EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICA I

UNIDAD I

INECUACIONES POLINÓMICAS

1) Resolver la siguiente inecuación: x3 – 3x

2 – x + 3 < 0

Solución:

Aplicando el método de Ruffini

0321

321

3131

1

(x – 1)(x2 – 2x – 3) = 0

(x – 1)(x + 1)(x – 3) = 0

Obtenemos los puntos críticos:

x = 1 abierto; x = -1 abierto; x = 3 abierto

Rpta. –;–1 1;3

2) Resolver la siguiente inecuación: (x – 3)420

(x + 5)771

(x2 + 3x + 9) > 0

Obtenemos los puntos críticos:

x – 3 = 0 entonces x = 3 abierto (al tener potencia par no se considera en el intervalo, pero se

mantiene la solución)

x + 5 = 0 entonces x = -5 abierto

x2 + 3x + 9 = 0 analizando el discriminante ∆: (3)

2 – 4(1)(9); ∆: -27 < 0 entonces C.S.:

Rpta. –5; - {3}

3) Resolver la siguiente inecuación:

0

2)5)(x(x

4)(x

Obtenemos los puntos críticos:

x – 4 = 0 entonces x = 4 cerrado

x + 5 = 0 entonces x = -5 abierto

x – 2 = 0 entonces x = 2 abierto

Rpta. -;-5 2;4]

INECUACIONES RACIONALES

4) Resolver

SOLUCIÓN:

Llamemos p(x)= x+2 y q(x)=x+3, entonces:

Encontrando los puntos críticos:

Para el numerador: x+2=0, el valor de x que hace cero la expresión es -2, punto crítico x=-2.

Cualquier valor mayor de -2 hace positiva la expresión (x+2) y cualquier valor menor de -2

hace negativa dicha expresión. Se hace la recta real con este análisis.

Para el denominador: x+3=0, el valor de x que hace cero la expresión es -3, punto crítico

x=-3.

Se agrupan los dos resultados y se hace producto de signos.

Como la fracción debe ser mayor que cero, la solución será los intervalos positivos del

producto, es decir

5) Resolver:

SOLUCIÓN:

Primero debemos de transformar la expresión de tal forma que el segundo término sea

cero, para hacer la comparación.

Operando y simplificando

Ahora si tenemos la fracción comparada con cero, por lo que analizamos el numerador y el

denominador para obtener los puntos críticos.

6-3x=0, X=2. Punto crítico (2). Todos los valores mayores que x=2, hacen la expresión

negativa y todos los valores menores que x=2 la hacen positiva.

2x-1=0, x=

punto crítico (1/2). Todos los valores mayores que ½ hacen la expresión

positiva y los valores menores que ½ la hacen negativa.

Al hacer el producto de los intervalos se obtiene la siguiente gráfica:

Como la desigualdad inicial debe ser negativa; es decir, menor que cero, entonces la

solución serán los intervalos negativos.

Es decir:

6) Resolver:

SOLUCIÓN:

Pasando x al primer término

Efectuando la diferencia

Se descompone el numerador en producto de factores dividiendo por Ruffini

El polinomio cociente que se obtiene en la anterior división es , que no tiene raíces

reales. Por tanto, el numerador queda

Se factoriza el denominador, teniendo en cuenta que es diferencia de cuadrados,

.

Así la ecuación inicial se puede escribir

NOTA: Al ser para cualquier valor de x, el signo de

se puede

determinar estudiando el signo del resto de factores.

Puntos Críticos:

X1= -1

X2= 1

X3= 3

Ahora pasamos a analizar el signo de cada uno de los factores, en los intervalos

determinados por las raíces del polinomio, y efectuando el producto se obtiene su signo.

Observar que de los extremos de los intervalos, ni -1 ni 1 son solución de la inecuación, ya

que anulan el denominador, pero sí lo es -3. Por tanto, la solución es el conjunto