Informe Final 2 control

PROGRAMA

PROFESIONAL

INGENIERÍA

ELECTRÓNICA

CONTROL

AUTOMATICO II

INFORME AVANCE N2

HECHO POR:

HUAYLLAZO CANCAPA

JAIME ABRAHAN

DOCENTE:

MALAGA CHAVEZ

CESAR EDUARDO

Grupo : N4

9:00-11:00

2015-AREQUIPA

SEGUNDA PRÁCTICA DE LABORATORIO:

ANÁLISIS DE ESTABILIDAD-RAICES DEL SISTEMA

I. OBJETIVOS

1. Aplicar Matlab para crear y manipular funciones de transferencias

2. Analizar la estabilidad de un sistema realimentado a partir de sus raíces

II. TEMAS A TRATAR

1. Concepto de estabilidad

2. Análisis de las raíces de la ecuación característica

3. Respuesta ante señales acotadas, sistemas BIBO (bounded input bounded output)

IV. MARCO TEÓRICO

a) Funciones de transferencia

MatLab permite una serie de comandos para trabajar las diversas formas de

representación de los sistemas de control a partir de sus funciones de transferencia, por

ejemplo

Numerador, denominador de la FT

>> n=[1 2 3], d=[4 15 6]

Ganancia, ceros, polos

>> k=10, z=[-1;-4; 3], d=[0;-4;-1+i; -1-i]

Se puede convertir entre una forma de representación y otra, por ejemplo

>> [z,p,k]=tf2zp(n,d)

o

>> [n,d]=zp2tf(z,p,k)

de igual manera a partir de la función de transferencia de lazo directo para un

servomecanismo se puede obtener la función de transferencia de lazo cerrado

>> ng=[1 2 3], dg=[4 15 6], [nw,dw]=cloop(ng,dg)

a) Raíces del sistema

Es particularmente importante el denominador de la función de transferencia de lazo

cerrado se llama ecuación característica,

1+G(s)H(s)=0

de su solución obtenemos las raíces del sistema de control:

>> raices=roots(dw)

la ubicación de estas raíces en el plano complejo determinan la estabilidad del sistema de

control

Podemos observar el aporte temporal de cada raíz según su ubicación en el plano

S

• Si los todos los polos de la función de transferencia están en el lado izquierdo

de plano-s entonces el sistema es estable.

Zona de

estabilida

d

Plano S

Zona de

inestabilida

d

R

e

Imj

• Un sistema es críticamente estable si uno o más polos están en el eje

imaginario del plano-s.

• En el estudio de estabilidad sólo los polos de la función de transferencia son

importante, los zeros son irrelevantes.

• Los polos de un sistema son las raíces obtenidas de el denominador de la

función de transferencia cuando es igualado a cero. Polinomio característico.

• El concepto de estabilidad es aplicado a sistemas a lazo cerrado o a lazo

abierto.

c) Respuesta ante entradas acotadas

La estabilidad se define como la capacidad del sistema de responder ante

entradas acotadas como una constante, o una onda seno de amplitud constante o

un tren de pulsos de amplitud constante, etc. Matlab considera comandos para

analizar la respuesta de los sistemas, el comando step halla la respuesta ante una

entrada constante e igual a uno:

>> num=[1 7], den=[1 3 10], step(num,den)

los resultados pueden ser guardados en vectores para su manipulación posterior

Es posible también hallar la respuesta frente a cualquier entrada siempre y

cuando esta halla sido definida en el tiempo, a través del comando lsim

>>t=0:0.1:5, u=2*sin(t), [x,t]=lsim(num,den,u,t)

Todos los comandos descritos en esta parte pertenecen al toolbox de control y son

accesibles a partir del help

>>help control

V. ACTIVIDADES

Para los ejercicios propuestos a continuación

Desarrolle la solución

Defina el formato de cada uno de los comandos en Matlab que use (puede

hacer la consulta en la opción help de la ventana de comandos, a través de la

tabla de contenidos eligiendo CONTROL

Escriba el programa en MATLAB para implementar la misma

Para los sistemas realimentados de control descritos:

1. hallar las funciones de transferencia de lazo directo G(s), inverso H(s), abierto

G(s)H(s) y cerrado W(s) expresadas como modelos (sistema) en su forma:

FT lazo directo

i. polinómica (tf)

ii. ceros y polos (zpk)

lazo inverso

polinómica (tf)

ceros y polos (zpk)

lazo abierto

polinómica (tf)

ceros y polos (zpk)

lazo cerrado

polinómica (tf)

Continuous-time transfer function.

ceros y polos (zpk)

B)

FT LAZO DIRECTO

i. polinómica (tf)

ceros y polos (zpk)

LAZO INVERSO

polinómica (tf)

ceros y polos (zpk)

LAZO ABIERTO

polinómica (tf)

ceros y polos (zpk)

LAZO CERRADO

polinómica (tf)

ceros y polos (zpk)

c)

FT LAZO DIRECTO

polinómica (tf)

ceros y polos (zpk)

LAZO INVERSO

polinómica (tf)

ceros y polos (zpk)

LAZO ABIERTO

polinómica (tf)

ceros y polos (zpk)

LAZO CERRADO

polinómica (tf)

ceros y polos (zpk)

d)

FT LAZO DIRECTO

polinómica (tf)

ceros y polos (zpk)

LAZO INVERSO

polinómica (tf)

ceros y polos (zpk)

LAZO ABIERTO

polinómica (tf)

ceros y polos (zpk)

LAZO CERRADO

polinómica (tf)

ceros y polos (zpk)

2. hallar las funciones de transferencia de lazo directo G(s), inverso H(s), abierto

G(s)H(s) y cerrado W(s) expresadas como valores numéricos en su forma:

Para A)

lazo directo G(s)

i. polinómica (num,den)

ii. ceros y polos (ceros,polos,ganancia)

lazo inverso H(s)



lazo abierto G(s)H(s)



lazo cerrado W(s)



Para B)

lazo directo G(s)



lazo inverso H(s)


lazo cerrado W(s)



Para C)

lazo directo G(s)



lazo inverso H(s)



lazo abierto GH(s)



lazo cerrado GH(s)



Para D)

lazo directo G(s)



lazo inverso H(s)


lazo cerrado W(s)

polinómica (num,den)

i. ceros y polos (ceros,polos,ganancia)

3. Encontrar las raíces del mismo (usar el comando roots) y definir la estabilidad

(justifique Su respuesta).

Para A)

paraB)

paraC)

paraD)

4. Hallar la respuesta ante una entrada escalón unitario, en forma tabulada y como

gráfico, indicar si la misma es acotada o no.

paraA)

t C(t)

10.0000

9.5469

9.1142

8.7010

8.3064

7.9295

7.5696

7.2260

6.8977

6.5843

6.2849

5.9991

5.7260

5.4653

5.2163

4.9786

4.7515

1.0e+26 *

0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

0.0001

0.0001

0.0001

0.0001

0.0001

0.0001

0.0002

0.0002

4.5346

4.3275

4.1298

3.9409

3.7605

3.5883

3.4238

3.2667

3.1166

2.9734

2.8365

2.7059

2.5811

2.4619

2.3481

2.2394

2.1356

0.0003

0.0003

0.0003

0.0003

0.0004

0.0004

0.0005

0.0005

0.0005

0.0006

0.0007

0.0009

0.0010

0.0011

0.0012

0.0014

0.0015

ParaB)

t C(t)

0.0000

0.0003

0.0010

0.0023

0.0044

0.0073

0.0111

0.0160

0.0218

0.9044

0.9057

0.9062

0.9068

0.9075

0.9081

0.9088

0.9095

0.9103

0.9110

0.9118

0.9126

0.9135

0.9144

0.9153

0.9162

0.9171

0.9181

0.9191

0.9201

0.9211

0.9222

0.9232

0.9243

0.9254

0.9988

0.9999

1.0009

1.0019

1.0029

1.0040

1.0050

1.0060

1.0070

1.0080

1.0090

0.0000

0.0003

0.0010

0.0023

0.0044

0.0073

0.0111

0.0160

0.0218

0.0287

0.0367

0.0458

0.0559

0.1060

0.8330

0.8393

0.8451

0.8506

0.8557

0.8605

0.8650

0.9033

0.9037

0.9040

0.9042

0.9044

0.9045

0.9

0.9020

0.9019

0.9018

0.9017

0.9016

0.9015

0.9015

0.9015

0.9015

0.9016

0.9017

0.9019

0.9020

0.9022

0.9025

0.9028

0.9031

1.0100

1.0110

1.0120

166

1.0275

1.0285

1.0294

1.0304

1.0313

1.0322

1.0332

1.0341

1.0351

1.0361

0.9034

0.9038

0.9042

0.9047

1.0692

1.0701

1.0710

1.0718

1.0727

1.0736

1.0744

1.0753

1.0761

1.0770

parac)

paraD)

0

0.0002

0.0008

0.0017

0.0029

0.0044

0.0061

0.0080

0.0101

0.1247

0.1260

0.1273

0.1285

0.1297

0.1309

0.1321

0.0333

0.0361

0.0389

0.0417

0.0446

0.0474

0.0502

0.0529

0.0557

0.0584

0.0611

0.1112

0.1128

0.1716

0.1716

0.1716

0.1332

0.1343

0.1354

0.1364

0.1374

0.1384

0.1394

0.1446

0.1454

0.1462

0.1469

0.1698

0.1699

0.1716

0.1717

0.1717

0.1717

0.1717

0.1718

0.1718

0.1718

0.1718

0.1718

0.1719

0.1719

0.1719

5. Hallar la respuesta ante una entrada constante igual a 4 indicar si la salida es

acotada o no.

paraA)

t C(t)

0

5.2632

10.5263

15.7895

21.0526

26.3158

31.5789

36.8421

42.1053

47.3684

40.0000

-0.4570

-0.6524

-0.3535

-0.4605

-0.5875

-0.4049

-0.4647

-0.5469

-0.4355

52.6316

57.8947

63.1579

68.4211

73.6842

78.9474

84.2105

89.4737

94.7368

100.0000

-0.4686

-0.5215

-0.4537

-0.4718

-0.5058

-0.4645

-0.4742

-0.4959

-0.4709

-0.4760

paraB)

t C(t)

0

3.7455

4.3987

4.8544

5.1804

5.4136

5.5805

5.6999

5.7853

5.8464

5.8901

5.9214

5.9437

5.9598

5.9712

5.9794

5.9853

5.9895

5.9925

5.9946

0

5.2632

10.5263

15.7895

21.0526

26.3158

31.5789

36.8421

42.1053

47.3684

52.6316

57.8947

63.1579

68.4211

73.6842

78.9474

84.2105

89.4737

94.7368

100.0000

paraC)

t C(t)

0

3.8442

3.9935

3.9998

4.0000

4.0000

4.0000

4.0000

4.0000

4.0000

4.0000

4.0000

4.0000

4.0000

4.0000

4.0000

4.0000

4.0000

4.0000

4.0000

0

5.2632

10.5263

15.7895

21.0526

26.3158

31.5789

36.8421

42.1053

47.3684

52.6316

57.8947

63.1579

68.4211

73.6842

78.9474

84.2105

89.4737

94.7368

100.0000

paraD)

t C(t)

0

0.6897

0.6897

0.6897

0.6897

0.6897

0.6897

0.6897

0.6897

0.6897

0

5.2632

10.5263

15.7895

21.0526

26.3158

31.5789

36.8421

42.1053

47.3684

0.6897

0.6897

0.6897

0.6897

0.6897

0.6897

0.6897

0.6897

0.6897

0.6897

52.6316

57.8947

63.1579

68.4211

73.6842

78.9474

84.2105

89.4737

94.7368

100.0000

6. Hallar la respuesta ante una entrada sinusoidal 2sin(t), indicar si la salida es

acotada o no.

paraA)

Tabulado

t C(t)

0

5.2632

10.5263

15.7895

21.0526

26.3158

31.5789

36.8421

42.1053

47.3684

52.6316

57.8947

63.1579

68.4211

73.6842

78.9474

84.2105

89.4737

94.7368

100.0000

0

0.1058

0.2661

0.1255

-0.1929

-0.2451

-0.0900

0.1133

0.2588

0.1430

-0.1333

-0.2520

-0.1383

0.0916

0.2528

0.1688

-0.0861

-0.2476

-0.1753

0.0578

paraB)

Tabulado

t C(t)

0

0.0001

0.0011

0.0048

0.0137

0.0299

0.0555

0.0919

0.1399

0.1998

0.2712

0.3531

0.4443

0.5430

0.6473

0.7548

0.8634

0.9707

1.0744

1.1723

0

0.1053

0.2105

0.3158

0.4211

0.5263

0.6316

0.7368

0.8421

0.9474

1.0526

1.1579

1.2632

1.3684

1.4737

1.5789

1.6842

1.7895

1.8947

2.0000

paraC)

tabulado

t C(t)

0

5.2632

10.5263

15.7895

21.0526

26.3158

31.5789

36.8421

42.1053

47.3684

52.6316

0

-1.6401

-1.7801

-0.2238

1.5459

1.8419

0.3820

-1.4421

-1.8914

-0.5376

1.3287

57.8947

63.1579

68.4211

73.6842

78.9474

84.2105

89.4737

94.7368

100.0000

1.9283

0.6897

-1.2065

-1.9524

-0.8371

1.0762

1.9636

0.9790

-0.9389

paraD)

Tabulado

t C(t)

0

0.0025

0.0136

0.0329

0.0577

0.0859

0.1157

0.1458

0.1754

0.2036

0.2300

0.2541

0.2756

0.2940

0.3093

0.3212

0.3295

0.3342

0.3352

0.3325

0

0.1053

0.2105

0.3158

0.4211

0.5263

0.6316

0.7368

0.8421

0.9474

1.0526

1.1579

1.2632

1.3684

1.4737

1.5789

1.6842

1.7895

1.8947

2.0000

VI CONCLUSIONES

Emita al menos cinco conclusiones alrededor del análisis algebraico de estabilidad en

Matlab y de su significado en relación al tipo de respuesta obtenido

El sistema será acotable si ante cualquier entra acotada, el sistema posee una salida

acotada , esto se ve aplicado en las respuestas obtenidas de los sisemas a,c y d

Un sistema no es acotable si ante un valor o entrada acotada genera una respuesta

que crece indefinidamente , esto se ve aplicado en las respuesta obtenidas del

sistema b

La estabilidad de un sistema se puede determinar mediante la ecuación

característica(polo ). Cuando todos los polos reales se encuentran en el plano real

negativo , el sistema es estable ; si alguno de los polos reales se encuentra en plano

real positivo , el sistema es inestable.

Un sistema es estable si las raíces de la ecuación característica son reales negativas o

complejas conjugadas con parte real negativa. O dicho en forma más compacta, si

todas las raíces se encuentran en el semiplano izquierdo de la variable compleja s.

VII CUESTIONARIO/EJERCICIOS

1. Considere cuatro comandos del toolbox de control asociados a funciones de

transferencia y respuesta en el tiempo y ejemplifique su uso

A) comando step

el comando step halla la respuesta ante una entrada constante e igual a uno

B) comando roots(W)

Este comando retorna un vector cuyos elementos son las raíces del polinomio c.

En esta práctica se hizo uso de este comando para obtener las raíces de la ecuación

característica y así determinar la estabilidad del sistema.

C) comando Slim(sys,y,t)

Este comando imprime el tiempo de respuesta del sistema dinámico sys a un

intervalo de tiempo t y a una señal u. El vector t se expresa en unidades de tiempo

de sys y consiste de muestras de tiempo espaciadas.

D) comando linspace(x1,x2,n)

Este comando genera n puntos entre x1 y x2.

2. Enuncie la condición de estabilidad para los sistemas de control

Un sistema se dice que es estable si para toda entrada acotada produce una

salida acotada, independientemente de su estado inicial.

Si se quiere saber si un sistema es estable o no, bastaría con analizar las raíces

de la ecuación característica. Como se trata de un polinomio, las raíces no se

pueden calcular con una fórmula explícita, salvo escasas excepciones. Por lo

tanto, para analizar la estabilidad, se debería recurrir a un procedimiento

numérico.

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