COLEGIO PRE UNIVERSITARIO II-Geom-5TO Grado 2DA

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TRIÁNGULO

DEFINICIÓN.Es la figura geométrica formada al unir tres puntos no colineales mediante segmentos. O también, se llama triángulo al polígono que tiene tres lados.

Elementos: - Vértices: A, B y C- Lados: AB, BC y AC - Ángulos interiores:

BAC, ABC y ACB- Ángulos exteriores: e1, e2 y e3

- Perímetro (2P):

Notación:Triángulo ABC:

REGIONES DETERMINADAS RESPECTO AL TRIÁNGULO

Observación: Para hallar el

semiperimetro:

PROPIEDADES FUNDAMENTALESA. Suma de medidas de los ángulos internos.En el

B. Suma de las medidas de los ángulos externos.En el

C. Medida del ángulo exterior.En el

D) Relación de existencia o Desigualdad triangular.

En el Si a > b > cSe cumple:

E) Propiedad de correspondenciaEn el Si a > c

CLASIFICACIÓN

A. SEGÚN SUS LADOS.

Triángulo Equilátero.Es aquel cuyos lados son de igual medida (congruentes). Y sus tres ángulos también.

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A

B

C

1e

2e

3e

c a

b

A C

B

Área o Región Triangular

Región Exterior relativa a

BC

Región Exterior relativa a

AB

Región Exterior relativa a AC

A C

B

a

a

a

A C

B

x

z

y

AC

B

x

A C

B

b

ac

A C

B

ac

A C

B

En la figura, si AB = BC =AC :

: es EquiláteroEntonces:

Triángulo IsóscelesEs aquel triángulo que tiene dos lados de igual longitud; el lado desigual se recibe el nombre de base. Los ángulos en la base son congruentes.

En la figura, si AB = BC (laterales)

: es Isósceles Se cumple:

Triángulo Escaleno.Es aquel triángulo, en el cual sus lados y ángulos tienen diferente longitud (no son congruentes).

En la figura: Si a, b y c son diferentes entre sí, entonces:

: Escaleno

Además: también son diferentes.

B. SEGÚN SUS ÁNGULOS.

Triángulo Acutángulo.Es aquel triángulo, que tiene sus ángulos internos agudos.

En la figura: ; ; : Acutángulo

Triángulo Obtusángulo.Es aquel triángulo que tiene un ángulo interior obtuso. El lado opuesto al ángulo obtuso es el lado mayor del triángulo.

En la figura: : Obtusángulo

Además Triángulo RectánguloEs aquel triángulo que tiene un ángulo recto.

En la figura: m ABC = 90º

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a a

bA C

B

c a

bA C

B

c a

bA C

B

AC

B

b

ac

A C

B

b

c a

AB y BC : CatetosAC : HipotenusaAdemás:

TALLER # 1

01. Observa estos triángulos y completa la tabla.

Triángulo

Vértices Lados Ángulos

02. Determine el valor de “x” en cada caso:

03. ¿Es posible construir un triángulo cuyos lados midan 3m, 5m y 11m?

04. ¿Es posible construir un triángulo cuyos lados midan 2cm, 4cm y 10cm?

05. ¿Es posible construir un triángulo cuyos lados midan 6cm, 7cm y 12cm?

06. Clasifica los triángulo de acuerdo con la medida de sus lados y luego e acuerdo con sus ángulos.

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A

C B

NM O

P

R QFE

G

YX

Z

x2

130

110

AC

B

x

30 70A C

B

x60

70

A C

B

76

52 52A C

B

60

60 60P R

Q

30

105 45M Ñ

N

07. Marca con un aspa (X) los casilleros correspondientes a la clasificación de cada

triángulo según sus lados y según sus ángulos.

Escaleno

Isósceles

Equilátero

Rectángulo

Acutángulo

Obtusángulo

08. Observa estos triángulos y completa:

AB = …………. EF = …………. PQ = …………. NT = ………….

AC = …………. GE = …………. QR = …………. MT = ………….

BC = …………. FG = …………. PR = …………. MN = ………….

09. Dibuja y clasifica cada triángulo según las medidas dadas (en tu cuaderno).

Triángulo ABC Triángulo EFG Triángulo MNQ

es ................. es ................. es .................

10. Calcule el valor de x en cada triángulo.

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B

A

C

GE

F P

Q

RM

N

T

11. Observa el triángulo isósceles y responde:

a. ¿Cuáles son os lados de igual medida? ¿Por qué?

b. La medida del lado DF ¿tiene que ser menor que la medida de EF? ¿Por qué?

12. Coloca el signo <, > o =, según corresponda en cada figura:

“La justicia es reina y señora de todas las virtudes”CICERON

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º118

x

º75 º40

x

º70 º65

x

º110

º130x º35

º70

º125 x

70 70

40

D

E

F

QUINTO GRADO

R

S

Ta b

ba

STRS

M

N

Ñ

NÑMN

B

C

D

CDBD

LINEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO

CEVIANA.Es aquel segmento que une un vértice con un punto del lado opuesto o de su prolongación.

En el

pertenece a

: Ceviana interior relativa a

En el

pertenece a la prolongación

: Ceviana exterior relativa a

MEDIANAEs la ceviana que biseca el lado al cual es relativa.

En el

es punto medio de

: Mediana relativa a

MEDIATRIZ

Es aquella recta perpendicular a un lado que biseca dicho lado.

En el : L y

L : Mediatriz de

ALTURA Es una ceviana perpendicular al lado, al cual es relativa; la posición de una altura respecto al triángulo depende del tipo de triángulo.

En el

: Altura relativa a

En el

: altura relativa a la hipotenusa

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A

B

CD

A

B

C E

A

B

M Cl l

A

B

M Cb b

L

A

B

H C

CA

B

H

H

P

A

B

Q

C

En el : obtusángulo

: Altura relativa a

: Altura relativa a

: Altura relativa a

BISECTRIZEs aquella ceviana interior o exterior que biseca a un ángulo interior o exterior respectivamente.

En el :

: Bisectriz interior relativa a

En el :

: Bisectriz exterior relativa a

TEOREMAS

A)

B)

C)

D) En el BH: Altura y BM: bisectriz

E)

En el : Mediana relativa a la hipotenusa

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D

A C

B

EA C

B

x

x

x

ºa ºbH

MC

B

A

x

CA

B

Ma a

a

2º90 x

2x

2º90 x

2ºº bax

Teorema de los Puntos Medios

En el

Si MN//AC y “M” Punto Medio de AB;

entonces: “N” punto medio de BC

TALLER # 02

01. Relacione la columna A con la columna B, según corresponda:

COLUMNA A COLUMNA B

MEDIATRIZ

BISECTRIZ

MEDIANA

ALTURA

CEVIANA

BASE MEDIA

02. En el triángulo rectángulo ABC ubica el punto medio de D del lado AC y traza el segmento BD. Mide los segmentos BD, AD y DC. ¿Qué relación encuentras entre dichas medidas?

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A C

B

NM

A

B C

Verifica si en otros triángulos se cumple la relación.

03. En el triángulo NPQ ubica los puntos

medios de los lados NP y PQ. Une los

puntos formando el segmento ST. Mide

NQ y ST.

a) Halla la relación

entre la medida

de NQ y ST.

b) Grafica otros triángulo y verifica que se cumpla dicha relación con los segmentos que corresponde.

04. Marque (V) si es verdadero y (F) si es falso, según corresponda.

a) La mediatriz es tipo de ceviana. ( )

b) La altura es un tipo de ceviana ( )

c) La mediana es un tipo de ceviana ( )

d) la bisectriz es un tipo de ceviana ( )

e) En todo triángulo rectángulo la

mediana relativa a la hipotenusa biseca

dicho segmento ( )

f) En un triángulo equilátero si se traza

la mediatriz está también es bisectriz,

altura y mediana. ( )

g) En cualquier triángulo se puede trazar una ceviana. ( )

05. Halle el valor de “x” en cada figura:

06. En el , BH es la altura y BM es la bisectriz. Halle el valor de “x”

07. Trace las alturas en los siguientes triángulos, que partan del vértice A.

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N

P

Q

80

x

x

60

x

70

60 40H M

C

B

A

x

A

C B

A

B

CA

BC

08. Halle el valor de “x” en cada figura:

a) En el triánulo ABC, AC // MN y M punto medio de AB. Además .

b)

c) En el triánulo ABC, AC // MN y M punto medio de AB. Además .

d)

“He trabajado y luchado con perseverancia; he querido llegar y he

llegado” Demóstenes

PROF. HENRY E. JURADO VELIZ

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A

BC

AB

C

AB

C

A

BC

A C

B

NM x

CA

B

Mx

u10

A C

B

NM

x

CA

B

M

x

u26