FACULTAD DE INGENIERA

Curso: Matemtica bsica Ciclo : I ciclo

INECUACIONES LINEALES:

INECUACIONES CUADRTICAS

INECUACIONES POLINOMICAS.

INECUACIONES RACIONALES

INECUACIONES IRRACIONALES

1. Definiciones.

2. Propiedades.

3. Ejercicios de aplicacin.

2

1

4

1

8

10 1

TEMA: INECUACIONES Para entender apropiadamente la teora de inecuaciones, es necesario estudiar previamente el tema de desigualdades. A continuacin tocaremos algunos conceptos en torno a las desigualdades. DESIGUALDADES Es aquella comparacin que se establece entre dos nmeros reales mediante los smbolos de desigualdad: < , > , , . . Luego, si a y b son nmeros reales, entonces: a < b : a menor que b a b : a menor o igual que b a > b : a mayor que b a b : a mayor o igual que b El siguiente acpite es de mucha importancia para las desigualdades e inecuaciones Recta Numrica Real: Es la forma geomtrica que permite ordenar los nmeros reales. Existe una correspondencia biunvoca entre R y la recta.

0 a b

- +

Rb,abca/Rc:Densidad

b0a:OrdenopiedadesPr

Ejemplo entre el nmero 0 y 1 existen nmeros reales.

DEFINICIONES: Sea a R.

1) a es positivo a > 0 2) b es negativo b < 0 3) a > b a b > 0 4) a < b a b < 0

Ejemplo: -8 > -10 -8 (-10) = 2 > 0

2 < 12 2 12 = -10 < 0

5) a b a > b a = b 6) a x b x a x b

: Interseccin ()

: Unin () INTERVALO: Es un subconjunto de los nmeros reales que generalmente poseen extremos.

Intervalo ExtremoSuperior

Cotas Superiores

CotasInferiores

Extremo Inferior

I R

CLASIFICACIN:

INTERVALO

ACOTADO NO ACOTADO

ABIERTO

CERRADO

SEMIABIERTO

1) ACOTADOS O FINITOS

a. Intervalo Abierto : A=< a , b >= ] a, b[ ={ x R a < x < b }

INFIMO SUPREMO

a b

INFIMO: Es la mayor cota inferior. Si el nfimo pertenece al intervalo, se llama MNIMO.

SUPREMO: Es la menor cota superior. Si el supremo pertenece al intervalo, se le llama MXIMO.

b. Intervalo Cerrado C= [a ; b ] ={ x R a x b }

MINIMO MAXIMO

a b

c

cb

ca

c. Intervalo Semiabierto: A= [a ; b > B= < a ; b ]

MINIMO

a b

MAXIMO

a b

SUPREMO

INFIMO

2) NO ACOTADOS O INFINITOS

A= [a ; ] ={ x R x a }

B= < ; b > ={ x R x < b }

R = ,

a

A

B

b

C

OPERACIONES CON DESIGUALDADES: Sean:

1) A = -3 ; 2 ; B = -1 ; 6

A B = -3 ; 6 A B = -1 ; 2 A B = -3 ; 1 B A = 2 ; 6 A = CA = - ; -3 2 ; + B = CB = - ; -1 6 ; +

2) A = { x R / x 2 x 3 }

B = { x R / -2 x 3 } A B = R A B = {-2; 3}

INECUACIONES: Es una desigualdad en la que hay una o mas cantidades desconocidas (incgnitas) y que solo se verifica para determinados valores de las incgnitas, o tal vez nunca se verifica.

Inecuacinysenyy

x2x

dDesigualdae

3

CONJUNTO SOLUCIN (C.S.) Ejemplos: 1) 2x + 1 > 7 x > 3 C.S. = 3 ; +

2) Sen (x + 1) + 2 > 4 C.S. =

3) x

2 + (x + 1)

2 + (x + 2)

2 + + (x + 100)

2 + 3 > 0 C.S. = R

PUNTO CRITICO

En la inecuacin: 0P0P0P0P )x()x()x()x(

P(x) : Polinomios

Los puntos crticos son las races de P(x), es decir: 0Pcrticopuntoes"" )x(

Ejemplo:

P(x) = (x + 3)(x + 4)(x 2) < 0 Puntos Crticos: -3 ; -4 ; 2

B

-3 -1 2 6

3 -2

B

A A

MTODO DE LOS PUNTOS CRTICOS

En la inecuacin polinomial a(x x1)(x x2) (x xn) > 0 1) Garantizar que coeficiente principal = a > 0; en caso contrario, multiplicar por -1. 2) Hallamos los puntos crticos y los ubicamos ordenados en la recta.

+ +

x n x 3 x 2 x 1......

)(POSITIVA

ZONA.S.C

0P

0P:Si

)x(

)x(

)(NEGATIVA

ZONA.S.C

0P

0P:Si

)x(

)x(

Ejemplos: Resolver las sgtes. inecuaciones 1) x

2 5x + 6 0

(x 2)(x 3) 0 Puntos crticos: 2 ; 3

C.S. = 2; 3

2) (2 x)(x + 5) < 0

Multiplicamos por (-1): (x 2)(x + 5) > 0

C.S. = - ; -5 2 ; +

1) INECUACION LINEAL

RESOLUCIN

bax

)b(0)b(bax

0bax

b0

a

bx0aSi*

a

bx0aSi*

+ +

3 2

+ +

2 -5

0a;0bax

+ +

4 9

INECUACIONES POLINOMIALES 2) INECUACION CUADRTICA

Resolucin:

A. PERFECTOCUADRADOTRINOMIO0

Donde: : discriminante sabiendo que = b

2 4ac

Ejemplos:

1. 4x

2 4x + 1 < 0 = 0

(2x 1)2 < 0 C.S. =

2. (2x 3)2 > 0 C.S. = R

2

3

3. (-2x + 4)2 0 C.S. = R

4. (-5x + 20)

2 0 C.S. = {4}

B. CRITICOSPUNTOSLOSDEMETODO0

Ejemplos: 1) x

2 13x + 36 < 0 (x 4)(x 9) < 0 C.S. = 4 ; 9

x -9 x -4

2) x

2 2x 2 0

= 12 > 0. Hallamos los puntos crticos: x2 2x 2 = 0

31

2

122x

C.S. = - ; 1 3 1 + 3 ; +

C. TEOREMASLOSAPLICAR0

a) Teorema del Trinomio Positivo

Sea: P(x) = ax2 + bx + c ; a 0

b) Teorema del Trinomio Negativo

c)

d)

+ +

3131

0a;0cbxaxP 2)x(

< 0 a > 0 P(x) > 0 , x R

< 0 a < 0 P(x) < 0 , x R

0 a >0 P(x) 0 , x R

0 a

+

++

INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

Teoremas:

Nn;0x0x

Nn;0x0x

1n2

1n2

Ejemplos:

1) (x + 1)66173

> 0 (x + 1) > 0 x > -1 C.S. = -1 ; +

2) (x + 2)777

. (x + 1)111

< 0 (X + 2)(X + 1) < 0 C.S. = -2 ; -1

3) (x2 + x + 2)

30. (x + 1)

23. (x 3)5 > 0

< 0 Coef. Principal C.P. = 1 (x + 1)(x 3) > 0 C.S. = - ; -1 3 ; +

4) (x

4 + x

2 + x

8 + 3)

66. (x

2 + x + 1) . (x + 1) . (x 2) < 0

< 0 C.P. = 1 C.S. = -1 ; 2

INECUACION FRACCIONARIA

0Q

P

)x(

)x(

Resolucin:

1)

AdmisiblesvaloresdeConjunto

A.V.C : Q(x) 0 0QP )x()x(

Ejemplos: Resolver las siguientes inecuaciones:

1) 03x

2x

; C.V.A. : x -3

. 22 )3x(0)3x(3x

2x

(x 2)(x + 3) 0 C.S.* = -3 ; 2 C.S. = C.V.A C.S.* C.S. = -3 , 2

2) 0)3x(

)2x)(1x(

. x -3

+ +

-3 -1 2 .

C.S. = -3 , -1 2 , +

3) 0)x2)(4x(

)5x)(4x()3xx(

5

7202

. x 4 ; x 2

.

2;5.S.C0

2x

5x0

x2

5x )1(xrmultiplica

INECUACION IRRACIONAL

Forma General: 0I )x(

Expresin algebraica irracional Ejemplo:

1x53x2;1x1x

RESOLUCIN:

1) Hallamos su C.V.A. Ejm:

2xRx

Nn;22x1x n21n2

C.V.A. = 2 ; - > 2) Transformar la inecuacin en una polinomial.

TEOREMAS:

yxyx

0x0x

1n21n2

1n2

Ejm: Resolver: 0)x4()3x()1x( 735

0)4x)(3x)(1x(

0)x4)(3x)(1x(

+ +

3 1 4 C.S. = -3 ; 1 4 ; +

)ax0a0x()0a0x(ax

)ax0a0x()0a0x(ax

ax0a0xax

ax0a0xax

2

2

2

2

Ejemplo: Resolver: 1x5x4x2 Solucin:

5/1x

01x5

0)4x(x

0x4x2

x - ; 4 0 ;

C.V.A = ;5

1

Operamos: 22

2 )1x5(x4x

24x2 14x + 1 > 0

(12x 1) (2x 1) > 0

;2

1

12

1;x .. ()

C.S. = C.V.A. () = ;2

1

EJERCICIOS DE APLICACIN

P1.- Resolver las siguientes inecuaciones de primer grado:

a) x52x3 b) x32x1 c) 63x32

d) x32x233 e) 2x21x33x2

f)

x34

x

2

8x4

5

3x3 g)

3

x8x32

h)

43

x51x3

2

1x i)

2

1x

3x2

j)

3

x142x3

15

3

3

1

4

1x3 k)

3

21

2

5x3

x

2

13

3

x3

l)

3x2x

2

32

x2

3xx

4

2x3

P2.- Resolver las siguientes inecuaciones de grado mayor que uno o fraccionarias:

a) 08x3x5 2 b) 0102x101x25 2

c) 2x25xx d)

0

4x

5x2 e)

0

2x3

6x5

f) 11xx4x81 g) 91x 2

h) 3x21x2 22 i) 01x9x2

j) 09xx1 22 k)

0

1x3x

x12x4x

l)

4

3x

4x2 m)

0

2

x

3

1x

2

x

3

1x2

2

2x32

n) 0x6x5x 23 o) 03x4x1x 2

p) 01x1x 22 q) 04x4xx 23 r)

0

3x

1x2

s) 02x1x1x 23 t)

0

1x

9x2

u)

0

1xx529x

8x2x1x32

2

v)

0x4

5

2x3x

w)

0

1x3x

x12x4x x)

0

xx6

2x3x2

2

y)

0

5x4x

3x1xx2

z)

0

1xx2

x3x3x

P3.- Resolver los siguientes ejercicios y problemas:

01. Dados los conjuntos:

A = [5, 10 > ; B = < -6, + >; C = < -8, 9] y D = [0,8 >

Halle usted, M = (A B C D) (A B C D)

02. Resolver: 2 > -3 - 3x -7

03. Halle el conjunto solucin de: 4x2 + 5x + 9 0

04. Si x [0,8] y ( 6x - x2 ) [a, b] . Halle: b - a

05. Resolver: 07)3)(x(x

35)1)(x(x21)(x

06. Resolver: 1x

x

7x

4x

07. Resolver: 3

2

1x

3x

5

1

08. Resolver: 4

3

x

5

09. Resolver: 3x4

2

10. Resolver: x2 - 4x + 4 0

11. Resolver: (x + 2) (2x - 3) (x + 1)2 0

12. Resolver: 03)2)(x(x

2)1)(x(x

13. Despus de resolver:

082)(5x21)(x23)(x

2)(3x154)3)(x(x

, seale un valor de la no solucin.

14. Resolver: 2x3

1

73x

1

15. Resolver: 2x2 - 6x + 3 0

16. Resolver: x2 + 40x + 400 > 0

17. Determinar una inecuacin entera de grado mnimo que tenga como conjunto solucin:

< -4, 3 > U < 5, 13 > - {10}.

a) (x + 4)(x - 3)(x -5) (x -10)2 (x -3) < 0

b) (x + 4)(x - 3)(x -5)(x -10)2(x -13) < 0

c) (x + 4) (x - 3)(x -5)(x -10)2 (x -3) > 0

d) (x + 4)(x - 3)(x - 5)2(x-10)(x -13) < 0

e) (x + 4)(x - 3)(x -5)2(x -10)(x -13) > 0

18. Dados los conjuntos:

0

22x

24xR/xM y 02Q/4xxN Hallar M N

19. Dadas las fracciones 425792

425791a ,

2235679

2235678b y

657023

657022c se cumple:

a) a > b > c

b) b > a > c

c) b < a < c

d) a < c < b

e) b > c > a

20. Un electrnico dispona de una cantidad de dinero para comprar un cierto numero de objetos

iguales entre si .Pensaba comprarlos al precio de 50 soles cada uno y le faltaban mas de 48 soles,

y despus pens comprarlos de 40 soles y le sobraban mas de 152 soles; y por ltimo los compro

al precio de 30 soles cada uno y le sobraron menos de 372 soles. Cul fue el nmero de objetos

comprados?

21. Se compra igual cantidad de bolsas de cemento de 2 colores ( rojo y azul ); al venderse la cuarta

parte quedan menos de 118 por vender, si se vendiera la sexta parte quedaran mas de 129 por

vender. Cuntas bolsas de cemento se compraron?

22. Un operario tiene cartuchos de tinta de 3 colores (azul, blanco y crema), tiene en total menos de

30 cartuchos, si el nmero de cartuchos de color azul y blanco aumentara en 6 tendra ms de 20

cartuchos de stos colores, si duplicar el nmero de cartuchos de color azul y le regalarn 5 mas

de ste color no alcanzara al nmero de cartuchos de color crema pero tendra mas de 18

cartuchos de color azul. Cuntos cartuchos de color azul tiene?