Inecuacion Cuadratica Solucion Analitica y Grafica

7/29/2019 Inecuacion Cuadratica Solucion Analitica y Grafica

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C A L C U L O C A P I T U L O N O. 1

1.4.- D E S I G U A L D A D E S

OBJETIVO: Que el alumno conozca y maneje las reglas empleadas en la resolucin de

desigualdades y las use para determinar el conjunto solucin de una desigualdaddada y sepa indicar el resultado mediante las tres formas vistas.

1.4.1.- Definicin de Desigualdad.-

Una desigualdad, llamada tambin inecuacin por algunos autores, es una expresin matemtica,

especficamente del lgebra, que nos indica que un cierto conjunto de nmeros son mayores,

menores y/o iguales a una cantidad dada. Por ejemplo:

(2x2 + 3x 2) < (4x + 1)

En este primer caso, la desigualdad nos indica que todas los valores de x que satisfacen a

( 2x2

+ 3x 2 ), deben ser estrictamente menores que ( 4x + 1 ).

(6x 3) > (x2 + 2)

En este segundo caso, la desigualdad nos indica que todas los valores de x que satisfacen a

( 6x 3 ), deben ser estrictamente mayores que ( x2

+ 2 ).

( x 6) 9

En este tercer caso, la desigualdad nos indica que todas los valores de x que satisfacen a( x 6 ), deben ser mayores o iguales a 9.

3x2 + 5 ( 8x + 2 )

En este cuarto caso, la desigualdad nos indica que todas los valores de x que satisfacen al valor

absoluto de ( 3x2

+ 5 ), deben ser menores o iguales a ( 8x + 2 ).

Dado que las desigualdades siempre estn dadas mediante una expresin matemtica que contiene

variables, la solucin de ellas siempre es una regin del plano. A diferencia de las ecuaciones, que

son igualdades, en las que la solucin siempre es un conjunto bien definido de valores cuya

cardinalidad est dada por el orden de la ecuacin.

1.4.2.- Propiedades de las Desigualdades.

Para resolver las desigualdades se observan las mismas reglas del lgebra, por lo que podemos

efectuar las siguientes operaciones:

M. C. J. A G U S T I N F L O R E S A V I L A

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Si le sumamos el mismo numero a ambos miembros de una desigualdad sin importar el signo, la

direccin de la desigualdad NO se altera.

Es decir, si A > B y C > 0 entonces A + C > B + C

De la misma forma, si A > B y C< 0 entonces A C > B - C

Si multiplicamos ambos miembros de una desigualdad por un numero positivo la direccin de ladesigualdad NO se altera.

Es decir, si A > B y C > 0 entonces A * C > B * C

Si multiplicamos ambos miembros de una desigualdad por un numero negativo la direccin de la

desigualdad se invierte.

Es decir, si A > B y C< 0 entonces A * C < B * C

Nota.- Recuerde que dividir ambos miembros de una desigualdad por el mismo nmero es igual a

multiplicarlos por el inverso de tal nmero, por lo que estas dos ltimas propiedades son aplicablespara el caso en que dividimos ambos miembros de la desigualdad por el mismo nmero sea positivo

o negativo.

1.4.3.- Resolucin Desigualdades Lineales.

1.4.3.1.- Resolucin Analtica.

Son las ms simples ya que solamente contienen variables elevadas a la primer potencia, por lo que

para resolverlas basta con aplicar las reglas indicadas en el apartado anterior. Sea el siguiente

ejercicio:

Resuelva la desigualdad indicada.

1.- ( 4x 8) > (x 9)

Solucin:

Agrupamos del lado izquierdo de la desigualdad las incgnitas y del lado derecho las constantes

empleando las reglas sealadas.

4x x > -9 + 8

Hacemos las operaciones elementales contenidas en cada miembro y despejamos el coeficiente de la

variable x que en este caso es 3 obteniendo as la solucin pedida.

3x > 1

x > -1/3

La solucin son todos los reales estrictamente mayores que 1/3.

La solucin dada como un intervalo adopta la siguiente forma:


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x ( -1/3, )

La solucin dada en notacin de conjuntos adopta la siguiente forma:

S = { x / x y x > -1/3 }

La representacin grfica de la solucin la mostramos enseguida:

Los reales que se encuentran en esta regin

Satisfacen la desigualdad.

-1/3 0

1.4.3.2.- Resolucin Grfica.

Dado que al resolver una desigualdad lineal estamos operando sobre dos expresiones de este tipo y

como estas siempre representan rectas, entonces, resolver la desigualdad no es otro cosa que

determinar el punto de interseccin de las dos rectas y, a partir de l, identificar la regin en la cual

una de las rectas es mayor, menor y/o igual a la otra segn sea la desigualdad. A partir de tal punto

una de las rectas estar sobre o por debajo de la otra y este comportamiento es el que determina la

solucin.

Por ejemplo, en la desigualdad anterior, la grfica de las rectas se muestra en la Fig. siguiente. La

recta en rojo y lnea continua representa al miembro izquierdo de la desigualdad y su ecuacin es

y = 4x 8 mientras que la recta en azul y lnea discontinua representa al miembro de la derecha de

la desigualdad y su ecuacin es y = x 9. El punto de interseccin est indicado por la lnea

discontinua vertical en rojo y pasa precisamente por la abscisa 1/3. A partir de ella y hacia la

derecha la recta en rojo es evidentemente mayor que la recta en azul por lo que la solucin est dada

por todos lo reales mayores que 1/3 como ya lo mostramos en la solucin analtica.


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10

20

f x( )

g x( )

108

1

3

x

1.4.3.3.- Ejercicios.

Siguiendo una estrategia semejante a la del ejercicio anterior, resuelva las siguientes desigualdades

en forma analtica y grfica e indique el resultado en la tres formas vistas.

1.- 2x + 6 < 4x + 2 2.- 6x -5 2x + 6 3.- 5x - 5 < 4x + 6

4.- 3x + 6 < x 1 5.- 7x + 8

x - 6 6.- 5x + 9

2x + 67.- - 5 2x + 3 8.- 9x + 7 x - 4 9.- 2x + 1 > 4

10.- 7x + 6 > 25 11.- 4x - 3 > 4 x + 5 12.- 2x + 7 4x + 14


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1.4.4.- Desigualdades Cuadrticas.-

Este tipo de desigualdades, como su nombre lo indica, son aquellas en la que en alguno de sus

miembros o en ambos aparece un trmino cuadrtico, por ejemplo:

x

2

3x + 2 > 03x

2 x + 8 x - 2

4x2

+ 7x - 1 x2 - 6

Utilizando lo ya indicado en el caso de las desigualdades lineales y trasladndolo a este caso, es fcil

leer que para el primer ejemplo, la solucin ser todos lo reales que pertenecen a la curva

parablica que representa el miembro cuadrtico de la desigualdad pero que se encuentran por

encima del eje de las abscisas, es decir, que son mayores que cero ( 0 ).

A partir de este apunte diseamos la estrategia para resolver nuestras desigualdades cuadrticas: En

los siguientes dos casos (No hay otro diferente) la estrategia siempre ser operar la desigualdad para

darle la forma que tiene la primera y hacer lo indicado en el prrafo anterior, cuyo desarrollo

veremos en el siguiente punto.

1.4.5.- Resolucin de Desigualdades Cuadrticas.


Este punto lo desarrollaremos a partir de un ejemplo:

Encuentre el conjunto solucin de la siguiente desigualdad cuadrtica:x

2 3x + 2 > 0

La solucin de esta desigualdad se obtiene mediante los siguientes pasos:

1.- Factorizamos la cuadrticas empleado alguno de los mtodos ya conocidos y la expresamos

conservando la desigualdad. En este caso, mediante suma y producto de trminos encontramos que

la factorizacin esta dada por:

( x 2 ) ( x 1 ) > 0

2.- Establecemos las condiciones bajo las cuales se cumple la desigualdad aplicando para este caso

la regla de los signos. Este segundo paso es necesario hacerlo ya que, como nuestra cuadrtica

determina DOS factores y el producto de ellos debe ser, en este caso, positivo, entonces, la

desigualdad se cumplir cuando ambos factores sean positivos {ya que mas (+) por mas (+) nos de

mas (+)}, o cuando ambos factores sean negativos {ya que menos (-) por menos (-) nos da mas (+)}.

En forma matemtica esto queda dado por:


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( x 2 ) ( x 1 ) > 0

Se cumplir si:

Primera Condicin: ( x 2 ) > 0 y ( x 1 ) > 0

O cuando:

Segunda Condicin: ( x 2 ) < 0 y ( x 1 ) < 0

3.- Resolvemos las condiciones que hacen que se cumpla la desigualdad, recordando que la

conjuncin y nos indica interseccin o simultaneidad en la satisfaccin de las condiciones. Es

decir, el conjunto solucin de la primera condicin debe satisfacer simultneamente que tanto

( x 2 ) sea positivo como que ( x 1 ) sea tambin positivo.

3.1.- Resolvamos pues la primera condicin utilizando las reglas archimencionadas:

( x 2 ) > 0 y ( x 1 ) > 0

x > 2 y x >1

Es conjunto solucin determinado por esta primera condicin es la interseccin de las dos

soluciones individuales. Es decir, el conjunto de Reales que satisfacen simultneamente a ambas

soluciones. Es claro que la solucin es:

x > 2

Ya que todo real mayor que 2 tambin es mayor que 1 como mostramos en la grafica siguiente.

0 1 2

x > 2

3.2.- Resolvamos la segunda condicin utilizando las reglas multimencionadas.

( x 2 ) < 0 y ( x 1 ) < 0


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x < 2 y x < 1

Es conjunto solucin determinado por esta segunda condicin es la interseccin de las dos

soluciones individuales. Es decir, el conjunto de Reales que satisfacen simultneamente a ambas

soluciones. Es claro que la solucin es:

x < 1Ya que todo real menor que 1 tambin es menor que 2 como mostramos en la grafica siguiente.

0 1 2

x < 1

4.- Establecemos el conjunto solucin como la Unin de las dos soluciones individuales. La

solucin final sern los reales que cumplan la solucin dada por la primera condicin o los reales

que cumplan la solucin dada por la segunda condicin. En este caso, la partcula o significa

unin de soluciones. Por lo tanto, la solucin pedida, que SIEMPRE se lee de izquierda a derecha,

est dada por:

( x < 1 ) U ( x > 2 )

La solucin expresada como un intervalo queda dada por:

( < x


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La resolucin de este tipo de desigualdad sigue una estrategia semejante a la utilizada en el caso de

las lineales. Basta con graficar la parbola que representa a la cuadrtica y encontrar sobre la curva

la regin que satisface que sea mayor, menor y/o igual a cero. Es decir, aquella regin determinada

por la curva que se encuentra por encima, por debajo y/o que contenga al eje de las abscisas, segn

mostramos en la grfica siguiente.

1 0 1 2 3 4

2

4

6

7

1

f x( )

41

1 2

x

En forma inmediata observamos en la grfica que los valores de x que corresponden a puntos que

estn sobre la parbola y determinan ordenada y positiva, es decir, mayor que cero ( 0 ) como lo

seala la desigualdad original, son todos los que se encuentran a la izquierda de 1 ( uno ) y los que

estn a la derecha de 2 ( dos) que es la misma solucin que obtuvimos en forma analtica.

1.4.5.3.- Ejercicios.-

Siguiendo una estrategia semejante a la vista en este apartado, encuentre la solucin en forma

analtica y en forma grfica de las siguientes desigualdades y d la solucin en las tres formas vistas.

1.- 3x2

x + 8 x - 2 2.- 4x2 + 7x - 1 x2 - 6 3.- x2 x + 8 2x2 - 2

4.- 3x2

+ 5x - 1 5x2 - 6 5.- 2x2 x + 8 > 9x - 2 6.- 3x2 + x - 1 x2 - 9


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7.- x2

x + 3 < x - 2 8.- 4x2 + 7x - 1 6x2 - 1 9.- 5x2 x + 8 2x2 - 2

10.- 3x2

+ 7x - 1 x2 - 8 11.- 8x2 x + 8 > 2x - 9 12.- x2 x 6 < 0

13.- x2

+ x + 1 > 0

1.4.6.- Desigualdades Fraccionarias.-

Como su nombre lo indica, este tipo de desigualdades implican el cociente de dos expresiones

algebraicas que pueden ser ambas lineales o una de ellas o las dos cuadrticas. Es claro que a

medida que la linealidad de los componentes de la desigualdad se altera, el proceso de resolucin se

vuelve ms complicado. Ejemplos de desigualdades de este tipo son las siguientes:

x 2( )

2x 59

3x 5( )

2x 7+( )5x 1+

9

2x 4+x 5

6

x2

13x 1+

1.4.7.- Resolucin de desigualdades Fraccionarias.


Este punto lo desarrollaremos a partir de un ejercicio:

Encuentre el conjunto solucin de la siguiente desigualdad fraccionaria:

4x 3( )

2x 1+5>

Para encontrar el conjunto solucin de este tipo de desigualdades seguimos los pasos que a

continuacin se enlistan.

1.- Para poder resolver esta desigualdad es necesario despejar el trmino que aparece en el

denominador. Como ya sabemos, esto lo logramos multiplicando ambos miembros de la desigualdad

por tal trmino, que en este caso es:

2x + 1


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Sin embargo, al hacer esta multiplicacin es necesario recordad las propiedades de las

desigualdades, ya que, esta expresin al contener la variable x que puede tomar todos los reales,

puede ser positiva o negativa, por lo tanto, se nos presentaran los siguientes dos casos:

2.- Si tenemos que:

2x + 1 > 0 positivoEstaremos multiplicando ambos miembros de la desigualdad por un nmero positivo, por lo que la

direccin de la misma no se altera, y nos queda dada por:

4x 3 > 5 (2x + 1)

Esta primer condicin preserva la direccin de la desigualdad. Enseguida la resolvemos como ya

hemos visto.

4x 3 > 10x + 5

4x 10x > 5 + 3

-(-6x > 8)

6x < -8

x < -8/6

Esta es la solucin de la desigualdad determinada por la misma condicin. Sin embargo, esta

solucin est sujeta a que:

2x + 1 > 0

Cuya solucin es:

x > -1/2

La solucin determinada en este primer caso es la interseccin de las dos, lo que nos conduce al

conjunto VACIO, es decir, NO hay x en los reales que simultneamente sea menor que 8/6 y

mayor que 1/2 segn mostramos en la grfica siguiente.

x < -8/6 x > -1/2

-8/6 -1/2 0

Es el conjunto vaco

3.- Ahora si consideramos que:


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2x + 1 < 0 negativo

Estaremos multiplicando ambos miembros de la desigualdad por un nmero negativo, por lo que

ahora la direccin de la misma SI se altera, y nos queda dada por:

4x 3 < 5 (2x + 1)Esta segunda condicin invierte la direccin de la desigualdad. Enseguida la resolvemos como ya

hemos visto.

4x 3 < 5 (2x + 1)

4x 3 < 10x + 5

4x 10x < 5 + 3

-6x < 8

x > -8/6

Esta es la solucin de la desigualdad determinada por la misma condicin. Sin embargo, esta

solucin est sujeta a que:

2x + 1 < 0

Cuya solucin es:

x < -1/2

La solucin determinada en este primer caso es la interseccin de las dos soluciones individuales, es

decir, los reales mayores que 8/6 y menores que -1/2, lo que nos conduce al conjunto dado en los

siguientes trminos.

x ( -8/6, -1/2 )

La solucin en notacin de conjuntos queda dada de la siguiente forma:

S = { x / x y x (-8/6, -1/2)}

Y la grfica de la solucin es la siguiente:

-8/6 -1/2 0


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La solucin como corroboramos en la grfica son los reales comprendidos entre 8/6 y 1/2.

1.4.7.2.- Resolucin Grfica.

La resolucin de este tipo de desigualdad sigue una estrategia semejante a la utilizada en el caso de

las lineales y aplicada tambin a las cuadrticas. Basta con obtener la graficar de la expresin

fraccionaria y encontrar sobre la curva la regin que satisface que sea mayor, menor y/o igual a cero.Es decir, aquella regin determinada por la curva que se encuentra por encima, por debajo y/o que

contenga al eje de las abscisas, segn mostramos en la grfica siguiente.

4 2 0 2 4

15

10

5

5

1010

15

4x 3

10x 5+

2x 1+

55

8

6

1

2

x

Interprete la grfica anterior a la luz de los resultados obtenidos en el mtodo analtica.

1.4.7.3.- Ejercicios.

Siguiendo una estrategia semejante a la vista en este apartado, encuentre la solucin en forma

analtica y en forma grfica de las siguientes desigualdades y d la solucin en las tres formas vistas.


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6x 4+( )

x2

85x 8( )

2x2

1+9

4x2

16( )5x 4

3

9

2x2

4x 6+8 5x 3( )

2x 15x 3

2x( )

4x 6x 9+>

3x 5( )

3x 10

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