12agrega.educacion.es/.../1quincena12.pdf · Ikasle guztiei galde diezaiekegu (lagin exhaustiboa),...

MATEMATIKA 1. DBH 195

Hasi baino lehen

1.Banaketa estatistikoak. Maiztasun taulak ………………… 198. orr.

Aldagaia, lagina eta populazioa Maiztasun absolutua eta erlatiboa Portzentajeak eta angeluak

2.Grafiko estatistikoak …………………… 200. orr.

Barra diagrama Sektore diagrama Piktogramak

3.Ausazko esperimentuak ……………… 203. orr.

Gertakariak. Lagin-espazioa Zuhaitz-diagramak Gertakarien bildura

Gertakarien ebakidura

4.Probabilitatea ……………………………… 205. orr.

Zer da probabilitatea? Laplaceren erregela

Praktikatzeko ariketak

Gehiago jakiteko

Laburpena Autoebaluazioa

Tutoreari bidalatzeko jarduerak

Helburuak Hamabostaldi honetan, hau ikasiko

duzu:

Datuak jasotzen azterketa

estatistiko bat egiteko.

Datuak antolatzen maiztasun

absolutuko eta erlatiboko

tauletan.

Hainbat grafiko estatistiko

egiten, eta interpretatzen:

Barra diagramak, lerro

poligonalak, sektore

diagramak...

Gertaerak bereizten ausazko

esperimentuetan.

Probabilitate errazak kalkulatzen.

Estatistika eta Probabilitatea 1222

196 MATEMATIKA 1. DBH


Hasi baino lehen

Grafiko estatistikoak

Seguru askotan ikusi dituzula behekoak bezalako grafikoak. Hamabostaldi

honetan, grafikoak interpretatzen ikasiko duzu.

Estatistika eta probabilitatea

Estatistika

Probabilitatea


1. Banaketa estatistikoak. Maiztasun taulak.

Aldagaia, lagina eta populazioa

Eman dezagun jakin nahi dugula zenbat ibiltzen

duten egunero Institutu bateko ikasleek. Ikasle

guztiei galde diezaiekegu (lagin exhaustiboa), edo

kurtsoka aukeratutako batzuei (lagin geruzatua), edo

zoriz aukeratutakoei (ausazko lagina). Populazioa

institutuko ikasle guztiak dira; lagina inkestatutako

ikasleak dira; eta aldagaia, ikasle bakoitzak egunero

egiten duen distantzia. Distantzia, kuantifikatu

daitekeenez, aldagai kuantitatiboa da.

Nazio bateko biztanleentzat zein den telebistako

programa gogokoena jakin nahi denean, nazioa da

populazioa; eta aldagaia kualitatiboa da, ezin baita

zenbaki batekin adierazi.

Maiztasun absolutua eta erlatiboa

Portzentajeak eta angeluak

a) Institutu bateko ikasleei galdetu diegu

zenbat ibiltzen duten egunero.

b) Zein da Antonioren familiaren

telebistako programa gogokoena?

Ezkerreko irudian, inkesta batetik

jasotako datuak ikusiko dituzu. Zenbaketaren emaitzak adierazten dira lehenengo zutabeko gelaxketan. Bada, aldagaiaren balio edo tarte baten maiztasun absolutuak hau adierazten du: zenbat aldiz ageri den balio hori jasotako datuetan. Bigarren zutabean, datuen guztizko kopuruarekin —edo laginaren tamainarekin— (N) zatitzen da maiztasun absolutu bakoitza.

20 datutan 6 aldiz agertzen denean, balio baten maiztasun erlatiboa hau da: 6/20=0,3 edo 30/100 edo %30 (zatiki baliokideak: bider 5). 30 da balio horren portzentajea. Datu guztiek zirkunferentziaren 360º-ak adierazten badituzte, zenbat gradu dagozkio aurreko

balioari? 0,3·360 gradu =108 gradu

Konturatu: Lehenengo zutabearen guztizko batura 1 da; ehunekoen batura, 100; eta irudiko hirugarren zutabearena,

360.


Aldagai kuantitatiboa

Lagin geruzatua

Lagin exhaustiboa Aldagai

kualitatiboa

P(x) 1 1 0

3

0

2·P(x) 2 2 0 6 0

Q(x) 2

1

-

4

5

Q(x) 2

1

-4

5

P(x)+Q(x)

1 3 1 -

1

5

2·P(x)-

Q(x)

2 0 -

1

10 -

5

P(x)+Q(x)=x4+3x3+x2-

x+5 2·P(x)-

Q(x)=2x4-x2+10x-5

¿Cuál es el grado del

cociente al dividir un

polinomio de grado 5

entre otro de grado 2? El grado del cociente es

el grado del dividendo, 5,

menos el del divisor, 2,

luego 3

Multiplica

P(x)=x3+6x2+4x-6 por

% = m. erlatiboa · 100

Graduak= m. erlatiboa · 360

Halla P(x)+Q(x) y 2·P(x)-

Q(x)

P(x)=x4+x3+3x

Q(x)=2x3+x2-4x+5

P(x) 1 1 0

3

0

2·P(x) 2 2 0 6 0

Q(x) 2 - Q(x) 2 -4


ARIKETA ebatziak

1. Adierazi grafiko bakoitzaren aldagaia eta populazioa.

Erantzunak

Populazioa: 25 eta 64 urte bitarteko gizonezko eta emakumezko espainiarrak. Aldagaia: Ordenagailua erabiltzeko gaitasun maila

Populazioa: 1996tik 2007ra Espainian argitaratu ziren aldizkariak. Aldagaia: zer urtetan argitaratu den.

Populazioa: espaini-arrak; autonomien ara-bera banatu dira. Bi aldagai ditugu: espainiar bakoitzaren autonomia erkidegoa eta erkidego bakoitzean galdetu da ea libururik irakurtzen den.

Populazioa: espainiarrak. Aldagaia: zenbat denbora igaro den azkenekoan museo batera joan direnetik.

2. Beteko taula hauek:

Soluciones

Erantzunak

3. Bete portzentaje- eta gradu-taula hauek:.

Erantzunak



2. Grafiko estatistikoak

Barra-diagramak

Aztertu arretaz eskuineko eszena. Zenbaketarako

datu bakoitzaren gainean klik egitean, barra diagrama

lortuko dugu. Barra horiek oinarri berdina dutenean,

maiztasunarekiko proportzionalak dira beren azalerak.

Begiratu batean ikus dezakegu zein den 30 ikasleren altueraren tarterik ohikoena.

Maiztasun erlatiboekin edo portzentajeekin ere

adieraz daiteke barra bakoitzaren altuera; grafikoak

antzekoak izango dira.

Askotan, lerro poligonala erabiltzen da; hau da,

zutabeen goiko oinarrien erdiko punutak lotzen dituen

lerroa.

Sektore diagrama

Seguru askotan ikusi duzula eskuinekoa bezalako

grafiko bat: sektore diagrama. Sektore baten angelu

zentralak hau neurtzen du (gradutan):

Sektoreen azalerek aldagaiaren balioaren

maiztasunak adierazten dituzte. Bada, sektoreen

azalerak eta maiztasun horiek zuzenki proportzionalak

dira.

Piktogramak

Makina batean zer edari aukeratu diren adierazten da

irudiko piktograman.

Piktograma da grafiko mota bat, barrak erabili

beharrean maiztasunarekiko proportzionala den irudi

bat erabiltzen duena; irudiaren tamaina

maiztasunarekiko proportzionala da. Aldagai

kualitatiboak adierazteko erabiltzen dira gehienetan.


360·maiztasuna/datuen kopurua

Halla P(x)+Q(x) y 2·P(x)-Q(x)

P(x)=x4+x3+3x

Q(x)=2x3+x2-4x+5

P(x) 1 1 0

3

0

2·P(x) 2 2 0 6 0

Q(x) 2

1

-

4

5

Q(x) 2

1

-4

5

P(x)+Q(x)

1 3 1 -

1

5

2·P(x)-Q(x)

2 0 -

1

10 -

5

P(x)+Q(x)=x4+3x3+x2-x+5

2·P(x)-Q(x)=2x4-x2+10x-5

¿Cuál es el grado del cociente

al dividir un polinomio de grado

5 entre otro de grado 2? El grado del cociente es el grado

del dividendo, 5, menos el del

divisor, 2, luego 3

Multiplica P(x)=x3+6x2+4x-6

por Q(x)= x3+3x2+5x-2


ARIKETA ebatziak

4. Egin barra diagrama ariketako datuekin:

Banatu altuerak 10cmko tarteetan, 150etik 200era. Marratu lerro poligonala.

Inkesta batean, zapaten zenbakia galdetu da. Marraztu sektore diagrama lortutako

datuekin.

Erantzunak

5. Aztertu grafikoak, eta erantzun horiei buruz egiten zaizkizun galderak:

Erantzunak

6. Aztertu piktograma hau:

Erantzuna



ARIKETA ebatziak

7. Erantzun grafikoari buruz egiten zaizkizun galderak:

Erantzunak


Erantzunak


Erantzunak



3. Ausazko esperimentuak

Gertakariak . Lagin-espazioa

Sorta batetik karta bat ateratzerakoan, txanpon bat

edo dado bat jaurtitzerakoan, edo antzeko beste

egoeretan, ezin dugu aurretiaz jakin zer gertatuko

den. Ausazko espermientua da emaitza aurrez jakin

ezin dena; hau da, zoriaren araberakoa dena. Hemen,

ausazko esperimentuak aztertuko ditugu. Ausazko esperimentu batean, izan daitezkeen emaitza

guztiek lagin-espazioa osatzen dute, eta izan

daitekeen emaitzetako bakoitza oinarrizko gertakaria

deitzen da. Gertakari bat da lagin-espazioko azpimultzo

bat (oinarrizko hainbat gertaerak osatua,

beraz); oinarrizko gertaera horietako edozein

betetzen bada, gertakaria bera ere betetzen

dela esaten da.

Gertakari ziurra da beti gertatzen den gertakaria:

lagin-espazioa bera.

Zuhaitz-diagramak

Zein izango da lagin-espazioa dado bat birritan

jaurtitzen badugu? Eta poltsa batetik bi bola ateratzen

badira? Horrelakoetan, zuhaitz-diagramak erabiltzen

dira oinarrizko gertakariak zehazteko. Txanpon bat bi aldiz jaurtiko dugu. Oinarrizko

gertakariak:

Gertakarien bildura

Baliokideak dira "edo" disjuntzioa eta A eta B

gertakarien bildura. A gertakaria bada "bikoitia

ateratzea" dadoa jaurtitzean, eta B gertakaria "3ren

multiploa ateratzea": A={2, 4, 6} B={3, 6} Bildura gertakaria, AUB, A edo B gertatzen denean

betetzen da: AUB={2, 3, 4, 6}

Eta ebakidura, A eta B gertatzen direnean:

A B={6}

Adibidean, 3 elementu ditu A-k; 2 elementu B-k; A B-k 1; eta AUB-k 4 elementu.


AUB da A "edo" B

A B da A "eta" B

Halla P(x)+Q(x) y 2·P(x)-

Q(x)

P(x)=x4+x3+3x

Q(x)=2x3+x2-4x+5

P(x) 1 1 0 2·P(x) 2 2 0 6 0


ARIKETA ebatziak

10. Erabaki beheko gertakarietatik zeintzuk bete diren eta zeintzuk ez:

Erantzuna: Ez, Bai, Bai, Ez, Bai, Ez.

11. Lau bolako kutxa batetik, bi bola ateratzen dira jarraian itzulerarik gabe. Irudikatu

zuhaitz-diagrama, eta esan oinarrizko zenbat gertakari dauden.

12. Irudikatu Venn-en diagramak:

1. A = 2ren multiploak

B = 4ren multiploak


B = 2ren multiploak


B = 5en multiploak

Erantzunak



4. Probabilitatea

20 aldiz jaurti

1.020 aldiz jaurti

100.000 aldiz jaurti

Zer da probabilitatea?

Esperimentu bat askotan egiten denean, baliteke A

gertakari bat B beste gertakari bat baino nabarmen

gehiagotan gertatzea. Orduan, esaten da A gertakaria

B baino probableagoa dela.

Irudian, dado bat 20, 1.020 edo 100.000 aldiz jaurti,

eta zenbait gertakariren maiztasunak ikus ditzakegu.

1.000 jaurtialdi baino gehiago egiten ditugunean,

maiztasun erlatibo berdintsua dute oinarrizko

gertakariek. Jaurtialdi asko eta asko eginda, ez dira

ia-ia aldatzen maiztasun erlatiboak.

Emaitzak ikusita, zuzena da esatea 2 ateratzeko

probabilitatea 1/6 dela?

Gertakari baten probabilitatea, 0tik 1era (edo %100

era) arteko zenbaki bat da. Probabilitatea 0 bada,

ezinezko gertakaria da; eta 1 bada, gertakari

ziurra.

Laplaceren erregela Esperimentu baten oinarrizko gertakari guztiek

probabilitate bera badute (ekiprobableak badira), A

gertakari jakin baten probabilitatea honela

kalkulatzen da: gertakari horren oinarrizko

gertakarien kopurura (aldeko kasuak) zati oinarrizko

gertakari guztien kopurua (kasu posibleak).

Laplaceren erregela esaten zaio adierazpen horri.

Kontuz! Laplaceren erregela aplikatzeko, oinarrizko

gertakari guztiek ekiprobableak izan behar dute.




ARIKETA ebatziak

13.

Erantzuna

14. Dadoak

Dado bat jaurtiko dugu. Zein da batekoa

ateratzeko probabilitatea?

Bi dado jaurtiko ditugu. Zein da

gutxienez 1 bat ateratzeko probabilitatea?

15. Txanponak Bi txanpon jaurtiko ditugu. Zein da

gutxienez buzti bat ateratzeko

probabilitatea?

Hiru txanon jaurtiko ditugu. Zein da

Gutxienez bi buzti ateratzeko

probabilitatea?


Praktikatzeko

1. Deskribatu grafikoko populazioa eta

aldagaia(k). Esan zein motatakoak

diren: kuantitatiboak edo

kualitatiboak.

a) Unibertsitate ikasketak dituzten 20 urteko

edo gehiagoko gizonezkoak (2007)

b) Emakumenzkoen portzentajea irakasten

duten mailaren arabera (2005-06)

c) Unibertsitatean irakasten duten emakumezkoen

portzentajea kategoriaren arabera (2005-06)

2. Zenbatu datuok, eta adierazi taula

batean:

1 3 3 1 0 2 2 4 3 2 1 4 2 1 0

3. Egin sektore diagrama bat taulako

datuekin: x Gorria Berdea Urdina Horia Turkesa Guztira

m 2 1 3 4 5 15

4. Egin barra diagrama bat taulako

datuekin: x Gorria Berdea Urdina Horia Turkesa Guztira

m 3 3 5 4 5 20

5. Bete portzentajeen taula: x Gorria Berdea Urdina Horia Turkesa Guztira

m 3 4 2 3 8 20

%

6. Bete taula. Horretarako, kontuan izan

gorrien portzentajea % 15 dela. x Gorria Berdea Urdina Horia Turkesa Guztira

m 3 2 5 7

7. Zein da gorriz

adierazitako

aldagaiari

dagokion

portzentajea?

8. Zer erkidegotan deuseztatu ziren

ezkontza gehien 1.000 biztanleko?

Murtzian, 1.370.306 biztanle zeuden

2006an. Kalkulatu zenbat ezkontza

deuseztatu ziren urte horretan.



9. Hiru seme-alaba edo gehiago dituzten

gizonezkoen ehuneko zenbatek egiten

du lan? Eta emakumeen kasuan?

Badu eraginik seme-alaben kopuruak

gizonezkoen okupazio tasan? Eta

emakumezkoenean?

10. Zenbat biztanle egon ziren lanean

2007ko laugarren hiruhilekoan?

Zenbatek jardun zuten lanaldi

partzialean tarte horretan?

11. Irudian, ikus dezakezu kolore

bakoitzeko dauden gozokien kopurua.

Zein da gozoki gorria hartzeko

probabilitatea?

12. Zein da dado

berdea

ateratzeko

probabilitatea?

13. A={1, 5, 7, 8, 9} B={3, 4, 5, 8, 9}

Kalkulatu AUB eta A B

14. Kutxa batean, lau bola daude.

Kutxatik, bi bola ateratzen dira

jarraian itzulerarekin. Irudikatu

zuhaitz-diagrama, eta esan oinarrizko

zenbat gertakari dauden. Eta

itzulerarik gabe egiten bada?

15. Zein da grafikoko kutxatik

a) bola bat b) 2 zenbakia duen bola

bat c) gorria eta 2 zenbakia duena d)

gorria edo 2 zenbakia duena

ateratzeko probabilitatea?

16. Sari bat zozkatuko dute 12 lagunen

artean. Horretarako, 0tik 11ra arteko

zenbakiak banatuko dituzte, eta

hamarrekoa aterako dute ezkerreko

kutxatik. Ateratako bolaren

zenbakiaren arabera, batekoaren

balioa ezkerreko kutxatik edo

eskuinekotik aterako dugu. Berdina

izango da denontzat sarituak izateko

probabilitatea?

Zozketa bidezkoa izango da 20

lagunen artean zozketa egiten bada

0tik 19ra arteko zenbakiak banatuz?

17. Penalti bat jaurtitzerakoan bi

gertakari izan ditzakegu: “gol” edo “ez

gol”. Gol izateko probabilitatea ½ da?

18. Partida hasi aurretik, talde

bakoitzaren atea zein izango den

erabakitzen da. Horretarako, txanpon

bat jaurtitzen da. A taldeari

hegoaldeko atea egokitzeko

probabilitatea ½ da?

19. Zein da hiru dado jaurtitzean batura 4

izateko probabilitatea? Eta 5 izateko?



Gehiago jakiteko

Estatistika deskribatzailea, Estatistika Inferentziala Pierre-Simon Laplace 1749 – 1827

Antzeko ekintzak dira ezkerreko irudiari begiratzea eta populazio baten lagin bat hartzea. Hasieran, ezer esaten ez dizuten datuen multzo bat duzu buruan. Joan 3m atzera, eta begiratu berriz irudiari. Informazio gehiago jasotzen hasiko zara, eta, seguruenik, hobeto ulertuko duzu zer adierazten den irudian. Irudia bere osotasunean ikusteko, lagineko datuen inferentzia bat egin duzu. Horra estatistikaren tekniken helburua, estatistika deskribatzailea

eta inferentziala bereizten dituena. Hau da, populazioaren laginak

hartzea, eta datuak ondorioztatzea.

Imagen original

Laplace baino lehen Cardanoren liburua

Kalitate kontrola

Zer da kalitatea? Ilarak ekiditea, produktu onak eskaintzea... Kalitate kontrola estatistikaren atal bat da.

Ipar Amerikan, XX. mendeko bigarren hamarkadan, metodo estatistikoak hasi ziren erabiltzen produkzio-prozesuak hobetzeko. Zer da kalitatea?

Ikus ditzagun adibide batzuk:

Inori ez dio graziarik egiten produktu jakin bateko 1kg-eko pakete bat erostera doanean

950g-ko batekin aurkitzeak.

Ezta honelako zerbaiten aurrean ere: mezularitza enpresa batek pakete bat entregatzeko batez besteko denbora 40 minutukoa dela esaten duenean, eta gurea 4 ordutara ailegatzen

denean.

Ilara bakarrera murriztu dute banketxeetako leihatiletarako ilaren kopurua. Bezeroen batez besteko itxaronaldia murrizteko egin ote dute? Ez; batez besteko denbora ez da aldatu, baina,

horrela jokatuta, ez da gertatzen ilara batekin baino gehiagorekin gertatzen zena: bezero batzuek beste batzuek baino gehiago itxaron behar zutela.

Emaitzen homogeneotasuna izaten da normalean kalitaterako gakoa. Homogeneotasun hori lortzeko, emaitzen dispertsioa neurtu, eta aztertu egiten ditu estatistikak.

Iturria: http://www.isftic.mepsyd.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2001/estadistica/index2.htm


Gerolamo Cardano (1501-1576) hil eta gero, Liber de Ludo Alae

(Zori-jokoen liburua) aurkitu zuten haren eskuizkribuen artean:

probabilitatea bakarrik lantzen duen lehenengo obra da, eta 1663.

urtean argitaratu zen. Obra horretan, Cardanok probabilitatearen lehenengo hurbilketa bat aurkezten du proportzioen bidez.


Gogora ezazu

garrantzitsuena

Estatistika

Jakin behar duzu: aldagai kualitatiboen eta

kualitatiboen zenbaketa egiten, maiztasunen

eta graduen taulak kalkulatzen, eta sektore-,

barra-diagramak edo lerro poligonalak

irudikatzen.

Probabilitatea

Lagin-espazioa lortzeko, oinarrizko gertakariak zeintzuk diren

aztertzen da. Zuhaitz-diagramak erabiltzen dira oinarrizko gertakariak

zehazteko.

A edo B gertatzen denean betetzen da AUB. A eta B gertatzen

denean betetzen da A B

Laplaceren erregela aplikatzeko,

oinarrizko gertakari guztiek

ekiprobableak izan behar dute.



Autoebaluazioa

1. Zein da 3 zenbakiaren maiztasuna?

5 2 1 1 3 2 2 3 4 4 5 3 1 1 4 3 4 1 4 1 1 4 1 1 5.

2. Balio jakin baten maiztasuna 49 da, eta maiztasun erlatiboa

0,98. Kalkulatu laginaren tamaina; hau da, datuen guztizko kopurua.

3. Zenbat gradukoa da aldagaiaren 5 balioa adierazten duen diagrama baten sektorea? 1 1 2 5 4 3 2 1 2 1 3 2 4 3 5 2 2 3 1 4 2 5 2 2 1 1 3 3 2 5 .

4. Zein da 72ºko sektoreak adierazten duen aldagaiaren

balioaren maiztasun erlatiboa?

5. Datu berdinak adierazten dituzte ezkerreko diagrama biek.

Barretako bat txarto dago. Zein zenbakiri dagokio barra hori?

6. Kutxa batean, 6 bola daude. Oinarrizko zenbat gertakari egon daitezke kutxatik 3 bola jarraian eta itzulerarekin ateratzen baditugu?

7. Kutxa batean, 1etik 50era arteko zenbakiak dituzten bolak daude. Bola bat aterako dugu. A gertakaria: "14ren zatitzailea atera". B gertakaria: "6ren zatitzailea atera".

Zenbat elementu ditu AUB-k?

8. Kutxa batean, 1etik 29ra arteko zenbakidun bolak daude. Bola bat aterako dugu. A gertakaria: “5en multiploa atera”. B gertakaria: “3ren multiploa atera”. Oinarrizko zenbat

gertakari ditu A B -k?

9. Zein da sorta batetik karta bat ateratzerakoan batekoa lortzeko probabilitatea?

10. A taldeak B-ren kontra jokatzen duen partidaren emaitza

posibleak 1, x, 2 dira. "1" izatearen probabilitatea 1/3 da?



Praktikatzeko ariketen erantzunak

1. .

2. .

4. 5.

6. Guztira=20; turkesa3 7. 10.

8. Zeuta eta Melilla; 4124tik 4796ra

arte.

9. % 90; % 50; gizonezkotan ia ez du

eraginik. Emakumezkoetan bai.

10. 20200000; 2300000.

11. 12/22 = 6/11

12. 3/15 = 0,2

13. AUB = {1, 3, 5, 7, 8, 9};

A B = {5, 8, 9}

14. 16; itzul. gabe 12.

15. a 5/11; b 5/11; c 2/11; d 8/11.

16. 12 badira, 10ak eta 11k besteek

baino probabilitate handiagoa dute; 20 badira, denek dute probabilitate berdina.

17. Ez, gertakariak ez dira

ekiprobableak.

18. Bai, gertakariak ekiprobableak dira.

19. Guztira 43/216; Guztira 5

6/216.

Bidali jarduerak tutoreari

Populazioa Aldagaiak

a 2007an, 20 urte

edo gehiago

zituzten

espainiarrak

Sexua: kualitatiboa

Adina: kuantitatiboa

Unibertsitate ikasketak,

bai edo ez: kualitatiboa

b 05-06 ikasturteko

irakasle espainiarrak

Irakasten duten ikasketa

mota: kualitatiboa Sexua: kualitatiboa

c b-n bezala Lan postuaren kategoria eta sexua: kualitatiboak

x 0 1 2 3 4

f 2 4 4 3 2

% 15 20 10 15 40


AUTOEBALUAZIOAren erantzunak

1. 4

2. 50

3. 48

4. 0,2

5. 3

6. 216

7. 6

8. 1

9. 0,1

10. Ez, ez dira ekiprobableak.

12agrega.educacion.es/.../1quincena12.pdf · Ikasle guztiei galde diezaiekegu (lagin exhaustiboa),...

Documents

Transcript of 12agrega.educacion.es/.../1quincena12.pdf · Ikasle guztiei galde diezaiekegu (lagin exhaustiboa),...