1 Ttulo: Determinacin de la relacin de proporcionalidad entre el periodo y la longitud de un pndulo simple Edgar Rodrguez. Profesor de Unidad de Ciencias Bsicas. Facultad de Ingeniera y Arquitectura. Universidad de El Salvador. 2 INDICE I.RESUMEN..3. II.INTRODUCCIN...4. III. MATERIALES Y MTODOS.... 5. IV. RESULTADOS.6. V.DISCUSIN.8. VI. REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS9. VII. ANEXOS.9. 3 I.Resumen. El presente trabajoexperimental consiste en verificar que la relacin de proporcionalidad entre elperiododeoscilacindeunpndulosimpleysulongitudespotencial,laquesegnel modelo del oscilador armnico simple es T = k l donde k, la constante de proporcionalidad es 2t/g. Despusderealizarunexperimentosencilloenelquemedimoseltiempode10oscilaciones paradiferenteslongitudesdelpndulo;graficamosydeterminamoslaecuacinempricaque relaciona a las variables, el resultado con un ajuste de mnimos cuadrados fue: T = 0.2044 l 0.4962 Al comparar el valor terico del exponente con el valor experimental, observamos que el error que representa la validez del experimento es de 0.76%, menos del 1%. Este resultado indica que el experimento realizado tiene una excelente calidad y precisin, este experimento puede ser reproducido con plena confianza por otro investigador.

Palabras clave: periodo, oscilador, pndulo simple, longitud del pndulo, mnimos cuadrados. 4 II.Introduccin. En el curso de Mtodos Experimentales, se pretende que el estudiante conozca y aplique paso a pasoelmtodocientficoexperimental,paratalfinseproponecomoejemploverificarel modelo o teora conocida que describe el movimiento de un pndulo simple, a saber, el modelo del oscilador armnico simple. Paraformularelproblemaserealizanlasactividadespropuestasporelmtodo:observacin del fenmeno y consulta bibliogrfica. Enlaobservacindelfenmeno,hicimososcilarunaesferapequeaconunaamplitud aproximadade3cm,atendiendolateoraconocidasobreelmodeloparaoscilaciones pequeas. Luegodeidentificaralgunasmagnitudesfsicasqueintervienenenelfenmeno,seinvestig posibles relaciones entre las mismas, verificando que el periodo de oscilacin de la partcula no dependedelamasadelapartculaoscilantenidelaamplituddelaoscilacinsinosolo depende de la longitud del pndulo. Enlainvestigacinbibliogrficapudimosconocerlarelacindeproporcionalidadentreel periodode oscilacin y la longitud del pndulo, as como las aproximaciones a considerar en la verificacin del modelo mencionado. Seformularondiferenteshiptesis,losestudiantesqueparticiparonenelexperimentono valoraron suficientemente la consulta bibliogrfica y plantearon que el periodo del pndulo es directamente proporcional a la longitud del pndulo. Planteado el problema y la hiptesis se procedi a disear el experimento,tomando en cuenta lareginenlaqueinteresanlosresultadosylaprecisinrequeridadeestos,seeligieronlos instrumentosdemedicin,seredactelprocedimientoexperimental,realizamosel experimento de prueba y el anlisis tentativo de los resultados. Se analizaron los resultados del experimento en forma grafica y se encontr la relacin emprica entre las variables consideradas. 5 III.Materiales y mtodos. ConlaayudadeungrupodeestudiantesdelaasignaturaMtodosExperimentalesdela Facultad de Ingeniera de la Universidad de El Salvador, diseamos el experimentobasados enlaobservacindelfenmeno,enlaqueverificamosqueelperiododeoscilacindelpndulo solodependedelalongituddelmismo,aselexperimentodeberesponderalasiguiente pregunta Cul es la relacin de proporcionalidad entre el periodo y la longitud de un pndulo simple? Lavariableindependienteeslalongituddelacuerda,lacualvariamosentre20y150cm,la variable dependiente ser el periodo de oscilacin, el cual tom valores entre 0.5 y 3 sComopndulosimpleusamosunaesferapequeadeaceroconundimetrode aproximadamente 1 cm, unida a una cuerda de masa despreciable de unos 2 m de longitud. Los instrumentosdemedicinson:unacintamtricagraduadaenmilmetrosyuncronmetro digitalconunaescalamnimadecentsimasdesegundo.Estosmedidorescumplenconlos requisitos de precisin que requieren nuestros resultados. Dispusimoselpnduloenunabaseyenunsoportequepermitaextenderlacuerdayfijar diferentes valores de longitud asignados previamente, tal como se muestra en la tabla 1 y figura 1. Paracadavalordelongitud delacuerda,medimoseltiempoquetarda elpnduloenrealizar 10oscilaciones,estaoperacinlarepetimos3vecesycalculamoslamediaaritmtica,luego calculamos la duracin de una oscilacin (periodo de oscilacin), dividiendo la media aritmtica por 10. Graficamosenunpardeejescoordenadoscadavalordelalongitudyelcorrespondiente periodoyprocedimosacalcularlasconstantesdelaecuacinempricaquerelacionaalas variables;paracompararnuestroexperimentoconelmodelotericoaplicamoselmtodode mnimos cuadrados para ajustar los datos. Tambin graficamos en papellogartmico y encontramos las constantes por mtodo grafico. 6 Figura 1. El pndulo simple. IV.Resultados. Losdatosasignadosalalongitudylosobtenidosdelperiodoseregistraronenlatabla1.A continuacingraficamosparaobservarlatendenciaycalcularlasconstantes;comoesuna relacin potencial, figura 2, encontramos la constante de proporcionalidad,k y el exponente n, el cual debe ser mayor que cero pero menor que 1. Tabla 1. Resultados. Longitud y periodo de un pndulo simple. l (cm) T1 (s) T2 (s) T3 (s) Tprom(s) T(s)10.0 6.47 6.41 6.60 6.49 0.6520.0 8.81 8.79 8.94 8.85 0.8940.0 12.50 12.97 12.63 12.70 1.2760.0 15.75 15.69 15.41 15.62 1.5680.0 18.19 18.03 18.18 18.13 1.8190.0 19.21 19.12 19.15 19.16 1.92100.0 20.19 20.09 20.25 20.18 2.02120.0 21.94 21.91 21.97 21.94 2.19150.0 24.34 24.38 24.40 24.37 2.44 7 Figura 2. T vrs l. pndulo simple. Para el clculo del exponente y la constanteusamos las expresiones: yn n nxyxyxy= = = = .... k2211 Para n obtuvimos un valor de 0.489 y para k, 0.211 cm/s0.489 La grfica en papel logartmico se muestra en anexo 3. El mtodo de mnimos cuadradospara el ajuste de datos experimentales diopara n un valor de 0.4962 y para k, 0.2044 cm/s0.4962 el clculo de las constantes por este mtodo se muestra tambin en anexo 2 La curva ajustada se muestra en la figura 3. El porcentaje de error al comparar el valor del exponente de este experimento con el valor del modelo terico que es n = 0.5, da 0.76% 00.511.522.530.0 50.0 100.0 150.0 200.0T (s)l (cm)pndulo simple.T vrs l) () (2121llLogTTLogn =8 Figura 3. Ajuste de curva T vrs l V.Discusin. Tomandoencuentaquedescartamoslahiptesissugeridaporlosestudiantes,Larelacinentreel periodo y la longitud del pndulo es de proporcionalidad directa basada en la observacin del fenmeno. Losresultadosconfirmanlahiptesisplanteadaenbasealainvestigacinbibliogrfica,segnelmodelo terico,elexponenteenlarelacinT=kl n es0.5ylaconstantek=0.2007s/cm0.5 tomandola aceleracin de la gravedad como 980 cm /s2. Obtuvimosen el experimentopara el exponente un valor de0.4962yparalaconstante0.2044s/cm0.5. Comparandoelvalorexperimentaldelexponenteconel valor terico del mismo, obtuvimos un error porcentual de 0.76, lo que indica que el resultado de este experimento se considera ms que aceptable. Por la exactitud obtenida podemos sugerir que el experimento puede servir para calcular la aceleracin de la gravedad(945 cm/s2) en el lugar donde se realiz el experimento, igualando la constante de proporcionalidad obtenida a 2t/g. T = 0.2044 l 0.496200.511.522.530.0 50.0 100.0 150.0 200.0T (s)l (cm)pndulo simple.T vrs lPotencial9 VI.Referencias Bibliogrficas. Sears, F.; Zemansky, M,; Young, H.; Freedman,R. (2005). Fsica Universitaria volumen 1, undcima edicin, Mexico, Pearson. Resnick, R.; Halliday, D.; Krane, K (2002). Fsica volumen 1, cuarta edicin, Mxico, CECSA VII.Anexos. Anexo 1: Investigacin terica sobre el pndulo simple. El pndulo simple. Un pndulo simple se define como una partcula de masa m suspendida del punto O por un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable. Si la partcula se desplaza a una posicin u0 (ngulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el pndulo comienza a oscilar. El pndulo describe una trayectoria circular, un arco de una circunferencia de radio l. Estudiaremos su movimiento en la direccin tangencial y en la direccin normal.Las fuerzas que actan sobre la partcula de masa m son dos-el peso mg-La tensin T del hilo

Descomponemos el peso en la accin simultnea de dos componentes, mg senuen la direccin tangencial y mg cosu en la direccin radial.Ecuacin del movimiento en la direccin radialLa aceleracin de la particula es an=v2/l dirigida radialmente hacia el centro de su trayectoria circular. La segunda ley de Newton se escribe man=T-mg cosu10 Conocido el valor de la velocidad v en la posicin angular upodemos determinar la tensin T del hilo. La tensin T del hilo es mxima, cuando el pndulo pasa por la posicin de equilibrio, T=mg+mv2/l Es mnima, en los extremos de su trayectoria cuando la velocidad es cero, T=mgcosu0Principio de conservacin de la energa. En la posicin =0 el pndulo solamente tiene energa potencial, que se transforma en energa cintica cuando el pndulo pasa por la posicin de equilibrio. Comparemos dos posiciones del pndulo: En la posicin extrema =0, la energa es solamente potencial. E=mg(l-l cos0) En la posicin , la energa del pndulo es parte cintica y la otra parte potencial La energa se conserva, v2=2gl(cos-cos0). La tensin de la cuerda es T=mg(3cos-2cos0) La tensin de la cuerda no es constante, sino que vara con la posicin angular . Su valor mximo se alcanza cuando =0, el pndulo pasa por la posicin de equilibrio (la velocidad es mxima). Su valor mnimo, cuando =0 (la velocidad es nula). Ecuacin del movimiento en la direccin tangencialLa aceleracin de la partcula es at=dv/dt. La segunda ley de Newton se escribe mat=-mg senuLa relacin entre la aceleracin tangencial at y la aceleracin angular o es at=o l. La ecuacin del movimiento se escribe en forma de ecuacin diferencial (1) Cuando el ngulo ues pequeo entonces, senu ~ u , el pndulo describe oscilaciones armnicas cuya ecuacin es u =u0sen(e t+ ) de frecuencia angular e2=g/l, o de periodo 11 Anexo 2: Ajuste de mnimos cuadrados Ecuaciones normales ecuacin de regresin potencial: E Log T = n Log a + b E Log l (1) E Log l Log T = Log a E Log l + b E (Log l) 2 (2)l(cm)t10(s)log lT(s)log TlogT*logllogl*logl 106.47 1.000000000.647-0.1891-0.18911.000000000 208.81 1.301030.881-0.055-0.07161.69267905 4012.5 1.602059991.250.09690.15532.566596216 6015.75 1.778151251.5750.19730.35083.161821869 8018.19 1.903089991.8190.25980.49453.621751499 9019.21 1.954242511.9210.28350.55413.819063786 10020.19 2.00000002.0190.30510.61034.000000000 12021.94 2.079181252.1940.34120.70954.322994654 15024.34 2.176091262.4340.38630.84074.735373168 15.79384624 1.62613.454428.920280241 Resolviendo paraa y b: a = 0.4962 b =0.2044 cm/s0.4962 12 Anexo 3: Grfico logartmico. 0.11101.0 10.0 100.0 1000.0T (s)l (cm)pndulo simple.T vrs l