TRABAJO Y ENERGA

INDICE

1)CONCEPTO DE TRABAJO32)TRABAJO DE UNA FUERZA33)TRABAJO DE UNA FUERZA VARIABLE.54)TRABAJO DE UNA FUERZA CONSTANTE QUE SE MUEVE A LO LARGO DE UNA LNEA RECTA.55)TRABAJO DE UN PESO.66)ENERGA CINTICA DE UNA PARTCULA137)ECUACIN DEL TRABAJO Y ENERGIA148)FORMA ALTERNATIVA DE LA ECUACION DEL TRABAJO Y LA ENERGA.149)SISTEMAS CONSERVATIVOS159.1. FUERZAS CONSERVATIVAS.159.2. ENERGA POTENCIAL.169.2.1.ENERGA POTENCIAL GRAVITATORIA:179.2.2.ENERGA POTENCIAL ELSTICA.179.2.3.FUNCIN POTENCIAL.1810)CONSERVACIN DE LA ENERGA:21PROBLEMAS APLICATIVOS23

INTRODUCCIN

Es importante sealar que los conceptos de trabajo y energa se fundamentan en las leyes de Newton y por ello no implican ningn nuevo principio.

Este mtodo alternativo de descripcin del movimiento es en especial til cuando la fuerza que acta sobre una partcula no es constante. Es decir, cuando la aceleracin no es constante y en consecuencia no se pueden aplicar las ecuaciones de la cinemtica. Con frecuencia, en la naturaleza una partcula est sujeta a una fuerza que vara con la posicin de la misma. Dichas fuerzas incluyen a las gravitacionales y a la fuerza ejercida sobre un objeto unido a un resorte.

Describiremos tcnicas para tratar estos sistemas con la ayuda de un desarrollo sumamente importante conocido como teorema del trabajo y la energa, tema central de este trabajo de investigacin.

Energa

La energa est presente en nuestra vida cotidiana en varias formas. La energa elctrica para la iluminacin, la energa almacenada en la batera para encender el motor de un vehculo, la energa elctrica para que funcione el aparato de aire acondicionado que saca el calor de los edificios, etc.

En la fsica, la energa se clasifica en diferentes tipos. La energa mecnica, la electromagntica, la qumica, la trmica, la nuclear, etc. Adems, una forma de energa puede convertirse en otra. Por ejemplo, cuando un motor elctrico se conecta a una batera, la energa qumica se transforma en energa elctrica, la cual, a su vez, se puede convertir en energa mecnica. La transformacin de energa de una forma a otra es una parte esencial del estudio de la fsica, la ingeniera, la qumica, la biologa, la geologa, etc. Cuando la energa cambia de una forma a otra, su cantidad total permanece igual. Cualquier forma de energa es una cantidad escalar.

Trabajo

En la vida cotidiana, trabajo es lo que se asocia con hacer un esfuerzo. Caminar, trasladar un objeto de un lugar a otro, dirigir el trfico en la calle, ensear, estar en una oficina moviendo papeles o tecleando en una computadora.

En fsica, un trabajo es efectuado por una fuerza que acta sobre un objeto siempre y cuando haga que el objeto se mueva alguna distancia.

TRABAJO Y ENERGA1) CONCEPTO DE TRABAJOPara que una fuerza realice trabajo sobre un objeto, ste debe desplazarse a lo largo de la lnea de accin de la fuerza, mientras que la fuerza est actuando. (Fsica en Perspectiva, Eugene Hecht, Adisson Wesley. 1987).Una fuerza realiza trabajo cuando acta sobre un objeto que se mueve a travs de una distancia y existe una componente de la fuerza a lo largo de la lnea del movimiento. (Fsica para la ciencia y la tecnologa, Vol. I, Tipler. Revert, 2001).Si bajo la accin de una fuerza dada el valor de la velocidad del punto material, sobre el cual se aplica la fuerza, vara a lo largo del desplazamiento de esta partcula, entonces la fuerza realiza trabajo. (Mecnica Terica, E.M Nikitin, Ed. Mir. 1980).2) TRABAJO DE UNA FUERZA

Una fuerza efecta trabajo sobre una partcula slo cuando sta experimenta un desplazamiento en la direccin de la fuerza. Por ejemplo:Considere la fuerza que acta sobre la partcula en la fig. 1.Si la partcula se mueve a lo largo de la trayectoria s desde la posicin hasta una nueva posicin , el desplazamiento es entonces = . La magnitud de es representada por , que es un segmento diferencial a lo largo de la trayectoria. Si el ngulo ente las colas de y es , fig. 1, entonces el trabajo que es realizado por es una cantidad escalar (tiene magnitud y signo, pero no direccin), definida mediante:

Por definicin del producto punto, esta ecuacin tambin puede ser escrita como:

Este resultado puede ser interpretado de dos maneras: como el producto de F y la componente del desplazamiento en la direccin de la fuerza, es decir, , o como el producto de y la componente de la fuerza en la direccin del desplazamiento, es decir, .

Casos Particulares:1) Si la fuerza tiene el mismo sentido que el vector desplazamiento , entonces el trabajo se reduce a .

Trabajo Positivo: Si (Trabajo motriz).

2) Si la fuerza tiene sentido opuesto al vector desplazamiento , entonces el trabajo se obtiene como .

Trabajo Negativo: Si (Trabajo resistente).

3) Si la fuerza es perpendicular a , el trabajo es igual a cero.

Trabajo Nulo: Si

3) TRABAJO DE UNA FUERZA VARIABLE.

Si la partcula experimenta un desplazamiento finito a lo largo de su trayectoria desde hasta , o de a , fig.2-a, el trabajo es determinado por integracin. Si se expresa como una funcin de posicin, F = F(s), tenemos:

Si la componente de trabajo de la fuerza, , es graficada contra s , fig. 2-b, en esta ecuacin la integral puede ser interpretada como el rea bajo la curva desde la posicin hasta la posicin .

4) TRABAJO DE UNA FUERZA CONSTANTE QUE SE MUEVE A LO LARGO DE UNA LNEA RECTA.

Si la tiene magnitud constante y acta bajo un ngulo constante desde su trayectoria en lnea recta, fig. 3-a, entonces la componente de en la direccin del desplazamiento es . El trabajo realizado por cuando la partcula es desplazada de a es determinado con la ecuacin 1, en cuyo caso:

Aqu el trabajo representa el rea bajo el rectngulo en la fig. 3-b.

5) TRABAJO DE UN PESO.

Considere una partcula que se mueve hacia arriba a lo largo de la trayectoria s mostrada en la fig. 4 desde la posicin hasta la posicin . En un punto intermedio, el desplazamiento . Como , aplicando la ecuacin (1) obtenemos:

Conclusin: El trabajo realizado es igual a la magnitud del peso de la partcula por su desplazamiento vertical.

TRABAJO REALIZADO POR LA FUERZA DE UN RESORTE.

Cuerpo elstico: Cuando al cuerpo se le aplica una fuerza este retorna a su estado inicial al retirar esta fuerza.

K = constante del resorte, expresada en N.m.

.. (Trabajo negativo)

El trabajo es negativo porque la fuerza del resorte esta en sentido contrario al desplazamiento.a) DE ALARGADO A MENOS ALARGADO.

(Trabajo positivo)

Debido a que es mayor que desde la su posicin no alargada, entonces el trabajo es positivo.b) DE ACORTADO A ALARGADO.

c) DE ACORTADO A MAS ACORTADO

d) DE ALARGADO A ACORTADO.

5.1) RESORTES EN SERIE Y PARALELOResortes en serie:Se caracterizan porque la deformacin total es igual a la suma de las deformaciones de cada resorte y adems la fuerza en cada resorte es la misma.

Resorte en paraleloLa deformacin de cada resorte es la misma y la fuerza ser la suma de las fuerzas en cada resorte.

PARALELO

X

6) ENERGA CINTICA DE UNA PARTCULA

Considere una partcula de masa m que se somete a una fuerza y que se mueve a lo largo de una trayectoria que es rectilnea o curva (Fig. 6). Al expresar la Segunda Ley de Newton en trminos de las componentes tangenciales de la fuerza y de la aceleracin.

Donde v es la velocidad de la partcula y recordando que , se obtiene:

Al integrar desde , donde y , hasta , donde y , se escribe:

7) ECUACIN DEL TRABAJO Y ENERGIAEl miembro de la izquierda de la ecuacin (5) representa el trabajo de la fuerza ejercida sobre la partcula durante el desplazamiento de a , el trabajo es una cantidad escalar. La expresin es tambin una cantidad escalar, se define como la energa cintica de la partcula y se denota por T.Se escribe

Al sustituir en la ecuacin (5), se tiene

La cual expresa que, cuando la partcula se mueve de a bajo la accin de una fuerza , el trabajo de la fuerza es igual al cambio de la energa cintica de la partcula .Lo anterior se conoce como el principio del trabajo y la energa.8) FORMA ALTERNATIVA DE LA ECUACION DEL TRABAJO Y LA ENERGA.Cuando un campo de fuerzas est formado por fuerzas tanto conservativas como no conservativas, escribimos , en donde los subndices c y n designan conservativa y no conservativa, respectivamente. El trabajo realizado por este sistema de fuerzas puede expresare como:

Aplicando la definicin de energa potencial, tenemos

Esta es la segunda forma de la ecuacin del trabajo y la energa. Establece que el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas es igual al cambio de la energa mecnica, que es la suma de la energa cintica y potencial.9) SISTEMAS CONSERVATIVOS

9.1. FUERZAS CONSERVATIVAS.

Cuando el trabajo realizado por una fuerza al mover una partcula A de un punto hasta otro punto es independiente de la trayectoria seguida por la partcula A cuando se mueve de a , entonces esa fuerza se denomina fuerza conservativa, Fig.7-a.

Si se elige para coincidir con , esto es, si la partcula describe una trayectoria cerrada (fig. 7-b), y el trabajo es cero. Entonces es posible escribir para una fuerza conservativa .

Donde el crculo sobre el signo integral indica que la trayectoria es cerrada.El peso de una partcula y la fuerza de un resorte son dos ejemplos de fuerzas conservativas.El trabajo realizado por el peso de una partcula es independiente de la trayectoria ya que depende slo del desplazamiento vertical de la partcula.El trabajo realizado por un resorte que acta sobre una partcula es independiente de la trayectoria de la partcula, ya que depende solo de la extensin o compresin s del resorte.

9.2. ENERGA POTENCIAL.

La energa puede ser definida como la capacidad de efectuar trabajo. Cuando la energa proviene del movimiento de la partcula se llama energa cintica. Cuando proviene de la posicin de la partcula, medida desde un plano de referencia, la fuerza se denomina energa potencial. As, la energa potencial es una medida de la cantidad de trabajo que una fuerza conservativa realizar cuando se mueva desde una posicin dada hasta el plano de referencia. En mecnica, la energa potencial debida a la gravedad (peso) o a un resorte elstico es de gran importancia.

9.2.1. ENERGA POTENCIAL GRAVITATORIA:Si una partcula est localizada a una distancia y por arriba de un plano de referencia elegido arbitrariamente, como se muestra en la fig. 8, el peso W de la partcula tiene una energa potencial gravitatoria positiva , ya que W tiene la capacidad de efectuar trabajo positivo cuando la partcula es movida hacia debajo de regreso al plano de referencia. Igualmente, si la partcula est localizada a una distancia y por abajo del plano de referencia, es negativo ya que el peso efecta trabajo negativo cuando la partcula es movida hacia arriba de regreso al plano de referencia. En el plano de referencia .En general, si Y es positiva hacia arriba, la energa potencial gravitatoria de la partcula de peso W es*

*Aqu el peso se supone constante. Esta suposicin es adecuada para pequeas diferencias en elevacin .

9.2.2. ENERGA POTENCIAL ELSTICA.

Cuando un resorte elstico es alargado o comprimido una distancia s desde su posicin no alargada, la energa potencial elstica debida a la configuracin del resorte puede ser expresada como:

Aqu es siempre positiva ya que, en la posicin deformada, la fuerza del resorte siempre tiene la capacidad de efectuar trabajo positivo sobre la partcula cuando el resorte retorna a su posicin no alargada, fig. 9.

9.2.3. FUNCIN POTENCIAL.

En el caso general, si una partcula est sometida a fuerzas gravitatorias y a fuerzas elsticas, su energa potencial puede ser expresada como una funcin potencial, que es la suma algebraica:

La medida de V depende de la ubicacin de la partcula con respecto a un plano de referencia seleccionado de acuerdo con las ecuaciones (11) y (12).Si la partcula est ubicada en un punto arbitrario (x,y,z) en el espacio, esta funcin potencial es entonces . El trabajo es realizado por una fuerza conservativa al mover la partcula desde el punto hasta el punto es medido por la diferencia de esta funcin, esto es:

Por ejemplo, la funcin potencial para una partcula de peso W suspendida de un resorte puede ser expresada en trminos de su posicin s medida desde un plano de referencia ubicado en la longitud no alargada del resorte, fig. 10. Tenemos:

SI la partcula se mueve desde hasta una posicin inferior , entonces aplicando la ecuacin , puede verse que el trabajo de W y Fs es:

Cuando el desplazamiento a lo largo de la trayectoria es infinitesimal, es decir, el punto (x, y, z) a , la ecuacin toma la forma:

Si la fuerza y el desplazamiento son definidos usando las coordenadas rectangulares, entonces el trabajo tambin puede ser expresado como:

Sustituyendo este resultado en la ecuacin y expresando la diferencial en trminos de sus derivadas parciales obtenemos:

Como todos los cambios en x, y, y z son independientes uno de otro, esta ecuacin se satisface si:

Entonces,

O bien

Donde representa el operador vectorial , o la gradiente de la funcin escalar V.La ecuacin relaciona una fuerza con su funcin potencial V y con ello proporciona un criterio matemtico para probar que es conservativa. Por ejemplo, la funcin potencial gravitatoria para un peso localizado a una distancia y por arriba de un plano de referencia es . Para probar que es conservativa, es necesario probar que satisface la ecuacin , en cuyo caso

,

El signo negativo indica que acta hacia abajo, opuesta a la positiva, que es hacia arriba.

10) CONSERVACIN DE LA ENERGA:

Cuando un sistema de fuerzas conservativas y no conservativas acta sobre una partcula, la porcin del trabajo realizado por las fuerzas conservativas puede ser escrita en trminos de la diferencia en sus energas potenciales usando la ecuacin . Como resultado, el principio del trabajo y energa puede ser escrito como:

Aqu representa el trabajo de las fuerzas no conservativas que actan sobre la partcula. Si slo fuerzas conservativas son aplicadas al cuerpo, este trmino es cero y entonces tenemos:

A esta ecuacin se le conoce como ecuacin de la conservacin de la energa. Esta ecuacin establece que durante el movimiento, la suma de las energas cinticas y potencial de la partcula permanece constante. Para que esto ocurra, la energa cintica debe ser transformada en energa potencial, y viceversa. Si una bola de peso es dejada caer desde una altura h sobre el suelo, fig.11, la energa potencial de la bola es mxima antes de dejarla caer y su energa cintica es cero. La energa mecnica total en su posicin inicial es entonces:

Cuando la bola ha cado una distancia h/2, su rapidez puede ser determinada usando , que da . La energa de la bola en la posicin inicial e entonces:

Justo antes de que la bola toque el suelo, su energa potencial es cero y su rapidez . Aqu, de nuevo, la energa total de la bola es:

Fig. 11

PROBLEMAS APLICATIVOS

1.- Una esfera de masa m, se desliza por un alambre de A hacia B, como se indica en la figura. Si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el alambre es y el cuerpo parte del punto A con una velocidad . Cul ser su velocidad en B?Solucin:

fmgcosmgmgsenNAByLAplicando el teorema del trabajo y la energa:

(1).

(2)Reemplazando (2) en (1):

2.- Un hombre jala un bloque de peso w una distancia L sobre un piso horizontal con una velocidad constante aplicando una fuerza dirigida formando un ngulo con la horizontal. Si el coeficiente de rozamiento cintico es , Qu cantidad de trabajo hace el hombre sobre el bloque?

LWFNFsenfFcosSolucin:

Cmo el movimiento es con velocidad constante, entonces:

.. Reemplazando la relacin de la friccin.

(1)

.. Reemplazando la relacin de la friccin.

.. (2)Reemplazando (2) en (1):

Despejando la fuerza F, tenemos:

Calculamos el trabajo del hombre:

3.-Una masa m se encuentra soportado sobre un plano inclinado sin friccin, cuyo plano forma un ngulo con la horizontal y esta sujeta por un resorte lineal, cuya es constante es K como se muestra en la figura. Encontrar la energa potencial del sistema como funcin del desplazamiento x medida desde la posicin de equilibrio esttico. Se supone que la energa potencial es cero, en la posicin de equilibrio esttico.

Nos piden hallar V =??

4.- La masa de la figura anterior se mueve una distancia A a lo largo del plano desde la posicin de Equilibrio Esttico y despus suelta para que quede en reposo. Escribir la ecuacin de la conservacin de la energa para el sistema y aplicar esta ecuacin al movimiento de la masa.

DINAMICA1