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18 de Mayo de 2013

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Resumen En el presente informe se realiza el anlisis

de sistemas, implementando la bien conocida

retroalimentacin y el control proporcional, extendiendo un

poco ms el anlisis a los sistemas de velocidad y posicin

los cuales sern definidos dentro del informe, realizando las

debidas simulaciones en Matlab y comprobando de esta

forma los resultados obtenidos mediante un Brick

proporcionado por LEGO

Palabras Clave Control, Hardware, LEGO, Matlab,

Mindstorms, Motor DC, Software.

I. OBJETIVOS

A. Objetivo General

En esta prctica, se podr analizar los efectos de la

realimentacin, y disear e implementar sistemas de

control proporcional para los lazos de velocidad y

posicin de un motor LEGO. En la primera parte, se

analizaran los efectos de la realimentacin mediante

simulacin en Matlab/Simulink y luego se verificaran de

forma experimental usando un motor LEGO. Se podr

observar y analizar los efectos que tiene la realimentacin

en la estabilidad, y en la respuesta dinmica y esttica de

un sistema.

En la segunda parte del laboratorio, se realizar el

diseo, simulacin e implementacin de sistemas de

control proporcional para los lazos de velocidad y

posicin de un motor LEGO, cumpliendo con

requerimientos de diseo como: tiempo de estabilizacin

y error permanente

B. Objetivos Especficos

Analizar los efectos de la realimentacin en

sistemas continuos usando Simulink.

Observar y analizar los efectos de la

realimentacin en los lazos de velocidad y

posicin de un motor LEGO.

Disear e implementar sistemas de control

proporcional usando requerimientos de tiempo de

estabilizacin o error permanente para los lazos

de velocidad y posicin de un motor LEGO.

II. INTRODUCCIN

Los sistemas de control se pueden encontrar de muchos

tipos, los ms utilizados comnmente son los sistemas

retroalimentados, dado que al tener una medicin

constante de la salida mediante el lazo cerrado, se puede

proporcionar un error que se ira corrigiendo cada vez ms

con respecto al tiempo, haciendo un sistema ms estable y

viable para la aplicacin que se necesite implementar.

Figura 1. Sistema de lazo cerrado

Control:

Efectos De La Retroalimentacin Y Control

Proporcional

Julin A. Alarcn Manrique, Daniel M. Vargas Corredor, Control.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA.

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En la figura 1 se puede observar el sistema que se est

describiendo, teniendo en cuenta que para este caso se va

a considerar H(s) como 1 dado que facilitara el anlisis y

se pueden obtener resultados bastante buenos.

III. PROCEDIMIENTO DEL LABORATORIO

El presente laboratorio se divide en dos partes

fundamentales: Anlisis de los efectos de la

realimentacin y control proporcional con LEGO, en cada

una de las secciones se van a realizar las simulaciones

correspondientes para cada uno de los sistemas y se

verificar la teora por medio de la prctica.

A. Anlisis de los efectos de la Realimentacin

Primeramente se va a realizar la comparacin de un

sistema dado que se conecta en lazo abierto y otro con

realimentacin analizando de esta forma qu efectos

puede tener est sobre el sistema, para ellos se va a

utilizar la funcin de transferencia del motor LEGO

encontrada anteriormente en el laboratorio pasado, por lo

que a la salida se va a tener la funcin de velocidad del

motor y controlada por la realimentacin.

( )

Se debe tener en cuenta que la realimentacin ser

implementada como en la figura 1 sabiendo que H(s) = 1;

ahora se va a realizar esta simulacin utilizando simulink

de Matlab (figura 2) y obteniendo el resultado para la

velocidad del motor.

Figura 2. Simulacin con y sin realimentacin con simulink

del sistema de velocidad

Con esto se obtiene la comparacin en las respuestas de

ambas seales esperando que la del control con

realimentacin sea mejor para la respuesta del sistema,

esto se puede ver en la figura 3.

Figura 3. Respuesta con y sin realimentacin

Como se puede observar la respuesta del sistema es

mucho ms rpida cuando el sistema tiene realimentacin

siendo la respuesta de arriba de la figura 3, pero para

poder ver mejor el comportamiento de la misma, se va a

graficar nicamente esta (figura 4).

Figura 4. Respuesta nicamente con realimentacin

Ahora se puede ver mejor en la anterior figura que el

tiempo de establecimiento del sistema con la

realimentacin est por debajo de 0.5 ms por lo que lo

vuelve mucho ms rpido ya que para lazo abierto el

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tiempo de establecimiento era de 0.244 s, disminuyndolo

en gran manera.

Otra gran ventaja que se puede observar es que la salida

tiene una asntota en 1, es decir que el error ser igual a

cero ya que la entrada paso es de amplitud 1 teniendo una

mejor respuesta a dicha entrada por lo que se puede decir

que el sistema realimentado es ms til para aplicaciones

de rpida respuesta.

Dado que se tiene un tiempo de establecimiento menor

cuando se realiza la realimentacin del sistema, entonces

el polo tendera a ir hacia la parte ms negativa,

aproximadamente calculndolo en:

Este polo es bastante alejado haciendo el sistema

mucho ms rpido ya que el polo anteriormente en lazo

abierto era aproximadamente de -16 por lo que la

diferencia con el control de lazo cerrado se puede ver una

gran mejora en relacin a la velocidad de respuesta y

mejor estabilidad del sistema.

Ahora bien se va a realizar el mismo procedimiento

anterior pero esta vez agregando un integrador de tal

forma que se obtendr la funcin de posicin del motor

LEGO y se le aplicara la realimentacin debida para ver

sus efectos en el sistema (figura 5).

Figura 5. Sistema en Simulink para la funcin de posicin

del motor LEGO.

Con esto se puede simular el lazo cerrado y abierto

simultneamente permitiendo observar los cambios por la

realimentacin del sistema, los resultados obtenidos

pueden verse en la figura 6.

Figura 6. Respuesta del motor LEGO para la posicin

Como se puede ver en la grfica, al simular la posicin

del motor LEGO en lazo abierto el sistema se vuelve

marginalmente estable pero en realidad es inestable ya

que es creciente y no se estabiliza en ningn punto

apreciable, por lo que el sistema no servir para esta

aplicacin.

Por otro lado se tiene el sistema realimentado que es la

grfica superior de la figura 6 donde si se presenta una

estabilizacin en un valor de 1 con un tiempo de

estabilizacin aproximadamente de 0.4 s, por lo cual se va

a tener un polo en:

Con el lazo cerrado se tiene una respuesta bastante

buena ya que su rapidez es considerable y tiene error de

estado estable igual a cero, teniendo en cuenta que se

modific el sistema anterior con integrador.

Implementacin fsica del sistema de lazo cerrado en

el motor LEGO

Ahora bien, se va a realizar la implementacin fsica de

la funcin de lazo cerrado o realimentacin de un sistema

utilizando el motor LEGO de tal forma que es necesario

escribir un cdigo para que se pueda ejecutar el debido

funcionamiento de dicho motor.

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Primeramente se va a ejecutar un programa en el Brick

de tal forma que la realimentacin sea para la funcin de

velocidad del motor, por lo tanto el cdigo es el siguiente

(figura 7).

Figura 7. Cdigo para la realimentacin del motor controlando

la velocidad.

Ejecutando este programa en el Brick se crea un

archivo plano .txt de tal forma que las salidas del motor

son registradas en dicho archivo, para posteriormente

ingresarlas a Matlab para que se puedan comprobar con

los resultados de la simulacin terica (figura 8).

Figura 8. Comparacin de la respuesta fsica del motor con la

calculada tericamente.

Teniendo esta respuesta del sistema se puede ver que

tiene la misma tendencia cuando se implementa en fsico

el lazo cerrado pero existen muchas oscilaciones debidas

a las alteraciones como el torque del motor.

Por otro lado se va a analizar el sistema con

realimentacin para la posicin del motor la cual como se

puede ver en la figura 6 se tiene que llegar a estabilizar

despus de una oscilacin, por lo tanto se va a ejecutar un

cdigo diferente para que se vea reflejado el integrador en

la velocidad del motor para obtener la posicin (figura 9).

Figura 9. Cdigo para la realimentacin del motor controlando

la posicin.

De esta forma tambin se genera el archivo llamado

controlpos_orig.txt y este ser comparado con la

simulacin terica del control en lazo cerrado incluyendo

el integrador en la funcin de transferencia para que se

pueda ver la funcin de posicin (figura 10).

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Figura 10. Comparacin de la posicin del motor Lego tanto,

para la teora como para la implementacin.

Se puede ver que en la funcin del motor no se

presentan tantas oscilaciones como tericamente tendra

que pasar, esto se debe a que la velocidad del motor no

puede sobrepasar ciertos lmites por lo que se realiz un

filtro para que no se superara tal velocidad.

Se puede ver que la implementacin fsica del motor es

muy similar a la teora que se encontr, aunque se

presentan ciertas diferencias como la cantidad tan grande

de oscilaciones para la velocidad pero esto se debe a la

gran variacin de torque que puede sufrir el motor por

factores externos, y por el otro lado en el sistema de

posicin se produce el efecto contrario, antes el sistema

implementado en el Brick oscila menor cantidad de veces,

por lo que tiene menor sobrepico pero si tiene el mismo

tiempo de establecimiento como se puede ver en la figura

10.

B. Control de velocidad y posicin del motor LEGO

En esta seccin se va a realizar el diseo de un sistema

de control proporcional utilizando la realimentacin para

de esta forma implementarla en el motor de lego tanto

para velocidad como para posicin teniendo en cuenta

diferentes especificaciones de diseo.

Se solicita disear un sistema para que la velocidad

del motor LEGO para que el sistema se estabilice

dos veces ms rpido que el sistema original.

Se sabe que la funcin de lazo cerrado para control

proporcional es de la forma:

( ) ( )

( )

Por lo tanto, conociendo la funcin G(s) se puede

encontrar la funcin de realimentacin con la cual

implementaremos los criterios solicitados, la ecuacin

quedara de la siguiente manera:

( )

Ahora bien como se solicita que el control proporcional

haga que el sistema sea dos veces ms rpido, se

necesitara un de 0.0305 que es la mitad del tao nominal

que se tiene.

Por otro lado como la funcin de lazo cerrado se

modific tambin se tiene que despejar el tao de la

ecuacin teniendo cuidado que se divide todo por el

termino independiente de s, en el denominador de T(s).

Y esto se iguala, para el nuevo caso para poder despejar

la ganancia proporcional del sistema de control

obteniendo un sistema ms rpido.

Ahora este k, se va a remplazar en la funcin de

realimentacin quedando de la siguiente manera:

( )

Esta funcin ser evaluada en Matlab para verificar su

tiempo de establecimiento y su valor en estado estable

esperando obviamente que se estabilice en 0.5 debido al 2

del denominador, por lo tanto la respuesta del sistema

controlado quedara de la siguiente forma (figura 11).

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Figura 11. Respuesta del sistema dos veces ms rpido con el

control proporcional

Se puede ver en la figura 11 que el tiempo de

establecimiento es de 0.119 segundos por lo que si es

dos veces ms rpido que el sistema nominal ya que su

tiempo de establecimiento era de 0.244 s.

De esta forma ahora si se puede pasar este controlador

a un bloque de funcin en Matlab mediante simulink

(figura 12), para comprobar ms fsicamente como es el

comportamiento del sistema con diagrama de bloques; el

cdigo para el control proporcional se puede ver en la

figura 13.

Figura 12. Simulacin en la funcin de Matlab (Simulink) para

comprobar que el sistema se estabiliza 2 veces ms rpido.

Figura 13. Cdigo para el controlador proporcional

Al realizar esta simulacin en el osciloscopio de dos

entradas se obtienen los siguientes resultados (figura 14),

donde se puede ver que para la entrada escaln unitario se

tiene en morado la respuesta del sistema que se estabiliza

en 0.5 como se esperaba y con tiempo de establecimiento

de 0.122 s.

Figura 14. Grafica de entrada, salida y seal de control del

sistema utilizando simulink.

Adicionalmente se puede ver que la seal de control es

bastante pequea (del orden de ), esto se debe a

que como la ganancia es de la planta es de 884.7 se debe

contrarrestar este efecto con un valor pequeo para tratar

que se estabilice y el error de estado estable se aproxime a

cero.

Se solicita disear un sistema para la velocidad del

motor LEGO, tal que el sistema tenga un error

permanente de 4%.

Esta vez se necesita que el error en estado estable de la

respuesta sea de 4% es decir 0.04, por lo tanto se

necesita que la respuesta en estado estable cumpla con

dicho requerimiento por medio de la implementacin del

control proporcional el cual tiene la siguiente expresin

para lazo cerrado.

( )

Donde se puede deducir:

( ) ( ) ( )

Y utilizando esta expresin se puede obtener la salida

en estado estable por medio del lmite y la entrada en

frecuencia:

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Ahora teniendo la respuesta en estado estable se puede

calcular el error sabiendo que es de 0.04

De all se puede despejar la ganancia del controlador

proporcional teniendo el siguiente valor:

Con este k, se va a obtener la funcin de lazo cerrado

del sistema implementando el controlador proporcional,

de tal forma que:

( )

Evaluando esta funcin en Matlab se puede obtener el

siguiente resultado mostrado en la figura 15.

Figura 15. Respuesta del sistema con error de estado estable de

4% implementando control proporcional.

Como se puede observar la salida llega hasta 0.96 es

decir que se cumple con el criterio de diseo puesto

inicialmente y adicionalmente se tiene un tiempo de

establecimiento de 10 ms.

Ahora implementando el circuito de la figura 12 se va

realizar la comprobacin del sistema mediante la

implementndolo fsicamente, pero esta vez en el bloque

de funcin el cdigo ser (figura 16):

Figura 16. Cdigo para el control de error de 4%.

Con este con cdigo se obtiene un resultado (figura 17)

mediante un osciloscopio de dos entradas donde en la

primera se compara la entrada con la salida y en la

segunda se tiene la seal de control.

Figura 17. Grafica de comparacin de salidas para el

controlador de error de 4%.

Tambin se puede ver que el valor del error es de 0.04

y el tiempo de establecimiento concuerda con el simulado

por consola y la seal de control es muy pequea para

contrarrestar la ganancia de la planta.

Se solicita disear un sistema para que la posicin

del motor LEGO para que el sistema se estabilice

en 2 segundos.

Por ultimo diseo se necesita un sistema con un tiempo

de establecimiento de 2 segundos por lo tanto ya se tiene

el , pero esta vez se va a realizar el diseo para la

posicin del motor LEGO por lo que el sistema ya no ser

el mismo sino que es necesario agregar un integrador al

diseo (figura 18) anterior para que se mire la posicin en

lugar de la velocidad.

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Figura 18. Circuito construido en Simulink para controlar la

posicin del motor LEGO mediante un bloque de funcin.

Por lo que se agrega el integrador, la funcin de lazo

cerrado se ver enormemente alterada haciendo del

sistema uno de segundo orden ya que ahora se tiene un

polo adicional ubicado en cero pero que puede producir

oscilaciones en la seal dependiendo de su

amortiguamiento.

Ahora bien la funcin de lazo ser la siguiente

agregando el integrador y el controlador proporcional al

sistema original.

( )

El sistema completo tendr sus polos en los

siguientes puntos, despejando su denominador:

Con esto se puede encontrar el polo ms lento que es el

que afectara ms al sistema por lo tanto ese polo se

igualara a -2 y se despejar la ganancia del controlador.

Con esta constante se encontrara el valor de la funcin de

transferencia, para luego simularlo en Matlab (figura 19):

( )

Figura 19. Simulacin del control de posicin para estabilidad

en 2 segundos.

Tambin se puede ver este resultado en la simulacin

con Simulink introduciendo el cdigo de la figura 20 en

el bloque del controlador, para obtener la respuesta que se

puede ver en la figura 21, la cual concuerda con la

simulacin por consola ya que el tiempo de

establecimiento es de aproximadamente 2 ya que al

redondear las cifras significativas se pierde un poco de

precisin en la medicin.

Figura 19. Cdigo para establecer el sistema de posicin en 2 s.

Figura 21. Respuesta en el osciloscopio de Simulink para el

sistema anterior.

Se puede ver que la seal de control esta vez es un poco

menor debido a que se le agrego el integrador al sistema y

con el controlador se puede cumplir con el criterio de

diseo, aparte de esto tambin tiene un error de estado

estable bastante bajo.

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Implementacin fsica en el motor LEGO mediante

el Brick.

Para la implementacin fsica en esta seccin se tiene

que tener en cuenta que el motor no debe sobrepasar los

picos de velocidad como lo son 100 y 100 y teniendo en

cuenta esto se modificar el cdigo de la figura 7 donde

se controla la velocidad pero esta vez se le pondr el

controlador proporcional para que el sistema tenga un

error permanente de 4% (figura 22).

Con esta modificacin el Motor LEGO arroja los

resultados que se guardarn en el archivo plano

controlvel.txt donde estar la salida para una entrada paso

de tal forma que se pueda calcular fcilmente la funcin

de transferencia del motor.

Figura 22. Simulacin del control de posicin para estabilidad

en 2 segundos.

Con los datos tomados se obtienen los siguientes

resultados que son analizados en Matlab mediante la

importacin del archivo generado (figura 23), donde se

puede ver que el error de estado estable si se aproxima a

4% y que el tiempo de establecimiento es tambin de 10

ms, dado que tiene un sobrepico que llega nicamente

hasta 1 no hay ningn problema ya que entre ms cerca

este a 1 menor error existir, pero si existe un error ms

grande que 4% en los valles de la seal o cuando baja ya

que logra bajar hasta 0.9 aproximadamente..

Figura 23. Implementacin fsica del control de velocidad al

motor LEGO

Por ultimo en la prctica se va a implementar el

controlador para la posicin del motor que tiene que

estabilizarse a 2 segundos es decir que tiene que quedarse

quieto el motor, y efectivamente cuando se le ingreso el

cdigo (figura 24) el motor funciono por un tiempo y

luego se detuvo, midiendo el tiempo se comprob que

eran 2 segundos los que duraba en funcionamiento.

Figura 24. Cdigo para el controlador de posicin del motor del

LEGO.

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Por medio de este cdigo se puede obtener otro archivo

.txt que ser ingresado en Matlab para su debida

simulacin (figura 25).

Figura 25. Salida del motor implementado fsicamente para

control de posicin.

Se puede ver la respuesta terica frente a la

implementada y se denota que el comportamiento de

ambas es muy similar entre ellas por lo que se puede decir

que el controlador implementado est funcionando

adecuadamente porque como se puede ver el tiempo de

establecimiento es de 2 segundos y tambin que el error

en estado estable es prcticamente cero ya que la salida

est muy prxima a 1 es decir la amplitud de la seal paso

que se le ingreso al principio.

IV. CONCLUSIONES

Se puede decir que un controlador proporcional

solamente puede cumplir un criterio de diseo a la

vez, ya que al intentar controlar el error en estado

estacionario, no se puede tener un tiempo de

establecimiento dado aunque en la prctica los

tiempos fueron buenos para el controlador.

Cuando se disea un controlador para un motor

LEGO hay que tener en cuenta que este, por su

funcionamiento interno va a tener mucho ruido y por

lo tanto su respuesta tendr unos sobrepicos muy

altos, ms que todo para el controlador de velocidad

ya que como se puede ver en las figuras, el

controlador de posicin se comporta casi como una

funcin exponencial y no existe dicho ruido que

afecte el sistema.

Para sistemas de ganancia muy alta se tienen que

tener seales de control demasiado pequeas para

que contrarresten el efecto de dicha ganancia y con

esto se pueda tener un error de estado estable

aproximado a cero.

V. BIBLIOGRAFA

[1] LEGO MINDSTORMS, LEGO Mindstorms NXT

Hardware Developer Kit, LEGO Group, 2006.

[2] D. Benedettelli, Programming LEGO NXT Robots using

NXC, vol. Vesion 2.2, J. Hansen, Ed., 2007, p. 51.

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http://bricxcc.sourceforge.net/nbc/nxcdoc/nxcapi/modules.

html. [ltimo acceso: 23 Marzo 2013].

[4] Lego Engineering, HiTechic Sensors for LEGO

Robotics, Tufts, 22 Septiembre 2009. [En lnea].

Available:

http://legoengineering.com/index.php?option=com_content

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[5] R. C. Dorf y R. H. Bishop, Modern control systems, vol.

XII, Pretince Hall, 2010, p. 1082.