8/7/2019 IMU - 2010 - CERT 2

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UNIVERSIDAD DE CONCEPCIONFACULTAD DE CIENCIAS

FISICAS Y MATEMATICAS

INTRODUCCION A LA MATEMATICA UNIVERSITARIA 520145Evaluacion 2

Problema 1. Sea x = 0. Considerando el binomio 3x3 5x220, determine (si existe):1.1) el lugar en el desarrollo del binomio dado del termino independiente de x. 5 puntos

1.2) el termino en el desarrollo de binomio dado que contiene x3. 5 puntos

Pauta de desarrollo: Aplicando el teorema de binomio se tiene

3x3 5x220 = 20

k=0

20k

(3x3)20k(5x2)k = 20

k=0

20k

320k(5)k x605k .

1.1) Sea Tk+1 =20k

320k(5)k x605k el termino independiente de x, con k {0, 1, ...,20}.

Entonces 60 5k = 0, de donde k = 12. As, el termino independiente de x en el desarrollo delbinomio dado ocupa el decimo tercer lugar.1.2) Sea Tk+1 =

20k

320k(5)k x605k el termino que contiene a x3, con k {0, 1, ...,20}.

Entonces 60 5k = 3, de donde k = 63/5 {0, 1,..., 20}. En consecuencia, no existe eltermino solicitado.Problema 2. Aplicando el principio de induccion matematica, demuestre que 10 puntos

n IN : n3 + 2n es divisible por 3.Pauta de desarrollo: Se define el conjunto de validez

S := {n IN : n3 + 2n es divisible por 3} .En lo que sigue, nuestro objetivo sera mostrar que S= IN.Primero: veamos que 1 S. En efecto, como 13 + 2(1) = 3 es divisible por 3, se concluye que1 S.Segundo: suponemos verdadera la hipotesis de induccion: m S, es decir m3 + 2m es divisiblepor 3.

Tercero: probamos la tesis de induccion: m + 1 S, es decir (m + 1)3

+ 2(m + 1) es divisiblepor 3. En efecto, tenemos

(m + 1)3 + 2(m + 1) = (m3 + 3m2 + 3m + 1) + 2m + 2 = (m3 + 2m) + 3(m2 + m + 1) ,

de donde, en vista que m3 + 2m es divisible por 3 (Hipotesis de induccion) y 3(m2 + m+ 1)tambien es divisible por 3, se deriva que m + 1 S.Finalmente, aplicando el principio de induccion matematica, se concluye que S= IN, es decir

n IN : n3 + 2n es divisible por 3.Problema 3. Considere la elipse E : x2 + 4y2 = 20. Determine las ecuaciones de todas lasrectas con pendiente -1, que cortan a la elipse dada en un unico punto. 15 puntos

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Pauta de desarrollo: La familia de rectas con pendiente -1 viene dada por L : y = x + b,con b R.Ahora, sea P(x, y) L E , entonces el par (x, y) es solucion del sistema

x2

+ 4y2

= 20 (1)y = x + b (2)

As, eliminando y del sistema, reemplazando (2) en (1), se deduce la ecuacion

x2 + 4(x + b)2 = 20 x2 + 4(x2 2bx + b2) = 20 5x2 8bx + (4b2 20) = 0 ,

la cual debe poseer dos races iguales por condicion. Para que esto ocurra, el discriminante dela ecuacion de segundo grado ultima debe ser cero.

(8b)2 4(5)(4b2 20) = 0 4b2 5(b2 5) = 0 b2 25 = 0 b {5, 5} .

Luego, las rectas buscadas son L1 : y = x 5 y L2 : y = x + 5.Problema 4. Consideremos las funciones

g : Dom(g) R Rx g(x) :=

x2

4 1,

f : ]1,+[ Rx f(x) := x2

4.1 Determine Dom(g), y defina, si existe, la funcion compuesta g f. 10 puntosPauta de desarrollo: Primero determinamos el dominio de g.

Dom(g) := {x R : ! y R : y =

x2

4 1} = {x R :

x2

4 1 R}

= {x R

:

x2

4 1 0} = =] ,2] [2,+[ .Veamos ahora si existe g f. Como

Dom(g f) := {x Dom(f) : f(x) Dom(g)} = {x ]1,+[ : x2 ] ,2] [2,+[}= {x ]1,+[ : x2 2 x2 2]} = = [2,+[= ,

se deduce que existe g f : [2,+[ R, definido por (g f)(x) = g(f(x)) =

x4

4 1,

x [2,+[.

4.2En forma analtica, justifique por que

gno es inyectiva, y discuta la sobreyectividad de

g.

Luego, restrinja g en forma conveniente para obtener una funcion biyectiva y determine lafuncion inversa asociada.

Pauta de desarrollo:Primero, como x1 = 2 , x2 = 2 Dom(g) =] ,2] [2,+[ son tales que x1 = x2y g(x1) = 0 = g(x2), se concluye que g no es inyectiva.

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Veamos ahora la sobreyectividad de g: el recorrido de g viene dado por

Rec(g) := {y R : x ] ,2] [2,+[ : y =

x2

4 1}=

{y

R :

x

]

,

2]

[2,+

[ : y

0y2 = x

2

4 1}=

y R : x ] ,2] [2,+[ : y 0

x = 2

1 + y2 x = 2

1 + y2

=

y R : y 0

2

1 + y2 2 2

1 + y2 2

=y R : y 0

y2 + 1 1

=

y R : y 0 y R

= [0,+[ ,

as se tiene Rec(g) = [0,+[= R = Cod(g), de donde se concluye que g no es sobreyectiva.

Consideramos ahora la restriccion de g|[2,+[, esto es en lo que sigue trabajaremos con lafuncion g : [2,+[ [0,+[ dada por g(x) =

x2

4 1 x [2,+[. Por lo discutidohasta ahora, se verifica que esta funcion (restringida) g resulta ser inyectiva y sobreyectiva.Luego g es biyectiva y por lo tanto admite funcion inversa g1 : [0,+[ [2,+[.Deduzcamos su regla de correspondencia.Sean y [2,+[, x [0,+[ tales que

y = g1(x) x = g(y) x =

y2

4 1

x2

=y2

4 1 y2 = 4(x2 + 1) |y| = 2x2 + 1 y = 2x2 + 1 (pues y 2 > 0)

Finalmente, la funcion inversa asociada a la restriccion de g especificada, es

g1 : [0 + [ [2,+[x g1(x) := 21 + x2

Observacion: Otra restriccion admisible para g es g|],2], es decir la funciong : ] ,2][ [0,+[ dada por g(x) = x24 1 x ] ,2]. En este caso, seprocede en forma analoga y se deduce que tambien es biyectiva, por tanto tiene inversa yesta es

g1 : [0 + [ ] ,2]x g1(x) := 21 + x2

GAC/RBP/ACQ/LNB/MOS/JLSA/ESF/MWC/rbp 24.05.2010