INFORME FINAL -...

113 UNNERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICA

INFORME FINAL

"Texto: Matemática para economistas, volumen II"

Lic. Moisés Simón Lázaro Carrión

Período de ejecución: 01-01-2013 al31-12-2013

(Resolución RR. Nº 166-2013-R) r;j: 1 p¡,;,~ .. -... ~ ..• ::t~~~l~,¡ ' v;~~- ;ILCH lf.Y: ~-~ l~lVCtTICACION

Callao- Perú

2014

. F.~ ~;:f.',~i"-Q

·--~15:1-1 5 ABR. 201~

r,-.,......,/_c.---J CENTRO DE OOCU~EUTACION CIENTIFICA Y TRADIJCCIOMES

ÍNDICE ............................................................................. :................................. 1

l. Resumen......................................................................................................... 3

2. Introducción................................................................................................... 4

3. Marco Teórico . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . .. .. .. .. . .. .. .. . .. . .. . . ... . . . . .. .. . .. 5

4. Materiales y métodos..................................................................................... 6

5. Resultados...................................................................................................... 7

Capítulo l.

PROGRAMACIÓN NO LINEAL Y LAS CONDICIONES DE KUHN-TUCKER

1.1 Introducción............................................................................................. 7 1.2 Optimización restringida con restricción de inecuaciones.................... 14 1.3 Gradientes determinadas por las funciones de restricción . .. . .. . . . .. . .. . . .. . 15 1.4 Resolución gráfica del problema dado en el ejemplo 8 .......................... 22 1.5 Problemas resueltos ................................ :............................................... 24

Capítulo 2.

ECUACIONES DIFERENCIALES (Tiempo Continuo)

2.0 Introducción............................................................................................. 43 2.1 Ecuación diferencial lineal de primer grado ......................................... 44 2 .1.1 Aplicaciones a la economía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.2 Las ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden y

primer grado ... . . . . . . . . .. . . .. .. .. . . . . . . .. . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . .. . .. .. . . . .. . . .. . 56 2.2.1 Ecuaciones diferenciales de variables separables.................................. 56 2.2.2 Ecuaciones diferenciales exactas . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. ... . . . . . . .. . .. . . . . . .. . . . . 59 2.2.3 Ecuaciones diferenciales homogéneas.................................................... 63 2.2.4 Ecuaciones de Bernoulli......... .. . . . . . . .. . . .. . . . . .. .. . . . . . . . . . .. . . . .. .. . ......... .. . . . . . .. . .. .. . 65 2.3 Diagrama de fase y estabilidad............................................................... 66 2.4 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales a la biología..................... 78 2.5 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales

en los modelos económicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.6 Ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes

y término constante................................................................................. 92 2. 7 Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior

con término variable................................................................................ 95 2.8 Convergencia y teorema de Routh.......................................................... 107

Capítulo 3.

ECUACIONES EN DIFERENCIA (Tiempo Discreto)

3.1 Ecuaciones en diferencias ....................................................................... 109 3.2 Tiempo discreto, diferencias y ecuaciones en diferencias ..................... 109 3.3 Ecuaciones en diferencias de primer orden ........................................... 110 3.4 Solución de una ecuación en diferencias de primer orden.................... 110 3.4.1 Caso especial ............................................................................................ 112 3.5 Estabilidad dinámica del equilibrio........................................................ 115 3.5.1 Comportamiento de la función solución................................................. 116

-1-

3.6 Equilibrio y estabilidad ........................................................ ................... 116 3. 7 Modelo general de la telaraña (de Cobwed) ........................................... 118

Capítulo 4.

DIAGRAMA DE FASE DE DOS VARIABLES

4.1 Regiones en el plano................................................................................ 123 4.2 Diagrama de fase de un sistema dinámico en espacio bidimensional... 128

6. Discusión........................................................................................................ 151

7. Referenciales.................................................................................................. 152

Apéndice . .. . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . .. .. . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . .. . .. . . . .. . .. . . . . . . . . . 153

Anexos............................................................................................................ 155

-2-

l. RESUMEN

Este libro es continuación del libro "Matemática para economistas, volumen II"

con cuatro capítulos, y consta de cuatro capítulos:

El primer capítulo, trata de la programación no lineal y las condiciones de Kuhn -

Tucker, tema que se ocupa de optimizar una función no lineal sujeta a ciertas

restricciones, que condicionan a la función objetivo:

El segundo capítulo, trata de las ecuaciones diferenciales básicas: ecuaciones de

variables separables, ecuaciones diferenciales exactas, ecuaciones diferenciales

lineales, que son las que se aplican para modelar algunos conceptos económicos.

El tercer capítulo, trata de las ecuaciones en diferencias, tema de gran

importancia para modelar ecuaciones aplicadas a la economía que tiene que ver

con la variable tiempo como variable discreta, que es necesario para expresar el

tiempo retrasado uno o dos períodos después, al resolver la ecuación en

diferencias, nos ayude a pronosticar el suceso del próximo período.

El cuarto capítulo, explica la forma gráfica de las expresiones económicas, estos

gráficos se llaman "diagrama de fase". Su forma intuitiva convence al lector que

los resultados algebraicos son válidos.

-3-

2. INTRODUCCIÓN

Este libro es producto de tres años de enseñanza en la Facultad de Ciencias

Naturales y Matemáticas y consta de cuatro capítulos.

El curso: Economía general que se ofrece en la FENM, era necesario presentarlo

en forma matemática, ya que los alumnos conocen varios cursos que se estudian

temas como: geometría analítica, cálculo diferencial, matrices. Estos temas son

suficientes para hacer economía matemática.

"Matemática para economista, volumen II" es un libro que se ajusta al programa

del curso y su contenido es formal, respetando las notaciones matemáticas y la

presentación formal de cada tema.

El primer capítulo trata de la optimización de una función no lineal y solo

requiere conocer la derivada de una función de dos variables.

En el segundo capítulo ·se estudia las ecuaciones diferenciales que servirán para

modelar algunos conceptos económicos.

En el tercer capítulo se estudia las ecuaciones en diferencia que son útiles para

modelar ecuaciones con variables discretas.

El cuarto capítulo, referente a los diagramas de fase en dos variables, constituye

una buena introducción a la interpretación intuitiva de muchos conceptos

matemáticos.

Cada capítulo se expone con ejemplos sencillos y claros que ayudan al lector a

comprender los temas, más complicados.

-4-

1

3. MARCO TEÓRICO

El "Texto: Matemática para economistas, volumen II" ha sido diseñado como un

texto de aplicación matemática en la teoría de la optimización de la utilidad del

consumidor que es un tratado teórico que se estudia en microeconomía.

Debreau, Malinvaud fueron los pioneros en introducir elleguaje matemático para

explicar las teorías económicas.

Cualquier problema, habido y por haber, se podría resolver planteando el

programa de optimización, aplicando el Teorema de Kuhn Tucker (Fernández

Baca- 2003)

La dinámica económica hace referencia a un tipo de análisis cuyo objetivo es, o

bien puede ser, trazar y estudiar las trayectorias temporales específicas de las

variables, o bien determinar para un tiempo dado, si estas variables tenderán a

converger hacia ciertos valores (de equilibrio). En el análisis económico la

variable tiempo puede considerarse como una variable continua o como una

variable discreta, de aquí viene el estudio de las ecuaciones diferenciales y las

ecuaciones en diferencias (Chiang y Wainwrighs- 1987).

Teorías económicas, tales como inversión, modelo de crecimiento de Domar,

dinámica de precio de mercado, modelos de crecimiento de Solow, son algunos

temas que se tratan mediante ecuaciones diferenciales.

La estabilidad dinámica del equilibrio, el modelo de la telaraña, el modelo de

mercado con inventario son temas que se abordan aplicando ecuaciones

diferenciales.

Las soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales si no se conocen,

al menos pueden representarse de manera gráfica de distintas formas. Esta

representación puede hacerse en el plano y son conocidas como diagramas de fase

(Lomelli y Rumbas- 2001).

-5-

4. MATERIALES Y MÉTODOS

El material usado en el desarrollo de este texto, ha sido fundamentalmente la

computadora que contienen paquetes programados tales como: Microsoft Office

Professional, Adobe Photoshop, Carel Draw, Adobe Page Maker.

El método usado en la redacción ha sido inductivo - deductivo, con una redacción

sencilla y fácil de comprender. Las definiciones y los ejemplos van acompañadas

de dibujos y diagramas que pueden interesar al lector.

Los símbolos matemáticos han sido interpretados en su equivalente usando un

lenguaje sencillo y los resultados obtenidos son traducidos en una interpretación

económica sencilla y clara.

La modelación matemática que expresa un fenómeno económico ha sido

redactado con mucho cuidado y explicados didácticamente sin dejar de lado las

notaciones correctas.

Este libro ha sido diseñado para los estudiantes de economía que ya conocen

algunos elementos básicos de matemáticas que es el requisito preliminar para

poder leer el contenido de este libro.

-6-

1

Capítulo 1

PROGRAMACIÓN NO LINEAL Y LAS CONDICIONES DE KUHN-TUCKER

INTRODUCCIÓN A lA PROGRAMACIÓN CÓNCAVA: Lagrange y Kuhn • Tucker

1.1. INTRODUCCIÓN Antes de abordar problemas relativos a los métodos de Lagrange y Kuhn-Tucker, ob

servemos los siguientes ejemplos:

Ejemplo 01. max ( 4 - x2

) , en -oo < x < +oo

Solución: • En primer lugar, notamos que la función

objetivo es f(x) = 4- x 2 donde x toma valores en todo m . Su gráfica es una parábola que se abre hacia abajo.

• f(x), es cóncava y por ello tendría máximo global.

y

• En la gráfica de f(x), observamos que

x* = O es un máximo global de f sobre -oo<x<+oo. f(O) = 4 es el valor máximo de f sobre -oo<x<oo.

• Además, en x* =O , se cumple: f'(O) =O, al número x* =O.

se le llama punto estacionario y podemos generalizar la siguiente proposición: Si f(x) es cóncava en todo x E IR , enton-

ces existe un punto estacionario x* , que es maximizante de f

• Para resolver, este problema bastará pensar en el cálculo diferencial para hallar en máximo de f(x).

Ejemplo 02.

max ( 4 - x2) { x -1 2 O Condicionada a

3-xzO

Solución:

• f(x) = 4- x 2 es cóncava para las x, tal que 1:s;x:s;3

• La gráfica de f(x) = 4- x 2, en todo x,

1 ::;; x ::;; 3, es un arco de la anterior parábola de longitud finita:

y

4

3 --

-2 X

• En la gráfica de f(x), observamos que

x* = 1 es el maximizante de f(x), siendo

{(1) = 3 el valor máximo de f sobre 1 :s;x:s;3.

• En este problema, no existen valores estacionarios. Sin embargo existe un punto x* = 1 maximizante, esto porque estamos pensando que el conjunto

K={xEm:1:s;x:s;3}

que es compacto (cerrado y acotado).

• Este problema, algebraicamente, se resuelve por el método de Kunh-Tucker. Paro más sencillo es resolverlo gráficamente.

-7-

MOISÉS LÁZARO C.

O&servaeión.· A continuación vamos a enfocar el método de Kuhn-Tucker de dos formas: la 1ra. forma utiliza como indicadores X¡ 2:: O, A¡ 2:: O (ver ejemplo 4 y los proble-

mas 1,3, 4). La 2da. forma (caso general) respetando los indicadores A¡;::: O y las

restricciones h¡ 2:: O (ejemplo 8)

Ejemplo 03. Maximizar [ -x2 -(y -1)2]

Solución: • En este caso la función f : U ~ m está definido por f(x, y)= -x2 -(y -1)2

, donde

U = m2 , es el dominio de f.

• Porque fes cóncava, tiene un punto maximizante, que es x* = (0,1), que se obtiene hallando las derivadas parciales de f.

Ejemplo 04.

Solución:

Resolver el siguiente problema: máx [ -x2 -(y -1)2]

Sujeto a: 6- x-y 2:: O 2x+y-4 2::0

x2:=0

y2:=0

En este problema, a diferencia del anterior, se nos da un conjunto de 4 restricciones (que

son 4 inecuaciones en m2 ).

• Al intersectar las gráficas de éstas 4 inecuaciones se obtiene una región K E m2 , que es

un conjunto cerrado y acotado (conjunto compacto). Además es convexo el conjunto K (ver fig.).

X

• La función objetivo f : U ~ m , está definido por

f(x,y)=-x 2 -(y-1)2 , cuyo dominio está restringido

al conjunto D =U n K= K , U= m2.

• Las fronteras de la región K son las gráficas de las ecuaciones:

h1(x,y)=6-x-y=O

~(x,y)=2x+y-4=0

hs(x,y)=x=O

h4 (x,y)=y=O

• El punto maximizante x* será unas veces un punto de la frontera del conjunto K (en este caso diremos que h¡ es efectiva o ceñida), otras veces podría ser una de las esquinas del conjunto K, pero también puede ser un punto interior del conjunto K (en este caso se cumple: h¡ (X*)> O, que es la condición de SLATER).

-8-

Pro~ramación no Lineal y las Condiciones de Kuhn-Tucker

Si el problema, dado en el ejemplo 4, se resuelve geométricamente:

Bastará dibujar las curvas de nivel de la función objetivo: -x2 -(y -1)2 = r , para algunos

valores relativos der. El punto de tangencia (x*,y*) de aquella curva de nivel, que resulta

ser tangente a una de las fronteras del conjunto K, es el maximizante de la función objetivo.

• Si x* es un maximizante de f(x,y) y es punto de K, entonces f(x,y) es cóncavo sobre

K.

• Para resolver el problema por el método del Kuhn-Tucker se sigue los siguientes pasos:

1 ºComprobar que los gradientes de las funciones hi (x,y) forman un conjunto lineal

mente independientes.

Nota: V h1 = (-1,-1)

V /u;, = (2, 1)

Vhs = (1,0) Geométricamente, la independencia implica que estos vectores no son paralelos.

V h4 = (0,1)

2º Definir la función de Lagrange: 2(x,y,/L) = f(x,y) + /L(g(x,y))

3º Luego maximizamos la función 2 respecto a la variables "x" e "y"

4º Después minimizamos 2 respecto a /L, sujeto a las restricciones x ~ O , y ~ O, ;¡, ~ O,

para aplicar las condiciones de Kuhn-Tucker: Existe un número;¡, tal que:

a2 <O OX-

a2 <O ay-

a2 >O OX-

x~O y~O ;¡,~o

a.~ O 82 ;¡,8.2=0 X-= y-=0 é!x o y 8,1,

Resolvamos un problema, para ir aprendiendo el método de Kuhn-Tucker.

1 PROBLEMA 011

Solución:

máx [3x+2y]

Sujeto a: 4x +y::;; 10

x~O

y~O

En primer lugar, escribir el problema en forma estándar (todas ~O):

máx [3x+2y]

Sujeto a: 10-4x- y~ O -- Forma estándar

x~O

y~O

En segundo lugar, observemos que:

-9-

MOISÉS LÁZARO C.

a) f(x,y) = 3x + 2y, es cóncava y diferenciable (clase C')

L Función objetivo

b) g(x,y) = 10-4x- y' es cóncava y diferenciable (clase C 1)

L Restricción

e) Las funciones restricciones son:

gl(x,y)=10-4x-y

g1 (x,y) = x

ga(x,y)=y

Sus gradientes son:

Vg1 =(-4,-1)

V g2 = (1,0)

V g3 = (0,1)

y forman un conjunto de vectores linealmente independiente.

d) Al intersectar las gráficas de las restricciones:

g1 =(x,y)=10-4x-y;?:0

g2 = (x,y) = x;?: O

g 3 =(x,y)=y;?:O

Se obtiene el conjunto K (que es compacto)

y

, (Familia de rectas (correspon-

\ •••• \ •• \.. ilieote ''' fu•dó• ,¡,¡tm)

. . .

-10-

. . . .

X


e) De la función objetivo f(x,y) = 3x + 2y, se obtiene una familia de rectas paralelas

3x + 2y =e, para todo e E IR .

Para orientarnos, dibujar una recta para e = 24 (~2 ) .

Si movemos, paralelamente, la recta ~2 acercándonos al conjunto K, es la recta ~1 que to

ca al conjunto K en el punto (0,10).

• Es x* = (0, 10) es el punto maximizan te de f(x,y)=3x+2y

El valor máximo de f(x,y) es {(0,10) = 3(0) + 2(10) = 10

L__Máximo

• Ahora, resolver el problema por el método de KUHN-TUCKER.

En primer lugar, definir la función de Lagrange:

~ : IR 2 X IR ~ IR

(x,y;A) ~ ~(x,y;A) = 3x + 2y + A(10 -4x- y)

OJO: Aquí estamos considerando sólo la restricción

10-4x-y~ O Estamos dejando de lado las restricciones: x~O,y~O

En el caso general las consideramos.

En segundo lugar, de~ hallar las siguientes derivadas parciales:

.. ------------------------¡ 82 :

3 4x · \ Se usan estas derivadas parciales para r---1 -= -: ox

' ,---) a2 = 2 _A

:__ ?_~ -----------.. ---------------'

( maximizar 2 respecto a (x,y) ' : __ .., _____ 1

' ' : a2 rl-=10-: oA.

4x- y ;• Minimizar 2, respecto a A.. ' , ___ ------------- --------~

En tercer 1 ugar, aplicar las condiciones de Knhn-Tucker:

a2 < 0 ox- 3 -4A :-::;;O............ 11

~ x:::=:O (I) X:;::: 0 ............ l2

a2 x-=0 ox x(3-4A) ==O............ la

a2 < 0 ox - 2-A :-::;;o ............ Il¡

f-4 y::::::O (II) y::::: o ............ II2

a2 0 Y ay ==

y(2-A) =o ............ Ha

a2 > 0 oA. - 10-4x-y::::: 0 ............ III1

4 A :::::o (III) A::::: O ............ III2

A a2 ==O o A.

A(10 -4x- y) ==O ............ III3

-11-

(

\

MOISÉS LÁZARO C.

En cuarto lugar, resolver los sistemas de ecuaciones e inecuaciones: I, II, III. Para obtener los puntos, que serán los candidatos que optimice f(x,x).

En una mirada rápida, notaremos que al intersectar:

12 con III3 {x=O

10-4x-y=0

Se obtiene x* = (0,1), que es el único maximizante de f(x,y).

Al definir la función de Lagrange, no hemos considerado las restricciones: x :::: O , y :::: O,

por ello haremos un cuadro para que, en orden, discutamos todos los casos para A :::: O, x::::O, y::::O .

.¡--Hay 3 variables: A, x, y

Habrán 23 = 8 casos.

Casos

l.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

\......__Hay 2 signos para: A, x, y

A X y

o o o

o o +

o + o

o + +

+ o o

+ o +

+ + o

+ + +

• Como notamos, tenemos 8 casos para resolver. Cada caso lo sustituimos en 1, II y III.

• Cada vez que hallemos una proposición FALSA, pasamos al siguiente caso.

• Si en algún caso, todas las proposiciones son verdaderas, con toda seguridad encontraremos un punto candidato que maximice la función objetivo.

EMPECEMOS:

1 CASO 11 A = 0 , x = 0 , y = 0 En I 1 : 3 ::;; 0 . . . . . . . . . . . . (FALSO)

1 CASO 21 A = 0 , x = 0 , y > 0 En 11 : 3::;; 0 ............ (FALSO)

1 CASO 31 A = 0 , x > 0 , y = 0 En 11 : 3::;; 0 ............ (FALSO)

1 CASO 41 A = 0 , x > 0 , y > 0 En 11 : 3::;; 0 . . .. . .. . .. . . (FALSO)

1 CASO 51 A > 0 , x = 0 , y = 0

{

II1 :A:::: 2

En II: II2 : y ::::O

Ilg : y = o V A = 2

{

III1 : 10:::: O

En 111: A:::: O FALSO)

10=0

-12-

1

\

Pro~ramación no lineal y las Condiciones de Kuhn-Tucker

1 CASO 6 1 /L > o ' X = o ' y > o

ll . ?>a I·A--4

l: 12 : X= o la : /L =t >0

l II1 : /L ~ 2

II: II2 :y~O

Ha : I/L = 2! >O

{

lii1 : Como x=O, 10-y~O ~ y~10

rr1 : rr12 : ;¡, ~ o lila: Como /L::;; O, x=O, entonces: 10-y=O ~ y=10

Se obtiene j .X*= (0,10) j, con /L = 2

Lcandidato

1 CASO 7 1 /L > o ' X > o ' y = o

l: l :~ : ~: ~ 1a : /L = t ~+----------..

{

II1 : /L~2

II: II2 :y~O

IIa:y=O v

1 CASO al ;¡, > o , x > o , y = o l . ? >a I·A--4

r. 12 : X~ o

Absurdo

Absurdo

Observando los 8 casos, en el caso 6 se obtuvo que existe: /L * = 2 , x* =O , y*= 10

• El optimo es (x*,y*) = (0,10)

• El valor óptimo es: 3(0) + 2(10) = 20

Nota: Si usted está aplicando las condiciones de Kuhn-Tucker, siga el orden de este ejemplo.

-13-

MOISÉS LÁZARO C.

1.2. OPTIMIZACIÓN RESTRINGIDA CON RESTRICCIONES DE INECUACIONES.

Definición 1.

Al conjunto K={xEIRn: hi(x)-c.O, i=l, ... ,.t}

Se le denomina conjunto de restricciones de inecuaciones de un problema de optimización.

Ejemplo 05

a) En el ejemplo 2, el conjunto de restricciones de inecuaciones es:

x-l'C.O , donde

3-x-c.O {

h1(x)=x-l ' XE IR

~(x)=3-x

b) En el ejemplo 4, el conjunto de restricciones de inecuaciones es:

6-x-y-c.O

2x+ y-4 -c. O , donde

x-e. O

y-c. O

Siendo que (x,y) E IR 2.

Ejemplo 06.

Resolver: máx(Ln(x) + Ln(y))

{

x2 + y2 = 1

Sujeto a: x -c. O

y-c. O

h1(x,y)=6-x-y

~(x,y)=2x+y-4

h3 (x,y)=x

h4 (x,y) =y

• En este ejemplo se tiene la función objetivo f : U ~ IR , definido por:

f(x,y) = Ln(x) + Ln(y), donde U= {(x,y) E IR2 1 x >O, y> O}

• En el conjunto de restricciones: la primera es la igualdad x2 + y 2 = 1 y las dos siguientes son inecuaciones.

¡ g1 (x,y) = x2 + y 2 -1

donde: ~(x,y) = x

h3 (x,y)=y

• El conjunto U~ IR es un conjunto abierto.

-14-


Definición 2.

Al conjunto K= {X E mn :g/x) = O,i, ... ,k; h(x) ~o' i = 1, ... ,.t} se le denomina conjunto de

restricciones mixtas de inecuaciones de un problema de optimización.

• Denotamos por D al siguiente conjunto: D = Un K .

• Las funciones g j y hi son de clase C 1 , esto es, las funciones tienen primeras derivadas

continuas.

Definición 3.

Una restricción de inecuación hi (x) ~O se dice que es efectiva (o ceñida ) en cierto

punto x* si se cumple hl (x*) =o .

Ejemplo 07. La gráfica del conjunto D es:

Sea el modelo:

{

9 x2 2 0 ----y ~

s.a. 4 2

y~O

En el ejemplo 7:

• La restricción hi (x,y) = ~- x2

2 - y 2 ~O es efectiva (o ceñida) en el punto x; = ( t ,1), por

que se cumple h1 (t,1) =O.

• La restricción ~(x,y) =y~ O es efectiva (o ceñida) en el punto x~ = (1,0), porque se

cumple ~(1,0) =O.

1.3. GRADIENTES DETERMINADAS POR LAS FUNCIONES h¡(x) ~O

• En el ejemplo 7 se tienen las funciones de la restricción:

hl =~- x;- Y2

~=y

Sus gradientes son:

a) 17 h1 ~(-x,-2y), que también es: ( =:J ~ -x(~ )-y(~) El gradiente de h¡ está generado por el conjunto de vectores { G). ( ~) } que es li

nealmente independiente y diferente del conjunto { ( ~) } , si h¡ ~ O .

-15-

l

MOISÉS LÁZARO C.

b) V k, = (O, 1) o también {( ~) } es un conjunto linealmente independiente y

{(~) }~{(~) }· Resunriendo: Vh1 =gen{[~][~]} y Vh 2 =gen{[~]} Al reunir los vectores generadores de los espacios vectoriales GRADIENTE de h1 y GRA

DIENTE de h2 , obtenemos el conjunto { [ _;; J[ ~]} que es linealmente independiente.

CASO GENERAL DE APLICAR EL MÉTODO KUHN·TUCKER

Para aplicar el caso general: todas las desigualdades son ;:::: O y cada función de estas restricciones irá acompañada de un multiplicador de LAGRANGE.

TEOREMA l. (Teorema de Kuhn-Tucker para máximo local)

Sea la función f : U ~ m , una función e 1 sobre un conjunto abierto U e mn y

sean las funciones hi : mn ~ m con i =1,2, ... ,..e. también funciones e1. Suponga

mos además que el punto x* es un máximo local de f sobre el conjunto D,

D=Un{xEmn: hi(x*);:::::O, i=1, ... ,..e.}

Denotemos por E~ {1, ... ,..e.} al conjunto de restricciones efectivas en x* y supongamos

que los gradientes determinados por E como sigue {V' hi(x*) : i E E} forman un conjunto de vectores linealmente independientes.

Entonces existen números: A~ ,A; , ... ,A~ E m tales que cumplan las siguientes tres con

diciones: l. ~ ;:::: O para i = 1, ... , ..e.

2. ~* hi (x*) =O, para i = 1, .. . ,..e.

t * -3. V'f(x*) + ¿ Ai V' hi (x*) =O

i=l

-16-

'


Ejemplo 08.

Resolver el siguiente problema: ~--------------------~

máx ( x- x: + y 2 )

Sujeto a:

Solución:

1 PASO 1 1 Justificar si, tiene solución.

Para ello, hacer dos cosas previas:

• En primer lugar, graficar la región D que sea la intersección de las gráficas de las restricciones:

- La frontera de la primera restricción es:

§L_¿_y2 =0 8 2 (que es una elipse)

9- 4x2 + 8 y 2 = 9 +-- multiplicar por i

- La gráfica de la desigualdad: ~- x: - y 2 >O, es el interior de la elipse.

- La frontera de la segunda restricción es: y= O, cuya gráfica es el eje x.

- La gráfica de la desigualdad y >O es "encima del eje".

• En segundo lugar, hallar las gradientes de las restricciones:

~(x,y)=y V~ =(0,1)

Analizamos: a) Para h1 =O, (x,y) :;t: (0, O). Por lo tanto el conjunto { ( -x, -2y)} es linealmente independiente.

b) En ~,el conjunto {(0,1)} es linealmente independiente.

1 PASO 21 Definir la función de Lagrange: Tenemos dos variables: (x,y)

Tenemos dos restricciones (habrán dos multiplicadores de Lagrange: A¡,~). Entonces la función de Lagrange es:

L : IR 2 X IR 2 ~ IR

( • 1 ;¡ _ ) L( . ) _ x2 2 ( 9 x2 2 ) x,y,A1 ,, ... 2 ~ x,y,A-1 ,~ -x- 2 +y +A¡ 8 - 2 -y +A-2 y

-17-

MOISÉS LÁZARO C.

j PASO 3j

Aplicar las condiciones de Kuhn-Tucker en el orden siguiente:

A¡ ~o ~~o

CD-A¡hl =0 ~~=0 kD aL =O aL =O

ax ay

h1 ~o ~~o 1 1

CASOS A¡ ~ CASO 1 o o

CAS02 o + CAS03 + o

CAS04 + +

Veamos:

A1 ~o 11 A2 ~o 111

CD Al ( ~ - x; -Y2 ) = O 12

@ A2y=O 112

1-x-A1x =0 1g 2y-2A1y+A2 =0 Ilg

~-x2 -y2 >O 14 y~O II4 8 2 -

Ahora, empecemos a analizar cada uno de los cuatro casos. Sólo por cuestiones didácticas para un valor de A1 se va analizando el valor de verdad de cada enunciado de (I), esto

es, para h, 12, 13 e 14 . Luego, se pasa a analizar para ~ en los cuatro enunciados: II1 ,

112 , 113 e II4 de (II).

Si alguno de los enunciados, partiendo de 11, resulta una proposición FALSO, paramos la iteración y pasamos al siguiente caso.

Si en alguno de los casos (de las cuatro que tenemos) resultan VERDADEROS los 8 enunciados, entonces encontraremos un candidato (x*,y*) que va optimizar la función ob-jetivo.

Veamos:

1 CASO 11 Cuando A1 = O y ~ =O analizar el valor de verdad de cada enunciado, desde 11 , .. . ,14 , II1 , . .. ,II4 .

Así:

11 : A1 =O (v) lll: ~ =0 (v)

12 :O= O (v) II2 : 0=0 (v)

13 : 1-x=O => 1 x=11 113 : 2y=0 =>ly=ol

14 : ~-~- y 2 ~O (Por verificar) II4 :y=0 (v)

-18-

\


Al sustituir 13 en 14 : t-i:?: O ~ 9-4:?: O (v)

• Porque los 8 enunciados han resultado verdaderos, entonces un candidato es

(x*,y*) = 1 (1,0) 1

1 CASO 2j Cuando: .íL1 = O y .íL2 > O

Analizar el valor de cada enunciado.

11 : .íLl =o (v)

CD-12 :o =0 (v)

/ 3 : 1-x=O :::::> 1 x=11

/4:~-i:?:O (Por verificar)

JI!:~ =0 (v)

Il2:~ II

113 : 2y-.íL2 =0 ~ l.íL2 =0 1

II4 :

En 113 se ha obtenido: ~ = O , pero el caso 2, exige .íL2 > O . Aquí hay una contradicción.

Este resultado implica que no tenemos candidato.

1 CASO 3 1

Cuando .íL1 > O y .íL2 = O

Analizar el valor de verdad de cada enunciado:

I 1 : .íLl > o (V) 111: ~ =0 (v)

(v) l 2 : t -x; -y 2 = O (Para usar más adelante)

!3 : 1- X - .íL1 X = O (Para usar más adelante) Il3 : 2y- 2.íL1y =O (Para usar más adelante)

I 9x2 20() J 4 : 8-2- y :?: v por 2 (Por verificar)

Nos queda por resolver el sistema de ecuaciones:

(1)

1-x-.íL1x=O <==> 1-x(1+.íL1)=0 .......................................... (2)

2y-2.íL1y=O <==> j2y(1-~)=0 1 ~ Si y :;t: O , j ~ = 1 j ...... (3)

Si .íL1 :;t: 1 , 1 y = O 1· ..... ( 4)

• En (3), si .íL1 = 1 (cumple el caso 3), al sustituir en (2), se obtiene:

1-X- X = 0 <=:::> 1-2x = 0 :::::> 1 X = t 1 ................................. (5)

• Al sustituir 1 x = i 1 en (1) se obtiene: t-i- y 2 =O

~ 1-y2 =0

<==> y=±1

-19-

1 \

MOISÉS lÁZARO C.

• Así obtenemos las parejas: ( ~, 1) , ( ~, -1) . De estas dos parejas, el candidato es

1 (x*,y*) = ( ~,1) 1 porque cumplen: ~ = 1 >O y 114 : y> O.

• En (4) al sustituir 1 y= O 1 en (1) se obtiene: ~- x; =O

9-4x2 =O

• Al sustituir x = Í en (2): 1-Í(l + A1) =O , se obtiene: A1 = -t (lo cual contradice al caso

3, que exige A1 >O).

• Al sustituir x =-!,en (2): 1 + Í(1 + A1) =O, se obtiene: A1 = -i (lo cual contradice al

caso 3, que exige A1 > 0).

Por lo tanto, quedan descartados las parejas (t.o) , ( -t,o) como candidatos.

1 CASO 4 1

Cuando A1 > O A2 > O .

Analizar, el valor de verdad de cada enunciado

11 : A1 >O (v) (v)

/ 2 : ~- x; -y 2 =O (Para usar más adelante porque A.1 > O )

li 2 : y = O , porque ~ > O

13 : 1- X- A1 x =O (Para usar más adelante) Il3 : 2y- 2Al y+ A2 =O (Para usar después)

1 9x2 20(

4 : 8 -z-- y ~ Porverificar)

• Al sustituir II2 en 12 : ~- ~ =O => x = ±Í . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

=> Así tenemos los puntos: ( Í, O) , (-!,O)

• Al sustituir (t.o) en 14 : ~-~-0=0 (v)

• Al sustituir ( -t.o) en 14 : ~-~-0 =O (v)

• Al sustituir 112 en 113 : 1 ~ =O 1, este resultado contradice al supuesto que 1 ~ >O 1·

Por tanto, este caso no aporta candidatos.

Nota:

El lector, puede saltarse directamente al enunciado que le parece de rápido análisis.

-20-

ProQramación no lineal y las Condiciones de Kuhn-Tucker

Conclusión:

Existen dos candidatos: (1,0), (t,1) y los valores de la función objetivo son:

(x,y) f(x,y) =x- X:,+ y 2

(1,0) t=0.5

(t.1) 11~14 8 ~ . ~ MÁXIMO

De éstos dos valores, afirmamos que (x*,y*) = ( t.1) es el punto optimizante.

El gráfico de la función objetivo es la silla y la gráfica de todas las inecuaciones es la región K.

-21-

MOISÉS LÁZARO C.

1.4. RESOLUCIÓN GRÁFICA DEL PROBLEMA DADO EN EL EJEMPLO 8

Resolver gráficamente el siguiente problema:

Maximizar: X- x; + y 2

{

1!.8 - x22 - Y2 ~ O Sujeto a:

y~O

Pasos a seguir:

1 º Graficar la región K, que es la intersección de las gráficas de dos restricciones:

a) La desigualdad ~- x; -y 2 ~ O se gráfica en dos tiempos:

1 º Se grafica la igualdad: ~- x; -y 2 =O (que es una elipse)

2º Se "sombrea" la región que satisface la desigualdad estricta ~- x2

2 - y 2 >O

Veamos:

i) ~- x;- y 2 =o

ii)

9-4x2 -8y2 =O

4x2 +Bi=9

Q_¿_y2 >0 8 2

2 2 L+L<1

9 9 4 8

Se sombrea el interior de la elipse.

b) La desigualdad y ~O , tiene como gráfica el EJE X y encima del eje X. Al intersectar las dos gráficas se obtiene el conjunto K.

2º Graficar las curvas de nivel, que corresponda a la función objetivo.

Estas curvas de nivel son: x- x; + y 2 = e

Cuyo equivalente es: l2x- x2 + 2y2 = 2c 1 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . (1)

• La gráfica de la ecuación (1) es una familia de hipérbolas de parámetro "e".

• Para un valor particular de "e", la hipérbola (1) debe ser tangente a la elipse.

~-x:-y2 =0 queesequivalentea: 19-4x2 -8y2 =01 ............... (2)

-22-


• Esto es un problema de tangencia:

• Para obtener el parámetro "e", resolver el sistema de ecuaciones:

{ 2~-x::2y::2c ............................................... (1) 9 4x By -O ...................................................... (2)

De (1) despejar y 2 y 2 =~(2e-2x+x2 ) ........................... (3)

Sustituir (3) en (2) 9 -4x2 -8[ ~(2e -2x + x2) J =O

que se reduce a 8x2 -8x+8e-9=0 ........................... (4)

• La ecuación cuadrática (4) tiene solución única si el discriminante es cero,

esto es, ( -8)2 - 4(8)(e- 9) =O

donde: e = ~1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5)

• Al sustituir (5) en (4): 8x2 -8x+ s{Il )-9 =o

que se reduce a: 4x2 -4x+1=0

(x-~t =0. La solución es: x = .1 2

• Para x=~ en (2): 9-4(i) 2 -8y2 =0

se obtienen: y = ±1

La solución requerida es (x*,y*) = ( t,1), que es el óptimo.

-23-

MOISÉS LÁZARO C.

1.5. PROBLEMAS RESUELTOS

1 PROBLEMA 02 1

Considere el problema máx (x +y)

s.a. - (x2 + y 2 ) ;::: O

x::::O

y;:::O

Resolver usando las condiciones de Kuhn-Tucker. ¿Qué problema ocurre? ¿por qué?

Solución:

Antes de usar las condiciones de Kuhn-Tucker, graficar las 3 restricciones

{

-(x2 + y 2

);::: O +--- es el punto (O O) > . , ' Al mtersectar solo obtenemos x;::: O } un solo punto, que es (O, O)

es el primer cuadrante

y¿Q + • Para aplicar las condiciones de Kuhn-Tucker, se necesitan que se cumplan dos hipóte

sis:

l. Que la función objetivo y las funciones restricciones sean cóncavas y diferenciables.

2. Debe cumplir la condición de Slater: esto es, que la región factible tenga puntos interiores.

Veamos:

1º Las funciones: f(x,y) = x+ y y g(x,y) = -(x2 + y 2 ) son cóncavas y diferenciables.

2º No existe punto interior. Esta afirmación se justifica porque, al reemplazar el punto (0,0) a la desigualdad.

-(x2 + y2) > o se obtiene 02 + 02 > o

'---v-----' g(x,y) O> O

que es una proposición falsa.

• En consecuencia, no se puede aplicar el teorema de Kuhn-Tucker.

1 PROBLEMA 03 1

Supongamos una firma tiene una función de ingreso total

y en su coste total

R(Q) = aQ- [JQ2

C(Q) = aQ + bQ 2

Como función de producción, Q;::: O , donde a, b, a, fJ son parámetros positivos.

-24-


La firma maximiza su beneficio ~r(Q) = R(Q) -C(Q) sujeto Q:?: O. Resolver usando el método de Kunh-Tucker y encontrar las condiciones para las restricciones para encontrar el óptimo.

Solución:

La función beneficio es ~r(Q) = R(Q)- C(Q)

=aQ-jJQ2 -aQ-bQ2

~r(Q) = -(/3 + b)Q2 +(a- a)Q

En problema a resolver es:

máx~r(Q)=-(f3+b)Q2 +(a-a)Q, a>O,b>O

s.a. Q:?: O a>0,/3>0

Condiciones de Kunh-Tucker:

1 º La función objetivo ~r( Q) es cóncava y diferenciable. La función g( Q) = Q es cóncava y

diferenciable.

2º Al graficar la restricción Q :?: O .

o Q

Los puntos interiores de conjunto S= {Q E IR: Q:?: O} son los puntos del conjunto

{QE!R:Q>O}.

Por lo tanto, las condiciones de Kuhn-Tucker son necesarias y suficientes.

A continuación resolver el problema por el método de Kuhn-Tucker:

1 PASO 01 1 Definir el Lagrangeano: :t(Q,A.) = -(/3 +b)Q2 +(a -a)Q+l.Q

= -(/3 +b)Q2 +(a -a +l.)Q

IPASO 021 a2 a2 Hallar: aQ y a¡

a2 aQ = -2(/3 + b) +a- a+;{

a2 -=a-a+l. o A-

1 PASO 031 Aplicar las condiciones de Kuhn-Tucker:

Q;?: o

Q~~=O ¡ -2(/3 + b )Q +a -a sO

(1) Q[-2(P+b)Q+a-~::

¡ El indicador para resolver simultáneamente las tres relaciones es: Q =O y Q >O

\ -25-\

MOISÉS LÁZARO C.

CASO 1 CAS02

a - a S:: O ~ No puede ser: -2(,8 + b )Q +a -a+ A S:: O ......... (1) • Si a - a es cero

O ~ O no habría benefi- Q ~o ......... (2)

0=0

1 PROBLEMA 041

cio máximo. •Si a-a<O, Q

sería negativo.

-(a -a) 2

= 4(f3+b)

¡(a-a) 2

= 4 (/3- b)

+

-2(,8 + b )Q +a -a+ A = O ......... (3)

! Q a-a

- 2(/3-b)

Por (2), afirmamos que:

Q* a-a 2(/3 _ b) es el óptimo

(a- a) 2

2(f3+b)

Resolver el problema min ( (x + 1) 2 +(y+ 1) 2 )

s.a. 3x +y s; 3 , x ~ O , y ~ O

Solución:

La función objetivo es una familia de circunferencias decentroen (-1,-1)

Responder la parte (1)

El problema de minimizar, se reduce a un problema de maximizar, haciendo:

s.a. 3-3x- y ~ O , x ~ O , y ~ O

Antes de aplicar las condiciones de Kuhn-x Tucker investigar:

1) Si son cóncavas las funciones:

f(x,y) = -[(x + 1)2 +(y+ 1)2]

g(x,y)=3-3x-y

2) ¿Existe punto interior en la región factible S?

• La concavidad de f(x,y) se investiga con su hessiana.

-26-

Pro~ramación no lineal y las Condiciones de Kuhn-Tucker

• Del gradiente V'f = ( -2(x + 1) , - 2(y + 1) ) '---y-----' '----'v---'

fx fy

t t fxx=-2 fyy=-2

[-2 o] • Lahessianadefes H(f(x,y))=

0 _

2

• Porque los valores propios de H (A-1 = -2, A-2 = -2 ), son negativas, afirmamos que la

hessiana de fes definida negativa y por tanto fes cóncava estricta.

• La función g(x, y) = 3-3x- y es cóncava y diferenciable.

Responder la parte (2)

• La región factible tiene puntos interiores. Suficiente es elegir el punto ( t.1). Este pun

to hace cumplir g( t.1) >O, pues: 3-3(t) -1 >O.

PROCEDAMOS EN HALLAR (x*,y*)

Entonces existe A,*> O para afirmar que el punto (x* ,y*) es la solución del problema.

1º Definir la función Lagrangeana .S:(x,y,A.) = -[(x +1) 2 +(y+ 1) 2 ] + A-(3 -3x- y)

2º Resolver el sistema:

a2 <O

r{ -2(x + 1) :5O ................................. (1) ax -

x~O x~O ................................ (2)

a2 x [ -2(x + 1)] =O ................................. (3) x-=0 ax

a2 <O

u{ -2(y + 1) :5o ................................. (4) ay -

y~O y~O ................................. (5) a2 y [ -2(y + 1)] =o ................................. (6) y-=0 ay

a2 >O

m{ 3-3x-y~O ................................. (7) aA--

Á~O Á-~0 ................................. (8)

Á as:,= O -i(3-3x-y)=O ................................. (9) a A-

-27-

MOISÉS LÁZARO C.

Vamos a reducir las posibilidades de solución a:

A X

o o + +

+ o

Probemos con el caso (2): A > O , x > O , 1 y = O 1

Nos encontraríamos en III: 3-3x- y= O

como y = O => 1 x = 1 1

Así obtenemos: (x*,y*) = (1,0), con A> O

1 PROBLEMA 05 1

Resolver el problema: Min ( (x -1)2 +(y -1)2)

s.a. 3x +4y:::;; a

x~O,y~O

Cuando a = 8 y cuando a = 5

Solución:

La gráfica del problema para a = 8 , es:

X

y

o o +

CD (V

®

La gráfica del problema para a= 5, es:

2

( 19 17 ) 25 '25

+4y=5

Un problema de minimización se reduce al problema de maximización haciendo:

Solución:

Máx { -[(x-1)2 +(y-1)2 ]}

s.a.: a-3x-4y ~O

x~O,y~O

Condiciones para resolver por el método de Kuhn-Tucker:

) 1. f(x,y)=-[(x-1)2 +(y-1)2 ] y g(x,y)=a-3x-4y, deben ser cóncavas y diferencia-

\ bies.

-28-

ProRramación no Lineal y las Condiciones de Kuhn-Tucker

2. Que el conjunto factible S definido por las inecuaciones a- 3x- 4y ¿O, x ¿O , y¿ O debe tener puntos interiores (condición de Slater).

Investiguemos:

l. De f(x,y) obtenemos:

1 fxx=-2 fx = -2(x -1) \

~ fyx =0

1 fxy=O {y =-2(y-1) \

~ {yy =-2

[-2 o] La hessiana de fes: Hf(x,y) =

0 _2

Porque los valores propios: ...t1 = -2 , ~ = -2 de la matriz Hf son negativas afirmamos que fes cóncava.

Lafunción g(x,y)=a-3x-4 escóncava.

2. Si elegimos el punto (1,1) E S y la reemplazamos en las restricciones estrictas.

8-3x-4y>0 , x>O, y>O

satisfacen las tres inecuaciones, por tanto, (1,1) es punto interior de S (condición de Slater). Ya podemos aplicar las condiciones de Kuhn-Tucker para resolver el problema (FORMA 1).

2(x,y,...t) = [(x -1)2 +(y -1)2 ] + ...t(S- 3x -4y)

a~. - = -2(x-1)-3...t ax aY:. - = -2(y-1)-4A, ay

Usted prosiga ..... .

1 PROBLEMA 06 1

Solución:

Maximizar (2../x + s,JY) sujeto a:

2x-i-y::;;3, x+3y:5:3, x¿O, y¿O

Escribir el modelo en su forma estándar:

Se pide: máx (2../x + s,JY) s.a: 3-2x-y¿O

3-x-3y¿O

x¿O

y¿O

a2 -=8-3x-4y aJ

a) Analizar si la función objetivo f(x,y) = 2../x + s,JY es cóncava.

-29-

MOISÉS LÁZARO C.

Para ello:

Hallar las derivadas parciales de orden dos de f.

De f(x,y)=2f;+8JY

~ fxx =- 1,--- 'X >O f = 2 ,_1_=_1_/ 2xvx

< x

2.Jx .Jx ~ fyx _=0

r fxy-0 f -8·-1--.....L y- 2,fY- ,¡y~ f =--2-

yy y,JY

Así tenemos la matriz hessiana: H(f(x,y)) = [-2x~ 0

2 ] x >

0

o - y,JY y> o

Los valores propios de la matriz hessiana son: At =- 1 r.. , ~ =- 2r.. 2x..¡y YVY

Porque A-1 <O y A-2 <O, afirmamos que la hessiana de f(x,y) es definida NEGATIVA,

entonces f(x,y) es cóncava.

• Además: g1 (x,y) = 3- 2x- y es cóncava y diferenciable.

g2 (x,y) = 3 -x -3y es cóncava y diferenciable.

b) Graficar la región factible, con el fin de verificar si cumple la condición de Slater.

X

3

3 y

lEs ( i·i) un punto interior de la región factible S?

Al sustituir {i , i) en las restricciones

2x+ y <3

x+2y <3

x>O

y>O

-30-

\


verifica la relación ">" para todas las relaciones, por lo tanto, afirmamos que ( t,i) es

punto interior de S.

Aplicar las condiciones de Kuhn-Tucker (FORMA 1).

e) Definir la función de Lagrange sólo con 3- 2x- y 2:: O y 3-x- 3y 2:: O:

Derivar:

as:, _ 1 -a -2. r- 2At-~ --------------> x 2-vx

as:, 1 a;= 8. zJY- At-2~ -------------->

as:, -=3-2x-y a A- ----------------------·

as:. a~ = 3-x- 2y ----------------------•

Las condiciones de Kuhn-Tucker son:

Fx -2A1 -A2 ::;O

x2::0

x( }x-2A1 -2A2 )=0

Jy -A1 -2A2 ::;; O

y2::0

y ( Jy -A1 - 2A2 ) = O

{

3-2x-y2::0

A1 (3-2x-:~ :~

De las 4 desigualdades señaladas en ( *) se deduce los siguientes casos:

Al2::0

Az 2::0

x2::0

y2::0

-31-

MOISÉS LÁZARO C.

A¡ ~ y y

o o o o 1 cero o + + +

+ o + +

+ + o +

+ + + o + + o o

2 ceros + o o + o + o + o o + + + o o o

3 ceros o + o o o o + o o o o +

Positivos + + + +

Algunos casos no se cumplen.

De otros se obtienen algunas contradicciones (:::::} 1 <=)

El único caso factible (caso ... ) es: íL1 >O, íL2 =O

2íl.l = Fx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (a)

-1.1 = h ..................................................................... (b)

{ 2x+y=3

(1) x+2y=3

Al resolver el sistema (l) se obtiene: (x,y) = (1,1)

Al reemplazar en (a) y (b) se obtienen: íl,l =t = > o íl,l = 4 > o

Conclusión: Existen ;.; = t y ;.; = 4 , x* = 1 , y* = 1

El óptimo: (x*,y*) = (1,1)

Valor óptimo: {(1,1) = 2..fi + s..fi = 10

1 PROBLEMA 071 Maximizar (y - x2 )

S.a. y- X~ -2 , y2 ~X , X~ 0, y~ 0

-32-

ProRramación no Lineal y las Condiciones de Kuhn-Tucker

Solución:

En primer lugar resolveremos el modelo, por el método GRÁFICO. Para ello, hacer el siguiente análisis:

1 Paso 11 Graficar todas las restricciones.

• La gráfica de cada inecuación es una región abierta y al intersectar las gráficas de las 4 inecuaciones se obtiene una región cerrada que la llamaremos región K (que es cerrada y acotada, es decir, es COMPACTA).

. ..

' . . . . .0=4

X

Veamos:

• La intersección de las gráficas de las dos inecuaciones: x:?: O, y:?: O es el primer cuadrante .

• La gráfica de las inecuaciones y- x 2:": -2 se obtiene en dos tiempos:

TIEMPO 1: Graficar la frontera y- x = -2 (es una recta).

TIEMPO 2: Graficar la desigualdad estricta

y-x>-2 <===> y>x-2

(Sombrear: encima de la recta)

• La gráfica de i ~ x se obtiene en dos tiempos:

TIEMPO 1: Graficar la frontera y 2 = x (es una parábola)

TIEMPO 2: La gráfica de la desigualdad estricta y 2 < x (es el interior de la parábola)

1 Paso 21 ¿cumple la condición de SLATER? Si, porque tiene puntos interiores, uno de ellos es ( 1,%), par en y- x > -2 se obtiene: t -1 > -2 , que es una proposición verdade-

ro y y 2 < x se obtiene t < 1 , que también es una proposición verdadero.

1 Paso 31 Ahora, graficar algunas curvas de NIVEL que corresponden a la función objetivo

f(x,y) =y- x 2, para algunos valores de{, por ejemplo: f = 1, f = 2, f = 4.

Veamos: y-x2 =4

y-x2 =2

y-x2 = 1

y= x2

+ 4

} Son familia de parábolas que "están bajando". La y = x2 + 2 función objetivo se maximiza para algún valor de "r"

2 en el momento que es tangente a la frontera de K.

y=x +1

-33-

\

MOISÉS LÁZARO C.

!Paso 41 a) Analizar la concavidad de la función objetivo f(x, y)= y- x2

.

{

fxx =-2

fyx =0

{

fx=-2x

De f(x,y)=y-x fx =O

f -I-c y y-!yy =0

[-2 o] La hessiana de fes Hf(x,y) =

0 0

Porque d2f = -2(dx)2 es NEGATIVO, afirmamos que f(x,y) es cóncava.

b) Ahora,· analicemos los vectores gradientes de las funciones g 1(x,y)=y-x+2 y

g2(x,y)=x-y2.

GRADIENTE de g 1 : Y'g1 = (-1,1)

GRADIENTE de g 2 : Y'g2 = (1,-2y)

Deducimos que g 1 y g 2 son cóncavas y diferenciables, además son linealmente independientes.

!Paso 5j

El máximo de f se obtiene cuando el gradiente de fes paralelo al gradiente de g 2 .

Tenemos: V'f = (-2x,1), V'g2 = (1,-2y).

• V'f es paralelo al vector V'g2 si existe algún número real r, tal que (-2x,1) = r(1,-2y)

<==> {-2x = r 1=-2ry ~ r=-...L

2y

se obtiene: -2x = - ¿ <==> 4xy = 1

• Ahora, resolver el sistema: { 4;:: ::::::::::::

(1)

(2)

• Al sustituir (2) en (1) se obtiene 4i = 1 ~ y= 3~, luego x = +. v4 2'V2

Ahora, resolvamos por el método de Kuhn-Tucker.

-34-

<


1 Paso 1 1 Estandarizar las restricciones:

1 Paso 21

Estandarizar:

Máx f(x,y)=y-x 2

s.a. y-x+2;?:0

X- y2 ;?:0

x;?:O

y;?:O

Aplicar las condiciones de Kuhn-Tucker [FORMA 1]

ar -=y-x+2 o.41

Prosiga usted ..... .

2(x,y,A1,A2 ) =y- x2 + A1 (y- x + 2) + A2 (x- y 2 )

{

y-x+2;?:0

~ A1 ;?: O

Al (y- X+ 2) = o

¡ X- y2 ;?:0

~ A2 ;?:0

A2(x- y2) =O

1.6. OTRA FORMA DE PRESENTAR LAS CONDICIONES DE KUHN-TUCKER

Sean: • Lafunciónobjetivof: mn~m. x=(x)i=l, ... ,n=(xl,···•xn)E!Rn

• Las restricciones gk : IR n ~ IR , k = 1, ... , m

-35-

MOISÉS LÁZARO C.

Supongamos que tanto la función objetivo f como las restricciones gk son diferenciabies. Vamos a considerar el siguiente problema de optimización:

Max f(x)

s.a. g1(x)::;; O

m Construimos la siguiente función Lagrangiana L(x,A-) = f(x)- ¿A-k gk(x)

k=l

Definición: Diremos que x verifica KT si existe un A tal que:

• KT 1: Vi= 1, .. . ,n: aL <O O aL O a - ' xi ~ ' xi -ax· = X¡ L

(Si xi > O => ~ =O . Solución positiva) L

• KT2:Vk=1, ... ,m:

(Si A-k > O => gk = O . Restricción saturada)

Tenemos los siguientes resultados:

T.l (Condiciones necesarias) Si x es solución óptima entonces x verifica KT.

T.2 (Condiciones necesarias y suficientes) Si fes una función cuasicóncava

( <===> { x E mn : f(x) ~k} es convexo V k) y V k= 1, .. . ,m las funciones gk son con-

vexas ( => { x E mn : gk (x)::;; O} es convexo), entonces x es un óptimo si y sólo si verifi-

caKT.

-36-


Ejemplo gráfico:

Dos variables x = (x1, x2 ) y una restricción g.

Supondremos que se dan las condiciones necesarias y suficientes para aplicar el T.2.

Supondremos también que fes una función estrictamente creciente, por lo tanto !. >O , !

i = 1, 2 . Denotamos por:

L(x,A.) = f(x)- A.g(x)

Haremos el análisis para el caso de soluciones positivas: x > O .

Como Vf(x) >O, V x, no pueden existir máximos incondicionados: Vf(x) =O. Esto impide

que A.= O, ya que si no, tendríamos L(x,A.) = f(x) y por KTl, VL = Vf =O en contradicción

con Vf >O. Entonces, como A.> O, por KT2 se tiene que g(x) =O (se agota la restricción).

Como x>O,porKTl,tenemos VL=A.Vf-A.Vg <==:::> Vf=A.Vg.

1 VL=O ~ 'Vf=J.'Vg ,J.>O 1

X¡

-37-

MOISÉS LÁZARO C.

PROBLEMAS PROPUESTOS

LAS CONDICIONES DE KUHN-TUCKER

01. Para cada una de las siguientes funciones encuentra, si existe, un abierto convexo donde sea convexa y otro abierto convexo donde sea cóncava:

i) f(x,y)= x!y

ii) g(x,y) = ln(x+ y)

02. Sea el problema: max/min f(x,y)

{i ~X y~x-2

siendo f una función lineal.

i) ¿Tiene solución el problema? En caso afirmativo, indica si los extremos se alcanzan en el interior o en la frontera.

ii) Si un punto x es solución del problema ¿tiene que verificar las condiciones de de Kuhn-Tucker?

iii) Si los puntos x1 , x2 verifican las condiciones de Kuhn-Tucker de mínimo, indica si en alguno o algunos de esos puntos se alcanza el mínimo del problema y por qué.

iv) Si en (0,0) se alcanza el máximo del problema, siendo los escalares que hacen que se cumpla la condición KTl A-1 = -1 y ~ = O , encuentra el punto o los puntos en

los que la función alcanza el mínimo.

03. Sean X ={(x,y)E JR 2 /x2 + i ~4, x+ y~2, y ~O} y f(x,y) =4-x2 +2xy- y 2

i) Utilizando las propiedades extremales de las funciones cóncavas y convexas, halla el punto o puntos donde se alcanza el máximo de f en X y su valor.

ii) Utilizando el gradiente de f en el tramo de frontera de X { (x, y) E X 1 y = O , - 2 ~ x ~ 2} , explica qué puntos podrían ser extremos de f en este tramo de frontera.

iii) Comprueba que el punto (-J2,J2) verifica las condiciones de Kuhn-Tucker. Sabiendo que este punto es el único del tramo del frontera de X

{(x,y) E X 1 x2 + y 2 = 4} que cumple las condiciones de Kuhn-Tucker y utilizando las propiedades extremales de las funciones cóncavas y convexas y los teoremas de Kuhn-Tucker, encuentra al menos un punto donde se alcanza el mínimo de f en X.

04. Sea la función l(x,y) = x2 +3y y el conjunto

X = { (x, y) E IR 2 /x2 + y 2 ~ 4 ; x + y ~ 2} .

Plantea el problema de programación no lineal para esta función objetivo y este conjunto de soluciones factibles.

-38-

IPro~ramación no Lineal y las Condiciones de Kuhn-Tucker

i) Encuentra todos los puntos que cumplen las condiciones de Kuhn-Tucker.

ii) Utilizando los teoremas de Kuhn-Tucker, encuentra el mínimo de f en X.

iii) Encuentra el máximo de f en X.

05. Sea el conjunto X = { (x, y) E m 2 1 x2 ~ y+ 2 ; y ~ 2- x2 }

f(x,y)=y+ax2.

y la función

i) Utilizando los teoremas de Kuhn-Tucker encuentra los valores de a para los que se puede asegurar que (0, -2) es un mínimo de f en X. Razona la respuesta.

ii) Utilizando los teoremas de Kuhn-Tucker encuentra los valores de a para los que se puede asegurar que (0,-2) no es un máximo de f en X. Razona la respuesta.

iii) Resuelve el problema de programación no lineal:

Max (x+2x2)

x 2 ~y+2

y ~2-x2

O&.Sean X={(x,y)Em 2 /y'?:..x2 ,y::;;x+2} y f(x,y)=x2 +y2 -2xy+4x-4y

i) Utilizando las propiedades extremales de las funciones cóncavas y convexas, halla min f(x), indicando los puntos en los que se alcanza. xeX

ii) Comprueba que el punto (t,±) cumple las condiciones de Kuhn-Tucker para el

problema de máximo de f en X.

iii) ¿Puede concluirse que el punto ( t, ±) es un óptimo de f en X?

07. Sea el siguiente problema de programación no lineal:

max(-x+4y)

i) Calcula todos los puntos en los que se cumplen las condiciones de Kuhn-Tucker.

ii) Utilizando los teoremas de Kuhn-Tucker, ¿qué podemos concluir acerca de los puntos obtenidos en i)?

iii) Si nos planteáramos encontrar el mínimo del problema, utilizando los teoremas de Kuhn-Tucker, ¿dónde se alcanzaría?, ¿porqué?

-39-

08. Sea max/min f(x,y)

x2 + Y2::;; 1

x2 +y --1::;; O

x+y~-1

MOISÉS LÁZARO C.

donde fes una función diferenciable y cóncava en IR 2 y X es el conjunto de soluciones factibles del problema:

a) Explica razonadamente si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones:

i) Si z E X y V' f(z) =O, entonces f alcanza en z un máximo respecto de X.

ii) Si z E X y V' f(z):;:. O, es seguro que z no es solución óptima de {respecto de X.

iii) El mínimo de f en X puede alcanzarse en un punto de la frontera que no sea vértice.

b)Sea f(x,y)=:2x+2y-(x+y)2 .

i) ¿cumplen los puntos (1,0) y (0,1) las condiciones de Kuhn-Tucker? ¿son soluciones óptimas? ¿son únicas?

ii) ¿cumple el punto (0,-1) las condiciones de Kuhn-Tucker? ¿Qué se puede concluir sobre este punto?

09. i) Sea el problema max/minf(x,y)

y 2 -x ::;;o

x:s:;3

siendo f cóncava en X, el conjunto de soluciones factibles y fE C1(JR 2). Los puntos x e y son los únicos puntos de X que verifican las condiciones de Kuhn-Tucker, x las de mínimo e y las de máximo. Encuentra todos los puntos en los que se alcanza el máximo y el mínimo y explica el por qué.

ii) Resuelve el siguiente problema aplicando los teoremas de Kuhn- Tucker:

max/minx2

10. Considere el problema:

donde: L>O.

y 2 -x ::;;O

x::;;3

max (x1 - 2)2 + (x2 - 2)2 (xl ,x2)

sujeto a x1 + x2 ::;; L

x1 ,x2 ~O

a) Plantee las condiciones de Kuhn-Tucker. b) Encuentre los puntos que las satisfacen. e) Verifique el eumplimiento de las condiciones de segundo orden que corresponda, y

determine el(los) máximo(s) global(es).

11. Resolver razonadamente el siguiente problema de programación no lineal con ayuda de las condiciones de Kuhn-Tucker y sabiendo que la solución óptima es activa para una sola restricción.

-40-


Min 3x+ y 2

s.a. x2 - 5x + 6- y ::;; O

x-2::;:0

-y::;;O

y-5::;:0

12. Encuentre los valores mínimo y máximo de la función f(x1,x2 )=3-x1 -x2 sujeta a las

restricciones O :::; x1, O ::;; x2 y 2x1 + x2 ::;; 2.

13. Encuentre los máximos y mínimos absolutos de la función: f(x,y) = x 2 + y 2 +y -1

En la región S definida por: S = { (x, y) E IR 2 / x 2 + y 2

::;; 1}

14. Utilice las condiciones de KKT para encontrar la solución óptima del siguiente problema:

Sujeto a: g(x1 , x2 ) = x1 + x2 -7 ::;; O

x1 20

x2 20

Indique en orden los valores de x1 , x2 y de z.

15. Utilice las condiciones de KKT para encontrar la solución óptima del siguiente problema:

sujeto a: g1(x1,x2)=-x1 +x2 -1=0

g2 (x1,x2 )=x1 +x2 -2::;:0

x1 20

x2 20

Indique en orden los valores de x1 , x2 y de z.

[Sugerencia: Codifique la restricción g1 = O mediante las dos restricciones

gl ::;O y g120(-gl ::;O)]

16. Dado el programa: Minimizar x2 - y 2

s.a: x2 -y::;;l

calcular sus puntos críticos y probar que no hay mínimos globales pero sí que hay mínimo global local.

17. Si la función de utilidad de un consumidor es U(x,y) = xy, siendo x e y las cantidades consumidas de los bienes A y B, cuyos precios unitarios son 2 y 3 unidades monetarias, respectivamente, maximizar la utilidad de dicho consumidor sabiendo que no puede

-41-

MOISÉS LÁZARO C.

destinar más de 90 unidades monetarias a la adquisición de dichos bienes. Analizar la variación de la utilidad máxima si el consumidor puede destinar una u. m. más a la adquisición de dichos bienes.

i) lCumplen (!,!) y (1,1) las condiciones de Kuhn-Tucker? Aplicando los teoremas

de Kuhn-Tucker, lqué podemos concluir sobre ambos puntos?

ii) Utilizando las propiedades extremales de las funcionales cóncavas y convexas, encuentra max f(x,y) y todos los puntos en los que se encuentra.

(x,y) E X

-42-

Capítulo 2

ECIUACIONES DIFERENCIALES (TIEMPO CONTINUO)

2.0. INTRODUCCIÓN A continuaeión vamos a estudiar la ecuaciones diferenciales de primer orden, las

cuales se presentan de diversas formas. Sólo por cuestiones didácticas las vamos a clasificar en dos grupos:

GRUPO 1

a 1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN CON COEFICIENTE VARIABLE Y

TÉRMINO VARIABLE CUYA FORMA GENERAL ES:

Y'+ u(t)y = v(t)

t t COEFICIENTE TÉRMINO

VARIABLE VARIABLE

Ejemplo 1. Y'-2ty = t2

Ejemplo 2.

Ejemplo 3. Y'+ t y = 2sen(t)

{

y= y(t) donde

Y'(t) = dy dt

{

u(t) = -2t donde

2 u(t) = t

{

u(t) = 3t2

donde u(t) = et

a 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN CON COEFICIENTE CONSTANTE Y

TÉRMINO CONSTANTE, CUYA FORMA GENERAL ES:

y'+ay = b

Ejemplo 1. y'+5y = 8 t t

CONSTANTE CONSTANTE

Ejemplo 2. y'-7y = o

-43-

{a=5

donde b=B

donde {a=-7

b=O

MOISÉS LÁZARO C.

GRUPO 2

LAS ECUACIONES DIIFERENCIALES NO LINEALES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO, CUYA FORMA GENERAL ES:

y'= F(t,y)

o M(t,y)dy + N(t,y)dt =O {

y=y(t)

donde Y'= dy dt

En este caso vamos a considerar:

b1 . Las ecuaciones diferenciales de variables separables.

b2 . Las ecuaciones diferenciales exactas.

b3 . Las ecuaeiones diferenciales homogéneas

b4 . Las eeuaciones de Bernoulli.

Cada uno de éstas ecuaciones diferenciales, tiene su propio procedimiento de resolverse que se irá explicando en las próximas líneas. Después de todo lo aprendido, el propio lector irá descubriendo, que con sus propios recursos, se las ingeniará, formas de resolver cualquier ecuación diferencial que se está discutiendo en este capítulo.

2.1. ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL DE PRIMER ORDEN

Supongamos que "y depende de t" (y= f(t)). Una ecuación diferencial de primer orden es de la forma:

1 ~ + u(t)y = w(t2J

1 hallar y(t) 1

Hay 2 casos:

CASO 1.

{

donde: t : variable tiempo (independiente) y= y(t)

u(t), w(t) son funciones de t.

Cuando u(t) y w(t) son funciones de t. ¿cómo resolver?

Del siguiente modo::

1 º Escribir la ecuaeión diferencial en la forma: dy + u(t)dt = w(t )dt

2º Multiplicar ambos miembros por: ef u(t)dt

dyef u(t)dt + u(t)ef u(t)dt dt = w(t)ef u(t)dt dt .. ____ ------------ .. ,---------------- _.,

d[yef u(t)dt] = w(t)ef u(t) dt

-44-

Ecuaciones Diferenciales

Integrar: yef u(t)dt = f w(t)ef u(t) dt +A

Despejar y : y(t) =e -J u(t)dt [ fw(t)ef u(t) dt +A]

CASO 2.

Cuando u(t) =a y w(t) = b son constantes, se reduce a la ecuación lineal:

: +ay=b ........................... (1)

¿cómo resolver?

La solución general de (1) es y(t) = Yc + Yp donde Yc es la solución complementaria y Yp es la solución particular.

a) La solución Yc se halla resolviendo la ecuación homogénea : +ay = O

Hacer: dy + ay· dt =O· dt

por l. : dy + a · dt = O · dt y y

Integrar: Ln(y) +a· t =k , hacer k= Ln(A)

Ln(y) +a· t = Ln(A)

Ln(~) = -at

Y -at -=e a

y(t) = Ae-at

b) Cuando b =F O , la solución particular se halla suponiendo que la solución es una función

constante y= k , al derivar obtenemos: : =O . Al reemplazar en (1) obtenemos:

O+ak=b~k=Q_. a

Entonces la solución particular es Yp = Q_ . a

Conclusión: Y(t) = Ae-at +.Q., es la solución general de (1). a

-45-

MOISÉS LÁZARO C.

Ejemplo 1. Resollver: dy + 2tv = t dt J

Solución:

{ u(t) = 2t

Aquí se tiene w(t) = t

E t l l ... . e)- -J2tdt[ r J2tdtd A] n onces a so ucwn es. y t - e le t + .......................... ·

• CÁLCULO AUXILIAR: f2tdt = 2 f t . dt = 2 t: +k= t 2 +k

• Al sustituir en (1): y(t) = e-Ct2

+k) [ J tet2+kdt +A]

= e-t2 e-k [ Jtet

2 · ekdt +A]

= e-t2 e-k [e k Jtet

2 dt +A J

Nota:

'-----, .. ----~·

= e-t2 e-k [ teket2 + Bek +A J 22 kk 2 k 2 =l.e-keke-t et + Be e- e-t + Ae- e-t

2 2 k 2

=t + Be-t + Ae- e-t

=l.+ (B + Ae-k)e-t2

2 ' . ------ ... -------e

(1)

2 Si usted considera que k= O, obtendrá como solución: y(t) = t + Ae-t que es

lo mismo a la solución anterior.

Ejemplo 2. Resolver: : + 4y = 12

Solución:

La solución general es y(t) =Y e+ Yp donde:

-46-


a) La solución complementaria y e se halla resolviendo la ecuación homogénea:

dy +4y =0 dt

Integrar: Ln(y) = -4t + Ln(A)

dy =-4y dt

dy =-4dt y

L(y)- Ln (A)= -4t tl._ __ Constante de integración

Ln{l)=-4t

_;~ = e-4t il.

b) La solución particular es Yp =! = 1f = 3.

Conclusión: La solución general es: y(t) = A e -4t + 3 .

PROBLEMAS RESUELTOS

Grupo 1. Resolver las ecuaciones diferenciales de primer orden; si se da una condición inicial, definir la constante arbitraria

l. :+5y=15 4. : +t2y=5t2

' y(0)=6

2. : +2ty =0 5. : +12y+2et =0 , y(O)=~

3. : +2ty=t; y(O)=t 6. : +y=t

Solución de 1:

En la ecuación diferencial : + 5y = 15 se tiene: a= 5, b = 15, entonces la solución general

es: y(t) = Ae-5t + lÍ

y(t) = Ae-5t + 3 •

Solución de 2:

En dy +2ty =0 dt

J 2tdt t2 Multiplicar por e =e

t2 t2 e dy + 2t . e . y · dt = o · dt '.------------ .. , .. -------------,

2 d[ e t y] = O · dt

t_ Diferencial del producto de las funciones e t2

por y.

-47-

MOISÉS LÁZARO C.

Ahora, integramos:

2 et . y =A , A = constante

2 y=Ae-t •

Solución de 3:

dy +2ty = t dt y(O) =!

dy + 2t . y . dt = t . dt

Multiplicar por: J 2tdt t2 e =e t2 t2 t2

.e . dy + 2t . e . ydt. =te . dt --------------..,--------------

d [ et2

• y] = tet2

• dt

Integrar:

2 2 et ·Y=iet +A

y(t) = t + Ae-t 2

Si y(O)=! ~ -ª-=.l+Ae0 2 2

-ª-=.l+A 2 2

A=l

2 Conclusión: y(t) = i + e -t

Solución de 4:

7t + t2. y= 5t2

, y( O)= 6

dy + t2 . y . dt == 5t2 . dt

Multiplicar por:

'- --------------, .. ------------- _.:

-48-


Integrar:

Como:

¡3 13

e3 ·y=5·e3 +A

y(O) =6 -~ 6 = 5+Ae0

A=l

¡3

Conclusión: y(t) = 5 +e -3

y lim y(t) = 5, pues e-oo =O en el límite. t-~+oo

Solución de 5:

: + 12y + 2et =O ; y(O) = t dy + 12y := -2et dt

dy + 12y · dt ,= -2et . dt

Multiplicar por: f12dt 12t e =e

e 12t · dy + 12e12t · y · dt = -2et · e 12t · dt .. -------------- .. ,---------------1

Integrar:

d[e12t. y] = -2e13t · dt

e12t . Y = -2 J e13t . dt +A

e12t . Y = -~e13t +A 13

Y(t) = -~et + Ae-12t 13

y(O) =t-+ -º-=-~+A 7 13

A= 92 91

Conclusión: y(t) = _¿_et + 92 e-12t 13 91

Solución de 6:

dy +y =t dt

dy + y . dt = t . dt

-49-

Multiplicar por: efl·dt = et

et · dy +y · et · dt = t · et · dt , __ -------..,---------"

d[et·y: =t·et·d;

Integrar: et ·y= ftet · dt +A

. '

Luego:

POR PARTES

u=t-.......... dv=et ·dt ~ t du=dt··-, --u =e

et . y = t · et - f et · dt +A

= t,~t -et +A

y =t -l+Ae-t

MOISÉS LÁZARO C.

2.1.1. APLICACIONES A LA ECONOMÍA

PROBLEMAS RESUELTOS

DINÁMICA DEL PRECIO DE MERCADO Supongamos que para un bien particular, las funciones de demanda y oferta son los siguientes:

Qd =a- bp (a,b son positivos )

Qs =-e+ dp (c,d son positivos)

Suponer que: : = r,(Qd -Q8 ), , r >O ------ ... ------

L demanda excedente

-Tasa de cambio del precio es proporcional a la demanda excedente.

1 PROBLEMA 011 Resolver la ecuación diferencial dada.

Veamos: CZ =r[a-bp-(-e+dp)]

CZ = r[(a +e) -(b + d)p]

CZ + r(b + d)p = r(a+e)

-50-

p

S

-e ij

- a+c P = b + d es el precio de equilibrio.

La solución es:

Si t = O , obtenemos:


P(t) = Ae-r(b+d)t r(a +e) + r(b+d)

P(t) = Ae-r(b+d)t + ;:~ .............................. (1)

P(O) = A + ;:~

A = P(O) - ;:~ ....................................... (2)

• Reemplazar (2) en (1): P(t) = [ P(O)-; :~ Je-r(b + d)t + ;: ~

P(t)

Hacer b+d {

!!:..:!:.5..=]5

r(b+d) =k rP(t), cuando P(O) > P

Entonces 1 P(t)=[P(O)-P]e-kt +P 1

lim P(t) = P , pues e-oo en el t-Hoo límite es cero.

P(t), cuando

Este resultado nos indica que las trayectorias P(t) convergen al punto de equilibrio P.

PRINCIPIO ECONÓMICO DE LA OFERTA Y LA DEMANDA

• Función de la demanda: Sea P(t) el precio unitario de un bien en cualquier tiempo t. Se llama demanda (D) al número de unidades del bien que desean los consumidores en cualquier tiempo "t".

Esta demanda depende del precio unitario P(t) y de la tasa de cambio P'(t) del precio

en cualquier tiempo t, donde P'(t) =:; esto es D = f(P(t),P'(t)).

Lla demanda es función de P(t) y P'(t).

• Función oferta: Se llama oferta (s) al número de unidades de un bien que los productos tiene disponible en cualquier tiempo t. La oferta, también, depende de P(t) y de P'(t), esto es, S= g(P(t),P'(t))

PRINCIPIO ECONÓMICO DE LA OFERTA Y DE LA DEMANDA

El precio P(t) de un bien en cualquier tiempo, está determinado por la condición de que la demanda en el tiempo "t" sea igual a la oferta en el tiempo "t", es decir.

D=S

{(P(t),J>'(t)) = g(P(t),P'(t))- ESUNAECUACIÓNDIFEREN

CIAL DE PRIMER ORDEN

-51-

MOISÉS LÁZARO C.

1 PROBLEMA 021

Supongamos que D=a1P(t)+a2P'(t)+a3 y S=b1P(t)+b2P'(t)+b3 . Hallar la función

P(t), si hay equilibrio en cualquier tiempo "t" .

Solución:

Si hay equilibrio en cualquier "t" entonces: D=S

Ordenar: P'(t)+(~11 -ht )P(t)=b3 -a3 , a2 *b2 a2-b2 a2-b2 '-----, .. ----"' '

K

En forma reducida P'(t) + KP(t) =.e. ...................................................... (1)

Al resolver la ecuación lineal dada en (1), obtenemos: P(t) = Ae-kt +1 ......... (2)

• Si la condición inicial es P(O) = P0 , en (2) obtenemos: P0 = Ae0 +1 P0 =A+1 ~ A=P0 -f

• Al sustituir en (2) obtenemos: P(t) = ( P0 - f) e -kt + f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3)

• Consecuencias:

1) Si P0 - f = O, obtenemos: 1 P(t) = f 1 , este resultado indica que los precios permane

cen constantes en todo tiempo "t" ('<:lt >O).

2) Si k > O y t -} +oo , obtenemos: lim P(t) = 1:. , pues lim e-kt =O t-++oo k t-++oo

Este resultado explica que f es el precio de equilibrio. Dicho de otro modo, el

lim P(t) = f se llama precio de equilibrio. t-++OO

3) Si k< O, se temdrá lim P(t) = +oo. En este caso el precio P(t) crece indefinidamente t-++oo

a medida que "t" crece, esto es, tenemos inflación continuada o inestabilidad de precio.

1 PROBLEMA 031

La oferta y la demanda de un bien están dadas en miles de unidades, respectivamente por:

D = 40 + 3P(t) + P'(t);

S= 160-5P(t)- 3P'(t)

El gráfico:

-52-

P(t)

~--~----------------•t o


En t = O el precio del bien es 20 unidades.

a) Encuentre el prt~cio en cualquier tiempo posterior y obtenga su gráfico.

b) Determine si hay estabilidad de precio y el precio de equilibrio si existe.

Solución:

a) En algún tiempo "t" hay equilibrio entonces la cantidad demandada es igual a la cantidad oferta, esto es, D =S .

40 + 3P(t) + P'(t) = 160-5P(t)- 3P'(t)

4P'(t) + 8P(t) = 120

P'(t) + ~~P(t) = 30

dp +2P=30 dt

dP + 2P · dt = 30 · dt

Multiplicar por: ef2dt = e2t

e2t . dp + 2P · e2t · dt = 30 · e2t · dt , __ ------------, ... -------------,

Integrar:

En t =0:

d[e2t · P] = 30 · e2t • dt

e2t . P = J3o. e2

t · dt +A

e2t . P = 15e2t + A

1 P(.t) = 15 + Ae-2t 1

20 = 15+A

5=A

Entonces el precio en cualquier tiempo posterior (t >O) está dada por:

b) lim P(t) = 15 t~+OO

Este resultado nos indica que hay estabilidad de precio y el precio de equilibrio es P = 15 unidades monetarias.

Cuando t =O, obte~nemos P(O) = 20.

-53-

MOISÉS LÁZARO C.

INVENTARIOS (EXCEDENTE DE LA OFERTA)

En una situación dinámica, esto es, cuando el precio y la cantidad depende de la variable tiempo t ; la oferta y la demanda de un bien no son iguales. Si la oferta es mayor que la demanda (S > D), entonces los productos tiene en su posesión una cierta cantidad (S- D >O) el cual :se llama su INVENTARIO del bien, esto es, stock =S-D.

Este stock (inventario) se espera vender al mercado. Por otro lado, si la demanda es mayor que la oferta, entonces los productos deben tomar del inventario la cantidad de bienes que ofrezcan a los consumidores.

Lo dicho, formalizaremos en términos de diferenciales:

1) De "t" a "t +M " la cantidad acumulada (stock) es: !J..q = q(t + !J..t)- q(t)

donde q(t +M)== q(t) + !J..q es la cantidad disponible en el tiempo "t + !J..t ".

2) Si "S" es el número de bienes que dispone un productor en cada unidad de tiempo, entonces en un incremento de tiempo M , se dispondrá: M· S bienes.

p

/ q(t) q(t +M) q

"---v------J !J.q

3) Si "D" es el número de bienes que demanda un consumidor en cada unidad de tiempo, entonces en un incremento de tiempo !J..t , se demandará: M· D bienes.

4) De "t" a " t +M " el inventario (stock) será:

!J..q =.M· S- M· D +otros términos que contienen (!J.t)2, (M)3

...••• etc.

Por ft : ~; =S- D + otros términos que contiene (!J..t), (M)2 ..................... etc.

Al aplicar límite cuando M ~ O , obtenemos:

lim ~i= lim[S-D+ términosenM,(M)2, ... etc]

M~O t:.t~O

~i =S-D+0+0+ ... +0

1 ~; =S- D 1·... .. . . . . . .. ... . .. ... ... .. .... .. . ... ... . . ... . . . . ... . .. .. . .... ... . . .. ... . .. (1)

-54-


Consecuencias:

a) Si q es constante, obtenemos e;: =O, esto es S- D = O

S=D

b) Si un productor desea proteger sus utilidades, entonces la tasa del incremento del precio será proporcional a la tasa descendente del inventario, es decir:

'"* = -a"*j....... .......................... (2) , a> O

Al reemplazar (1) en (2) obtenemos:

dp = -a (8 - D) dt : ·--·--..,-----~

: Inventario l es la ecuación diferencial para P

Donde: a es positivo y conocido.

Decrece el inventario S y D están expresados en función del precio P.

Ejemplo 01.·

Para proteger sus ganancias, un productor decide que la tasa a la cual incrementará los precios deberá ser numéricamente igual a tres veces la tasa a la cual decrece su inventario. Asumiendo qUE~ la oferta y la demanda están dadas en términos del precio "P" por S = 80 + 3P , D = 150-2P y que P = 20 en t = O , encuentre el precio en cualquier tiempo.

Solución:

1) La proporcionalidad, según el problema es: CZ = -3 e;:........................ (1)

"la tasa del incremento del precio es propor- __j cional a la tasa decreciente del inventario"

2) Pero dq =S-D dt

= 80 + 8P- (150- 2P) . .. . .. . .. . . . .. . . . .. .. . .. . .. . .. . . . . . .. .. . .. . .. . .. . . . . .. . . . (2)

=5P-70

3) Sustituir (2) en (1): dp =-3(5P-70) dt

dp =-15P+210 dt

4) La solución es:

dp +15P =210 dt

P(t) = Ae-15t + 210 15

P(t) = Ae-15t + 14

5) la condición inicial es: P(O) = 20

Ae-15(0) + 14 = 20

A+14 =20

A=6

-55-

p

20

MOISÉS LÁZARO C.

Luego, la solución es: P(t) = 6e-15t + 14 , t2~ O

lim P(t) = 14 t~+oo

2.2. LAS ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES DE PRIMER ORDEN V PRIMER GRADO.

En este rubro, trataremos tres tipos de ecuaciones diferenciales.

• Ecuaciones diferenciales de variables separadas. • Ecuaciones diferenciales exactas. • Ecuaciones diferenciales homogéneas. • Ecuaciones de Bernoulli.

2.2.1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES.

Las ecuaciones diferenciales de variables separables se presentan en forma:

M(y)dy + N(t)dt =O

Se resuelve integrando directamente: f M(y)dy + fN(t)dt =e

Ejemplo 1.

Resolver la ecuación 3tdy + ydt =O

Solución: A primera vista, esta ecuación diferencial no está separada adecuadamente que nos permita integrar directamente. Por lo tanto, lo primero que se debe hacer es "separar" adecuadamente.

Así: 3tdy + ydt =O

lidy + ldt =o y t

Integrar: s~ · dy + f-t · dt =e , hacer e = Ln(A)

3Ln(y) + Ln(y) = Ln(A)

Ln[ ~3 ] = Ln(A)

3 L=A t

i=At

31. 1 Y = -..¡A {a , hacer VA = B

~

=> y= bt3 t >o.

-56-


Ejemplo 2.

Designemos por X= X(t) al producto nacional, por K= K(t) al stock de capital, y por L = L(t) al número de obreros de un país en el instante "t". Supongamos que, para t 2 O ,

(1) .. .. .. .. .. .. .... .. .. . X= AK1-a La ..,_ es la función de producción, que depende de las variables K (capital) y L (trabajo).

o

(2) ..................... K =sX

.U o dK (3) ..................... L=L0 e , donde K=--¡¡¡-

A, s, L0 , A son constantes positivas con O< A< l.

Sustituir (1) en (2):: K= sAK 1-a La ................................................... (4)

Separar:

Integrar:

NOTA:

dk = sALoa K 1-a . eaA.t dt

Ka-1dk = sAL0 · eaA-t · dt .................................... (5)

Ka-1+1 Ara 1 aA.t e a-1+1 =Srl.Lio aA. e +

L_ Constante de Ka =sALo a eaA.t +e a aA.

integración.

1

K=[ !ALoa eaA.t +ae J'

Si en (5) se integra así: fK Ka-1dk = ft sAL0 a K 1-a . eaA.t . dt K 0 Jo

1

Obtenemos: K= [ K0 + f AL0 (eaA.t -1) J' .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. (6)

• Teniendo como referencia el resultado dado en (6), hallar

a) lim K t~+oo L

b) lim X t~+oo L

-57-

1

\

MOISÉS LÁZARO C.

Solución de a:

En (3) se ha dado L = L 0 e).t, entonces: K L

1

[ Kg +(-f)AL~(ea-<t -1) F Loe"t

1

lim K =[.1.A]-;:;-t~+oo L A

Solución de b: 1-a

Queda como ejercicio. R: lim X =A(aA)-a t~+oo L A

Ejemplo 3.

Referente a un estudio de funciones de producción CES (elasticidad de sustitución constante).

Los grandes economistas Arrow, Chenery, Minhas y Solow trataron la ecuación diferen-

. 1 dy- y(1-al) b t b O O O cm . -d - , a, constan es * , x > , y > . X X

Se pide resolver dicha ecuación diferencial.

Solución:

En dy _ y(1-al) dx- x

1 dy=l·dx y(l-al) x

¡ Separar en dos sumas:

b-1 J + .!!:1.__ dy = 1-ayb

l l.dx X

l La derivada del de- La derivada del de- La derivada del de-

Separar adecuadamente, de tal manera que al lado de dy vayan los factores

y(l- al) y al lado de dx vaya el

término "x".

nominador "y" res- nominador " 1 _ ayb nominador respec-pecto a "y" es l. to a x es l.

respecto a "y" es:

-abl-1 .

Entonces al integrar cada término es un LOGARITMO NATURAL:

Ln(y)-f;Ln(l-ai) = Ln(x)+C

L_ Constante de integración

-58-

\


bLn(y)-Ln(1-ai)=bLn(x)+ bC '"----v-'

Ln(A)

tL __ conviene expresar esta constante como lo

Ln[-lb] = Ln(Axb) 1-ay

garitmo de otra constante A > O , con el fin de obtener suma de logaritmos.

b -~ = Axb ..- Por antilogaritmo. 1--ay

i = Axb (1- ai) . Ahora intentemos despejar y:

yb = Axb - aAxb yb

yb[1 + aAxb] = Axb

i =Axb(1+aAxbr1 , hacer Axb =(A-1x-b)-1

=(A -1x-b)-1(1 + aAxb) -1

=[A -1x-b (1 + aAxb )] -1

~ yb =[A -1x-b + af1 , hacer A -1 = B

Elevar a la potencia -t:

2.2.2. ECUACIONES l)IFERENCIALES EXACTAS.

Definición: Una ecuación diferencial de la forma:

(1) [MCy,t)dt + N(y,t)dt =O 1 es EXACTA si, y sólo si cumple la propiedad:

Ejemplos:

¿cuál de la siguientes ecuaciones diferenciales son exactas?

1) t(2t2 + y2 ) + y(t2 + 2y2): =o

2) 2y·dt+(3y-2t)dy=O

3) (y2 -ty)dt + t 2. dy =o

Solución de 1)

La ecuación diferencial dada en l. Se debe escribir en forma (1):

(yt 2 + 2y3) dy +

'----v-------' M(y,t)

(2t 3 + ty2) dt =o

'----v-------' N(y,t)

-59-

\

MOISÉS LÁZARO C.

donde: aM = 2·yt at .

1_' - son iguales

aN =2ty ¿ry j

Afirmamos que la ECUACIÓN DIFERENCIAL es exacta.

Solución de 2)

Se tienen: M(y,t) = 3y- 2t

aM_= _2

N(y,t) = 2y

aN =2 at iL. __

- son diferentes ¿ry j

Afirmamos que la ecuación diferencial no es exacta.

Solución de 3)

Se tienen: M = t 2

aM = 2t aN = 2y- t at ¿ry

t_ son diferentes :_j

Afirmamos que la ecuación diferencial no es exacta.

ORIGEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL EXACTA

Una ecuación diferencial exacta proviene de su diferencial total de una función F(y,t).

El diferencial total de Fes: dF = : · dy + a; · dt

Cuando igualamos a cero el diferencial total, obtenemos:

: · dy + a; · dt =O , que se conoce como ecuación diferencial exacta, ya que su primer '-v-' '-v-' M N

miembro es exactamente la diferencial de la función F(y,t).

Si dF(y,t) =O, al integrar obtenemos F(y,t) = C

Resolver: M(y,t)dy + N(y,t)dt =O

Si: aM - aN , donde {M = a: &-a¡ N= aF

at

Hay tres métodos para resolver una ecuación diferencial exacta:

-60-

1 \


MÉTODO 1:

Se trata de hallar la función F(y,t), tal que F(y,t) =e.

PASO l: Integrar A{ respecto a "y"

F(y,t) = fM · dy + tjJ(t)

'-----..,----""· F(y,t) == G(y,t) + tjJ(t)

1 HALLAR tjJ(t) 1

PASO 2: Derivar respecto "t" :

PASO 3: Igualar ~~ con N :

PASO 4: Despejar -~~ e integrar respecto a "t":

~ tjJ(t)= f[N -~]dt ............ (2)

PASOS: Sustituir (2) en (1): F(y,t) = G(y,t) + tjJ(t)

MÉTOD02:

Integrar directamente la ecuación diferencial de la siguiente f<?rma:

JY M(y,t0)dy+ f N(y,t)dt =e Yo t to

Se obtiene: F(y,t) =K

MÉTOD03:

Por simple inspección esto es:

Si dF = O , entonces F = e .

Para ello, es necesario conocer alguna diferenciales:

d(u ·u)= u· dv +u· du

d (Y:..) = v · du - u · dv V i -

d(un) = nu n-l · du

d(Lnu) = du V

etc.

-61-

MOISÉS LÁZARO C.

Ejemplo 1.

Resolver: (yt2 + 2i )dy + (2t 3 + ty2 )dt =O

Solución:

Se tiene: M= yt2 +2i ~ 8:{ =2yt

J Son iguales

~ 8N =2ty ¿ry

Porque la ecuación diferencial es EXACTA, resolver por el MÉTODO l.

MÉTODO 1:

Se trata de hallar la función F(y,t) tal que F(y,t) =e.

PASO l:

PASO 2:

PASO 3:

PAS04:

PASOS:

MÉTOD02:

Integrar la función M respecto de "y".

9 2 4 = t'" L+ 2L+ -t.(t) 2 4 'f'

F(y,t) = tt2i +ti+ rp(t) .. .............................................. (1)

Derivar F respecto a "t".

Hallar: rp(t)

Igualar a¡- con N:

• dt/J. dt/J- 3 DespeJar -dt . -¡¡¡ - 2t

Integrar: rp(t) = f2t3 · dt

8F =.ly2. 2t +Ü+ dt/J at 2 dt

rp(t) = tt4 . . . .. . .. • .. .. . . . . . .. .. • . .. . .. . . . . . . . . .. .. .. .. .. . .. .. . . .. . (2)

Conclusión:

Integrando directamente: fy M(y,t0 )dy+ f N(y,t)dt =e Yo t to

fy (yt~ + 2y3 )dy + Jt C2t3 + ty2 )dt =e Yo t to

-62-


Simplificar: lt~ i +l. i _l. Yo t~ _l. YÓ +.lt4 +l. y2 t2 -ltó -lt5 i =e 2~ 2 2 t 2 t 2 2 2 j 2 '----'"'

es una suma de constantes, que es otra constante K.

Esto es:

MÉTODO 3: (Por simple inspección)

En la ecuación diferencial: (yt2 + 2y3 )dy + (2t3 + ty2 )dt =O

Asociar adecuadamente con el fin de encontrar diferenciales conocidas:

(yt2dy+ty2dt) + (2y3dy+2t3dt) = o ~[2yt2 ·dy+2tidt] + (2i ·dy+2t3dt) =o

~[d(y2t 2 )] + 2i . dy + 2t3dt = o

t diferencial del producto y 2t2

Integrar: ~ Jd(y2t2

) + 2 Ji . dy + 2 Jt3

. dt =e

ly2t2 + 2.t. + 2.t. =e 2 4 4

.ly2t2 +.lt4 +.lt4 =e 2 2 2

NOTA: Usted elija el método que le es más simple.

2.2.3. Ecuaciones Diferenciales Homogénea

• Función homogénea.

Definición: Una función f(x,y) es homogénea de "de grado n" en sus argumentos si

se cumple la identidad: f(tx,ty) = tnf(x,y), n E z+

Ejemplos:

Las siguientes funciones, son homogéneas:

a) f(x,y) = xy- x2 - y 2

-63-

\

MOISÉS LÁZARO C.

2 3 b) f(x,y) = ~

e) f(x,y) = ~x2 + y~l +y

d) Q(K,L) = AKa Ll-a (es la función de producción de Cobb- Douglas)

JUSTIFICACIÓN

a) f(tx,ty) = (tx)(ty)- (tx)2- (ty)2

= t2xy-t2x2 -t2i

= t2 (xy -- x2 - Y2) '--.,-------'

l(x,y)

=t2f(x,y) , donde n=2

e) t(tx,ty)=~(tx)2 +(ty)2 +(ty)

= t(~x2 + y 2 +y= tf(x,y) '----..---------'

f(x,y)

• ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA.

Definición: Una ecuación diferencial de la forma Z = f(x,y) se llama homogénea, si

f(x,y) es una función homogénea de grado cero en sus argumentos "x", "y".

Ejemplo: dy xy dx = x2 _ y:l

Aquí tenemos f(x,y) = 2

xy 2 , que al hacer f(tx,ty), obtenemos: X -y

f(tx t ) = (tx)(ty) ' y (tx)2- (ty)2

Definición: La ecuación diferencial M(x,y)dx + N(x,y)dy =O ............... (1)

Es homogénea, si las funciones M(x,y) y N(x,y) son homogéneas del mismo grado.

Ejemplos:

a) (x2 + y 2 )dx + 2xydt = O

b) (x-y)+ (2x + y)dy =O

-64-

\


¿Cómo resolver una ecuación diferencial homogénea?

• Si en la ecuación diferencial (1) se entiende que y = rp(x) y y'= : , hacer el cambio de

variable jy = ux! .. . (2) y hallar el diferencial jdy = udx + xduj . .. (3).

• Sustituyendo (2) y (3) en (1), se obtiene una ecuación diferenciable de variable separable, que se puede resolver fácilmente.

2.2.4. Ecuación De Bernoulli

Una ecuación diferencial que toma la forma específica no lineal

:+P(t)y=ynQ(t), nEIR con n:t=O, n:t=1

es conocida como ecuación de Bernoulli. ¿cómo se resuelve la ecuación de Bernoulli?

El método consiste en reducir la ecuación de Bernoulli a una ecuación diferencial lineal.

Dada la ecuación de Bernoulli: y'+ P(t)y = ynQ(t) 1--------------,

hacer lo siguiente:

PASO 1:

Dividir la ecuación de Bernoulli entre yn :

y-ny'+P(t)y·y-n =Q(t)

y-ny' + P(t)/-n = Q(t) .................................... (1)

PASO 2: l

Hacer la sustitución: z=yl-n ···································· (2)

Al derivar respecto a t obtenemos: z' = (1-n)y-n ·y'

PASO 3:

Sustituir (3) y (2) en (1):

Ejemplo.

y-n·y'=l~nz' ································· (3)

~~z'+P(t)z=Q(t)j----------__J Es una ecuación diferencial lineal en z

..-, , .. -.... : ,~ 3 .'-\ : 2~ , dy

Resolver: :?_.: - t :~_: = \,-?') t , Y = dt

Solución:

Se tienen:

n = 2 , P(t) = -3t , Q(t) = t

-65-

MOISÉS LÁZARO C.

• Dividir la ecuación de Bernoulli: y'- 3t y= y2 t entre y2

y-2y' -3ty-l =t .................................... (1)

Hacer la sustitución: z = y-1 ......................................................... (2)

z' = -y-2. y'

Derivar: y-2 ·y'=-z' (3)

Sustituir (3) y (2) en (1): -z' -3tz =t

Por -1 : 1 z' + 3tz = -t 1 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ( 4)

Es una ecuación diferencial lineal en z = z(t).

Resolver la ecuación diferencial dada en (4):

Multiplicar por f3t·dt l!t2 • e = e2 ambos miembros:

Integrar:

Despejar z:

l!t2 ll.t2 l!t z'e 2 +3tz·e 2 =-te2

'----v-------' l!t2 l!t2

d[z · e2 ] = -te 2

Como z = .l, obtenemos: y

2.3. DIAGRAMA DE FASE V ESTABILIDAD.

Sea la ecuación diferencial autónoma: x = f(x)..., (1)

Cuando esta E.D .. no se puede resolver explícitamente, podemos recurrir al análisis cualitativo que nos ayuda a estudiar el comportamiento del sistema. Para ello se utilizan los diagramas de fase.

La evolución del sistema (1), también, se llama sistema dinámico y depende de la condición x(O) = x0 •

-66-

1

\


• En el plano XX vamos a gratificar los puntos de equilibrio y la ecuación x = f(x),

cuando sea posible.

Ejemplo 1.

Dado x = -x + 2 , x = e; dibujar el diagrama de fase.

Solución:

PASO 1:

Hallar el punto de equilibrio: para ello, resolver x =O

-x+2 =O

x=2

El punto de equilibrio es P0 = (x,x) = (2,0)

PAS02:

Graficar la recta x = -x + 2 en el plano xx.

X

-. cuando x>O (x < 2)

PASO 3:

A lo largo de las sendas que pasan por el punto de equilibrio dibujar flechas, unas veces acercándose al punto de equilibrio y otras alejándose, según sea el caso:

CASO l. Para x >O, dibujar flechas que tengan dirección hacia la derecha (~),y.

CASO 11. Para x <O, dibujar flechas que tengan dirección hacia la izquierda (+---e).

En el ejemplo 1, se tiene los resultados siguientes:

CASO 1:

Para: x' >O, obtenemos:

-x+2>0

-X>-2

X<2

-67-

1

\

MOISÉS LÁZARO C.

Entonces, en el intervalo x < 2 se dibujan las flechas que apuntan a la derecha ( ~).

CASO II:

Para: x <O, se obtiene el intervalo x > 2 . En el intervalo se dibujan las flechas que apuntan a la izquierda ( ~--).

• Los resultados obtenidos en 1 y Il son los indicadores para dibujar flechas sobre la senda 2, acercándose al punto P0 •

Conclusión: El punto P0 representa un equilibrio asintóticamente estable.

A continuación, resolver la ecuación diferencial x = -x + 2

Veamos: x=-x+2

x + x = 2 , x = x(t) , x = :

' Se ordena:

La solución es:

x(t) = Ae-t + 2 ................................................... (1)

La evolución de la solución x(t) dependerá del valor inicial. x(O) = x0

A+2=x0

A= x0 -2

Entonces la función x(t), es: \ x(t) = (x0 - 2)e-t + 2\

• Al graficar la función x(t), tenemos los siguientes casos: f

CASO 1: Si lim x(t) = 2 y x0 > 2, la función x(t) es decreciente (x <O). t---++00

CASO 2: Si lim x(t) = 2 y x0 < 2, la función x(t) es creciente (x >O). f---++<x:>

X

t

• En la gráfica observamos que:

a) Cuando x <O (pendiente negativa). La curva es decreciente y converge al punto 2.

b) Cuando x >O (pEmdiente positiva). La curva es creciente y converge al punto 2.

-68-


Ejemplo 2.

Dado x = x3 - 2x2 - x + 2 , x = e;;¡ dibujar el diagrama de fase.

Solución:

PASO 1:

Hallar los puntos de equilibrio al resolver:

Se obtienen: x = 1 , x = 2 , x = -1 .

PASO 2:

x==o x3 - 2x2 - x + 2 =O

x2 (x- 2)- (x- 2) = O

(x-2)[x2 -1] =0

(x- 2)(x -1)(x + 1) =O

Esbozar la gráfica del polinomio: x = (x -1)(x- 2)(x + 1)

es la trayectoria de x(t) cuando x(O) =O.

Los puntos de equilibrio son A, B y C.

PASO 3:

Dibujar las flechas

a) Para x >O, dibujar las flechas ~ .

Al resolver x >O, obtenemos: (x- 2)(x -1)(x + 1) >O

]-1,1[ u ]2,+oo[ t t en estos intervalos

dibujar las flechas ~

b) Para x <O, obtenemos: ]-oo,-1 [ u ]1,2] t t en estos intervalos

dibujar las flechas ~

X

e) En el entorno del punto A, a lo largo del eje X, las flechas se alejan, entonces en la curva polinómica igual comportamiento ocurre:

-69-

MOISÉS lÁZARO C.

• En el entorno de B, a lo largo del eje X las flechas se acercan, lo mismo ocurrirá en la curva.

• En el entorno de e, las flechas se alejan.

CONCLUSIÓN: Los puntosA y e son inestables. El punto B es asintóticamente estable.

Realizar el diagrama de fase para cada una de las siguientes ecuaciones, identificar los puntos de equilibrio y decir si son estables o inestables:

a) x = -4x2 + Bx

b) x=x3 -15x2 +313x

e) x = exsenx

d) x = 2x Ln ( ~) , con x > O y k > O

Este sistema se conoce como modelo de crecimiento de Gompertz, en donde x representa una población.

Solución:

a) x=-4x2 +Bx

1) Puntos de equilibrio: -4x2 +Bx =O

<x=O -4x(x -2) =O

x=2

2) x = -4x2 + Bx es una parábola en el plano XX:

3. a) Al resolver x >O (~)

-4x(x -2) >O

x(x-2) <O XE]0,2[

b) Al resolver x <O (~) X E ]-oo,O[ U ]O,+oo[

4. a) A es punto inestable

b) Bes punto estable

-70-

x=-4[x2 -2x+l-1]

=-4(x-1)2 +4

X


l. Puntos de equilibrio:

x3 -15x2 + 313x = O

x(x2 -15x+ 3:6) =O

x(x -12)(x -3) =O

X = 0 , X = 3 , X = 12

2. La gráfica del polinomio x = x(x- 3)(x -12) , es: .X

3. a) Resolver: x > O ( ~)

x(x- 3)(x -1~0 >O

X E ]0,3( U ]l2,+oo(

b) Resolver: .X < O ( +---------- ) X E ]-oo,O[ U ]3,12[

4. a) A es un punto inestable

b) Bes un punto estable

e) e es un punto inestable

e) x =exsenx

Solución:

l. PUNTOS DE EQUILIBRIOS

Al resolver: exsenx =O 0 x-senx =0Lx:tr

~x=2tr

Las soluciones generales son:

2. Gráfico de flechas:

a) Resolver: exsenx >O ( ~)

senx>O (~)

b) Resolver: senx<O (~)

xk = k:r

xk = k:r + ( -1)k :r

xk = k:r+ (-1)k2:r

-71-

X

MOISÉS LÁZARO C.

3. a) Puntos estables: xk = k.1r + ( -l)k .1r

b) Puntos inestables: xk = k.1r

xk = k.1r + (-l)k2Jr

d) x=2xLn(~) , k>O,x>O

l. Puntos de equilibrio: x =O

2xLn(~) =O

Porque x > O , debe ser:

2. Gráfico de flechas:

a) x>O (~)

2xLn(~) >O , como x >O

Entonces Ln(~) >O

k> eo X

k-x O --> X

x-k O --< X

X E ] O, k [

b) x<O <<-----4) X E ]k,+oo[

x>O

Ln(~)=O k=l X

lx=ki,k>O

o

3. El punto x* =k, k> O es estable.

-72-

X

k


Ejemplo 3.

Dada la ecuación d13terminar mediante un diagrama de fase los equilibrios e identificar cuáles son estables o inestables.

x' = x3 -8x2 +17x-10

Solución:

PASO 1:

Hallar los puntos de equilibrio, al resolver: x=o

x 3 - Bx2 + 17 x -10 =O

Factorizar aplicando la división sintética:

1 1 -8 17 -10

1 -7 10

2 1 -7 10 o 2 -10

5 1 -5 o 5

1 o

• Los puntos de equilibrio son: {1, 2, 5}

PAS02:

Graficar, en el plano X X, los puntos de equilibrio y el polinomio: x = (x -1)(x- 2)(x- 5)

Para ello, tener como referencia la inecuación:

x>O (x-l)(x-2)(x-5)>0 ............................................................ (1)

Si como referencia, se elije x =O obtenemos en (1):

(-)(-)(-) > O +---- es falso '---y----'

(-) >o

Entonces, la gráfica de x = (x -1)(x- 2)(x- 5) es :

-73-

X

MOISÉS LÁZARO C.

PASO 3:

Para dibujar un diagrama de fase, resolver las inecuaciones:

a) x>O b) x<o

Veamos:

a) Al resolver x >O: (x -1)(x- 2)(x- 5) >O obtenemos los intervalos:

1 2 5 -004-----+-----+-----~----·+oo

]1,2[ u [5,+oo[

En estos dos intervalos se dibujan flechas que "apuntan" de izquierda a derecha: -------+

b) Al resolver: x <O, obtenemos: ]-oo,1[ u ]2,5[

En estos intervalos, dibujar flechas que "apuntan" de derecha a izquierda: ~

PAS04: Las direcciones de ambas flechas ayudan en dibujar la misma dirección en la curva.

PASO 5:

En A, el equilibrio es inestable, porque las flechas se alejan de A.

En B, el equilibrio, es estable.

En C, el equilibrio, es inestable.

Ejemplo 4.

Realizar el diagrama para la ecuación x' = x2 - x3 , identificando los puntos de equilibrio.

Si x(O) = t , hallar lim x(t) = 2; t~+oo

lim x(t) =O t~+oo

Solución:

PASO 1:

Resolver x =O :

x2 (1-x) =O

x=O v x=1

Los puntos de equilibrio son {0,1}

PAS02:

Graficar el polinomio x = x2 (1- x)

Porque x = O es rafz repetida dos veces, el polinomio x tangente al eje x en el plano xX

-74-


t~+oo

{

lim x(t) = 2

x(O) =l 2 lim x(t)=O

PASO 3: a) Resolver: x >0 , (~)

x2 (1-x)>O

1-x>O

x<1

b) Resolver: x <O , ( +---)

La solución es: x > 1

PAS04:

a) En A , el equilibrio es inestable.

b) En B, el equilibrio es estable.

Ejemplo 5.

Considere la ecuación: : = (1 +y )2

a) Dibuje el diagrama de fase para la ecuación.

t~-00

x=Yz X

b) ¿Qué les ocurre a las soluciones con unas condiciones iniciales: y(O) > -1 cuando t aumenta?

e) Si y(O) = -1, ¿cómo se comporta y(t) cuando t ~ +co?

d) Describa el comportamiento de las soluciones con unas condiciones iniciales y(O) < -1

cuando t aumenta?

Solución: a) i) Graficar la ecuación y = (1 + y )2

,

{

y : eje horizontal donde

y = eje vertical

-1 y

-75-

MOISÉS LÁZARO C.

ii) Resolver y>O (~)

(1+ y)2 >0

La solución es todo y E IR , excepto y = -1 .

iii) En la curva (parábola) las "flechas" siguen la misma dirección de las flechas dibujadas en el eje horizontal.

b) Cuando y(O) > -1 y t aumenta,.entonces lim y(t) = +oo t~+oo

e) Si y( O)= -1, entonces limy(t) = 1

d) El comportamiento de las soluciones cuando y(O) < -1 es 1 t~~oo y(t) = -11 Pues lim y(t) = lim y(-t) = -1

t~-oo t~+oo

• Al resolver: _!!L_=dt (y+ 1)2

• integrar: (y + 1)-2 dy = dt

(y+1)-1 =t+c -1

--1-=t+c y+1

y(t) = __ 1 __ 1 t+e

e) y(0)=-1 ~ ·-1=-1 -1 e

o =-.l e

O=.l c~+oo e '

+OO y

o 2

y=-1

-00

-76-


Ejemplo 6.

Dibuje el diagrama de fase para la ecuación diferencial: x = 3(2- x)(1- x)

Solución:

Ejemplo 7.

x=O ~ x=2, x=1

x>O ~ 3(2-x)(1-x)>0

3(x- 2)(x -1) >O

Examine la ecuación y = 3(2- y )(1- y)

)o )o )o 0>--~0 )o •

+ 1 2 +

X

a) lQué les ocurre a las soluciones con unas condiciones iniciales y( O)> 2 cuando t au

menta? b) Describe el comportamiento de las soluciones con unas condiciones iniciales y(O) < 2

cuando t aumenta?

Solución: a) lim y(t) = +oo b) lim y(t) = 1

t-~+oo t~-00

y

TEOREMA:

Dado el sistema dinámico x = f(x) y un punto de equilibrio x* tal que f'(x*) *O, se cum

ple f'(x*) <O ~ x* es asintóticamente estable.

-77-

MOISÉS LÁZARO C.

2.4. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES A LA BIOLOGÍA.

Ejemplo 8.

Una población de bacterias crece bajo condiciones ideales en un laboratorio, de modo que la rapidez de cambio de la población es directamente proporcional a la población presente. después de 3 horas hay 10 000 bacterias, después de 5, hay 40 000 bacterias. ¿cuántas bacterias había al prineipio?

Solución:

Sean: P : población

t :tiempo

a¡; : rapidez de cambio de la población (es la derivada de P respecto a t)

Según el problema:

ft = .kP , k > O constante. l

Hacer

dP = kdt p l

Integrar:

Ln(P) = kt + Lne

Ln(P) -Ln(e) = kt

Ln(~) = kt

lP(t)=~ ......... (*)

Las constantes e y k se hallan con las condiciOnes:

t 3 5

p 10000 40000

Ejemplo 9.

{

10000 = ee3k ..........•....... (1)

40 000 = ee5k .................. (2)

40000 ee5k Hacer: 10000 = eeak

4 = e2k--- Ln(4) = 2k

2Ln(2) =2k

Ln(2) =k ...... (3)

(3) en (1): 10000 = ee3Ln(Z)

10000 = eeLn(Z3

)

10 000 = e(8) e= 1250 ......... (4)

Sustituir (3) y (4) en(*): P(t) = 1250etLn(Z)

Para t =O, P(O) = 1250.

Al principio, habrá 1 250 bacterias.

El ritmo al que se propaga una epidemia en una comunidad es conjuntamente proporcio

nal al número de residentes que ha sido infectado y al número de residentes propensos a la

enfermédad que no ha sido infectado. La comunidad tiene 2 000 residentes propensos a la

enfermedad, 500 residentes tenían la enfermedad inicialmente y 800 habían sido infectado

hacia finales de la primera semana.

a) Expresar el número de residentes que ha sido infectado como una función del tiempo.

b) Hallar aproximadamente el número de residentes que ha sido infectado al cabo de 5 semanas.

-78-


Solución: a) Sean: x número de residentes que ha sido infectado

t tiempo en semanas.

CZ : ritmo de propagación de la epidemia

Según el problema: CZ = kx

dx = kdt X

Integrar: Ln(x) = kt + Ln(c) Ln(x)-Ln(c) = kt

Ln(~)=kt

1 x(t) = cekt 1· ..................................................... (1)

• Cuando t =O, x = 500 se tiene: 500 =e. Luego x(t) = 500ekt

• Cuando t = 1, x = 800, entonces 800 = 500ek eh =Ji

5

k=Ln(%) .............................. (2)

t Ln(.ll.) (2) en (1): x(t) == 500e 5

5Ln{.ll.) b) Si t = 5 obtenemos: x(5) = 500e 5

Ln(8)5 = 500e 5

2.5. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN LOS MODELOS ECONÓMICOS.

Ejemplo 10. (MODELO MACROECONÓMICO DE DOMAR)

Resolver el siguiente modelo:

S(t) = aY(t)

I(t) = fJ CZ

S(t) = I(t)

Y(O) = Y0

<= El ahorro es proporcional al ingreso.

<= La inversión es proporcional a la tasa de cambio del ingreso con

respecto al tiempo.

<= El ahorro es igual a la inversión.

<= Condición inicial.

a > O, fJ > O en donde S es el ahorro, I, es la inversión, Y es el ingreso.

Solución: Se pide hallar las funciones Y(t), S(t), I(t).

• Lo primero, que se hará es sustituir el ahorro y la inversión en la ecuación de identidad:

S(t) = l(t) a Y(t) = fJ ~l[· <= es una ecuación de variables separables.

-79-

MOISÉS LÁZARO C.

• Para resolver, separar las variables: ]idt = ;rt)

• Integrar: fp dt = f#~) +K, K: constante de integración

p t = Ln(y)- Ln(c), hacer K= Ln(c)

]it = Ln{f)

• Hallar la constante e aplicando la condición inicial Y(O) = Y0

Y (O)= ce0 = Y0

c=Yo

1 Kt 1 {Como ]¡ es positivo, se trata de • Así obtenemos: Y(t) =Y, efl , . 0 una funcwn exponencial cree~ ente.

• Porque S(t) = ay(t), tendremos: 1 S(t) = aY0e¡t 1

• Porque I(t) = S(t), obtenemos: 1 I(t) = aY0e¡t 1

Ejemplo 11. (MODELO DE DEUDA DE DOMAR)

Resolver el modelo:

cij¡ = aY(t) <== La tasa de incremento de la deuda nacional es una proporción fija

del ingreso nacional.

~r = fJ <= El ingreso nacional crece a una constante fJ a través del tiempo.

Y(O) = Y0 <= Condición inicial.

D(O) = D0 <= Condición inicial. a>0,/]>0

Solución:

Se pide hallar las funciones y(t) y D(t).

• Por ser muy sencillo, podemos resolver la segunda ecuación diferencial:

clJ{ = fJ, se puede escribir en términos de diferenciales: dy = fJdt

• Integrar fdy = fp dt +e, donde e es la constante de integración

y = fJ't +e . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

-80-


• La constante de integración e, se halla imponiendo la condición inicial

Yo =Yo

0+e=Y0

e= Y0 ....................................................................................... (2)

• Sustituir (2) en (1): 1 Y= {Jt +Yo 1 es una recta ................................. (3)

• Sustituir (3) en la primera ecuación diferencial ~~ = ay(t)

d;f¡ = a[{Jt +Yo]

dD =afJt+ay dt o t

Integrar

2 D(t) = afJt

2 + ay0 t +A , A: Constante de integración

Do = 0 + 0 + A ~La constante A se halla imponiendo ~la condición inicial D(O) = D0

D0 =A

• Entonces, la función deuda es: D(t) = a: t 2 +a Yo t + D 0 <= es una parábola.

Ejemplo 12.

Segundo modelo de deuda de Domar.

Resolver el siguiente modelo: ~~=a y(t) .......................................... (1)

~~ = fJ y(t) .......................................... (2)

y( O)= Yo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3)

D(O) = D0 ............................................. (4)

a>0,/]>0

Solución: • En primer lugar resolver la ecuación diferencial dada en (2): dY = fJ y(t) +--es una E.D. de

dt variables sepa-

• Integrar: s~ = fp · dt +e , e : es constante de integración

Ln(y) = fJt + Ln(k) , hacer e= Ln(k)

Ln(y)-Ln(k) = {Jt

Ln( f) = {Jt

Z = efJt k

dy _ d rabies. y(t) - fJ t

(5) .. ... . ...... y(t) = kefJt. Hallar k imponiendo la condición inicial y( O)= y0

Yo = y(O) = ke0

Yo= k ····································································· (6)

-81-

MOISÉS LÁZARO C.

(6) en (5): ly(t)==yoef3t 1 ............................................................ (7)

• Sustituir (7) en (1): e;¡¡ =a Yo ef3t

• Que es:

• Integrar: D =a ;o eflt +A ........ .... (8) , A: constante de integración, que se halla imponiendo la

• Si condición inicial D(O) = D0 .

Entonces: a;o eo + A = Do

a;o + A = Do

A = Do - a ;o ....................................... (9)

• Sustituir (9) en (8):

1 D(t) = D 0 +7(ef3t -1) 1

• Se cumple que lim D(t) =E... t-HOO y(t) f3

Ejemplo 13.

Modelo del ajuste de precio de Evans

Resolver el modelo: d(t) = a0 + a1P(t) ~Función de demanda

S (t) = Po + fJ1 P(t) ~ Función de oferta

1; = y(d- s) -----La tasa de cambio del precio en el tiempo es proporcional al exceso de demanda d - s : exceso de demanda si d - s > O

al < o ' /31 > o ' r > o

Solución:

• Sustituir la demanda y oferta en la 3a ecuación (E.D.)

1; = r[ao + a1P- Po- fJ1P] CÁLCULO AUXILIAR:

=r[(ao -fJo)+(al -fJl)P]

~ 1; = r(ao- /Jo)+ r(al- fJ1)P

-(al- fl1)Po

!f/f = -r(al- fJ1)Pe + r(al- fJ1)P

l!f/f=r(al-fJl)(P-Pe)l

Hallar el precio de equilibrio haciendo.

d=s

ao +al Pe =Po+ fJ1Pe

(al - fJ1 )Pe =Po - ao

~ • Resolver esta ecuación diferencial por VARIABLES SEPARABLES:

-82-

__.!!:E_= r(a1 - {31 )dt P-Pe


Integrar:

Ln(p- Pe)- Ln(c) = y(a1 - /31 )t t, _______ Constante de integración

( p- Pe) Ln -e-'- = y(a1 - /31 )t

P- Pe = er<a1-fJ1 )t e

• Si P(O) = P0

Lcondición inicial

P(O) =Pe + ce0

P0 =Pe +e

e= P0 -Pe

Entonces: P(t) =Pe+ (Po- pe )er<al-fll)t

donde lim P(t) =Pe. (esto prueba que t~+oo

P(t) es asintóticamente estable).

P0 +P0 -P~

Ejemplo 14.

como /31 >O

---+ -/31 <o Pero a 1 <0

Al sumar: a 1 - /31 < O

En este caso: lim e<a1- flJ. )t =O t~+oo

Para alentar a los clientes a hacer compras de 100 unidades, el departamento de ventas de su compañía aplica un descuento continuo, lo que hace del precio unitario una función P(x) del número x de unidades compradas. El descuento reduce el precio a razón de $0.01 por unidad comprada. El precio por unidad para una orden de 100 unidades es P(100) = S/.20.09.

a) Determinar P(x)

b) Determinar el precio unitario para un pedido de 10 unidades.

Solución:

a) : =0.01(100-x)

: =1-0.01x

2 Integrar: P(x) =X- 0.01 x2 +A

-83-

b)

MOISÉS LÁZARO C.

Pero: P(100) = 20.09 ~ 20.09 = 100-0.01 (lO~oo) +A

20.09 = 100-50+A

20.09 =50+A

A =-29.91

Entonces: P(x) = x- 0.005x2 - 29.91

P(lOO) = 100- 0.005(10 000)- 29.91

P(100) = 20.09

Ejemplo 15.

Un fabricante de juegos de video determina que su nuevo juego se vende en el mercado a

una tasa (razón) de 400e0·2

t jugos por semana en donde tes el número de semanas desde el lanzamiento del juego.

a) Expresar las ventas totales como una función de t.

b) ¿cuántos juegos de venderán durante las primeras cuatro semanas?

Solución:

a) Sea x(t) : número de ventas, donde t : tiempo en semanas

La tasa (o razón instantánea) de x respecto ates: dx = 400e0·2

t dt

Al integrar x respecto a t, se obtiene: x(t) = s: 400e2 .&d-6

x(t) = 400 e0.2.&1t 2 t=O

x(t)=200[e0·2t -e0 ]

x(t) = 200e0·2t- 200

b) Cuando t = 4, se obtiene x(4) = 200e0·2(4 ) -200

= 245.108

Ejemplo 16.

La razón a la cual una compañía obtiene ingresos netos de una de sus operaciones mineras

está dado por R'(t) = 20t -t2 millones de dólares al año, donde tes el tiempo en años medido a partir de cuando la mina empezó a operar.

a) Encontrar R(t), el total de ingresos obtenidos durante los primeros t años de operación.

b) ¿cuándo R(t) alcanza su valor máximo?

e) ¿cuál es el valor máximo de R(t)?

-84-


Solución:

a) Dado R'(t) = 20t- t2, se pide hallar R(t).

' al integrar desde t =O hasta t, obtenemos:

R(t) = f\20-&- -& 2 ]d-& Jo

= 10-& --[ 2 .63]-&=t

3 -6=0

R(t) = 10t2 _t._ 3

b) R(t) alcanza máximo cuando R'(t) =O R'(t) = dR ' dt

' 20t -t2 =0

t 2 -20t =o

t(t- 20) = 0 ~ t = 0 V t = 20

Hallar la segunda derivada de R(t): R" (t) = 20 - 2(t)

Al evaluar en t = 20: R"(20) = 20-40 = -20 <O

R(t) alcanza máxima cuando x = 20

e) El valor máximo de R(t) es R(20) = 10(20)2 - <20 l

3 3

Ejemplo 17.

4000 -3-

El valor de reventa de una máquina industrial decrece a una razón que cambia con el tiempo. Cuando la máquina tiene tañas, la razón a la cual está cambiando su valor es

t

-960e -5 dólares por año. Si la máquina se compró nueva por $ 5 200, ¿Cuál será su valor 1 O años más tarde?

Solución:

Sea x(t): el valor de reventa de una máquina industrial.

Se da como dato: t

dx = -960e -5 con x(O) = 5 200 dt '

Se pide hallar: a) x(t) y b) x(10)

• Al integrar, obtenemos:

t x(t)=4800e-5 +e

-85-

MOISÉS LÁZARO C.

• Imponer la condición inicial: x(O) = 5200 ' "-.... 4 800 e 0 + e = 5 200

c=400

t

• Así, obtenemos: x(t) = 4 800e -5 + 400

• Para t = 10: x(lO) = 4 800e-2 + 400

= 1 049 . 60 936

• El valor de la máquina industrial, después de 10 años será: $1 049.60936

CftECIMIENTO Y DECAIMIENTO EXPONENCIALES

a) Crecimiento e~¡¡:ponencial: Interés compuesto continuo.

Supongamos que una persona deposita a un banco una cantidad P dólares a una tasa de interés "compuesto" continuamente de r por ciento anual.

Queremos saber ¿cuánto será el acumulado S después de t años.

En cada diferencial de tiempo (dt) el diferencial del acumulado (ds) será:

ds = (rs) · dt ; esto es

ds =rs dt

al resolver ésta ecuación diferencial es: ds = rdt

Al integrar: Ln(s) = rt +A

El antilogaritmo: S(t) = ert+A

S

S(t) =eA ert ...................................................... (1)

En el periodo de tiempo t = O se depositó P dólares, esto es:

S(O) =P ~

eA e0 =P

eA= p ......................................................... (2)

Sustituir (2) en (1): 1 S(t) = Pert 1

Ejemplo 18.

Hallar la cantidad acumulada después de 4 años si se invierten $5000 a una tasa de 8% por año compuesto en forma continua.

Solución: S(4) = 5 OOOe 0·08<4)

= 6 885 . 6 388 822

-86-

\


Ejemplo 19.

a) Resolver el siguiente problema de valor inicial (1 + t3) x = t2 x , x(O) = 2

b) Use el método de factor integrantes para resolver: 2' -f y= 3

Solución:

a)

b)

(1+ t3 ) dx == t 2x dt

(1+t3 )dx==t2xdt

dx =_i!_dt X 1+ t3

Integrar:

Ln(x) = fLn(1 + t3 )+ Ln(k)

1 ~ = (1+t3)"3 k

1

x(t) = k(1 + t2 )3

x(0)=2 ~ 2=k

lx(t)=2~J

u= 1+t3

du =3t2 • dt

.Y-fy=3

dy -f ydt = 3dt

FACTOR INTEGRANTE

a(t) = _.2. t

Por i-: t ( Ldy _.J,_ydt) = 3r2dt

t2 t3

. d L~ . y J = 3r2

INTEGRAR:

.l.y=3C+c t2 -1

L=-.Q+c t2 t

1 y(t) = -3t + ct21

b(t) = 3

OTRA FORMA: y(t)=e-fa(t)dt[ Jb(t)efa(t)dtdt+c]

=t2

[ J3 t~ dt+c]

=t2[ -t+c J 1 y(t) = -3t + ct2

1

-87-

= e-2Lnt

Lnr2 =e

=t-2

=_l_ t2

-f-Zdt 2Lnt e t =e

=-1 t

MOISÉS LÁZARO C.

Ejemplo 20.

a) Resolver la ecuaeión diferencial: 2xy: = 4x2 + 3 y2

b) Resolver la ecuación diferencial: (6xy- y3 )dx + (4y+ 3x2 -3xy2 )dy =O

Solución:

a) 2xy: = 4x2 + 3y2 +----ES HOMOGÉNEA de orden 2

2xydy = (4x2 + 3y2 )dx ...................................................... (1)

Sustituir: y== ux ~u= 1'.. X

(2) en (1):

Integrar:

dy == udx + xdu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)

2x(ux)[udx + xdu] = [ 4x2 + 3(uc)2 ]dx

2x 2u2dx + 2x3udu = [ 4x2 + 3u2x2 ]dx

[2,:¡~2 -4x2 -~]dx+2x3udu=0

[ -u2x2 -4x2 ]dx + 2x3udu =O

-x2[u2 +4]dx+2x3udu =0

-Ln(x) + Ln(u2 +4)=Ln(k)

Ln( u2

x+ 4

) = Ln(k)

2 L+4=kx x2

y2 +4x2 =kx3

b) (6xy- y3 )dx + (4y+3x2 -3xi)dy =O ~

M N

a:; = 6x- 3 y2 = ~ , es exacta.

MÉTODO 1: 6xy dx- y 3 dx + 4ydy + 3x2dy- 3xy2dy =O ~ ""-=="" "'="""

d(3x2y)-d [ix] +4ydy =O

Integrar:

-88-

MÉTODO 2:

Porque:

Tal que:

Ejemplo 21.


(6xy- y 3 )dx + (4y + 3x2 - 3xy2 )dy =O '-------v------'

M N

ag: =O: , Suponemos que 3F(x,y) =e

C:: =M y : =4y+3x2 -3xi

¡ oF =6xy-i Ox¡ Integrar respecto a "x"

F(x,y) =6 x; y- y3x+~(y)

F(x,y) = 3x2y- y 3x +~(y) .......................................... (1)

¡ Derivar respecto a "y"

oF lsx2 -3y2x+~'(y) '---~

4y+~ -~=~-~+~'(y) ~'(y)= 4y

l Integrar respecto a "y"

~(y)= 2y2 ................................................ (2)

Demuestra que y(t) = -1 es la única solución del problema de valores iniciales.

Solución: y= t(1+ y)

dy = t(l+y) dt

...!!:L =t. dt y+l

INTEGRAR:

~=t:+~

y(0)=-1 ~ -1=A-1

O ==A

y(t) = -1

y=t(1+y) 'y(0)=-1

-89-

MOISÉS LÁZARO C.

Ejemplo 22. En un modelo macroeconómico C(t), l(t) y Y(t) denota respectivamente el consumo, inversión e ingreso nacional en un país al tiempo t. Así mismo esto, para todo t:

i) C(t)+l(t)=Y(t)

ii) l(t) = kC(t)

iii) C(t) = aY(t) + b

donde a, b y k son constantes positivas, en a < 1 .

a) Hallar la ecuación diferencial para Y(t): Y(t) = 1;aa Y(t)- :a

b) Resolver la ecuaeión cuando Y(O) = Y0 , y entonces encontrar el correspondiente I(t).

e) e 1 1 1" [ Y(t) J y; b a cu ar t~~oo 7.Tt) para 0 1= 1 _a.

Solución:

iii) En (i): aY(t)-t-b+l(t)=Y(t)

(a-1)Y(t)+b+l(t)=0 ............................................. (*)

. . En (iii) derivar: C(t) = aY(t)

'~ (iv)

(iv) en (ii):

(v) en(*):

Resolver:

1º)

Suponer:

l(t) = kC(t)

l(t) = k{aY(t)}

I(t) = akY(t) ...................................................... (~)

(a --1)Y(t) + b + akY(t) =O

Y(t)- (l:ka) y(t) +:a= O

Y(t) = (1 -a)Y(t)--º-ak ka

Y(t)= 1;aaY(t)- :a

· 1-a b Y(t) --Y(t) = --

1-a r=ka

ka ka

1-a -t Yc =Ae ka

Yp=k

Yp=O

0-1-a_k=--º-ka ka

(1-a)k =b

k=-b-1-a

-90-

\

a)

b)


1-a -t b y(t) = Ae: ha +

l-a

Si

Y.o =A+-b-1-a

A=Yo ___ b_ l-a

b -t b Y(t)= Y.0 -- e ka +-[ J 1-a

l-a l-a

Pero: I(t) = kC(t)

Pero I(t) = akY(t)

~·( )(1 a) J 1-at ~Yo-6 ---i;;:- e ka

I(t)=ak[ Yo(l~aa)-b ]/;:t = [Y0 (1-a)-b]e~t a<1

a-1<0

1-a - (1-a) >O [

Yo(l-a)-b J e --¡¡;;-1 +-b-

e) l . [Y(t)] l' 1-a 1-a 1m -1() = 1m 1 t~+oo t t~+oo __::_!!:_¡

[y0 (l-a)-b]e ka

= lim { - 1- +O } = - 1-t --Hoo 1-- a l--a

Ejemplo 23.

La elasticidad de la demanda de un bien es: s (p) = - 1- -1 p+l

Si q = 8 cuando p =l. Hallar la función de la demanda, qtp)

Solución: s(p)=-1--1

p+l

s(p) =-_E_

Ln(q) = -Ln(p + 1) + Ln(A)

Ln(q) +Ln(p+ 1) = Ln(A) p+l

j dq- j --¡¡· dp -- p+l

1 dq - 1 7j' dp-- p+l

dq =--1-dp q p+l

INTEGRAR:

-91-

Ln[q(p + 1)] = Ln(A)

q(p+l) =A

q - A - p+l

~ ~

\

MOISÉS LÁZARO C.

2.6. ECUACIONES l)IFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTES Y TÉRMINO CONSTANTE

FORMA DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL DE SEGUNDO ORDEN

Forma y"+ a1 y'+ a2 y = b donde: y = y(t) 1 dy y =a¡

La solución general es y(t) = Yc + Yp donde: Y e :es la solución complementaria

y P : es la solución particular

Hallar la solución complementaria y e .

1) Hallara la raíces del polinomio característico P(r) = r 2 + a1r + a 2

2) La forma que tendrá Y e, dependerá de la raíces de P(r).

CASOS:

CASO 1: Si las raíces de P(r) son los números reales diferentes r1 y r2 , entonces las so

luciones básicas son: {e r1 t, e r2 t} y la solución complementaria es:

Y e = clerlt + c2er2t

CASO 2: Si las raíces de P(r) son iguales r = r1 = r2 , entonces la soluciones básicas son:

{ert ,tert}, y la solución complementaría es: Y e = c 1ert + c2tert.

CASO 3: Si las raíces de P(r) son los números complejos r =a ± ip , entonces las solucio

nes básicas son {eat cos(pt), eatsen(pt)} y la solución complementaria es:

Y e= eat[c1 cos(pt) + c2 sen(pt)].

Hallar la solución particular y P •

• Porque el segundo miembro de la ecuación diferencial es la constante be "b", entonces hacemos el supuesto que la solución particular es otra constante, que la llamaremos k, esto es y P = k .

• Corresponde, ahora, hallar k.

• Por ello, si Yp =k derivar: y~= O ; y~= O.

• Al sustituir en la ecuación diferencial: O+ a1 (O)+ a2k = b

• Luego, la solución particular es: Yp = _]¿_ a2

k=_]¿_ a :t=O a2 ' 2

Nota: Si a2 =O, la solución particular es: Yp =!!!.... , a1 :;t: O. al

. . 1 y(t) = Y e + Y P 1

-92-


Ejemplo 1.

Dada la ecuación diferencial:

6y" +7y' +2y =4; y(O) =2, y'(0)=4.

Se pide:

a) Hallar la función y(t) , que es solución de la ecuación diferencial.

b) ¿Es la solución estable o inestable?

Solución:

a) La solución es y(t) = Yc + Yp

Cálculo de y e

El polinomio característico es P(r) = 6r2 + 7 r + 2

Al resolver: ')

6r'"+7r+2=0 ~ (2r+1)(3r+2)=0

2r,X+1

3r.- +2

• Las soluciones básicas son { e -tt '

_2-t } e 3

• La solución complementaria es:

Cálculo de y P

Porque el segundo miembro es la constante "4" y a2 = 2 es diferente de cero, suponer

que la solución particular es: y P = k , donde y~ = O ; y; = O .

Al sustituir en la ecuación diferencial obtenemos: 6(0) + 7(0) + 2k = 4 k=2

Luego: Yp = 2.

_l.t -~t • La solución general es y(t) = e1 e 2 + e2e 3 + 2 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . (1)

' 1 _.!. 2 -~ donde y (t) = - 2 e1e 2 - 3 e2e 3 ............................................. (2)

• Las constantes e1 y e2 se hallan imponiendo las condiciones iniciales:

y(O) = 2 en (1):

y'(O) = 4 en (2):

Se obtienen: c1 = 16, e2 = 18 _l.t -~t

• Ahora la solución general es: y(t) = 16e 2 -18e 3 + 2

b) Porque lim y(t) = 2, afirmamos que la solución es estable. t-HOO

-93-

MOISÉS LÁZARO C.

Ejemplo 2.

Resolver la ecuación diferencial: y"+ 4y' + 4y = 6

Solución:

La solución general es: y(t) =Y e + Yp

Cálculo de y e

r 2 +4r+4 =O

(r + 2)2 = O ==> r = -2

• Porque r=-2 es raíz repetida, las soluciones básicas son {e-2t,te-2t} y la solución

complementaria es la combinación lineal de las soluciones básicas:

y(t) = el e -2t + e2t~~ -2t .

Cálculo de y P

Porque el segundo miembro de la ecuación diferencial es "6", suponer que la solución particular sea y P = k , al derivar: y~ = O , y; = O .

Al sustituir en la E.D. obtenemos: O+ 4(0) + 4k = 6 k=Q_=B_

4 2

• La solución general es y(t) = e1 e -2t + c2 te -2t +!

Ejemplo 3.

Resolver: y"(t) + 2y'(t) + 17 y(t) = 34, y( O)= 3, y'(O) = 11

• La solución general es: y(t) = Ye + Yp

Cálculo de y e

r 2 2r + 17 =O

r 2 + 2r + 1-1 + 17 = O

(r+1)2 +16=0

(r+1)2 =-16

r+1=±4i

r = -1±4i

Necesitamos a= -1 <= componente real del número complejo

f3 = 4 <= componente imaginario positivo del número complejo.

Las soluciones básicas son { e-t cos(4t), e-tsen(4t)}.

\ • La solución complementaria es la combinación lineal de las soluciones básicas:

Y e= e-t[e1 cos(4t) + e2 sen(4t)]

-94-

\


Cálculo de y P

• Como el segundo miembro de la E. D. es la constante "6" suponer que Yp =k, hallare

mos k.

Al derivar dos veees: y~ = O , y; = O

Sustituir en la E.D.: O+ 2(0) + 17 k= 34 => k= 2

Entonces y P = 2 .

• Ahora, la solución general es: y(t) =e -2t [ c1 cos ( 4t) + c2 sen ( 4t)] + 2 . . . . . . ( *)

• Las constantes c1 y c2 se hallan imponiendo las condiciones iniciales y( O)= 3 y

y'(O) = 11.

• Al derivar en ( *) obtenemos:

y'(t) = -e-t [c1 cos(4t) + c2 sen(4t)] + e-7 [ -4c1 sen(4t) + 4c2 cos(4t)]

• Ahora, imponer las condiciones iniciales:

3 =y( O)

11=y'(O) ~ 11 = -l[c1(1)+c2 (0)]+1[-4c1(0)+4c2 (1)]

{ 3 = C¡ +2

11 = -c1 +4c2

{

C¡ = 1

c2 = 3

• Ahora, la solución general es: y(t) =e -t [ cos( 4t) + 3sen ( 4t)] + 2

• Donde lim y(t) = 2, porque lim e-t =O y las funciones cos(4t) y sen(4t) son acota-t~+oo t~+oo

das, esto es lcos(4t)l :5: 1 y lsen(4t)l :5: l.

Entonces lcos(4t) + 3sen(4t)l :5: lcos(4t) 1 + 3lsen(4t)l :5: 1 + 3 = 4

2. 7. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR CON TÉRMINO VARIABLE.

Definición. Una ecuación diferencial lineal no homogénea de coeficientes constantes, tiene la forma:

y(n) (t) + a1y(n-l) (t) + ... + an_1y'(t) + any(t) = b(t) ......... (1)

donde: a1 ,a2 , ... ,an-l ,an son números reales y b(t) es una función que puede tener las

formas: b(t)=c, (cconstante), b(t)=t+l, b(t)=2t2 +5, b(t)=3e-2t, b(t)=5etsent,

b(t) = t + te -2t , etc.

Las solución general de E.D. (1) es: y(t) = y e +y P

• La solución complementaria y e , se halla conociendo las raíces del polinomio carastéristico P(r).

-95-

MOISÉS LÁZARO C.

• La solución particular y P , la hallaremos por el método de los coeficientes indetermina

dos y la forma que tendrá la solución participar y P tendrá un forma similar al segundo

miembro b(t).

• La siguiente tabla orientará al lector ¿qué forma debe tener la solución particular?.

b(t) = Amtm + ... + A 1t + Ao

L polinomio de grado m

b(t) = Pm (t)eat

a e IR

l. El número cero, no es Yp =Bmtm +Bm_1 tm-l + ... +B1 t+B0 raíz de P(r).

2. El número cero es raíz Yp = t 8 [Bmtm + ... + B1 t +B0 ]

de P(r) de multiplici-dadS.

Sea r=a±i(J Yp =ea1 [Bmtm +Bm_1tm-l +B1t+B0 ]

l. Si a no es raíz de P(r).

2. Si a es raíz de P(r) de s at m Pm(t): Polinomio de grado m Yp =te [Bmt + ... +Btt+Bo] multiplicidad S.

b(t) = Pn (t)cos(Jt +

+ Qm (t)sen (Jt

b(t) = eat [Pn (t)cos(Jt +

Qm(t)sen(Jt]

Ejemplo 1.

Resolver: x"' + x' = t

Solución:

x(t) = xc + xP

Hallar xc

r 3 +r =0

Sea r =a ±i fJ

l. Los números ±i(J no son raíces de P(r).

- -Yp = Pk(t)cos(Jt + Qk (t)sen(Jt

k=máx{n,m}

2. Los números ±i(J son Yp = ts(pk cosfJt+Qk(t)sen(Jt] raíces de P(r) de mul-tiplicidad S. k=máx{n,m}

l. Los números complejos Yp =eat[Pk(t)cos(Jt+Qk(t)sen(Jt] a± i(J. No son raíces deP(r). k= máx{n,m}

2. Los números complejos Yp =tseat[Pkcos(Jt+Qk(t)sen(Jt] a± ifJ . Son raíces de P(r) de multiplicidad S. k=máx{n,m}

/r=O r(r2 + 1) = O <.. ... _

""r=O±i

Hallar xP

\ Porqúe el segundo miembro es: t y una raíz es cero entonces la solución particular tiene la forma: x P = t(At + B)

=At2 +Bt

-96-


Derivar: x~ = 2At + B

x" = 2A p

x"' =O p

Reemplazar: en la E.D. O+ O+ 2At + B = t

{

2A=l ~ A=.l ~ 2

B=O

Conclusión:

Ejemplo 2.

Resolver: x"" + 5x"' + lOx" + lOx' + 4x = t La solución es: x(t) = xc + xP

Hallar xc

Hallar las raíces: -1 1

-2 1

1

Resolver: r 2 + 2r + 2 =O

r 2 + 2r + 1 = -2 + 1

(r + 1)2 = -1

{a=-1

r = -1 ± i fJ =1

Hallar xP

5 10

-1 -4 4 6

-2 -4 2 2

10 4

-6 -4 4 o

-4 o

Porque el segundo miembro de la E.D. es t, entonces xP = At + B

Derivar: xp' =A · x" =0 , p

x"' = O · x""= O p , p

Sustituir en la E.D. O+ O+ O+ lOA+ 4(At + B) = t

4At + (4B +lOA)= t

Conclusión:

-97-

MOISÉS LÁZARO C.

Ejemplo 3.

Resolver: 2x'" + 7 x" + 7 x' + 2x = 10

La solución es: x(t) = xc + xP

Hallar xP

2r3 +7r2 +7r +2 =O

2(r3 + 1) + 7 r(r + 1) = O

2(r + l)(r2 - r + 1) + 7r(r + 1) =O

(r + 1) [2(r2 - r + 1) + 7 r] = O

r + 1 = O v 2r2 + 5r + 2 = O

2r><1 r 2

r + 1 = O v 2r + 1 = O v r + 2 = O

r = --1 v r = _.1 v r = -2 2

Porque el segundo miembro es: 10, suponer que xP =A.

Derivar x' = O · x" = O · x"' = O p ' p ' p

Sustituir en la E.D. 0+0 +0+2A = 10 · A= 5 '

Conclusión: x(t) = c1 e -t + c2e -2 t + c3e -tt + 5

Ejemplo 4.

Resolver: x"" + 3x"' + x"- 3x'- 2x = 3e -2t

La solución es: x(t) = Xc + xp

Hallar Xc

(r -1)(r + 1)2 (r + 2) =O t

1 1

-1 1

-2 1

-1 1

1

r = -1 es raíz de multiplicidad 2

3 1 4

-1 3

-2 1

-1 o

1 4 5

-3 2

-2 o

-3 5 2

-2 o

-98-·

-2 2 o


La solución complementaria es: xc = Aet +Be -t + cte -t +De -2t

Hallar xP

Porque el segundo miembro es 3e-2t y una raíz es r = -2, entonces xP = Ate-2t.

• Derivar: Xp = A e - 2t - 2Ate -2t

x" = --2Ae-2t -2Ae-2t +4Ate-2t

= --4Ae-2t +4Ate-2t

x"' = 8Ae -2t + 4Ae -2t -BAte -2t p

= 12Ae -2t -BAte -2t

x"' = --24Ae-2t- BAe-2t + 16Ate-2 t p

= --32Ae -2t + 16Ate -2t

• Al sustituir en la E.D. y al Simplificar obtenemos:

-3Ae -2t = 3e -2t

---;. -3A = 3 ---;. A = -1

Luego: xP = -te--2t

Conclusión:

Ejemplo 5.

Determinar la solución de la ecuación diferencial: x"" + 2x"'- 2x'- x = t + 1

Solución:

La solución general es y(t) =Y e+ Yp

• Cálculo de y e

r 4 + 2r3 - 2r -1 = O

1 1 2

1

-1 1 3

-1

-1 1 2

-1

-1 1 1

-1

1 o

r-1 (r-1)(r+1)3 =0< -

r=-1

o -2

3 3

3 1

-2 -1

1 o -1

o

L_ multiplicidad 3

-1

1

o

-99-

\

MOISÉS LÁZARO C.

L 1 . 1 . ( ) t -t -t 2 -t a so uc1ón comp ementana es: X e t = c1 e + c2e + c3te + c4t e

• Solución particular x P

Porque el segundo miembro es: t + 1, Se supone que la solución particular tiene la forma: xP =At+B

donde: x' =A · x" = O ; x"' = O . '

• Sustituir en la ecuación diferencial dada:

0+0-2A-(At+B) = t+ 1

-At +(-2A -B) = t + 1

{ -A=1 ~ A=-1

-2A-B=1 ~ -2(-1)-B=1

2-B=1

1=B

• Entonces: Yp (t) = -t + 1

• Conclusión: X(t) = Xc +Xp

x(t) = c1et + c2e-tc3te-tc4t 2e-t -t + 1

Ejemplo 6. Determinar la solución de la ecuación diferencial:

x<4 ) + 4x(3) + 14x<2) + 20x(l) + 25x =50

La solución es: x(t) = xc + x P

Hallar Xc

Factorizar por aspa doble especial:

r2x2rx5

r 2 2r 5

(r2 + 2r + 5)2 = O

r2 +2r+5 =0

r 2 + 2r + 1 = -5 + 1

(r+ 1)2 = -4

r = -1±2i

La solución complementaria es: x(t) = e-t (c1 cos2t + c2 sen2t) + te-t (c3 cos2t + c4 sen2t)

Hallar xP

Porque el segundo miembro es la constante 50, suponer que:

-k , -o " -o (4) -o ,, o xP - , xP - , Xp - , x - , xP =

Sustituir en la diferencial: 0+0+0+0+25xP =50

xP =2

-100-

k: constante


Conclusión: x(t) = e-t (c1 cos2t + c2 sen2t) + te-t (c3 cos2t + c4 sen2t) + 2

Ejemplo 7.

Hallar la solución general de la siguiente E.D. lineal no homogénea:

y+ y= sen(t) , donde y= y(t)

Solución:

La solución general es y(t) =Y e+ Yp

Hallar Yc

r 2 + 1 =O ~ r = ±i{ a= 1

fJ=1

Entonces: Y e= e0t[Acos(t)+ Bsen(t)]

Yc =Acos(t)+Bsen(t)

Hallar Yp

• Porque el segundo miembro es" sen(t)" y fJ = 1 coincide con el coeficiente del argumento

de la función "sen (1· t) ".

Elegimos como solución particular a la función:

Yp =t[Mcost+Nsent] ............................................................... (1)

HallarM y N:

• Derivar en (1):

Yp =M cost+Nsent +t[-M sent+N cost]

y P = -M sen t +N cos t + 1[-M sen t +N cos t] + t [-M cost- N sen t]

Yp =-2Msent+2Ncost-tMcost-tNsent .................................... (2)

• Al sustituir (1) en (2) en la E.D.:

-2Msent+2N cost-tM cost -tNsent +tM cost +tNsent = sen(t)

B -2M sent + 2N cost = sen(t)

{

-2M=1 ~ M=-1. ~ 2

2N=0 ~ N=O

Entonces: Y = _l.tcost p 2

Por lo tanto: y(t) = Acost + Bsent -ftcost

-101-

MOISÉS lÁZARO C.

Ejemplo 8. Resolver la ecuación diferencial:

y-y-2y=e-x+X y( O)= O y( O)= 1

Solución:

La solución general es y(x) = Yc + Yp

• Hallar Yc

A-2 -..-l-2=0

(..-l-2)(..{+1)=0 ~ A-1 =-1 , ~ =2

• Hallar Yp ~ ~ Como el segundo miembro es: x + e-x

y "-1 " es raíz del polinomio característico que coincide con el coeficiente de x del expo

nente de la exponencial e-lt, en el segundo miembro: X

' ' '

+ e-x ' ' ' ' ' '

Suponer que: + cxt-x 1

Hallar: A, B, y C.

Derivar: Yp =A + ce-x - cxe-x

Yp =O - ce-x - ce-x + cxe-x

• Sustituir en la ecuación diferencial:

-ce-x -ce-x +cxe-x -A-ce-x +cxe-x -2Ax-2B-2cxe-x =e-x +x

-3ce -x - 2Ax- A - 2B = e-x + X

-3c=1 ~ c=-.1 3

• Igualar coeficientes: -2A =1 ~A =-1. 2

-A-2B=O ~ f-2B=O

• Entonces:

• La solución general es:

~ • Derivar: ' '

-102-


• Para hallar c1 y c2 imponer las condiciones iniciales:

y(O)=O ~

y(0)=1 ~

Conclusión:

Ejemplo 9.

Considerando el siguiente modelo de mercado con expectativa de precios.

qd = 16-4P(t)- 6P(t) + 4P(t) , q8 = -8 + BP(t) + 4P(t) + 6P(t)

Suponiendo que el ajuste dinámico dentro del mercado se realiza igualando en cada instante la oferta y la demanda.

a) Obtener la evolución temporal de los precios a partir de las condiciones iniciales

P(O) = 3' P(O) =-t. b) Estudiar la evolución a largo plazo del precio de este mercado.

Solución:

. .. . .. 16-4P-6P +4P = -B+BP +4P+6P ~ ~ ~ ~ ,.._,.._,.._ .. .

24 = 2P+10P+12P

12 =P+5P+6P ................................................ (*)

La solución de(*) es: 1 P(t) =Pe (t) + PP(t) 1

• Hallar Pe

Resolver: A-2 +5A.+6=0

(A,+ 3)(A, + 2) =o

\ A-1 = -3 , ~ = -2 1

Entonces Pe (t) = Ae -3t +Be - 2t

• Hallar PP

Porque el segundo miembro es la constante 12, suponer que:

PP(t) =k ~Constante

PP(t)=O

PP(t)=O

Sustituir en ( * ): 12 =O+ O+ 6PP (t)

2 = PP(t)

-103-

• Luego, 1 P(t) = Ae-3t Be-2t + 21

donde P(t) = -3Ae -3t - 2Be -2t

MOISÉS lÁZARO C.

• Imponer la { P(O) = 3 condición .

5 inicial P(O) = -2 ~

3=A+B+2

--º-=-3A-2B 2

~ { A+B=1 -6A-4B=-5

~ { 6B+6B =6 -6B-4B=-5

2B=1~

a) Por lo tanto: 1 P(t) =te-3t +te-2

t +21

b) lim P(t) = 2 t~+oo

Ejemplo 10.

Suponga una economía donde la evolución temporal de la tasa de desempleo (U(t)) depende de la tasa de inflación esperada (P(t)) y de la tasa de crecimiento del dinero (m) de la siguiente forma:

. 5 3 1 1 _.lt U(t) = --U(t)+-P(t)+---me 3 4 16 8 2

y las expectativas sobre la inflación adoptan la siguiente expresión:

P(t) = -U(t) _lP(t) + _1_ 4 10

Obtener la trayectoria P(t) que verifica ambas ecuaciones, suponiendo que la tasa de crecimiento del dinero m= 0.02.

Solución:

• De: P = -U - t P + 1~

Despejar U: U= -P-iP+ 1~

Derivar: . .. 1 • U=-P--P

4

. . . . ' . . 1 . 5 [ . 1 1 J 3 1 1 _.lt • Sustltmrenlapnmeraecuacwn· -P--P=-- -P--P+- +-P+---me 3 . 4 4 4 10 16 8 2

M.C.M (4,16,8,2) = 16

-16P -4P = -2o[-.P-lp+l]+3P+2-8me -it 4 10

-16P -4P = 20P + 5P- '&_ + 3P + '&_ -Bme -it •. . _.lt

-16P-24P-8P=-8me 3 , con m=0.02

-104-


1

.. . _.lt 1 Por -i: 2P+3P+P=0.02e 3 ............................................ . (1)

• La solución es: P(t) =Pe+ PP

• Hallar Pe Resolver: 2r2 + 3r + 1 = O

2r><1 r 1

~ (2r+1)(r+1)=0 ~ r1 =-i , r2 =-1

Entonces 1 Pe (t) = A e -}t +Be -t 1

• Hallar PP Suponer que 1 PP = M e -tt 1 Hallar M.

Derivar: • 1 t

PP = -i M e -3 . . . . . .. . . . . . . . . . .. . .. . .. . .. . .. . .. .. . (2)

•• 1 _.lt PP =9 Me 3 •..•.••..•.•..•.•••..•••.•••..••••••••• (3)

• Sustituir (2) y ( 3) en (1): 2[tMe -tt] +a[ -iMe -tt] +Me -t = 0.02e -tt

1

_.lt t 9 _.lt 1 9 • Lasolucióngenerales:P(t)=Ae 2 +Be- +160e 3 , M=100

Ejemplo 11.

Resolver la ecuación diferencial para cualquier valor de a y b reales.

Solución:

La solución es: y(t) = Ye + Yp

a) Hallar Ye

y- 2ay + a 2 y = b

Para ello resolver: í!. 2 - 2aí!. + a 2 =O

(í!.-a)2 =O í!. =a (raíz de multiplicidad 2)

Entonces 1 y e (t) = Aeat + Bteat 1

b) Hallar Yp

• Suponer que: Yp(t) =k, porque el segundo miembro es la constante "b".

Yp =O

Yp =0

-105-

MOISÉS LÁZARO C.

• Sustituir en la E.D. O- O+ a2 y P = b

y =J¿_ P a2

e) Conclusión: 1 y(t) = Aeat + Bteat + ~ 1 , a =t= O

Ejemplo 12.

Hallar la solución general de las siguientes ecuaciones lineales no homogéneas.

a) y+y=sen(x)

b) y+ y= 3x2- x

Solución:

a) y+ y =senx

La solución es:

• Hallar Yc

Entonces:

• Hallar Yp

y(x)=yc+Yp

..1.2 +1=0~..1.2 =-1

A.=±i = ~ {a=O ~ fJ=l

Y e (t) = e0 t [Acos(t) + Bsen(t)]

1 Yc(t)=Acos(t)+Bsen(t) 1

Porque el segundo miembro es: sen(x) y a= O , 1 f3 = 1 1

Suponer que 1 Yp =x(Msen(x)+Ncos(x)) 1

Determinar M y N

Derivar: Yp = x(M cos(x) -N sen(x))+ 1· (M sen(x) +N cos(x))

Yp = x[ -Msen(x)-N cos(x)]+l[M cosx-Nsen x]+ M cosx-Nsenx

Reemplazar en la E.D. -~ x-~ x+Mcosx-Nsenx+

Mcosx-Nxsenx+ ~ x+ ~x=senx

2M cos(x)- 2N sen(x) = sen(x)

Luego:

{

2M=O ~ M=O

-2N=1 ~ N=-1. 2

1 Yp(x)=-tx·cosx 1

Porlotanto: 1 y(t)=Acosx+Bsenx-txcosx 1

-106-


La solución es: y(x) = Yc + Yp

• Hallar Yc

Entonces:

• Hallar Yp

r2 +1=0~ r=O±i {~=~

Y e (t) = e0 x [Acosx + Bsenx]

1 Yc(t) = Acosx + Bsenx 1

Suponer 1 y P = cx2 + Dx + E 1 , porque el segundo miembro es: 3x2 - x

Yp =2cx+D

Yp =2c

Sustituir en la E.D.:

cx:c++D:::~x+~::::~:~{ ~=~1 2C+E =0 =>

Luego Yp = 3x2 -x-6.

Conclusión: 1 y(x) =Acosx+Bsenx+3x2 -x-61

2.8. CONVERGENCIA Y TEOREMA DE ROUTH

E=-6

• Determinar la convergencia o divergencia de una trayectoria temporal sin tener que resolver la ecuación diferencial.

• Teorema de Routh Las partes reales de todas las maíces de la ecuación polinómica de grado n.

n n-1 O a0 r + a1 r + ... + an _1 r + an =

Son negativas si sólo si los n primeros determinantes de la siguiente sucesión:

a¡ a3 as a.¡ a¡ a3 as

latl 1 a¡ a31 a o a2 a4 a6

a o a2 a4 o a o a2 al a3 as o a¡ a3 o a o a2 a4 Son todos positivos

Ejemplo 1.

Se dan las ecuaciones lineales de primer orden {y= a11 y + a12x ............... (1)

.X= a21Y ........................ (2)

Se pide: a) Reducir a una sola ecuación diferencial. b) Resolver la E.D. obtenida en a. e) Encontrar las condiciones sobre los parámetros, para que y(t) converja a su valor de

equilibrio y* = O .

-107-

MOISÉS LÁZARO C.

Solución:

a) Derivar la E.D. (1) .. . . (3) Y= a11Y+ a12x ·········· ··························

• Sustituir (2) en (3)

• Ordenar: y- a11y- a12 a21y = O

b) La solución tiene forma y(t) = c1er1t + c2er2t, si las raíces r1 y r2 , (~>O)

ó y(t) = c1ert + c2tert, si las raíces son r = r1 = r2, (~=O)

ó y(t)=eat[c1 cosfJt+c2 senfJt], Si r=a±ifJ, (~<0)

e) Aplicar el teorema de Routh

1- au 1 = -au ,

Si -a11 >O

a11 <0

y

y

au a12a21 > O

aua21 <O

afirmamos que todas las raíces son negativas y en consecuencia la trayectoria temporal converge y* = O .

-108-

Capítulo 3

ECUACIONES EN DIFERENCIAS (Tiempo Discreto)

3.1. ECUACIONES EN DIFERENCIAS

Cuando el tiempo se considera una variable discreta; es cuando t = 0,1,2,3, ... '----v-----'

a estos valores le

• Para cada período "t", la función y1 tiene un único valor. llamamos "períodos"

• Un período es simplemente un lapso que transcurre antes de que la variable "y" experimente un cambio.

t---+--+-~--~~--~--~~----0 2 t-1 t t+ 1

3.2. TIEMPO DISCRETO, DIFERENCIAS V ECUACIONES EN DIFERENCIAS.

Nuestro problema dinámico es encontrar una trayectoria de tiempo a partir de un patrón dado del cambio de una variable "y" en el tiempo.

Ahora el patrón de cambio debemos representarlo por el cociente en diferencias : ,

donde M =1.

Entonces se simplifica a: ¿\y +---Se llama la primera diferencia en y.

L1 : Significa diferencia

L_ Constituye la contraparte de :fx

• La primera diferencia de y es 1 LlYt = Yt+l- Yt

o 2 t t+ 1 ~--~~~---+--~--~--~------

'----"' ó.yt =Yt+l-Yt

Ejemplo 01.

Escribir: LlYt = 2

es lo mismo que: Yt+l- Yt = 2 ó Yy+l = Yt + 2.

Ejemplo 02.

Escribir:

es lo mismo que:

LlYt = -O.lyt

Yt+l- Yt = -O.lyt

y t : Representa el valor de y en tésimo período

y t + 1 : Es su valor en el período que sigue

inmediatamente al período t-ésimo.

Yt+l -0.9yt =0 ó Yt+l =0.9yt

-109-

MOISÉS LÁZARO C.

• Las ecuaciones en diferencias puede ser: lineales o no lineales, homogéneas o no homogéneas, de primer orden o segundo orden u orden superior.

3.3. ECUACIONES EN DIFERENCIAS DE PRIMER ORDEN:

Una ecuación en diferencias de primer orden, es de la forma:

1) 1 a0 (t)yt+l + a1 (t)yt = b(t) 1 , t = 0,1,2,3, ...

que también, se puede expresar como:

) a1 (t) b(t) (

2 Yt+l + %"ft) Yt = %"ft) , con a0 t) :;t: O.

• En (1), según la forma que adopte b(t), obtenemos los siguientes casos:

CASO 1 Si b(t) :;t: O , diremos que (2) es no homogénea.

CASO 2 Si b(t) =O, diremos que (2) es homogénea.

CASO 3 Si los coeficientes a0 = (t) y a1 (t) son constantes, diremos que (1) es una ecua-

ción de coeficientes constantes.

CASO 4 Si a0 (t) , a1 (t) y b(t) son constantes, entonces la ecuación (2) se convierte en

la forma: 1 Yy+l +ayt =e 1 (3) con a:;t:O.

3.4. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN EN DIFERENCIAS DE PRIMER ORDEN

Sea la ecuación en diferencia siguiente:

1 Yt+l +ayt =e 1 Q)

donde a y e son constantes.

• La solución general de (I) es la suma de una solución complementaria con una solución particular.

Yt = yf + yf · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·. · .... (1)

1 L Solución particular (representa al equilibrio L intertemporal de y)

SOLUCIÓN COMPLEMENTARIA (representa las desviaciones de la trayectoria de tiempo respecto a este equilibrio)

a) La solución complementarias yf se halla al resolver la ecuación homogénea:

Yt+l+ayt=O ............................................................ (2)

La solución (2) se resuelve del siguiente modo:

-110-

Ecuaciones en Diferencias

• Suponer que la solución de (2) es la función exponencial Yt = Art

¿ qué forma tiene r ?

• La función Yt en el período t + 1 es: y t+l = Art+l

• Reemplazar (3) y (4) en (2): Art+l + art =O

Art(r+a) =O

• Como Art =t= O , entonces r +a = O r=-a

• Entonces la forma que tendrá la función en (3), es:

1 y t = A (-al 1 <:;:::1 La base de la exponencial es el co-

soLUcióN eficiente de y t en la ecuación (I). COMPLEMENTARIA

(3)

(4)

b) La solución particular yf, debe tener la forma de una constante, porque el segundo miembro de (I) es la constante "e".

• Suponer que la solución particular yf es la constante k, esto es:

• En el período t + 1 , es Yt+l =k

• Sustituir (4) y (5) en CD: k+ak=e

k(1+a) =e

k=-c- , a=t=-1 l+a

• Entonces la solución particular es:

iyf=If;;i , a=t=-1 SOLUCIÓN

PARTICULAR

e) En conclusión, la solución general de (1), es:

1 Yt =A(-a/ +-¡{-;-¡,cuando a=t=-1 para t =0,1,2,3, ...

¿Qué pasará si a = -1 ?

-111-

(4)

(5)

MOISÉS LÁZARO C.

3.4.1. CASO ESPECIAL

• Si a = -1, entonces la ecuación CD toma la forma:

1 Yt+l- Yt =e 1 @ , e :t: O

¿cómo resolver @ ?

• La solución de @ tendrá dos componentes: una solución complementaria y~ y otra so

lución particular yf , esto es: e p

Yt = Yt + Yt

a) La solución complementaria y~ se halla al resolver la ecuación homogénea:

Yt+l-Yt =0 ...................................................... (6)

• Suponer que la solución y~ de (6) tenga la forma de la función exponencial.

Yt =Art ···························································· (7) donde r no se conoce.

• En el período t + 1, la solución (7) es y t+l = Art+l..... .. . . .. . .. .. .. .. . ... .. .. . .... (8)

• Sustituir (7) y (8) en (6): Art+1 -Art =0

Art(r-1) =0

• Como Art :t=O, entonces r-1=0

r=1

• Por lo tanto, la solución complementaria tendrá la forma:

y~= A(li , t = 0,1,2, ...

que se reduce: y~ =A ' t = 0,1,2, ...

b) Hallar yf.

• Porque el segundo miembro de (II) es la constante e :t: O , suponer que la solución particular es otra constante k, esto es:

Yt =k............................................................ (9)

• En el período t + 1 : Yt+l =k

• Sustituir (9) y (10) en@ :

k-k=e

O = e +-----Es una contradicción

(10)

• Esta contradicción se presentó porque hemos supuesto que la solución particular es

Yp -k t - .

-112-


Probemos ahora, que pasará si suponemos que la solución particular toma la forma:

Yt = tk ........................................................................... (11)

donde k es desconocido.

En el período t+1, es: Yt+l =(t+1)k

• Sustituir (11) y (12) en@: (t + 1)k- tk =e

k=e

• Entonces, la solución particular es: yf =te

(12)

• Conclusión: la solución general de la ecuación en diferencias Yt+l- Yt =e es

!Yt=A+te , t=0,1,2, ... ¡

Teorema1.------------------------------------------~

La solución de Yt+l + ay1 =e, es:

{

A(-a)t +-e-y

_ l+a t -

A+et

, si a::¡:. -1

, si a= -1

t = 0,1,2,3, ...

¿cómo hallar la constante A?

Se halla imponiendo la condición inicial: para t = O , se tiene y = Yo

• Al sustituir en: Yt =A( -a)1 + 1 ~a , obtenemos:

Yo= A(-a)o +-e- ~ A= Yo __ e_ l+a l+a

• Así obtenemos: Y =(-e-)<-ai +-e- a:f':-1 t l+a l+a '

t = 0,1,2,3, ...

-113-

MOISÉS LÁZARO C.

Ejemplo 01.

Resolver: 3yt+l = 2yt + 3

Solución: Expresar la ecuación en diferencias dadas en la forma CD :

3yt+l- 2yt = 3

• Multiplicar por f: Yt+l-"iYt =1, donde {a=-"i c=1

• Hacemos uso directo de (III): La solución es:

Yt =A[-( -i)T + l~Z 3

1 Yt =A(it +31 , t=0,1,2 ...

Ejemplo 02.

Resolver: !J.yt = 5 , con Yo = 2 .

Solución:

Por definición !J.yt = Yt+l- Yt, así tenemos la E. en D.

{a=-1

Yt+l- Yt = 5, donde c=5

En este caso la solución es:

1 Yt =A+ 5t 1 , t = 0,1,2,3, ...

La constante A se halla imponiendo la condición inicial Yo= 2, así:

2=A+5(0)

2=A

En consecuencia la solución es: 1 Yt = 2 + 5t 1

1 t = 0,1,2,3, ... ,

La gráfica de esta ecuación son puntos de una recta de pendiente 5 y ordenada en el origen 2.

-114-

18 17 16

14

12

10

8 7 6

4

2

Yt

-~-----------

---· ' '

2


Ejemplo 03.

Resolver: 8yt+1 + 4yt- 3 =O , Yo = t

Solución:

En la ecuación:

Multiplicar por t:

que puede expresarse:

• La solución es:

Yt+1 +iYt =l ' donde 2 {

a =l.

c=-ªs

Y = A(-l.)t + t t 2 1+1.

2

,_, Y_t_=_A_( ___ t_r_+_t__,l , t =O, 1, 2, 3, ...

• La constante A se halla imponiendo la condición inicial Yo = t

l.=A(-l.)o +l. 3 2 4

l.=A+.l 3 4

_l_=A 12

• CONCLUSIÓN: La solución es: 1 Yt =-{2( -tt +t 1 , t = 0,1,2,3, ...

t Yt

o 0.33

2 0.29

3 0.26

4 0.256

l_Su gráfica, son puntos de una ex

ponencial de base -t, oscilante.

Yt

• 1 2 •

• • 4 •

o 2 3 4 5 6

En el gráfico notamos que los puntos de la función se acercan cada vez más a la asíntota y = -} .

3.5. LA ESTABILIDAD DINÁMICA DEL EQUILIBRIO

Al resolver la ecuación Yt+1 + ayt =e, para a =~:-1 obtuvimos la función:

Yt=A(-a)t+a~a , t=0,1,2,3 ...

-115-

MOISÉS LÁZARO C.

• La estabilidad dinámica de equilibrio depende del término (-ai cuando t ~ +oo.

• Los resultados que puede obtenerse son:

a) En el límite: lim ( -a)t =O, si y sólo sí 1-al < 1 t-H-m 1-al =lal

Si este es el caso, entonces: lal < 1 <==> -l<a<l

-1 1

lim [A( -a) t + _e_J =_e_ t~+m l+a l+a

Cuando se obtiene este resultado, diremos que la trayectoria de tiempo de la solución

Yt =A( -ai + 1 ~a es convergente.

b) En el límite: lim ( -a)t = oo, si y sólo si 1- al > 1 t~+m lal > 1 <:::> a< -1 v a> 1

-1 1

Si este es el caso, entonces: lim [~c-al +-e-J = oo t~+oo a+a

~------~

Cuando se obtiene este resultado, diremos que la trayectoria de tiempo de la función

Yt =N-al+ l~a es divergente.

3.5.1. COMPORTAMIENTO DE LA FUNCIÓN SOLUCIÓN

Resumiendo lo anterior, obtenemos cuatro casos resaltantes, que son:

-oo a<-1 -1 -1 <a< O o O<a<l 1 a> 1 +oo

CASO 1 CAS02 CAS03 CAS04

y =A(-ai +-e-t !+a Y = A(-ai +-e-t l+a Yt =A(-a)t +!:a Yt =A(-ai +!:a

Porque: a< -1 y Porque: lal < -1 y Porque: 1 al > 1 y Porque lal > 1 y

lal > 1' -I<a<O, O<a<l, a>1, la trayectoria de tiempo es y1 es creciente y conver- y1 es oscilante y conver- Yt es oscilante y diver-monótona creciente y di- gente. gente. gente. vergente.

3.6. EQUILIBRIO Y ESTABILIDAD

Teorema 2.

Para la ecuación en diferencia Yt+l +ayt =e cuya solución es Yt =A(-ai + a~l, para

a::;:. -1, el número y*= l~a se llama valor de equilibrio o valor estacionario de Yt.

El valor y * es estable sólo cuando 1 a 1 < l.

Observación:

Cuando lal < 1, entonces lim Yt =-1 e , a=F--1. t~+oo +a

~ En esto caso diremos que "el equilibrio es dinámicamente estable".

'\ " -116-

\


Ejemplos: Encuentre las soluciones de las ecuaciones en diferencia 1, 2, 3 y 4 y determine si lastrayectorias de tiempo son oscilatorias y convergentes.

Para: a< -1 (CASO 1)

Resolver: 2yt+l -5Yt =-6, Yo =4

Por i: Yt+l -fyt =-3{a=-f C=-3

La solución es: Yt =2(fr +2, t=0,1, ...

lim Yt =+ro

Yt lOO

f~+OO

80 --------------

60

40 ...... -. ··• '

20 ·-----· ...... 1

o 1 2 3

y=2

5 6 L

Para: -1 < a < O (CASO 2)

Resolver: Yt+l- i Yt = 2 {a= -t c=2

Lasoluciónes: Yt=(tr +4, t=0,1,2, ...

Donde: lim Yt ::: 4 t~+oo

Yt

5

20

o 123456

En este caso: Yt es monótona creciente y es En este caso, Yt es decreciente y conver-divergente. gente al número 4.

Para: O<a <1 (CASO 3)

Resolver: Yt+l +i"Yt = 1~ , Yo =5

La solución es: Yt = 3( -fr + 2, t = 0,1,2, ...

donde: lim Yt = 2. La gráfica de Yt, es: t~+oo

Yt

5

2 3 4 5 6 7

En este caso: Yt oscila (suben y bajan) al-

Para: a> 1 (CASO 4)

Resolver: Yt+l + 2yt = 9, Yo=~~

La solución es: Yt = 3~(-2/ +3, t = 0,1,2, ...

lim Yt =±ro f~+OO

Yt

14 12 10 8 6 y=3

34 2

-2 -4 -6

rededor de la recta y= 2 y converge al En este caso: Yt diverge oscilando infini-

número 2 (oscilatoria amortiguada) tamente

-117-

MOISÉS LÁZARO C.

3.7. MODELO GENERAL DE LA TELARAÑA (DE COBWED)

El modelo de la telaraña se aplica perfectamente a la relación oferta - demanda de los productos agrícolas perecibles, por ejemplo el tomate.

Al productor le interesará aumentar o disminuir la producción del tomate en el período "t" según la variación del precio en el período anterior t -1.

A continuación trataremos de formalizar el modelo de la telaraña teniendo en cuenta las siguientes relaciones matemáticas y su respectiva interpretación.

Supongamos que las ecuaciones de OFERTA y DEMANDA del bien "X" (tomate) sean, respectivamente:

RELACIÓN DE OFERTA:

RELACIÓN DE DEMANDA:

(e> O, d >O)

Nos indica que la cantidad de producción del bien X en cualquier período "t" es una función del precio en el período anterior t -1 .

(a> O ,b >O)

Nos indica que la cantidad de demandada del bien X en el período "t" es función del precio en el mismo período.

Teniendo en cuenta las versiones lineales de la función de oferta (retrasada) y de demanda (sin retraso), el modelo de mercado está dado por tres ecuaciones:

(1) ........... .

(2) ........... .

(3) ........... .

(a> O, b >O)

(e> O, d >O)

Condición inicial: P0 , cuando t =O

Resolver el modelo: Sustituir (2) y (3) en (1):

a- bP,; =-e+ dP,;_1

1 Pt +fPt-1 =T ¡ ......................................................... (4)

La solución de (4) es: P _ ( n a + e ) ( d )t a + e t - .ro - -¡;¡-¡¡ - b + -¡;¡-¡¡

donde P0 es el precio inicial.

:: ~ = P es el precio de equilibrio (que

se obtiene al resolver Qdt = Qst )

ó IP,;=(P0 -P)(-1;f+P, ............................................. (5)

t = 0,1,2,3, ...

• La trayectoria de tiempo oscilatoria que corresponde a la solución obtenida en (5) de

penderá de la base de la exponencial ( -1; f.

-118-


Si d >O y b >O, pero además -f <O, la oscilación es:

i) Explosiva, cuando d > b Or--+--+-~--~~--~-----

1 2 3 4 5 6

ii) Uniforme, cuando d = b o r--+--+-~-~~-~----

iii) Amortiguada, cuando d < b

En este caso, lim ~ = P t~+OO

1 2 3 4 5 6

Or--+-+-~-~~-~----2 3 4 5 6

• Las gráficas de las telarañas se dan en la figura (la) cuando d > b (S es más empinada que D). En la figura (lb) cuando d < b (S menos empinada que D).

Figura la

Q

d>b (S es más empinada que D)

(explosiva) - (divergente)

S

p

Figura lb

Q

(S es menos empinada que D) (amortiguada) - (convergente)

Q¡ ---------------------'l<"-<--------;('

º3 ---------------------- -----):-o-----;('

D

S

p

Las flechas se trazan así: Se parte de P0 cercano a P, de P0 se traza una flecha vertical hasta un punto de la recta S, de aquí se traza una flecha horizontal hacia D, después otra recta vertical hasta S, otra recta horizontal hacia D y así sucesivamente. Este reco-rrido nos indicará que las "flechas" convergen al punto de equilibrio (P, Q) o que se alejen de ella (divergente). Si ocurre lo primero, diremos que el modelo es estable (ver fijo lb) y si ocurre lo segundo, diremos que el modelo es inestable (ver fig. 1 a)

-119-

MOISÉS LÁZARO C.

Los puntos: P1 ,P2 ,P3 ,P4 , ... indican los precios en los períodos t = 1,2,3,4, ... , respectivamente.

Los puntos Q1 ,Q2 ,Q3 ,Q4 ,... indican las cantidades demandadas en los períodos t = 1,2,3,4, ... respectivamente.

Observación: Las gráficas la y lb se obtienen fácilmente haciendo la variable precio igual a "x" y la variable cantidad hacer Q = y en los ejes coordenados.

{y=a-bx

Así tendremos las ecuaciones: y=-c+dx

a+c -Al igualar y =y, obtenemos: a- bx = -e+ dx => x = b + d = P

Ejemplo 1.

{

Qat = 18 -3Pt Dado las ecuaciones en diferencias _

Qst --3+4~-1

Se pide:

a) Hallar la solución del modelo.

b) Hallar lim Pt . t~+oo

con P0 =5

e) Diga si la solución es ¿Explosiva? ¿uniforme? ¿amortiguada?

d) Hacer tres gráficas: La solución Pt , la telaraña y el diagrama de fase.

Solución. (Un método práctico)

a) Al igualar Qdt = Qst '---v---' '---v---'

18-3~ =-3+4Pt_1

~+t~-1=7 ····································································· (1)

La Solución general de (1) es: ~ =Ptc +Pf

l [__Solución particular

Solución complementaria

1 º Hallar la solución complementaria y~.

La solución y~ se obtiene al resolver la ecuación homogénea:

~+t~-1=0 ·············································································· (2)

El polinomio característico de (2) es P(r) = r + f La raíz de P(r) se obtiene resolviendo P(r) = O .

De r + f =O obtenemos r = -f, luego la solución complementaria es:

-120-

1


2º Hallar la solución particular yf

Porque el segundo miembro de (1) es la constante 7, suponer que la solución de (1) es otra constante, digamos k, esto es:

pero' P,~: :: } . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3)

Al sustituir (3) en (1) obtenemos: K +fk = 7 => k= 3

Entonces la solución particular es 1 ptc = 31

3º por tanto, la solución general es:

1 f>t; =A(-ft +3¡ ........................................................................... (4)

4º La constante A se obtiene imponiendo la condición inicial P0 = 5 .

En ( 4): 5 = A+ 3 => A = 2

Entonces: 1 f>t; =2(-tt +31 ......................................................... (5)

. . {+oo ' b) hm Pt = t~+OO -00 '

t = 0,1,2,3, ...

Para t par

Para t impar

e) La parte exponencial de (4) es ( -ft, donde notamos que: -f <O, y 4 > 3, entonces la

función f>t; dado en (5) es oscilatorio explosiva.

d) (i) Graficar la función Pt = 2( -ft + 3, t = 0,1,2,3, ...

t pt =2(-t)t +3 o 5

1 2( -t)+3 =t 2 2(-f)2 +3=6.5 3 2(-tt +3=-1.74 4 2(-tt +3=9.32 5 2(-tt +3=-3.32 6 2(-f)6 +3=14.23 7

7 2(-t) +3=

-121-

MOISÉS LÁZARO C.

{

Demanda : Q = 18- 3Pt (ii) Graficar la telaraña con las dos ecuaciones:

Oferta: Q = -3 + 4Pt-l

Vamos a considerar en el eje horizontal el precio P y en el eje vertical la cantidad Q.

DEMANDA

p Q=18-3P

o 18

6 o

OFERTA

p Q=-3+4p

o -3

-ª- o 3

Punto de equilibrio:

18-3p=-3+4P

21=7P

P=3

Q=9

Q 18

-3

S

-122-

p

Partiendo de P0 cercano a "3" trazamos la primera flecha a S y luego aD, ... etc.

N atamos que las flechas se alejan, esto es divergente (la trayectoria no es estable)

Capítulo 4

DIAGRAMAS DE FASE DE DOS VARIABLES

4.1. REGIONES EN EL PLANO (z-,8).

Antes de esbozar las trayectorias de las funciones (x(t),y(t)) que son las soluciones del sis

tema dinámico lineal en JR2 tratados en la sección 1, vamos a discutir las 11 regiones que

se obtienen a partir de la gráfica de la ecuación z-2 = 4o, que es una parábola en el plano (r,o).

Para ello, es necesario conocer algunos temas previos, que en orden vamos a definir:

1. En la matriz A ~ [: ~] definimos:

a) La traza A : tr(A)=a+d

b) El determinante de A : det(A) = ad- be

2. El polinomio característico de la matriz A está dado por:

{

tr(A) = z-3. Si hacemos

det(A)=o

P(A,) =A, 2 - tr(A)A, + det(A)

entonces el polinomio característico se expresa del siguiente modo:

P(A) = A,2 -rA+O

4. Las raíces de P(A,) se obtienen al resolver la ecuación:

-123-

MOISÉS LÁZARO C.

5. Esta ecuación tiene dos raíces A1 , A2 que pueden ser:

a) Reales y diferentes

b) Reales e iguales

e) Complejos A=a±ij3

6. Las relaciones entre los parámetros r y S con las raíces son:

Al +A2 =r

A1 A2 =6

7. El discriminante de la ecuación cuadrática dado en 1 es:

~ =r2 -46

Si ~ = O , obtenemos la ecuación:

r 2 -46=0

1 ,2 =46 1

cuya gráfica, en el plano (r,S) es la siguiente parábola:

o

L\=0

8. A partir de las siguientes tres ecuaciones:

Al +A2 = r

A1 A2 =6

,2-46 =~=(Al -A2)2

í

se van a obtener 11 regiones en el plano (r,S) según los valores positivo y negativo o

cero de las raíces reales de P(A) y de los valores: positivo, negativo y cero de a de la

raíz compleja A= a+ i/3, con f3 >O .

Hay tres casos que emblemáticos que se presentan:

-124-

Dia~ramas de Fase de Dos Variables

lcASOII Las raíces son dos números reales: A1 , Az .

SUBCASOS:

a) Si A1 , A2 son positivos, tendremos:

T > 0

} Primer cuadrante 8>0

L1 >O} Debajo de la parábola

y la región en el plano

b) Si A1 y Az son negativas.

' < O } Segundo cuadrante 8>0

Ll < O } Debajo de la parábola

e) Si A1 es positivo y Az es negativo.

TE IR (todo el eje r)

8 <O (debajo del eje r)

L1 >O (debajo de la parábola)

-125-

T

MOISÉS LÁZARO C.

y la región en el plano (r ,5) es:

d) A2 =O y A1 positivo

T >O (a la derecha del eje 5)

5 =O (en el eje r)

~>O (debajo de la parábola)

e) A1 =O y A2 <O

r < O (a la izquierda del eje 5)

5 =O (en el eje r)

~>O (debajo de la parábola)

T

-126-

DiaQramas de Fase de Dos Variables

1 CAS02j Raíces reales iguales: A = A1 = A2

SUBCASOS:

a)~

b)~

1 CAS03I

r>O} Primer cuadrante 5>0

~ = O (puntos de la parábola)

r<O} Segundo cuadrante 0>0

~ = O (puntos de la parábola)

r=O} 0 = O es el origen de co-

ordenadas

~=0

. . • . . . .

Las raíces son complejas:

A¡ =a + i{J , A2 =a - i{J

\ . . . . ·-.

En A 2 - r A + 5 = O , la relación entre r, 5 y las raíces son:

r=2a 5 = a2 + p2

~ = r 2 -45 = (2a)2 -4(a2 + {32 ) = -4{32

-127-

MOISÉS LÁZARO C.

SUBCASOS:

a) 1 a =0 1 r =0 (todo el eje vertical)

6 = {32 >O (encima del eje r)

Ll = -4 {32 < O (encima de la parábola)

' > 0

} Primer cuadrante 6>0

Ll < O (encima de la parábola)

' < 0

} Segundo cuadrante 6>0

L1 < O (encima de la parábola)

Ll=O

T

4.2. DIAGRAMA DE FASE DE UN SISTEMA DINÁMICO EN JR 2

Dado el sistema dinámico lineal [ ~] = [: ~] [:] .................... :. . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

donde A= [: ~] es una matriz asociada al sistema (1), deseamos esbozar las trayectorias

de las funciones x(t) y y(t) .

-128-


Para ello, es preciso conocer: la traza de A, el determinante de A, el polinomio característi

co de A, el discriminante del polinomio característico y la relación entre las raíces del poli

nomio característico con los coeficientes.

A continuación procedamos a analizar ordenadamente:

l. El polinomio característico de la matriz A es P(A) =A 2 - tr (A)A + det(A) , donde:

{ tr(A)=a+d

det(A) = ad- be

{

tr(A) = r Si hacemos la notación det(A) = a

DETERMINANTE= ó

obtenemos 1 P(A) =A 2 - r A+ a 1

Si llamamos A¡, A2 a las raíces de P(A) entonces la relación entre los coeficientes -r y

a con las raíces son:

a= A1 A2

r =A¡+ A2

y el discriminante de P(A) es ó = r 2 - 4a = (A1 - A2 )2

2. Las raíces de P(A) pueden ser:

a) Reales y diferentes

b) Reales e iguales

e) Complejos {

a= componente real de a. a=a±ifJ

jJ= componente imaginario de a.

3. En vista de estas tres clases de raíces, vamos a estudiar los diagramas de fase para los

tres casos emblemáticos.

- [A o] 2.1 A= O A

- [A o] 2.2 A= l A

[TI A=[; -:] fJ >o

-129-

MOISÉS LÁZARO C.

_ [A¡ O l 1 CASO 1 r--- A = O A

2

a) 1 A¡ > A2 > O 1

1 Las dos raíces son positivas

• El equilibrio es (x*,y*) =(O, O) y se denomina NODO INESTABLE (repulsar o fuente).

• El diagrama de fase para diferentes valores de c1 y c2 es:

y

COORDENADAS NUEVAS COORDENADAS ANTIGUAS

• Condiciones sobre el determinante, traza y discriminante de la matriz A .

a = det(A) = A1 A2 a > o

r=tr(A)=A1 +A2 r>O

~=r2 -4a=(A1 -A2 )2 ~>0

• Región correspondiente en el plano (r,a).

Ll=O

1 Las dos raíces son negativas 1

• El equilibrio es (x*,y*) = (0,0) y se denomina NODO ESTABLE (atractor o pozo).


-130-


y

COORDENADAS NUEVAS COORDENADAS ANTIGUAS

• Condiciones sobre el determinante, traza y discriminante de la matriz A .

• Región correspondiente en el plano ( r, o)

1 Una raíz es negativa y la otra es positiva 1

• El equilibrio es (x*,y*) =(O, O) y se denomina PUNTO SILLA.

y

X

• El diagrama de fase, para diferentes valores de c1 y c2 es:

y

-131-

x

MOISÉS LÁZARO C.

• Condiciones sobre el determinante, traza y discriminante de la matriz A.

6 = det(A) = A1 A2 6 < O

z- = tr (A) = A1 + A2 z- E IR

Ll=z-2-46=(Al-A2)2 Ll>O

• Región correspondiente en el plano (z-,6).

Ll=Ü

1 Una raíz es cero y la otra es positiva 1

• El equilibrio es el conjunto: { (x* ,y*)/ x* =O} y no tiene nombre, no es un equilibrio aislado como en los anteriores casos.

y

X

• El diagrama de fase, para diferentes valores de c1 y c2 es: y

X


6 = det(A) = O 6=0

z- = tr(A) = A1 z->0

Ll = r 2 -46 = Ai Ll>O

-132-


• Región correspondiente en el plano ( r, o) .

Ll=O

1 Una raíz es cero y la otra es negativa

• El equilibrio es el conjunto { (x*, y*) 1 y* = O} y no tiene nombre, no es un equilibrio aislado como en los anteriores casos.

+ • El diagrama de fase para diferentes valores de c1 y c2 es:

y

X

• Condiciones sobre el determinante, traza y discriminante de una matriz A.

o =det(A) =0

r = tr(A) = A-2

• Región correspondiente en el plano (r,o).

-133-

r<Ü

Ll>Ü

MOISÉS lÁZARO C.

a) A.>O

• El equilibrio es (x*,y*) = (0,0) y se denomina NODO ESTRELLA INESTABLE.

• La solución es: (x(t),y(t)) = (e1e..u ,e2e..tt)

• El diagrama de fase para diferentes valores de e1 y e2 es:

y

X


o = det(A) = A. 2 o > O

r = tr (A) = 2A, r > 0

~ = r 2 - 4o = o ~ = o

• Región correspondiente en el plano (r,o).

o Ll=O

b) A.<O

T

• El equilibrio es (x*,y*) = (0,0) y se denomina NODO ESTRELLA ESTABLE.

• La solución es: (x*,y*) = (e1e..u ,e2eu)

• El diagrama de fase para diferentes valores de e1 y e2 es:

y

X

-134-



5 = det(A) = A-2 8 > O

r = tr (A) = 2.-1, r < 0

il = r 2 - 45 = O il = O

• Región correspondiente en el plano ( r, 8) .

o

e) 1 J.= O 1

L\=0

• El equilibrio es todo punto del conjunto { (x*' y*) 1 x*' y* E m} . Todo punto del plano es un equilibrio y no tiene nombre particular SIN NOMBRE.

• La solución es (x(t),y(t)) = (c 1 ,c2 ).

• El diagrama de fase para diferentes valores de c1 y c2 :

y

X


5 = det(A) = O 5 =O

T = tr(A) = A-2 T = 0

il = r 2 -45 =O il =O


o

-135-

MOISÉS LÁZARO C.

a) íL >O

• El equilibrio es (x*,y*) = (0,0) y se denomina NODO IMPROPIO INESTABLE.

• La solución es: (x(t),y(t)) = (c1eA.t ,(c2 + tc1)eM)


y

X


S = det(A) = íL 2 S > O

r = tr(A) = 2íL r >O

L1 = r 2 -4S =O L1 =O

• Región correspondiente en el plano (r,S), note que esta región coincide con la del nodo estrella inestable.

~=0

b) íL <o • El equilibrio es (x*,y*) = (0,0) y se denomina NODO IMPROPIO ESTABLE.

• La solución es: (x(t),y(t)) = (c1eu ,(c2 + tc1)eu)


y

X

-136-



6 = det(A) = A. 2 6 > O

T = tr(A) = 2A. T < 0

~=·2 -46=0 ~=0

• Región correspondiente en el plano (r,6), note que esta región coincide con la del nodo estrella estable.

~=0

T

e) A.= O

• El equilibrio es el conjunto de puntos { (x*, y*) 1 x* = O , y* E m} y no tiene nombre (SIN NOMBRE). Y

X

• La solución es (x(t),y(t)) = (e1 ,te1).

• Bosquejo de las trayectorias, para diferentes valores de e1 o diagrama de fase. y

X


6 = det(A) = O 6 = O

T = tr(A) = 0 T = 0

~=·2 -46=0 ~=0

• Región correspondiente en el plano (r,6).

-137-

MOISÉS LÁZARO C.

a) a =0

• El equilibrio es (x*,y*) =(O, O) y se denomina CENTRO.

• La solución es: (x(t),y(t)) = (e1 cos({Jt),e1sen(fJt))

• El diagrama de fase para diferentes valores de e1 es:

y

X

ANTIHORARIO


c5 = det(A) = {32 c5 > O

T = tr(A) = 0 T = 0

Ll = • 2- 4c5 = -4/]2 Ll <o

• Región correspondiente en el plano (T,c5).

o ~=0

b) a >0

• El equilibrio es (x*,y*) = (0,0) y se denomina FOCO INESTABLE.

• La solución es: (x(t),y(t)) = (e1eat (cos fJt- senfJt),e2eat (cos fJt + sen{Jt))


y

X

-138-



e) = det(A) = a 2 + /]2 e) > O

r = tr(A) = 2a r > O

~ = t 2 -46 = -4/]2 ~<o


e) a <0

• El equilibrio es (x* ,y*)= (0,0) y se denomina FOCO ESTABLE.

• La solución es (x(t),y(t)) = (c1eat (cos {Jt- sen{Jt) ,c2eat (cos {Jt + sen{Jt))


y

X


e) = det(A) = a 2 + /]2 e) > O

r = tr(A) = 2a r < O

~=r2 -48=-4{J2 ~<0

• Región correspondiente en el plano ( r, e)) •

-139-

MOISÉS lÁZARO C.

1 PROBLEMA 011

Dado el sistema dinámico: [xy··l = [ 11 -11] ¡xyl + [22]

a) Hallar los equilibrios y clasificarlos.

b) Bosquejar el diagrama de fase del sistema dinámico.

Solución:

a) • El punto de equilibrio (x* ,y*) se obtiene resolviendo la ecuación:

[~]=[~].esto es:

[~ -~tH~H~l {

x-y+2=0

x+y+2=0

Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene el punto de equilibrio. (x*,y*)=(-2,0)

• La matriz A=[~ -~] es canónica de la fonna A= [; -=J. donde a =1 , fJ =l.

Estamos en el caso 3.

• Porque a >O, el equilibrio ( -2, O) se denomina FOCO INESTABLE.

• El diagrama de fase es:

• Hallar los valores de J, r, ~.

6 = a 2 + fJ2 >O

r = 2a >O

~=T2 -4J=-4{J2 <2

y

-1

• En el plano formado por Jy r se encuentra en la siguiente región:

-140-

X


1 PROBLEMA 02 1

Dado el sistema dinámico [~H ~ ~] [:] a) Hallar los equilibrios y clasificarlos.

b) Bosquejar el diagrama de fase en coordenadas nuevas.

e) Bosquejar el diagrama de fase en coordenadas antiguas.

Solución:

a) El equilibrio se halla resolviendo el sistema:

el punto de equilibrio es (x*,y*) =(O, O).

[~ ~Jl:H~J {

y=O

3x+2y=0

• Para clasificar el punto de equilibrio necesitamos hallar las raíces de

P(2) = 2 2 - tr(A)2 + det(A) =O.

De la matriz A = [ ~ ~] obtenemos:

Ahora resolver:

tr(A) =O+ 2 = 2

det(A) =O- 3 = -3

• Porque las raíces son reales con signos diferentes, el equilibrio (0,0) se denomina PUNTO SILLA.

b) Para bosquejar el diagrama de fase en coordenadas nuevas sólo necesitamos asociar la

matriz canónica A= con los vectores canónicos (1,0) y (0,1). - [3 o] o -1

21 = 3 está asociado al vector (1,0), que es el generador del eje horizontal.

22 = -1 está asociado al vector (0,1), que es el generador del eje vertical.

Porque 21 = 3 es positivo y lim e3t = +oo t~+oo

la trayectoria no converge al punto (0,0) a lo largo del eje horizontal. Porque 22 = -1 es

negativo y lim e -t =O, la trayectoria converge al punto (O, O) a lo largo del eje y. t~+oo

-141-

MOISÉS LÁZARO C.

Así tendremos el siguiente diagrama de fase en coordenadas nuevas. y

Las otras trayectorias siguen la dirección de los vectores dibujados en los ejes coordenados.

e) Para bosquejar el diagrama de fase en coordenadas antiguas necesitamos dos cosas:

• El punto de equilibrio, y

• Los vectores propios asociados a A¡ = 3 y A2 = -1 .

c1. El vector propio asociado a A¡= 3 se obtiene resolviendo la ecuación homogénea:

(A -A11)U ~o , donde U~ [ ::]

[~ -~][::]=[~]

Se reduce a una sola ecuación: -3u1 + u2 = O

u2 =3u1

Luego: u~[:J[3~J ~u,[~]

• El vector propio asociado a A1 ~ 3 es: U ~ [ ~ ]

c2• El vector propio asociado a A2 = -1 se halla resolviendo la ecuación homogénea:

(A-A2l)V ~o, donde V~[:]

[ ~ ! ][::]=[~]

-142-

DiaQramas de Fase de Dos variables

Se reduce a una sola ecuación: v1 + v2 = O

v2 =-vl

Entonces V~ [ :~ H :~J ~v,[ -~J

• El vector propio asociado a A2 ~ -1 es V ~ [ _ ~]

• Teniendo como referencia a los ejes X, Y, graficamos los vectores propios: [ ~] y

[ _ ~ ] . A lo largo de estos vectores propios dibujamos los ejes U y V respectiva

mente que se intersectan en el punto de equilibrio (0,0).

• A lo largo del eje U las trayectorias (sendas) no convergen al punto (O, O); pero a lo largo del eje V las trayectorias (sendas) convergen al punto (0,0).

• Las otras trayectorias (sendas) siguen la dirección de los ejes V y U, respectivamente, acercándose y luego alejándose del punto de equilibrio.

1 PROBLEMA 03 1

Dado el sistema dinámico: [~] =[ -! · -~ ][: H _!] a) Hallar los equilibrios y clasificarlos.

b) Bosquejar el diagrama de fase de la ecuación homogénea en coordenadas nuevas.

e) Bosquejar el diagrama de fase de la ecuación homogénea en coordenadas antiguas.

d) Bosquejar el diagrama de fase de la ecuación no homogénea en coordenadas antiguas.

~ Solución: ( \ a) La ecuación que tenemos es no homogénea, por lo tanto hay dos puntos de equilibrio:

-143-

MOISÉS LÁZARO C.

• De la ecuación homogénea, y

• De la ecuación no homogénea.

• El punto de equilibrio de la ecuación homogénea se halla resolviendo la ecuación:

{

-tx+y=O

-iy=O

El punto de equilibrio es (x*,y*) = (0,0)

• El punto de equilibrio de la ecuación no homogénea se halla resolviendo la ecuación:

{

-tx+y+2=0

-iy-3=0

Al resolver, se obtiene (x*,y*) = (0,-2)

• Para clasificar los puntos de equilibrio necesitamos conocer las raíces del polinomio

característico de la matriz A.

A=[-t 1] r-- tr(A)=-t-i=-2

O --ª- "'---- det(A) =-ª-2 4

Resolver la ecuación: í!, 2 + 2í!, + -ª- = o 4

4í!,2 + 8í!, + 3=0

2í!, X 1 2í!, 3

_.lt lime 2 =0 t~+oo

_lit lim e 2 =O t~+oo

• Porque las dos raíces íL1 y íL2 son negativas, afirmamos que los puntos de equilibrio

(0,0) y (0,-2) son NODOS ESTABLES.

b) Para bosquejar el diagrama de fase de la ecuación homogénea en coordenadas nuevas, se necesitan:

• El punto de equilibrio (0,0) y

-144-


• Los signos de las raíces A1 = -f, A2 =-f.

• Las sendas a lo largo de los ejes generados por los vectores canónicos i = (1,0),

j = (0,1), que son los vectores propios de la matriz canónica:

A=[-t ~] o --2

• Porque A¡= -t es negativo, entonces la senda a lo largo del eje generado por el vec

tor (1,0) convergen al punto de equilibrio (0,0).

• Porque A2 = -f es negativo, entonces la senda a lo largo del eje generado por el vec

tor (0,1) convergen al punto de equilibrio (0,0).

X

• Las otras trayectorias, también, convergen al punto (0,0) siguiendo la dirección de

los ejes generados por los vectores canónicos de (1,0) y (0,1); respectivamente.

e) Para bosquejar el diagrama de fase de la ecuación homogénea en coordenadas antiguas,

necesitamos:

• El punto de equilibrio, y

• Los vectores propios asociados a los valores propios: A¡= -t, A2 = -!.

c1• Vector propio asociado a A¡= -t. Resolver la ecuación homogénea:

(A~A1I)U =O, donde U= [ ::]

[~ ~~][~]=[~]

{ ~:=~ Se reduce a una sola ecuación: u2 = O .

-145-

MOISÉS LÁZARO C.

Luego, el vector propio asociado A1 ~ -! es U~ [: l c2• Vector propio asociado a A-2 =-%.Resolver la ecuación homogénea:

(A-A2I)V ~O, donde V~[~~]

Luego, V = [ v1

] = v1 [ 1]

-v1 -1

• El vector propio asociado a A2 ~ -f es V ~ [ _:] .

• Los ejes en coordenadas antiguas siguen la dirección de los vectores propios que se intersectan en el punto de equilibrio (0,0).

• Porque A-1 es negativo, la senda a lo largo del vector propio U convergen (se acer

can) al punto de equilibrio (0,0).

• Porque A-2 es negativo, la senda a lo largo del vector propio V convergen (se acer

can) al punto de equilibrio (0,0).

• Las otras sendas siguen la dirección de los vectores propios convergiendo (acercándose) al punto de equilibrio (0,0).

-146-

\


d) El diagrama de fase de la ecuación no homogénea en coordenadas antiguas, necesitamos:

• El punto de equilibrio de la ecuación no homogénea: (0,-2).

• Los ejes que pasan por (0,-2) y que siguen la dirección de los vectores propios

El procedimiento de dibujar las sendas es el mismo que el anterior.

u

Todas las sendas siguen la dirección de los vectores U y V convergiendo (acercándo

se) al punto de equilibrio (0,-2).

1 PROBLEMA 041

Bosquejar el diagrama de fase del sistema dinámico [;] = [ ~ ~] [;] y clasificar el equili-

brio.

Solución:

El sistema dado, se puede expresar de la siguiente forma:

Matricialmente: [: ]=[ ~ ~] [ ~]

{x=A-x+y

y=Ox+2y

0 {~=A-y+Ox

x=y+AX

En este sistema se observa que la matriz A= [ ~ ~] es canónica (caso 2.2).

-147-

MOISÉS LÁZARO C.

a) Si A> O, el equilibrio (0,0) se denomina nodo impropio inestable.

y

X

b) Si A< O, el equilibrio (0,0) se denomina nodo impropio estable.

y

X

e) Si A= O , el equilibrio es el punto { (x*, y*) 1 x* =O , y* E IR} .

y

X

El diagrama de fase es: y

X

1 PROBLEMA 05 1

[xl [ -1 1] [x] Bosquejar el diagrama de fase y clasificar el equilibrio y = _1

_1

Y .

Solución:

a) El equilibrio se halla resolviendo el sistema de ecuaciones lineales:

{-x+ y=O

-x-y=O

-148-


-1 1 Porque el determinante = 1 + 1 = 2 no es cero, entonces el punto de equilibrio

-1 -1

es único y es (x* ,y*)= (0,0).

b) De la matriz A = [ -1 1

] -1 -1

Obtenemos:

• La traza: r = -2

• El determinante: 6 = 2

• Las raíces del polígono característico se obtienen resolviendo la ecuación cuadrática:

A. 2 + 2A. + 2 = O

A.2 +2A.+1=-1

{fJa==-

11 A.=-1+i

e) Como a< O, el equilibrio (x*,y*) = (0,0) se denomina foco estable. y

X

1 PROBLEMA 06 1

Bosquejar el diagrama de fase y clasificar el equilibrio { ~ = y- x y=y-x

Solución:

a) Hallar el punto de equilibrio, resolviendo el sistema: { y- x = 0

y-x=O

Se reduce a una sola ecuación y = x , para todo x E IR . Entonces, se trata de una recta cuya gráfica es:

• Los puntos de equilibrio son todos los puntos de la recta y = x .

y

y=x

X

-149-

MOISÉS LÁZARO C.

b) Para clasificar los puntos de equilibrio, analizar en la matriz A= [-1

-1 ~] del sistema:

{ ~=-x+ y

y=-X+ y

• La traza de A es r = O .

• El determinante de A es 8 =O .

• La ecuación cuadrática a resolver es:

e) Porque las raíces son iguales, la matriz canónica es de la forma:

A=[~ ~] d) Porque A, =O , el equilibrio es todo el conjunto { (x*, x*) 1 x* E IR} .

e) El diagrama de fase es: y

X

-150-

6. DISCUSIÓN

Los cuatro capítulos del texto se explican de manera formal y sencilla para

facilitar la comprensión del lector.

El tema referente a la programación no lineal, del primer capítulo, es muy

tedioso y de profundo análisis, que se trata en "optimización". Pero, en el texto,

se explica sólo la aplicación práctica del tema que es lo necesario para un

estudiante que lleva un curso de Economía General.

Las ecuaciones diferenciales, capítulo 2 que se presenta, es lo básico para

entender algún modelo económico. En matemáticas se estudian ecuaciones

ordinarias y ecuaciones parciales, pero estos temas son profundos y teóricos que

no responde al objetivo de un curso básico de Economía General. El libro:

Métodos fundamentales de economía matemática de ALPHA CHIANG y el libro:

Matemática para administración y economía de Weber E. Jean; son muy buenos

para consulta del lector, por ser muy extensos los temas que tratan, ha sido

necesario preparar el texto en mención.

Ecuaciones en Diferencias del tercer capítulo, es quizás el tema que más se

ajusta a los fenómenos económicos porque se trabaja con la variable tiempo, por

períodos. Es un tema que se trata, analíticamente, en "métodos numéricos" pero

lo hecho en el texto, es solo una parte dedicada a tratar con sucesiones de

números reales.

El cuarto capítulo es exclusivo para analizar, en un diagrama, algún

comportamiento económico que puede ser estable o no. El texto ofrece diversos

ejemplos sencillos para entender los comportamientos económicos.

-151-

7. REFERENCIALES

• ESQUIVEL, GERARDO y PARKIN, MICHAEL. Microeconomía, México DF: Pearson

educación 2da. edición 2001.

• FERNÁNDEZ BACA, JORGE. Microeconomía y Aplicaciones Tomo 1 Lima - Perú:

1ra. edición Universidad del Pacífico 2003.

• MENDOZA BELLIDO, WALDO Y HERRERA CATALÁN, PEDRO. Macroeconomía.

Lima: Fondo Editorial PUCP 2006.

• LOMELLI, RECTOR y RUMBAS, BEATRIZ. Métodos dinámicos en Economía

Mexico DF: Thomsom 2003.

• CERDÁ TENA, EMILIO. Optimización dinámica Madrid-España: Prentice Hall

1ra. edición 2001.

• CHIANG e, ALPHA y WAINWRIGHS, KEVIN. Métodos fundamentales de economía

matemática España: Me Graw-Hill. 3ra. edición 1987.

• TAN, ST. Matemática para administración y economía México DF:

International Editores S.A. 1ra. edición 1998.

-152-

APÉNDICE

Breve repaso sobre Diferenciabilidad:

A. Diferencialidad en IR .

Sea f: U e IR ~ IR. La derivada f'(x0 ) de f en x0 E U es el límite (cuando existe)

f'( )-l· f(xo+h)-f(xo) x0 - 1m h

h~O

B. Derivadas parciales.

Sea la función f : U e IR 2 ~ IR, U : abierto en IR 2

La derivada parcial de f con respecto de x en el punto P es el límite

at (P)= lim f<xo+h,yo)-f(xo,Yo) ax h~O h

La derivada parcial de f con respecto de y en el punto P es el límite

a( (P)= lim f(xo,Yo+h)-f(xo,Yo) ay h~o h

C. Gradiente.

Definición: Sea f : U e IR n ~ IR una función diferenciable definida en el

conjunto abierto U de IR n . Se define el vector gradie~te de la función f en el punto x0 E U por:

( ar ar ar ) grad f(xo) = -a (xo),-a -(xo), ... ,-a -(xo) xl x2 Xn

también se denota por Vf(x0) al vector gradiente.

D. Tabla de derivadas básicas.

Si u(x) , u(x) son funciones reales y Ces una constante, entonces:

l. -ª-(e)= O dx 6. -ª-(eu) = eu -ª-(u) dx dx

du

2. -ª-(x) = 1 dx 7. -ª-(Ln(u)) = dx dx u

3. -ª-(xn) = nxn-1 dx 8. ..!L(uu) =-ª-(u)+ ..!L( dx dx dx

)

du dv

-ª-<u+ u)= ..!L(u) +-ª-(u) fx(~)= v.--u-

4. 9. dx dx

dx dx dx v2

5. -ª-(cu) = c-ª-(u) dx dx

-153-

Tabla de integrales básicas (para capítulo 2)

Sean: u(x), v(x) funciones reales, e : constante.

l. Jdx=x+e 5.

2. f xndx = _l_xn+l +e n+l

6.

3. Jeu(x)dx =e Ju(x)dx

4. f eu(x)dit = eu(x) +e

Tabulaciones de sucesiones exponenciales:

fduu = Ln(u) +e

f 2du 2 =.larctg(R)+e u +a a a

La sucesión f(t) = 2(tt +5 se tabula para t = 0,1,2,3, ...

t o 1 2

f(t) 7 5 5/2 5

Breve repaso de una ecuación cuadrática:

Sea la ecuación cuadrática ax2 + bx +e= O, a :t:- O las raíces de la ecuación son:

-b±~b2 -4ac X = _----'.,2::-a--

Si b2 - 4ac > O , las raíces son reales y diferentes.

Si b2 - 4ae = O , las raíces son reales e iguales.

Si b2 - 4ac < O , las raíces son dos números complejos conjugados.

-154-

ANEXO

En este texto no hay anexos.

-155-

INFORME FINAL -...

Documents

Transcript of INFORME FINAL -...