TRATAMIENTO DE DATOS EXPERIMENTALES

1.OBJETIVOS

1. Obtener grficas de datos organizados en tablas.2. Construir ecuaciones experimentales e interpretar su comportamiento.3. Aprender a organizar y graficar los datos experimentales haciendo uso de tablas y papeles grficos4. Aprender tcnicas de ajuste de curvas. Principalmente el mtodo de regresin lineal y el mtodo de mnimos cuadrados. 5. Obtener ecuaciones experimentales que describan el fenmeno fsico e interpretarlas.

2.MATERIALES

Hojas de papel milimetradas (6)Hojas de papel logartmicas (2)Hojas de papel semilogartmica (1) Calculadora Cientfica

3.Informacin Terica

Los datos obtenidos en un proceso de medicin se organizan en tablas. Las tablas de valores as confeccionadas nos informan acerca de relaciones existentes entre una magnitud y otra. Una alternativa para establecer dichas relaciones, es hacer representaciones grficas en un sistema de ejes coordenados con divisiones milimetradas, logartmicas o semilogartmicas segn sea el caso. De estas se buscan grficas lineales (rectas), para facilitar la construccin de las frmulas experimentales que representen las leyes que gobiernan el fenmeno.

a) Se grafica en un papel milimetrado los valores de la Tabla.b) Se compara la distribucin de puntos obtenida con curvas conocidas.

Si se logra identificar la forma de la distribucin de los puntos, el siguiente paso es realizar el ajuste de curvas correspondiente mediante la tcnica de mnimos cuadrados. El modelo de ajuste que utilizaremos es lineal, esto significa que la ecuacin que se busca tiene la forma de una recta cuya ecuacin es

y = m x + bDonde la pendiente m y la ordenada en el origen b son constantes a determinar. El ajuste de la distribucin de puntos experimentales ahora se puede automatizar mediante programas de cmputo que facilitan el trabajo.

El primer paso es llevar los datos experimentales a un papel milimetrado. Si la distribucin de puntos no tiene una tendencia lineal, se pasa a un papel logartmico o semilogartmico, en alguno de estos papeles la distribucin de los puntos saldr una lnea recta.

Para las relaciones de la forma y = k x n, n diferente a 1, sus grficos en el papel logartmico son rectas con pendiente m = n que cortan al eje vertical en b = k. Se recomienda preferentemente usar papel logartmico 3 x 3, cada ciclo est asociado a una potencia de base 10. El origen de un eje coordenado logartmico puede empezar con 10-1, 100, 101, 102, 103, etc. Para relaciones exponenciales se recomienda utilizar el papel semilogartmico.

En papel milimetrado tambin se pueden construir grficos lineales para ecuaciones de curvas. Esto depender de los valores asignados a los ejes coordenados. Para esto es necesario tratar los datos.

Mtodo de Mnimos Cuadrados

De la distribucin lineal de puntos obtenida en el papel milimetrado, logartmico o semilogartmico se calculan la pendiente m y la ordenada b. El mtodo de ajuste ms adecuado para una distribucin lineal es la tcnica de mnimos cuadrados.

Para aplicar esta tcnica primero se construye una tabla de la forma:

x1y1x1y1x12

x2y2x2y2x22

...xp

...yp...xpyp...xp2

Se calculan la pendiente y la ordenada en el origen:

donde p es el nmero de mediciones.

Luego la frmula experimental es la ecuacin de la recta:y = m x + b

Una vez ajustada la distribucin lineal, se procede a hacer los clculos a fin de encontrar la frmula experimental buscada.

En los casos de las distribuciones lineales en papeles logartmico y semilogartmico las frmulas experimentales son:

y = b xm Se grafica en papel logartmico

y = b 10mx,y = be2,303mx Se grafica en papel semilogartmico

Donde se considera que 10 = e2,303

Dado que en el ajuste lineal es por el mtodo de los mnimos cuadrados la tabla se convierte en logartmica y semilogartmica, cuidando de colocar los valores con un mnimo de cuatro decimales de redondeo en cada columna. Observe que las ecuaciones de la recta en esas escalas son:

log y = m log x + log b,ylog y = m x + log b

La ordenada en el origen b obtenida por la frmula ser b, que corresponde a log b, por lo que b se calcula como antilogaritmo de b. As b = anti log bEn caso de no ser necesario hacer el ajuste, m se calcula con la pendiente de la distribucin lineal donde el valor de b se toma como el punto correspondiente al corte de la prolongacin de la recta con el eje vertical.

Se recomienda ver el mtodo de los mnimos cuadrados en un libro de estadstica.

Mtodo de aproximacin de pares de puntos

Para utilizar este mtodo debemos tener presente las siguientes consideraciones:

a) Se aplica a grficas donde los puntos del eje horizontal estn igualmente espaciados.b) Los puntos se dividen en dos grupos iguales. Un grupo para valores bajos de y, otro grupo para valores altos de y.c) A continuacin se aparean los puntos uno de cada grupo.d) Luego se calcula la diferencia de los valores de y para cada par de puntos.e) A continuacin se calcula el valor medio de las diferencias y.f) Por la primera consideracin se sabe que la distancia x entre cada par de puntos es la misma, por lo tanto la pendiente de la recta ajustada ser:

m = y x

g) Se determina el valor medio de x y el valor medio de y.h) Como la mejor recta ajustada debe pasar por el punto (x,y) con una pendiente igual a m, entonces la ecuacin de la recta ser:

y = mx + ( y - mx )

3.PROCEDIMIENTO

Se tratarn los datos de tres experimentos:2.1. La medida de la intensidad de corriente elctrica conducida por un hilo conductor de micrn, y de la diferencia de potencial aplicada entre los extremos de este. La Tabla 1 muestra datos de este experimento.TABLA 1 I(A)V(V)

0,52,18

1,04,36

2,08,72

4,017,44

(Sears-Semansky, 1996)2.2 La medida del tiempo de evacuacin de agua de un depsito a travs de una llave de cierto dimetro de salida. La Tabla 2 muestra datos de este, experimento, tomadas para cuatro llaves de diferentes dimetros y todas medidas a igual altura de agua del mismo depsito.TABLA 2

h(cm)301041

d(cm)Tiempo de vaciado t(s)

1,573,043,026,713,5

2,041,223,715,07,2

3,018,410,56,83,7

5,06,83,92,21,5

2.3. Medida de la actividad radiactiva del radn, donde el da cero se detect una desintegracin de 4,3 x 1018 ncleos. Los porcentajes de experimentacin de los dems das se muestran en la Tabla 3.TABLA 3 T(das)012345678910

4. APLICACIONES:

GRAFIQUE LAS SIGUIENTES DISTRIBUCIONES: DE LA TABLA 1:GRAFIQUE EN UNA HOJA DE PAPEL MILIMETRADO vs. .

XYXYX

0.52.181.090.25

14.364.361

28.7217.444

417.4469.7616

X=7.5Y=32.7XY=92.65X=21.25

= = 4.36

= = 0

ECUACIN DE LA TABLA: =

DE LA TABLA 2: GRAFIQUE EN UNA HOJA DE PAPEL MILIMETRADO vs. PARA CADA ALTURA.

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS(Universidad del Per, Decana de Amrica)

Informe De LaboratorioPgina 1

PARA: h=30

XY

1.573

241.2

318.4

56.8

73.2

LgXLgYLgXLgY(LgX)

0.17601.86330.32790.0309

0.30101.61480.48600.0906

0.47711.26480.60340.2276

0.69890.83250.58180.4884

0.84500.50510.42680.7140

LgX=2.4980LgY=6.0805LgXLgY=2.4259(LgX)=1.5515

= = -2.0161

= = 2.2233

ECUACIN DE LA TABLA: = PARA: h=20

XY

1.559.9

233.7

314.9

55.3

72.7

PARA: h=20LgXLgYLgXLgY(LgX)

0.17601.77740.31280.0309

0.30101.52760.45980.0906

0.47711.17310.55960.2276

0.69890.72420.50610.4884

0.84500.43130.36440.7140

LgX=2.4980LgY=5.6336LgXLgY=2.2027(LgX)=1.5515

= = -2.0159

= = 2.1339

ECUACIN DE LA TABLA: =

PARA: h=10

XY

1.543

223.7

310.5

53.9

72

LgXLgYLgXLgY(LgX)

0.17601.63340.28740.0309

0.30101.37470.41370.0906

0.47711.02110.48710.2276

0.69890.59100.41300.4884

0.84500.30100.25430.7140

LgX=2.4980LgY=4.9212LgXLgY=1.8555(LgX)=1.5515

= = -1.9872

= = 1.9770

ECUACIN DE LA TABLA: =

PARA: h=4

XY

1.526.7

215

36.8

52.6

71.3

LgXLgYLgXLgY(LgX)

0.17601.42650.25100.0309

0.30101.17600.35590.0906

0.47710.83250.39710.2276

0.69890.41490.28990.4884

0.84500.11390.09620.7140

LgX=2.4980LgY=3.9638LgXLgY=1.3881(LgX)=1.5515

= = -1.9512

= = 1.7676

ECUACIN DE LA TABLA: = PARA: h=1

XY

1.513.5

27.8

33.7

51.5

70.8

LgXLgYLgXLgY(LgX)

0.17601.13030.19890.0309

0.30100.89200.26840.0906

0.47710.56820.27100.2276

0.69890.17600.12300.4884

0.8450-0.0969-0.08180.7140

LgX=2.4980LgY=2.6696LgXLgY=0.7795(LgX)=1.5515

= = -1.8260

= = 1.4462

ECUACIN DE LA TABLA: =

GRAFIQUE EN UNA HOJA DE PAPEL LOGARTMICO vs. PARA CADA DIMETRO.

PARA: D=1.5XY

3073

2059.9

1043

426.7

113.5

LgXLgYLgXLgY(LgX)

1.47711.86332.75222.1818

1.30101.77742.31231.6926

11.63341.63341

0.60201.42650.85870.3624

01.130300

LgX=4.3801LgY=7.8309LgXLgY=7.5566(LgX)=5.2368

= = 0.4976

= = 1.1302

ECUACIN DE LA TABLA: =

PARA: D=2XY

3041.2

2033.7

1023.7

415

17.8

LgXLgYLgXLgY(LgX)

1.47711.61482.38522.1818

1.30101.52761.98741.6926

11.37471.37471

0.60201.17600.70790.3624

00.892000

LgX=4.3801LgY=6.5851LgXLgY=6.4552(LgX)=5.2368

= = 0.4904

= = 0.8873

ECUACIN DE LA TABLA: =

PARA: D=3XY

3018.4

2014.9

1010.5

46.8

13.7

LgXLgYLgXLgY(LgX)

1.47711.26481.86822.1818

1.30101.17311.52621.6926

11.02111.02111

0.60200.83250.50110.3624

00.568200

LgX=4.3801LgY=4.8597LgXLgY=4.9166(LgX)=5.2368

= = 0.4710

= = 0.5592

ECUACIN DE LA TABLA: =

PARA: D=5XY

306.8

205.3

103.9

42.6

11.5

LgXLgYLgXLgY(LgX)

1.47710.83251.22962.1818

1.30100.72420.94211.6926

10.59100.59101

0.60200.41490.24970.3624

00.176000

LgX=4.3801LgY=2.7386LgXLgY=3.0124(LgX)=5.2368

= = 0.4381

= = 0.1638

ECUACIN DE LA TABLA: =

PARA: D=7XY

303.2

202.7

102

41.3

10.8

LgXLgYLgXLgY(LgX)

1.47710.50510.74602.1818

1.30100.43130.56111.6926

10.30100.30101

0.60200.11390.06850.3624

0-0.096900

LgX=4.3801LgY=1.2544LgXLgY=1.6766(LgX)=5.2368

= = 0.4127

= = -0.1106

ECUACIN DE LA TABLA: =

EN UNA HOJA DE PAPEL LOGARITMICO GRAFIQUE T vs. D PARA CADA UNA DE LAS ALTURAS.

EN UNA HOJA DE PAPEL LOGARITMICO GRAFIQUE T vs. H PARA CADA DIAMETRO.

HAGA EL SIGUIENTE CAMBIO DE VARIABLE = Y GRAFIQUE =EN PAPEL MILIMETRADO. PARA: h=30XYXYX

0.44447332.44440.1975

0.2541.210.30.0625

0.111118.42.04440.0123

0.046.80.2720.0016

0.02043.20.06530.0004

X=0.8659Y=142.6XY=45.126X=0.2743

= = 164.2862

= = 0.0651

ECUACIN DE LA TABLA: = +

PARA: h=20XYXYX

0.444459.926.62220.1975

0.2533.78.4250.0625

0.111114.91.65550.0123

0.045.30.2120.0016

0.02042.70.05510.0004

X=0.8659Y=114.5XY=36.9698X=0.2743

= = 137.8312

= = -0.9726

ECUACIN DE LA TABLA: = -

PARA: h=10XYXYX

0.44444319.11110.1975

0.2523.75.9250.0625

0.111110.51.16660.0123

0.043.90.1560.0016

0.020420.04080.0004

X=0.8659Y=83.1XY=26.3995X=0.2743

= = 95.5604

= = -0.1045

ECUACIN DE LA TABLA: = -

PARA: h=4XYXYX

0.444426.711.86660.1975

0.25153.750.0625

0.11116.80.75550.0123

0.042.60.1040.0016

0.02041.30.02650.0004

X=0.8659Y=52.4XY=16.5027X=0.2743

= = 59.7304

= = 0.1346

ECUACIN DE LA TABLA: = +

PARA: h=1XYXYX

0.444413.560.1975

0.257.81.950.0625

0.11113.70.41110.0123

0.041.50.060.0016

0.02040.80.01630.0004

X=0.8659Y=114.5XY=8.4374X=0.2743

= = 29.8295

= = 0.2933

ECUACIN DE LA TABLA: = +

DE LA TABLA 3:

GRAFIQUE EN UNA HOJA DE PAPEL MILIMETRADO vs. .

X012345678910

Y10084705949413427242017

GRAFIQUE EN UNA HOJA DE PAPEL SEMILOGARTMICO vs. .

XLgYXLgYX

0200

11.92421.92421

21.84503.694

31.77085.31249

41.69016.760416

51.61278.063525

61.53149.188436

71.431310.019149

81.380211.041664

91.301011.70981

101.230412.3040100

X=55LgY=17.7171XLgY=80.0126X=385

= = -0.0779

= = 2.0003

ECUACIN DE LA TABLA: =

INTERPOLACIN Y EXTRAPOLACIN

CALCULAR EL TIEMPO EN QUE SE HA DESINTEGRADO EL 50% DE LOS NCLEOS DEL RADN, SEGN LA TABLA 3.

=

: PORCENTAJE DE LA DESINTEGRACIN: DASREEMPLAZANDO EN LA ECUACIN PARA =

= =

=

=

= dasHALLE LOS TIEMPOS DE VACIADO DEL AGUA SI:

CASOSALTURA h (cm)DIMETRO d (cm)TIEMPO t (s)

01204.08.5394

02401.0190.1060

03253.512.4036

04491.0210.3934

= + = 8.5394

= + = 190.1060

= + = 12.4036

= + = 210.3934HAGA = PARA LAS ALTURAS Y DIMETROS CORRESPONDIENTES Y COMPLETE LA TABLA:

t (s)73.043.026.715.010.53.91.5

W2.43431.40540.88880.50.35130.12640.04

=73.0: = = 2.4343

=43.0: = = 1.4054

=26.7: = = 0.8888=15.0: = = 0.5

=10.5: = = 0.3513

=3.9: = = 0.1264

=1.5: = = 0.04

LUEGO: = +

= = 30.0356

= = 0.1442

CALCULANDO LA FRMULA: = +

REEMPLAZANDO: = +

HALLAR PARA =15 cm y =6 cm:

= + = 3.3755

HALLAR PARA =40 cm y =1 cm:

= + = 190.1060

5. CONCLUSIONES

MEDIANTE UNA SERIE DE OPERACIONES SE PUEDE HALLAR UNA ECUACIN QUE DESCRIBA UN FENMENO FSICO DETERMINADO.

A TRAVS DEL MTODO DE REGRESIN LINEAL Y EL MTODO DE MNIMOS CUADRADOS ES POSIBLE HACER EL AJUSTE DE LAS CURVAS.

HACIENDO USO DE LOS PAPELES MILIMETRADOS, LOGARTMICOS Y SEMILOGARTMICOS, PODEMOS CONVERTIR UNA CURVA EN UNA RECTA.

SI EN LA HOJA MILIMETRADA OBTENEMOS UNA CURVA, HACEMOS LA GRFICA EN EL PAPEL LOGARTMICO, SI OBTENEMOS OTRA CURVA, REPETIMOS LA GRFICA EN LA HOJA SEMILOGARTMICA DONDE NUESTRA CURVA A DE CONVERTIRSE EN UNA RECTA