401 c) 3402 d) 3341 e) N.a.

04. El numeral 14 325 escrito en el sistema de base 30 será:

a) fqf(30) b) fgf(30) c) ñzñ(30) d) fkf(30) e) N.a.

05. Convertir el numeral 7ab55(12) al sistema decimal.

a) 13 975 b) 17 524 c) 13 673 d) 12 321 e) N.a.

06. El numeral 432(7) se escribe en el sistema de base 3 como:

a) 22 011(3) b) 22001(3) c) 22 010(3) d) 20121(3) e) N.a.

07. El numeral 540d(15) se escribe en el sistema duodecimal, así:

a) A 494(12) b) A 484(b) c) A 494(c) d) A 474(12) e) B264(12)

08. El numeral 5657 en el sistema octanario es:

a) 13031(8) b) 3151(8) c) 2151(8) d) 5111(8) e) N.a.

09. ¿Cuál de las siguientes expresiones dadas en sistemas de numeración distintas, representa el número mayor?

a) 1101(2) b) 2103(4) c) 1030(4) d) 1201(5) e) 1042(6)

10. Escriba el numeral 0,24 en el sistema quinario.

a) 0,22(5) b) 0,21(5) c) 0,11(5) d) 23(5) e) N.a.

TAREA DOMICILIARIA

01. Expresa la descomposición polinómica de los siguientes números:

a) 2345(8) b) 4376(A) c)4763(9)

02. En el sistema decimal cuenta 32 palitos de fósforo y luego agrúpalos de 7 en 7 y

responde:

a) ¿Cuántos grupitos se formaron?b) ¿Cuántos palitos sobraron sin agrupar?c) ¿En qué sistema de numeración estamos trabajando?d) En el sistema que estamos trabajando, qué numeral representa?

03. Indicar los Valores Absolutos y los Valores Relativos de las cifras del numeral 50

321(8)

04. Expresar la descomposición polinómica de cada uno de los siguientes numerales:

a) 2011(5) b) 754(9)


33


MÚLTIPLOS Y DIVISORES

Con una pieza de cinta de 24 metros. ¿Puede Milagros obtener cortes iguales de 3m cada uno?

Recuerda:

Dividimos:

24 : 3 = 8 Milagro obtiene 8 cortes iguales de 3m

Observamos que 24 : 3 = 8 es una división exacta porque 24 = 3 x 8

En la división 24 es múltiplo de 3 y se escribe

También se dice que 24 es divisible entre 3

Aprendo:

Para obtener múltiplos de un número, basta multiplicarlos por cualquier número natural.

Los números 6; 9; 15; 21; 27 son múltiplos de 3

Decimos que un número es divisor de otro si lo divide en forma exacta.

Ejemplo:

6 es divisor de 54

¿Cuáles son los divisores de 16?

PRÁCTICA DE CLASE

01. Escribe par o impar para completar cada enunciado

a) La suma de dos números pares cualquiera

es ........................................................

b) La suma de dos números impares cualquiera

es ....................................................

c) La suma de un número impar y uno par

es ...........................................................

d) El producto de dos números impares cualquiera

es ...............................................

e) El producto de un número impar por un par

es .....................................................

f) El producto de dos números pares cualquiera

es ...................................................

g) La suma de tres números impares cualquiera

es ....................................................

02. Hallar los múltiplos de 9 entre 25 y 120

34


...................................................................................................................................

03. Halla los múltiplos de 11 entre 30 y 170

...................................................................................................................................

04.

...................................................................................................................................

05.

...................................................................................................................................

06.

...................................................................................................................................

07.

...................................................................................................................................

08.

...................................................................................................................................

09. Si

determina por extensión cada conjunto halla el número de elementos de:

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

n(A) = .......................................................................

n (B) = .......................................................................

n (A B) = ......................................................................

n (A - B) = .....................................................................

n (A B) = ......................................................................

10. La suma de los 4 primeros múltiplos de 5 es: ......................................................

11. La suma de los 3 primeros múltiplos de 7 es: ......................................................

12. ¿Cuántos múltiplos de 5 hay entre 50 y 80? ........................................................

13. Hallar el conjunto de todos los divisores de:

14. Hallar la suma de los divisores de:

Sd (35) = ...................................................

35


Sd (42) = ...................................................

Sd (30) = ...................................................

Sd (25) = ...................................................

15. El cociente entre el mayor y el menor divisor de 20 es:

...................................................................................................................................

16. ¿Cuántos divisores tiene 18?

...................................................................................................................................


01. La suma de todos los divisores de 28, diferentes de 280:

a) 28 b) 14 c) 56 d) N.a.

02. ¿Cuántos divisores más tiene 48 que 63?

a) 2 b) 3 c) 4 d) N.a.

03. Si al cuádruple de 67 la sumamos el quíntuple de 24, se obtiene

a) 288 b) 388 c) 838 d) N.a.

04. ¿Cuántos divisores comunes tienen los números 36 y 28?

a) 2 b) 3 c) 4 d) N.a.

05. La suma de los divisores de 60 es:

a) 288 b) 350 c) 168 d) N.A

TAREA DOMICILIARIA

01. Si

Determinar por extensión: P, Q, R

n ( P ), n ( Q ), n ( R ), n ( P Q )

n ( P – Q ), n ( P – R ), n ( Q R )

02. Si

Determina por extensión: A, B, C

n ( A ), n ( B ), n ( C ), n ( A B ), n ( A C ), n ( A – B )

03. Contesta las siguientes preguntas:

a) ¿Porqué todo número tiene infinitos múltiplos?

b) ¿Porqué el cero es múltiplo de todos los números menos de sí mismo?

c) ¿Cuántos divisores diferentes tiene la unidad?

36


TEORÍA DE LA DIVISIBILIDAD

Definición.- Es la parte de la Aritmética que estudia las condiciones que debe tener un número para ser divisible entre otro. Estas condiciones se denominan caracteres o Criterios de Divisibilidad.

NÚMEROS DIVISIBLES ENTRE SI.-

Se dice que un número A es divisible entre otro número B cuando el residuo de dividir A entre B es CERO y el cociente es entero. Se dice entonces que A es múltiplo de B o que B es un divisor de A.

PRINCIPIOS DE LA DIVISIBILIDAD:

01. Operaciones entre múltiplos

a)

Ejm: 36 + 45 = 81

+ =

b)

Ejm : 72 - 16 = 56

- =

c)

Ejm : 48 x 5 = 240

x 5 =

d)

Ejm : 64 = 1296

02. Los Números no Múltiplos :

a) División Inexacta por Defecto :

b) División Inexacta por exceso :

Ejemplos:

03.

37


Ejemplos :

04. PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES:

Dos números enteros cuyo producto es divisible por un cierto módulo, si uno de tales números no admite divisores comunes con el módulo, aparte de la unidad, entonces el otro número será divisible por dicho módulo.

Ejemplo 1: 8n = 9 n = 9

Ejemplo 2:

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

1. Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 si su última cifra es cero o número par.12 28 36 456 12345678 son divisibles por 2 pues su última cifra es un número par.

2. Divisibilidad por 4: Un número es divisible por 4 si el número formado con sus dos última cifras es múltiplo de 4.112 128 12300 456 24680 12345688 son divisibles por 4 pues las dos últimas cifras son múltiplos de 4.

3. Divisibilidad por 8: Un número es divisible por 8 si el número formado con sus tres última cifras es múltiplo de 8.112 128 12300 456 24680 12345688 son divisibles por 4 pues las dos últimas cifras son múltiplos de 4.

En términos generales podemos afirmar que un número es múltiplo de 2n si el número formado por sus “n” últimas cifras es múltiplo de 2n.

4. Divisibilidad por 5: Un número es divisible por 5 si su última cifra es 5 ó 0.35 125 1230 455 12345 24680 son divisibles por 5, pues la última cifra es 5 ó 0.

5. Divisibilidad por 25: Un número es divisible por 25 si el número formado por sus dos últimas cifras es múltiplo de 25 ó 00.Ejemplos:

325 125 475 123450 246825 son divisibles por 25 pues el número formado con sus 2 últimas cifras son múltiplos de 25 ó son ‘ceros”.

En términos generales podemos afirmar que un número es múltiplo de 5n si el número formado por sus “n” últimas cifras es múltiplo de 5n.

6. Divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3 si la suma de todas sus cifras es un número múltiplo de 3.Ejemplos:

12 es divisible por 3 pues 1+2 = 3 .234 es divisible por 3 pues 2+3+4 = 9 5775 es divisible por 3 pues 5+7+7+5 = 24.

7. Divisibilidad por 9: Un número es divisible por 9 si la suma de todas sus cifras es un número múltiplo de 9.

72 es divisible por 9 pues 7+2=9.234 es divisible por 9 pues 2+3+4 = 9.5445 es divisible por 9 pues 5+4+4+5=18.

8. Divisibilidad por 7: número es divisible por 7 si de derecha a izquierda y cifra por cifra se multiplique por los factores: 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, ..... y así sucesivamente; luego efectuamos la suma algebraica debemos obtener cero o múltiplo de 7.

38


Si entonces

(h + 3g + 2f) –(e + 3d + 2c) + (b + 3a) =

OTRA FORMA:

Un número es divisible por 7 si al número se le quita y resta la última cifra multiplicado por 2 así sucesivamente y al final se debe de obtener un múltiplo de 7.Ejemplos:

1582 es divisible por 7 pues: Separamos la ultima cifra 2 y le restamos el doble158 - 2(2) = 154 hacemos lo mismo:15 - 2(4) = 7 y como 7 es divisible por 7 entonces 1582 es divisible por 7.

9. Divisibilidad por 11: Un número es múltiplo por 11 si la diferencia de la suma de las cifras de orden impar y la de orden par es múltiplo de 11.

Es decir:Sea N = a b c d e f es divisible por 11 sí

a b c d e f

Suma de cifras de orden par: a + c + eSuma de cifras de orden impar: b + d + f

luego se tiene:

(a + c + e) – (b + d + f) =

123 464 es divisible por 11 pues:

1 2 3 4 6 4 (1+3+5) - (2+4+4) = 0

72567 es divisible por 11 pues:

(7+5+7) - (2+6) = 11.

10. Divisibilidad por 13: Un número es divisible por 13 si de derecha a izquierda y cifra por cifra se multiplique por los factores: 1, -3, -4, -1, 3, 4, 1, -3, ..... y así sucesivamente; luego efectuamos la suma algebraica debemos obtener cero o múltiplo de 13.

Si

entonces

h – (3g + 4f + e) + (3d + 4c + b) - 3a =

OTRA FORMA

Un número es divisible por 13 si al número se le quita y resta la última cifra multiplicado por 9 así sucesivamente y al final se debe de obtener un múltiplo de 13.

* 91 es divisible por 13 pues 9 - 9(1) = 0.* 2665 es divisible por 13 pues:

Separamos la ultima cifra 5 y le restamos 9 veces al número que queda: 266 - 9(5) = 221 hacemos lo mismo:22 - 9(1) = 13 y como 13 es divisible por 13 entonces 2665 es divisible por 13.

11. Divisibilidad por 17: Un número es divisible por 17 si al número se le quita y resta la última cifra multiplicado por 5 así sucesivamente y al final se debe de obtener 0 ó un divisible de 17.

* 51 es divisible por 17 pues 5 - 5(1) = 0.* 2465 es divisible por 17 pues:

Separamos la ultima cifra 5 y le restamos 9 veces al número que queda: 246 - 5(5) = 221 hacemos lo mismo:22 - 5(1) = 17 y como 17 es divisible por17 entonces 2 465 es divisible por

17

PRÁCTICA DE CLASE

Actividad: Debes desarrollar en tu cuaderno.

01. Clasifique usted como verdadera o falsa cada una de las siguientes afirmaciones:

a) 30 es múltiplo de 3. ( )b) 28 es múltiplo de 6. ( )c) 0 es múltiplo de 7. ( )

39


d) 308 es múltiplo de 4. ( )e) 111 es divisible por 3. ( )f) 1050 es divisible por 125. ( )g) 4 + 6 es un número par. ( )h) 15 – 11 es un número impar. ( )

02. Responda a las siguientes preguntas:

a) ¿Qué es la divisibilidad?b) ¿Qué entiende por criterios de divisibilidad?.c) ¿Puede un número ser divisible por 10 y no por 5?, ¿Por qué?d) El producto de 6 x 30 x 5, es divisible por 4?, ¿Por qué?.

06. Completa una tabla y además marca con una aspa los casilleros respectivos (la flecha se lee “es divisible por”)

2 3 4 5 6 7 8 9 11

18

21

33

25

17

125

485

521

127

130

333

07. Conteste lo siguiente:

a) ¿Cuál es el menor número de tres dígitos que es divisible por 2; 3 y 5?b) ¿Cuál es el menor dígito que debe escribirse a la derecha de 752 para que

resulte un número divisible por 3; 4 y 11?c) Cambia el orden de los dígitos del número 4370 a fin de que resulte un

número divisible por 2; 4; 5 y 11.d) ¿Cuál es el menor número que debe restarse de 4370 a fin que resulte un

número divisible por 9?

e) ¿Cuál es el menor número que debe aumentarse a 2573 para que el resultado sea divisible por 8?

08. Considerando los números siguientes: 116; 204; 380; 465; 720; 657; 1080;453 y 2346. Indica lo siguiente:

a) ¿Cuáles son divisibles por 2?b) ¿Cuáles son divisibles por 7?c) ¿Cuáles son divisibles por 11?d) ¿Cuántos son divisibles por 5?e) ¿Cuántos son divisibles por 8?

09. Desarrolle los siguientes planteamientos:

a) Determinar una pareja (a; b) si: es múltiplo de 72.

b) Determinar una pareja (a; b) si: es múltiplo de 12.


01. La suma: es siempre divisible por:

a) 1 y 9 b) 1 y 11 c) 2 y 8 d) 1 y 99 e) N.a.

02. La diferencia: es siempre divisible por:

a) 1; 3 y 9 b) 3; 9 y 11 c) 9 y 11 d) sólo 9 e) N.a.

03. La diferencia: es siempre divisible por:

I) 2 II) 3 III) 1 IV) 9 V) 11 VI) 7

Son ciertas:

a) sólo I, II y III b) sólo II, IV, y VI c) sólo II, III y Vd) todas excepto I y Vi e) Todas

04. El producto de 3 números consecutivos es siempre múltiplo de:

a) 1; 2; 3 y 4 b) 2; 3; 4; 5 y 6 c) 1; 2; 3; y 6 d) 2 y 5 e) 1; 3; 7 y 11

05. El número de la forma es siempre divisible por:

a) 1; 2; 3 y 4 b) 1; 2; 3 y 5 c) 1; 2; 3 y 6 d) 1; 2; 3; 4; 6 e) N.a.

40


TAREA DOMICILIARIA

01. El producto de dos números consecutivos es siempre divisible por:

02. El número de la forma es siempre divisible por:

03. ¿Cuál es le valor de "a" para que sea divisible por 8?

04. Hallar el mayor valor de "a" para que sea divisible por 3.

05. Hallar "x" en:

RESTOS POTENCIALES

Se llaman restos potenciales de un entero "E" respecto a un módulo "m" al residuo que deja cada una de las potencias naturales de "E" al ser divididos entre el módulo "m".

Ejemplo: Calcular los restos potenciales de 3 respecto al módulo 5.

Solución:

30 = + 1

31 = + 3

32 = + 4 g = 4

33 = + 2

34 = + 1

35 = + 3

36 = + 4

37 = + 2

"Observe que los restos potenciales empiezan a repetirse en forma ordenada y periódica. Al tomar una potencia cualquiera luego de 4 potencias sucesivas se obtendrá el mismo resto que deja la potencia tomada".

GAUSSIANO (g): Se llama así a la menor cantidad de restos diferentes posibles que forman el periodo. En el ejemplo anterior: g = 4.Se tiene en general:

+ 1 E =

3E = + 3 E = + 1

+ 4 E = + 2

+ 2 E = + 3

41


Ejemplo: Hallar el resto de dividir: 340001 entre 5.

340001 = + r

34+1 = + r

+ 3 = + r

Por tanto : r = 3

ECUACIONES DIOFÁNTICAS

Son aquellas ecuaciones insuficientes en las cuales los coeficientes y las variables son números enteros.

Ejemplo: Determine los valores de "x" e "y" sabiendo que son número enteros:

4x + 7y = 225

Resolución: Criterio: Divisibilidad por 4

4x + 7y = 225

+ (4+3)y = + 1

3y = + 1

3y - 1 =

3y - 1 - 8 = -

3 ( y - 3 ) =

y - 3 =

y = + 3 Luego y = 3

Reemplazando en la ecuación inicial: x = 51

PRÁCTICA DE CLASE

01. ¿Cuál es el residuo de dividir 260 entre 7?

02 .¿Cuál es el residuo de dividir 250 entre 17 ?


04. Hallar el residuo que resula de dividir 155 154 entre 8.

05. ¿Cuántos númerales de dos cifras son múltiplos de 8?.

06. ¿Cuántos numerales de 4 cifras múltiplos de 7 y terminan en 3?.

08. Cuantos números de 3 cifras múltiplos de 9 existen de tal manera que la cifra central sea igual a la suma de las laterales .

09. Cual es el menor número de tres cifras, múltiplo de 7 que da de resto la unidad al ser dividido por 3 u 11?

10. Compre vacas a $ 45 000, cada una y caballos a $ 52 000 cada uno. Si en total gaste $ 939 000. Hallar la diferencia entre el numero de vacas y de caballos que compre .

11. Se compran panetones y tortas a $ 4 y $ 7 respectivamente . Si el gasto fue de $ 123 en total. Determinar la suma del números de panetones mas el de tortas, si el producto de estos números es lo máximo posible.

12. Compre vacas, cerdos y ovejas que cuestan: s/.70 000, s/.50 000, s/.30000, respectivamente, gastando en total s/. 1 290 000. Si compré doble numero de cerdos que ovejas. ¿Cuántos animales compré en total?

a) 23 b) 28 c) 30 d) 25 e) NA

42




a) 1 b) 6 c) 5 d) 2 e) N.A

02. En una tienda hay artículos A, B, C, D y F cuyos precios son: 2; 3; 5; 7 y 11 nuevos soles respectivamente. Si tengo S/. 231 y no me debe sobrar nuevos soles?. ¿Qué artículos puedo comprar?

a) A, B y C b) A, B y D c) B, C y D d) B, D y E e) N.a.

03. María va al mercado con S/. 22,590, compra papayas a 770 soles cada una, naranjas a 910 soles cada una y manzanas a 1430 soles cada una . Si compra la mayor cantidad posible de manzanas; cuantas frutas compro en total, si gasto todo su dinero .

a) 7 b) 8 c) 9 d) 4 e) NA

04. ¿Cuántos múltiplos de 19 hay entre 50 y 450?

a) 19 b) 21 c) 20 d) 32 e) 33

05. ¿Cuántos múltiplos de 17, entre 200 y 1300 terminan en cifra 8?

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

TAREA DOMICILIARIA


02 ¿Cuál es el residuo de dividir 1980 entre 17 ?

03. ¿Cuántos múltiplos de 19 hay entre 105 y 250?

04. ¿Cuántos múltiplos de 17, entre 500 y 1000 terminan en cifra 8?

05. Se han comprado botellas de vino: 7 cajas de 18 botellas a s/.50 por botella, 1 caja de 13 botellas a S/.300 por botella, también por lo menos una caja de 19 botellas a S/.100 por botella y cajas (por lo menos una) de 10 botellas a S/. 290 por botella; si por todo se pago S/. 42 000. ¿Cuantas cajas del ultimo grupo se compraron ?

TEORÍA DE LOS NÚMEROS PRIMOSTEORÍA DE LOS NÚMEROS PRIMOS

NÚMERO PRIMO: Es aquel número que tiene únicamente 2 divisores: el mismo y la unidad.

P : número primo (# primo absoluto)

Tabla de Números Primos Menores que 200

2 3 5 7 11 13 17 19 23

29 31 37 41 43 47 53 59 61

67 71 73 79 83 89 97 101 103

107 109 113 127 131 137 139 149 151

157 163 167 179 181 191 193 197 199

Números primos relativos o primos entre si (PESI)

Son dos o más números que tienen como único divisor común a la unidad.

Ejemplo 1

Número Divisores

10 1 ; 2 ; 5 ; 10

21 1 ; 3 ; 7 ; 21

10 y 21 son PESI

Números primos entre si dos a dos (PESI 2 a 2)

Un conjunto de números resultará ser PESI 2 a 2 si precisamente al tomarlos en pareja resultan ser primos entre sí.

Ejemplo 1: ¿Son 8 ; 9 y 25 PESI 2 a 2 ?

Solución:

8 : 1 ; 2 ; 4 ; 8

9 : 1 ; 3 ; 9

43


Observación

A. Dos números enteros consecutivos siempre son PESI.

B. Dos números impares consecutivos también son PESI

CRITERIO PARA RECONOCER SI UN NÚMERO ENTERO ES PRIMO

Para saber si un número dado es primo o no, se deben seguir los siguientes pasos:

a. Extraer la raíz cuadrada, aproximadamente por defecto.

b. Enumerar los números primos menores a esta aproximación

c. Aplicar las condiciones de divisibilidad del número por cada uno de estos números primos.

d. Si en ninguno de los casos es divisible, se dice que el número es primo.

Ejemplo 1: ¿Es 853 número primo?

Solución

a) 29 , . . .

b) Los números primos menores que: 29 , . . .

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29

c) Cómo 853 no es divisible por ninguno de estos números entonces podemos afirmar que es un número primo.

DESCOMPOSICION CANONICA

(Teorema fundamental de la Aritmética o Teorema de Gauss)

Todo número entero mayor que uno (compuesto) se puede descomponer como el producto de sus factores primos elevados a exponentes enteros positivos, dicha descomposición es única.

Sea “N” el número compuesto.

N = A x B x C

A, B, C factores primos.

, , Exponentes (números enteros positivos)

REGLA PARA DETERMINAR LOS DIVISORES DE UN NÚMERO

a) Se descompone el número en factores primos

b) Se escribe el 1 (que es divisor de todo número) y a continuación se pone las diversas potencias del primer factor primo.

c) Se multiplica los divisores hallados por las diferentes potencias del segundo factor primo.

d) Se multiplica todos los factores hallados anteriormente por las diferentes potencias del tercer factor y así sucesivamente. El último divisor hallado al formar éstos productos es el número dado.

Tabla de divisores de 240

1 2 4 8 16

3 6 12 24 48 x3

5 10 20 40 80 x5

15 30 60 120 240 3x5

* 240 posee 20 divisores de los cuales 3 son divisores primos ( 2 ; 3 ; 5 ).

Ejemplo:

24 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24

La Divisores Divisores

Unidad Primos Compuestos

D (24) = 8 DP = 2 DC = 5

Número de Divisores Divisores

divisores de 24 Primos compuestos

Sea “N” un número compuesto.

44


ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO

I. Cantidad de divisores [D(N)]

El número total de divisores de un número es igual al producto de los exponentes de los factores primos aumentados en 1.

D(N) = ( + 1) ( + 1) ( + 1)

Ejemplo:

720 = 24 x 32 x 51

D(720) = (4+1)(2+1)(1+1)

D(720) = 5 x 3 x 2 = 30

II. Suma de divisores [SD(N)]

Ejemplo:

240 = 24 x 3 x 5

SD(240) = 744

Importante:

Todo número que tenga un número impar de divisores es un número cuadrado perfecto.

Ejemplo:

9 1 , 3 , 9 ; D(9) = 3.

Divisores

36 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36; D(36) = 9

Divisores

PRÁCTICA DE CLASE

01. Descomponer canónicamente cada número:

a) 2000 b) 5200 c) 7200

02. Descomponer canónicamente 420 e indicar los factores primos.

03. Descomponer canónicamente 770 e indicar los factores.

04. Determinar el número de divisores de 720.

05. Determine cuántos y cuáles son los divisores de 72.

06. Para el número 1440, determine ¿Cuántos divisores tiene?; ¿Cuántos son compuestos?; ¿Cuántos son primos?; ¿Es perfecto, defectuoso o abundante?.

07. Para el números: 60, determine:

a) El número de divisores primos.b) El número de divisores compuestosc) El número de divisores.d) La suma de todos sus divisores.e) La suma de sus divisores compuestos.

08. Dado el número 315 000, determine:

a) El número de divisores.b) El número de divisores pares.c) El número de divisores impares.d) El número de divisores múltiplos de 3.e) El número de divisores múltiplos de 21.f) El número de divisores que terminan en cero.

09. Hallar el valor de K, si: 25 x 15K tiene 24 divisores.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) N.A

10. Si el número: N=25.3x.5x ; tiene 20 divisores compuestos. Hallar "x".

a) 4 b) 5 c) 2 d) 3 e) N.A

11. Hallar la suma de los divisores de 24 que sean múltiplos de 3.

a) 24 b) 45 c) 18 d) 36 e) N.A

45


12. De los divisores de 180, hallar la suma de los que sean múltiplos de 6.

a) 432 b) 528 c) 682 d) 316 e) N.A

13. ¿Cuántos ceros se debe poner a la derecha de 9 para que el resultado tenga 239 divisores?

a) 5 b) 8 c) 10 d) 16 e) N.A

14. ¿Cuántas veces hay que multiplicar por 8 el número 300 para que el resultado tenga 126 divisores?

a) 5 b) 8 c) 10 d) 16 e) N.A

15. Si 12x tiene 63 divisores compuestos. Calcule "x".

a) 5 b) 8 c) 4 d) 6 e) N.A


01. Si: A = 202 453 y B = 123 302, ¿Cuántos divisores tiene A B?

a) 1248 b) 624 c) 720 d) 814 e) N.a.

02. Calcular la suma de todos los números primos que existen entre 30 y 50.

a) 142 b) 199 c) 172 d) 184 e) 190

03. Hallar el valor de "x" para que el número A = 10 12x, tenga 36 divisores.

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

04. ¿Cuántas veces debemos multiplicar 5 al número 12, para que el producto tenga 24 divisores?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

05. ¿Cuál es el menor número que tenga 6 divisores?

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 15

06. Un número tiene como factores primos: 2; 3 y 5. Si éste número tiene 20 divisores y es el menor posible, ¿cuál es la suma de sus cifras?

a) 6 b) 8 c) 7 d) 5 e) 4

07. ¿Cuantos divisores de 540 son múltiplos de 2?

a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 15

08. ¿Cuántos divisores de 1200 son múltiplos de 10?

a) 14 b) 16 c) 18 d) 13 e) 11

09. ¿Cuántos divisores de 640 no son múltiplo de 20?

a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 9

10. Si: A = 122 303 y B = 15 202. ¿Cuántos divisores tiene A/B?

a) 10 b) 12 c) 16 d) 19 e) 20

TAREA DOMICILIARIA

01. Descomponer canónicamente cada número:

a) 7040 b) 8100

02. Descomponer canónicamente 630 y calcular sus divisores.

03. Descomponer canónicamente 1080 e indicar el número de divisores.

04. Descomponer canónicamente el número 5040; e indicar:

a) Todos sus divisores. b) Sus divisores primos

c) El número de divisores d) El producto de sus divisores

e) La suma de sus divisores f) La suma de las inversas de sus divisores.

46


MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚNMÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO MÚLTIPLO

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)

Para que un número sea el MCD de dos o más cantidades debe reunir las siguientes condiciones:

1. Es un divisor común de los números.2. Es el mayor posible.

Formas Prácticas para determinar el MCD

1. DESCOMPOSICIÓN SIMULTÁNEA

Ejemplo: Determinar el MCD de 20 y 15.

20 - 15 5 MCD 4 - 3

PESI

Observación: Si a cada uno de los número de un conjunto de ellos se divide entre su MCD, los cocientes obtenidos son números PESI.

2. POR DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA

Ejemplo: Determinar el MCD de los números:

A = 26 x 35 x 54

B = 24 x 53 x 72

MCD ( A ; B ) = 24 x 53

"Para determinar el MCD de dos cantidades expresadas en función de sus factores primos (descomposición canónica), se toman los factores comunes elevados a sus menores exponentes".

3. ALGORITMO DE EUCLIDESPermite calcular el MCD de tal solo 2 cantidades

Ejm:

Calcular el MCD (380, 220)

MCD(380, 220) = 20

Propiedades:

1. El MCD nunca es mayor que uno de los números.2. Si el menor de los números es divisor común de los otros entonces el MCD será

ese número menor.3. El MCD de dos números PESI es la unidad.4. Todos los divisores comunes de varios números son los divisores de su MCD.

n es divisor común de A y B

n es divisor del MCD (A, B)

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.):

Para que un número sea el MCM de dos o más cantidades debe reunir las siguientes condiciones:

1. Debe ser un múltiplo común a los números.2. De ser el menor posible.

Formas Prácticas para determinar el MCM

1. DESCOMPOSICIÓN SIMULTÁNEA

Ejemplo: Determinar el MCM de 20 y 15.

20 - 15 2 10 - 15 2 5 - 15 3 5 - 5 5 MCM 1 - 1

47


MCM ( 20 ; 15 ) = 22 x 3 x 5 = 302. POR DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA

Ejemplo: Determinar el MCM de los números:

A = 26 x 35 x 54

B = 24 x 53 x 72

MCM ( A ; B ) = 26 x 35 x 54 x 72

"Para determinar el MCM de dos cantidades expresadas en función de sus factores primos (descomposición canónica), se toman los factores comunes y no comunes elevados a sus mayores exponentes".

Propiedades:

1. El MCM nunca es menor que uno de los números.

2. Si el mayor de los números es múltiplo de los otros entonces el MCM será ese número mayor.

3. El MCM de dos números PESI es el producto de dichos números.

4. Todos los múltiplos comunes de varios números son los Múltiplos de su MCM”

PROPIEDADES DEL MCD y MCM

01. Para 2 cantidades : A x B = MCD x MCM

Ejemplo :

MCD (24, 36) 12MCM (24, 36) = 72 24 x 36 = 12 x 72

02. Casos Particulares de Cálculo :

a) Si A y B son Pesi

MCD (A, B) = 1

MCM(A, B) = A x B

b) Si A =

MCD(A, B) = B

MCM(A, B) = A

PRÁCTICA DE CLASE

01. Hallar el MCM de:

48


02. Hallar el MCD de:

03. En cada caso observa bien los números y halla directamente el MCM:

MCM (6 y 36) = ............................... MCM (5, 15 y 60) = ...............................

MCM (7 y 63) = ............................... MCM (7, 63, 21) = ...............................

MCM (9 y 72) = ............................... MCM (3, 12, 48) = ...............................

MCM (81 y 27) = ............................... MCM (4, 12, 60) = ...............................

04. A es el MCM de 48, 6 y 192B es el MCM de 35, 14 y 28. Hallar A + B

05. Se sabe que:P = es el MCM de 108, 9 y 18Q = es el MCM de 6, 24 y 18. Hallar P – Q

06. Si A es el MCM de 49 y 8 y B es el MCM de 9 y 10. Hallar 5A – 4B

07. Hallar directamente el MCD de:

49


MCD (25, 50) = ............................... MCD (7, 11) = .......................................

MCD (6, 36) = ............................... MCD (11, 21, 35) = ...............................

MCD (12, 48, 36) = .......................... MCD (15, 5, 35) = .................................

MCD (5, 6) = ............................... MCD (20, 40, 10) = ...............................

08. Hallar la suma del MCD de 18 y 24 con el MCM de 6 y 27

09. Halla el MCM de las soluciones de 12x – 50 < 10

10. Hallar el MCD de (A, B) si

11. Hallar el producto del MCM por el MCD de 78 y 182

12. Si .

Hallar:

MCM (B, C) MCM (A, B)

MCD (A, B) MCD (B, C)


Si 3n – 8 = n + 2 4 ; ; . Hallar:

01. MCD (n, x)

a) 4 b) 3 c) 5 d) N.A

02. MCD (n, z)

a) 4 b) 6 c) 3 d) N.A

03. MCD (n, z, x)

a) 8 b) 5 c) 3 d) N.A

04. MCM (n, x)

a) 40 b) 20 c) 60 d) N.A

05. MCM (n, x, z)

a) 720 b) 540 c) 150 d) N.A

06. Juan participa en una carrera y antes de llegar a la meta pasó al segundo atleta. ¿En qué lugar llegó Juan?

a) Primero b) Segundo c) Tercero d) N.a.

TAREA DOMICILIARIA

01. Hallar el MCM de:

50


36, 45

20, 36, 80

16, 36, 72

02. Hallar el MCD de:

36 – 48

144 – 80

12 – 30

4 – 10 – 18

20 – 50 – 70

RAZONAMOS CON EL MCM Y EL MCD

PRÁCTICA DE CLASE

01. Hallar el MCM de las soluciones mayores que 1 de:

5 x + 3 < 4 x + 7

4 x – 9 < 2 x + 3

02. ¿Cuál es el menor número, diferente de cero, divisible por 4, 12 y 18?

03. ¿Cuál es el mayor número que puede dividir a la vez a 72, 120 y 1080?

51


04. Claudia va a la gimnasia cada 4 días, Krizia cada 5 días y Diana cada 10 días. Si los tres se encuentran el 2 de agosto. ¿en qué fecha se encontraron nuevamente?

05. En un salón hay 30 alumnos y en otro salón 36. Si se forman grupos del mismo número de alumnos en ambos salones. ¿Cuál será el máximo número de alumnos que podrá tener este grupo?

06. Un gallo canta cada 8 minutos y otro cada 12 minutos. Si ambos cantan a las 6:00 am. ¿A qué hora volverán a cantar juntos otra vez?

07. Una abuelita tiene 3 nietas. Una lo visita cada 12 días, otro la visita cada 15 días y el otro cada 20 días, si casualmente se encuentran las tres en un mismo día. ¿Cuánto tiempo después se volverán a encontrar las tres juntas?

08. Tienes 120 casetes de salsa, 80 casetes de rock y 72 casetes de música criollo. ¿Cuál es el mayor número de paquetes iguales que puedes hacer y cuantos casetes de cada clase de música podrás en cada paquete?

09. Tres líneas de microbuses salen de un mismo paradero inicial. De la primera línea salen microbuses cada 2 horas, de la segunda salen microbuses cada hora y de la tercera cada hora con 12 minutos. Si a las 6:00 a.m. salen los tres juntos. ¿A qué hora volverán a salir al mismo tiempo?

10. Tenemos 90 galletas, 54 chocolates y 150 bombones, necesitamos empaquetarlos en bolsas que contengan la misma cantidad de cada artículo. ¿Cuál es la máxima cantidad de bolsas que se necesitan?

11. La suma de dos números es 27. Si uno de ellas es 12. ¿Cuál es el producto de su MCM por su MCD?

52


12. ¿Cuál es el menor número que al ser dividido entre 5, 7 y 10 deja como residuo 4?

13. Un número es 24 y otro su mitad. Halla el producto del MCM por el MCD de dicha números.

14. El producto de 2 números es 67 200. Si el MCM es 3 360. ¿Cuál es su MCD?


01. Hallar la suma del MCD de 18 y 24 con el MCM de 6 y 27

a) 50 b) 40 c) 60 d) N.A

02. Hallar la suma del MCD y el MCM de los números 18 y 60

a) 144 b) 186 c) 120 d) N.A

03. El MCM de 30 y 40 excede al MCD de 80 y 120 en:

a) 40 b) 60 c) 80 d) N.A

04. La suma de dos números es 30. Si uno de ellos es 2/3 del otro, hallar el producto del MCM por MCD de los números.

a) 600 b) 60 c) 500 d) N.A

05. Halla el menor número que al ser dividido por 12, 18 y 36, siempre tiene como residuo 6

a) 36 b) 42 c) 38 d) N.A

TAREA DOMICILIARIA

01. Katherine va al mercado cada 6 días y Rosa cada 7 días ¿Cada cuantos días coinciden?

02. Tres líneas de autobuses salen juntas del terminal terrestre a las 06 horas. Si la 1ra línea sale cada 15 minutos, la 2da cada 18 minutos y la 3ra cada 24 minutos. ¿A qué hora volverán a salir juntas nuevamente?

03. Una madre a su hija, si mi edad se divide entre 2, 3 y 5, siempre se obtiene 3 de resto. ¿Cuántos años tengo, si todavía no cumplo los 35 años?

04. De las 138 clases de matemática al año, un alumno asistió a un número de ellas que es múltiplo de 6, 7 y 9. ¿A cuantas clases no asistió?

05. 3 varillas de fierro de 12, 15 y 24 m de longitud respectivamente se quieren dividir en partes de igual y la máxima longitud posible ¿Cuántas partes se obtendrán?

06. ¿Cuál es la mayor longitud que debe tener una cinta métrica para medir exactamente longitudes de 90m y 108m?

07. El MCM de 2 números es 630. Si su producto es 3780 ¿Cuál es su MCD?

08. ¿Cuál será la mayor longitud posible de una medida con la que se puede calcular, exactamente dimensiones de 240 ; 180 y 600 m ?

09. ¿Con qué cantidad de dinero, menor que S/. 80, podré comprar un número exacto de manzanas de S/. 8 , S/. 12 y S/. 18 c/u ?

10. Los alumnos de una escuela primaria pueden ser agrupados exactamente en conjuntos de 9, 12 ó 15 alumnos. ¿Cuántos hay en total si se sabe que son más de 200 ?

53


NÚMEROS FRACCIONARIOSSabias qué ...

Recordamos:Una fracción expresa una o más partes iguales de la unidad.

La mitad se ha dividido en 4 partes iguales de las cuales se han tomado 3 partes (Región Sombreado) que como fracción se escribe:

ó

se lee: tres cuartos

LOS TÉRMINOS DE UNA FRACCIÓN SON:

NUMERADOR Y DENOMINADOR

El ............................................ indica en cuantas partes iguales se ha dividido la unidad.

El ............................................ indica cuantas partes se han tomado.

Se lee: Cinco octavos

Se representa así:

y en la recta numérica

CLASES DE FRACCIONES

Fracciones Comunes

Son aquellas cuyo denominador no es la unidad seguida de ceros

Fracciones Decimales

Son aquellas cuyo denominador es la unidad seguida de ceros

Fracciones Propias

Son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. Es menor que la unidad

Fracciones Impropias

Son aquellos cuyo numerador es mayor que el denominador. Es mayor que la unidad

Fracción Igual a la Unidad

Es aquello cuyo numerador es igual al denominador

Fracciones Homogéneas

Son aquellas que tienen igual denominador

Fracciones Heterogéneas

Son aquellos que tienen diferente denominador

Número Mixto En el que consta de un entero y una fracción

Fracciones Equivalentes:

54


Si se divide o se multiplica el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número distinto de cero se obtiene una fracción equivalente a la fracción dada.

PRÁCTICA DE CLASE

01. Representa gráficamente cada fracción y clasifica en Propia o Impropia:

02. Representa en la recta numérica las fracciones y clasifícalas en Propias o Impropias:

03. Escribe la fracción para cada gráfico:

................................................. .................................................

04. Escribe 10 fracciones Impropias:

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

05. Escribe 10 fracciones Propias:

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

06. Escribe 5 fracciones iguales a la unidad:

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

07. Escribe 10 fracciones Decimales:

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

09. Escribe 3 fracciones equivalentes para cada fracción:

10. Convierte a número Mixto:

55


11. Convierte a fracción impropia:

12. Simplifica las fracciones hasta obtener una fracción irreductible:

TAREA DOMICILIARIA

01. Representa en forma gráfica y en la recta numérica las fracciones:

;

02. Convierte a Mixto:

;

03. Convierte a Fracción:

04. Escribe 4 fracciones Equivalentes a:

;

56


FRACCIONES COMPLEJAS

Fracción compleja es aquella cuyo numerador o denominador, o ambos son quebrados.

Ejemplo:

PRÁCTICA DE CLASE

Simplificar:

01.

02.

03.

04.

05.

57


06.

07.

08.

09.

10.

11.

12. ¿Cuánto le falta a 4/9 para ser igual a los 2/3 de 5/2?

13. Tenía 360 soles. Gasté los 2/9 y regalé los 3/5. ¿Cuánto me queda?

58


14. El granjero Arturo tiene 1200 aves. Si los 5/8 del total son pollos, los 8/9 de lo que falta para el total son gallinas y el resto son pavos ¿Cuántos pavos tiene?


01. Efectuar: 3 x + 1 = 7/5

a) 2/15 b) 3/15 c) 1/5 d) N.A

02. Si 4 x + 3 = 7/2 y 3m – 3/2 = 3/4. Hallar x + m

a) 4/12 b) 1/8 c) 7/8 d) N.A

03. Resuelve:

a) b) c) d) N.A

04. Simplificar

a) b) c) d) N.A.

05. Efectuar de los de 72

a) b) c) d) N.A

TAREA DOMICILIARIA

01.

02.

59


03.

04.

05.

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE FRACCIONES

Si es una fracción y “n” el exponente:

Si es una fracción y “n” el índice de la raíz:

PRÁCTICA DE CLASE

01. Efectuar:

.......................................... ..........................................

.......................................... ..........................................

.......................................... ..........................................

.......................................... ..........................................

02.

03.

04.

05.

60


06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

13.

14.

61


15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

62


RAZONAMOS CON FRACCIONES

PRÁCTICA DE CLASE

01. La mamá de Renzo compró dos retazos de la misma tela. Uno media 5/8 de metro y el otro 7/12 de metro. ¿Cuántos metros de tela compró?

02. El papá de Yosefin compró los 7/8 de una finca y vendió 5/6. ¿Qué parte le quedó?

03. Nestor vendió 3/8 de su terreno y luego vendió 5/16 ¿Qué parte le queda?

04. Carlos camina en un día 1/2 Km y al día siguiente 3/4 Km. ¿Cuánto ha recorrido en total?

05. Enrique compra 3m de casimir y para confeccionar su terno utiliza 14/5m ¿Cuánto le queda?

06. Fiorella ha leído 3/5 de un libro. ¿Qué parte del libro le falta leer?

07. Viviana lee 5/8 de un cuento y al día siguiente lee 2/8 ¿Qué parte del libro le falta leer?

08. Un jardinero corta 3/7 del césped de un parque. ¿Qué parte del césped le falta cortar?

09. Hay 3/4 de una torta y Giorgio se come 1/4. ¿Cuánto queda?

63


10. Caminé 3/11 Km y regresé. ¿Cuánto caminé?

11. Vendo 5/7 de un terreno. ¿Qué parte me queda?

12. ¿A que fracción le falta 1/2 para valer 5/8?

13. María compra 3/4m de cinta roja y 4/5 de cinta blanca. Si gasta 7/20. ¿Cuánto le queda?

14. Si un saco de harina pesa de Kg. ¿Cuál será el peso de 6 sacos?

15. Tengo una varilla de fierro de 26m de longitud que debo dividir en pedazos iguales

de m ¿Cuántos pedazos obtengo?

16. Se repartió de un bizcocho entre 4 niños. ¿Qué parte del bizcocho recibió cada

uno?

17. Si en minuto se lee una página de un libro. ¿Cuántas páginas se leerán

en 60 minutos?

18. Repartí soles entre varios personas y a cada una le tocó

. ¿Cuántas personas eran?

64


19. Un albañil levanta metros de pared en 1 día. ¿Cuántos metros construye

en 20 días?


01. Si . Hallar A + B

a) b) c) d) N.a.

02. Carmen recibe de regalo tres bolsas con azúcar. La primera bolsa contiene

Kg. De azúcar, la segunda Kg. Y la tercera Kg. ¿Cuántos Kg. De azúcar le

regalaron?

a) 7Kg. b) 8 Kg. c) Kg. d) N.a.

03. De una pieza de tela se vendió primero m y después m Sobra un

retazo de m. ¿Cuál fue la longitud original de la pieza?

a) 31m b) 33m c) 32m d) N.a.

04. Un hombre camina Kg. el lunes, Km el martes, 10 Km el jueves y 5/8 de

Km. ¿Cuánto ha recorrido en los 4 días?

a) 23 Km b) Km c) Km d) N.a.

05. Resolver 50 – (6 – 1/5)

a) b) c) d) N.a.

06. Una bolsa de caramelos pesa Kg. ¿Cuanto pesan 15 bolsas iguales?

a) 48 Kg b) 36 Kg c) 63 Kg d) N.A

07. Los 2/7 de los 3/8 de los 12/21 de la tercera parte de 294 es:

a) 6 b) 4 c) 5 d) N.A

08. Sumar 4/9 de 72 más 5/8 de 56

a) 55 b) 57 c) 67 d) N.A

09. Luisito cría 70 aves entre patos, gallinas y pavos. Los 2/5 del total son patos, los 3/7 son gallinas. ¿Cuántos pavos cría Luisito?

a) 10 b) 12 c) 11 d) N.A

10. Efectuar de 72 más 2/5 de 80

a) 82 b) 86 c) 83 d) N.A

TAREA DOMICILIARIA

01. Fernando ha estudiado horas, Enrique horas y Miguel 6 horas. ¿Cuánto

han estudiado los tres juntos?

65


02. El lunes ahorré $ , el martes $ , el miércoles $ y el jueves $

. ¿Cuánto tengo?

03. Si tengo $ 7/8 ¿Cuánto me falta para tener $ 1?

04. Debo 180 soles y pago soles. ¿cuánto me falta por pagar?

05. Tenía 50 soles. Pagué S/. que debía, gasté S/. y después recibí S/.

. ¿Cuánto tengo ahora?

06. Pedro tiene años, Juan años más que Pedro y Martín tanto como Juan

y Pedro juntos. ¿Cuánto suman los tres edades?

07. La cuarta parte del día la emplea un niño en estudiar, la sexta parte en hacer ejercicios y la novena en divertirse. ¿Qué parte del día le queda libre?

08. Tenía 40 soles y gasté los 3/8 ¿Cuanto me queda?

09. En un colegio hay 324 alumnos y el número de alumnas es los 7/18 del total. ¿Cuántos varones hay?

GRIFOS Y TRABAJOS

Ejemplo 01: Un tanque puede ser llenado por un caño A en 15 horas y por un caño B en 10 horas y puede ser vaciado por una tubería C en 12 horas. Si A y B trabajan juntos 2 horas y luego se cierran y se abre C; en cuanto tiempo C vaciará el estanque.

Resolución:

En una hora A y B juntos llenan:1/15 + 1/10 = 1/6 del tanque. En 2 horas llenarán : 2 x 1/6 = 1/3 del tanque

C vacía en 1 hora: 1/12 del tanque. Luego 1/3 del tanque lo vaciará en: 1/3 : 1/12 = 4 horas.

Rpta. 4 horas.

Ejemplo 02: Dos personas A y B podrían terminar juntos un trabajo en 10 días. B y C lo harían en 12 días y A y C en 15 días. ¿Cuánto tiempo emplearán si trabajan los tres juntos?.

Resolución:

Al día realizan:

A + B = 1/10B + C = 1/12A + C = 1/15

---------------------- 2 ( A + B + C ) = 1/4 A + B + C = 1/8

Juntos al día realizan 1/8 de la obra.

Rpta. Juntos terminarían en 8 días.

66

C=12h

B=10hA = 15h


PRÁCTICA DE CLASE

01. Un grifo llena un tanque en 4 horas, otro grifo lo llena en 6 horas. ¿En cuánto tiempo se llenará el tanque, si se abren ambos grifos a la vez?

a) 3 horas b) 5 horas c) 3,2 horas d) 5 1/2 horas e) 2,4 horas

02. Un grifo llena un depósito en 4 horas y otro lo vacía en 5 horas. ¿En cuánto tiempo se llenará el depósito si se abre ambos grifos a la vez?

a)10 hrs. b) 8 hrs. c) 1 hr. d) 9 hrs. e) 12 hrs.

03. Un caño A llena un tanque en 6 horas y un desagüe B lo desaloja en 10 horas. ¿En cuánto tiempo llenaron el tanque si B se abre 2 horas después que estuvo abierto A?

a) 8 hrs. b) 3 1/2 hrs. c) 10 hrs. d) 7 1/2 hrs. e) N.A.

04. Un caño puede llenar un depósito en 3 horas y otro lo puede hacer sólo en 4 horas. Si el depósito está vacío y abrimos los dos caños a la vez. ¿En cuánto tiempo llenará los 3/4 del depósito?

a) 17/5 hrs. b) 2 1/2 hrs. c) 20 hrs. d) 16 hrs. e) 15 hrs.

05. Estando el desagüe de una piscina cerrado, un caño demora 6 horas en llenarla; y estando abierto el desagüe; el caño demora 9 hrs en llenarla. Si llenamos la piscina y cerramos el caño. ¿En cuántas horas se vaciará completamente?

a) 18 hrs. b) 12 hrs. c) 20 hrs. d) 16 hrs. e) 15 hrs.

06. Se tiene dos llaves y un desagüe en un estanque, la primera puede llenarlo en 12 horas y la segunda en 4 horas. Si estando lleno se abre el desagüe y se vacía en 6 horas. ¿En qué tiempo se llenará el estanque si estando vacío se abren los 3 conductos a la vez?


07. Dos caños pueden llenar un estanque de 24 litros en 5 y 6 horas si cada uno funciona individualmente. Un desagüe puede vaciar el estanque en 10 horas. Si se abren los tres a la vez y se cierran apenas se llena el estanque. Calcular cuántos litros de agua se fueron por el desagüe.

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 2

08. Para extraer 240 galones de agua de un recipiente, tres máquinas A, B y C se requiere de 4, 8 y 12 horas respectivamente. Si se ponen a extraer agua simultáneamente las tres máquinas durante media hora. ¿Cuántos galones de agua se habrán extraído del recipiente?

a) 185 b) 130 c) 110 d) 55 e) 24 09. Dos grifos A y B pueden llenar un tanque en 4 y 6 hrs. Respectivamente, y un

tercer grifo C lo puede vaciar en 8 horas, si actuando simultáneamente los grifos A y B han llenado la mitad del tanque y luego inmediatamente se abre el grifo C. Determinar después de qué tiempo se llenó el tanque, desde que actuaron los grifos A y B hasta que terminaron los grifos A, B y C?

a) 2h, 40 min b) 2h, 43 min c) 3 hrs. d) 2h, 54,8 min e) Más de 3 hrs.

10. Un caño llena un tanque en 20 horas y un desagüe lo vacía en 30 horas. Si durante 10 horas estuvieron abiertas las dos llaves. ¿En cuánto tiempo se llenó el tanque desde que se cerró el desagüe?

a) 16 hrs. b) 16,5 hrs. c) 16 2/3 hrs. d) 18 3/2 hrs. e) 15 4/4 hrs.

11. Un caño A llena un tanque en 9 hrs y otro caño B lo llena en 15 hrs. Si se abre los dos a la vez. ¿En cuánto tiempo se llenaría el tanque?

a) 5 hrs. b) 6h, 20 min c) 4h, 15 min d) 5h, 37 min e) 5h, 17min

12. Un caño demora 5 hrs en llenar una piscina y otro caño demora 8 horas, si se abriesen los dos caños a la vez. ¿En cuánto tiempo se llenaría la piscina?

a) 3h, 5 min b) 2h, 50 min c) 4h, 5 min d) 3h, 45 min e) 3h, 15 min

13. Un caño A llena un depósito en 6 horas y un desagüe lo desaloja en 10 horas. ¿En cuánto tiempo se llenaría el depósito, si se abren los dos a la vez?

a) 3h, 5 min b) 14 hrs. c) 60 hrs. d) 15 hrs. e) 3h, 45 min.

14. Un caño llena un recipiente en 6 horas y un desagüe lo deja vacío en 7 horas, el caño funciona sólo durante 2 horas, luego se abre el desagüe y funcionan las dos a la vez. ¿En qué tiempo se habrá llenado el recipiente?


15. Un canal llena un pozo en 4 horas y otro lo vacía en 6 horas. ¿En qué tiempo se llenará el pozo si se abre el desagüe una hora después de abrir el canal de entrada?.

a) 7h b) 8h c) 9h d) 10h e) N.a.

16. Un caño llena un tanque en 6 horas, y otro lo llena en 2 horas y el desagüe lo vacía en 3 horas. Si se mantiene abierto el primer caño durante una hora hora y a partir de entonces se abre también el segundo caño y el desagüe. ¿Cuánto habrá tardado en llenarse el tanque ?.

a) 4h b) 2h c) 3,5 h d) 2,5h e) 4,5 h

67


17. Una tubería “A” puede llenar un estanque en 6 horas y otra tubería “B”, de desagüe, lo puede vaciar en 8 horas. Estando vacío el estanque se hace funcionar a “A” durante 2 horas, y luego se abre la otra tubería “B”, funcionando así las dos. ¿Qué tiempo total emplearán para llenar el estanque ?.

a) 24 horas b) 26 horas c) 23 horas d) 22 horas e) N.a.

18. Juan y Pedro hacen una obra juntos en 10 días. Juan puede hacer esa obra en 15 días. ¿ En cuántos días hará Pedro esa obra ?

a) 30 d b) 20 d c) 25 d) 15 d e) N.a.

19. Un obrero puede hacer una obra en 12 horas. Después de 6 horas de trabajo, redujo su rapidez a la mitad . ¿ En cuánto tiempo más terminará la obra ?

a) 18 h b) 24 h c) 6 h d) 12 h e) 8 h

20. Juan puede hacer una obra en 8 días y Pedro lo hace en 12 días. ¿ Cuánto tiempo demorarán en hacer la obra, si trabajan 4 días juntos y a partir del 5to. día únicamente trabaja Pedro ?

a) 2d b) 4d c) 3d d) 5d e) 6d

NÚMEROS DECIMALESNÚMEROS DECIMALES

Fracción Decimal: Es toda fracción cuyo denominador es una potencia de 10.

Ejemplos: etc.

Número Decimal: Está conformada por una parte entera, ubicada a la izquierda de la coma decimal y su parte decimal que está a la derecha de la coma.

Ejemplos: 2,31 ; 0,43 ; 1,3251 ; etc.

Una fracción se puede escribir en forma de número decimal, utilizando una coma que se le llama “coma decimal”.

Ejemplo:

Observaciones:

a) Para escribir una fracción decimal en forma de número decimal, se escribe el numerador y se corre la coma decimal hacia la izquierda, tantos espacios como lo indique la cantidad de ceros que tenga el denominador.

Ejm:

b) Para escribir un número decimal en forma de fracción decimal, se escribe como numerador, el número decimal sin coma decimal y como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal.

Ejm:

TABLERO DE VALOR POSICIONAL:

68


Parte entera

Coma

Parte decimal Número

C D UD

écim

os

Cen

tésim

os

Milésim

os

Die

zm

ilésim

os

Cie

nm

ilésim

os

Millo

nésim

os

1 , 0 0 7 1,0079 , 0 0 0 0 2 2 9,000022

1 3 , 0 2 60 , 8

3 0 2 , 9 0 5 2 3

LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS DECIMALES:

* Para leer un número decimal, primero debemos leer la parte entera seguida de la palabra enteros y luego la parte decimal seguida del lugar que ocupa la última cifra.

Ejm: 103 , 15

Se lee: Ciento tres enteros quince centésimos.

* Si el número decimal no posee parte entera, es decir la parte entera es cero, entonces sólo debemos nombrar la parte decimal nombrando el lugar que ocupa la última cifra.

Ejm: 0, 143

Se lee: Ciento cuarenta y tres milésimos.

Comparación de números decimales:

a) Si dos números decimales tienen la parte entera diferente, entonces se compara solamente la parte entera.

b) Si dos números decimales tienen la misma parte entera, entonces se comparan cifras del orden de los décimos.

c) Si dos números decimales tienen la misma parte entera e igual cifra en el orden de los décimos, se compara la cifra del orden de los centésimos.

PRÁCTICA DE CLASE

1. Escribe en forma de número decimal:

a) ......................................... b) ..............................................

c) .............................................. d) ...............................................

e) ............................................ f) .............................................

g) ............................................ h) .............................................

i) ............................................

2. Escribe en forma de fracción decimal:

a) 0,95 = ......................... b) 72,84 = .................................

c) 9,006= ........................ d) 0,00032= ..............................

e) 1,09= .......................... f) 3,8 = ...................................

g) 0,00008 = ................... h) 0,0152= ................................

i) 0,1= ............................ j) 0,925 = .................................

69


3. Traza una flecha del número decimal a la fracción correspondiente:

4. Escribe el decimal:

a) doce diezmilésimos ....................................................................

b) nueve unidades 5 milésimos ......................................................

c) doce unidades 9 millonésimos ...................................................

d) quince centésimos ......................................................................

e) diecisiete millonésimos ...............................................................

f) trescientos ocho cienmilésimos ..................................................

g) dos mil quinientos dieciséis cienmilésimos ..............................

5. Escribe como se leen:

a) 0,072 ..................................................................................................................

b) 0,00048 ..............................................................................................................

c) 1,5 ......................................................................................................................

d) 9,000032 ...........................................................................................................

e) 0,072 ..................................................................................................................

f) 0,0008 ................................................................................................................

g) 1,002 ..................................................................................................................

h) 19,000038 ..........................................................................................................

i) 12,00045 ............................................................................................................

j) 45,9 ....................................................................................................................

k) 3,08 ....................................................................................................................

l) 12,072 ................................................................................................................

m) 9,0010 ................................................................................................................

n) 18,00012 ............................................................................................................

ñ) 0,958 ..................................................................................................................

6. Compara con < , >, =

a) 7,96 ................. 8,96 b) 49,7 .................... 47,90

c) 13,95 ................. 13,86 d) 5,64 .................... 5,46

e) 72,48 ................. 72,49 f) 71,94 .................. 71,940

g) 5,70 ................... 5,070 h) 56,8 .................... 56,60

i) 12,50 ................. 12,500 j) 13.46 .................. 13,046

k) 17,32 ................. 17,50 l) 72,06 .................. 72,16

m) 12,398 ............... 12,938 n) 89,542 ................ 89,54


5,06 - 5,12 - 5,027 - 6,304 - 6,31 - 6,309

..............................................................................................................................

8. Ordena en forma decreciente:

4,007 - 4,120 - 4,058 - 3,7 - 3,71 - 3,675

................................................................................................................................

9. Completa con un número decimal:

a) 3,47 < ...................... < 3,50 b) 4,16 < ....................... < 4,7

c) 6 < ............................ < 6,1 d) 27,52 < .................... < 27,60

10. Escribe "V" o "F" donde corresponda:

70


a) 5,27 < 5,72 ( ) b) 0,0041 = 0,0041 ( )

c) 3,008 > 3,800 ( ) d) 17,325 > 17,235 ( )

e) 15,27 = 15,2700 ( ) f) 21,43 = 21,430 ( )

g) 48,005 > 48,500 ( ) h) 18,173 < 19,41 ( )


1. El decimal “ mil millonésimos” corresponde a:

a) 0,01 b) 0,01000 c) 0,001000 d) N.a

2. El número corresponde a:

a) 0,2 b) 0,02 c) 0,002 d) N.a

3. Un número entre 0,5 y 1 es:

a) 0,9 b) 2 c) 2,5 d) N.a

4. El signo que debe ir entre 67,001 .............. 67,0010 es:

a) < b) > c) = d) N.a

5. Si al decimal “quince cienmilésimos” cambiamos el 5 por el 9 se convierte en :

a) 0,00015 b) 0,00019 c) 0,0095 d) N.a

TAREA DOMICILIARIA

1. Escribe como se leen:

a) 5,007 b) 0,00023 c) 0,000048d) 17,09 e) 5,8 f) 12,0032

2. Convierte a decimal:

a) b) c)

d) e) f)

3. Convierte a fracción decimal:

a) 0,02 b) 0,385 c) 10,3952 d) 0,0095 e) 0,000086

4. Compara con < , > , =

a) 2,68 .............. 9,58 b) 9,720 ............... 9,72

c) 4,72 .............. 4,27 d) 15,94 ............... 15,49

e) 3,58 .............. 3,058 f) 48,07 ............... 48,70

71


CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS DECIMALES

Observación:

Los números decimales se obtienen al dividir los términos de una fracción a excepción de los números decimales infinitos no periódicos, los cuales se generan de las raíces inexactas o números especiales tales como: y , los cuales no pertenecen al conjunto de los números racionales.

1. NÚMERO DECIMAL FINITO, LIMITADO, EXACTO O TERMINANTE:

Es aquel que tiene un determinado número de cifras decimales, se genera cuando el denominador es solamente múltiple de 2 o 5 o de ambos.

Ejm: = 1,875 y 8 = 23

= 0,136 y 125 = 53

= 0,35 y 20 = 22 . 5

además podemos observar que el número de cifras decimales esta dado por el mayor exponente ya sea de 2 o de 5.

2. NÚMERO DECIMAL INFINITO:

2.1. Periódicos:

2.1.1.Periódico Puro: Presentan infinitas cifras decimales que se repiten periódicamente. Se generan cuando el denominador no es múltiplo de 2 ni de 5.

2.1.2.Periódico Mixto: Presenta infinitas cifras decimales, en donde no todos se repiten periódicamente.

2.2. No Periódicos: No se generan a partir de fracciones sino a partir de raíces inexactas.

Ejm: = 1,4142

GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL:

Hallar la generatriz de un número decimal, no es otra cosa que encontrar la fracción que ha generado dicho número decimal.Recordemos que los números decimales que se generan a partir de una fracción pueden ser: Número decimal exacto o terminante, número decimal periódico puro y número decimal periódico mixto.

1. Generatriz de un número decimal exacto o terminante:

Para hallar la fracción que ha generado un número decimal exacto, se escribe como numerador el número decimal y como denominador, tantos ceros como cifras tenga la parte decimal, luego se simplifica hasta que la fracción sea irreductible.

Ejm: 0,25 = 1,002 =

2. Generatriz de un número decimal periódico puro:

Para hallar la fracción que ha generado a un número decimal periódico puro, se pone en el numerador un período y como denominador, tantos nueves como cifras tenga el período y luego se simplifica hasta que la fracción sea irreductible.

72


Ejm: * 0,888... =

* 0,1212... =

* 3,1414... = 3 + = 3 +

3. Generatriz de un número decimal Periódico Mixto:

Para hallar la fracción que ha generado a un número decimal periódico mixto, se toma como numerador la parte no periódica seguida de un período y se le resta la parte no periódica y como denominador, tantos nueves como cifras tenga el período seguido de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica.

Ejm: * 0,36666... =

* 4,1222... = 4 + = 4 +

* 0,5424242... = =

PRÁCTICA DE CLASE

1. Escribe el nombre de cada tipo de número decimal que van a generar cada una de las siguientes fracciones:

a) : .................................................................

b) : .................................................................

c) : .................................................................

d) : .................................................................

e) : .................................................................

2. Escribe el nombre de cada decimal:

a) 0,38 :......................................................................................

b) 12,458 :..................................................................................

c) 0,02323... : ...........................................................................

d) 0,455... : ................................................................................

e) : .....................................................................................

f) :.......................................................................................

3. Halla la generatriz de:

a) 0,5555 ... b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

73


k) l) 8,7333...

4. Une mediante flechas cada decimal con su nombre respectivo:

5. Escribe "V" o "F" donde corresponda:

a) 0,777... = ( ) b) ( )

c) 0,2333... = ( ) d) ( )

e) 1,2888 = ( ) f) ( )

g) 2,7373... = ( ) h) ( )

TAREA DOMICILIARIA

1. Halla la generatriz de:

a) 0,888... b) 1,66... c) 2,5

d) 3,4 e) 0,455... f) 1,04666...

g) 0,380 h) 0,511... i) 2,722...

74


PROBLEMAS CON DECIMALES

1. Cinco Litros de agua mineral se quiere guardar en botellas de 0,25 litro ¿Cuántas botellas se pueden llenar?

2. Para confeccionar una falda se necesita 0,72m; si se tienen que confeccionar dos docenas y media de faldas. ¿qué cantidad de tela se necesita?

3. ¿Cuál es el precio de un kilo de queso, si el paquete de 250g cuesta 3,5 nuevos soles?

4. Diego tiene un terreno de a s/ 208,50 el y después lo vendió en S/.35000. ¿cuál fue su ganancia?

5. Patricia compra 7,5Kg de arroz a s/2,60 cada Kg. ¿Cuánto es su vuelto si paga con un billete de s/50?

6. Por 72Kg de naranjas, un comerciante paga s/97,20 y los vende a s/1,70 cada Kg. ¿ Cuanto es su ganancia?

7. Dos autos salen al mismo tiempo de dos puntos situados a 542,10 Km. de distancia y van una al encuentro del otro. El primero viaja a 80,50 Km/h y el segundo a 100,2 km./h ¿cuánto tiempo tardarán en encontrarse?

8. A una cena asisten 30 personas y cada cubierto cuesta s/27,50, si 5 personas son invitados ¿Cuánto pagó cada uno de los restantes?

75


9. Julio tiene s/83,25, Pedro el triple que Julio y Carlos tanto como los dos juntos ¿Cuánto tienen entre los tres?

10. Tenía s/14,25 el lunes, el martes cobré s/16,89, el miércoles cobré s/97 y el jueves pagué s/56,07 ¿ Cuánto me queda?

11. Un muchacho que tiene s/0,60 quiere reunir s/3,75. pide a su padre s/1,75 y este le da 17 céntimos menos de lo que le pide, pide a un hermano 30 céntimos y este le da 15 céntimos más de lo que le pide ¿Cuánto le falta para obtener lo que desea?

12. La altura de una persona es 1,85m y la de una torre es de 26 veces la altura de la persona menos 1,009m. Hallar la altura de la torre.

13. Pierdo s/19 en la venta de 95 cuadernos a s/9,65 cada uno. Hallar el costo de cada cuaderno.

14. Compro igual número de libros y cuentos por s/540,18. cada libro vale s/56,40 y cada cuento s/33,63. ¿ Cuantos libros y cuantos cuentos he comprado?


* Si: A = 2,4 ; B = 1,2 ; C = 0,5 ; D = 0,08. Efectuar:

1. AB –

a) 2,44 b) 2,4464 c) 2,464 d) N.a.

2.

a) 1,57 b) 10,57 c) 105,7 d) N.a.

3.

a) 10 b) 0,1 c) 1 d) N.a.

4. Efectuar

a) 0,125 b) 1,125 c) 1,25 d) N.a.

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5. Un obrero gana s/ 42,50 diario y gasta s/32,80 cada día. Si ha logrado ahorrar s/135,80 ¿Cuántos días trabajó?

a) 14 b) 11 c) 12 d) N.a.

TAREA DOMICILIARIA

1. Andrés compra cada toalla en s/35,80 y la vende en s/47,50 ¿Cuántas toallas debe vender para ganar S/. 351?

2. Pedro compra 3 lapiceros a s/17,50 cada uno, 4 textos a s/42,50 cada uno y 9 cuadernos a S/. 3,50 cada uno. ¿ Cuanto paga en total ?

3. Dos automóviles salen al mismo tiempo de dos ciudades, situadas a 703,60 Km. de distancia y van uno al encuentro del otro. El primero con una velocidad de 82,50 Km./h y el segundo a 93,40 Km./h ¿Cuanto tiempo tardaran en encontrarse?

4. Arturo compra una radio en s/132,50, gasta en repararla s/23 y la vende en S/.275,50 ¿Cuánto ganó?

5. A una cena asistieron 30 personas y cada cubierto cuesta S/. 27,50 si 5 son invitados ¿Cuánto tienen que pagar cada persona restante?

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II Bimestre

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