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$: Influencia de las caracterísitcas iniciales de la ...Influencia de las características iniciales de la superficie y la precipitación en la dimensión fractal del microrrelieve del$
IInnfflluueenncciiaa ddee llaass ccaarraacctteerrííssttiiccaass iinniicciiaalleess ddee llaassuuppeerrffiicciiee yy llaa pprreecciippiittaacciióónn eenn llaa ddiimmeennssiióónn

ffrraaccttaall ddeell mmiiccrroorrrreelliieevvee ddeell ssuueelloo

Surface initial characteristics and rainfallinfluence on fractal dimension of soil microrelief

VIVAS MIRANDA, J. G. y PAZ GONZALEZ, A.

The complex behavior of soil surface microrelief and its evolution is difficult to quantify. Severalempirical roughness indices and geostatistical procedures currently used have been found to besensitive to describe roughness differences between surfaces and changes within a surface due torainfall. Such indices are simple, quantitative and synthetic descriptors of the complex soil sur-face organization, thought spatial indices provide some information about the association ofmain elements (biggest clods and aggregates) determining microrelief variations. Fractals aremathematical objects that show the same structure when examined at all possibles scales. Fractaldimension, the basic parameter characterizing a fractal object, is a potential index to quantifysoil micorelief characteristics and changes induced by rainfall energy. A high resolution non-con-tact laser profile meter was used to measure microtopography on two artificial soil surfaces, befo-re and after simulated rainfall. The experimental surfaces were reconstructed from aggregates ofa plough layer and were thought to simulate two types of natural seedbeds, rough and fine. Thecalculation of the fractal dimension was performed through a variational method, by a numeri-cal algorithm based on the roughness around the local root mean square (RMS), which developsa straight line roughnes (SLR). Plotting SLR values versus distance along a profile in a log-logscale results in a straight trend line over a limited range of distance, the slope of which is desig-ned as Hurst exponent, related to the fractal dimension. Thus, the spatial organisation of the soilsurface can be considered as a fractal structure over a finite range of scales. Mean values of thesurface fractal dimension were 2.51 for the rough surface and the 2.72 for the fine one. The slowdecrease of microrelief caused by surface sealing under rainfall was also described by the fractalindex. This study showed that fractal analysis provides a relevant quantification of seedbed typeand an assessment of microrelief changes in relation to rainfall amount.

Key words: roughness, fractal dimension, microrelief, spatial modelization

VIVAS MIRANDA, J. G. y PAZ GONZALEZ. Facultad de Ciencias. Universidad de A Coruña. AZapateira, 15.071, A Coruña.

Cadernos Lab. Xeolóxico de LaxeCoruña. 1998. Vol. 23, pp. 121-136

122 Vivas Miranda & Paz González CAD. LAB. XEOL. LAXE 23 (1998)

IINNTTRROODDUUCCCCIIOONN

La rugosidad de la superficie del suelo,parámetro utilizado habitualmente paraevaluar el microrrelieve, se puede expresarcuantitativamente mediante diversos índi-ces empíricos, como por ejemplo a partirde la desviación estándard de las alturasrespecto a un nivel de referencia (rugosi-dad aleatoria, definida por ALLMARAS etal, 1967) o la relación entre la distanciareal medida a lo largo de un perfil micro-topográfico y la distancia más corta o dis-tancia horizontal (BOIFFIN, 1984). Losíndices empíricos presentan la desvantajade que no proporcionan una interpretaciónen términos físicos de la organizaciónespacial de las medidas de altura, ni sobreel aspecto de los agregados o unidadesestructurales de la superficie, de modo quedos superficies con unidades estructuralesmuy diferentes pueden tener la mismadesviación estándard.

El microrrelieve de la superficie delsuelo también ha sido caracterizadomediante herramientas geoestadísticas, loque permite tipificar patrones de variaciónespacial mediante índices con base físicacomo la pendiente límite y la diferencialímite, propuestos por LINDEN & VanDOREN (1986), tomando como base elanálisis de los semivariogramas de primerorden. La utilización de parámetros dedu-cidos del álgebra de Bool (CHADOEUF etal.,1989; GOULARD et al., 1994) parasimular las características de la superficiedel suelo, ha permitido reconstruir super-ficies tridimensionales similares a lasmedidas experimentalmente; en este casola configuración de los agregados se inten-ta simular mediante esferas o elipsoides,

cuya distribución de diámetros se puededescribir mediante una distribución dePoisson.

La medida de la longitud o perímetrode un perfil rugoso es un problema clásicode geometría fractal : depende de la longi-tud de la unidad de medida empleada, o loque es lo mismo, de la escala de observa-ción. Dicho en otras palabras, lo que sepretende es evaluar un objeto no rectilí-neo, el perfil microtopográfico, a partir demedidas experimentales que solo propor-cionan una distancia recta entre dos pun-tos. Cuanto más pequeña sea la distanciaentre los sucesivos puntos de medida,mayor será la longitud estimada del perfil(GALLART & PARDINI, 1996). Lascaracterísticas de irregularidad del perfil ola superficie microtopográfica sugiereninmediatamente el uso de la geometríafractal para su estudio y modelización.

Fractal, un término acuñado porMANDELBROT (1975), quien transmitela idea de que la naturaleza se rige por pro-cesos y genera fomas de naturaleza fractal.En las ciencias de la naturaleza la irregula-ridad de sus formas, procesos y series dedatos obtenidos de la observación es unaconstante. La geometría fractal ha puestode manifiesto cómo procesos no linealesdeterministas muy simples pueden produ-cir una gran complejidad y también cómoprocesos aleatorios pueden generar formasdeterministas (IBAÑEZ et al., 1995;MARTIN, 1995). En muchos casos ello hapermitido en gran parte la génesis de irre-gularidades que se creían fruto de la super-posición de un gran número de factoresaleatorios y, por tanto, solo abordables conlas técnicas estadísticas clásicas.

El término fractal fue introducido para

CAD. LAB. XEOL. LAXE 23 (1998) Influencia de las características 123

definir aquellos objetos o fenómenos espa-ciales y/o temporales que son continuospero no diferenciables y que exhibencorrelaciones espaciales sobre muchas esca-las. Una definición más estricta del térmi-no fractal podría consistir en «series demedidas en las cuales la dimensión deHausdorff-Besicovitch excede la dimen-sión topológica» (BURROUGH, 1985).En la práctica, el análisis de la naturalezafractal de un fenómeno se basa en el uso dealgoritmos que comprueban sus caracterís-ticas a diferentes escalas.

El parámetro básico para caracterizar aun objeto fractal es su dimensión, un con-cepto puramente geométrico. Los objetosno fractales llevan asociada a su estructurauna dimensión topológica que viene dadapor un número natural. Así, se dice queuna curva tiene dimensión 1, una superfi-cie tiene dimensión 2 y una región sólidadel espacio tiene dimensión 3. Por contra,los fractales pueden tomar valores realesintermedios entre los enteros, dado querepresentan estructuras de transición entrecurvas y superficies o superficies y regio-nes sólidas.

La geometría fractal ha progresadohasta llegar a desarrollar un aparato con-ceptual y metodológico muy importante.Hoy en día se habla de diversos tipos defractales, tales como los fractales autosi-milares, autoafines y los multifractales(KORVIN, 1992). El hecho de que laspartes que componen un conjunto geo-métrico sean semejantes al total se expre-sa diciendo que el conjunto fractal esautosimilar; el concepto de aauuttoo--ssiimmiillii--ttuudd se ilustra en la figura 1, en donde seaprecia la idea de invariabilidad de esca-la, es decir la independencia de la estruc-

tura geométrica respecto a la escala deobservación.

En este trabajo se estudia la dimensiónfractal del microrrelieve del suelo a partirde medidas de perfiles microtopográficosefectuadas con rugosímetro laser de altaresolución en superficies experimentalespreparadas artificialmente en condiconesde laboratorio. Dichas superficies simula-ban un lecho de siembra en el que se deter-minó el microrrelieve inicial, así como suevolución y degradación bajo lluvia simu-lada.

MMAATTEERRIIAALL YY MMEETTOODDOOSS

El suelo estudiado es un Cambisol cró-mico, según la clasificación de la FAO,desarrollado sobre esquistos de Ordenes enla localidad de Mabegondo (La Coruña),cuyas características generales figuran enun trabajo anterior (GOMEZ SUAREZ,1998; PAZ & TABOADA, 1996). La

FFiigg.. 11 EEnn llaa ppaarrttee ssuuppeerriioorr ssee oobbsseerrvvaa uunn oobbjjeettooffrraaccttaall,, aabbaajjoo aa llaa ddeerreecchhaa uunn ddeettaallllee ddee eesseeoobbjjeettoo,, aabbaajjoo aa llaa iizzqquuiieerrddaa uunn ddeettaallllee ddeellddeettaallllee.. DDaaddoo qquuee uunn ddeettaallllee aammpplliiaaddoo eesssseemmeejjaannttee aall ttooddoo ssee ddiiccee qquuee eessee oobbjjeettoo pprree--sseennttaa aauuttoo--ssiimmiilliittuudd..


toma de muestra se efectuó en el horizon-te de laboreo entre 0 y 20 cm

Se estudiaron dos superficies experi-mentales, que consistían en una capa de 5cm de espesor máximo obtenidas por mez-cla de agregados de distinto calibre, enproporciones que intentan reconstruir laestructura de lechos de siembra del suelocon diferente micorrelieve.

Las dos superficies estudiadas diferíanen cuanto a la proporción de agregados dediferente calibre, sobre todo, los de mayoresdimensiones. En la primera, más gruesa, esdecir con mayores diferencias locales demicrorrelieve, la proporción de agregadosde 10 a 20 mm se cifraba en 15 % y la deagregados de 20 a 30 mm en un 10%; lasegunda, relativamente más fina, carecía deunidades estructurales mayores de 10 mm.La preparación de estas capas artificiales sellevó a cabo en recipientes cuadrados de 58cm x 58 cm sobre un lecho de arena fina.

Previamente a la preparación del lechode siembra artificial, los agregados sehumectaron lentamente por ascenso capi-lar, con objeto de reducir la microfisura-ción. Antes del inicio de la experiencia, ellecho artificial se llevó a saturación. Enestas condiciones el principal mecanismoque contribuye a la desagregación es elimpacto de las gotas de lluvia.

La formación artificial de lluvia se llevóa cabo mediante un simulador con unasuperficie de 1,30 m x 1,30 m que constade 380 capilares, situados a 4,6 m de lasuperficie experimental. Las gotashomogéneas que se producen en los capi-lares caen sobre una red metálica en dondese fragmentan y dispersan, resultando unadistribución aleatoria de tamaños. Laintensidad de la lluvia aplicada fue de 30

mm/h. En la figura 2 se presenta un esque-ma del dispositivo experimental usadopara la simulación de lluvia.

En la superficie gruesa se midió lamicrotopografía en siete ocasiones, elestado inicial y otros seis estadios deevolución, resultado de la aplicación delas siguientes cantidades acumuladas delluvia, producida mediante simulador:10, 55, 85, 130, 190 y 250 mm. En lasuperficie fina, la microtopografía semidió en cinco ocasiones, el estado ini-cial y cuatro estadios de evolución suce-sivos, después de la aplicación de 7,5,22,5 y 52, 5 mm.

Durante el escaneado de cada superfi-cie se obtenían 270 perfiles separadosentre sí 2 mm y cada perfil individual, asu vez, constaba de más de 350 puntos demedida, efectuadas con un paso del

FFiigg.. 22.. EEssqquueemmaa ddeell ddiissppoossiittiivvoo eexxppeerriimmeennttaall uuttii--lliizzaaddoo ppaarraa ddeetteerrmmiinnaarr llaa eevvoolluucciióónn ddee llaassuuppeerrffiicciiee ddeell ssuueelloo bbaajjoo lllluuvviiaa ssiimmuullaaddaa..


orden de 1,5 a 2 mm. El rugosímetro derayos láser utilizado ha sido descrito pre-viamente (BERTUZZI et al., 1990). Enesencia consta de una fuente y un recep-tor de Helio-Neon (He-Ne) de bajapotencia y un sistema óptico acopladoque permite proyectar verticalmente unhaz de rayos emitido normalmente a lasuperficie del suelo y tratar las imágenesdesfocalizadas, que son reflejadas demodo que proporcionen medidas pun-tuales de microrrelieve. Este sistemafacilita la eliminación de las interferen-cias entre la curvatura de los agregados yel ángulo del haz incidente, principallimitación de los rugosímetros clásicos.El error absoluto máximo de las medidascon el equipo utilizado es < 0.25 μm.

CCOONNSSIIDDEERRAACCIIOONNEESS TTEEOORRIICCAASS

Una descripción detallada de los méto-dos de determinación de la dimensiónfractal de perfiles y superficies se puedeencontrar en la bibliografía (MANDEL-BROT & WALLIS, 1969; FEDER, 1988).Dado que la metodología utilizada no estodavía muy conocida, a continuación sehará una breve revisión de los conceptosesenciales.

El fundamento del método de análisisde la microtopografía propuesto estriba enla idea de que la dimensión fractal es útilcomo indicador de la rugosidad de unacurva, y así, cuanto mayor es la dimensiónfractal, mayor es su longitud. Dado unfractal, se plantea el problema de medirlo,bien a dicho fractal como conjunto geo-métrico, o bien a alguna característicaligada a su estructura geométrica.

Considerando como objeto de estudio

fractal perfiles microtopográficos defini-dos por valores discretos de altura delmicrorrelieve, es necesario admitir lassiguientes hipótesis:

1 – El conjunto discreto de puntos quecomponen un perfil es unívoco.

2 – La medida de una característica geo-métrica, como por ejemplo la desviaciónestándar de las alturas, efectuada sobre todoel perfil y en cualquier dirección delmismo, es aproximadamente igual en cual-quier punto de este. Es decir el objeto frac-tal estudiado es homogéneo.

Admitiendo, además, que el método demedida utilizado para describir la geome-tría de un perfil depende solamente de laescala que se utiliza,se obtiene:

w=f(L)

donde, w es la medida y L la escala.De tal modo que al llevar a cabo un

cambio de la escala de medida (lo queequivale a multiplicar por un factor bx), lafunción será modificada (por un factor by),lo que permite definir la siguiente regla detransformación de escala:

(1)

donde w es una medida en la dirección y(ej. desviación estándar), L la escala y by ybx los factores de escalamiento en lasdirecciones y y x, respectivamente.

Se puede deducir fácilmente que lafunción que satisface la relación de escala(1) es:

(2)


Donde, el parámetro H se denominaexponente de Hurst, que viene dadopor:

(3)

El exponente de Hurst, H, está directa-mente relacionado con la dimensión frac-tal. En el caso particular de que la medidautilizada para caracterizar el perfil, w, seala desviación estándar, el exponente H y ladimensión fractal del perfil (D) se relacio-nan, de acuerdo con FEDER (1988)mediante la expresión:

D=2-H (4)

A su vez, la dimensión fractal del per-fil está relacionada con la dimensión frac-tal de la superficie formada por una seriede perfiles, (MANDELBROT, 1983)mediante:

Dsuperficie=Dperfil+1 (5)

Como se puede apreciar en las expre-siones (3) y (4), el exponente H, o ladimensión fractal, D, están íntimamenterelacionados con las características geomé-tricas del perfil, sintetizando toda la infor-mación relacionada con su escalamiento.

La mayoría de los métodos existentespara el cálculo de la dimensión fractal sebasan en el análisis de la relación entrediferentes factores de escala del perfil, deacuerdo con la expresión (3). Esta relaciónpuede ser calculada a través de «medidas»de una característica en las diferentesdirecciones del perfil, osea averiguandocómo será afectada una medida (Ej.: dis-

persión, variación entre máx. y mín., etc)en la dirección y en el caso en que se modi-fique la escala en la dirección x. Cadamétodo de medida tiene su grado de pre-cisión y su ámbito de aplicación; en laTabla 1 se resumen algunos de los métodosmás utilizados para estimar la dimensiónfractal.

El método utilizado en este trabajopara calcular la dimensión fractal ha sidoel propuesto por MOREIRA & KAMP-HORST (1994), que consiste en unamodificación del descrito en el apartado 7de la Tabla 1. La diferencia estriba en queen lugar de la dispersión en torno a lamedia (desviación típica), se utiliza elvalor medio de la dispersión en torno a larecta que mejor se ajusta a los puntosexperimentales, dentro de la escala usadapara el cálculo. El algoritmo utilizado sepuede expresar mediante la seguinteecuación:

(6)

Siendo f(i) la función lineal que mejorse ajusta a los puntos del intervalo [i, i+l],que a su vez seguirá la relación descrita enla sección 7 de la Tabla 1, de modo que:

(7)

De donde se infiere que el valor de Hpuede ser determinado por la pendientedel gráfico log-log (doble logarítmico) deW versus l.

Como sugiere la ecuación (3), el expo-nente H aporta información sobre la geo-metría del perfil analizado. Por ello sepuede afirmar que la dimensión fractal, D,


describe la características de ocupación delespacio, pudiendo asumir valores no ente-ros. Es decir, a medida que H disminuye,D se aproxima a 2, por lo que el perfil sevuelve tan tortuoso como si en realidad elespacio comenzase a ser ocupado a modode un plano. De esta forma el exponente Hes un índice excelente para la caracteriza-ción de perfiles rugosos, debido a su capa-cidad de identificar patrones de ocupacióndel espacio.

Otra característica importante delexponente H es la de informar sobre lapersistencia, o no, del proceso estudiado(figura 3). De acuerdo con FEDER (1988)para H>1/2 se aprecia persistencia; así un

incremento positivo en el pasado aumentala posibilidad de un incremento positivoen el futuro. Para H<1/2 ocurre antiper-sistencia, lo que indica que para un incre-mento positivo en el pasado, incrementospositivos en el futuro tendrán mayor pro-babilidad. El parámetro H=1/2 caracterizaa un sistema no correlacionado, como es elcaso del movimiento browniano.

En la figura 3 se puede observar unejemplo de las tres posibilidades antesmencionadas. Trazando un gráfico de ladistancia al origen versus tiempo para dis-tintos valores del exponente de Hurst, H,se obtienen típicos ejemplos de la oscila-ción aleatoria de una variable.

TTAABBLLAA 11.. RReellaacciióónn ddee ddiivveerrssooss mmééttooddooss ppaarraa eessttiimmaacciióónn ddee llaa ddiimmeennssiióónn ffrraaccttaall..


Dependiendo de la persistencia o antiper-sistencia del objeto fractal o sistema estu-diado, la medida representada a lo largodel eje y, en este caso la distancia al origenaumenta con mayor o menor intensidad.En particular, si en vez de la distancia alorigen se representase la rugosidad seobtendrían resultados similares. Se com-prueba de este modo que el exponente Hmide simplemente la forma en que cambiala característica medida en el eje y (en estecaso la longitud del perfil) al variar la esca-la en el eje x.

Para verificar la validez del método decálculo empleado se suelen utilizar funcio-nes teóricas o algoritmos que simulansuperficies aleatorias con notable preci-sión, conocido el exponente de Hurst, H.A tal efecto se utilizó una función teórica,conocida como función de Weierstrasscapaz de generar perfiles con un exponen-

te H determinado. En la Tabla 2 se com-paran los valores teóricos de H frente a losque resultan de la aplicación de la funciónWeierstrass para crear perfiles.

Se comprueba, de este modo, que ladiferencia relativa entre el valor teórico y

el estimado tiende a ser mayor cuandoéstos son extremos (cerca de 0 y de 1) quecuando son medianos (cerca de 0,5). Porotra parte, las diferencias entre los valoresteóricos y estimados de H no se deben

TTAABBLLAA 22.. CCoommppaarraacciióónn eennttrree vvaalloorreess tteeóórriiccoossddeell eexxppoonneennttee ddee HHuurrsstt,, HH,, yy lloosseessttiimmaaddooss mmeeddiiaannttee llaa ffuunncciióónn ddeeWWeeiieerrssttrraassss..

FFiigg.. 33 MMoovviimmiieennttoo bbrroowwnniiaannoo ffrraacccciioonnaarriioo ppaarraa ddiivveerrssooss vvaalloorreess ddeell eexxppoonneennttee ddee HHuurrsstt.. HH==00,,55 ((ssuuppee--rriioorr)),, HH==00,,77 ((cceennttrroo)) ee HH==00,,99 ((iinnffeerriioorr))..


exclusivamente a errores de «medida»,sino que, al ser las diferencias sistemáticas,pueden ser atribuidos en gran parte aimprecisiones durante el proceso de gene-ración de los perfiles teóricos

RREESSUULLTTAADDOOSS YY DDIISSCCUUSSIIOONN

En el caso estudiado, se trata de perfi-les de datos microtopográficos obtenidosmediante un sensor láser que realiza unamedida de altura de la superficie del sueloa intervalos constantes de tiempo. Previoal tratamiento de los datos se examinó elaspecto de cada uno de los perfiles micro-topográficos. En algunos perfiles experi-mentales se detectaron lineas verticalesque destacaban sobre el relieve medio;

estas líneas son un artefacto creado cuan-do, circunstancialmente, el haz láser noretorna al sensor, al ser interceptado porirregularidades del microrrelieve. Para lle-var a cabo los cálculos de la dimensiónfractal se eliminaron estos artefactos delperfil.

Dividiendo la longitud del perfil entreel número total de lecturas efectuadas enel mismo, se obtiene un espaciado medioentre lecturas del orden de 1,5 mm. Paraeliminar posibles efectos de borde debidosa salpicadura de las gotas de lluvia queimpactaban sobre las paredes del recipien-te experimental, se prescindió de las medi-das de altura más externas. Por ello, loscálculos se efectuaron teniendo en cuenta

FFiigg.. 55 DDiiffeerreenncciiaa eennttrree llaa ppoossiicciióónn rreeaall oobbtteenniiddaaccoonn eell eeqquuiippoo llaasseerr uuttiilliizzaaddoo,, XXEE yy llaa ppoossii--cciióónn tteeóórriiccaa XXTT,, qquuee rreessuullttaarrííaa ddee ccoonnssiiddee--rraarr llaa vveelloocciiddaadd ccoonnssttaannttee..

FFiigg.. 44 AAcceelleerraacciióónn ddeell ddeessppllaazzaammiieennttoo mmeeccáánniiccooddeell sseennssoorr,, ccoonnssiiddeerraannddoo qquuee eell iinntteerrvvaallooddee ttiieemmppoo eennttrree llaa ttoommaa ddee ddaattooss iinnddiivvii--dduuaalleess eess ccoonnssttaannttee..


250 de los 270 perfiles medidos, es decirprescindiendo de los 10 perfiles más pró-ximos a cada margen; del mismo modoúnicamente se tuvieron en cuenta 330medidas puntuales de altura en cada perfil,desechando, en consecuencia, los datos ini-ciales y finales en el entorno de los bordes.

Por otra parte, previo al análisis de laestructura fractal, es necesario comprobarla homogeneidad de las series de datosexperimentales de altura medidos con sen-sor láser.

HHOOMMOOGGEENNEEIIDDAADD DDEE LLOOSS DDAATTOOSS

A pesar de las avanzadas prestacionesdel equipo experimental utilizado y deque las medidas de microrrelieve se lleva-ron a cabo en condiciones de laboratorio,se pudieron identificar diversos factoresque causan cierta heterogeneidad de lasseries de datos, cuyos efectos y consecuen-cias sobre las medidas puntuales de alturaconviene tener en cuenta al efectuar el aná-lisis de las dichas series.

En primer lugar, se pudo comprobarque la velocidad instantánea con que sedesplaza el sensor no es constante, sino queexisten aceleraciones y decelariones dediversa intensidad, aunque la aceleraciónmedia es prácticamente nula. En efecto, enla figura 4 se representa la derivada segun-da de la posición del sensor en función delnúmero de pasos o puntos medidos a lolargo del perfil. Se observa que la acelera-ción media se cifra en 0,00014 μm/paso2,es decir 0,14 mm/paso2, del mismo ordende magnitud que la resolución en alturadel sensor. Sin embargo, se aprecia unruído de fondo motivado por continuasaceleraciones y deceleraciones que aproxi-

madamente cada 10 pasos llegan a alcan-zar valores máximos, del orden de 50 a 70μm/paso2, por lo que la desviación están-dar de la aceleración se cifra 22 mm/paso2.

En consecuencia, se aprecia, que sobrela trayectoria del sensor, se ejerce unainfluencia típica de una fuerza externa,que provoca oscilaciones de la aceleracióninstantánea, aunque la velocidad mediacon que se desplaza el sensor tiende a man-tenerse constante. Este efecto probable-mente este motivado por las peculiarida-des del motor paso a paso responsable deldesplazamiento del sensor.

Otra evaluación de la precisión delequipo pueden observarse en la figura 5,en la que se representa la diferencia entrela posición real del sensor láser y la posi-ción teórica, admitiendo que la aceleraciónes nula. Se aprecia mediante este tipo derepresentación que la diferencia entre laposición esperada y la real van creciendodesde el origen del perfil hasta el puntomedio del mismo para disminuir en lasegunda parte del trayecto y anularse denuevo al final del mismo. En este caso lafuerza externa provoca primero un solociclo de aceleración seguido de una decele-ración de tipo cuadrática en el tiempo.Estos resultados probablemente se deben ala deformación de la barra que sostiene elsensor mientras éste se desplaza, provocan-do un aumento de la velocidad hasta que elsensor alcanza el centro de la barra y unadisminución posterior.

En definitiva, en la figura, 5 se com-prueba que los puntos iniciales y finalesdel gráfico están cerca de cero, de formaque el efecto de la aceleración provocadapor el motor paso a paso no se propaga enla barra. En consecuencia, solamente las


escalas menores de distancia, es decir, lospuntos más próximos estan sometidos a lainfluencia de la variación de la velocidaddurante el desplazamiento del sensor a lolargo de la barra fija situada sobre la capade agregados que simula un lecho de siem-bra.

Otras posibles fuentes de heterogenei-dad, relacionadas con el dispositivo expe-rimental utilizado, son ajenas a las presta-ciones del sensor láser. Así, al preparar lasuperficie inicial se fueron depositandomezcladas las fracciones de agregados demenor calibre y se llevó a cabo una nivela-ción de las mismas; por último, los agre-gados de mayor tamaño se situaron al azaren la superficie del lecho artificial. A pesardel cuidadoso proceso de construcción dela superficie experimental, se puso en evi-dencia la presencia de una tendencia line-al de las medidas microtopografía, en lasdos superficies estudiadas, la gruesa y lafina. Por ello el análisis de la estructurafractal se llevó a cabo para dos condiciones:a partir de los datos de microrrelievemedidos directamente con sensor láser yuna vez retirada la tendencia de los mis-mos.

Finalmente, la distribución espacial dela intensidad, y en consecuencia la energíacinética, de la lluvia simulada, puede noser totalmente uniforme, lo que podríaoriginar cierta heterogeneidad durante laevolución de las superficies iniciales.

AANNAALLIISSIISS FFRRAACCTTAALL

Una vez efectuado el análisis crítico delmétodo de medida y de la precisión de losdatos de altura obtenidos, se lleva acabo elestudio fractal del microrrelieve inicial de

las dos superficies experimentales y de laevolución de las mismas, inducida por laenergía cinética de la lluvia.

En la figura 6 se puede observar, enrepresentación doble logarítmica, la rugo-sidad fractal, estimada mediante w(L), ver-sus la escala L, cuya relación viene dadapor la expresión (7), para el estadio inicialy sucesivos estadios de evolución de una delas superficies estudiadas, la mas gruesa.La escala de distancias presenta diversosordenes de magnitud, comprendidas den-tro del rango [3, 250] cuando se expresanen pasos, lo que equivale, (considerandoque la distancia media entre dos alturasdel mismo perfil es de 1,5 mm), a una cifraque oscila entre 4,5 y 375 mm.

Se aprecia que como resultado de larepresentación doble logarítmica del valorde w, (calculado como el valor medio de la

FFiigg.. 66 PPrroocceeddiimmiieennttoo ppaarraa llaa sseeggmmeennttaacciióónn ddee lloossrraannggooss ddee eessccaallaa ((ggrrááffiiccoo ddee WW ((rruuggoossiiddaadd))vveerrssuuss eessccaallaa ppaarraa llaa ssuuppeerrffiicciiee ggrruueessaa)).. RR11rreeggiióónn aaffeeccttaaddaa ppoorr iimmpprreecciissiioonneess ddeell eeqquuii--ppoo,, RR33 nnúúmmeerroo ddee mmuueessttrraass ppeeqquueeññoo.. RR22rreeggiióónn ddee mmaayyoorr sseegguurriiddaadd..


dispersión en torno a la recta ajustada a lospuntos experimentales dentro de cadaintervalo de escala mediante el algoritmoconsignado en la expresión (6)), versus laescala no se obtiene una pendiente unifor-me en los sucesivos segmentos analizados.Destaca también el notable paralelismo delos valores de w hallados para los sucesivosestadios de evolución de la superficie a lolargo de los diferentes intervalos de medi-da. Se comprueba de este modo que laregresión lineal entre log (w) y log (L) estálimtada a la parte central de la escala demedida utilizada y no se cumple ni paralos intervalos de medida menores ni paralos mayores.

En consecuencia se efectuó una parti-ción de la escala en tres porciones, como seesquematiza en figura 7. Este tipo derepresentación permite visualizar para querango de escalas se ajusta mejor la relación(7). Para intervalos de medida elevados,próximos ya a la longitud del perfil losresultados son menos precisos, debido alreducido número de datos experimenatalespuntuales con que se efectuan los cálculos.Para escalas inferiores a 6 mm, los resulta-dos ponen en evidencia la falta de homo-geneidad de los datos, que puede ser debi-da a la poca precisión del equipo utilizadoen este intervalo de medida, como se dis-cutió anteriormente. En consecuencia, elintervalo de medida o región que ofrecemayores garantías para determinar elexponente H se sitúa en la zona etiquetadacomo R2, comprendida entre 6 e 31,5mm.

En la figura 7 se representa, para lasdos superficies estudiadas, la gruesa y lafina, la relación lineal entre log (w) y log(L) en el intervalo de medida en el que se

asume que la estructura de la superficiepresenta comportamiento fractal. Las rec-tas ajustadas a los datos experimentalespresentaron coeficientes de correlaciónsiempre superiores a 0,98. La pendiente deestas rectas de regresión, de acuerdo conlas consideraciones teóricas antes expues-tas, equivale al exponente de Hurst, H.

Los valores del exponente H y de sudesviación típica calculados por regresiónse presenta en la Tabla 3; en los cálculos sehan tenido en cuenta todos los perfiles queforman una superficie, por lo que el expo-nente calculado se refiere a un perfil idealque representa a cada estado de evolución.En esta tabla también se presentan el valorde la dimensión fractal de la superficie,calculado a partir del exponente de Hurstmediante las expresiones (4) y (5). Estosparámetros se han calculado tanto para losdatos de altura iniciales, obtenidos direc-tamente por escaneado mediante láser,como para los datos residuales, que resul-tan de filtrar la tendencia lineal observadaen las superficies.

De la Tabla 3 se infiere, en primerlugar, la pequeña magnitud de los erroresdel exponente de Hurst, H, calculados apartir del error estandar de las rectas deregresión, que oscilan entre 0,007 y0,009. En esta tabla también se comprue-ba que las diferencias entre los valores delexponente H con y sin filtrado de tenden-cia son prácticmente similares, y no difie-ren significativamente. Cabe mencionarque la diferencia máxima calculada para elexponente H entre las dos series de datos(0,004) es menor que el valor mínimo delerror estandar de los ajustes por regresión(0,007).


El dato más revelador de la Tabla 3, sinembargo, es la importante diferencia entrelas dos superficies, por lo que respecta a losparámetros exponente de Hurst, H, ydimensión fractal, D. Para la superficiegruesa y fina se obtuvieron respectivamen-te valores medios de H de 0. 493 y 0,281y valores medios de D de 2,51 y 2,72 parala fina.

En la superficie con agregados demayores dimensiones el exponente deHurst presenta inicialmente valores delorden de 0,5, lo que significa que a la esca-la de medida no hay correlación entre pun-tos vecinos; la distribución de frecuenciasde las alturas sigue una distribución nor-mal. Por contra, en la superficie más fina,que carece de agregados de diámetro supe-

rior a 10 mm, el valor de H indica unacorrelación negativa entre alturas de pun-tos próximos, es decir en esta superficie seobserva antipersistencia. Por otra parte, alaumentar el intervalo de medida en lasuperficie más gruesa aumenta la diferen-cia de alturas, como cabe esperar de lasnotables diferencias de calibre entre losagregados de mayores y menores dimen-siones; en la superficie fina, por contra, lasdiferencias de diámetro de los agregadosson menos importantes, lo que se refleja enla menor pendiente de las rectas de ajustede la figura 7.

En relación con las diferencias entresucesivos estadios evolutivos de unamisma superficie se aprecian una tenden-cia general a la disminución del valor del

FFiigg.. 77 RRuuggoossiiddaadd ffrraaccttaall vveerrssuuss eessccaallaa ppaarraa llaass ssuuppeerrffiicciieess iinniicciiaalleess yy llooss ssuucceessiivvooss eessttaaddiiooss ddee eevvoolluuccóónniinndduucciiddooss mmeeddiiaannttee lllluuvviiaa ssiimmuullaaddaa..

parámetro H (y un aumento de la dimen-sión fractal D) conforme aumenta la preci-pitación, según los datos de la Tabla 3 y lafigura 8. En la superficie más gruesa, des-pués de 250 mm de lluvia acumulada elexponete de Hurst es 0,05 unidades infe-rior al de la superficie inicial, lo que supo-ne una disminución del 5%, mientras queen la superficie fina despues de 52,5 mmde precipitación el valor de H es 0,021unidades inferior al de la superficie inicial,con una disminución relativa del 2,1%. Lavariación más importante de la dimensiónfractal ocurre en los estadios finales, mien-

tras que en los estadios iniciales de evolu-ción se mantiene relativamente constante;de ello se deduce que con la cantidad deprecipitación aportada las superficies sepueden encontrar todavía lejos del equili-brio.

En definitiva, la disminución del valordel exponente H en función de la lluvia,después de una etapa inicial relativamenteestable, indica que este parámetro apuntaa la posibilidad de la utilización delmismo para caracterización la evolucióndel microrrelieve de la superficie del suelo


TTAABBLLAA 33.. RReessuummeenn ddee llooss vvaalloorreess ddeell eexxppoonneennttee HH,, llaa ddeessvviiaacciióónn eessttaannddaarr ddeell mmiissmmoo yy llaa ddiimmeennssiióónnffrraaccttaall,, DD,, ppaarraa llaass ddooss ssuuppeerrffiicciieess eessttuuddiiaaddaass,, aanntteess yy ddeessppuuééss ddee ssee ffiillttrraarr uunnaa tteennddeenncciiaa lliinnee--aall..

por acción de la energía cinética de la pre-cipitación.

El valor del exponemte H de la super-ficie más gruesa tiende a disminuir, con-forme evoluciona el lecho de siembra, lle-gando a alcanzar valores que indican corre-lación negativa (H< 1/2) entre vecinos.Dado que en la superficie más fina el expo-nente H inicial ya presentaba valoresmenores que 1/2 y continúa disminuyen-do, se puede admitir una relación entre latendencia a la reducción del exponente Hy la dinámica de los agregados. De estaforma se puede admitir que por acción dela energía cinética del agua de lluvia dis-minuye el microrrelieve de los agregadosde mayores dimensiones o, lo que es lomismo, que las diferencias de altura entrepuntos próximos tienden a reducirse.

CCOONNCCLLUUSSIIOONNEESS

Los datos de microrrelieve de la super-

ficie del suelo obtenidos mediante unequipo láser de alta resolución en dossuperficies que simulaban un lecho desiembra presentan estructura fractal en elintervalo de medidas comprendido entre 6y 31,5 mm.

A partir de medidas puntuales de altu-ra de la superficie inicial y de sucesivosestadios de evolución de la misma bajo laacción de la lluvia, se obtuvo una dimen-sión fractal media de 2,507 para el lechomás grueso y 2,719 para el más fino.

Al disminuir el microrrelieve del suelopor acción del agua de lluvia tiende aaumentar el valor de la dimensión fractaldel mismo.

AAggrraaddeecciimmiieennttooss:: Este trabajo se efec-tuó en el marco del Proyecto de la UniónEuropea FAIR1/ CT95/ 0458.


FFiigg.. 88 EEvvoolluucciióónn ddeell eexxppoonneennttee HH eenn ffuunncciióónn ddee llaa pprreecciippiittaacciióónn aaccuummuullaaddaa..

BBIIBBLLIIOOGGRRAAFFIIAA

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