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Im´ agenes y preim´agenes (r ep as o) Objetivos. Repasar las definiciones y propiedades elementales de im´ agenes y preim´agenes de conjuntos bajo mapeos. Requisitos. Operaciones con conjuntos y sus propiedades, operaciones con familias de conjuntos y sus propiedades. Pre im´ ag enes 1. Definici´ on (preimagen de un conjunto bajo un mapeo). Sea f : X → Y y sea B ⊂ Y . La preimagen (o la imagen inversa ) de B bajo f es f −1 [B] = {x ∈ X : f (x) ∈ B }. 2. Preimagen del conjunto vac´ ıo. Sea f : X → Y . Entonces f −1 [∅] = ∅. 3. Propiedad mon´ otona de la preimagen. Sea f : X → Y y sean B 1 ⊂ B 2 ⊂ Y . Entonces f −1 [B 1 ] ⊂ f −1 [B 2 ]. 4. Preimagen de la uni´ on de dos conjuntos. Sea f : X → Y y sean B 1 , B 2 ⊂ Y . Entonces f −1 [B 1 ∪ B 2 ] = f −1 (B 1 ) ∪ f −1 (B 2 ). 5. Preimagen de la intersecci´on de dos conjuntos. Sea f : X → Y y sean B 1 ,B 2 ⊂ Y . Entonces f −1 [B 1 ∩ B 2 ] = f −1 [B 1 ] ∩ f −1 [B 2 ]. 6. Preimagen de la uni´on de una familia de conjuntos. Sea f : X → Y y sea (B i ) i∈J una familia de subconjuntos de Y . Entonces f −1 i∈J B i = i∈J f −1 [B i ]. 7. Preimagen de la intersecci´on de una familia de conjuntos. Sea f : X → Y y sea (B i ) i∈J una familia de subconjuntos de Y . Entonces f −1 i∈J B i = i∈J f −1 [B i ]. 8. Preimagen del complemento. Sea f : X → Y y sea B ⊂ Y . Entonces f −1 [Y \ B] = X \ f −1 [B]. Im´ agenes y preim´ age nes (repas o), p´ agina 1 de 3
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Imagenes y preimagenes (repaso)
Objetivos. Repasar las definiciones y propiedades elementales de imagenes y preimagenesde conjuntos bajo mapeos.
Requisitos. Operaciones con conjuntos y sus propiedades, operaciones con familias deconjuntos y sus propiedades.
Preimagenes
1. Definicion (preimagen de un conjunto bajo un mapeo). Sea f : X Y y seaB Y . La preimagen (o la imagen inversa) de B bajo f es
f1[B] = {x X : f(x) B}.2. Preimagen del conjunto vaco. Sea f : X Y . Entonces
f1[] = .
3. Propiedad monotona de la preimagen. Sea f : X Y y sean B1 B2 Y .Entonces
f1[B1] f1[B2].4. Preimagen de la union de dos conjuntos. Sea f : X Y y sean B1, B2 Y .Entonces
f1[B1 B2] = f1(B1) f1(B2).5. Preimagen de la interseccion de dos conjuntos. Sea f : X Y y sean B1, B2 Y . Entonces
f1[B1 B2] = f1[B1] f1[B2].6. Preimagen de la union de una familia de conjuntos. Sea f : X Y y sea (Bi)iJuna familia de subconjuntos de Y . Entonces
f1[iJ
Bi
]=iJ
f1[Bi].
7. Preimagen de la interseccion de una familia de conjuntos. Sea f : X Y ysea (Bi)iJ una familia de subconjuntos de Y . Entonces
f1[iJ
Bi
]=iJ
f1[Bi].
8. Preimagen del complemento. Sea f : X Y y sea B Y . Entoncesf1[Y \B] = X \ f1[B].
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Imagenes
9. Definicion (imagen de un conjunto bajo un mapeo). Sea f : X Y y seaA X. La imagen del conjunto A bajo el mapeo f es
f [A] = {y Y : x A f(x) = y}.10. Sea f : X Y , sea A X y sea p A. Entonces
f(p) f [A].11. Imagen del conjunto vaco. Sea f : X Y . Entonces
f [] = .
12. Propiedad monotona de la imagen. Sea f : X Y y sean A1 A2 X.Entonces
f [A1] f [A2].13. Imagen de la union de dos conjuntos. Sea f : X Y y sean A1, A2 X.Entonces
f [A1 A2] = f [A1] f [A2].14. Imagen de la union de una familia de conjuntos. Sea f : X Y y sea (Ai)iJuna familia de subconjuntos de X. Entonces
f
[iJ
Ai
]=iJ
f [Ai].
15. Imagen de la interseccion de dos conjuntos. Sea f : X Y y sean A1, A2 X.Entonces
f [A1 A2] f [A1] f [A2].16. Construya un par de conjuntos X, Y , una funcion f : X Y y un par de conjuntosA1, A2 X tales que
f [A1 A2] 6= f [A1] f [A2].17. Sea f : X Y una funcion inyectiva y sean A1, A2 X. Entonces
f [A1 A2] = f [A1] f [A2].18. Imagen del complemento. Sea f : X Y y sea A X. Entonces
f [X \ A] Y \ f [A].Dar un ejemplo cuando f [X \ A] 6= Y \ f [A].19. Tarea adicional. Que condicion acerca de la funcion f garantiza que f [X \ A] =Y \ f [A] para todo A X?. Es suficiente que f sea suprayectiva?. Es suficiente que fsea inyectiva?.
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Imagen de la preimagen
20. Sea f : X Y y sea B Y . Entonces
f [f1[B]] B.
21. Construya un par de conjuntos X, Y , una funcion f : X Y y un conjunto B Ytales que
f [f1[B]] 6= B.
22. Sea f : X Y una funcion suprayectiva y sea B Y . Entonces
f [f1[B]] = B.
Preimagen de la imagen
23. Sea f : X Y y sea A X. Entonces
A f1[f [A]].
24. Construya un par de conjuntos X, Y , una funcion f : X Y y un conjunto A Xtales que
A 6= f1[f [A]].
25. Sea f : X Y una funcion inyectiva y sea A X. Entonces
A = f1[f [A]].
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