UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN

FACULTAD DE CS. FISICAS Y MATEMATICAS

LNB/MWC/ESF/JSA/esf.

INTRODUCCION A LA MATEMATICA UNIVERSITARIAEvaluación 1 - 520145 Pauta de Corrección

Problema 1: Determine el valor de verdad de cada proposición, justi�cando susa�rmaciones.p : 8x 2 R : x < 3! x2 <

1

9q : 9x 2 R : 2x2 � 3x+ 5 < 0r : t7 es el término independiente de x en el desarrollo del binomio

�x+

2

x2

�18.

Sol.- p es falsa porque 9 x = 2 tal que 2 < 3; pero x2 = 4 > 1

95 puntos

q es falsa porque el discriminante de la expresión cuadrática es 9 � 40 = �31 < 0por lo que 2x2 � 3x+ 5 > 0; 8x 2 R:O también: 2x2 � 3x + 5 = 2

�x2 � 3

2x+ 9

16+ 31

16

�= 2

��x� 3

4

�2+ 31

16

�> 0; 8x 2

R: 5 puntos

r es verdadera porque t7 =�186

�x18�6

�2

x2

�6=�186

�26 es término independiente de

x: 5 puntos(15 puntos)

Problema 2: Resuelva las siguientes inecuaciones en R:

a)x(x� 2)3� x < 2

Sol.-x(x� 2)3� x < 2() x(x� 2)

3� x � 2 < 0() x2 � 2x� 6 + 2x3� x < 0()

x2 � 63� x < 0()

�x�

p6� �x+

p6�

3� x < 0 6 puntos

S =��p6;p6�[ ]3;+1[ 4 puntos

b)

�����jx+ 2j � 1����� >jxj

Sol.- Si x � �2 :

�����jx+ 2j � 1����� >jxj () j�x� 2� 1j>jxj ()

jx+ 3j > jxj () (x+ 3)2 > x2 () (x+ 3)2 > x2 ()(x+ 3)2 � x2 > 0() 3 (2x+ 3) > 0() x > �3

2

S1 = ;Si x > �2 :�����jx+ 2j � 1

����� >jxj ()jx+ 2� 1j >jxj () jx+ 1j > jxj

() (x+ 1)2 > x2 () (x+ 1)2 � x2 > 0() 2x+ 1 > 0() x > �12

S2 =��12;+1

�Solución: S = S1 [ S2 =

��12;+1

�Por calcular jx+ 2j 3 puntosPor resolver las inecuaciones en ambos casos: 3 + 3 puntos.Solución �nal: 1 punto.

c)px+ 3�

p2� x � 1

Sol.- Restricciones: x > �3 ^ x 6 2; es decir, x 2 [�3; 2]3 puntosp

x+ 3�p2� x � 1()

px+ 3 6

p2� x+1() x+3 6 2�x+2

p2� x+1()

x 6p2� x 2 puntos

Si x 2 [�3; 0] la inecuación se cumple trivialmente. S1 = [�3; 0]2 puntos

Si x > 0; elevando al cuadrado: x2 6 2�x() x2+x�2 6 0() (x+ 2) (x� 1) 60() �2 6 x 6 1S2 = [0; 1] 2 puntosSolución: S = S1 [ S2 = [�3; 1] 1 punto

(30 puntos)

Problema 3: Usando Inducción Matemática, pruebe que la igualdad es válida paratodo n 2 N.

1 � 1! + 2 � 2! + 3 � 3! + ::::+ n � n! = (n+ 1)!� 1Con el resultado anterior, determine:

100Xk=55

(k � k!)

(15 puntos)Dem.- Veri�cación para 1: 1 punto.Plantear la Hip. de Inducción y la Tesis: 3 puntosDemostrar la Tesis: 5 puntosConclusión: 1 punto.

2

Por calcular la suma:P100k=55(k � k!) =

P100k=1(k � k!)�

P54k=1(k � k!) = 101!� 55!

5 puntos

3