DESIGUALDADES

Intervalos

Sean a y b dos números reales tales que a < b. entonces el intervalo abierto de a a b, denotado por (a, b), es en conjunto de todos los números reales x situados entre a y b.

(a, b) = {x l x es un número real y a < x < b}

El intervalo cerrado de a a b, denotado por [a, b] es el conjunto de todos los números reales situados entre a y b pero también incluye a estos.

[a, b] = {x l x es un número real y a ≤ x ≤ b}

Intervalos semicerrados o semiabiertos se definen de la manera siguiente:

(a, b] = {x l a < x ≤ b}

[a, b) = {x l a ≤ x < b}

Desigualdades lineales de una variable

Es una desigualdad en la variable x que solo tiene dos tipos de términos, términos constantes o términos que son múltiples constantes de la variable x.

Si el símbolo es > o <, se dice que es estricta.

Si el símbolo es ≥ o ≤, se dice que es débil.

Regla 1.

Cuando el mismo número real se suma o se resta a ambos lados de una desigualdad, el sentido de la desigualdad no se altera.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Ejemplo: si a > c y c es cualquier número real, entonces

a + c > b + c y a – c > b – c

Regla 2.

El sentido de la desigualdad se preserva si ambos lados se multiplican (o dividen) por el mismo número positivo y se invierte cuando se multiplican (o dividen) por el mismo número negativo.

Ejemplo: si a > b y c es cualquier número positivo, entonces

ac > bc y 𝑎

𝑐 > 𝑏

𝑐

Propiedades de las desigualdades.

Propiedad Ejemplos

1) Si a<b y b<c, luego a<c 2) Si 2<5 y 5<9, luego 2<9 3) Si a<b, luego a+c < b+c y

a-c < b-c 4) Si 2<7, luego 2+3 < 7+3 y

2 - 3 < 7 – 3. 5) Si a<b y c>0, luego ac<bc y

a/c < b/c. 6) Si 2<3 y 3>0, luego 2.3<5.3 y

2/3 < 5/3. 7) Si a < b y c<0, luego

ac>bc y a/c > b/c 8) Si 2 < 5 y -3<0, luego

2 (-3)>5(-3) y 2/-3 > 5/-3

Desigualdades cuadráticas de una variable

Una desigualdad cuadrática es una desigualdad de la forma

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 (o bien < 0)

o bien,

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0 (o bien ≤ 0)

En donde a, b y c son constantes determinadas (a ≠ 0).

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

EJEMPLOS

1.- Solución de una desigualdad -3x + 4 < 11

Solución.

-3x + 4 < 11.

(-3x + 4) – 4 < 11 -4 Restar 4

-3x < 7 Simplificar

-3x / -3 > 7/-3. Dividir entre -3 invertir signo de desigualdad.

X > -7/3. Simplificar.

2.- Resuelve la desigualdad 4x -3 < 2x +5

(4x – 3) + 3 < 2x + 5

Solución

4x – 3 < 2x + 5 dado

(4x – 3) + 3 < (2x + 5) + 3 sumar 3

4x < 2x + 8 Simplificar

4x -2x < (2x – 8) – 2x restar 2x

2x < 8 simplificar

2x/2 < 8/2 dividir entre 2

X < 4

3.- Solución de una desigualdad continúa.

-5 ≤ 4𝑥−3𝑥

2 y 4𝑥−3𝑥

2< 1

-5 ≤ 4𝑥−3𝑥

2 < 1 dado

-10 ≤ 4 − 3𝑥 < 2 multiplicar por 2

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

-10 - 4 ≤ − 3𝑥 < 2 − 4 restar 4

-14 ≤ − 3𝑥 < −2 simplificar

-10 - 4 ≤ − 3𝑥 < 2 − 4 restar 4 −14

−3

≥ −3𝑥>

−3

−2

−3 dividir entre -3; invertir los signos de desigualdad

14

3

≥ 𝑥> 2

3 simplificar

2

3

≥ 𝑥> 14

3 desigualdad equivalente

4.- Solución de una desigualdad racional

1

𝑥−2 > 0;

La solución son todos los números del intervalo (2,∞), y se ve de la siguiente manera. X > 2.

5.- Resuelve la desigualdad 2x2 – x < 3

2x2 – x < 3 dado

2x2 – x < 3 igual a un lado a 0

(x + 1 ) ( 2x -3 ) < 0 factorizar

(- ∞. -1), (-1, 3/2), y (3/2,∞)

Valores absolutos

Si x es un número real, entonces el valor absoluto de x, denotado por l x l, se define por

l x l = { 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥0

−𝑥 𝑠𝑖 𝑥<0}

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Ejemplo: l 2x – 3 l = 5

2x – 3 = 5 o bien 2x – 3 = -5

2x = 5 + 3 2x = -5 + 3

2x = 8 2x = -2

x = 8/2 x = -2/2

x = 4 x = -1

Ejercicios:

a) Utilice el método de lista para describir los conjuntos siguientes:

1.- El conjunto de todos los enteros menores que 5 y mayores que -2.

2.- El conjunto de todos los primos menores que 20.

a) Utilice le método de la regla para describir los conjuntos siguientes:

1.- {1, 3, 5, 7, 9,..., 19}

2.- {1, 1

2,

1

3,

1

4,...}

b) Resuelva las desigualdades siguientes:

1.- 5 + 3x < 11 4.- (x – 2) (x – 5) < 0

2.- 5x + 7 > 31 – 3x 5.- 9x > x2 + 14

3.- 3 (2x – 1) > 4 + 5 (x – 1) 6.- y (2y + 1) > 6

Ejercicios:

Resuelve las ecuaciones siguientes para x.

1.- |3 − 7𝑥| = 4 6.- |2𝑥 − 3| + 7 = 4

2.- |2𝑥 + 5| = 7 7.- |𝑥 − 3| + 7 = 0

3.- |𝑥 + 2| = |3 − 𝑥| 8.- |2𝑥 + 1| + |3𝑥 − 2| = 0

4.- |2𝑥+1

3| = |3𝑥 − 7| 9.- | 𝑥−3

3𝑥−5| = 6

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

5.- |3𝑥 − 2| = 4 − 𝑥 10.- |−5𝑥−2

𝑥+3| = 3

Clasificación de funciones.

Una función puede considerarse como una correspondencia de un conjunto X de números reales x a un conjunto Y de números reales y, donde el número y es único para cada valor especifico de x.

El conjunto de todos los valores admisibles en x se les denomina dominio de la función, y a el conjunto de los valores resultantes de y recibe el nombre de contradominio de la función.

Función constante: si f (x) = c, y c es cualquier número real, entonces f es una función constante y su grafica es una recta horizontal a una distancia dirigida de c unidades a partir del eje x.

Función identidad: función lineal particular definida por f (x) = x

Función polinomial: si una función f se define por 𝑥𝑛 y n es un numero entero no negativo, entonces recibe el nombre de función polinomial de grado n.

𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1

Función racional: la función puede expresarse como el cociente de dos funciones polinomiales.

𝑓(𝑥) =𝑥2

𝑥3

Función radical: La variable x se encuentra bajo el signo de radical (√)

𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1

Función racional – radical: 𝑓(𝑥) = √𝑥2

𝑥3

Función algebraica: formada por un número finito de operaciones algebraicas, las funciones polinomiales, racionales y radicales son un tipo particular de función algebraica.

𝑓(𝑥) =(𝑥2 − 3𝑥 + 1)3

√𝑥4 + 1

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Ejemplos

1. Función radical f(x) = √𝑥 − 1

2. Función lineal f(x) =2x + 3

3 y = 2x + 3

Rango (0, ∞)

Rango (0, ∞)

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Terminología Definición Interpretación gráfica

f es creciente en un intervalo I

f (x1) < f(x2) siempre que x1 < x2

f es decreciente en un intervalo I

f(x1) > f(x2) siempre que x1 < x2

f es constante en un intervalo I

f(x1) = f(x2) siempre que x1 y x2

Funciones pares e impares

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Terminología Definición Ejemplo Simetría de gráfica

f es una función par

f(-x) = f(x) y = f(x) = x2 Eje y

f es una función non

f(-x) = - f(x) y = f(x) = x3 El origen

Ejemplo 1:

Determina del tipo de función (par o impar)

Determina si f es par, non o ninguna de las dos.

f(x) = 3x4 – 2x2 + 5.

f(-x) = 3(-x)4 – 2(-x)2 + 5

= 3x4 – 2x2 +5

Dado que f(-x) = f(x), f es una función par.

Ejemplo 2:

f(x) = 2x5 – 7x3 + 4x

f(-x) = 2(-x)5 – 7(-x)3 + 4(-x)

-2x5 + 7x3 - 4x

Dado que f(-x) = -f(x), f es una función non.

Ejemplo 3:

f(x) = x3 + x2

f(-x) = (-x)3 + (-x)2

f(-x) = -x3 + x2

f(-x) =-f(x), f es una función non.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

Ejemplo 4:

f(x) = │x│

f(-x) = -x

es non cuando x es positiva.

f(-x) = -(-x) =x

es par cuando x es negativa.

Ejemplo 5:

f(x) = x/x-1.

f(-x) =-x/-x-1.

Es non porque f(-x) = -f(x).

Ejercicios

Determina del tipo de función (par o impar)

Determina si f es par, non o ninguna de las dos.

1. f(x) =x2 + x +1/x

2. f(x) = x3 –x2 – x – 1

3. f(x) = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐

4. f(x) = −√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐

5. f(x) = x2-x / x3

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

ACTIVIDADES LUDICAS

JENGA

1.- Armar equipos de 5 integrantes y pedirles que lleven su jenga---.

2.- Darles las etiquetas que contienen fórmulas y gráficas de clasificación de

funciones. Asi mismo funciones con su nombre de acuerdo a clasificación

Función Gráfica

f(x) = x+1

f(x) = -x + 1

f(x) = x2 + 1

f(x) = √𝒙

Función Clasificación

f(x) = 𝟏

𝒙 Función racional

f(x) = x3+x2+x Función polinomial.

f(x) = = 𝟏

𝒙√𝒙 Función radical y racional.

f(x) = 𝒆𝟑𝒙 Función exponencial

f(x) = -x + 1000 Función lineal con pendiente negativa.

f(x) = -√𝒙𝟐 + 𝟒𝟐 Función radical con signo negativo

3.- Pegar las etiquetas en el juego de jenga.

4.- Empezar a jugar el clásico juego de jenga con el único plus que tienen

que ir sacando la función con su grafica o con su nombre clasificado.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

MEMORAMA CON DESIGUALDADES

-Se da el ejemplo a los jóvenes de cómo hacer el memorama.

En equipos de 5 integrantes encargarles un memorama y que ellos utilicen ejemplos dados para poder reforzar el tema.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

-3x + 4 < 11

4x - 3 < 2X + 5

1 / X-2

-5≤ 4X - 3X /2 < 1

2X2 - X < 3

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

x > -7/3

x < 4

X >2

2/3 ≥ X > 14/3

(x + 1)(2x - 3) < 0

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA