La derivada es uno de los conceptos más importantes de las matemáticas. Técnicamente la derivada expresa el incremento de una magnitud con respecto a otra de ahí entonces que estaríamos hablando El uso de las derivadas y sus aplicaciones es muy variado, las derivadas son útiles en economía, psicología, medicina, administración, ingienería, electricidad, electrónica, termodinámica, mecánica, biología etc.

Se utilizan para la optimización de recursos para tratar de ocupar el mínimo de espacio, tiempo o materiales en algo o maximizar su espacio; en medicina para obtener un cálculo aproximado de la velocidad de virus o bacterias, etc. En física, donde la primera derivada se utiliza para la velocidad y la segunda derivada para la aceleración. En definitiva, las derivadas se suelen utilizar para relacionar dos magnitudes, en la vida cotidiana se usan con mucha frecuencia y a veces sin darnos cuenta.

Derivadas en la vida cotidiana.

3. Cuando vas al supermercado y descubres que subieron el precio de los tomates, esa variación en el precio con respecto al mes pasado la puedes representar por una derivada.

1. Cuando vas en un auto y este acelera, esa variación de la velocidad en un determinado tiempo, lo puedes representar por una derivada.

2. Cuando prendes el calefactor y tu habitación comienza a calentarse, esa variación de temperatura respecto al tiempo la puedes representar por una derivada.

Como la derivada expresa el cambio Instantáneo que experimenta una variable con respecto a otra variable. En la física, las derivadas son útiles en el momento en que las empleas para definir la velocidad promedio en cualquier cuerpo en relación al tiempo.

Aplicación de las Derivadas en la física.

Aplicación de las Derivadas en la física.

En una rueda moscovita que da una vuelta cada dos minutos, se desea saber la velocidad con la que se eleva un pasajero en el instante que se encuentra a 54 pies por encima del suelo

Aplicación de las Derivadas en la física.

Cuando se lanza un cohete al espacio, los científicos encargados de esta operación requieren saber cuál es la velocidad instantánea del cohete y cuál es su velocidad después de 40 segundos, para estos dos ejemplos es necesaria la derivada

Aplicación de las Derivadas en la Ingeniería Industrial.

Dentro de la rama de la Ingeniería Industrial, los máximos y mínimos juegan un papel muy importante. Cuando hablamos a nivel de industrias, se necesita saber la cantidad exacta que debemos de producir con el fin de no obtener pérdidas, es así por ejemplo en la industria de las pinturas los ingenieros sacan el máximo que podría contener un recipiente con el objetivo de no malgastar el material y a su vez poder maximizar sus ganancias.

Otras aplicaciones de las derivadas.

1. En mecánica se ocupan para calcular inercias, velocidades, aceleraciones, y por lo tanto fuerzas internas y externas que actúan en un mecanismo. Eso es sólo lo básico, porque claro que ocupas el cálculo y demasiado en las ingenierías.

2. En electrónica, se utiliza para modelar la corriente en circuitos eléctricos, ya que el voltaje es la derivada de la corriente.

3. En química, se usa para calcular la vida media (periodo de descomposición) de los isótopos radiactivos).

4. En meteorología, pueden usarse las ecuaciones diferenciales (una extensión de las derivadas) para predecir sistemas caóticos.

Ejercicios Resueltos.

La resistencia eléctrica 𝑅 de un alambre de cobre de longitud constante es inversamente proporcional al cuadrado de su diámetro 𝐷. ¿Cuál es la razón de cambio de 𝑅 respecto de 𝐷?

2 2 3

L dR d 1 dR 1R L 2L

D dD dD D dD D

Donde 𝐿 es constante de proporcionalidad

Una escalera de 20 pie de largo está apoyada contra la pared de un edificio, la base de la escalera se desliza horizontalmente a razón de 2 pies por segundo. ¿Con qué rapidez resbala el otro extremo de la escalera cuando se encuentra a 12 pie del suelo?

e

2 2 2

2 2 2 2

dx pie dy2 ; ?

dt s dt

dyy 12 pie

dt

dx dy dy dx dy dxx y 20 2x 2y 0 2y 2x

dt dt dt dt dt dt

x 400 y x 400 12 x 16 y 12 Pto (16,12 )

cambio de la altura del extremo superior cuando

Se deja caer una piedra en un lago en calma, lo que provoca ondas y círculos. El radio 𝑟 del círculo exterior

está creciendo a un ritmo constante de 1𝑝𝑖𝑒

𝑠. Cuando

el radio es de 4 pies, ¿a qué ritmo está cambiando el área 𝐴 de la región circular perturbada?

2

2

dr pieA r ( área de un círculo ) : 1

dt s

dA dr dA pie2 r 2 4 pie 1

dt dt dt s

dA pie8

dt s

Ya sabemos que la expresión 𝑑𝑦

𝑑𝑡 denota la razón de cambio

de la variable 𝑦 con respecto al tiempo 𝑡, teniendo así una amplia gama de problemas que se pueden traducir en

término de una derivada. Interesa ahora determinar 𝑑𝑦

𝑑𝑥 en

el caso que la variable 𝑦 está relacionada con otra variable 𝑥, y además se conoce algo acerca de la razón de cambio de 𝑥 con respecto a 𝑡. Aparece entonces la siguiente función compuesta:

𝑦 = 𝑓 𝑥 ; 𝑥 = 𝑔(𝑡) De modo que al aplicar la regla de la cadena, se tiene

𝑑𝑦

𝑑𝑡=

𝑑𝑦

𝑑𝑥∙

𝑑𝑥

𝑑𝑡

Problemas de Variables Ligadas.

Ejercicios Resueltos.

Una tolva con forma de cono recto circular invertido de radio de base 𝑅 y una altura 𝐻 está siendo llenada con líquido con un gasto constante 𝑄 = 0,5 𝑚3 por minuto. A medida que se produce el llenado el nivel del líquido en la tolva sube. Si 𝑅 = 2 𝑚 y 𝑕 = 3 𝑚. Calcula esa rapidez, e indica el valor de la velocidad cuando la altura del líquido en la tolva es de 1,5 𝑚.

22 3

2

2

R rPor la relación de triángulos :

H h

R h Rr V r h h

H 3 3 H

dV R

dt 3

23

H

2 22

2

2

2 2

3 2

2 2

dh dV R h dhh

dt dt H dt

dV dh Q Hpero Q

dt dt R h

m0,5 3mdh m dh cmmin

0,16 16dt min dt min2m 1,5m

Un hombre situado a 100 metros del pie del asta de una bandera, comienza a caminar en línea recta hacia el pie del

asta 𝑄 a razón de 10𝑚

𝑠. Si el asta mide 70 metros de alto.

Encontrar la variación por unidad de tiempo ante el hombre y la bandera cuando han transcurrido 2 segundos.

2 2 2 dz dx dyz x y 2z 2x 2y

dt dt dt

dx dyx y

dz dx m dydt dtpero : 10 ; 0

dt z dt s dt

dx mx' t x' 10 2s x' 20m

dt s

dis tancia entre el hombre y el pie del asta a los 2 segun

2 2

dos es :

x 100 x' x 100m 20m x 80m

luego z 80m 20m z 10 113m

m80m 10

dz dz 80 ms

dt dt s10 113m 113

1. Una escalera de 8 metros de largo está apoyada contra un muro. Si su base resbala a razón de un metro por segundo, ¿con qué rapidez resbalará la parte superior de la escalera cuando su base está a 5 metros del muro?

2. Un tanque cilídrico de 10 pies de radio

se llena con trigo a razón de 314𝑝𝑖𝑒𝑠3

𝑚𝑖𝑛.

¿Qué tan rápido se incrementa la profundidad del trigo?

Ejercicios Propuestos.

3. Un tanque de agua tiene la forma de un cono circular recto de 12 metros de alto y 6 metros de radio en la base. Si se suministra agua al tanque a razón de

2𝑚3

𝑚𝑖𝑛. ¿Qué tan rápido sube el nivel

cuando el agua tiene 5 metros de profundidad?

4. Un globo esférico está siendo inflado en tal forma que su

volumen aumenta a razón de 5𝑚3

𝑚𝑖𝑛. ¿Con qué velocidad

aumenta el radio cuando este tiene 12 metros?

5. Dos automóviles, uno de los cuales se dirige hacia el

este a razón de 90𝑘𝑚

ℎ y el otro hacia el sur a razón de

60𝑘𝑚

ℎ viajan hacia una intersección de dos carreteras.

¿A qué velocidad se acercan en el instante en que el primer automóvil se encuentra a 200 metros y el segundo a 150 metros de la intersección?