MÉTODO DE HARDY CROSS PARA LA DETERMINACIÓN DEL REPARTO DE CAUDALES EN LAS REDES DE DISTRIBUCIÓN DE

AGUA

Hardy Cross, nació en 1885 en Virginia, fue un ingeniero de estructuras y creador del método de cálculo de estructuras conocido como método de Cross o método de distribución de momentos, concebido para el cálculo de grandes estructuras de hormigón armado. Este método fue usado con frecuencia entre el año 1935 hasta el 1960, cuando fue sustituido por otros métodos. El método de Cross hizo posible el diseño eficiente y seguro de un gran número de construcciones de hormigón armado durante una generación entera.

Además también es el autor del método de Hardy Cross para modelar redes complejas de abastecimiento de agua. Hasta las últimas décadas era el método más usual para resolver una gran cantidad de problemas.

HARDY CROSS

PRIMEROS AÑO DE HARDY CROSS []

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Obtuvo el título de Bachillerato de Ciencia en ingeniería civil del Instituto de Tecnología de Massachusetts en 1908, y después ingresó en el departamento de puentes de los Ferrocarriles del Pacífico de Missouri en St. Louis, donde permaneció durante un año. Después volvió a la academia de Norfolk en 1909. Un año después de su graduación estudió en Harvard donde obtuvo el título de MCE en 1911. Hardy Cross desarrolló el método de distribución de momentos mientras trabajaba en la universidad de Harvard. Luego trabajó como profesor asistente de ingeniería civil en la universidad de Brown, donde enseñó durante 7 años. Después de un breve regreso a la práctica de ingeniería en general, aceptó un puesto como profesor de ingeniería estructural en la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign en 1921. En la Universidad de Illinois Hardy Cross desarrollo su método de distribución de momentos e influyó en muchos jóvenes ingenieros civiles. Sus estudiantes en Illinois tuvieron con él un duro momento argumentando porque él era difícil de escuchar.

MÉTODO DE CROSS PARA REDES DE AGUA

Otro método de Hardy Cross es famoso por modelar flujos de Red de abastecimiento de agua potable. Hasta décadas recientes, fue el método más común para resolver tales problemas.

El recibió numerosos honores. Entre ellos tuvo un grado Honorario de Maestro de Artes de la Universidad Yale , la medalla Lamme de la Sociedad Americana para Educación en Ingeniería (1944), la medalla Wason del Instituto Americano del Concreto (1935), y la medalla de oro del Instituto de Ingenieros Estructurales de Gran Bretaña (1959).

MÉTODO DE HARDY CROSS EN REPARTO DE CAUDALES EN UNA RED

El Método de Aproximaciones Sucesivas, de Hardy Cross, está basado en el cumplimiento de dos principios o leyes:

Ley de continuidad de masa en los nudos; Ley de conservación de la energía en los circuitos.

El planteamiento de esta última ley implica el uso de una ecuación de pérdida de carga o de "pérdida" de energía, bien sea la ecuación de Hazen Williams o, bien, la ecuación de Darcy Weisbach.

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La ecuación de Hazen Williams, de naturaleza empírica, limitada a tuberías de diámetro mayor de 2", ha sido, por muchos años, empleada para calcular las pérdidas de carga en los tramos de tuberías, en la aplicación del Método de Cross. Ello obedece a que supone un valor constante par el coeficiente de rugosidad, C, de la superficie interna de la tubería, lo cual hace más simple el cálculo de las "pérdidas" de energía.

La ecuación de Darcy Weisbach, de naturaleza racional y de uso universal, casi nunca se ha empleado acoplada al método de Hardy Cross, porque involucra el coeficiente de fricción, f, el cual es función de la rugosidad, k, de la superficie interna del conducto, y el número de Reynolds, R, de flujo, el que, a su vez depende de la temperatura y viscosidad del agua, y del caudal del flujo en las tuberías.

Como quiera que el Método de Hardy Cross es un método iterativo que parte de la suposición de los caudales iniciales en los tramos, satisfaciendo la Ley de Continuidad de Masa en los nudos, los cuales corrige sucesivamente con un valor particular,  Q, en cada iteración se deben calcular los caudales actuales o corregidos en los tramos de la red. Ello implica el cálculo de los valores de R y f de todos y cada uno de los tramos de tuberías de la red, lo cual sería inacabable y agotador si hubiese que "hacerlo a uña" con una calculadora sencilla. Más aún, sabiendo que el cálculo del coeficiente de fricción, f, es también iterativo, por aproximaciones sucesiva.

Lo anterior se constituía, hasta hoy, en algo prohibitivo u obstaculizador, no obstante ser la manera lógica y racional de calcular las redes de tuberías.

Hoy, esto será no sólo posible y fácil de ejecutar con la ayuda del programa en lenguaje BASIC, sino también permitirá hacer modificaciones en los diámetros de las tuberías y en los caudales concentrados en los nudos, y recalcular la red completamente cuantas veces sea conveniente.

FUNDAMENTOS DEL MÉTODO DE HARDY CROSS

El método se fundamenta en las dos leyes siguientes:

1. Ley de continuidad de masa en los nudos: "La suma algebraica de los caudales en un nudo debe ser igual a cero"

∑j−l

m

(Qij+qi )=0

Donde:

Qij: Caudal que parte del nudo i o que fluye hacia dicho nudo.

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qi : Caudal concentrado en el nudo i

m : Número de tramos que confluyen al nudo i.

2. Ley de Conservación de la energía en los circuitos: "La suma algebraica de las "pérdidas" de energía en los tramos que conforman un anillo cerrado debe ser igual a cero".

∑i=l , j=l

n

h fij=0

Donde:

hf ij : Pérdida de carga por fricción en el tramo

n : Número de tramos del circuito i

CÁLCULO DE REDES DE TUBERÍAS

En esta actividad se va a resolver la red de tuberías mostrada, utilizando el método Hardy-Cross.

Datos del problema:

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Longitud de cada tramo: 1000 m. Diámetro interior de las tuberías: 400 mm. Fluido transportado: agua. Viscosidad cinemática: 1e-6 m2/s.

Descripción del método:

1°) = Numerar los tramos de tuberías y asignarles un sentido (esta elección es arbitraria). Este paso ya se ha hecho en el dibujo.

2°) = Elegir las mallas y un sentido de recorrido (ya hecho en el dibujo).

3°) = Asignar un valor numérico a cada caudal de forma que se cumpla la conservación de la masa en cada nodo. El signo del caudal es negativo si se opone al sentido de recorrido de la malla.

4°) = Calcular el coeficiente Ci de cada línea: 22i

i

KC

A

, donde Ki es el

coeficiente de pérdidas de carga lineales i

LK f

D

. Se recomienda calcular el coeficiente de fricción con la fórmula aproximada

2.51.02 logRef

.

5°) = Calcular la corrección a los caudales de cada malla:

0.5 i i i

i i

C Q QQ

C Q

.

6°) = Aplicar la corrección de cada malla a los caudales que la componen. En el caso de que un caudal pertenezca a dos mallas, la corrección de otras mallas tendrá signo negativo si el recorrido de la malla tiene distinto sentido que en la primera malla. Esta situación ocurre con la línea 1.

7°) = Repetir la iteración.

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EJERCICIOS

Ejercicio 1:

Desarrollar la expresión empleada en el estudio de de los caudales en redes de tubería:

Qo

Qo

A B

CD

Solución:

El método del cálculo, por Hardy Cross consiste en suponer unos caudales en todas las ramas de la red y a continuación hacer un balance de las pérdidas de carga calculadas. En el laso o circuito único, mostrado en la figura 10, para que los caudales en cada laso de la rama sean el correcto se habrá de verificar

Para aplicar esta expresión, la pérdida de carga en función del caudal habrá que ponerse en la forma, H L=kQ

n. En el caso de utilizar la formula de Hazen Williams, la expresión anterior toma la forma H L=kQ

1.85.

Como se suponen unos caudales Q0, el caudal verdadero Q en una tubería cualquiera de la red puede expresarse Q=Q 0+∆, donde ∆ es la corrección que habrá de aplicarse a Q0. Entonces mediante el desarrollo del binomio,

k Q1.85=k (Q0+∆ )1.85=k (Q 01.85+1.85Q0

1.85−1∆+… )

Se desprecian los términos a partir del segundo pro ser tan pequeños ∆ comparado con Q0.

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Para el laso o circuito mostrado en la figura, al sustituir en la ecuación (I) se obtine:

k (Q 01.85+1.85Q0

0.85∆ )−k (Q01.85+1.85Q 00.85∆ )=0

k (Q 01.85+1.85Q0

1.85 )+1.85 k (Q00.85+1.85Q00.85 )∆=0

Despejando ∆.

∆=−k (Q01.85+1.85Q01.85 )1.85k (Q00.85+1.85Q00.85 )

En general para un circuito más complicado se tiene:

∆=−∑ k Q0

1.85

1.85∑ k Q00.85……… (3)

Pero k Q01.85=H Ly k Q0

0.85=H L

Q0 por lo tanto,

∆=−∑ (H L)

1.85∑ (HL

Q0 )………(4 )

Ejercicio 2:

En el sistema de tuberías en paralelo, mostrado en la fig. 2, determinar, para Q=456 l /s, los caudales en los dos ramales del circuito utilizado en el método de Hardy Cross.

1500m - 30cm DC1 = 120

900m - 40cm DC1 = 120

WQ Z Q

Solución:

Se supone que los caudales Q30 yQ40. Son iguales, respectivamente, a 150 l /s y 306 l /s los cálculos se realizan en la tabla que sigue (obsérvese que se ha puesto 306 l /s), procediendo asi se calculan los valores de S mediante el Diagrama B, o por cualquier otro procedimiento, luego

H L=S∗L y a continuación se determinan HL

Q0 . se notara que cuanto

mayor sea ∑ H Lmás alejados de los correctos estarán los caudales Q. (los valores de Q se han elegido deliberadamente distintos de los

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correctos para que den lugar a valores grandes de ∑ H L y así ilustrar en el procedimiento.)

Dcm

Lm

Q0 supuesto

l /s

H L

mHL

Q0

∆ Q1

3040

1500900

150-306

25.5-14.4

0.1700.046

-27.8-27.8

122.2-333.8

∑ ¿456 ∑ ¿+11.16 0.216 456

∆=−∑ (H L)

1.85∑ (HL

Q )= −+11.161.85 ( .216 )

=−27.8 l /s

Entonces, los valores de Q1serán(150−27.8 )=122.2 l /s y (−306−27.8=−333.8 ) l /s. Repitiendo de nuevo el proceso de cálculo:

H L HL

Q1

∆ Q2

16.5-17.1

0.1350.051

+3.2+3.2

125.4330.6

∑ ¿+0.6 0.186 456No es necesario hacer una nueva aproximación ya que el diagrama B no puede conseguirse una mayor precisión de 3l/s aproximadamente. Teóricamente, HL deberían ser igual a cero, pero esta condición se obtiene muy raramente.

Se observa que el caudal que fluye por la tubería de 30cm era el 26,4% de 456l/s, es decir, 120.4l/s lo que constituye una comprobación satisfactoria.

Ejemplo 3.- Para la red mostrada en la figura calcular el gasto en cada ramal. Considerar H C = 100 en todas las tuberías.

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Solución. Para la solución de esta red vamos a aplicar el método de Hardy Cross. La ecuación de descarga en cada tubería es.

Estas ecuaciones corresponden a la fórmula de Hazen y Williams, que es la que utilizaremos, dado que el coeficiente de resistencia está en los datos referido a dicha fórmula. Si éste no fuera el caso se utilizaría las ecuaciones correspondientes. Empezaremos por dividir la red en dos circuitos en cada uno de los cuales consideramos como sentido positivo el correspondiente al sentido contrario de las agujas del reloj. Esto es puramente convencional y podría ser al contrario.Haremos también, tentativamente, una suposición con respecto a la distribución de caudales. En consecuencia cada caudal vendrá asociado a un signo. Habrá caudales positivos y negativos. Por consiguiente las pérdidas de carga en cada tramo también estarán afectadas del correspondiente signo. Sabemos, sin embargo, que ni los caudales ni las pérdidas de carga tienen signo. Se trata solamente de algo convencional para expresar la condición 1 que debe satisfacer una red. Se obtiene así:

La magnitud y el sentido del caudal en cada ramal se ha escogido arbitrariamente, cuidando tan sólo que se cumpla la ecuación de continuidad en cada nudo (en valores absolutos naturalmente).Ahora debemos hallar los valores de K en cada ramal para facilitar así el cálculo de la pérdida de carga con los diferentes caudales que nos irán aproximando sucesivamente a la solución final.

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CIRCUITO I CIRCUITO II

BNNMMB

0,033670,02806MB

CMMNNC

0,009690,028060,00830

Calculemos ahora los valores de la pérdida de carga f0 h en cada circuito aplicando la ecuación de descarga.

CIRCUITO I CIRCUITO II

BNNMMB

+87.23- 7.16-56.35+23.72

CMMNNC

-57.93+7.16+34.23-16.54

Aplicamos ahora la ecuación

Para obtener la corrección que debe aplicarse al caudal supuesto en cada ramal. Se obtiene para cada circuito.

Los nuevos caudales y los correspondientes valores de la pérdida de carga hF son los siguientes.

Calculamos nuevamente

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Los nuevos caudales y los correspondientes valores de hf son

Calculamos ahora nuevamente la corrección Q

En consecuencia los caudales son:

Estos caudales satisfacen las tres condiciones de una red.Obsérvese que la condición 1, Σhf=0 para cada circuito es la expresión de conceptos básicos del flujo en tuberías. Aplicada, por ejemplo, al circuito I, debe entenderse que en realidad refleja el comportamiento de un sistema en paralelo, tal como se ve a continuación.

Por lo tanto se debe cumplir la ecuación fundamental.

Como efectivamente ocurre con los resultados obtenidos.Debe cumplirse, por las mismas razones, las siguientes ecuaciones

La condición 3 queda también satisfecha. Tomemos un ramal cualquiera (NC).

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TABLA CALCULOS DEL EJEMPLO 3

K Q hf Q hf BNNMMB

Circuito 10,033670,028060,00692

+70-20-130

87,23-7,16-56,35 +23,7

2

-6-13-6

+64-33-136

+73,91-18,09-61,26

-5,44

+1+3+1

+65-30-135

+76,06-15,16-60,43

+0,47

000

CMMNNC

Circuito 20,009690,028060,00830

-110+20+90

57,93+7,16+34,23

-16,54

+7+13+7

-103+33+97

-51,29+18,09+39,32

+6,12

-2-3-2

-105+30+95

-53,15+15,16+37,83

-0,16

000

Al aplicar el método de Hardy-Cross se sugiere realizar una tabulación como la aquí presentada, que corresponde al ejemplo 5.9.

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EJEMPLO 4.-Resolver la malla de la figura, suponiendo los coeficientes de pérdidas de carga k constante.

Datos:

Resolución En primer lugar, debe hacerse una suposición de caudales:

Malla I:

Malla II: En primera iteración será:

Tubería Qi hpi hpi lQi ∆Q1

Malla I

1-21-42-42-3

0.35-0.650.110.24

220.5-287.372.6115.2

6304426604800

-0.0016

Malla II3-42-4

-0.76-0.1084

-1039.6-70.5

1368650.4

-0.03

Ahora se corrigen los caudales con los valores obtenidos Qi. Nótese que el caudas Q24 en la malla II ya se ha corregido con el valor QI=-0.0016 obtenido previamente en la malla I. A continuación se repite el proceso:

Tubería Qi hpi hpi lQi ∆Q1

Malla I

1-21-42-42-3

0.348-0.6520.1110.237

217.9-28973.9112.3

326.4443.36664740

-0.0008

Malla II3-42-4

-0.763-0.11

-1047.9-72.6

1373.4660 -0.00018

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La aproximación es suficiente, por tanto los valores correctos para el caudal son los siguientes:

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EJEMPLO 5.- Se trata de analizar la red de la figura, aplicando las dos versiones del método de Cross.

Esquema de la red de tuberías del ejemplo.Los resultados del análisis de la red Luego de analizar la red de la figura, aplicando los dos métodos, se obtuvieron los resultados consignados en la figura 3 y la tabla 1.

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Tabla1. Datos de la red resultados obtenidos

DATOS INICIALES DE LA REDC = 125; k = 0.15 mm

METODO DE CROSS-HAZEN & WILLIAMS

METODO DE CROSS-DARCY & WEISBACH

Circuito No.

Tramo Longitud Diámetro QinicialNo. Circuito adyacente

QDEF Hf V QDEF hf v

m pulg mm l/s l/s m m/s l/s m m/s

I

1-1 600 16 400 180 0 195.711 3.526 1.557 196.076 3.094 1.560

*1-2 300 12 300 60 2 76.268 1.251 1.079 76.358 1.077 1.080

*1-3 300 8 200 10 3 25.011 1.144 0.796 25.249 1.004 0.804

*1-4 600 12 300 -70 4 -46.509 -1.001

-0.658 -45.841 -0.809

-0.649

1-5 600 16 400 -250 0 -234.289 -4.919

-1.864 -233.924 -4.367

-1.862

å hf = 0.001 å hf = -0.001

II

*2-1 300 12 300 -60 1 -76.268 -1.251

-1.079 -76.358 -1.077

-1.080

2-2 300 12 300 70 0 69.443 1.051 0.982 69.718 0.904 0.986

*2-3 300 8 200 -10 3 -11.257 -0.261

-0.358 -11.109 -0.212

-0.354

2-4 300 12 300 45 0 44.443 0.460 0.629 44.718 0.386 0.633

å hf = -0.001 å hf = -0.001

III

*3-1 300 8 200 -10 1 -25.011 -1.144

-0.796 -25.249 -1.004

-0.804

*3-2 300 8 200 10 2 11.257 0.261 0.358 11.109 0.212 0.354

3-3 300 8 200 25 0 25.700 1.203 0.818 25.827 1.049 0.822

*3-4 300 12 300 -45 4 -36.521 -0.320

-0.517 -36.091 -0.257

-0.511

å hf = 0.000 å hf = 0.000

IV

*4-1 600 12 300 70 1 46.509 1.001 0.658 45.841 0.809 0.649

4-2 300 12 300 -80 0 -87.779 -1.622

-1.242 -88.082 -1.420

-1.246

*4-3 300 12 300 45 3 36.521 0.320 0.517 36.091 0.257 0.511

4-4 300 8 200 60 0 52.221 4.469 1.662 51.918 4.050 1.653

4-5 900 8 200 -20 0 -27.779 -4.168

-0.884 -28.082 -3.695

-0.894

å hf = 0.000 å hf = -0.001

* Significa que el tramo pertenece a dos circuitos, simultáneamente.

CONCLUSIONES

Si bien la ecuación de Hazen & Williams es muy práctica en el cálculo de las pérdidas de carga en tuberías, deja también un poco de inconformidad en cuanto que el coeficiente de resistencia, C, permanece constante, aún con las variaciones del caudal y del número de Reynolds.

Como consecuencia de lo anterior, las "pérdidas" de energía por fricción, hf, serán sobreestimadas en comparación con las calculadas con la ecuación de Darcy Weisbach.

Así mismo, el dimensionamiento de una red determinada, analizada con el Método de Cross y la ecuación de Hazen & Williams, conduciría a la especificación de diámetros mayores que los que se obtendrían si se aplicara el mismo método con la ecuación de Darcy & Weisbach. Ello se comprobaría cuando, de cumplir requerimientos de cargas de presión mínima y máxima, se trata.

 

RECOMENDACIONES

Se recomienda la difusión y el uso más generalizado del Método de Cross con la ecuación de Darcy Weisbach, en conjunción con la ecuación de Colebrook White.

Es más confiable un valor de k que el correspondiente a C. El valor del coeficiente de viscosidad cinemática, v, debe

introducirse lo más acertado posible, es decir, para una temperatura del agua lo más real posible.

BIBLIOGRAFIA

Mecánica de fluidos II de F Ugarte Buscador google Mecánica de los fluidos y hidráulica de Ronald V. Giles Hidráulica de canales de Arturo Rocha