Comportamiento de un sistema masa resorte.

Darwin Calderon, Santiago Frye, Yuli Marcela Nova y Duvan Felipe Ossa.

Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas, Universidad de Ibagué, Carrera 22 Calle 67. B/Ambalá, Ibagué, Tolima.

E-mail: 2420141028@estudiantesunibague.edu.co

Resumen

La finalidad de esta práctica de laboratorio fue analizar el movimiento de un sistema masa resorte, en un enfoque estático y dinámico utilizando la ley de Hooke y las leyes de Newton. Hallando la constante de elasticidad para cada caso. Para esto en el enfoque estático medimos la elongación con tres masas y con tres resortes diferentes y hallamos K. Y en el enfoque dinámico medimos el tiempo que tarda en realizar 5 oscilaciones y hallamos K para los tres resortes con dos masas diferentes. Adicionalmente se colocaron dos de los resortes en serie y en paralelo y se halló K para comparar con su constante de elasticidad hallada individualmente. La práctica realizada en el laboratorio arroja diferentes resultados en los que se pueden evidenciar lo ocurrido en estos sistemas e inferir acerca de los conceptos anteriormente mencionados.

Palabras clave: Fuerzas, longitud, oscilación, gravedad, estática, dinámica, periodo.

1. INTRODUCCIÓN

Con este laboratorio se buscó comprender el comportamiento de un sistema masa resorte y hallar las constantes de elasticidad de tres resortes en el enfoque estático, para compáralos con las constantes halladas en el enfoque dinámico. Y observar cómo cambia el valor de K para la configuración de serie y paralelo de dos de los resortes inicialmente utilizados, teniendo en cuenta los factores de error.. Partiendo de algunos conocimientos previos obtenidos en las clases, sobre los sistemas oscilatorios.2. MARCO TEORICO

El sistema masa resorte es un sistema oscilatorio estudiado por Hooke (1635-1703), físico-matemático, químico y astrónomo inglés, quien demostró el comportamiento relativo a la

elasticidad de un cuerpo. Observó que había un aumento de la longitud del cuerpo que era proporcional a la fuerza aplicada.

Ley de Hooke, que dice que cuando un cuerpo es deformado dentro de su rango elástico, la deformación es proporcional a la fuerza que la produce.Es decir cuando se cuelga una masa m en un resorte, éste se alarga (se deforma) y el alargamiento está relacionado con la fuerza aplicada (peso colgado) según la ecuación:

F=−K∗X=m. g(1)

En el análisis dinámico del sistema masa-resorte, se considera el resorte en la posición inicial A sin estar sometido a cargas externas (ver figura 1). Cuando una carga m se le agrega, el resorte se estira hasta la posición B de modo que allí se cumpla la relación:

mg = k xo , donde xo = AB. Pero si se estira el sistema una distancia BC = x entonces la fuerza total sobre la masa m será:

De acuerdo a la segunda ley de Newton:

F=m . a(2)

O bien

md2 xd t2 =−K . X

(3)Teniendo en cuenta que experimentalmente se presenta un error se aplicó la ecuación del error porcentual:

E=V T−V E

V T

3. MATERIALES Y MÉTODOS

3.1. ELEMENTOS DEL MONTAJE

Elementos De Medida:

Cronometro +¿−¿¿ ¿ 0,01seg

Cintra métrica +¿−¿¿ ¿ 0,1cm

Elementos De Montaje:

Base MetálicaConjunto De ResortesMasas

3.2. PROCEDOMIENTO

3.2.1. Modelo estático

Inicialmente se tomó un resorte y se coloco en la parte superior de la base metálica se midió la elongación inicial o natural del resorte, después se colocó en el resorte tres masas diferentes, midiendo igualmente la elongación del resorte, y graficamos para hallar el valor de K a (constante de elasticidad). Después se repitió este procedimiento con otros dos resortes.

3.2.2. Modelo dinámico

En un resorte se colocaron tres masas determinadas, y se estiro el resorte 3 cm por debajo del punto de equilibrio, se dejó el cuerpo en libertad y se midió el tiempo que tardo en realizar 5 oscilaciones tomando esta medida 4 veces para tener un error menor, se registró los datos en una tabla para hallar el valor de K (la constante de elasticidad). Después repetimos este procedimiento con otros dos resortes.

Después se colocaron dos de los resortes utilizados en el procedimiento anterior y se le colocaron cada una de las tres masas utilizadas anteriormente, estirando el resorte 3cm por debajo de su punto de equilibrio y midiendo el tiempo que tarda en realizar 5 oscilaciones. Para hallar K y compararla con las constantes de elasticidad de estos mismos resortes hallados individualmente.

4. RESULTADOS Y DISCUSIONES

4.1. Experimento estático

Aplicando la metodología anteriormente mencionada del modelo estático se registraron los datos en la siguiente tabla:

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.160

0.5

1

1.5

2

2.5

f(x) = 13.728013158942 x

x = elongación (m)

Peso

(N)

Resorte 1masa (g) masa(kg) peso (N) longitud(cm) longitud(m) elongación

0 0 0 9,2 0,092 0

100 0,1 0,98 16,23 0,1623 0,0703

150 0,15 1,47 20,13 0,2013 0,1093

200 0,2 1,96 23,36 0,2336 0,1416

Según la ecuación 1

−K∗X=m. g

Donde K es la pendiente de esta grafica

De esta ecuación obtenemos que k para el resorte uno es aproximadamente:

K=13.73Nm

Según la ecuación 1

−K∗X=m. gDonde K es la pendiente de esta grafica

De esta ecuación obtenemos que k para el resorte dos es aproximadamente:

K=18.01Nm

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090

2

4

6

8

10

12f(x) = NaN x

x = elongación (m)

Peso

(N)

Según la ecuación 1

−K∗X=m. gDonde K es la pendiente de esta grafica

De esta ecuación obtenemos que k para el resorte dos es aproximadamente:

K=23.27Nm

4.2. Experimento dinámico

Utilizando la segunda ley de Newton tenemos que:

m x=−kx

x+ km

. x=0

Dónde:

km

=ω2

Y sabemos que ω equivale a:

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120

0.5

1

1.5

2

2.5

f(x) = 18.0069697187054 x

x = elongación (m)

Peso

(N)

Resorte 2masa (g) masa(kg) peso (N) longitud(cm) longitud(m) elongación

0 0 0 3,93 0,0393 0

100 0,1 0,98 9,36 0,0936 0,0543

150 0,15 1,47 12,25 0,1225 0,0832

200 0,2 1,96 14,70 0,147 0,1077

Resorte 3masa (g) masa(kg) peso (N) longitud(cm) longitud(m) elongación

0 0 0 4,63 0,0463 0

100 0,1 0,98 9,7 0,097 0,0507

150 0,15 1,47 10,7 0,107 0,0607

200 0,2 1,96 12,7 0,127 0,0807

ω=2 πT

A partir de esto obtenemos:

√ km

=2 πτ

Despejando:

k=m( 2πT )

2

Desarrollando la metodología descrita recogimos los siguientes datos para el primer resorte:

resorte 1masa (g) 100 200masa (kg) 0,1 0,2t1 (s) 2,91 3,78t2 (s) 2,9 3,73t3 (s) 2,86 3,8t4 (s) 2,72 3,83t5 (s) 2,75 3,74t (s) 2,828 3,776T (s) 0,566 0,755

Para la masa 1 obtenemos:

k=0,1 kg( 2 π0,57 s )

2

=12,15Nm

Para la masa 2 obtenemos:

k=0,2 kg( 2 π0,755 s )

2

=13,85Nm

Lo cual es muy aproximado a la K obtenida en el modelo estático, en el que K fue de 13,73 N/m.

Para el resorte dos:

resorte 2masa (g) 100 200masa (kg) 0,1 0,2t1 (s) 2,34 3,49t2 (s) 2,32 3,36

t3 (s) 2,47 3,42t4 (s) 2,46 3,37t5 (s) 2,33 3,48t (s) 2,384 3,424T (s) 0,477 0,685

Para la masa 1 obtenemos:

k=0,1 kg( 2 π0,48 s )

2

=17,35Nm

Para la masa 2 obtenemos:

k=0,2 kg( 2 π0,68 s )

2

=17,08Nm

En el modelo estático, en el que K fue de 18,01 N/m.

Para el resorte 3:

resorte 3masa (g) 100 200masa (kg) 0,1 0,2t1 (s) 1,95 2,87t2 (s) 2,02 2,81t3 (s) 2,1 2,86t4 (s) 2,18 2,85t5 (s) 1,93 2,89t (s) 2,036 2,856T (s) 0,407 0,571

Para la masa 1 obtenemos:

k=0,1 kg( 2 π0,41 s )

2

=23,83Nm

Para la masa 2 obtenemos:

k=0,2 kg( 2 π0,57 s )

2

=24,3Nm

En el modelo estático, en el que K fue de 23,27 N/m.

Proseguimos con la configuración en paralelo utilizando el resorte 2 y 3.Teniendo que la elongación inicial es:15,4 cm.

resorte 2y3 En Paralelomasa (g) 200masa (kg) 0,2t1 (s) 2,23t2 (s) 2,5t3 (s) 2,42t4 (s) 2,35t5 (s) 2,22t (s) 2,344T (s) 0,469

Para esta masa obtenemos:

k=0,2 kg( 2 π0,47 )

2

=35,74Nm

De la investigación sobre los resortes en paralelo se encontró que

k e=δ [k1+k2]

δ=k1+k2

Y aplicando esta fórmula tenemos que K para el resorte 2y3 debería ser: 40,62 N/m

Aplicando la ecuación para hallar el error porcentual tenemos:

E%=V T−V E

V T

∗100 %

E%=40,62−35,7440,62

∗100=12%

Para la configuración en serie también utilizamos los resortes 2 y 3.Teniendo que la elongación inicial es: 18,55 cm.

resorte 2y3 En Seriemasa (g) 100 200masa (kg) 0,1 0,2t1 (s) 3,33 4,6t2 (s) 3,27 4,49t3 (s) 3,25 4,44t4 (s) 3,28 4,54t5 (s) 3,25 4,58t (s) 3,276 4,530T (s) 0,65 0,906

Para la masa 1 obtenemos:

k=0,1 kg( 2 π0,65 s )

2

=9,3Nm

Para la masa 2 obtenemos:

k=0,2 kg( 2 π0,906 s )

2

=9,6Nm

De la investigación sobre los resortes en serie se encontró que

k e=F

F [ 1k 1

+ 1k2

]= 1

1k1

+ 1k2

=k1 k2

k1+¿ k2¿

Y aplicando esta fórmula tenemos que K para el resorte 2y3 debería ser: 9,94 N/m

Aplicando la ecuación para hallar el error porcentual tenemos:

E%=V T−V E

V T

∗100 %

E%=9,94−9,459,94

∗100=4,93 %

5. CONCLUSIONES

Para el modelo estático podemos ver que se puede representar con la ecuación de la línea, para este caso representa el cambio del peso con respecto a la elongación y siendo la pendiente de esta relación K (la constante de elasticidad).

El periodo que tarda un resorte en realizar X oscilaciones depende de la masa que cuelga de este, la fuerza que posee un resorte es proporcional a la distancia que se alongué, la ley de Hooke no se puede cumplir si la fuerza que se le realice al resorte sobrepasa el límite de estiramiento de un resorte, además el periodo depende de la masa y de la constante de elasticidad.

En un movimiento masa-resorte se mueve verticalmente como un movimiento armónico simple, si despreciamos factores como la oposición del aire y demás y el desplazamiento que hace el cuerpo siempre oscilara entre la amplitud aplicada hacia arriba y abajo de su punto de equilibrio, el cual es la longitud elongada en el modelo estático y generada por el peso de una masa m.

6. BIBLIOGRAFIA

https://sites.google.com/site/timesolar/fuerza/primeraleydenewton

http://leoberrios.files.wordpress.com/2011/10/leyes-de-newton.pdf http://www1.uprh.edu/labfisi/manual/1st%20Part%20Experiment%2009.pdf