Calcular los incrementos de esfuerzos verticales debajo del centro y de una esquina de una zapata rectangular de 4x3 metros. Utilizar los mtodos basados en la teora de la elasticidad: Boussinesq, Westergaard y Frhlich. Comparar los resultados.

Para todos los mtodos utilizados se asume un q=100 kN/m

MTODO DE BOUSSINESQ

Considera que los esfuerzos se producen en un suelo idealizado como un medio homogneo, linealmente elstico e isotrpico, limitado por una sola frontera plana. = q*I2, bajo una esquina de la zapata. = q*(4 I2), bajo el centro de la zapata.

donde m=B/z n=L/z.L el largo (4m) de la zapata.B el ancho (3m) de la zapata.En la tabla 1 se presenta el clculo de bajo una esquina y en la tabla 2 bajo el centro hasta 35 metros de profundidad.

Tabla 1. con Boussinesq bajo una esquina.zm (B/z)n (L/z)Iz

13,0004,0000,24624,554

21,5002,0000,22422,361

31,0001,3330,19018,959

40,7501,0000,15515,474

50,6000,8000,12512,474

60,5000,6670,10110,072

70,4290,5710,0828,201

80,3750,5000,0686,753

90,3330,4440,0565,626

100,3000,4000,0474,742

110,2730,3640,0404,040

120,2500,3330,0353,476

130,2310,3080,0303,018

140,2140,2860,0262,642

150,2000,2670,0232,331

160,1880,2500,0212,070

170,1760,2350,0181,849

180,1670,2220,0171,662

190,1580,2110,0151,501

200,1500,2000,0141,361

210,1430,1900,0121,241

220,1360,1820,0111,135

230,1300,1740,0101,042

240,1250,1670,0100,960

250,1200,1600,0090,887

260,1150,1540,0080,822

270,1110,1480,0080,764

280,1070,1430,0070,712

290,1030,1380,0070,665

300,1000,1330,0060,622

310,0970,1290,0060,584

320,0940,1250,0050,548

330,0910,1210,0050,516

340,0880,1180,0050,487

350,0860,1140,0050,460

Tabla 2. con Boussinesq bajo el centro.zm (B/z)n (L/z)Iz

11,5002,0000,22489,445

20,7501,0000,15561,896

30,5000,6670,10140,287

40,3750,5000,06827,010

50,3000,4000,04718,966

60,2500,3330,03513,904

70,2140,2860,02610,570

80,1880,2500,0218,279

90,1670,2220,0176,646

100,1500,2000,0145,446

110,1360,1820,0114,540

120,1250,1670,0103,840

130,1150,1540,0083,289

140,1070,1430,0072,848

150,1000,1330,0062,489

160,0940,1250,0052,193

170,0880,1180,0051,947

180,0830,1110,0041,740

190,0790,1050,0041,565

200,0750,1000,0041,414

210,0710,0950,0031,284

220,0680,0910,0031,171

230,0650,0870,0031,073

240,0630,0830,0020,986

250,0600,0800,0020,909

260,0580,0770,0020,841

270,0560,0740,0020,780

280,0540,0710,0020,726

290,0520,0690,0020,677

300,0500,0670,0020,633

310,0480,0650,0010,593

320,0470,0630,0010,557

330,0450,0610,0010,524

340,0440,0590,0010,493

350,0430,0570,0010,466

MTODO DE WESTERGAARDEste mtodo es usado cuando se requiere calcular las presiones en un suelo compuesto por estratos de materiales finos y gruesos, capas alternadas de arcillas y arenas o medios isotrpicos.

Se asume que no habr deformaciones horizontales, por lo tanto, el coeficiente de Poisson es 0.

Para calcular el incremento de esfuerzos producido por una zapata rectangular, Westergaard plantea la siguiente expresin:

Donde:q= Carga transmitida.M=B/zN=L/za= (1-2)/(2-2)

Si se requiere calcular la distribucin de esfuerzos producida por una zapata cuadrada en su esquina, se toman las dimensiones de esta completa, es decir B=3m y L=4m. Para el caso donde el punto de inters es el centro de la zapata es necesario hallar el incremento de esfuerzos en uno de sus cuadrantes y posteriormente se multiplica por 4 para hallar los esfuerzos en el punto requerido. (B=1,5m y L=2m)

C

Tabla 3. con Westergaard bajo una esquina.zMNqv

13,0004,00020,397

21,5002,00016,255

31,0001,33312,824

40,7501,00010,124

50,6000,8008,055

60,5000,6676,481

70,4290,5715,281

80,3750,5004,359

90,3330,4443,643

100,3000,4003,080

110,2730,3642,631

120,2500,3332,270

130,2310,3081,975

140,2140,2861,733

150,2000,2671,531

160,1880,2501,361

170,1760,2351,218

180,1670,2221,096

190,1580,2110,990

200,1500,2000,899

210,1430,1900,820

220,1360,1820,751

230,1300,1740,690

240,1250,1670,636

250,1200,1600,588

260,1150,1540,545

270,1110,1480,507

280,1070,1430,472

290,1030,1380,441

300,1000,1330,413

310,0970,1290,387

320,0940,1250,364

330,0910,1210,343

340,0880,1180,323

350,0860,1140,306

Tabla 4. con Westergaard bajo el centro.zMNqv/4qv centro

11,5002,00016,25565,020

20,7501,00010,12440,497

30,5000,6676,48125,924

40,3750,5004,35917,438

50,3000,4003,08012,319

60,2500,3332,2709,079

70,2140,2861,7336,931

80,1880,2501,3615,446

90,1670,2221,0964,382

100,1500,2000,8993,597

110,1360,1820,7513,003

120,1250,1670,6362,543

130,1150,1540,5452,180

140,1070,1430,4721,889

150,1000,1330,4131,652

160,0940,1250,3641,457

170,0880,1180,3231,294

180,0830,1110,2891,157

190,0790,1050,2601,040

200,0750,1000,2350,940

210,0710,0950,2140,854

220,0680,0910,1950,779

230,0650,0870,1780,714

240,0630,0830,1640,656

250,0600,0800,1510,605

260,0580,0770,1400,560

270,0560,0740,1300,520

280,0540,0710,1210,483

290,0520,0690,1130,451

300,0500,0670,1050,421

310,0480,0650,0990,395

320,0470,0630,0930,371

330,0450,0610,0870,349

340,0440,0590,0820,329

350,0430,0570,0780,310

MTODO DE FRHLICH

Frhlich plantea una sola ecuacin para calcular ndices de influencia que dependen de las condiciones estratigrficas y mecnicas de compresibilidad del suelo. A partir de esto, Zeevaert propone ecuaciones para suelo homogneo, elstico e isotrpico, suelo con estratos horizontales indeformables y suelo con compresibilidad variable.

Figura 1. Factores de Frhlich segn el tipo de suelo.Si se quiere hallar el por el mtodo de Frhlich se usa la siguiente expresin:

El trmino se halla como lo indica la siguiente figura de acuerdo al tipo de suelo que se tenga (valor de )

Tabla 5. con Frhlich ( = 4) bajo una esquina.z0'12 (qI4)

11,14701,249024,797

21,01200,983023,620

30,87300,785021,113

40,75300,644018,009

50,65400,540015,000

60,57400,464012,401

70,51000,405010,270

80,45700,35908,562

90,41300,32207,199

100,37700,29106,110

110,34600,26605,234

120,31900,24504,523

130,29700,22703,940

140,27700,21103,459

150,25900,19703,058

160,24400,18502,721

170,23000,17502,435

180,21800,16502,190

190,20700,15701,980

200,19700,14901,799

210,18800,14201,640

220,17900,13601,502

230,17200,13001,380

240,16500,12401,272

250,15800,11901,176

260,15200,11501,090

270,14700,11101,014

280,14200,10700,945

290,13700,10300,882

300,13200,10000,826

310,12800,09600,775

320,12400,09300,728

330,12100,09100,686

340,11700,08800,647

350,11400,08600,611

Tabla 6. con Frhlich ( = 4) bajo el centro.z0'12 (qI4)

11,1071,1070,983-0,98395,375

20,7850,7850,644-0,64473,214

30,5880,5880,464-0,46450,324

40,4640,4640,359-0,35934,627

50,3810,3810,291-0,29124,643

60,3220,3220,245-0,24518,205

70,2780,2780,211-0,21113,905

80,2450,2450,185-0,18510,925

90,2190,2190,165-0,1658,789

100,1970,1970,149-0,1497,213

110,1800,1800,136-0,1366,020

120,1650,1650,124-0,1245,096

130,1530,1530,115-0,1154,368

140,1420,1420,107-0,1073,784

150,1330,1330,100-0,1003,309

160,1240,1240,093-0,0932,917

170,1170,1170,088-0,0882,591

180,1110,1110,083-0,0832,316

190,1050,1050,079-0,0792,082

200,1000,1000,075-0,0751,882

210,0950,0950,071-0,0711,709

220,0910,0910,068-0,0681,559

230,0870,0870,065-0,0651,428

240,0830,0830,062-0,0621,313

250,0800,0800,060-0,0601,211

260,0770,0770,058-0,0581,120

270,0740,0740,055-0,0551,040

280,0710,0710,054-0,0540,967

290,0690,0690,052-0,0520,902

300,0670,0670,050-0,0500,843

310,0640,0640,048-0,0480,790

320,0620,0620,047-0,0470,742

330,0610,0610,045-0,0450,698

340,0590,0590,044-0,0440,658

350,0570,0570,043-0,0430,621

Tabla 7. con Frhlich ( = 3) bajo una esquina.z0'12 (qI3)

11,14701,249024,374

21,01200,983022,231

30,87300,785018,912

40,75300,644015,478

50,65400,540012,496

60,57400,464010,096

70,51000,40508,223

80,45700,35906,770

90,41300,32205,639

100,37700,29104,752

110,34600,26604,048

120,31900,24503,482

130,29700,22703,023

140,27700,21102,646

150,25900,19702,334

160,24400,18502,072

170,23000,17501,851

180,21800,16501,663

190,20700,15701,502

200,19700,14901,363

210,18800,14201,242

220,17900,13601,136

230,17200,13001,043

240,16500,12400,961

250,15800,11900,888

260,15200,11500,823

270,14700,11100,764

280,14200,10700,712

290,13700,10300,665

300,13200,10000,622

310,12800,09600,584

320,12400,09300,549

330,12100,09100,516

340,11700,08800,487

350,11400,08600,460

Tabla 8. con Frhlich ( = 3) bajo el centro.z0'12 (qI3)

11,1071,1070,983-0,98390,466

20,7850,7850,644-0,64463,219

30,5880,5880,464-0,46441,055

40,4640,4640,359-0,35927,404

50,3810,3810,291-0,29119,174

60,3220,3220,245-0,24514,020

70,2780,2780,211-0,21110,638

80,2450,2450,185-0,1858,321

90,2190,2190,165-0,1656,674

100,1970,1970,149-0,1495,465

110,1800,1800,136-0,1364,553

120,1650,1650,124-0,1243,849

130,1530,1530,115-0,1153,296

140,1420,1420,107-0,1072,853

150,1330,1330,100-0,1002,493

160,1240,1240,093-0,0932,197

170,1170,1170,088-0,0881,950

180,1110,1110,083-0,0831,742

190,1050,1050,079-0,0791,566

200,1000,1000,075-0,0751,415

210,0950,0950,071-0,0711,285

220,0910,0910,068-0,0681,172

230,0870,0870,065-0,0651,073

240,0830,0830,062-0,0620,986

250,0800,0800,060-0,0600,910

260,0770,0770,058-0,0580,842

270,0740,0740,055-0,0550,781

280,0710,0710,054-0,0540,726

290,0690,0690,052-0,0520,677

300,0670,0670,050-0,0500,633

310,0640,0640,048-0,0480,593

320,0620,0620,047-0,0470,557

330,0610,0610,045-0,0450,524

340,0590,0590,044-0,0440,494

350,0570,0570,043-0,0430,466

BIBLIOGRAFA

BOWLES, Joseph E., FOUNDATION ANALYSIS AND DESIGN, Cuarta Edicin, Edicin McGraw- Hill Book Company, p 249-255.