Incrementos y diferenciales

Unincremento es la variaciónde unamagnitud , entredos valoresdeterminados .

Ejemplo :Cuando la variable x pasa de1a1.5 decimosque la variable x seincremento en0.5

∆ x=x2−x1Para funciones multivariables tenemos:∆ z=f ( x+∆ x , y+∆ y ,…. )−f ( x , y… .. )

Sí w=f ( x , y , z ,u…. ) , y ∆ x ,∆ y ,∆ z ,∆u….sonincrementos de x , y , z , u , ..las diferencialesde las variblesindependientes x , y , z , u ,…. son :

dx=∆ x ,dy=∆ y ,dz=∆ z ,du=∆u……….la diferencialtotal de la variables w es :

dw=∂w∂ x

dx+ ∂ w∂ y

dy+ ∂w∂ z

dz+ ∂w∂u

du…

dw=f x ( x , y , z , u…)dx+ f y ( x , y , z , u…)dy +f z ( x , y , z , u…)dy+ f u ( x , y , z , u…)du+…

Ejemplo1. Ladiferencial totaldz para z=x2 y+ y es :

dz= ∂ z∂ x

dx+ ∂ z∂ y

dy

dz= (2xy )dx+(x2+1 )dy

Ejemplo2. Ladiferencial total paraw=senxy+x2 y−2 z

dw=∂w∂ x

dx+ ∂ w∂ y

dy+ ∂w∂ z

dz

dw=( ycosxy+2xy )dx+(xcosxy+ x2 )dy−2dz

Ejemplo3. Estimar el cambio de z=x3 y−x y2+ y cuando ( x , y ) se desplazadesdeel punto (1,0 )hasta el punto (1.01,0.97 )dz= (3x2 y− y2 )dx+(x3−2 xy+1 )dy

remplazando ( x , y ) por (1,1 ) , dx=0.01 y dy=−0.03

dz=(3 (1 ) (1 )−(12 ))0.01+((13 )−2 (1 ) (1 )+1 ) (−0.03 )dz= (3−1 )0.01−(1−2+1 ) (−0.03 )

dz=∆ z=0.02

Ejemplo 4.Sehanmedido las dimensiones deunacajarectangular como (15,20 ,50 )conunacota deerror de ±1.0mm. Estimarmediante dV el error propagado y el

error relativo alcalcular el volumende la cajaencent imetros .El voumende lacaja esV=xyz

dV=∂V∂ x

dx+ ∂V∂ y

dy+ ∂V∂z

dz

dV= yzdx+xzdy+xydzComo0.1mm=0.01cm, vemosquedx=dy=dz=±0.01

Error propagado es apro ximadamentedV=(20 ) (50 ) (±0.01 )+ (15 ) (50 ) (±0.01 )+(15 ) (20 ) (±0.01 )

dV=±20.5cm3Comoel valor del volumen es

V= (15 ) (20 ) (50 )=15000cm3

el error relativo∆Vv

=dVV

= 20.515000

=0.0014=0.14%

Reglade la cadena−DerivadaimplicitaSeaw=f ( x , y )una funcióndiferenciable de xe y .

Sí x=g ( t ) e y=h (t ) sonfunciones derivables de t entonc es :dwdt

=∂w∂x

dxdt

+ ∂w∂ y

dydt

Ejemplo5.Sea w=x2 y− y2 , donde x=sent , y=et

Calculardwdt

Cuandot=0

Por la reglade la cadenatenemos :dwdt

=∂w∂x

dxdt

+ ∂w∂ y

dydt

dwdt

=2 xy (cos t )+ (x2−2 y )e t

Remplazando t=o , x=0e y=1dwdt

=0−2=−2

Ejemplo6.Dos cuerpos semueven por trayectoriascuyas ecuacionesparamétricas son :

Primer cuerpo{x1=4cos ty1=2 sent

Segundocuerpo{x1=2 sen2 ty1=3cos2 t

¿ A queritmo está cambiando la distancia entreellos cuando t=π?Aplicandola ecuacióndedistancia entre2 puntos

s=√(x2−x1 )2+( y2− y1)2

cuando t=π , tenemos x1=−4 , y1=0 , x2=0 , y2=3 , entonces :

s=√(0+4 )2+ (3−0 )2=5Cuando t=π las derivadas parciales de s son :

∂s∂ x1

=−(x2−x1)

√( x2−x1 )2+( y2− y1 )2=−15

(0+4 )=−45

∂s∂ y1

=−( y2− y1 )

√ (x2−x1)2+( y2− y1 )2

=−15

(3−0 )=−35

∂s∂ x2

=(x2−x1)

√( x2−x1 )2+( y2− y1 )2=−15

(0+4 )=45

∂s∂ y2

=( y2− y1 )

√ (x2−x1 )2+ ( y2− y1 )2=−15

(3−0 )=35

Cuando t=π , las derivadasde x1 , y1, x2e y2 son :

d x1dt

=−4 sent=0d y1dt

=2cos vt=−2

d x2dt

=4 cos2 t=4d y2dt

=−6 sen2 t=0

Por tanto ,dsdt

=

∂s∂ x1

∗d x1

dt+

∂s∂ y1

∗d y1

dt+

∂ s∂ x2

∗d x2

dt+

∂ s∂ y2

∗d y2

dtdsdt

=−45

(0 )+−35

(−2 )+ 45

(4 )+35

(0 )

dsdt

=225

Ejemplo7.hallar∂ w∂s

y∂w∂t

para w=2 xycon x=s2+t 2e y= st

Sustituyendo x e y obtenemosw=2 xy

w=2 ( s2+t 2 )( st )

w=2( s3

t+st )⇒ { ∂ w

∂s=2( 3 s

2

t+t)=6 s

2+2 t 2

t

∂w∂ t

=2(−s3

t 2+s)=2 s t

2−2 s3

t2

Ejemplo8.Dadow=xy+ yz+xzCalcular ∂w∂s

y∂w∂t

Cuando s=1 y t=2π

Sí x=s cost , y=s sent y z=t∂w∂s

=∂w∂x

∂x∂ s

+ ∂ w∂ y

∂ y∂ s

+ ∂w∂ z

∂ z∂ s

∂w∂s

=( y+z ) (cost )+( x+z ) ( sent )+ ( y+ x ) (0 )

∂w∂s

=( y+z ) (cost )+( x+z ) ( sent )

Cuando s=1 y t=2 π , x=1, y=0 y z=2 π remplazando∂w∂s

=(0+2π ) (cos2 π )+(1+2π ) ( sen2π )

∂w∂s

=(2 π ) (1 )+ (1+2π ) (0 )=2 π

∂w∂ t

=∂w∂x

∂x∂ t

+ ∂ w∂ y

∂ y∂ t

+ ∂w∂ z

∂ z∂t

∂w∂s

=( y+z ) (cost )+( x+z ) ( sent )+ ( y+ x ) (0 )

∂w∂s

=( y+z ) (−s sent )+( x+z ) ( scost )+( y+x)(1)

Cuando s=1 y t=2 π , x=1, y=0 y z=2 π remplazando∂w∂ t

=(0+2π ) (0 )+(1+2 π ) (1 )+(0+1)(1)

∂w∂s

=0+1+2π+1=2+2π

sí laecuación F ( x , y )=0define implicitamente a y como funciónderivable de x entonces :

dydx

=−F x ( x , y )F y ( x , y )

,Fx (x , y)≠0

Ejemplo 9.Hallardydx

,dado que y3+ y2−5 y−x2+4=0

Definiendo la funciónF tenemos :

F ( x , y )= y3+ y2−5 y−x2+4F x (x , y )=−2 x y F y ( x , y )=3 y2+2 y−5

dydx

=−F x ( x , y )F y ( x , y )

=−(−2 x )3 y2+2 y−5

= 2x3 y2+2 y−5

Ejemplo10.Hallar∂ z∂x

y∂ z∂ y

, sabiendoque 3x2 z−x2 y2+2 x3+3 yz−5=0

F ( x , y , z )=3 x2 z−x2 y2+2x3+3 yz−5F x (x , y , z )=6xz−2x y2

F y ( x , y , z )=−2 x2 y+3 z

F z ( x , y , z )=3 x2+6 z2+3 y∂ z∂ x

=−Fx

F z

=−6 xz−2 x y2

3 x2+6 z2+3 y= 2 x y2−6 xz3 x2+6 z2+3 y

∂ z∂ y

=−F y

F z

=−−2x2 y+3 z3 x2+6 z2+3 y

= 2 x2 y−3 z3 x2+6 z2+3 y

Ejercicios1. Hallar la diferencial total

A . z=3 x2 y3B . z= x2

yC . z= −1

x2+ y2D .z=ex seny

2.Calcular∆ z entre f (1,2 ) y f (1.05,2 .1 )

A . f ( x , y )=9−x2− y2B . f (x , y )=√ x2+ y2C . f ( x , y )=x seny

3. Al construir unconocircular rectode alturah=6 y radior=3 , secometen errores∆ r y ∆henel radio yen la altura , respectivamente .Completelatabla paramostrar la relaciónentre ∆V y dV paralos error es especificados .

∆ r ∆ h dV o ds ∆V o ∆s∆V−dV

o∆ s−ds

0.1 0.10.1 -0.1

0.001 0.002-0.0001 0.0002

5. Elradio r y la alturahdeuncilindro circular recto sem idencon erroresmáximos posiblesdel 4% y del2%respectivamente .Estimar la cota deerror

porcentual queresulta parael volumen .

6. La potenciaeléctrica viene dada por : p=E2

Rendonde Ees el voltaje y

Res la resistencia. Aproximar elmáximo porcentaje deerror posible alca lcular la potencia paraunvoltaje de200voltios y unaresistenciade4.000 ohmios , si los posibles errores en lasmedidasde E y R son de2%

y 3%respectivamente .

7.Dosresistencias conectadasen paralelo producenunaresistenciatotal R

dada por1R

= 1R1

+ 1R2

Aproximar el cambiode R cuando R1 crecede10a10,5ohmios y R2decrece

de15 a13 ohnios.

8. El períodoT deun péndulo de longitud Les T=2π √ Lg,donde g denota

la aceleraciónde la gravedad .Un péndulo se llevadesdeun lugar donde

g=32,09 piess2

aotro donde g=32.34 pies

s2. Debidoal cambiode

temperat ura , lalongitud del péndulo cambiade2.5 a2.48 pies . Aproximar elcambio quesufre el períododel péndulo.

9.Hallardwdt

aplicando lareglade lacadena

A . {w=x2+ y2

x=e t

y=e−t

B . {w=√x2+ y2

x=sen ty=et

C . {w=¿ yx

x=cos ty=sent

D .{w=xyzx=t2

y=2tz=e−t

E . {w=xy coszx=ty=t 2

z=arccos t

F . {w=cos ( x− y )x=t 2

y=1

10.Hallard2wdt 2

sí {w=arctan (2 xy )x=cos ty=sentt=0

11.Hallardydx

por derivaciónimplicita

A . x2−3xy+ y2−2x+ y−5=0B . sen x+sec xy−3=0C .∈√ x2+ y2+xy=4

D .x

x2+ y2− y2=6

12.Hallar las derivadas parci ales dew

A . xyz+ xzw− yzw+W 2=5b . x2+ y2+z2+6 xw−8w2=513.Sí θ el ángulo entre los dos lados iguales deun triánguloisósceles , ysea x lalongi tud deestos lados .Sí x está creciendo arazón de0.5metros

por hora yθ está creciendoarazón deπ90

radianes por hora , calcular el

r itmo decrecimientodel área cuando x=6 y θ= π4.

14. Elradio deuncilindrocircular recto está creciendoarazón de6 pulgadasporminuto, y su alturad ecrecearazón de4 pulgadas porminuto .¿Cuál eselritmode cambiode suvolumen y de suárea cuando elradio es de12 pulgadas

y su alturade36 pulgadas?15.Sí w=f ( x , y ) , donde x=rcosθ , y=rsenθ, Demostrar

A .∂w∂ x

=∂w∂r

∗cosθ−∂w∂θ

senθr

B .∂w∂ y

=∂w∂r

∗senθ−∂w∂θcosθr

C .( ∂ w∂ x )2

+( ∂ w∂ y )2

=( ∂w∂r )2

+( 1r2 )( ∂w∂θ )2