Propagacin de una onda sonora por el aire

Demayo Emiliano, Pinto Daniel, Santa Cruz Moreno GonzaloLaboratorio 2- Dpto. de Fsica -FCEyN- UBA-2015.

1. ResumenAnalisis de la propagacin de ondas ultrasnicas generadas y detectadas por transductores piezoelctricos. Caracterizacin del par emisor-receptor, rango de frecuencias en que trabaja y frecuencia de resonancia. Anlisis de linealidad entre la amplitud emitida por el generador de funciones y la (emitida? o recibida? ) por el piezoelctrico. Analisis del decaimiento de la amplitud con respecto a la distancia. Medicion de la longitud de onda y caracterizacion del frente de la onda emitida, por diferencia de fase. Anlisis de Fourier de la composicin armnica de una seal cuadrada generada por el generador de funciones.2. IntroduccinSabemos que existe el sonido como fenmeno fsico porque podemos percibirlas mediante uno de nuestros sentidos. Poder escuchar a travs de paredes, escuchar una vibracin que podemos percibir con el tacto, entre otros fenmenos, nos lleva a pensar de que no existe propagacin de masa (y por lo tanto materia) con el sonido. Por lo tanto, existiendo dos sustancias en el universo perceptible, materia y energa, debe haber una transferencia de energa por el espacio, o sea, lo que llamamos una onda. Nosotros nos limitaremos a analizar su propagacin por el aire utilizando un modelo sencillo, en el que consideraremos un sistema homogneo compuesto por aire, comportndose ste como un gas ideal en el marco de la teora termodinmica.Resolviendo el sistema llegamos a que responde a la Ecuacin de Ondas Clsica:1 (ec de ondas clsica pgina 70 del martinez, aunque est resuelto para un gas en la pgina 97. Sera mejor poner esa. Para mi la ec de ondas unidimensional alcanza, despus de ltima en lo de los ngulos vemos que onda)Veremos la solucin del sistema cuando lo forzamos a una frecuencia f determinada. Analizaremos el forzado estacionario ya que nuestros instrumentos de medicin son incapaces de detectar el estado transitorio del sistema. Por lo tanto la perturbacin est localizada y veremos a las ondas como viajeras, es decir que la solucin ms general a esta ecuacin es de la forma:2 (ponemos una forma general de una onda: progresiva ms regresiva. Pero ponemos planas, esfricas? Hay que decidir sto. En el martinez hay distintas soluciones para esfricas progresivas y regresivas, planas progresivas y regresivas o estacionarias. De todas maneras yo creo que a lo que mejor responde el sistema es a una onda esfrica cuya amplitud depende no slo del mdulo de r, sino tambin de la direccin de r. Osea si r^2 = x^2 + y^2 + z^2, depende no slo de x, sino de y y z. Vimos que era una onda esfrica cuya amplitud no era la misma en todas las direcciones para un r determinado. sera esta ecuacin con r vectorial en el exponente. Mejor escribirla en trminos de c, r y t, reemplazando w=k.c)Reemplazando la solucin en la ecuacin, obtenemos la relacin de dispersin, que relaciona la frecuencia temporal con la frecuencia espacial del sistema:3 (relacin de dispersin) (w=c.k c=f)En esta expresin, la constante c es la velocidad de propagacin de la onda en el aire. Para visualizarlo mejor vemos que para que en 2 la funcin de onda mantenga su forma despus de un tiempo t transcurrido, debe haberse movido una distancia x tal que x-ct=0 (si usamos esfricas sera r-ct=0). Se utiliz este resultado en la seccin (donde determinamos la velocidad de propagacin, despus de medir la longitud de onda) para calcular la velocidad de propagacin de la onda por el aire, luego de haber calculado la longitud de onda .(La manera en la que se midi la longitud de onda es mediante la ecuacin =L/N, siendo L la distancia que recorrimos barriendo mximos al mover el receptor en la direccin de propagacin de la onda, y N el nmero de mximos. Como no se cmo introducir esta ecuacin ni su nombre, yo creo que hay que ponerla junto con un diagrama en la parte de desarrollos. Sino la ponemos as como la introduje ac y listo. Hay que resaltar que este mtodo es muy preciso para medir ya que el error de lambda es delta= 1/N * deltaL+ L/(N^2) * deltaN, y al recorrer un gran nmero de mximos el error es mnimo).c=.f entonces deltac= f * delta + * deltafEn la seccin (anlisis de una seal) trabajaremos en el marco del anlisis de Fourier de una seal. Una onda peridica puede ser descompuesta en una suma finita o infinita de funciones u ondas armnicas. La forma de sta descomposicin viene dada por las ecuaciones: (153 y 154 del martinez)en la que w0=2f. An y Bn son los coeficientes de Fourier de cada armnico y contienen la informacin de cunto proporciona cada uno a la seal; mientras que w0 es la frecuencia fundamental de la seal generada y el resto de los armnicos tendr frecuencias mltiplos enteros de ella. Tengamos en cuenta el siguiente resultado para una seal cuadrada que nos servir ms adelante: (la ecuacin resuelta para seales cuadradas) Tengamos presente la transformada de Fourier del espectro continuo de una seal, ya que nos servir para interpretar un resultado inesperado al analizar una onda cuadrada de frecuencia muy baja:(no se si hace falta poner esto de la transformada o lo explicamos directo)

3. Desarrollo y resultadosLos materiales utilizados en el experimento fueron dos emisores y un receptor de ultrasonido (ambos de material piezoelctrico), una cinta mtrica, 3 cables bnc-bnc, 2 cables con enchufe, un adaptador en T, un posicionador de un eje, 1 osciloscopio y 1 generador de funciones.

Figura 1: Diagrama del circuito utilizado. El equipo de la parte inferior del dibujo es el osciloscopio, en la parte superior izquierda esta el generador de funciones. El par emisor receptor esta en la parte superior del dibujo

El objetivo del experimento fue caracterizar el emisor y receptor de ultrasonido, esto es: determinar el rango de frecuencias en el que la seal es recibida correctamente, ver la dependencia del voltaje recibido con el voltaje entregado (esto es para determinar la amplitud perdida en el aire), la dependencia de la intensidad de la seal recibida con el ngulo en el que est posicionado el emisor, la dependencia con la distancia, y la dependencia con la frecuencia.

Los siguientes parmetros, correspondientes a la onda de sonido emitida por el material piezoelctrico, se podan controlar directamente mediante el generador de funciones: la frecuencia, la forma (sinusoidal, cuadrada, zigzag) y la amplitud.

Tomaremos como sistema de referencia en x=0 el emisor, tal como indica la figura X. La posicin del detector se encuentra en x=d. (Ac ira un simple diagrama como para que se entienda que el eje x es el que une emisor y receptor)

Caracterizacin del par emisor-detector

Para determinar el rango de frecuencias en las que el receptor piezoelctrico recibe bien la onda, se conect el generador de funciones al emisor y el osciloscopio al receptor usando los cables bnc-bnc, y tambin se conect el generador de funciones directamente al osciloscopio, usando el adaptador en T. El montaje del sistema se esquematiza en la Figura 1. El voltaje captado mediante el sistema de transductores piezoelctricos se recibi en el Canal 1, y el voltaje correspondiente a la conexin directa entre el generador y el osciloscopio se recibi en el Canal 2. Posteriormente,se coloc el receptor lo ms cerca posible del emisor, para que el decaimiento con la amplitud (? no se bien si era para eso)sea mnimo. Se hizo un barrido en frecuencias desde los 24,3 khz hasta los 60 khz, en las que en ambas frecuencias extremas el osciloscopio no captaba ninguna seal , y se encontr que el rango de frecuencias era aproximadamente desde los 34 khz, con mucho ruido, hasta los 58,2 khz, tambin con mucho ruido. En la frecuencia de 40 kHz el osciloscopio captaba muy bien la seal para diferentes voltajes. Tambin se encontr que con un mayor voltaje emitido desde el generador disminua el ruido de la seal recibida por el osciloscopio en el Canal 1. En general, en las frecuencias distintas a 40 khz, cuando se bajaba la amplitud, dejaba de captar bien.Comment by Mayo emi: por aca habria que poner un "como se muestra en la figura 1" y poner un esquemita del experimentoComment by Dann2207: ok dale, lo pongo en un ratoSe repiti este experimento reemplazando el generador de funciones analgico por un generador de funciones digital con el objetivo de aumentar la precisin de los resultados. A diferencia del generador de funciones analgico, con el digital se tiene la posibilidad de generar ondas de frecuencias muy bien definidas. Realizando nuevamente un barrido de frecuencias con este equipamiento experimental, se obtuvieron los resultados de la figura X (la figura de la lorentziana del origin) de voltaje recibido en funcin de la frecuencia de la onda. Cuando sobre un sistema se vara la frecuencia de excitacin a amplitud forzante constante y medimos el voltaje recibido, es decir la energa que absorbe el sistema, podemos ver para qu valor de la frecuencia es mxima dicha absorcin. El valor mximo de la curva de la figura X indica la frecuencia de resonancia del sistema, que es la frecuencia para la que el sistema absorbe la mxima energa. El valor del ancho de la curva es el coeficiente de disipacin e. Cuando se cumple que (e/2) al cuadrado es mucho menor que la frecuencia de resonancia al cuadrado (w0) (es decir, la curva es muy pronunciada) y vemos los valores de w cercanos a w0, la funcin que describe la energa absorbida en funcin de la frecuencia R(w) puede ser aproximada por la llamada curva de Lorentz:(lorentziana, pgina 31 del Martinez)Anlisis del decaimiento de la amplitud con la distanciaSe dispuso el sistema como se muestra en la Figura i con una distancia inicial D de 3 mm. Para medir la distancia D se us un posicionador de un eje de resolucin 0,5 mm.

Figura i. Esquema del sistema utilizado para medir la variacin de la amplitud recibida en el detector en funcin de la distancia D entre los transductores.Luego se ajust la frecuencia del generador a 40 kHz y se fue variando la posicin del detector mediante el posicionador, registrando los voltajes pico-pico detectados por el osciloscopio. Estos datos se muestran en el apndice B y se pueden visualizar en la figura k.

Figura k. VCH1 es la amplitud pico-pico del voltaje recibido en el osciloscopio por el canal 1, en funcin de la distancia D entre el emisor y detector. La curva roja es un ajuste de los picos mnimos relativos de VCH1 con una funcin de la forma f(x)=1/x.

Se pudo observar, como se esperaba, el decaimiento de la amplitud con un orden de 1/D, aunque este decaimiento no fue constante, sino que VCH1 oscilaba entre picos mximos y mnimos que decaan como 1/D.

Anlisis de la linealidad del sistemaPara medir la linealidad entre los voltajes que mandaba el generador y los voltajes que reciba el osciloscopio, se conectaron los dispositivos igual que para la medida del rango de frecuencias, colocando esta vez los transductores a una distancia palo- palo(como se dice?distancia soporte a soporte? como ms te guste) de 10 cm. Luego se fue variando la amplitud del voltaje del generador desde los 104 mV hasta los 20 V, observando la variacin de la amplitud de voltaje pico-pico en la onda recibida por el osciloscopio. Los resultados de esta medicin se resumen en la Figura 2.

Figura 2. Grfico de los voltajes recibidos por el osciloscopio mediante el canal 1 y el canal 2, correspondientes a la amplitud de la seal recibida y emitida, respectivamente.

A la frecuencia de 42 kHz (por que esa frecuencia?segun recuerdo nosotros habamos hecho una medida de la linealidad con frecuencia de 40kHz y pegados ambos emisor y detector. A distancia 5,3 cm soporte a soporte)

Medicin de la longitud de onda Para determinar la longitud de onda usamos una disposicin experimental idntica a la de la seccin anterior, situando ambos transductores a (5,3 +- 0,1)cm de distancia soporte a soporte. El sistema estaba forzado a una frecuencia de (40 +- 0,2 ) kHz. El emisor se encontraba pegado al detector al iniciar el experimento y se observaba la seal armnica

Anlisis de Fourier de una onda cuadradaSe emiti una onda cuadrada con el generador de funciones y se vari su frecuencia, haciendo un barrido desde una frecuencia mucho mayor a la que el par emisor-detector era capaz de detectar, hasta frecuencias muy pequeas. Se observ, como era esperado, que para frecuencias por encima del rango de frecuencias en el que trabajaban los transductores piezoelctricos no se reciba seal alguna. Cuando se disminua la frecuencia de la onda cuadrada de manera que se encontraba dentro de dicho rango, se observ que la seal recibida era una onda sinusoidal de frecuencia idntica a la de la onda cuadrada y de la misma amplitud.De esta forma, la primer frecuencia en la que la amplitud del voltaje pico-pico se hizo maxima (un pico de voltaje) fue de 40+-0.2 kHz. Se sigui disminuyendo la frecuencia y se observ que para la mayora no se detectaba ninguna seal. Pero para algunos valores de la frecuencia, se registr una onda sinusoidal de frecuencia 40 Khz de amplitud menor a la de la onda cuadrada.Los valores que fueron registrados son los que producan los picos en la amplitud del voltaje captado por el osciloscopio. Se observ que La amplitud de la onda sinusoidal detectada decaa a medida que la frecuencia de la onda generada disminua. Los valores de la frecuencia de la onda cuadrada para los que se observ esta onda no eran arbitrarios, sino que eran aproximadamente divisores enteros de la primer frecuencia registrada (la fundamental), como se puede ver en la tabla X del apndice A. En la Figura k se muestran las amplitudes pico-pico en funcin de las frecuencias que provocaban los picos de voltaje.

Figura k. VCH1 es el voltaje captado en el canal 1, correspondiente a la amplitud de onda detectada por el osciloscopio mediante el par de transductores piezoelctricos.

Se observ que los valores de los picos de voltaje se alternaban entre valores grandes y pequeos cuando se variaba la frecuencia. Estos valores son directamente proporcionales aEstos resultados son interpretados por la teora de Fourier, considerando que la onda cuadrada mandada est compuesta por armnicos con frecuencias mltiplos impares de la frecuencia fundamental. Por lo tanto, al emitir una onda con frecuencia de 40 kHz, se detect el armnico fundamental, que es segn vemos en la ecuacin (onda cuadrada de fourier) el de mayor amplitud. Esto ocurre debido a que el rango en el que trabaja el par emisor-detector es acotado y no puede detectar los otros armnicos por los que est compuesta la onda cuadrada, ya que corresponden como vemos en el argumento de la ecuacin (onda cuadrada de Fourier) a frecuencias de 120 kHz en adelante. Por lo tanto slo es capaz de detectar la frecuencia fundamental. Luego al ir disminuyendo la frecuencia de la onda cuadrada, se espera que no sea captado el armnico fundamental, ya que su frecuencia est por debajo del rango en el que trabaja el par, y slo podr captar los armnicos de frecuencias superiores, siempre y cuando se encuentren estas frecuencias dentro de dicho rango. Vemos en la descomposicin de la onda cuadrada de Fourier que para que las frecuencias de los armnicos sean de aproximadamente 40 kHz, la frecuencia fundamental, es decir, la que coincide con la frecuencia de la onda cuadrada emitida debe ser un divisor impar de la frecuencia de 40 kHz. Estos valores coinciden con los valores de la frecuencia de la figura k para los que se detectaron picos de voltaje. Por lo tanto las seales armnicas recibidas son los armnicos superiores de la composicin de Fourier de la onda cuadrada de la respectiva frecuencia.Cuando la frecuencia de la onda cuadrada caa por debajo de los 2 Khz se observaba una funcin sinusoidal de frecuencia 40 Khz con su amplitud modulada por otra funcin sinusoidal de una frecuencia mucho menor, como se observa en la figura Y (figura mostrando algn batido, no sacamos foto de eso, yo no tengo. Pongamos una de internet de tlima jaj).Como vemos en la figura X (lorentizana) el rango del par emisor-detector es apreciable, y por lo tanto al emitir una onda cuadrada de baja frecuencia, como por ejemplo 2 kHz, ms de un armnico que compone esta onda cuadrada ser recibido por el sistema y entonces su resultado ser la suma de las ondas armnicas. Supongamos el caso en el que dos armnicos son captados por el sistema. Las frecuencias de los armnicos sern muy parecidas entre ellas, ya que se encuentran en el rango del par emisor-detector. En consecuencia, la suma de estas ondas armnicas, que es lo observado en el osciloscopio, tiene la forma de un batido. Tenemos una onda compuesta por una portadora de alta frecuencia, que ser el promedio de las frecuencias de los armnicos, y una moduladora de baja frecuencia, que ser la mitad de la diferencia de sus frecuencias.Cuando el valor de la frecuencia se disminua por debajo de los 150 kHz, se observ algo inesperado. Los batidos observados en el osciloscopio empezaron a deformarse y lo que se observ en el osciloscopio fue una seal no peridica que estaba localizada en el tiempo, es decir, decaa rpidamente al transcurrir un intervalo muy pequeo de tiempo. La figura U muestra esta seal en el canal 1 y la onda cuadrada captada directamente desde el generador de funciones en el canal 2.Interpretamos este resultado de la siguiente forma: cuando mandamos una seal cuadrada de una frecuencia muy baja, los armnicos que componen dicha seal que son captados por el sistema tienen frecuencias muy parecidas. El rango de frecuencias en el que trabaja el par emisor-detector es lo suficientemente ancho como para que el sistema pueda captar una gran cantidad de armnicos. El peso de cada armnico viene dado por los coeficientes de Fourier, tanto como por la respuesta en funcin de la frecuencia del sistema, como se ve en la figura (lorentziana). Por lo tanto el espectro o composicin armnica de la seal se puede aproximar, a medida que la frecuencia de la onda cuadrada sea menor, por una funcin continua con la forma de la funcin de Lorentz. En realidad hay una cantidad finita de armnicos que capta el sistema, pero a medida que la frecuencia de la onda cuadrada disminuya, disminuir la diferencia de frecuencia entre un armnico y el prximo y por lo tanto se podr aproximar al espectro de la seal como continuo.En este caso estamos haciendo el proceso inverso de lo realizado con anterioridad con la teora de Fourier. Ahora suponemos conocido el espectro de la seal que queremos sintetizar y tiene la forma de la funcin de lorentz. Cmo sabemos por la teora de la transformada de Fourier, si queremos saber cmo es la funcin en el dominio del tiempo, conociendo como es en el dominio de las frecuencias (espectro), si el espectro es continuo, entonces la funcin que representa la seal en el dominio del tiempo estar dada por la ecuacin:(transformada de Fourier)Que aplicada a la funcin de Lorentz (R(w)) obtenida experimentalmente, obtenemos la siguiente funcin del tiempo f(t):(la transformada de la de lorentz)Podemos observar que la funcin tiene un intervalo de tiempo caracterstico, para el cul el valor de la misma cae a cero y luego no vuelve a alcanzar picos de gran valor. A diferencia de una suma de funciones armnicas que no se encuentra localizado en el espacio, sta funcin que es resultado de la transformada de Fourier de una funcin localizada en el espacio, se encuentra localizada en el espacio. Aclaramos que la funcin no se hace cero en ningn momento, pero sus valores principales se encuentran perfectamente definidos. Esta funcin est graficada en la figura Y y como podemos observar es una buena aproximacin de lo observado en el osciloscopio.

Anlisis del frente de ondasLa amplitud detectada por el osciloscopio tambin variaba cuando se giraba el emisor respecto de su eje. Se gir el emisor en vez del receptor porque este ltimo, por su forma, al girarlo sobre su eje tambin se desplazaba el centro de recepcin (?si se dice asi). La distancia palo-palo() esta vez fue de 8,7 cm. Para medir el ngulo del emisor se us un transportador en la base del mismo, el cual tena una resolucin de 1 grado. El error en la medicin de los ngulos fue de aproximadamente 0,5 grados, porque el soporte del transportador no estaba fijo. (Se esperaba que la amplitud decayera con los ngulos, pero contra lo esperado esta comenzo a subir aproximadamente cerca de los 15 grados---- ???)

InterferenciaPara comprobar la interferencia entre dos ondas de ultrasonido, se prepararon dos emisores piezoelectricos, usando el mismo receptor para detectar las ondas emitidas. Se colocaron los emisores inicialmente a la misma distancia del receptor, formando los tres transductores piezoelectricos un triangulo como se muestra en la Figura j+1. Posteriormente se movi uno de los emisores (el emisor E1) alejndolo del otro emisor (E2), y emitiendo las ondas todo el tiempo en la misma direccin.

Figura j+1. Diagrama del sistema utilizado para medir la interferencia

La distancia inicial d entre los dos emisores fue de 8,5 cm, y la distancia h entre la recta de los emisores y el receptor fue de 12 cm. Las amplitudes de voltaje recibidas en el Canal 1 en funcin de la distancia d se muestran en la Figura j+2.

Figura j+2.

4. Conclusin5. Bibliografa6. Agradecimientos7. ApndiceApndice A: Tabla con los datos del anlisis de fourierLa siguiente tabla muestra las frecuencias en las que se produjeron los picos de voltajes captados por el osciloscopio, en el canal 1. Estos datos se utilizaron para calcular las componentes de fourier de la onda cuadrada enviada por el generador de funciones.Frecuencia (kHz)Error frecuencia (kHz)VCH1 (mV)Error VCH1 (mV)VCH2 (V)Error VCH2 (V)

400,220400200200,2

200,250050200,2

13,40,2880080200,2

100,24808200,2

80,2520040200,2

6,70,24848200,2

5,760,2400020200,2

5,160,21784200,2

4,470,2290040200,2

40,257010200,2

3,60,2260040200,2

3,360,25608200,2

3,10,2224020200,2

2,90,26084200,2

2,640,2196020200,2

Tabla x. VCH1 y VCH2 son los voltajes captados en el canal 1 y 2 respectivamente

Apndice B: Datos registrados para la medicin del decaimiento de la amplitud con la distancia

Distancia D (mm)VCH1 (V)Error VCH1 (V)

313,50,1

3,5130,5

4110,2

4,511,60,1

511,70,1

5,511,80,1

611,60,1

6,511,40,1

710,10,1

7,59,60,08

89,520,08

8,58,080,08

96,320,08

9,57,520,08

107,920,08

10,58,240,08

118,480,08

11,58,720,08

128,160,08

12,57,840,16

135,760,08

13,53,760,08

144,720,08

14,55,680,08

156,160,08

15,56,640,08

167,360,08

16,57,60,08

176,720,08

17,55,360,08

183,120,08

18,52,620,02

193,580,02

19,54,240,02

205,120,04

20,55,480,04

215,880,04

21,55,520,04

224,040,04

22,52,720,04

232,20,04

23,52,60,04

243,320,04