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Ecuaciones de recurrenciaDemostraciones por inducción

IMD-IS. Recursión

Emmanuel Briand

ETSII. Universidad de Sevilla.

Curso 2011�2012

Emmanuel Briand IMD-IS. Recursión


Dos descripciones para la misma sucesión

De�nición implicita

(Ecuación de recurrencia y condiciones iniciales)un+2 = un+1 + un + 3n para cualquier n ≥ 0

u0 = 1

u1 = 2

Formula explicita

un =3√5 + 5

10

(1 +

√5

2

)n5− 3

√5

10+

(1−

√5

2

)n

+1

53n

para cualquier n ≥ 0.



Ecuación de recurrencia lineal

Ecuación con termino independiente

un+2 = un+1 + un + 3n para cualquier n ≥ 0

Solución general

un = A

(1 +

√5

2

)n

+B

(1−

√5

2

)n

+1

53n, para cualquier n ≥ 0



Ecuación de recurrencia lineal

Ecuación homogenea asociada

un+2 = un+1 + un para cualquier n ≥ 0

Solución general de la ecuación homogenea

un = A

(1 +

√5

2

)n

+ B

(1−

√5

2

)n

, para cualquier n ≥ 0



Ecuación de recurrencia a coef. constantes

De�nición

un+k = a0un + a1un+1 + a2un+2 + · · ·+ ak−1un+k−1 + g(n)

para cualquier n ≥ p (1)

k = orden de la ecuación.

a0, a1, . . . , ak−1 = coe�cientes de la ecuación.

g = término independiente de la ecuación.

Ecuación homogénea: cuando g = 0



Descripción de la solución general

La solución general de una ecuación de recurrencia lineal a

coe�cientes constantes es la suma de una solución particular suya

(cualquiera) y de la solución general de la ecuación de recurrencia

homogénea asociada.

Consecuencia: método

1 Resolver la ecuación homogénea asociada.

2 Hallar una solución particular de la EC.

3 Hacer la suma.



Solución general de la homogénea: ejemplos

Ecuación de recurrencia

un+2 − 5un+1 + 6un = 0

Ecuación característica

r2 − 5r + 6 = 0 es decir (r − 2)(r − 3) = 0

Solución general

(A 2n + B 3n)n





un+3 − 10un+2 + 31un+1 − 30un = 0


r3 − 10r2 + 31r − 30 = 0 es decir (r − 2)(r − 3)(r − 5) = 0

Solución general

(A 2n + B 3n + C 5n)n





un+3 − 7un+2 + 16un+1 − 12un = 0


r3 − 7r2 + 16r − 12 = 0 es decir (r − 2)2(r − 3) = 0

Solución general

(A 2n + B n 2n + C 3n)n





un+3 − 6un+2 + 12un+1 − 8un = 0


r3 − 6r2 + 12r − 8 = 0 es decir (r − 2)3 = 0

Solución general

(A 2n + B n 2n + C n2 2n)n



solución de la homogénea

Teorema

Sean r1, r2, . . . , rs todas las soluciones de la ecuación característica

de la EH, y m1, m2, . . . , ms sus multiplicidades respectivas:

EC = (r − r1)m1(r − r2)

m2 · · · (r − rs)ms

Entonces una base de soluciones de la EH es:

(rn1) (n rn

1) (n2 rn

1) · · · · · · · · · (nm1−1 rn

1)

(rn2) (n rn

2) (n2 rn

2) · · · (nm2−1 rn

2)

...

(rns ) (n rns ) (n2 rns ) · · · · · · (nms−1 rns )



Ecuaciones que sabrémos resolver

un+k = a0un + a1un+1 + a2un+2 + · · ·+ ak−1un+k−1 + g(n)

para cualquier n ≥ p (2)

con g(n) = rn(c0 + c1n + c2n2 + · · ·+ cdn

d ).

Teorema

La ecuación admite una única solución de la forma (rnnmQ(n))n≥pcon:

Q polinomio de grado d (es decir

Q = •nd + •nd−1 + · · ·+ •n + •).m la multiplicidad de r cómo raíz de la ecuación característica

de la EH asociada (m = 0 si r no es raíz)



Solución particular: ejemplos


un+··· + · · ·+ · · · un = 5

Termino independiente g(n)

g(n) = 5 = 1n · (5)

Solución particular a buscar

rnnmQ(n) =

1n · n0 · A si 1 no es raíz de la EC

1n · n1 · A si 1 es raíz simple de la EC

1n · n2 · A si 1 es raíz doble de la EC...





un+··· + · · ·+ · · · un = 7n


g(n) = 7n = 7n · (1)


rnnmQ(n) =

7n · n0 · A si 7 no es raíz de la EC

7n · n1 · A si 7 es raíz simple de la EC

7n · n2 · A si 7 es raíz doble de la EC...





un+··· + · · ·+ · · · un = n


g(n) = n = 1n · (n)


rnnmQ(n) =

1n · n0 · (An + B) si 1 no es raíz de la EC

1n · n1 · (An + B) si 1 es raíz simple de la EC

1n · n2 · (An + B) si 1 es raíz doble de la EC...





un+··· + · · ·+ · · · un = n2 + 3n + 1


g(n) = n2 + 3n + 1 = 1n · (n2 + 3n + 1)


rnnmQ(n) =

1n · n0 · (An2 + B n + C ) si 1 no es raíz de la EC

1n · n1 · (An2 + B n + C ) si 1 es raíz simple de la EC

1n · n2 · (An + B n + C ) si 1 es raíz doble de la EC...





un+··· + · · ·+ · · · un = 2n(n2 + 3n + 1)


g(n) = 2n · (n2 + 3n + 1)


rnnmQ(n) =

2n · n0 · (An2 + B n + C ) si 1 no es raíz de la EC

2n · n1 · (An2 + B n + C ) si 1 es raíz simple de la EC

2n · n2 · (An + B n + C ) si 1 es raíz doble de la EC...



El principio de superposición:ejemplo

ecuación una solución

un+2 − 2 un+1 + 3 un = 5n + 1 + 3n ?

vn+2 − 2 vn+1 + 3 vn = 5n + 1 vn = (n + 1)/2

wn+2 − 2wn+1 + 3wn = 3n wn = 3n/6

un+2 − 2 un+1 + 3 un = 5n + 1 + 3n vn + wn = (n + 1)/2 + 3n/6



El principio de superposición

Si v es una solución de

un+··· + · · ·+ · · · un = f (n)

y w es una solución de

un+··· + · · ·+ · · · un = g(n)

entonces v + w es una solución de

un+··· + · · ·+ · · · un = f (n) + g(n)



Inducción

Para demostrar al mismo tiempo P(N), P(N + 1), P(N) . . .

Inducción (simple)

Basta demostrar:

1 P(N) (caso base)

2 y que para cualquier n ≥ N: P(n) ⇒ P(n + 1).

Inducción completa

Basta demostrar:

1 P(N) (caso base)

2 y que para cualquier n > N:

P(N) ∧ P(N + 1) ∧ · · · ∧ P(n − 1) ⇒ P(n).


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