I n s t i t u t o T e c n o l g i c o d e C a m p e c h e

Unidad IV.- Conceptos bsicos de diseos factoriales Estinf2i

Competencias especficas a desarrollar:

- Conocer y aplicar caractersticas particulares de los diseos factoriales en experimentos de sistemas logsticos e industriales.- Interpretar resultados, comparar mtodos, seleccionar la opcin ms segura para la toma de decisiones.

- TEMAS DE INVESTIGACIN CONCEPTUAL -

> Conceptos bsicos

El objetivo de un diseo factorial es estudiar el efecto de varios factores sobre una o Varias respuestas, cuando se tiene el mismo inters sobre todos los factores. Por ejemplo, uno de los objetivos particulares ms importantes que en ocasiones tiene un diseo factorial es determinar una combinacin de niveles de los factores en la que el desempeo del proceso sea mejor.Los factores pueden ser de tipo cualitativo (mquinas, tipos de material, operador, la presencia o ausencia de una operacin previa, etc.), o de tipo cuantitativo (temperatura, humedad, velocidad, presin, etc.). Para estudiar la manera en que influye cada factor sobre la variable de respuesta es necesario elegir al menos dos niveles de prueba para cada uno de ellos. Con el diseo factorial completo se corren aleatoriamente todas las posibles combinaciones que pueden formarse con los niveles de los factores a investigar.As, la matriz de diseo o arreglo factorial es el conjunto de puntos experimentales o tratamientos que pueden formarse considerando todas las posibles combinaciones de los niveles de los factores. Por ejemplo, con k = 2 factores, ambos con dos niveles, se forma el diseo factorial 2 2 = 22, que consiste en cuatro combinaciones o puntos experimentales. Si ahora uno tiene tres niveles y el otro dos, se pueden construir 3 2 combinaciones que dan lugar al diseo factorial 3 2. Observe que en el nombre del diseo factorial va implcito el nmero de tratamientos que lo componen.Para obtener el nmero de corridas experimentales se multiplica el nmero de Tratamientos por el nmero de rplicas, donde una de stas se lleva a cabo cada vez que se corre el arreglo completo.En general, la familia de diseos factoriales 2k consiste en k factores, todos con dos niveles de prueba y la familia de diseos factoriales 3k consiste en k factores cada uno con tres niveles de prueba. Es claro que si los k factores no tienen la misma cantidad de niveles, debe escribirse el producto de manera explcita; por ejemplo, con k = 3 factores, el primero con cuatro niveles y los dos restantes con dos niveles, se tiene el diseo factorial 4 2 2 o 4 22.Efecto principal y efecto de interaccin. El efecto de un factor se define como el cambio observado en la variable de respuesta debido a un cambio de nivel de tal factor. En particular, los efectos principales son los cambios en la media de la variable de respuesta que se deben a la accin individual de cada factor. En trminos matemticos, el efecto principal de un factor con dos niveles es la diferencia entre la respuesta media observada cuando tal factor estuvo en su primer nivel, y la respuesta media observada cuando el factor estuvo en su segundo nivel. Por ejemplo, para los datos de la tabla 5.1, los efectos principales estn dados por

por lo que en trminos absolutos el efecto principal de B es mayor. Por otra parte, se dice que dos factores interactan entre s o tienen un efecto de interaccin sobre la variable de respuesta, cuando el efecto de un factor depende del nivel en que se encuentra el otro. Por ejemplo, los factores A y B interactan si el efecto de A es muy diferente en cada nivel de B, o viceversa. Ahora veamos esto con los datos de la tabla 5.1: el efecto de A cuando B es baja est determinado porEfecto A (con B bajo) = 41 28 = 13y cuando la temperatura es alta, el efecto de A esEfecto A (con B alto) = 45 63 = 18Como estos dos efectos de A en funcin del nivel de B son muy diferentes, entonces es evidencia de que la eleccin ms conveniente del nivel de A depende del nivel en que est B, y viceversa. Es decir, eso es evidencia de que los factores A y B interactan sobre Y. En la prctica, el clculo del efecto de A en cada nivel de B no se hace, y ms bien se calcula el efecto global de la interaccin de los dos factores, que es denotado por AB y se calculan como la diferencia entre la respuesta media cuando ambos factores se encuentran en el mismo nivel: (1, 1); (1, 1), y la respuesta media cuando los factores se encuentran en niveles opuestos: (1, 1) (1, 1). Para el ejemplo, el efecto de interaccin tiempo temperatura est dado por

Diseo factorialDiseo experimental que sirve para estudiar el efecto individual y de interaccin de varios factores sobre una o varias respuestas.

Factor cualitativoSus niveles toman valores discretos o de tipo nominal. Ejemplos: mquinas, lotes, marcas, etctera.

Factor cuantitativoSus niveles de prueba pueden tomar cualquier valor dentro de cierto intervalo. La escala es continua, como por ejemplo: temperatura, velocidad, presin, etctera.

Arreglo factorialConjunto de puntos experimentales o tratamientos que pueden formarse al considerar todas las posibilidades de combinacin de los niveles de los factores.

Efecto de un factorEs el cambio observado en la variable de respuesta debido a un cambio de nivel en el factor.

Efecto principalEs igual a la respuesta promedio observada en el nivel alto de un factor, menos la respuestaPromedio en el nivel bajo.Efecto de interaccin Dos factores interactan de manera significativa sobre la variable de respuesta cuando el efecto de uno depende del nivel en que est el otro.

Principio de ParetoSe refiere a que la mayora de la variabilidad observada se debe a unos pocos de los efectos posibles.

Factor fijoSe refiere a que los niveles de prueba en un factor son todos los niveles disponibles para ste.

Factor aleatorioCuando los niveles de prueba utilizados en un factor son una muestra aleatoria de la poblacin de niveles para ese factor.

> Diseos factoriales con dos factores

> Diseos factoriales con tres factores

> Diseo factorial general Los resultados del diseo factorial de dos factores pueden ampliarse al caso general en que hay a niveles del factor A, b niveles del factor B, c niveles del factor C, etc., dispuestos en un experimento factorial.Es necesario un mnimo de dos rplicas (n>2) para determinar una suma de cuadrados debida al error si todas las interacciones posibles estn incluidas en el modelo.

Cuando todos los factores del experimento son fijos, es sencillo formular y probar hiptesis acerca de los efectos principales y las interacciones. Para un modelo con efectos fijos, los estadsticos de prueba para cada efecto principal e interaccin pueden construirse dividiendo el cuadro medio correspondiente del efecto o interaccin por el cuadrado medio del error. Todas estas pruebas F sern de una cola superior. El nmero de grados de liberta de cualquier efecto principal es el nmero de niveles del factor menos uno, y el nmero de grados de libertad de una interaccin es el producto del nmero de grados de libertad asociados con los componentes individuales de la interaccin.Modelo del anlisis de varianza de tres factoresYijkl = + i + j + k +()ij + ik + ()jk + ()ijk + ijkli= 1, 2, . . ., aj= 1, 2, . . ., bk= 1, 2, . . ., cl = 1, 2, . . . ,nSuponiendo que A, B y C son fijos, la tabla del anlisis de varianza se presenta en la tabla 5-12. Las pruebas F para los efectos principales y las interacciones se siguen directamente de los cuadros medios esperados.

> Modelos de efectos aleatorios

TAREA - Relacin de problemas

1. Problema 14.1, Pg. 575 Walpole 9 ed.2. Problema 14.2, Pg. 575 Walpole 9 ed.

Bibliografa bsica.

La propuesta en el programa