II Unidad (2da Parte)
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MOVIMIENTO CURVILÍNEO
Movimiento general en el plano Mov.Compuesto (Principio de Independencia de los Movimientos de Galileo) Movimiento Parabólico Movimiento Circular
I. Movimiento General en un plano: Mov. Bidimensional
Tiempo
=tangente
=radial
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u y ur son vectores variables.
i , j , kson vectores constantes.
Entonces: d idt
=0 , d jdt
=0 , d kdt
=0
a) ur=cosθ i+senθ j
d ur
dt=(−senθ
dθdt )i+(cosθ dθ
dt ) jd ur
dt=dθ
dt(−senθ i+cosθ j )
d ur
dt=dθ
dtu
b) uθ=−senθ i+cosθ j
d uθ
dt=(−cos θ dθ
dt )i+(−senθdθdt ) j
d uθ
dt=−dθ
dt(cosθ i+senθ j )
d uθ
dt=−dθ
dtur
c) r(posición)
v=d rdt
=Velocidad en latrayectoria
a=d vdt
=Aceleración en latrayectoria
d) θ(Posición angular)
ω=d θdt
=Velocidad angular
α=d ωdt
=Aceleraciónangular
Análisis del Movimiento
1) Posición: r=r ur
2) Velocidad:
v=d rdt
=drdt
ur+rd ur
dt
v=d rdt
=drdt
ur+rdθdt
uθ
⟹ v=vradial ur+r ωangular uθ
En un movimiento circular r = constante, entonces drdt
=0, luego:
v=r ωang uθ
v=V tangencial uθ
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Donde: V tangencial= r ¿)
NOTA
La velocidad radial indica cuánto nos acercamos.
3) ACELERACIÓN
a=d vdt
a=d vdt
=d2rd t 2
ur+drdt
.d ur
dt+ drdt
.dθdt
uθ+rd2θd t 2
uθ+rdθdt
d uθ
dt
Pero
d ur
dt=dθ
dtuθ y
d uθ
dt= - dθ
dtur
⟹ a=d vdt
=[ d2rd t 2−r ( dθdt )
2] ur+[2 drdt
.dθdt
+r d2θd t 2 ] uθ
En un movimiento circular r = constante
drdt
=0 yd2 rd t2
=0
⟹ a=−(r ω2 ) ur+(rα )uθ
Donde:
a tangenciala radial
a radial a tangencial
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a t=α . r
II. Movimiento Circular Trayectoria: Circunferencia. Módulo der constante.
a total=−r ( dθdt )2
ur+rd2θd t 2
uθ
Aceleración radial: Dirigida al centro. “Ligado” a la trayectoria circunferencial. Conocido como aceleración centrípeta.
ac=−(r ω2) ur
|ac|=r ω2
Aceleración tangencial: Recorre la trayectoria.
a t=(rα) uθ
NOTA:
Con estas fórmulas se puede verificar que el movimiento circular es resultado de la acción de la aceleración centrípeta.
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CURVATURA Y RADIO DE CURVATURA
a t=rα
a t=rd2θd t 2
=rdωdt
=d (rω )dt
→rω=rdθdt
=d (rθ )dt
=dSdt
=V tang
a t=d (V T )dt
=d2Sd t2
α=d2θd t 2
=dωdt
Se define una magnitud llamada CURVATURA K como:
k=|d uT
dS |Y su inversa:
1k=ρ(Radio decurvatura)
Aplicándose las siguientes relaciones:
1)d uT
dS=k uN
2)d uT
dS. uT=0
3) aT=v . av
4) aN=¿ v x a∨ ¿V
¿
Y
X
A
A’
C
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5) ρ= v3
¿ v x a∨¿¿
Demostración 1) d uT
dS=k uN
d uθ
dt=−dθ
dtur→
duT
dt=−dθ
dtuN
d uT
dt.dSdS
=−dθdt
uN
d uT
dS. v=−ωuN
d uT
dS=−ω
vuN
d uT
dS=−1
ρuN
d uT
dS=−k uN L.q .q .d .
Demostración 2) d uT
dS. uT=0
Como d uT
dS=k uN
d uT
dS. uT=k uN .uT
uN .uT=0 , pues uN⊥ uT, entonces
d uT
dS. uT=0 L .q .q . d .
Demostración 3) aT=v . av
v . a=(v ut ) . (aN uN+aT uT )
ut . uT=|ut||ut|.cos (0 )=1
ut . uT=0 , uN⊥ uT
¿ va t
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v . av
=aT l . q . q . d
Si tenemos la forma (expresión) de la curva, entonces podemos hallar el radio de curvatura por factores geométricos.
ρ=[1+( dydx )
2]32
d2 yd x2
EJEMPLO:
Un móvil se desplaza sobre la trayectoria y=3x2, con rapidez constante de 10 m/s. Hallar la aceleración de la partícula cuando pasa por el punto (1,3)
a=aN uN+aT uT
→aT=dvdt
=d (10m /s )
dt=0
aN=−r w2 uN
aN=r ( vr )2
aN=v2
ρ=
(10m / s)2
ρ
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Hallando ρ=[1+( dydx )
2]32
d2 yd x2
y=3 x2
dydx
=6 x→ (1,3 ) dydx
=6
d2 yd x2
=6→ (1,3 ) d2 y
d x2=6
Entonces
ρ=[1+(6 )2 ]
32
6=37.51m
Finalmente
aN=v2
ρ=
(10m / s)2
37.51=2.67m /s2