LABORATORIO DE INTRODUCCION A LAS TELECOMUNICACIONES

PRACTICA N 2

TEMA 1: DESARROLLO DE LA SERIE DE FOURIER

Alumno: Libia Benacir Romero Escobedo

Cdigo: 11190110

Horario: Lunes 10-1 pm

I. OBJETIVO:

Haciendo uso de MATLAB, verificar la serie trigonomtrica y exponencial de Fourier y desarrollar los ejercicios propuestos en el cuestionario:

II. PROCEDIMIENTO:

1. Desarrolle la serie trigonomtrica de Fourier de la funcin:

() = {, 0

, 2

Grafique la serie de Fourier f(t), en MATLAB:

SOLUCION

La funcin f(t) es una funcin impar cuya serie trigonomtrica de Fourier es:

() = (4

) [sin + (

1

3) sin 3 + (

1

5) sin 5 + ]

Fs=1000;

t=(1:100)/Fs;

w=2*pi*10;

f=(8/pi)*(sin(w*t)+(1/3)

*sin(3*w*t)+(1/5)*sin(5*w*t)+(1/7)

*sin(7*w*t)+(1/9)*sin(9*w*t));

plot(t,f)

grid

2. Desarrolle la siguiente serie trigonomtrica de Fourier, para:

() = {, /2 /2

, /2 3/2

SOLUCION:

Dado que f(t) = funcin par cuya serie trigonomtrica de Fourier est dada por:

() = (4

) [cos (

1

3) cos 3 + (

1

5) cos 5 (

1

7) cos 7 + (1/9)cos (9)]

Fs=1000; t=(1:100)/Fs; w=2*pi*10; f=(8/pi)*(cos(w*t)-(1/3)*cos(3*w*t)+(1/5)*cos(5*w*t)-(1/7)*cos(7*w*t)+(1/9)*cos(9*w*t)-(1/11)*cos(11*w*t)-(1/13)*cos(13*w*t)); plot(t,f) grid

3. De acuerdo al problema 2, la expresin general de la serie trigonomtrica de Fourier para funcin f(t) par, esta dado por:

() = (4

) (

1

) sin (

2) cos

Desarrolle mediante la instruccin de control de flujo FOR del Matlab:

SOLUCION:

Fs=100; t=(-100:100)/Fs;

w=2*pi; A=2; f=0; for n=1:1000;

f=f+(4*A/(n*pi))*(sin(n*0.5*pi))*cos(n*w*t); end; plot(t,f) xlabel('t(seg)') ylabel('AMPLITUD') title('FUNCION PAR ONDA CUADRADA') grid

CUESTIONARIO FINAL TEMA 1

1. Dada la expresin de la serie de Fourier trigonomtrica, desarrolle la grfica de f(t). Usando el criterio del problema 3.

Dada la serie:

() =

2 (

1

) sin(0) . () = (0,1).

Fs=100; t=Fs\(-100:100); w=1; A=2; f=0 for n=1:1000; f=f+2\A-((n\1)*sin(n*w*t)); end; plot(t,f) xlabel('t(seg)') ylabel('AMPLITUD') title('FUNCIN') grid

2. Desarrolle la exponencial de Fourier, si () = sin() en el intervalo (0,1). Grafique la S.E.F.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1998

998.5

999

999.5

1000

1000.5

1001

1001.5

1002

t(seg)

AM

PLIT

UD

S.T.F de la funcion impar

fs=100; t=(0:100)/fs; w=2*pi; A=4; f=(A/(2*j))*(exp(j*pi*t)); plot(t,f); xlabel('tiempo(seg)') ylabel('ampitud') title('Forma exponencial de la funcin Seno')

3. Programa en Matlab la siguiente serie trigonomtrica.

() = (4

()2) cos() ; =

Fs=100; t=Fs\(-100:100); w=1; A=2; f=0 for n=0:1000;

f=f+((((2*n+1)*pi)^2)\(4*A)*cos(n*w*t)); end; plot(t,f) xlabel('t(seg)') ylabel('AMPLITUD') title('FUNCIN DE ONDA TRIANGULAR') grid

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

tiempo(seg)

am

plit

ud

Forma exponencial de la funcin Seno

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.82

0.84

0.86

0.88

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

t(seg)

AM

PLIT

UD

FUNCIN DE ONDA TRIANGULAR

4. Grafique la serie exponencial de Fourier de la funcin () = . 2 en t

[0,1].

Fs=100; t=(-100:100)/Fs; w=2*pi; A=1; f=0; for n=-300:300;

f=f+(A/(2*pi*n*j+2))*0.865*exp(2*pi*n*t*j); end; plot(t,f) xlabel('tiempo (seg)') ylabel('Amplitud') title('Serie exponencial de Fourier de la funcin')

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

tiempo (seg)

Am

plit

ud

Serie exponencial de Fourier de la funcin

TEMA 2: DESARROLLO DE LA TRASFORMADA RAPIDA DE FOURIER

I. OBJETIVO:

Haciendo uso de MATLAB, desarrollar la transformada de funciones no peridicas y la transformada rpida de Fourier FFT de seales muestreadas y mostrar las grficas correspondientes en el dominio del tiempo y la frecuencia.

II. PROCEDIMIENTO:

1. Desarrolle la transformada de Fourier usando Matlab cuya expresin es:

N=128; t=linspace(0,3,N); f=2*exp(-20*t); figure(1) plot(t,f) xlabel('Time,seg'), ylabel('f(t)'), grid axis([0 0.3 0 2]); Ts=(2)-t(1);

Ws=2*pi/Ts; F=fft(f); Fp=F(1:N/2+1)*Ts; W=Ws*(0:N/2)/N; figure(2) plot(W,abs(Fp),'+') xlabel('frequency,Rad/s'), ylabel('|F(W)|')

2. Desarrolle la grfica de la transformada de Fourier desarrollada:

N=128; t=linspace(0,3,N); Ts=t(2)-t(1); Ws=2*pi/Ts; W=Ws*(0:N/2)/N; Fa=2./(20+j*W); figure(3) plot(W,abs(Fa)) xlabel('frequency,Rad/s'), ylabel('|F(W)|')

3. Desarrolle la transformada rpida de Fourier de una seal muestreada

() = () (

2

4) = 0,1,2,3,

Cuyo desarrollo est dado por el siguiente programa:

m=[0,1,2,3,4,5]; Xn=[1,2,3,4,5,6]; Xk=fft(Xn); Xmag=abs(Xk); Xphase=angle(Xk); figure(1) plot(m,Xmag),axis([0 5 0 23]); figure(2) Stem(m,Xmag) figure(3) Stem(m,Xphase)

4. Para la suma de dos seales senoidales contaminado con ruido desarrolle la grfica en el dominio del tiempo y su respectiva grafica de Fourier.

t=0:0.001:0.6; x=sin(2*pi*50*t)-sin(2*pi*120*t); y=x+2*randn(size(t)); figure(4) plot(y(1:50)) Y=fft(y,512); Pyy=Y.*conj(Y)/512; f=1000*(0:255)/512; figure(5) plot(f,Pyy(1:256))

5. Desarrolle la transformada de Fourier de la suma de tres seales senoidales:

Fs=100; t=(1:100)/Fs;

s1=5*sin(2*pi*t*5);s2=10*sin(2*pi*t*15);s3=7*sin(2*pi*t*30) s=s1+s2+s3; figure(1) plot(t,s); S=fft(s,512); w=(0:255)/256*(Fs/2); figure(2) plot(w,abs([S(1:256)]));

6. Desarrolle la grafica de la transformada de la funcin de muestreo Sa(x):

fplot('6*sin(x)./x',[-30 30 -.2 6]) title('fplot of f(x)=5.sin(x)/x') xlabel('x') ylabel('f(x)')

CUESTIONARIO FINAL TEMA 2

1. Desarrolle la transformada rpida de Fourier de la funcin Sa(t).

N=1000; t=linspace(-30,30,N); f=sin(t)./t; figure(1) plot(t,f) axis([-30 30 0 1.5]) title('Funcion

Sampling');xlabel('time(seg)'),ylabel('amplitud'),grid grid Ts=t(2)-t(1); Ws=2*pi/Ts; F=fft(f); Fp=F(1:N/2+1)*Ts; W=Ws*(0:N/2)/N; figure(2) plot(W,abs(Fp)) axis([0 3 0 3.5]); xlabel('Frequency'),ylabel('|F(W)|');

2. Si () = ( + )/2 . Determine su

transformada rpida de Fourier.

t=0:0.01:3; w=2*pi; A=5; f=A*cos(w*t); figure (1) plot(t,f) title('Funcin cosenoidal en funcin del tiempo') xlabel('tiempo (seg)')

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.5

1

1.5Funcion Sampling

time(seg)

am

plit

ud

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Frequency

|F(W

)|

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5Funcin cosenoidal en funcin del tiempo

tiempo (seg)

f(t)

ylabel('f(t)') L=length(f); NFFT = 2^nextpow2(L); Y = fft(f,NFFT)/L; f = Fs/2*linspace(0,1,NFFT/2+1); figure (2) plot(f,2*abs(Y(1:NFFT/2+1))) title('Y en funcin de w') xlabel('Frecuencia (rad por seg)') ylabel('|Y(f)|')

3. Dado () = sin . Desarrolle su transformada rpida de Fourier.

t=0:0.01:3; w=2*pi; A=5; f=A*sin(w*t); figure (1) plot(t,f) title('Funcin senoidal en funcin del tiempo') xlabel('tiempo (seg)') ylabel('f(t)') L=length(f); NFFT = 2^nextpow2(L);

Y = fft(f,NFFT)/L; f = Fs/2*linspace(0,1,NFFT/2+1); figure (2) plot(f,2*abs(Y(1:NFFT/2+1))) title('Y en funcin de w') xlabel('Frecuencia (rad por seg)') ylabel('|Y(f)|')

4. Desarrolle la transformada de Fourier de la seal muestreada m=[0,1,2,3] y Xm=[2,3,4,5].

m=[0,1,2,3];

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5Funcin sinusoidal en funcion del tiempo

tiempo (seg)

f(t)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5Y en funcin de w

Frecuencia (rad por seg)

|Y(f

)|

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

1

2

3

4

5

6Y en funcin de w

Frecuencia (rad por seg)

|Y(f

)|

Xm=[2,3,4,5]; Xk=fft(Xm); Xmag=abs(Xk); Xphase=angle(Xk); figure(1) plot(m,Xmag) xlabel('tiempo (seg)') ylabel('magnitud') title('Seal de Magnitud vs tiempo continuo') axis([0,5,0,23]); figure(2) stem(m,Xmag) xlabel('tiempo (seg)') ylabel('magnitud') title('Seal de Magnitud vs tiempo discreto') figure (3) stem(m,Xphase) xlabel('tiempo (seg)') ylabel('fase') title('Seal de Fase vs tiempo')

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

2

4

6

8

10

12

14

tiempo (seg)

magnitud

Seal de Magnitud vs tiempo discreto

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

5

10

15

20

tiempo (seg)

magnitud

Seal de Magnitud vs tiempo continuo

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-3

-2

-1

0

1

2

3

4

tiempo (seg)

fase

Seal de Fase vs tiempo