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    LABORATORIO 90G

    INFORME N 1

    PROFESOR: WIMPPER D. MONTERO ARTEAGA.

    INTEGRANTES:

    CONDORI QUISPE EMILY 1314120043

    LA TORRE ESCUDERO FRANK 132110102

    LOAY!A PA"UELO "ESUS 132110022

    MOLOC#E LARREA "AIR "OSUE 1311100$$

    OTERO LEON "ERSSON "ESUS 13212012$

    TUPACYUPANQUI ABUDEY CLAUDIA 122120423

    201%

    OSCIL

    ACIONE

    S

    SIM

    PLES

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    OBJETIVOS

    Estudiar las propiedades y las caractersticas del movimiento armnico

    simple experimentado por bloques que cuelgan de un resorte vertical.

    Relacionar entre el periodo T, la masa m, la amplitud A, de las oscilaciones

    simples del Bloque-resorte.

    omprobar las estimaciones del modelo terico del movimiento armnico

    simple.

    INTRODUCCION

    !n sistema oscilar" alrededor de la posicin de equilibrio si a un despla#amiento x,desde el equilibrio tiene como respuesta una $uer#a que tiende a restaurar el sistema

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    %acia la posicin x=&. El tipo m"s simple ocurre cuando la $uer#a restauradora est"linealmente relacionada con el despla#amiento x. 'e este modo comen#amos elestudio de las oscilaciones.

    (e se)alar" la importancia de las oscilaciones de un p*ndulo como instrumento de

    medida del tiempo, al ser el periodo independiente de la amplitud de la oscilacin yque este %ec%o $ue conocido por +alileo. (e reconocer" mediante eemplos, que lamedida de los tiempos por dic%o instrumento est" a$ectada por los cambios detemperatura dilatacin de la cuerda y por la variacin con la latitud de la intensidadde la gravedad.

    El estudio de las oscilaciones $or#adas es matem"ticamente compleo, pero se deber"presentar un conunto de eemplos, en los que el alumno distinga, el oscilador su$recuencia natural de oscilacin, la $uer#a oscilante su $recuencia de oscilacin y lasituacin de resonancia cuando se igualan ambas $recuencias, y las consecuenciasespectaculares que esto provoca.

    /a caracterstica esencial que de$ine la oscilacin amortiguada ser" elcomportamiento de la amplitud con el tiempo.

    'el mismo modo, se plantea cuando dic%o oscilador est" bao la in$luencia de una$uer#a oscilante. (e proporciona la solucin correspondiente al estado estacionario,que comprobar" por simple sustitucin en la ecuacin di$erencial que describe laoscilacin $or#ada.

    (e introducir" el concepto matem"tico de valor medio de una $uncin peridica,usti$ic"ndose cualitativamente por qu* en los sistemas oscilantes, es una medidameor que el valor en un instante.

    Al e$ectuar el balance energ*tico, se comprobar" que en el estado estacionario, elvalor medio de la energa aportada al oscilador en la unidad de tiempo es igual alvalor medio de la energa disipada en la unidad de tiempo.

    0or 1ltimo, se representa en el ee vertical el valor medio de la energa aportada aloscilador por unidad de tiempo, y en el ee %ori#ontal la $recuencia de la $uer#aoscilante, de$ini*ndose la situacin de resonancia y de agude#a de la curva de laresonancia.

    uando la $uer#a que act1a en una partcula o sistema es proporcional aldespla#amiento respecto a un punto de 2equilibrio3, siguiendo la ley de 4oo5e, 675.xel mvil se dice que describe un movimiento armnico simple. !na partcula oscilacuando se mueve peridicamente respecto de su posicin de equilibrio. 0eridico8 es

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    todo movimiento que se repite cadenciosamente cada mismo intervalo de tiempo. (epuede demostrar que la gran mayora de los sistemas que tiene un punto de equilibrioestable admiten un tratamiento armnico para peque)as oscilaciones en torno a dic%opunto.

    MARCO TERICO

    El movimiento armnico simple m.a.s., tambi*n denominado movimiento vibratorio

    armnico simple es un movimiento peridicoy vibratorio en ausencia de $riccin,

    producido por la accin de una $uer#a recuperadora que es directamente

    proporcional a la posicin. 9 que queda descrito en $uncin del tiempopor una

    $uncin sinusoidal senoo coseno.

    En el caso de que la trayectoriasea rectilnea, la partcula que reali#a un m.a.s.

    oscila ale"ndose y acerc"ndose a un punto llamado :posicin de equilibrio:, situado

    en el centro de su trayectoria, de tal manera que su posicinen $uncin deltiempocon respecto a ese punto es una sinusoide.En este movimiento, la $uer#a

    que act1a sobre la partcula es proporcional a su despla#amiento respecto a dic%o

    punto y dirigida %acia *ste.

    0or eemplo

    !n cuerpo colgado de un

    muelle oscilando arriba y

    abao. El obeto oscila alrededor de la posicin de equilibrio cuando se le separa de

    ella y se le dea en libertad. En este caso el cuerpo sube y baa.

    http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_peri%C3%B3dicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Tiempohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_senohttp://es.wikipedia.org/wiki/Trayectoriahttp://es.wikipedia.org/wiki/Posici%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tiempohttp://es.wikipedia.org/wiki/Sinusoidehttp://es.wikipedia.org/wiki/Sinusoidehttp://es.wikipedia.org/wiki/Tiempohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_senohttp://es.wikipedia.org/wiki/Trayectoriahttp://es.wikipedia.org/wiki/Posici%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tiempohttp://es.wikipedia.org/wiki/Sinusoidehttp://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_peri%C3%B3dico
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    Es tambi*n, el movimiento que reali#a cada uno de los puntos de la

    cuerda de una guitarra cuando esta entra en vibracin; pero, pongamos

    atencin, no es el movimiento de la cuerda, sino el movimiento individual

    de cada uno de los puntos que podemos de$inir en la cuerda. El

    movimiento de la cuerda, un movimiento ondulatorio, es el resultado delmovimiento global y simult"neo de todos los puntos de la cuerda.

    Aplicando la segunda ley de

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    La velocidady aceleracinde la partcula pueden

    obtenerse derivandorespecto del tiempo la expresin.

    .

    Velocidad

    /a velocidad instant"nea de un punto materialque eecuta un movimiento armnico

    simple se obtiene por lo tanto derivando la posicin respecto al tiempo8

    Aceleracin

    /a aceleracin es la variacin de la velocidad del movimiento respecto al tiempo de

    espera y se obtiene por lo tanto derivado la ecuacin de la velocidad respecto al

    tiempo de encuentro8

    Energa del movimiento armnico simple

    /as $uer#as involucradas en un movimiento

    armnico simple son centralesy, por

    tanto, conservativas. En consecuencia, se puede

    de$inir un campo escalarllamado energa

    potencialEp asociado a la $uer#a. 0ara %allar la

    expresin de la energa potencial, basta con

    integrar la expresin de la $uer#a esto esextensible a todas las $uer#as conservativas y

    cambiarla de signo, obteni*ndose8

    http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttp://es.wikipedia.org/wiki/Punto_materialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_centralhttp://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_conservativahttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarhttp://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_potencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_potencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Velocidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Derivadahttp://es.wikipedia.org/wiki/Punto_materialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_centralhttp://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_conservativahttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarhttp://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_potencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_potencial
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    /a energa potencial alcan#a su m"ximo en los extremos de la trayectoria y tiene

    valor nulo cero en el punto x7 &, es decir el punto de equilibrio.

    /a energa cin*ticacambiar" a lo largo de las oscilaciones pues lo %ace la

    velocidad8

    /a energa cin*tica es nula en -Ao +Av7& y el valor m"ximo se alcan#a en el

    punto de equilibrio m"xima velocidad.

    omo slo act1an $uer#as conservativas, la energa mec"nicasuma de la energa

    cin*tica y potencial permanece constante.

    6inalmente, al ser la energa mec"nica constante, puede calcularse $"cilmente

    considerando los casos en los que la velocidad de la partcula es nula y por lo

    tanto la energa potencial es m"xima, es decir, en los puntos y .

    (e obtiene entonces que,

    > tambi*n cuando la velocidad de la partcula es m"xima y la energa potencial

    nula, en el punto de equilibrio

    http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_cin%C3%A9ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_mec%C3%A1nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_cin%C3%A9ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_mec%C3%A1nica
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    MATERIALES

    1. INTERFACE XPLORER GLX

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    2. SENSOR DE FUERZA

    3. REGLA METALICA 1m

    4. SOPORTE UNIVERSAL

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    5. RESORTE METALICO DE 20cm

    6. JUEGO DE 6 PESAS ENTRE 100 ! 300

    ". #ALANZA DE 5 DE PRESICION

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    $. %OJAS DE PAPEL MILIMETRADO

    PROCEDIMIENTO Y PARTE EXPERIMENTAL

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    Actividad

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    m1=59.2gr

    m2=79.0gr

    m3=59.8 gr

    m4=59.2 gr

    A%ora los datos de la longitud del suelo al resorte y como va variando seg1n se leagrega las pesas

    l1=33.6 cm sinniguna pesa

    l2=31.9cm conla pesa m

    1

    l3=28.9 cm conla pesa m

    1y m

    2

    l4=26.6 cmconla pesa m

    1, m

    2y m

    3

    l5=24.4 cm con la pesa m

    1, m

    2, m

    3y m

    4

    A%ora por di$erencia de las longitudes podemos obtener los estiramientos 2x3 parainsertar los datos en el Dplorer de $orma manual y obtener la 23

    x1=l

    1l

    2=1.7cm=17mm

    x2=l

    1l

    3=4.7cm=47 mm

    x3=l1l4=7.0cm=70mmx

    4=l

    1l

    5=9.2cm=92mm

    !na ve# obtenido estos datos de estiramiento los agregamos al Dplorer el cual nosdar" una gra$ica de 6uer#a vs estiramiento, y utili#ando un auste lineal nos dar"como pendiente la 23 la cual es la constante el"stica.k=0.0264N/mm

    Actividad

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    F. Kale la pesa %acia abao, @cm de distancia y su*ltela. 'espu*s active la teclaplay, entonces el Dplorer inicia las mediciones. >bserve la pantalla despu*sde o F oscilaciones presiones la tecla play nuevamente.

    G. 'e la gr"$ica determine la m"xima $uer#a 6o y el periodo T de estasoscilaciones, anote los valores en la %oa de reporte.

    H. Repita los pasos F y G con distancia de8 cm, cm, Fcm %asta completar elcuadro de la %oa de reporte.

    I. !se la ecuacin Fo=kA y calcule el valor de A, luego anote el resultado

    en la %oa de reporte. +ra$ique el periodo T vs amplitud A Lu"l es suconclusinM

    N. +uare los datos de su experiencia en su memoria !(B.

    0ara la segunda actividad utili#aremos una masa total de todas las pesas suetas

    en el resorte de m1+m2+m3+m4=59.2gr+79.0gr+59.8 gr+59.2gr=257.2gr .

    A%ora procedemos a estirar el resorte @cm, el cual ira aumentado @cm m"s en laestirada consecutiva.

    x1=1cmT

    1=0.625 s F

    1=0.2N

    x2=2cmT

    2=0.625 s F

    2=0.4N

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    x3=3cmT

    3=0.625 s F

    3=0.7N

    x4=4cm T

    4=0.625 s F

    4=1.0N

    x5=5cmT

    5=0.625 s F

    5=1.2N

    A%ora %allamos la amplitud con la siguiente ecuacin Fo=kA para cada uno de

    los casos8A

    1=0.756 cm

    A2=1.515 cm

    A3=2.652cm

    A4=3.788cm

    A5=4.545cm

    omo se puede observar el periodo es el mismo en todos los casos por lo quepodemos llegar a la siguiente conclusin utili#ando la siguiente ecuacin8

    T=2m

    k

    oncluimos que el periodo es el mismo debido a que la masa es constante y la 23tambi*n es constante por lo que el periodo tambi*n resultar" constante y %aciendouna gr"$ica de periodo vs amplitud saldr" una lnea recta, debido al periodoconstante.

    Actividad

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    0ara esta actividad tomaremos como masa inicial la siguiente cantidad, y luegoiremos quitando una pesa por cada estiramiento, obteniendo los siguientes datos8

    m1+m

    2+m

    3=198gr T

    1=0.575 s F

    1=0.5N

    m2+m

    3=138.8gr T

    2=0.5 s F

    2=0.5N

    m2=79gr T

    3=0.35 s F

    3=0.5N

    >bservamos que las 6uer#as en cada caso son iguales y esto se debe a que la$uer#a depende del estiramiento y la constante de elasticidad, siendo estas dosconstantes la $uer#a tambi*n ser" constante.

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    CUESTIONARIO

    EJERCICIO 1

    Realice una gr"$ica de $uer#a vs longitud con los datos de la actividad

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    K261.370.04$62&.93N78

    K361.9470.0$62$.$14N78

    K462.%270.09262$.39N78

    Eercicio

    0ara cada valor de F0 %allados en la Actividad

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    EJERCICIO 3

    Realice una gr"$ica de la amplitudA en el ee D, el periodo en el ee 9.Lu"l es su conclusin con

    respecto a esta gra$icaM Explique.

    'AT>(8

    1 2 3 4 %

    0.%9

    0.%9

    0.

    0.

    0.1

    0.1

    0.2

    0.2

    0.3

    0.3

    GRAFICA A 23 T

    AMPLITUD ,cm-

    PERIODO ,-

    onclusin8

    El periodo no depende de la amplitud, entonces podemos a$irmar que se trata deun movimiento armnico simple OA(.

    TA8 (e puede observar en la gr"$ica que en la amplitud de @cm %ay unadi$erencia menor, ya que es una amplitud muy peque)a, entonces no se puedeobservar bien los resultados.

    AMPLITUD (A) cm( eje X )

    PERIODO (T) s( eje Y )

    1 &.H

    2 &.HG3 &.HG &.HG! &.HG

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    EJERCICIO

    alcule el valor de la energa totalde cada una de las oscilacionesestudiadas en la actividad

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    0ara las masas m@, m, m7@N gr7&.@Ng

    7G

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    22/29

    -0ara la masa m 7 G.gr 7 &.&G5g

    T7&.Gs

    TT>TA/7&.GIGS&.FGS&[email protected]

    @.GUUUUUUUUUUUUUUUU.@&&V

    @.IGUUUUUUUUUUUUUUUUUx

    D7@&.@V

    Entonces la di$erencia porcentual es .@V

    EJERCICIO #

    'etermine la ecuacin x7x t para las oscilaciones de cada una de las masasempleadas en la actividad .

    'ato8

    7G

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    0ara la masa m 7 G.gr 7 &.&G5g

    X7&.GF

    D7&.&sen &.GGtSW

    EJERCICIO $

    Realice una gr"$ica con el periodo T en el ee D, y la masa m en el ee 9. 4alle laecuacin matem"tica m7mT entre las dos cantidades.

    0.3 0.3% 0.4 0.4% 0.% 0.%% 0.

    0

    0.0%

    0.1

    0.1%

    0.2

    0.2%

    P/(&+&,T-

    M,m-

    85 T5

    0.19& 0.%$%

    0.13& 0.%00

    0.0$9 0.3%0

    /a ecuacin que relaciona los datos de m 7 m T es la siguiente8

    T=2m

    k

    'espeando la ecuacin para que la masa quede en $uncin al periodo

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    T

    2 =

    m

    k

    ( 2T)2

    =k

    m

    m= k

    ( 2T)2

    m (T)=k 1

    2=

    k

    2

    EJERCICIO %

    'emuestre que la energa total del bloque resorte solo depende de la amplitud y laconstante el"stica 5.

    (abemos que8

    Em=Ek+Ep

    a sabemos que8

    Ek=1

    2mv

    2

    UU..

    0ero la velocidad en un OA( est" dado por8

    v=Asen (t+ )=v2=2A2 sen2 (t+ ) UUU !

    Reempla#amos !en () :

    Ek=1

    2m

    2A

    2sen

    2 (t+) " " " " "(1)

    b Tambi*n sabemos que8

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    Ep=1

    2k x

    2" " " ..(#)

    0ero la posicin en un OA( est" dado por8

    x=Acos (t+ )=x2=A2 cos2 (t+ ) " " "($)

    Reempla#amos ($)en(#) :

    Ep=1

    2k A

    2cos

    2 (t+ )" " " %(2)

    c 6inalmente sumamos @ y 8

    Em=Ek+Ep

    Em=1

    2m

    k

    mA

    2sen

    2 (t+ )+1

    2k A

    2cos

    2 (t+ )

    Em=1

    2k A

    2

    UUUUU..'.;.;.,

    EJERCICIO &(uponga que los "tomos de %elio de un gas oscilan con OA( vibrando con la misma

    &=4x 1012'( de la lu# por estos. Entonces determine la constante el"stica asociada

    a la vibracin de las mol*culas. onsidere la tabla peridica para estimar la masa decada mol*cula que vibra.

    a (abemos por la tabla peridica que8

    masa molecular 'elio=4,2 g

    mol

    n=m)=mol*culas

    6,023x 1023

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    b 'espeamos la masa para @ mol*cula8

    m=mol*culas x )

    6,023x 1023

    =(4,002)(1)mol

    6,023x1023

    mol% gr=6,644x1024 gr=

    6,644x1024 gr % 1kg

    1000gr=6,644x 1027 kg

    c A%ora sabemos que por ser un OY(8

    &recuencia+ngular==2&

    =2 (3,1415 )(4x1012 )ra,seg

    =2,5132x1013ra,

    seg

    6inalmente %allaremos 2538

    2=

    k

    m==

    k

    m

    'espeamos 2538

    k=2 % m=(2.5132x 1013 )2 (6,644x1027 ) kg % 1s2

    %m

    m=4,1939

    N

    m

    Rpta8 /a constante 5 posee un valor de '1&3& Nm.

    EJERCICIO 1

    Escribir las conclusiones y recomendaciones m"s relevantes en esta experiencia.

    CONCLUSIONES

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    Al $inali#ar nuestro laboratorio se puede llegar a la conclusin de que se puede

    encontrar una relacin para la $uer#a, amplitud, y el periodo.

    En la primera actividad logramos nuestro obetivo, el cual era el de encontrar la

    constante el"stica del movimiento armnico simple, mediante una serie de

    pruebas que se bas en agregarle las respectivas masas. O@, O, O, OF

    En nuestra segunda actividad concluimos en que el perodo del movimiento es el

    mismo para las di$erentes amplitudes.

    En nuestra tercera actividad se logr observar que mediante una amplitud

    constante en un OA( tambi*n se deduce que la $uer#a ser" constante.

    (e pudo comprobar experimentalmente con la ayuda del Dplorer +/D que el

    periodo se mantiene constante si la masa del bloque que sostiene el resorte es elmismo.

    RECOMENDACIONES

    (i seguimos evaluando y dando amplitudes en un rango establecido por eemplo

    de @ a @,; @,F; @,G; etc. y comparamos el periodo y los dem"s resultadosmediante un Dplore lo obtenido ser" m"s preciso o m"s exacto.

    0odramos comprobar la experiencia del movimiento armnico simple usando unsistema de masa y resorte, pero en este caso sera un sistema %ori#ontal y luegocompararamos diversos datos con la experiencia en un sistema vertical.

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    ANEXO

    OSCILADOR ARMNICO

    (e dice que un sistema cualquiera, mec"nico, el*ctrico, neum"tico, etc., es

    un *sc+,-.*/ -/m0+c*si, cuando se dea en libertad $uera de su posicinde equilibrio, vuelve %acia ella describiendo oscilaciones sinusoidales, o

    sinusoidales amortiguadas en torno a dic%a posicin estable.

    El eemplo es el de una masacolgada a un resorte. uando se alea la masa de su

    posicin de reposo, el resorte eerce sobre la masa una $uer#aque

    es proporcionalal desequilibrio distancia a la posicin de reposo y que est"

    dirigida %acia la posicin de equilibrio. (i se suelta la masa, la $uer#a del resorte

    acelera la masa %acia la posicin de equilibrio. A medida que la masa se acerca a

    la posicin de equilibrio y que aumenta su velocidad, la energapotencialel"sticadel resorte se trans$orma en energa cin*ticade la masa.

    uando la masa llega a su posicin de equilibrio, la $uer#a ser" cero, pero como la

    masa est" en movimiento, continuar" y pasar" del otro lado. /a $uer#a se invierte

    y comien#a a $renar la masa. /a energa cin*tica de la masa va trans$orm"ndose

    a%ora en energa potencial del resorte %asta que la masa se para. Entonces este

    proceso vuelve a producirse en direccin opuesta completando una oscilacin.

    http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Electricidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Neum%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Equilibrio_mec%C3%A1nicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Sinusoidehttp://es.wikipedia.org/wiki/Masahttp://es.wikipedia.org/wiki/Resortehttp://es.wikipedia.org/wiki/Fuerzahttp://es.wikipedia.org/wiki/Proporcionalidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Velocidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_potencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_potencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Deformaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Deformaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_cin%C3%A9ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Electricidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Neum%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Equilibrio_mec%C3%A1nicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Sinusoidehttp://es.wikipedia.org/wiki/Masahttp://es.wikipedia.org/wiki/Resortehttp://es.wikipedia.org/wiki/Fuerzahttp://es.wikipedia.org/wiki/Proporcionalidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Velocidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_potencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_potencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Deformaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_cin%C3%A9tica
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    (i toda la energa cin*tica se trans$ormase en energa potencial y viceversa, la

    oscilacin seguira eternamente con la misma amplitud. En la realidad, siempre

    %ay una parte de la energa que se trans$orma en otra $orma, debido a

    la viscosidaddel aire o porque el resorte no es per$ectamente el"stico. As pues, la

    amplitud del movimiento disminuir" m"s o menos lentamente con el paso deltiempo. (e empe#ar" tratando el caso ideal, en el cual no %ay p*rdidas. (e

    anali#ar" el caso unidimensionalde un 1nico oscilador para la situacin con

    varios osciladores, v*ase movimiento armnico compleo.

    http://es.wikipedia.org/wiki/Viscosidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Unidimensionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Unidimensionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_arm%C3%B3nico_complejohttp://es.wikipedia.org/wiki/Viscosidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Unidimensionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_arm%C3%B3nico_complejo