Influencia de La Calidad de La Malla de Discretización Espacial

8/16/2019 Influencia de La Calidad de La Malla de Discretización Espacial

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Anexo I : Calidad de Malla y Condiciones de Contorno Periódicas

ANEXO I: Influencia de la Calidad de Malla

en las Simulaciones. Uso de Condiciones de

Contorno Periódicas

1 Consideraciones Generales para el Mallado de un Modelo

Uno de los factores más importantes a la hora de realizar una simulación por mediode cualquier aplicación que use el método de los elementos finitos, es, sin dudaaluna el mallado de la eometr!a o"#eto de simulación$

Por una parte, es importante la elección del tipo de malla$ Al respecto han deconsiderarse los siuientes aspectos %&'(:

)iempo necesario para crear la malla

Costes computacionales

*l efecto de la difusión numérica

+a eometr!a de la mayor parte de los pro"lemas que se resuelen hoy en d!a por medio del análisis C-. son eometr!as comple#as$ +a creación de mallasestructuradas, o estructuradas por "loques /constituidas por elementos cuadriláteroso hexaédricos0 para tales pro"lemas puede ser, o "ien extremadamente comple#a,requiriendo un consumo de tiempo excesio, o simplemente imposi"le$ *l tiempo,ital en el mundo de la inenier!a, suele llear en estos casos a la elección de mallasde tipo no estructuradas, que emplean elementos de tipo trianular o tetraédrico$

Cuando las eometr!as son comple#as o el rano de lonitudes de escala del flu#o esrande, un mallado trianular1tetraédrico suele ser más apropiado, requiriendo unmenor n2mero de celdas que un mallado cuadrilátero1hexaédrico$ *sto es de"ido aque las primeras permiten que las celdas sean arupadas en reionesseleccionadas del dominio fluido, mientras que las mallas estructuradas puedenllear a requerir un ran n2mero de celdas en zonas donde no se necesitan$ 3oo"stante, para eometr!as de un rado de comple#idad medio, las mallas noestructuradas de tipo cuadriláteras1hexaédricas, ofrecen muchas de las enta#as delas mallas trianulares1tetraédricas$

*n otros aspectos, las mallas cuadriláteras1hexaédricas ofrecen tam"ién enta#asrespecto a las trianulares1tetraédricas$ +as primeras permiten mayores relacionesde aspecto$ Una relación de aspecto eleada en mallas trianulares1tetraédricasimplica necesariamente mayores esquinamientos de las celdas, lo que de"e eitarsesiempre que sea posi"le, dada la repercusión neatia en la conerencia yexactitud del pro"lema$

*n cuanto a la difusión numérica /tam"ién llamada difusión ficticia, dado que no setrata de una difusión f!sica real0, se trata de una de las fuentes de error dominantesen situaciones multidimensionales$ )odos los aloritmos numéricos para laresolución de flu#os de fluidos presentan el pro"lema de la difusión numérica, por los

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errores de truncamiento deriados de la consideración de las ecuaciones del flu#o enforma discreta$ +a difusión numérica está muy relacionada con la resolución de lamalla$ As!, mallas refinadas proporcionarán menor difusión numérica$ )am"ién seminimiza el pro"lema cuando el flu#o está alineado con la malla, lo que hace másapropiadas las mallas cuadriláteras1tetraédricas al ser imposi"le usando una malla

trianular1tetraédrica$

2 Importancia de la Calidad de una Malla

+a calidad de la malla #uea un papel important!simo en la esta"ilidad y exactitud delos cálculos numéricos %&'($ Alunas de las propiedades asociadas con la calidad deuna malla son, por e#emplo, la densidad y distribución de los nodos, suavidad ,esquinamiento, relación de aspecto, etc$

Como al mallar un modelo se define de forma discreta un recinto que en realidad escontinuo, el rado de exactitud con el cual se resuelen las zonas más comple#asdel flu#o /como zonas en las que se producen ondas de choque, zonas de mezcla,fuentes o sumideros$$$0, dependerá de la densidad y distribución de los nodos de lamalla en dichas zonas$ Una resolución po"re de la malla en estas zonas cr!ticas delflu#o pueden alterar dramáticamente sus caracter!sticas$

Por e#emplo, en flu#os laminares, a la hora de mallar la zona adyacente a lasparedes para modelar la capa l!mite, es particularmente importante que se cumpla lasiuiente relación:

& pu

y x

¥

£

distancia desde la pared al centro de la celda adyacente

,elocidad del flu#o li"re

,iscosidad cinemática del fluido

distancia desde el punto donde comienza la capa l!mite hasta la pared

py

u

x

¥

=

=

=

=

+a resolución de la malla en flu#os tur"ulentos es tam"ién muy importante$ .e"ido ala interacción entre el flu#o principal y la tur"ulencia, los resultados numéricos

tienden a ser más sensi"les a la dependencia de las caracter!sticas del mallado quelos flu#os laminares$ *n estos casos, la resolución de la malla requerida en las zonasadyacentes a las paredes depende del modelo de pared usado$

.esafortunadamente, en los casos tridimensionales comple#os, es muy dif!cilpredecir la localización de las zonas cr!ticas en las que tienen luar cam"iosimportantes en el flu#o, con el fin de definir una malla lo suficientemente refinada endichas zonas$ *n el caso tridimensional estamos además condicionados por aspectos como la CPU y la memoria del ordenador usado para realizar lasimulación$ 3aturalmente, conseuiremos mayor exactitud con mallas "ienconstruidas y refinadas, pero a costa de mayores tiempos de cálculo y

postprocessing de la solución$4tro factor importante es la suavidad de la malla$ *sta propiedad está relacionadacon el cam"io de olumen entre celdas adyacentes$ Cam"ios rápidos conllean a un

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ran error de truncamiento, definido como la diferencia entre las deriadas parcialesentre las ecuaciones de flu#o y sus aproximaciones discretas$

)am"ién es preciso tener en cuenta la forma de las celdas$ Al respecto se ha"la deesquinamiento y relación de aspecto$

*l esquinamiento de una celda se define como la diferencia entre la forma dela celda y la forma de una celda cuadrilátera del mismo olumen$ Celdas muyesquinadas pueden reducir la exactitud y desesta"ilizar la solución$ +asmallas cuadriláteras óptimas son aquellas con ánulos en los érticespróximos a 567, mientras que las mallas trianulares de"er!an tener preferi"lemente ánulos próximos a 867 y todos sus ánulos menores de 567$

+a relación de aspecto es una medida del estiramiento de la celda$ Paraflu#os no isotrópicos, el uso de relaciones de aspecto randes puedeproporcionar resultados exactos con un menor n2mero de celdas$ 3o

o"stante es coneniente no usar relaciones de aspecto superiores a larelación 9:&$

Por 2ltimo, los efectos de la resolución, suaidad y forma de la malla so"re laexactitud y la esta"ilidad del proceso de solución, son altamente dependientes delas caracter!sticas del flu#o o"#eto de simulación$ Celdas muy esquinadas puedentolerarse en zonas donde el flu#o no sufre cam"ios, mientras que en zonas de altosradientes pueden ser muy per#udiciales$ .ado que, normalmente, no podemosdeterminar a priori dónde se producen los mayores radientes, es aconse#a"lemallar el modelo completo con una malla de alta calidad$

3 Efecto de la Calidad de Malla en la Simulación del Difusor Con la intención de erificar la influencia que la calidad del mallado tiene so"re losresultados al simular el difusor, se han usado dos modelos eométricos diferentes,am"os correspondientes al mismo difusor: 5 ála"es orientados a &;


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(a) Modelo G2 (b) Modelo G2 '68666 celdas hexaédricas mixtas '58'86 celdas hexaédricas mixtas y piramidales

Fig. AI.1: Calidad de malla de los modelos G1 y G2

Fig. AI.2: Malla del modelo G1

Fig. AI.3: Malla del modelo G2

14#


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Para er cómo repercute la calidad de malla en los resultados se han representadolos campos de elocidades en am"os modelos$ +as simulaciones se efectuaron paraun ánulo de entrada de la elocidad iual a &;< y empleando el mismo criterio deconerencia en todos los casos$

Fig. AI.4: Campo de velocidades en el modelo G1

Fig. AI.5: Campo de velocidades en el modelo G2

14$


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>e o"sera parte los campos de elocidades son parecidos pero no idénticos$ +adiferencia se hace más eidente en la estela a la salida de los ála"es$ Para elmodelo =& la estela es mayor, por lo que las pérdidas ser!an mayores en estemodelo$ >in em"aro, para el modelo = la estela no es tan rande$ )am"ién seo"seran diferencias en la zona de entrada próxima al "orde de ataque de los

ála"es en la cara de succión$ *n el modelo = las elocidades más altas están másconcentradas en esta zona, mientras que en el modelo =& la distri"ución está másdifuminada$ Por otra parte, la solución de"e ser simétrica siendo más clara en elmodelo =$

A pesar de que el modelo = se malló con un n2mero de celdas más eleado, sealcanzó la conerencia de forma mucho más rápida y esta"le, requiriéndose untiempo aproximado a los '6 minutos$ *n el modelo =& resultó más costoso alcanzar la conerencia para la primera simulación /correspondiente al primer ánulo deentrada simulado0 y fueron necesarios tiempos en torno a la hora en el resto$

Podemos concluir que, la calidad del mallado, es un factor muy a tener en cuenta ala hora de realizar una simulación usando herramientas de tipo C-.$ *n un apartadoposterior tam"ién se pondrá de manifiesto su importancia en el postprocessing $

4 Uso de Condiciones de Contorno Periódicas

-+U*3) ofrece la posi"ilidad de tra"a#ar con condiciones de contorno periódicas$ +a

enta#a de usar este tipo de condición de contorno es eidente: el olumen decontrol es menor, siendo menor tanto el un n2mero de celdas necesario para mallar el modelo, como el tiempo de cálculo$

Para analizar la fia"ilidad de su uso se construyó el modelo P1, cuyo olumen decontrol incluye tan sólo dos ála"es$ Comparando la solución para este modelo y ladel modelo = /difusor completo0, puede compro"arse si existe similitud en laszonas correspondientes a los contornos periódicos$

Fig. AI.6: Modelo 1. !os "labes con condiciones de con#o$no pe$i%dicas

+a fiura AI$8 muestra el olumen de control del modelo P&$ +a estrateia demallado, iual a la empleada en el modelo =, queda representada en la fiura AI$,resultando un total de ?8&66 celdas y una "uena calidad, como indica la ráfica de

la fiura AI$;$

1%


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Fig. AI.&: Mallado del Modelo 1

Fig. AI.': Calidad de Malla. Modelo 1

+a fiura AI$5 es una fotoraf!a del campo de elocidades en el modelo P&$ Para

conseuirla, se repitió arias eces la solución o"tenida para el olumen de control,representando as! el difusor completo$

Fig. AI.: Campo de velocidades. Modelo 1

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>i se compara esta distri"ución de elocidades, con la correspondiente al modelo=, representada de nueo en la fiura AI$&6, emos que son prácticamenteidénticas$

Fig. AI.1: Campo de velocidades. Modelo G2

Además, como se aprecia al comparar las fiuras AI$&& y AI$&, la solución es

tam"ién prácticamente idéntica en el canal formado por los dos ála"es del modeloP& y los canales correspondientes a los contornos periódicos$

Fig. AI.11: Campo de velocidades. Modelo G2

1&


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Fig. AI.12: Campo de velocidades. Modelo 1

A pesar de que el análisis realizado está "asado en una comparación puramenteisual, es suficientemente "ueno como para aceptar el uso de este tipo decondiciones de contorno$ >in em"aro puede completarse simplificando a2n más elmodelo, usando la periodicidad para simular un sólo ála"e$ Para ello se construyó elmodelo P cuya eometr!a y mallado se muestran en la fiura AI$&?$

Fig. AI.13: Modedo 2

+a técnica de mallado uele a ser la misma que en los modelos P& y =$ Con untotal de ?86 celdas, este modelo queda incluso más refinado$ +as simulacionesconsumieron un tiempo aproximado de & minuto y 6 seundos$

1'


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Bepitiendo periódicamente la solución alcanzada se o"tiene el campo deelocidades completo$


Pero para o"serar las posi"les diferencias con el modelo P&, que simula"a doscanales, es coneniente representar 2nicamente dos de esas repeticiones$ +asfiuras AI$&9 y AI$&8 ilustran esta comparación$ >e o"sera que las solucioneso"tenidas son, una ez más, seme#antes$

Conclusiones

)eniendo en cuenta la seme#anza o"tenida entre las soluciones para los modelos=, P& y P y las diferencias considera"les de tiempos de cálculo, es

razona"lemente acepta"le el uso de condiciones de contorno periódicas en-+U*3) de forma eneral y, particularmente, para simular las distintas eometr!asde ála"e en un difusor$

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5 Efectos So!re el Postprocessing

a"itualmente, la solución o"tenida por medio de una simulación para cada una delas manitudes del flu#o, se somete a una operación denominada D postprocessing E$

*sto sinifica que los alores numéricos de la solución se emplean para llear a otrotipo de resultados$ *n este apartado se analizará la forma en que afectan a dichaoperación los siuientes aspectos:

)écnica y calidad de mallado

Befinamiento

Criterio de conerencia

.ado que el proceso se "asa en los alores numéricos o"tenidos a partir de lasolución, la forma en que se miden dichos alores es muy importante$ -+U*3)dispone de arias herramientas para medir las manitudes del flu#o$ Al respecto es

importante el tipo de eometr!a /punto, cura, superficie o olumen0 con respecto ala cual se realiza la medida, as! como la posi"ilidad de tra"a#ar en "ase a los aloresalcanzados en los nodos de las celdas o en el centro de las mismas$ Por ello, el

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mallado afecta directamente a los cálculos realizados a partir de la solución usandoestas herramientas$

Como e#emplo de aplicación, se compararon los alores de rendimientocorrespondientes a cada uno de los modelos, definido como:

? 6

:

6

&

:

u

p p

c

=

51 Influencia de la t"cnica # calidad del mallado

+a siuiente fiura muestra los resultados del DpostprocessinE aplicado a losmodelos =&, =, P& y P:

Fig. AI.1&: *endimien#o +$en#e al "ng,lo de en#$ada.Modelos G1- G2- 1 y 2

A la entrada del difusor se fi#ó una condición de contorno de elocidad constante,mientras que a la salida se impuso la presión$ +os puntos de las curas o"tenidascorresponden a distintos ánulos de entrada de la corriente$

Para el modelo =&, el rendimiento alcanzado es "astante menor que para losmodelos =, P& y P$ 4"serando la estela a la salida de los ála"es, puedeentenderse que las pérdidas sean mucho mayores en este modelo a pesar de quelas eometr!as son exactamente iuales$ .ado que las eometr!as son exactamente

iuales, esta diferencia de pérdidas será de"ida al mallado$Continuando con el modelo =&, la forma de la cura es diferente a la de los modelos=, P& y P, similar en todos ellos, presentando además el óptimo en otro punto

1!


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distinto$ *stos tres modelos se mallaron con una "uena calidad de malla yempleando la misma estrateia frente a la mala calidad del modelo =&, mallado conotra técnica y mala calidad$

Por tanto, la técnica de mallado y la consiuiente calidad de malla o"tenida con el

mismo afectan nota"lemente al DpostprocessinE$

52 Influencia de la densidad de malla o refinamiento

+as curas correspondientes a los modelos =, P& y P representadas en la fiura AII$&, presenta"an diferencias que pueden ser de"idas a la desiualdadeométrica$ Mientras el primero simula la eometr!a completa, los modelos P& y Pusan condiciones de contorno periódicas$ .icha diferencia en la eometr!a existetam"ién entre estos 2ltimos, pues en el primero se simularon dos canales mientrasque en el seundo tan sólo uno$

A pesar de que la calidad de malla es similar en todos los modelos, el refinamientode la malla es distinto$ *sta es la causa principal que podr!a #ustificar las diferenciasentre los resultados de estos tres modelos$+a ta"la siuiente muestra la densidad de malla para cada caso expresada enn2mero de celdas por cm?$

Modelo ? V cm 3< de celdas ?o

celdasmalla

ncm

æ öç ÷è ø

G2 89;,8 '58'86 81 '96,9 ?8&66 ;6

2 9,& ?86 &86

abla AI.1: !ensidad de malla de los modelos G2- 1 y 2

Para cuantificar en qué medida es importante este factor, se refinó el modelo P endos nieles, dando luar a los modelos P? y P'$ *sto es además interesante,porque una práctica ha"itual en el uso de herramientas que emplean el método delos elementos finitos, es refinar la malla del modelo una ez alcanzada la solución yseuir iterando para er si ésta experimenta cam"ios sustanciosos$

+a siuiente ta"la recoe la densidad de malla de todos los modelos$

Modelo ? V cm 3< de celdas ?o

celdasmalla

ncm

æ öç ÷è ø

G2 89;,8 '58'86 81 '96,9 ?8&66 ;62 9,& ?86 &863 9,& 8??'' ;&4 9,& &69?'6 '8;

abla AI.2: !ensidad de malla de los modelos G2- 1- 2- 3 y 4

+a fiura AI$&; muestra los resultados o"tenidos:

1"


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AI.1': /n+l,encia de la densidad de malla sob$e el $endimien#o in+e$io$

>e o"sera que la forma de las curas es exactamente la misma, pero estántrasladadas$ A pesar de que, aparentemente la diferencia es nota"le de"ido a laescala de la ráfica, las diferencias máximas /correspondientes a los modelos P& yP?0 no son superiores al &,9F$ Pero en estos dos modelos está incluido el efecto deconsiderar & o ála"es$

>i se comparan los modelos P, P? y P', todos ellos para un sólo ála"e, ladiferencia no es superior al 6,;F$ .ado que el tiempo de simulación para el modeloP' rondó los 6 minutos y para el modelo P tan sólo se emplea"an unos 'minutos, parece razona"le aceptar como álida una densidad de malla del orden de&96 celdas por cm?$ Gnduda"lemente, se puede tra"a#ar con una densidad menor$ +orealmente importante es usar siempre la misma densidad de malla para comparar los modelos que se simulen$

53 Influencia del criterio de con$er%encia

-+U*3) ofrece la li"ertad de fi#ar el criterio de conerencia$ *n la mayor!a de loscasos suele exiirse que los residuos en la solución de la ecuación de continuidadsean inferiores a un determinado alor introducido por el usuario$ )am"ién existe laposi"ilidad de esperar que los residuos alcancen un alor estacionario$ *sto nomerece la pena en la mayor!a de los casos, ya que se pueden alcanzar resultadossuficientemente acepta"les sin esperar a que la solución sea estacionaria, so"retodo, porque puede requerir costes computacionales eleados$.esde el punto de ista del postprocessing y, en particular, el cálculo de manitudesderiadas de las del flu#o, lo más apropiado es analizar la expresión de dichamanitud y er qué aria"les es importante alcanzar un alor esta"le en las

simulaciones$

1#


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*n el caso del rendimiento del difusor,

? 6

:

6

&

:

u

p p

c

=

la aria"le importante es la presión a la entrada$ )anto la elocidad a la entradacomo la presión a la salida son condiciones de contorno impuestas, siendo el criteriode conerencia adecuado esperar una ariación nula de presión a la entrada deldifusor$ Para ilustrar ráficamente la importancia de este factor, se simularon doscasos correspondientes a criterios de conerencia distintos:

Caso A: Criterio de conerencia de residuo en continuidad inferior a &6H9$

Caso B: Criterio de conerencia de ariación de presión nula a la entradadel difusor$

+os resultados o"tenidos se muestran en las fiura AI$$

Fig. AI.22: *endimien#o in+e$io$ pa$a dis#in#os c$i#e$ios de conve$gencia

A pesar de que las curas son claramente distintas, las diferencias pueden noparecer sinificatias$ >in em"aro, pueden llear a serlo en casos en los que lamanitud a calcular dependa de las manitudes del flu#o en una forma más comple#a/siendo la difusión del error mucho mayor0 que en el caso del rendimiento expuestoen este e#emplo$

1$


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Fig. AI.1: Compa$aci%n de los $es,l#ados en las ca$as de p$esi%n ys,cci%n de los modelos 2- 3 y 4

.ado que, a pesar de todo, se empleará el rendimiento inferior como herramienta

para caracterizar los modelos y compararlos, será de ital importancia mallar todoslos modelos usando la misma estrateia, con la misma densidad de celdas yo"tener todos los alores de la misma forma, sin olidar usar un criterio deconerencia apropiado /ariación nula de presión a la entrada del difusor0$

>ólo de esta forma podremos arantizar que la comparación de los resultadoso"tenidos se está realizando de forma adecuada$

Para finalizar, la siuiente ta"la recoe, de forma resumida, las caracter!sticas de losmodelos usados, as! como los tiempos necesarios para alcanzar la conerencia enlas simulaciones$

0 de alabessim,lados

!ensidad delmallado

Calidad delmallado

iempos de sim,laci%n

$ime$ "ng,lo *es#o

5 /Modelo =&0 8 mala so"re & h$ &9 Min$

5 /Modelo =0 8 Muy "uena so"re '6 Min &6 Min$

/Modelo P&0 ;6 Muy "uena 8 Min$ & Min$

& /Modelo P0 &86 Muy "uena ' Min$ & Min$

& /Modelo P?0 ;& Muy "uena ; Min$ &,9 Min$

& /Modelo P'0 '8; Muy "uena 6 Min$ ? Min$

abla AI.3: Compa$aci%n de #odos los modelos analiados

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