IMÁGENES FRACTALES ¿CÓMO SE HACEN? · 2008. 6. 15. · la gráfica de f(x) •Nos movemos...

SISTEMAS DINÁMICOS

SISTEMAS DINÁMICOS UNIDIMENSIONALES

Sistema dinámico = Recurrencia

x0 → x1 → x2 → x3 → x4········f f f f

Problemas: •Hacia donde evoluciona la órbita de x0según iteramos f.

•Como varía este comportamiento segúnvaría el punto inicial

•La ecuación de Maltusxk+1 = xk + d xk = (1+d) xk =c xk .

Solución: xk =ck x0. •La curva de Verhulst

xk+1 = xk + d xk(1- xk)=(1+d) xk - d xk2La población máxima admisible es 1 (normalizando). Si se pasa de 1 el crecimiento se hace negativo.

•La parábola logística de May

xk+1 = c(1- xk) xk.

Ejemplos de sistemas dinámicos

1,1.25,1.5625,1.953125,2.4414062,3.05175781,3.81469726,4.76837158,5.96046447,7.45058059,9.31322574,11.6415321,14.5519152,18.1898940,22.7373675,28.4217094,35.5271367,44.4089209,55.5111511,69.3889389,86.7361737,108.420217,135.525271,169.406589,211.758236,264.697796,330.872245,413.590306,516.987882,646.234853,807.793566,1009.74195,1262.17744,1577.72181,1972.15226,2465.19033,3081.48791,3851.85989,4814.82486,6018.53107,7523.16384,9403.95481,11754.9435,14693.6793,18367.0992,22958.8740,28698.5925,35873.2407,44841.5508,56051.9386,70064.9232,87581.1540,109476.442,136845.553,171056.941,213821.176,267276.471,... → ∞

Si xk+1=xk+0.25xk = 1.25xk, para x0=1 se obtieneAlgunos cálculos

1,0.75,0.5625,0.421875,0.3164062,0.23730468,0.1779785156,0.1334838867,0.1001129150,0.0750846862,0.0563135146,0.0422351360,0.0316763520,0.0237572640,0.0178179480,0.0133634610,0.0100225958,0.00751694685,0.00563771014,0.00422828260,0.00317121195,0.00237840896,0.00178380672,0.00133785504,0.00100339128,0.00075254346,0.000564407595,0.000423305696,0.000317479272,0.00023810945,0.000178582090,0.000133936568,0.00010045242,0.000075339319,0.000056504489,0.00004237836,0.000031783775,0.000023837831,0.00001787837,0.000013408780,0.000010056585,0.00000754243,0.000005656829,0.000004242621,... → 0

Si xk+1=xk-0.25xk = 0.75xk, para x0=1 se obtieneAlgunos cálculos

0.75,0.046875,0.011169433593,0.002761169336,0.0006883863201575175,0.0001719781111079343,0.0000429871336593085299989340515355,0.0000107463214414120716856412916155,0.00000268655148949688738320380729340,0.000000671636067984495416314901905875,0.000000167908904222371899660288287527,0.0000000419772190072429456256570833410,0.0000000104943043112890075109046634555,0.00000000262357605028964613324140329980,0.000000000655894010851623710396995870855,0.000000000163973502605356689231491497321,0.000000000040993375644617344918705645092,0.000000000010248343910734222017991,... → 0

Si xk+1 = 0.25 (1- xk) xk, para x0=0.75 se obtieneAlgunos cálculos

0.3333333333333333333,0.8888888888888888888,0.3950617283950617284,0.9559518366102728242,0.1684316907668762969,0.5602498252491506198,0.9854798342297872498,0.0572373222248731686, 0.2158448446775968347,0.6770233908148037284, 0.8746508764177170517,0.4385468831977460203,0.9848940577411541184,0.0595110110692731829,0.2238778025231441105,0.6950261282422087962,0.8478592372114141141,0.5159758043467725043,0.9989790947018945790,0.0040794522019108850,0.0162512410865728378,0.0639485529988756988,0.2394365422729027386,0.7284267379891967940,0.7912849014864593527,0.6606124246640946797,0.896814596174,...

Si xk+1 = 4 (1- xk) xk, para x0=1/3 se obtieneAlgunos cálculos

saltamos 1000 términos...,

0.9744108786922241935,0.0997372727138869626,0.3591589965819308070,0.9206552470247656876, 0.2921966526021334323,0.8272710752409663280, 0.5715745732424870259,0.9795083218606234410, 0.0802870770656350231,0.2953642492875672233, 0.8324968381214362733,0.5577834105569896086, 0.9866443098576095273,0.0527092627328437062,0.1997239854200150394,0.6393372602718426376, 0.9223405115997471334,0.2865139690466554279, 0.8176948583511504130,0.5962799079089698985,0.9629207173321611022,0.1428176378587095985,0.4896830407006723094,0.9995742414032640635, 0.0017023093054129675,0.0067976457937666879, 0.0270057512217166961,... → ¿?

Si xk+1 = 4 (1- xk) xk, para x0=1/3 se obtieneAlgunos cálculos

Análisis gráfico

La órbita de cualquier punto en [0,1) tiende a 0

Sea f(x)=x2

•Empezamos en un punto p en el eje OX. •Nos movemos verticalmente hasta intersecarla gráfica de f(x)

•Nos movemos verticalmente - hacía arriba o hacía abajo - hasta intersecar la gráfica de f(x).

•Nos movemos horizontalmente hasta intersecar la diagonal y=x.

•Se repiten los pasos 3 y 4 para generar nuevos puntos.

Análisis gráfico

>analisisgrafico:=proc(f,p,n,d,e)>local p0,p1,a,l,k,b,p2;>p0:=plot([[p,0]],x=d..e,d..e,style=point,symbol=BOX);>p1:=plots[display]([plot(f,x=d..e,y=d..e,color=blue),

plot(x,x=d..e,y=d..e,color=black,linestyle=4)]):> a:=evalf(p);> l:=[[a,0]];> for k from 1 to n do;> b:=f(a);> l:=[op(l),[a,b],[b,b]];> a:=b;> od; > b:=f(a); l:=[op(l),[a,b]]: > p2:=plot(l,d..e,d..e,style=line,color=red):> plots[display]({p0,p1,p2},scaling=constrained);> end:

Análisis gráfico

Sea L:I⊂IR→IR una aplicación lineal, esto es, L(x)=a·x con a∈IR. La órbita de 1 es

La órbita de un punto genérico p es 1, a, a2, a3, a4, a5, a6, ...

p, a ·p, a2 ·p, a3 ·p, a4 ·p, a5 ·p ...

Dinámica de las aplicaciones lineales

excepto para p=0 que se tiene

Si a=1: p, p, p, p, p, p, ... → p0, 0, 0, 0, 0, 0 ... → 0

Si |a|1: p, a ·p, a2 ·p, a3 ·p, a4 ·p, a5 ·p, ... → ∞

Si a=-1: p, -p, p, -p, p, -p, ... oscilaexcepto para p=0 que se tiene

0, 0, 0, 0, 0, 0 ... → 0

Dinámica de las aplicaciones lineales

Análisis gráfico para f(x)=ax (0

Análisis gráfico para f(x)=ax (-1

Análisis gráfico para f(x)=ax (a>1)

La órbita de cualquier punto de IR tiende a en módulo a ∞

Análisis gráfico para f(x)=ax (a

Análisis gráfico para f(x)=ax (a=1)

Cualquier punto de IR es invariante

Análisis gráfico para f(x)=ax (a=-1)

El punto 0 es invariante.La órbita de cualquier punto de IR-{0} es p→-p→p

Puntos fijosSea f:I⊂IR→IR.

ξ es un punto fijo de f si f(ξ)= ξ.

Teorema. Sea f:I⊂IR→IR continua.Si la órbita de un punto converge a un punto ξ, ξ ha de ser un punto fijo.

ξ es un punto eventualmente fijo fk+1(ξ)=fk(ξ).

Puntos fijos atractivosSea f:I⊂IR→IR.

existe un entorno U de ξ tal que, para todo x∈U, lim fk(x)=ξ.(ξ atrae las órbitas de los puntos de un entorno)

ξ es un punto fijo atractivo de f si:

El conjunto {x∈I | lim fk(x)=ξ} es la cuenca de atracción de ξ.

Ejemplo de puntos fijos atractivos

f(x)=x3

La cuenca de atracción de 0 es (-1,1)

Caracterización de puntos fijos atractivos

Teorema. Si f∈C1(I) y |f´(ξ)|

Puntos fijos repulsivosSea f:I⊂IR→IR.

ξ es un punto fijo repulsivo de f si:existe un entorno U de ξ tal que, para todo x∈U-{ξ}, existe k tal que fk(x)∉U.(ξ repele las órbitas de los puntos de un entorno)

Teorema. Si f∈C1(I) y |f´(ξ)|>1 entonces ξ es un punto fijo repulsivo.

Ejemplo de punto fijo repulsivo

f(x)=x(1/3)

0 repele todos los puntos de (-1,1)

Puntos fijos indiferentesSi f∈C1(I) y ξ es un punto fijo tal que |f´(ξ)|=1 entonces x es un punto fijo indiferente.

Teorema. Si f∈C1(I) y ξ es un punto fijo indiferente tal que |f´(x)|

Ejemplo de punto fijo indiferente atractivo

f(x)=x-x3

La cuenca de atracción de 0 contiene a (-1,1 )

Puntos fijos indiferentes repulsivos

Teorema. Si f∈C1(I) y ξ es un punto fijo indiferente tal que |f´(x)|>1 para los x cercanos a ξ, entonces ξ es un punto fijo indiferente repulsivo.

f(x)=x+x3

Ejemplo de punto fijo indiferente repulsivo

0 repele todos los puntos de IR

Puntos fijos indiferentes

Ejercicio. ¿Qué ocurre si f∈C1(I) y ξ es un punto fijo indiferente tal que f´(x)=1, 0ξ?

Puntos periódicosSea f:I⊂IR→IR.ξ es un punto periódico de f si ∃k t.q. fk(ξ)= ξSe llama periodo de ξ al menor k t.q. fk(ξ)= ξ

Todos los puntos del ciclo {ξ, f(ξ),..., fk-1(ξ)} sonperiódicos de periodo kξ es eventualmente periódico si existen p y k tales que fk+p(ξ)= fp(ξ)

ξ es k-periódico si y solo si ξ es punto fijo de fk

Puntos periódicos atractivos (repulsivos)Sea f:I⊂IR→IR.ξ es un punto k-periódico atractivo (repulsivo) de f si y solo si ξ es un punto fijo atractivo (repulsivo) de fk.

La cuenca de atracción de {ξ, f(ξ),..., fk-1(ξ)}es el conjunto {x∈I | lim (fk)n(x)∈ {ξ, f(ξ),..., fk-1(ξ)}}

Si f es continua, todos los puntos del ciclo {ξ, f(ξ),..., fk-1(ξ)} son atractivos (o repulsivos) simultáneamente.

Teorema. Si f∈C1(I) y ξ es un punto k-periódico tal que |(fk)´(ξ)|1, entonces x es un punto k-periódico repulsivo.

Puntos periódicos atractivos (repulsivos)

Ejemplo de ciclo atractivo

f(x)=-x1/3

Cuenca de atracción:IR-{0}

f(x)=-x3

Ejemplo de ciclo repulsivo

El ciclo {-1,1} repele todos los puntos deIR-{0,1,-1}

Los puntos fijos indiferentes son poco frecuentes, aunque en familias de sistemas dinámicos siempre aparecerán para alguna aplicación. Su aparición lleva emparejada cambios bruscos de comportamiento (bifurcaciones).

Bifurcaciones

Bifurcación tangente (fc(x)=x2+c).

f0.4(x)=x2+0.4

f0.25(x)=x2+0.25


f0.1(x)=x2+0.1


Bifurcación transcrítica (fc(x)=c·x·(1-x))

f0.75(x)=0.75·x·(1-x)

f1(x)=x·(1-x)


f1.5(x)=1.5·x·(1-x)


Bifurcación horca (fc(x)=c·(x+x3))

f0.7(x)=0.7·(x-x3)

f1(x)=(x-x3)


f1.3(x)=1.3·(x-x3)


Sea f:[a,b]→IR continua tal que f([a,b])⊃[a,b]. Entonces f tiene al menos un punto fijo.

a ba

b

Teorema del punto fijo

Teorema de Sarkovskii

Sea f: IR→IR continua y supongamos que f tiene un punto periódico de periodo r.Entonces, para todo k5>7>.....>2*3>2*5>2*7>.............

.............>4*3>4*5>4*7>.....>8>4>2>1, f tiene algún punto periódico de periodo k.

Teorema de Li y Yorke (Periodo 3 implica caos).Sea f:IR→IR continua y supongamos que f tiene un punto periódico de periodo 3. Entonces f tiene puntos periódicos de todos los periodos.

Caso r=3 (Li y Yorke: Periodo 3 implica caos)

I1 I1

I0I0


Supongamos a

I1 I1

I0I0I0I0I0I0

A0

A1

An-1An-2


Cada par de Ai´s tienen a lo sumo un punto común

I1 I1

I0I0I0I0I0I0

A0

A1

An-1An-2


A lo sumo un Ai contiene a b y otro a c

Existe f : IR → IR continua con un 5-ciclo sin 3-ciclos

f3([3,4])=[0,3]

f3([0,1])=[1,4]f3([1,2])=[2,4]f3([2,3])=[0,4]

Solo puede existir un 3-ciclo en [2,3] pero ahí f3 es decreciente

porque


Aplicaciones topológicamente conjugadasSea f:D → D un sistema dinámico.

f

D E

h

h-1

x

f (x)

Sea E otro espacioy sea h:D → E un homeomorfismo.

f

D E

h

h-1 y

h-1(y)

f h-1(y)

h f h-1(y)

g=h f h-1

Sea g:E → E, dada por g(y)=hfh-1(y).Entonces g es un sistema dinámico.

Aplicaciones topológicamente conjugadas

f

D E

h

h-1 y

h-1(y)

f h-1(y)

h f h-1(y)

g=h f h-1

Como g=hfh-1⇒gn=hfnh-1⇒la órbita de y por g es la imagen por h de la órbita de (h-1(y)) por f. Como f=h-1gh ⇒ fn=h-1gnh⇒la órbita de x por f es la imagen por h-1de la órbita de h(x) por g.


f

D E

h

h-1 y

h-1(y)

f h-1(y)

h f h-1(y)

g=h f h-1

Si a es un punto k-periódico de f, entonces h(a) es un punto k-periódico de g. Si además h´ no se anula en la órbita de a ⇒ (gk)´(h(a))= (fk)´(a). En particular, a y h(a) tienen el mismo carácter.


f

D E

h

h-1 y

h-1(y)

f h-1(y)

h f h-1(y)

g=h f h-1

Se dice que f y g sin topológicamente conjugadas e inducen dinámicas equivalentes.


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