Metodos II, A.A. 2014{2015, Grupo D (Piergiulio Tempesta).

II. EDP lineales del II orden.

A) Clasique las EDP del segundo orden siguientes.

1)4uxx + uyy = 0; utt ux = 0; uxx + uyy = 10;

2)

uxx 5uxy + u = 0; uyy + 3uxx + uy = 5; uxy + uyy + 3ux + 5uy = 10;3)

utt + uxt 3uxx + 2ux 3ut = 0; uxx + 5uxy uz + u = 0; 2 R:

B) Ecuaciones con coecientes constantes. Mediante un cambio de variablesadecuado, reduzca a forma normal las EDP del segundo orden siguientes.

4)8uxx + 10uxy + 2uyy + 6ux + 6uy = 18:

Resolucion. Observamos que = 2 > 0 y por tanto la ecuacion es hiperbolica.El cambio de variables apropiado es8

Resolucion. Siendo = 0, la ecuacion es parabolica. Con el cambio de variable( = y x = x

reducimos la ecuacion a forma canonica. Obtenemos( = x+ y

= x

y la ecuacion se convierte enu u = 0;

cuya solucion general es u(; ) = F1()e+F2(), con F1 y F2 funciones arbitrarias

sucientemente regulares. Por tanto la solucion general de la ecuacion 6) es

u(x; y) = F1(x+ y)ex + F2(x+ y):

6)3uxx 3uxy + uyy + 5u = 0:

Resolucion. Siendo < 0, la ecuacion es elptica . El cambio de variable que lareduce a forma canonica es (

= yxp2

= xo sea (

= 3y+3=2 xp3=4

=p3(x+ 2y)

= x

Obtenemos la forma canonica

u + u +5

3u = 0:

7)2uxx + 6uxy + uyy = 0:

Resolucion. Ecuacion hiperbolica. Cambio de variable:( = y 3

p7

2 x

= y 3+p7

2 x

Ecuacion reducida: u = 0; con solucion general:

u(; ) = F1() + F2():

Por tanto:

u(x; y) = F1

y 3

p7

2x

!+ F2

y 3 +

p7

2x

!:

8)uxx + uxy + uyy + u = 0

Resolucion. Ecuacion elptica. Cambio de variable:( = 2yxp

3

= x

Obtenemos la forma canonica

u + u + u = 0:

C) Resolver los problemas de Cauchy siguientes.

9) 8>:4uxx 4uxy + uyy 2ux + uy + u = 0u(0; y) = y

ux(0; y) = 0:

Resolucion. La ecuacion considerada es parabolica. El cambio de variable( = x+ 2y

= x

nos proporciona la ecuacion reducida a forma normal

4u 2u + u = 0;donde u = u(; ). Esta ecuacion se resuelve como una ecuacion ordinaria en lavariable , pero remplazando las constantes arbitrarias con funciones arbitrarias dela variable . Obtenemos la solucion general

u(; ) = F1()e4 sin

p3

4

!+ F2()e

4 cos

p3

4

!:

Por tanto la solucion general de la ecuacion de partida es

u(x; y) = F1(x+ 2y)ex4 sin

p3

4x

!+ F2(x+ 2y)e

x4 cos

p3

4x

!:

Imponemos ahora las condiciones iniciales. Dado que la ecuacion se puede poneren forma normal, los datos iniciales son analticos, y la ecaucion es de coecientesconstantes, el teorema de Cauchy-Kovalevskaya asegura la existencia de una unicasolucion del problema de Cauchy, analtica. Tenemos

u(0; y) = F2(2y) = y =) F2(x+ 2y) = 12(x+ 2y):

Por tanto

ux(0; y) =1

4

p3F1(2y) + F2(2y) + 4F

02(2y)

=

1

4

p3F1(2y) + y + 2

= 0

con lo cual

F1(2y) = y + 2p3

=) F1(w) = w2 + 2p

3=) F1(x+2y) =

x+2y2 + 2p

3= x+ 2y + 4

2p3

:

En denitiva, la solucion del problema de Cauchy es:

u(x; y) = x+ 2y + 42p3

ex4 sin

p3

4x

!+

1

2(x+ 2y)e

x4 cos

p3

4x

!:

10) 8>:uxx + uxy + ux + uy = 0

u(0; y) = 0

ux(0; y) = ey:

Resolucion. Ecuacion hiperbolica. Cambio de variable:( = y

= y xLa ecuacion en forma canonica es

u u = 0:Poniendo u = f(; ), obtenemos la ecuacion diferencial f f = 0, que nos daf = u = A()e

, con A() funcion arbitraria. Por tanto: u(; ) = F1()e+F2()

donde F1() (que a priori es la integral de A()) y F2() son tambien funcionesarbitrarias. Hemos obtenido la solucion general del problema:

u(x; y) = F1(y)ex+y + F2(x+ y):

La primera condicion inicial nos da

u(0; y) = F1(y)ey+F2(y) = 0 =) F2(y) = F1(y)ey () F2(yx) = F1(yx)eyx:

Imponiendo la segunda condicion, tenemos

ux(0; y) = eyF1(y)F 02(y) = ey =) F 02(y) = eyF1(y)ey () F 02(yx) = eyxF1(yx)eyxy teniendo en cuenta la expresion de F2(y x), tenemosF 01(yx)eyxF1(yx)eyx = F1(yx)eyxeyx () F 01(yx) = 1() F1(w) = w+bo sea

F1(y) = y + b; b 2 R:Por tanto, obtenemos la unica solucion

u(x; y) = (y + b)eyx (y x b)eyx = xeyx:Notese que esta solucion no depende del parametro b, o sea es unvocamente deter-minada, como garantizado por el teorema de Cauchy-Kovalevskaya.

11) 8>:uxx +

p12 uxy 3uyy ux +

p3uy = 0

u(x; 0) = ex + xuy(x; 0) =

1p3

Resolucion. Ecuacion parabolica. Cambio de variable:( = y +

p122 x = y +

p3x

= x

Ecuacion reducida a forma canonica:

u + u = 0:

Integrando obtenemos:u(; ) = F1()e

+ F2()

y por tanto la solucion general del problema es

u(x; y) = F1

y +

p3xex + F2

y +

p3x:

Imponiendo las condiciones

u(x; 0) = exF1(p3x) + F2(

p3x) = ex + x

y

uy(x; 0) = exF 01(

p3x) + F 02(

p3x) =

1p3

obtenemosF1(p3x) = 1 F2(

p3x) = x() F2(w) = wp

3o sea

F1 = 1; F2 =y +

p3xp

3:

En denitiva, la unica solucion del problema de Cauchy es

u(x; y) = ex + x+p3y

3:

D) Ecuaciones con coecientes variables.

12) Clasicar en R2 las ecuaciones siguientes.a) xuxx+uyy+u = g(u); b) uxx+yuxy+4yuyy = u c) x

2uxx+xuxy+3uy = 7:

Resolucion.a) = x. La ecuacion es hiperbolica para (x < 0; y), o sea en el semiplanoizquierdo, parabolica en el eje (x = 0; y), elptica en el semiplano derecho.

b) = y2

4 4y. La ecuacion es hiperbolica en las regiones (x; y < 0) e (x; y > 16),parabolica en las rectas (x; y = 0) y (x; y = 16), elptica en la region (x; 0 < y < 16).

13) Clasicar, reducir a forma canonica y resolver la ecuacion

2uxx + 5yux + 2y2u = y:

Resolucion. Se trata de una ecuacion parabolica. Observamos que ya esta reducidaa forma canonica. Interpretando y como un parametro, la resolvemos en x como unaecuacion diferencial ordinaria lineal de segundo orden, de coecientes constantes:

22 + 5y+ 2y2 = 0; =5y

p25y2 16y24

; 1;2 =

(12y2y

Por tanto,

uhom = C1e xy2 + C2e2xy

Dado que una solucion particular de la ecuacion no homogenea es dada por up =12y ,

obtenemos

u(x; y) = F1(y)e xy2 + F2(y)e2xy +

1

2y:

14) Sea la ecuacion

uyy x2uxx uy = 0:i) Hallar su solucion generalii) Determinar la solucion que satisface a las condiciones u(x; 0) = 2x, uy(x; 0) = x.Resolucion.i) Observamos que

a = x2; b = 0; c = 1; = x2:Por tanto la ecuacion es hiperbolica, salvo en x = 0. La ecuacion auxiliar

a2 + 2b+ c = 0

se escribe en este caso en la forma x22 + 1 = 0, y nos da1;2 = 1

x:

Las caracteristicas son dadas por dydx = 1x , as que mediante el cambio de variables = xey, = xey se reduce a forma canonica. Obtenemos

2uu = 0 =) u = g; 2gg = 0 =) g() = F ()p;=) u(; ) = F1

p()+F2();

con F1 y F2 arbitrarias. Entonces

u(x; y) = F1(xey)pxey + F2(xe

y)

que, utilizando la arbitrariedad de F1, se puede escribir de forma mas sencilla como

u(x; y) = F1(xey)ey + F2(xey):

ii) Ahora bien, imponiendo las condiciones iniciales obtenemos

F1(x) + F2(x) = 2x; xF 01(x) + F1(x) + xF 02(x) = x;que nos dan

F1(x) = x+Apx; F2(x) = xA

px:

La unica solucion del problema de Cauchy es

u(x; y) = x(1 + ey):

15) Reducir a forma canonica y resolver la ecuacion

x2uxx y2uyy = 0:Resolucion. La matrix de la parte principal es

A =

x2 00 y2

Dado que = x2y2, la ecuacion es hiperbolica en R2, salvo en los ejes coordenados.La ecuacion auxiliar

a2 + 2b+ c = 0

se escribe en este caso en la forma x22 + y2 = 0, y nos da

1;2 = yx:

Para determinar las caractersticas, resolvemos el sistema de Lagrange

dx

1=

dy

y=x =) ln j x j= ln j y j +k1;2; ki 2 R

Por tanto, desde las dos ecuaciones anteriores deducimos

j x j= ek1

j y j =) I1 = xy; j x j= ek2y ) I2 = y

x:

Introducimos las nuevas variables ( = xy

= yx :

Este cambio de variables nos proporciona las relaciones

ux = uy ux2y; uy = ux+ ux1y

uxx = uy22ux2y2+ux4y2+2ux3y; uyy = ux2+2u+ux2:

Sustituyendo estas relaciones en la ecuacion de partida, obtenemos:

x2uxx y2uyy = 2(2u + u) = 0:Entonces, si 6= 0,

2u u = 0 =) 2u u = f() =) u = F1()p + F2();

con F1; F2 funciones arbitrarias sucientemente regulares. En denitiva, deducimosla solucion general

u(x; y) =pxy F1

yx

+ F2(xy):