Informe de Grafos

Tpicos I

Unidad I

Grafos II

Semana 5

Arboles, Montculos y Grafos

Objetivos Generales

Entender el manejo, uso de algoritmos y

estructuras de datos avanzados, haciendo

nfasis en los algoritmos de internet,

seguridad y redes.

Objetivo Especfico

Implementar algoritmos utilizando

estructura de datos avanzadas.

Objetivo Instruccional

Implementar algoritmos sobre estructuras

de datos complejas: grafos

Co

nte

nid

os

Grafos dirigidos

Clausura transitiva

Todos los caminos mas cortos

Flujo de red

Definicin Son aquellos en los que las aristas que conectan

los nodos son de sentido nico. Tambin se les

denomina como DIGRAFOS.

A menudo, la direccin de las aristas reflejan

algn tipo de relacin de precedencia en la

aplicacin que se esta modelando.

Por ejemplo, un grafo dirigido puede utilizarse

como modelo para una cadena de fabricacin,

los nodos corresponden a las tareas a realizar. Gra

fos

dirig

ido

s

El orden en el que aparecen los vrtices al especificar

las aristas tiene mucha importancia: la notacin V1V2

describe una arista que apunta de V1 hacia V2, pero

no de V2 hacia V1.

Bsqueda en profundidad

Los algoritmos de bsqueda en profundidad estudiados anteriormente pueden ser utilizados exactamente de igual forma con los grafos dirigidos.

De hecho, opera de una manera un poco mas directa que con los grafos no dirigidos dado que no se necesita tener en cuenta las

dobles aristas entre nodos, a menos que estn incluidas explcitamente en el grafo.

Gra

fos

dirig

ido

s

Bsqueda en profundidad G

rafo

s d

irig

ido

s

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1

2

3

5

4

6

7

8

10

9

12

11

1 7 8 9 5 2 12 4 6 3 10 11

Bsqueda en profundidad

Como en el caso de los grafos no dirigidos,

existe gran inters en conocer las propiedades de conectividad de los grafos dirigidos. Debera ser posible responder a

preguntas tales como:

Existe un camino dirigido desde el vrtice x al vrtice y?,

Qu vrtices son accesibles desde el vrtice x por medio de un camino dirigido? y

Existe un camino dirigido desde el vrtice x al vrtice y y un camino dirigido desde y a x?

Gra

fos

dirig

ido

s

Bsqueda en Amplitud G

rafo

s d

irig

ido

s

1

2

3

5

4

6

7

8

10

9

12

11

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 7 10 8 5 11 9 4 6 3 12 2

Definicin

El concepto de transitividad es el mismo que se utiliza en la teora matemtica , el cual postula que si:

a < b < c a < c

En el caso de la clausura transitiva, el

concepto se refiere a que existe un camino que une el vrtice x con el vrtice y, no importando que para llegar desde x a y tengamos que visitar otros vrtices del grafo (camino mas corto).

Cla

usu

ra t

ran

sitiv

a

Consiste en completar el grafo con todas las aristas

que "acortan" el camino entre dos nodos x y y, si es

que se puede llegar de x a y.

En dgrafos muy grandes, el problema de encontrar caminos entre pares

de vrtices es demasiado complicado, slo siguiendo el trazado del

dibujo del mismo, de ah la importancia de este algoritmo y el inters

que gener su estudio.

Cla

usu

ra t

ran

sitiv

a

En que consiste?

Mtodo de Warshall

Ejemplo

1 Cla

usu

ra t

ran

sitiv

a

1 1

Cla

usu

ra t

ran

sitiv

a

Mtodo de Warshall

Cla

usu

ra t

ran

sitiv

a

Mtodo de Warshall

Se continua analizando hasta el vrtice 9, obteniendo las siguientes etapas finales

Cla

usu

ra t

ran

sitiv

a

Mtodo de Warshall

La clausura transitiva de un grafo no ponderado

(dirigido o no) responde a la pregunta Existe un camino desde x a y? para todos los pares de vrtices x, y.

Para los grafos ponderados (dirigidos o no) se puede

desear construir una tabla que permita encontrar el

camino mas corto desde x a y para todos los pares

de vrtices.

Este es el problema de todos los pares de caminos cortos.

Tod

os

los

ca

min

os

ma

s c

ort

os

El algoritmo del camino mas corto

(warshall) encuentra el camino mas

corto desde el vrtice de partida a

cada uno de los otros vrtices, por lo

que para hallar todos los caminos mas

cortos, se necesita solamente ejecutar

este procedimiento V veces,

comenzando una vez en cada

vrtice.

Tod

os

los

ca

min

os

ma

s c

ort

os En que consiste?

El algoritmo representa una red de n nodos como una matriz cuadrada de orden n, la llamaremos matriz C. De esta forma, el valor Cij representa el coste de ir desde el nodo i al nodo j, inicialmente en caso de no

existir un arco entre ambos, el valor Cij ser infinito.

Definiremos otra matriz D, tambin cuadrada de orden n, cuyos elementos van a ser los nodos predecesores en el camino hacia el nodo origen, es decir, el valor Dij representar el nodo predecesor a j

en el camino mnimo desde i hasta j. Inicialmente se comienza con caminos de longitud 1, por lo que Dij = i.

Las diagonales de ambas matrices representan el coste y el nodo predecesor para ir de un nodo a si mismo, por lo que no sirven para nada, estarn bloqueadas.

Los pasos a dar en la aplicacin del algoritmo de Floyd son los siguientes:

Formar las matrices iniciales C y D.

Se toma k=1.

Se selecciona la fila y la columna k de la matriz C y entonces, para i y j, con ik, jk e ij, hacemos:

Si (Cik + Ckj) < Cij Dij = Dkj y Cij = Cik + Ckj

En caso contrario, dejamos las matrices como estn.

Si k

Mtodo de Floyd

Aplicar el algoritmo de

Floyd sobre el siguiente

grafo para obtener las

rutas ms cortas entre

cada dos nodos.

Tod

os

los

ca

min

os

ma

s c

ort

os

C 1 2 3 4 5

1 - 3 10

2 3 - 5

3 10 - 6 15

4 5 6 - 4

5 4 -

D 1 2 3 4 5

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3

4 4 4 4 4 4

5 5 5 5 5 5

Se inicializan las matrices C y D

Mtodo de Floyd To

do

s lo

s c

am

ino

s m

as

co

rto

s

C 1 2 3 4 5

1 - 3 10

2 3 - 5

3 10 - 6 15

4 5 6 - 4

5 4 -

D 1 2 3 4 5

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3

4 4 4 4 4 4

5 5 5 5 5 5

Iteracin: k = 1 2 3 4 5

Si (Cik + Ckj) < Cij Cij = Cik + Ckj y Dij = Dkj = k Para i=2, j=3 se tiene calcular C[2,3]: C[2,1]+C[1,3] = 3 + 10 = 13

(Cik + Ckj) < Cij 13 < Cij = 13 y Dij = 1

Mtodo de Floyd To

do

s lo

s c

am

ino

s m

as

co

rto

s

C 1 2 3 4 5

1 - 3 10

2 3 - 13 5

3 10 - 6 15

4 5 6 - 4

5 4 -

D 1 2 3 4 5

1 1 1 1 1 1

2 2 2 1 2 2

3 3 3 3 3 3

4 4 4 4 4 4

5 5 5 5 5 5

Iteracin: k = 1 2 3 4 5

De forma anloga se

analiza los dems

elementos de la matriz,

obtenindose al final

de la iteracin 1 los

siguientes resultados:

C 1 2 3 4 5

1 - 3 10

2 3 - 13 5

3 10 13 - 6 15

4 5 6 - 4

5 4 -

D 1 2 3 4 5

1 1 1 1 1 1

2 2 2 1 2 2

3 3 1 3 3 3

4 4 4 4 4 4

5 5 5 5 5 5

Mtodo de Floyd To

do

s lo

s c

am

ino

s m

as

co

rto

s

Iteracin: k = 1 2 3 4 5

C 1 2 3 4 5

1 - 3 10

2 3 - 13 5

3 10 13 - 6 15

4 5 6 - 4

5 4 -

D 1 2 3 4 5

1 1 1 1 1 1

2 2 2 1 2 2

3 3 1 3 3 3

4 4 4 4 4 4

5 5 5 5 5 5

De forma anloga se

analiza los dems





C 1 2 3 4 5

1 - 3 10 8

2 3 - 13 5

3 10 13 - 6 15

4 8 5 6 - 4

5 4 -

D 1 2 3 4 5

1 1 1 1 2 1

2 2 2 1 2 2

3 3 1 3 3 3

4 2 4 4 4 4

5 5 5 5 5 5

Mtodo de Floyd To

do

s lo

s c

am

ino

s m

as

co

rto

s

Iteracin: k = 1 2 3 4 5

De forma anloga se

analiza los dems





C 1 2 3 4 5

1 - 3 10 8 25

2 3 - 13 5 28

3 10 13 - 6 15

4 8 5 6 - 4

5 4 -

D 1 2 3 4 5

1 1 1 1 2 3

2 2 2 1 2 3

3 3 1 3 3 3

4 2 4 4 4 4

5 5 5 5 5 5

C 1 2 3 4 5

1 - 3 10 8

2 3 - 13 5

3 10 13 - 6 15

4 8 5 6 - 4

5 4 -

D 1 2 3 4 5

1 1 1 1 2 1

2 2 2 1 2 2

3 3 1 3 3 3

4 2 4 4 4 4

5 5 5 5 5 5

Mtodo de Floyd To

do

s lo

s c

am

ino

s m

as

co

rto

s

Iteracin: k = 1 2 3 4 5

De forma anloga se

analiza los dems





C 1 2 3 4 5

1 - 3 10 8 12

2 3 - 11 5 9

3 10 11 - 6 10

4 8 5 6 - 4

5 12 9 10 4 -

D 1 2 3 4 5

1 1 1 1 2 4

2 2 2 4 2 4

3 3 4 3 3 4

4 2 4 4 4 4

5 4 4 4 5 5

C 1 2 3 4 5

1 - 3 10 8 25

2 3 - 13 5 28

3 10 13 - 6 15

4 8 5 6 - 4

5 4 -

D 1 2 3 4 5

1 1 1 1 2 3

2 2 2 1 2 3

3 3 1 3 3 3

4 2 4 4 4 4

5 5 5 5 5 5

Mtodo de Floyd To

do

s lo

s c

am

ino

s m

as

co

rto

s

Iteracin: k = 1 2 3 4 5

De forma anloga se

analiza los dems





C 1 2 3 4 5

1 - 3 10 8 12

2 3 - 11 5 9

3 10 11 - 6 10

4 8 5 6 - 4

5 12 9 10 4 -

D 1 2 3 4 5

1 1 1 1 2 4

2 2 2 4 2 4

3 3 4 3 3 4

4 2 4 4 4 4

5 4 4 4 5 5

C 1 2 3 4 5

1 - 3 10 8 12

2 3 - 11 5 9

3 10 11 - 6 10

4 8 5 6 - 4

5 12 9 10 4 -

D 1 2 3 4 5

1 1 1 1 2 4

2 2 2 4 2 4

3 3 4 3 3 4

4 2 4 4 4 4

5 4 4 4 5 5

Mtodo de Floyd To

do

s lo

s c

am

ino

s m

as

co

rto

s

C 1 2 3 4 5

1 - 3 10 8 12

2 3 - 11 5 9

3 10 11 - 6 10

4 8 5 6 - 4

5 12 9 10 4 -

D 1 2 3 4 5

1 1 1 1 2 4

2 2 2 4 2 4

3 3 4 3 3 4

4 2 4 4 4 4

5 4 4 4 5 5

Las matrices finales C y D contienen toda la informacin necesaria para determinar la ruta ms corta entre dos nodos cualquiera de la red. Por ejemplo, la distancia ms corta del nodo 1 al nodo 5 es C[1,5] = 12. Para determinar la ruta asociada del camino mnimo entre el nodo 1 y el nodo 5 haremos lo siguiente: Consultamos D[1,5]=4, el nodo predecesor al 5 es el 4, es decir, 4 5. Consultamos D[1,4]=2, el nodo predecesor al 4 es el 2, es decir, 2 4 5. Consultamos D[1,2]=1, el nodo predecesor al 2 es el 1, es decir, 1 2 4 5. Entonces as ya tenemos la ruta completa.

Matrices

finales

Mtodo de Floyd To

do

s lo

s c

am

ino

s m

as

co

rto

s

Problemtica Flu

jo d

e r

ed

Los grafos dirigidos ponderados son modelos muy

tiles en ciertos tipos de aplicaciones que implican

flujo de productos a travs de una red de

interconexin. Considrese, por ejemplo, una red de

oleoductos de distintos tamaos, interconectados

de forma compleja, con vlvulas que controlen la

direccin del flujo en las derivaciones. Supngase

adems que la red tiene una fuente nica (como un

campo de petrleo) y un nico destino (como una gran

refinera) al que convergen finalmente todos los

conductos. Qu ajuste de vlvula har mxima la

cantidad de petrleo que fluye de la fuente hacia el

destino?

El problema del flujo de red

B

F

A

D E

C B

F

A

D E

C B

F

A

D E

C

Flujo mximo en una red simple

Flu

jo d

e r

ed

El problema del flujo de red En la grafica idealizada anterior de la pequea red

de oleoducto, las canalizaciones tienen una

capacidad fija proporcional a su tamao y el

petrleo solamente puede fluir en forma

descendente. Adems las vlvulas de cada

derivacin controlan la capacidad de petrleo que

va en cada direccin.

Sin importar la forma en la que estn puestas las

vlvulas, el sistema alcanza un estado de equilibrio

cuando la capacidad de petrleo que fluye al

sistema por arriba es igual a la cantidad que fluye

hacia afuera por la parte inferior y cuando la

cantidad de petrleo que fluye hacia cada

derivacin es igual a la que sale de ella.

Flu

jo d

e r

ed

El problema del flujo de red

El objetivo es desarrollar un algoritmo que pueda

encontrar el reglaje de las vlvulas adecuado para cualquier red y de esta manera evitar

embotellamientos. Adems, se desea estar seguros de que ningn otro reglaje dar un flujo mayor.

B

F

A

D E

C B

F

A

D E

C B

F

A

D E

C

Flu

jo d

e r

ed

El problema del flujo de red Red: Se define como un grafo dirigido ponderado con dos

vrtices principales: uno, que no tiene aristas que apunte a el (la

fuente), y otro que no tiene aristas que apunten afuera de el (el

pozo). Los pesos de las aristas, que se supone que no son

negativos, se denominan capacidades de las aristas.

Flujo: Se define como un conjunto de pesos en las aristas tal que

el flujo en cada una de ellas es igual o menor que la

capacidad, y el flujo que entra en cada vrtice es igual al que

sale de el. El valor del flujo es el que entra en la fuente (o sale del pozo).

El problema del flujo de red consiste en encontrar un FLUJO DE VALOR MXIMO para una red dada .

Flu

jo d

e r

ed

Mtodo de Ford-Fulkerson

El algoritmo de Ford-Fulkerson propone buscar

caminos en los que se pueda aumentar el flujo, hasta

que se alcance el flujo mximo. La idea es encontrar

una ruta de penetracin con un flujo positivo neto

que una los nodos origen y destino.

Consideraremos las capacidades iniciales del arco que une el

nodo i y el nodo j como Cij y Cji. Estas capacidades iniciales irn

variando a medida que avanza el algoritmo, denominaremos

capacidades residuales a las capacidades restantes del arco

una vez pasa algn flujo por l, las representaremos como cij y

cji.

Para un nodo j que recibe el flujo del nodo i, definimos una

clasificacin [aj,i] donde aj es el flujo del nodo i al nodo j.

Flu

jo d

e r

ed

Mtodo de Ford-Fulkerson PASOS:

1. Identificar los nodos origen y destino

2. Identificar la capacidad mas alta que sale del nodo origen

3. Identificar el nodo intermediario con [af,i] (af es el flujo mximo de ingreso y i el nodo de donde proviene dicho flujo mximo)

4. Repetir paso 3, como si el nodo intermediario fuera el nodo

origen

5. Actualizar los flujos: (Cij , Cji) = (Ci k, Cj + k) donde:

C = Capacidad

i , j = ndices de los nodos

K = flujo mnimo del camino seleccionado

6. Retornar al paso 2 si al menos hay una salida de flujo del

nodo fuente

7. La suma de los K corresponde al Flujo Mximo.

Flu

jo d

e r

ed


1

2 3

4

5 10 30

20

0

0

40

20

0

10

0

0

0

30

0

0

20

Fuente

Sumidero

Capacidad de flujo mximo del

nodo 1 al nodo 4

Del nodo 4 al nodo 1 no hay

flujo

[ ,-]

Por ser la fuente se considera la

cantidad de flujo mximo de

ingreso ()

Por no tener nodo conocido

como inicio se considera (-)

[ ,-]

PASO 1

Flu

jo d

e r

ed


1

2 3

4

5 10 30

20

0

0

40

20

0

10

0

0

0

30

0

0

20

[ ,-]

Iteracin 1

[ 30,1]

Paso 2

Paso 3

[ 20,3]

Actualizando las capacidades

K = min (,30,20) = 20

i = 1 , j = 3 (Cij , Cji) = (30 20, 0 + 20) = (10,20) i = 3 , j = 5 (Cij , Cji) = (20 20, 0 + 20) = (0,20)

30 0

0

20

1

2 3

4

5 10

20

0

0

40

20

0

10

0

0

30

0

[ ,-]

[ 30,1]

[ 20,3]

10

20

20

0

Flu

jo d

e r

ed


1

2 3

4

5 10 10

20

0

0

40

20

0

10

0

20

0

30

0

20

0

[ ,-]

Iteracin 2

K = min (,20,40,10,20) = 10

1

2 3

4

5 10 10

10

0

10

30

10

10

0

0

20

10

30

10

20

0

[ ,-]

[ 10,3]

[ 40,2]

(C12 , C21) = (20 10, 0 + 10) = (10,10) (C23 , C32) = (40 10, 0 + 10) = (30,10) (C34 , C43) = (10 10, 0 + 10) = ( 0,10) (C45 , C54) = (20 10, 0 + 10) = (10,10)

[ 20,4]

[ 20,1]

Flu

jo d

e r

ed


1

2 3

4

5 10 10

10

0

10

30

10

1 0

0

0

20

10

30

10

20

0

[ ,-]

Iteracin 3

K = min (,10,30) = 10

1

2 3

4

5 10 10

0

0

10

30

10

10

0

10

20

20

20

10

20

0

[ ,-]

(C12 , C21) = (10 10, 10 + 10) = (0,20) (C25 , C52) = (30 10, 0 + 10) = (20,10)

[ 10,1]

[ 30,2]

Flu

jo d

e r

ed


1

2 3

4

5 10 10

0

0

10

30

10

1 0

0

10

20

20

20

10

20

0

[ ,-]

Iteracin 4

K = min (,10,10,20) = 10

1

2 3

4

5 10 0

0

0

10

40

10

10

0

20

20

20

10

0

30

0

[ ,-]

(C13 , C31) = (10 10, 20 + 10) = (0,30) (C32 , C23) = (10 10, 30 + 10) = (0,40) (C25 , C52) = (20 10, 10 + 10) = (10,20)

[ 10,3]

[ 20,2]

[ 10,1]

Flu

jo d

e r

ed


1

2 3

4

5 10 0

0

0

10

40

10

1 0

0

20

20

20

10

0

30

0

[ ,-]

Iteracin 5

K = min (,10,10) = 10

1

2 3

4

5 0 0

0

10

10

40

0

20

0

20

20

20

10

0

30

0

[ ,-]

(C14 , C41) = (10 10, 0 + 10) = (0,10) (C45 , C54) = (10 10, 10 + 10) = (0,20)

[ 10,4]

[ 10,1]

Flu

jo d

e r

ed


1

2 3

4

5 0 0

0

10

10

40

0

2 0

0

20

20

20

10

0

30

0

[ ,-]

Flujo Mximo = k = 20+10+10+10+10

= 60

Flu

jo d

e r

ed


1

2 3

4

5

10

10 2 0

20

20

20 0

30

Flu

jo d

e r

ed

Flujo Mximo = 60

1

2 3

4

5 10 30

20

0

0

40

20

0

10

0

0

0

30

0

0

20

Propuesta

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Grafos II

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