La Braquistocrona,

El Descenso mas rapido

Escuela de Ingenierıa Industrial

Fabian Jimenez *

Veronica Garrido **

Cristian Villarruel ***

Ecuaciones Diferenciales

Edwin Loaiza AcunaProfesor

Diciembre 13 de 2014Universidad del Valle, Sede Buga

Resumen

Este documento evidencia la realizacion del experimento “La braquistocrona, el descenso mas rapido”,cuya finalidad es obtener la forma de la curva de desplazamiento rapido, mostrando las relacionesmatematicas mediante ecuaciones diferenciales que puedan permitir obtener dicho desplazamiento.

*fabian.orlando.jimenez@correounivalle.edu.co**veronica.garrido@correounivalle.edu.co

***cristian.villarruel@correounivalle.edu.co

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I. INTRODUCCION

En la decada de 1690 el matematico Johann Bernoulli invito a los matematicos de la epoca a resolveruna pregunta que pretendıa encontrar la trayectoria de mınimo tiempo que debıa seguir una partıcula aldeslizarse de un punto a otro bajo su misma gravedad.Destacados matematicos como Johann Bernoulli, Leibniz, L’Hopital y Newton, dieron diferentes solucionesy mostraron que la respuesta era un arco de cicloide, una curva que describe un punto de una circunferenciaque rueda sobre una recta sin deslizar. A la nueva curva le dieron el nombre de Braquistocrona (del griegobraquis, corto, y cronos, tiempo).Conviene anotar que la solucion al problema genero un aporte importante al calculo, pues la Braquistocro-na dio inicio al calculo de variaciones que consiste en buscar maximos y mınimos de funciones continuasdefinidas sobre algun espacio funcional. Las ideas principales de la solucion son estudiadas en el presentedocumento a traves de la especificacion del experimento realizado.

II. DETALLES EXPERIMENTALES

Para el ejercicio practico en cuanto al montaje experimental se utilizaran los siguientes materiales:• Un rin de 57 cm de diametro• Una mina de lapiz• Un pliego de cartulina• Un tablero contrachapado 80 cm x 120 cm• Tres canaletas• Tornillos• Tres bolonchos de 2,5 cm de diametro• 1 lamina de acrılico• Tres bombillos led no difusos transparentes (Verde, Azul y Rojo)• Tres finales de carrera• Un metro de cable UTR• Tres resistencias de 330 OHM• Un cargador de 5V

Montaje:La curva braquistocrona se traza con la ayuda de una mina de lapiz pegada al borde del rin utilizado,luego se hace rodar el rin sobre la cartulina para posteriormente traspasarla a la tabla y asignar la canaletaa esta curva. La segunda curva fijada como punto de comparacion para la braquistocrona es una laminacurveada a gusto, esta canaleta es sujetada mediante tornillos que a su vez sirven para que esta reposesobre ellos de manera facil gracias a la forma en que la canaleta se adhiere, ademas se garantiza que losbolonchos no deformen las canaletas en su proceso de bajada desde el punto de partida hasta el puntodonde activan los finales de carrera y se encienden los bombillos. La ultima canaleta de comparacion conla braquistocrona hace referencia a una canaleta recta en bajada la cual es de longitud menor a las dosotras curvas ya mencionadas, esta tiene una longitud de 109 cm mientras que la segunda curva o canaletainstalada mide 113 cm y la ultima canaleta que es la braquistocrona mide 116cm.Los tres bolonchos son soltados al mismo tiempo y una vez, luego de terminar su recorrido los bolonchosactivan un sistema electronico que consiste en una botonera de juegos, presiona un boton y enciende elbombillo del boloncho que llega primero.

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IMAGEN 1. Montaje de la Braquistocrona

III. ANALISIS Y RESULTADOS

Bernoulli uso el principio de Fermat con el fin de encontrar la relacion entre la velocidad y los cambiosverticales de una partıcula durante su movimiento sobre una curva braquistocrona. Dicho concepto esta-blece que el trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleadoen recorrerlo es un mınimo. La ley de la conservacion de la energıa permite expresar la velocidad de uncuerpo sometido a la gravedad:

dy

dt=√

2 ∗ g ∗ y0 (1)

Donde y0 representa la perdida de altitud en relacion al punto de partida. Cabe senalar que no dependedel punto de partida horizontal.

En el caso cuando el ındice de refraccion n depende solo de la coordenada “Y”, la ley de Snellius estableceque la cantidad n(y)Sen(α) es constante. Aquı α y Sen(α) es el angulo entre el eje (Y) y la trayectoria

de la luz respectivamente. Por la ley de refraccion, la velocidad en el medio esdy

dt=

C

ny la relacion

dy

dtαSen(α) se cumple para la trayectoria de los rayos. Por tanto, la ecuacion.

dy

dt= CSen(α), C= constante (2)

La ecuacion (2) tambien puede ser valida para la Braquistocrona. Ahora bien, como la Braquistocrona seforma a partir de una cicloide, partiendo de una circunferencia que rueda sobre una recta, si marcamos unpunto concreto de la circunferencia, la cicloide es la curva que se forma en un plano con el movimiento delpunto que hemos marcado. Con un dibujo se puede observar mejor:

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Figura 1. Diagrama de la Cicloide

Vale la pena mencionar como se obtienen las ecuaciones parametricas que la representan. Para empezarse hacen dos consideraciones iniciales: que el circulo se desplaza girando hacia la derecha sobre el eje xy que el punto que traza la cicloide se ubica en el origen de las coordenadas. Cuando el circulo esta enmovimiento, como se muestra en la figura 2, se define como parametro la medida t en radianes del anguloPQR, siendo este el angulo de rotacion del circul se puede observar la trayectoria descrita por el punto Pen funcion de t, la cual esta definida por las coordenadas (X,Y).

Figura 2. Parametrizacion de la Cicloide

Dado que el circulo gira sobre el eje x sin resbalarse, la longitud del segmento OR es igual a la longituddel arco PR, siendo esta ultima bt, se tiene que:

|OR| = Logitud de arco PR = bt

Entonces si

X(t) = |OR| − |PS| = bt− bSen(t)Y (t) = |QR| − |QS| = b− bCos(t)

La conservacion de la energıa requiere que la velocidad vertical de un cuerpo en un campo gravitatoriouniforme venga dada por:

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Donde y representa la altura vertical desde la que ha caıdo el cuerpo. Por otra parte el espacio recorridoviene dado por:

De la ecuacion diferencial que da la velocidad se sigue que el tiempo entre los puntos a y b viene dado por:

Como la curva que hace mınima la funcion anterior satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange, se tiene:

Como la funcion f no depende explıcitamente de x la ecuacion anterior es equivalente a:

Es decir la solucion para el problema de la braquistocrona es una curva tal que:

Esta ecuacion se puede reescribir como:

Se puede ver que la curva cicloide definida parametricamente como:

Satisface la ecuacion anterior como y(0) = 0, ya que:

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IV. CONCLUSIONES

En un 100 % de las veces, el boloncho que sigue la trayectoria de la curva braquistocrona llega mas rapidoque los demas. Sin embargo la diferencia de llegada es corta debido al tamano del sistema: entre masgrande sea, mejor se puede apreciar la diferencia.El calculo es una herramienta fundamental para explicar el mundo que nos rodea. Un aspecto importantede la pregunta planteada por Johann Bernoulli es que muestra claramente que la solucion del camino mascorto es una curva conocida pero que sin embargo parece que no hay manera geometrica de demostrarlo.Por lo tanto ejemplifica el potente poder del calculo para resolver problemas que no pueden ser resueltosde otra manera, brindandole respuestas al mundo mediante herramientas matematicas.

V. AGRADECIMIENTOS

Agradecemos muy sinceramente a todos los colaboradores en este experimento, a nuestros familiares yamigos que aportaron un poco de ayuda en como llegar al resultado, al profesor por aportar con la teorıaal momento de dictar el curso de Ecuaciones Diferenciales y por ultimo a las personas que desinteresada-mente cuelgan en la red informacion muy util acerca de los temas que necesitamos.

VI. REFERENCIAS

[ 1 ] Mendoza, Oliva, El principio de Fermat, la braquistocrona y la curvatura de la luz, 2011[ 2 ] Gary Lawlor, A New Minimization Proof for the Brachistochrone[ 3 ] E. Loaiza, Notas de Clase

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