Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

47
© © 2002 J.C.Dürsteler - UPF- 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA IUA Infografía I Infografía I Visualización 3D Visualización 3D Proyecciones Proyecciones Vistas Vistas

Transcript of Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

Page 1: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

© © 2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

Infografía IInfografía I

Visualización 3DVisualización 3D

ProyeccionesProyecciones

VistasVistas

Visualización 3DVisualización 3D

ProyeccionesProyecciones

VistasVistas

Page 2: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

IntroducciónIntroducción

• En 2D especificamos una ventana en el mundo En 2D especificamos una ventana en el mundo 2D y un viewport sobre la superficie de visión2D y un viewport sobre la superficie de visión

• La complejidad extra de la visualización 3D La complejidad extra de la visualización 3D proviene de proviene de

– La dimensión añadidaLa dimensión añadida

– El hecho de que la superficie de representación El hecho de que la superficie de representación sigue siendo 2Dsigue siendo 2D

• Ello nos obliga a la proyección del mundo 3D Ello nos obliga a la proyección del mundo 3D sobre el 2Dsobre el 2D

Page 3: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

EstrategiasEstrategias

• Existen 2 estrategias fundamentalesExisten 2 estrategias fundamentales

– Trazado de rayos (screen to world)Trazado de rayos (screen to world)• Para cada píxel de la pantalla se traza un rayo que Para cada píxel de la pantalla se traza un rayo que

parte de la posición del observador, pasa por el píxel parte de la posición del observador, pasa por el píxel y va a parar a la escena.y va a parar a la escena.

– Proyección de primitivas (world to screen)Proyección de primitivas (world to screen)• Las escenas se componen de primitivas que son Las escenas se componen de primitivas que son

proyectadas sobre la pantalla.proyectadas sobre la pantalla.

Page 4: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

Estrategia (proyección)Estrategia (proyección)

• En la visualización 3D se especificaEn la visualización 3D se especifica– un volumen de visualización 3D en el mundoun volumen de visualización 3D en el mundo

– una proyección sobre un planouna proyección sobre un plano

– un “viewport” sobre la superficie de visualizaciónun “viewport” sobre la superficie de visualización

• El contenido de la proyección del volumen sobre El contenido de la proyección del volumen sobre el plano de proyección (la “ventana”) se el plano de proyección (la “ventana”) se transforma sobre el viewport para su transforma sobre el viewport para su presentaciónpresentación

• Las estrategias varían según los sistemas y las Las estrategias varían según los sistemas y las simplificaciones que se hacen.simplificaciones que se hacen.

Page 5: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

EstrategiaEstrategia

Coordenadas mundo 3D

Recortado Proyección Viewport

Coordenadas mundo 3D recortadas

Coordenadas normalizadas 2D

Coordenadas del dispositivo 2D

Page 6: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

ProyeccionesProyecciones

• Una proyección transforma puntos en un sistema de Una proyección transforma puntos en un sistema de coordenadas de dimensión coordenadas de dimensión nn en otro de dimensión en otro de dimensión mm < < nn

• Nos limitaremos a la proyección 3D -> 2DNos limitaremos a la proyección 3D -> 2D

• Una proyección se define mediante unos rayos Una proyección se define mediante unos rayos llamados proyectores que llamados proyectores que – emanan del centro de proyección emanan del centro de proyección

– pasan por cada punto del objeto pasan por cada punto del objeto

– intersecan el plano de proyección.intersecan el plano de proyección.

• Factor de reducción: razón entre la longitud de Factor de reducción: razón entre la longitud de la línea proyectada respecto a su valor realla línea proyectada respecto a su valor real

Page 7: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

ProyeccionesProyecciones

Perspectiva

Centro de proyección

Paralela

Dirección de proyección

Page 8: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

ProyeccionesProyecciones

• PerspectivaPerspectiva

– Efecto parecido al de la fotografía o el sistema Efecto parecido al de la fotografía o el sistema visual humanovisual humano

• El tamaño varía inversamente con la distancia del El tamaño varía inversamente con la distancia del objeto al centro de proyecciónobjeto al centro de proyección

– RealistaRealista

– No permite la medición precisaNo permite la medición precisa

– Los ángulos, en general no se preservanLos ángulos, en general no se preservan

– Los ángulos sólo se mantienen en las caras Los ángulos sólo se mantienen en las caras paralelas al plano de proyección.paralelas al plano de proyección.

Page 9: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

ProyeccionesProyecciones

• ParalelaParalela

– No tan realistaNo tan realista• El tamaño no varía inversamente con la distancia del El tamaño no varía inversamente con la distancia del

objeto al centro de proyecciónobjeto al centro de proyección

• Pueden haber reducciones constantes de tamaño Pueden haber reducciones constantes de tamaño para cada ejepara cada eje

– Permite la medición precisa.Permite la medición precisa.

– El paralelismo permanece para todas las líneas.El paralelismo permanece para todas las líneas.

– Los ángulos, en general, no se preservan como en Los ángulos, en general, no se preservan como en la perspectiva.la perspectiva.

Page 10: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

Proyecciones planasProyecciones planas

Perfil Alzado Planta

Trim étrica Dim étrica Isométrica

Axonom étrica

O rtografica

Caballera Cabinet

O blicua

Paralela

Un punto Dos puntos Tres puntos

Perspectiva

Proyecciones geom étricas planas

Page 11: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

PerspectivaPerspectiva

• Puntos de fuga.Puntos de fuga.

– Puntos donde convergen los conjuntos de rectas Puntos donde convergen los conjuntos de rectas paralelas que no son paralelas al plano de paralelas que no son paralelas al plano de proyección.proyección.

– Se pueden considerar proyecciones de puntos en el Se pueden considerar proyecciones de puntos en el infinito.infinito.

– Existen infinitos puntos de fuga, uno para cada Existen infinitos puntos de fuga, uno para cada dirección posible de la recta.dirección posible de la recta.

– Si el conjunto de líneas es paralelo a uno de los ejes Si el conjunto de líneas es paralelo a uno de los ejes se denomina punto de fuga axialse denomina punto de fuga axial

• Hay como máximo 3 de ellos, uno por eje coordenado.Hay como máximo 3 de ellos, uno por eje coordenado.

Page 12: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

PerspectivaPerspectiva

ZX

Y

Page 13: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

PerspectivaPerspectiva

Page 14: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

PerspectivaPerspectiva

ZX

Y

Page 15: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

Proyección ParalelaProyección Paralela

• Clasificación en función de la relación entre la Clasificación en función de la relación entre la dirección de proyección y la normal al plano de dirección de proyección y la normal al plano de proyecciónproyección

• AxonométricaAxonométrica– Direcciones paralelasDirecciones paralelas

– El plano de proyección no El plano de proyección no ortogonal a ningún eje ortogonal a ningún eje coordenadocoordenado

• TrimétricaTrimétrica• DimétricaDimétrica• IsométricaIsométrica

• OrtográficaOrtográfica

– Direcciones paralelasDirecciones paralelas

– Plano de proyección Plano de proyección ortogonal a algún eje ortogonal a algún eje coordenadocoordenado

• PlantaPlanta

• AlzadoAlzado

• PerfilPerfil • OblicuaOblicua

– Direcciones no paralelasDirecciones no paralelas• CaballeraCaballera

• CabinetCabinet

Page 16: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

OrtográficaOrtográfica

• AlzadoAlzado– Plano de proyección ortogonal a z Plano de proyección ortogonal a z

– Visto “desde enfrente”Visto “desde enfrente”

• Planta Planta – Plano de proyección ortogonal a y Plano de proyección ortogonal a y

– Visto “desde arriba”Visto “desde arriba”

• PerfilPerfil– Plano de proyección ortogonal a x Plano de proyección ortogonal a x

– Visto “de lado” Visto “de lado”

1000

0000

0010

0001

zP

1000

0100

0000

0001

yP

1000

0100

0010

0000

xP

Page 17: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

OrtográficaOrtográfica

• Planta Planta

• PerfilPerfil

• AlzadoAlzado

Page 18: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

Proyección OrtográficaProyección Ortográfica

ZX

Y

X

Z

Planta

Z

Y

Perfil

X

Y

Alzado

Page 19: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

AxonométricasAxonométricas

• El plano de proyección no es ortogonal a ningún El plano de proyección no es ortogonal a ningún eje coordenadoeje coordenado

– Enseñan múltiples caras del objetoEnseñan múltiples caras del objeto

– Se parecen a una perspectiva, salvo en que el Se parecen a una perspectiva, salvo en que el empequeñecimiento es constante, no depende de empequeñecimiento es constante, no depende de la distancia.la distancia.

– Se preserva el paralelismo pero no los ángulosSe preserva el paralelismo pero no los ángulos

Page 20: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

Proyección trimétrica y Proyección trimétrica y dimétricadimétrica

• Trimétrica: Es la proyección axonométrica menos Trimétrica: Es la proyección axonométrica menos restrictivarestrictiva– Se forma mediante Se forma mediante

• la concatenación arbitraria de giros alrededor de cualesquiera de la concatenación arbitraria de giros alrededor de cualesquiera de los tres ejeslos tres ejes

• seguida de la proyección sobre el eje Zseguida de la proyección sobre el eje Z

– El factor de reducción es diferente para cada ejeEl factor de reducción es diferente para cada eje

– No hay una fórmula generalNo hay una fórmula general

– T matriz de concatenación, U matriz de los vectores unitariosT matriz de concatenación, U matriz de los vectores unitarios

111

000

111

100

010

001

zyx

zyx

yyy

xxx

TUT

22

22

22

zzz

yyy

xxx

yxf

yxf

yxf

Page 21: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

Proyección trimétrica y Proyección trimétrica y dimétricadimétrica

• Dimétrica: Caso particular de la TrimétricaDimétrica: Caso particular de la Trimétrica

– Se forma mediante Se forma mediante • una rotación en torno al eje Y seguida de una una rotación en torno al eje Y seguida de una

rotación en torno a Xrotación en torno a X

• seguida de la proyección sobre el eje Zseguida de la proyección sobre el eje Z

– Dos de los factores de reducción son igualesDos de los factores de reducción son iguales

yxz RRPT

1000

0)cos(0)sin(

0010

0)sin(0)cos(

1000

0)cos()sin(0

0)sin()cos(0

0001

1000

0000

0010

0001

T

Page 22: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

Proyección dimétricaProyección dimétrica

yxz RRPT

1000

0)cos(0)sin(

0010

0)sin(0)cos(

1000

0)cos()sin(0

0)sin()cos(0

0001

1000

0000

0010

0001

T

1000

0000

0)cos()sin()cos()sin()sin(

0)sin(0)cos(

T

111

000

)cos()sin()cos()sin()sin(

)sin(0)cos(

111

100

010

001

1000

0000

0)cos()sin()cos()sin()sin(

0)sin(0)cos(

*

UTU

)(sin)(sin)(cos)( 2222*2*2 xxx yxf

)(cos)( 22*2*2 yyy yxf

)(sin)(cos)(sin)( 2222*2*2 zzz yxf

Page 23: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

Proyección dimétricaProyección dimétrica

)(sin)(sin)(cos)( 2222*2*2 xxx yxf

)(cos)( 22*2*2 yyy yxf

)(sin)(cos)(sin)( 2222*2*2 zzz yxf

) y ( factores dos igualando 22yx ff

)(cos)(sin)(sin)(cos 222222 yx ff )(sin1)(cos

)(sin1)(cos22

22

)(sin1

)(sin)(sin

2

22

)(sin)(cos)(sin 2222 zf factor tercer el con combinando

0))(sin1()(sin2)(sin2 2242 zf 0)(sin)2()(sin2 2224 zz ff

son soluciónes cuyas 1,2

)(sin2

2 zf

2

1

1

2sin

2sin

z

z

z

f

f

(θ 1)sin2 sdescartamo

Page 24: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

Proyección isométricaProyección isométrica

• Es la proyección axonométrica más restrictivaEs la proyección axonométrica más restrictiva

– La normal al plano de proyección subtiende La normal al plano de proyección subtiende ángulos iguales con cada eje principalángulos iguales con cada eje principal

– Si la normal esSi la normal es

),,( zyx NNN

zyx NNN

Entonces la condición de isometría esEntonces la condición de isometría es

zyx NNN

Hay 8 direcciones que lo cumplen. Una por cada Hay 8 direcciones que lo cumplen. Una por cada octante.octante.Permite realizar medidas en todos los ejes con la Permite realizar medidas en todos los ejes con la misma escala ya que todos los ejes disminuyen por misma escala ya que todos los ejes disminuyen por igualigual

120º

120º

120º

Proyección isométrica de los vectores unitarios

Page 25: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

AxonometricasAxonometricasTrimétricaTrimétrica

• Los tres factores de Los tres factores de reducción diferentesreducción diferentes

Page 26: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

AxonometricasAxonometricasDimétricaDimétrica

• Axonométrica con dos de los tres factores de Axonométrica con dos de los tres factores de reducción igualesreducción iguales

Page 27: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

AxonometricasAxonometricasIsométricaIsométrica

• Los tres factores Los tres factores igualesiguales

• Cuatro de las ocho Cuatro de las ocho proyecciones posiblesproyecciones posibles

Page 28: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

Proyecciones oblícuasProyecciones oblícuas

• En las proyecciones oblicuas En las proyecciones oblicuas

– La normal al plano de proyección y la dirección de La normal al plano de proyección y la dirección de proyección no son paralelas.proyección no son paralelas.

– Muestran varias caras del objetoMuestran varias caras del objeto

– Solo las caras paralelas al plano de proyección se Solo las caras paralelas al plano de proyección se muestran en su tamaño y forma correctosmuestran en su tamaño y forma correctos

– Los ángulos y las longitudes solo se preservan Los ángulos y las longitudes solo se preservan para estas caras.para estas caras.

– Las caras no paralelas al plano de proyección son Las caras no paralelas al plano de proyección son distorsionadasdistorsionadas

Page 29: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

Proyecciones oblícuasProyecciones oblícuas

• Perspectiva Caballera Perspectiva Caballera

– La normal al plano de proyección y la dirección de La normal al plano de proyección y la dirección de proyección forman un ángulo de 45º.proyección forman un ángulo de 45º.

– La proyección de una línea perpendicular al plano La proyección de una línea perpendicular al plano de proyección tiene la misma longitud que el de proyección tiene la misma longitud que el original.original.

– Son fáciles de construirSon fáciles de construir

11

1

1

11

11

=45

=30

Page 30: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

Proyecciones OblícuasProyecciones Oblícuas

• CabinetCabinet

– El ángulo que forman la dirección de proyección y El ángulo que forman la dirección de proyección y la normal al plano de proyección es la normal al plano de proyección es arctan(2)=63,4ºarctan(2)=63,4º

– Esto hace que la longitud de un segmento Esto hace que la longitud de un segmento perpendicular al plano de proyección se acorte en perpendicular al plano de proyección se acorte en 1/21/2

1/2 1

11

Page 31: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

Proyecciones planasProyecciones planas

• Recordemos...Recordemos...

Perfil Alzado Planta

Trim étrica Dim étrica Isométrica

Axonom étrica

O rtografica

Caballera Cabinet

oblicua

Paralela

Un punto Dos puntos Tres puntos

Perspectiva

Proyecciones geom étricas planas

Page 32: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

Proyecciones Proyecciones geométricas planasgeométricas planas

• Elementos matemáticosElementos matemáticos

• SuposicionesSuposiciones

– Proyección:Proyección:• El plano de proyección es normal a zEl plano de proyección es normal a z

• Esta a una distancia d Esta a una distancia d

– Paralela Paralela • El plano de proyección es el plano z=0.El plano de proyección es el plano z=0.

Page 33: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

PerspectivaPerspectiva

d

P(x,y,z)

Pp(xp,yp,zp)

Z

Y

XP(x,y,z)

d

xp

X

Z

d

P(x,y,z)

yp

Z

Y

z

x

d

x p z

y

d

y p

dz

x

z

xdx p /

dz

y

z

ydy p /

0/100

0100

0010

0001

d

M per

dz p

Page 34: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

dz

z

y

x

h

z

y

x

z

y

x

d

z

y

x

M

h

z

y

x

per

/

'

'

'

10/100

0100

0010

0001

1

'

'

'

PerspectivaPerspectiva

• Lo que nos da, dividiendo por h y pasando a 3DLo que nos da, dividiendo por h y pasando a 3D

11

/

/

1

'

'

'

p

p

p

z

y

x

ddz

ydz

x

w

zw

yw

x

),/

,/

(),( , ddz

y

dz

xzyx ppp

Page 35: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

PerspectivaPerspectivaFormulación Formulación alternativaalternativa

d

P(x,y,z)

Pp(xp,yp,zp)

Z

Y X

P(x,y,z)

d

xp

X

Z

d

P(x,y,z)

yp

Z

Y

dz

x

d

xp

dz

y

d

y p

1)/(

dz

x

dz

xdxp

1)/(

dz

y

z

ydy p

1/100

0000

0010

0001

'

d

M per

0pz

Page 36: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

ProyeccionesProyecciones

• Ortográfica sobre el Ortográfica sobre el plano z=0plano z=0

• Estas formulas aplican sólo Estas formulas aplican sólo en casos particularesen casos particulares

– MMperper si el centro de si el centro de proyección está en el proyección está en el origenorigen

– MMorto orto si la direccion de si la direccion de proyección es paralela a z proyección es paralela a z

• Estudiaremos una Estudiaremos una formulación más generalformulación más general

– integra ambas en una sola integra ambas en una sola matrizmatriz

1000

0000

0010

0001

ortoM

0,, ppp zyyxx

ortoperd

MMlim

)(

Page 37: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

ProyeccionesProyecciones

• Distancia del plano al origen =zDistancia del plano al origen =zpp

• CP, centro de proyección, a distancia CP, centro de proyección, a distancia D de (0,0, zD de (0,0, zpp))

• El vector (dEl vector (dxx,d,dyy,d,dzz) normalizado da la ) normalizado da la dirección de (0,0, zdirección de (0,0, zpp) a CP) a CP

• PPpp está en la línea entre P y CP está en la línea entre P y CP

• La línea en paramétricas se escribeLa línea en paramétricas se escribe

10,)( ttCPPCP

P(x,y,z)

)',','(' zyxP Un punto P’ cualquiera de la líneaUn punto P’ cualquiera de la línea

),,(),0,0( zyxp dddDzCP

tDdzzDdzz

tDdyDdy

tDdxDdx

zpzp

yy

xx

))(()('

,)('

,)('

La proyección PLa proyección Ppp de P está en la de P está en la intersección de la línea con el plano intersección de la línea con el plano => z’=z=> z’=zpp Sustituimos z’ por z Sustituimos z’ por zpp y y resolvemos en tresolvemos en t

)(

)(

zp

zpp

Ddzz

Ddzzt

D (0,0,zp)

X ó Y

Z

CP

Pp(xp,yp,zp)

(dx,dy,dz)

Page 38: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

ProyeccionesProyecciones

• Sustituimos t en x’ e y’ que pasan a ser xSustituimos t en x’ e y’ que pasan a ser xppe e yypp..

Dividimos por -DdDividimos por -Ddzz

,)('

,)('

tDdyDdy

tDdxDdx

yy

xx

)()(

)(

zp

z

zp

zpp

Ddzz

Dd

Ddzz

Ddzzt

)(

))(()(

zp

zxxxxp Ddzz

DdDdxDdtDdxDdx

)()(

))(())((

zp

zxzzxpxx

zp

zxzpxp Ddzz

DdDdxDdDdDdzDdzDd

Ddzz

DdDdxDdzzDdx

1)(

z

p

z

xp

z

x

z

zp

z

zpxx

p

Dd

zzd

dz

d

dzx

Dd

DdzzDd

xDdzDdzDd

x

D (0,0,zp)

X ó Y

Z

CP

Pp(xp,yp,zp)

(dx,dy,dz)

Page 39: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

ProyeccionesProyecciones

• Análogamente para Análogamente para y.y.

Para zp podemos hacerPara zp podemos hacer

1

z

p

z

xp

z

x

p

Dd

zzd

dz

d

dzx

x

1

z

p

z

yp

z

y

p

Dd

zzd

dz

d

dzy

y

111

)1(

1

12

z

p

z

zpp

z

p

z

p

pz

ppp

z

p

z

pp

z

p

z

p

pp

Dd

zzDd

Ddzz

Dd

zz

Dd

zz

zDd

zzzz

Dd

zzDd

zzz

Dd

zzDd

zz

zz

D (0,0,zp)

X ó Y

Z

CP

Pp(xp,yp,zp)

(dx,dy,dz)

Page 40: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

ProyeccionesProyecciones

• Tomamos el común denominador como la coordenada h de las coordenadas homogéneas del punto Tomamos el común denominador como la coordenada h de las coordenadas homogéneas del punto (x(xpp, y, ypp, z, zpp))

1

z

p

z

xp

z

x

p

Dd

zzd

dz

d

dzx

x

1

z

p

z

yp

z

y

p

Dd

zzd

dz

d

dzy

y

1

2

z

p

z

zpp

z

p

p

Dd

zzDd

Ddzz

Dd

zz

z

11

00

00

10

01

2gra

z

p

z

pz

p

z

p

z

yp

z

y

z

xp

z

x

l

Dd

z

Dd

zDd

z

Dd

zd

dz

d

dd

dz

d

d

M

1

'

'

'

gra z

y

x

M

h

z

y

x

l

Page 41: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

ProyeccionesProyecciones

• MMgralgral se convierte en M se convierte en Mperper M’ M’perper y M y Mortoorto bajo las bajo las condiciones siguientes:condiciones siguientes:

• MMperper si zp = d, D=d , d si zp = d, D=d , dxx=0, d=0, dyy=0, d=0, dzz=-1=-1

• M’M’perper si zp = 0, D=d , d si zp = 0, D=d , dxx=0, d=0, dyy=0, d=0, dzz=-1=-1

• MMortoorto si zp = 0, D= si zp = 0, D= , d , dxx=0, d=0, dyy=0, d=0, dzz=-1=-1

• Si D no es infinito MSi D no es infinito Mgralgral define una proyección con un define una proyección con un punto de fugapunto de fuga

• Se puede ver que MSe puede ver que Mgralgral produce la perspectiva produce la perspectiva

– Caballera si zp = 0, D= Caballera si zp = 0, D= , d , dxx=cos=cos, d, dyy=sin=sin, d, dzz=-1=-1

– Cabinet si zp = 0, D= Cabinet si zp = 0, D= , d , dxx=cos=cos, d, dyy=sin=sin, d, dzz=-1=-1

• Nótese que en todos estos casos el plano de Nótese que en todos estos casos el plano de proyección es perpendicular al eje z.proyección es perpendicular al eje z.

11

00

00

10

01

2gra

z

p

z

pz

p

z

p

z

yp

z

y

z

xp

z

x

l

Dd

z

Dd

zDd

z

Dd

zd

dz

d

dd

dz

d

d

M

Page 42: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

Visualización 3DVisualización 3D

• ProyecciónProyección

– Los objetos se describen en coordenadas del mundoLos objetos se describen en coordenadas del mundo

– Las transformaciones geométricas nos permiten Las transformaciones geométricas nos permiten posicionarlos y moverlos.posicionarlos y moverlos.

– Además hay que establecer la proyección que nos Además hay que establecer la proyección que nos permita captar la vista. Situar la cámara.permita captar la vista. Situar la cámara.

– Para representar una primitiva hay quePara representar una primitiva hay que• Aplicar al objeto una transformación geométrica que lo sitúa Aplicar al objeto una transformación geométrica que lo sitúa

en el espacio.en el espacio.

• Dependiendo de la posición y orientación del espectador se Dependiendo de la posición y orientación del espectador se transforman las coordenadas al espacio visualtransforman las coordenadas al espacio visual

• Se proyecta sobre la pantallaSe proyecta sobre la pantalla

Page 43: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

Vistas 3DVistas 3D

• La visualización 3D La visualización 3D precisaprecisa

– Definición de los Definición de los parámetrosparámetros

– Recortado contra un Recortado contra un volumen 3Dvolumen 3D

– Cambio de sistema de Cambio de sistema de coordenadascoordenadas

– Proyección sobre el Proyección sobre el planoplano

• PHIGSPHIGS– Punto de referencia (View Punto de referencia (View

reference Point VRP) reference Point VRP) R = R = (R(Rxx,R,Ryy,R,Rzz))

– Normal al plano de Normal al plano de proyección (View Plane proyección (View Plane Normal VPN) N = Normal VPN) N = (N(Nxx,N,Nyy,N,Nzz))

– Distancia al plano de Distancia al plano de proyección (View Plane proyección (View Plane Distance VPD), DDistance VPD), D

– Vector vertical (View Up Vector vertical (View Up Vector VUP) define la vertical Vector VUP) define la vertical V V = = (V(Vxx,V,Vyy,V,Vzz))

Page 44: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

EspecificaciónEspecificación

• gluLookAt(ojo(x,y,z),centro(gluLookAt(ojo(x,y,z),centro(RRxx,R,Ryy,R,Rzz),vert (),vert ((V(Vxx,V,Vyy,V,Vzz))))))

• glfrustum(izq, der, arriba, abajo, cerca, lejos)glfrustum(izq, der, arriba, abajo, cerca, lejos)

• glortho (izq, der, arriba, abajo, cerca, lejos)glortho (izq, der, arriba, abajo, cerca, lejos)

R

Ojo, Camara

Vertical

Page 45: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

EspecificaciónEspecificación

• gluLookAt(ojo(x,y,z),centro(gluLookAt(ojo(x,y,z),centro(RRxx,R,Ryy,R,Rzz),vert (),vert ((V(Vxx,V,Vyy,V,Vzz))))))

• glfrustum(izq, der, arriba, abajo, cerca, lejos)glfrustum(izq, der, arriba, abajo, cerca, lejos)

• glortho (izq, der, arriba, abajo, cerca, lejos)glortho (izq, der, arriba, abajo, cerca, lejos)

Arriba

Abajo

Lejos

Izquierda

Cerca

Derecha

Page 46: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

EspecificaciónEspecificación

• gluLookAt(ojo(x,y,z),centro(gluLookAt(ojo(x,y,z),centro(RRxx,R,Ryy,R,Rzz),vert (),vert ((V(Vxx,V,Vyy,V,Vzz))))))

• glfrustum(izq, der, arriba, abajo, cerca, lejos)glfrustum(izq, der, arriba, abajo, cerca, lejos)

• glortho (izq, der, arriba, abajo, cerca, lejos)glortho (izq, der, arriba, abajo, cerca, lejos)

Arriba

Abajo

Lejos

Izquierda

Cerca

Derecha

Page 47: Infografía I Visualización 3D ProyeccionesVistas ProyeccionesVistas.

2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA2002 J.C.Dürsteler - UPF- IUA

Tubería de trazadoTubería de trazado

Coordenadas objeto 3D

Posicionado

Visualización

Proyección

RecorteViewport

Coordenadas 2D o 3D para Z-buffer) recortadas y proyectadas

Coordenadas normalizadas 2D

Coordenadas del dispositivo 2D

Coordenadas observador

Conversion a NDC