Proyecto Nro. 2: Races de Funciones

Algoritmos Numericos

Jonathan Morocho Jimenez

Escuela Politecnica Nacional

Facultad de Ingeniera de Sistemas

21 de marzo de 2014

1. Calculo de races con metodos iterativos

Se pretende resolver el siguiente problema:Dada una funcion continua, encontrar los valores de x para los cuales f(x) = 0. Los metodos numericoscon los que se va a trabajar permitiran obtener aproximaciones numericas al problema de la busquedade races de una funcion.

1.1. Criterios de Parada

Se debe tener un numero de iteraciones para evitar que el programa se siga ejecutando en casode que la sucesion (pn)

Nn diverge. En algunos casos se puede especificar el numero de iteraciones y en

otras se puede calcular, dependiendo del metodo. En caso de que la sucesion converga, se utilizara uncriterio de parada basado en propiedades o teoremas de cada metodo.

1.1.1. Criterio de Parada para el Metodo de Biseccion

El numero de iteraciones se puede encontrar basandonos en el siguiente teorema:

Teorema 1. (Error en el metodo de biseccion). Si f es continua en [a, b] y f(a).f(b) < 0, el metodode biseccion genera una sucesion (pn)

Nn que aproxima un cero p de f con la propiedad de que:

|p pn| b a2n

;n 1 (1)Como el valor |ppn| va disminuyendo en cada iteracion, se aproxima a una toleracia t seleccionada

y se tiene que

|p pn| b a2n

< t (2)

Tomando los dos ultimos miembros de esta inecuacion y despejando n se tiene que el numero deiteraciones necesarias n para llegar a la tolerancia t es:

n >

log

(b at

)log(2)

(3)

Con esto se evita que se ejecute infinitas iteraciones si la sucesion (pn)Nn diverge.

El criterio de parada a usar si la sucesion sea convergente, es

|bn an|2

< t (4)

1

2 METODO DE NEWTON Y ALGORITMO DE HORNER

1.1.2. Criterio de Parada para el Metodo de Iteracion de Punto Fijo

El numero de iteraciones se puede encontrar basandonos en el corolario del siguiente teorema:

Teorema 2. Sea g una funcion continua en [a, b] tal que g(p)[a, b] para toda p en [a, b]. Ademassuponga que existe g en [a, b] y una constante positiva K < 1 tal que |g(p)| K, para toda p[a, b],entonces para cualquier numero p0 en [a, b], la sucesion definida por pn+1 = g(pn), converge al unicopunto fijo p en [a, b].

Corolario 1. Si g satisface las hipotesis del Teorema 2, una cota para el error al aproximar el puntofijo p de g por pn es:

|p pn| Knmax {p0 a, b p0} (5)Como el valor |ppn| va disminuyendo en cada iteracion, se aproxima a una toleracia t seleccionada,

si se inicia con un valor p0 se tiene que |g(p0)| K, por lo que se puede llegar a

|g(p0)|nmax {p0 a, b p0} < t (6)

Tomando los dos ultimos miembros de esta inecuacion y despejando n se tiene que el numero deiteraciones necesarias n para llegar a la tolerancia t es:

n >

log

(t

max {p0 a, b p0})

log (|g(p0)|) (7)

si p[a, b].

Con esto se evita que se ejecute infinitas iteraciones si la sucesion (pn)Nn diverge. Si |g(p0)| < 1,

la funcion converge, caso contrario diverge, lo cual se puede aprovechar para optimizar el programa.El criterio de parada a usar si la sucesion sea convergente, es

|pn pn1| < t (8)

Se debe tener en cuenta que el metodo necesita una aproximacion p0, este se calcula como el puntomedio de a y b, por facilidad de implementacion del metodo en Matlab, aunque existen otras formasde obtener p0.

1.1.3. Criterio de Parada para otros metodos

El numero de iteraciones se puede asignar de forma manual ya que la sucesion (pn)Nn converge

rapidamente. Para este proyecto se ha utilizado varios limites de iteraciones (incorporados en el codigoen Matlab) segun la forma de trabajo del algoritmo, ya que algunos requieren mas o menos iteracionespara encontrar la raz de un polinomio en un intervalo o en una aproximacion dada.El criterio de parada a usar si la sucesion es convergente (para el resto de metodos), es

|pn pn1| < t (9)

2. Metodo de Newton y Algoritmo de Horner

Dada la funcion

f(x) = 3x3 39x2 135x+ 675 (10)Utilice los metodos que se especifican en cada literal para determinar las races (con valores exactosx1 = 5, x2 = 3, x3 = 15) de dicho polinomio y presente los siguientes resultados:

2

2 METODO DE NEWTON Y ALGORITMO DE HORNER

1. Para la raz x1 = 5, presente una grafica comparativa con las sucesiones (pn)Nn generadas por elmetodo de Newton y el de Newton modificado (incorporando el algoritmo de Horner para evaluarP (pn) y P

(pn) como funcion de n (el numero de iteraciones).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 46

5.9

5.8

5.7

5.6

5.5

5.4

5.3

5.2

5.1

5

n

p n

Grafico de Sucesiones pn vs n

NewtonNewtonHorner

Figura 1: Grafica de (pn)Nn como funcion de n

2. Para la raz x2 = 3, presente en una misma grafica las sucesiones P (pn) y Q(pn) obtenidas delalgoritmo de Horner como funcion de n

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4300

200

100

0

100

200

300

n

P(p n

) y Q

(p n)

Grafico de Sucesiones P(pn) y Q(p

n) vs n

P(pn)

Q(pn)

Figura 2: Grafica de P (pn) y Q(pn) como funcion de n

3

3 METODO DE NEWTON, FALSA POSICION Y MULLER

3. Para la raz x3 = 15, grafique el polinomio P (x) y los polinomios Qi(x) que resultan de aplicar elalgoritmo de Horner (con i = 1, ...,m,m al menos igual a 4)(al menos 5 curvas en la misma grafica).

10 5 0 5 10 15 206000

4000

2000

0

2000

4000

6000

8000

x

P(x)

y Qi(x

)

Grafico de P(x) y Qi(x)

P(x)Q1(x)Q2(x)Q3(x)Q4(x)

Figura 3: Grafica de P (x) y los polinomios Qi(x)

3. Metodo de Newton, Falsa Posicion y Muller

Dada la funcion

f(x) =2x2 sinx

x2 + 3(11)

utilice los metodos especificados a continuacion para determinar la raz de dicha funcion en el intervalo[1,5] y presente los siguientes resultados:

1. Una grafica comparativa de las sucesiones (pn)Nn generadas por el metodo de Newton, Secante

Modificado (Falsa Posicion) y Muller como funcion de n (el numero de iteraciones).

4

3 METODO DE NEWTON, FALSA POSICION Y MULLER

0 1 2 3 4 5 6 71

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

n

p n

Grafico de pn vs n de los metodos Newton, Falsa posicion y Muller

NewtonFalsa posicionMuller

Figura 4: Grafica de (pn)Nn como funcion de n de varios metodos

2. Las sucesiones (f(pn))Nn generadas a traves del metodo de Newton, Secante Modificado y Muller

como funcion de n.

0 1 2 3 4 5 6 72

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

n

f(pn)

Grafico de f(pn) vs n de los metodos Newton, Falsa posicion y Muller

NewtonFalsa posicionMuller

Figura 5: Grafica de (f(pn))Nn como funcion de n de varios metodos

3. Las sucesiones (f(pn))Nn generadas a traves del metodo de Newton, Secante Modificado y Muller

como funcion de (pn)Nn .

5

4 RAICES DE POLINOMIOS

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 52

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

pn

f(pn)

Grafico de f(pn) vs p

n de los metodos Newton, Falsa posicion y Muller

NewtonFalsa posicionMuller

Figura 6: Grafica de (f(pn))Nn como funcion de (pn)

Nn de varios metodos

4. Races de polinomios

Utilice el polinomio de la ecuacion (10) para presentar los siguientes resultados:

1. Para la raz x1 = 5, presente una grafica comparativa entre las sucesiones (pn)Nn generadas por losmetodos de Biseccion, Iteracion de Punto Fijo, Newton, Newton Modificado, Secante Modificado yMuller como funcion de n.

0 2 4 6 8 10 128

7.5

7

6.5

6

5.5

5

4.5

4

n

p n

Grafico de Sucesiones pn vs n

BiseccionPunto fijoNewtonNewton ModificadoSecante modificadoMuller

Figura 7: Grafica de (pn)Nn como funcion de n de varios metodos

6

4 RAICES DE POLINOMIOS

2. Para la raz x2 = 3, presente una grafica comparativa entre las sucesiones (P (pn))Nn generadas por

los metodos de Biseccion, Iteracion de Punto Fijo, Newton, Newton Modificado, Secante Modificadoy Muller como funcion de n.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9300

200

100

0

100

200

300

400

500

600

700

n

P(p n

)

Grafico de Sucesiones P(pn) vs n

BiseccionPunto fijoNewtonNewton ModificadoSecante ModificadoMuller

Figura 8: Grafica de (P (pn))Nn como funcion de n de varios metodos

3. Para la raz x3 = 15, presente una grafica comparativa entre las sucesiones (P (pn))Nn generadas por

los metodos de Biseccion, Iteracion de Punto Fijo, Newton, Newton Modificado, Secante Modificadoy Muller como funcion de (pn)

Nn .

14 15 16 17 18 19 201000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

pn

P(p n

)

Grafico de Sucesiones P(pn) vs p

n

BiseccionPunto fijoNewtonNewton ModificadoSecante ModificadoMuller

Figura 9: Grafica de (P (pn))Nn como funcion de (pn)

Nn de varios metodos

7

5 DISCUSION Y CONCLUSIONES

En el punto 1, para el metodo de Iteracion de Punto Fijo, g(x) =

3x3 135x+ 67539

En el punto 2, para el metodo de Iteracion de Punto Fijo, g(x) = 6753x2 39x 135

En el punto 3, para el metodo de Iteracion de Punto Fijo, g(x) = 3

(39x2 + 135x 675

3

)

5. Discusion y Conclusiones

En la Figura 1 se observa que en ambos casos las sucesiones de los 2 metodos se aproximan bas-tante, en algunos casos difieren por pocos decimales y en otros ninguno, de all que la grafica de lasucesion correspondiente al metodo de Newton modificado se superponga sobre la grafica de la sucesiondel metodo de Newton, en este caso se confirma que mediante el uso del algoritmo de Horner y suimplementacion en cualquier metodo iterativo, se puede llegar a encontrar una buena aproximacion ala raz de un polinomio.

En la Figura 2, se puede observar que las sucesiones convergen a un cierto valor, en el caso de lasucesion P (pn), converge a 0, indicando que se ha encontrado una raz del polinomio correspondiente,en el caso de la sucesion Q(pn), converge al valor de la raz x2 = 3 evaluada en la derivada del polinomiode la ecuacion (10), que es 288.

En la Figura 3, se puede observar que los polinomios Qi(x) cortan a P (x) lo mas cerca a los valoresde las races, en este caso se observa que para la raz x3 = 15, hay cierta distancia, lo que corresponde ala salida de la funcion de Matlab que indica un mayor numero de interaciones necesarias para encontrarla raz en ese punto.

En la Figura 4, se puede observar que las sucesiones pn de los metodos convergen hacia el valorde la raz en el intervalo [1,5], cuyo valor es aproximadamente 3,1415926. Se puede apreciar que elmetodo de Newton y el metodo de la Secante Modificado (Falsa Posicion) necesitan un numero menorde iteraciones que el metodo de Muller.

En la Figura 5, se puede observar que convergen a un cero de la funcion en el intervalo [1,5], siendoel metodo de Newton el que converge mas rapido.

En la Figura 6, se observa que los metodos convergen a un cero de la funcion(eje y de la grafica)en el intervalo [1,5] cuyo valor es aproximadamente 3,1415926 (eje x). Se puede ver de forma clara losmetodos que convergen mas rapido, confirmando que el metodo de Newton es el mas rapido a convergera una raz.

En la Figura 7, se puede observar que todos los metodos convergen al valor de la raz x1 = 5, seaprecia ademas que los metodos que necesitan un mayor numero de iteraciones para hallar la raz sonel metodo de Muller y el metodo de la Secante Modificada. Esto se debe a las bases de cada uno delos metodos sobre las cuales trabajan, ya que cada uno tiene sus ventajas y desventajas.

8

REFERENCIAS REFERENCIAS

En la Figura 8, se observa que todos los metodos convergen a un 0 de la solucion (eje y), siendo elmetodo de Punto Fijo el que requiere un mayor numero de iteraciones para la raz x2 = 3.

En la Figura 9, se se observa que todos los metodos convergen a un cero de la funcion (eje y de lagrafica) cuyo valor es x3 = 15 (eje x).

Todos los metodos tienen sus ventajas y desventajas, se debe analizar la funcion y el intervalodonde se encuentre la raz o el valor de aproximacion a la raz antes de elegir un metodo, ya que lafuncion puede trabajar utilizando un menor numero de iteraciones en un metodo y utilizar un mayornumero de iteraciones en otro metodo, por ejemplo, siendo el fin de estos metodos encontrar la raz deuna funcion usando el menor numero de iteraciones como una buena aproximacion al valor real de laraz.

Referencias

[1] Richard L. Burden - J. Douglas Faires, Analisis Numerico, 7ma edicion, 2009

[2] http://www.matworks.com

[3] http://www.wolfram.com

[4] http://portales.puj.edu.co/objetosdeaprendizaje/Online/OA10/AnimacionesFlash/indicecap5.html

[5] http://noosfera.indivia.net/metodos/

[6] http://www.youtube.com/watch?v=idnu2cz1kTo&list=PLzSFZWTjelbLW1xL0pG1HmT6alKFJexhA

[7] Jose A. Prieto, Metodos iterativos para resolver ecuaciones, Tesis, 2008

9

REFERENCIAS REFERENCIAS

10

A. Anexos

A.1. Metodo de Biseccion

%Metodo de b i s e c c i o nfunc t i on [ Sn , Spn , Sfpn ] = biseccion ( fx , a , b )%fx f ( x )%a y b extremos de l i n t e r v a l o [ a , b ]

f = inline ( fx ) ;syms xtol = 0 .0001 ; %t o l e r a n c i alimiteIteraciones = int16 ( log10 ( ( ba ) / tol ) / log10 (2) ) ;n = 1 ;

%datos para g r a f i c o sSn = [ ] ; %Suces ion de nSpn = [ ] ; %Suces ion pnSfpn = [ ] ; %Suces ion f (pn)

%metodof p r i n t f ( '\nMetodo de B i s e c c i on \n ' )f p r i n t f ( '\ tn\ ta\ t\ tp\ t\ tb\ t\ t f ( a )\ t\ t f (p)\ t\ t f (b)\n ' )

whi le ( n 0)a = p ;

e l s eb = p ;

endn = n + 1 ;

end

i f ( n > limiteIteraciones ) %se e j e cuta ron todas l a s i t e r a c i o n e sf p r i n t f ( '\nSe l l e g o a l maximo de i t e r a c i o n e s . Ajuste e l i n t e r v a l o o l a t o l e r a n c i a .\

nPos ib le s o l u c i on aproximada ( s i e l i n t e r v a l o es aduecuado ) : %f \n ' , p )Sn = 1 : n1;

e l s e %no se e j e cuta ron todas l a s i t e r a c i o n e sf p r i n t f ( '\nLa r a i z en e l i n t e r v a l o dado es aproximadamente %.8 f \n ' , p )Sn = 1 : n ;

end

A.2. Metodo de Punto Fijo

%Metodo de punto f i j ofunc t i on [ Sn , Spn , Sfpn ] = puntofijo ( fx , gx , a , b )%fx f ( x )%gx g (x )%a y b extremos de l i n t e r v a l o [ a , b ]f = inline ( fx ) ;g = inline ( gx ) ;syms xdg = d i f f ( gx , x ) ;tol = 0 .0001 ; %t o l e r a n c i a

A.3 Metodo de Newton A ANEXOS

e r r o r = 1 ;x = a + (( b a ) / 2) ;limiteIteraciones = int16 ( c e i l ( log10 ( tol /max ( [ xa bx ] ) ) / log10 ( abs ( eva l ( dg ) ) ) ) ) ; %se

ne c e s i t a a y b para e l c a l c u l o de l l im i t e de i t e r a c i o n e s , por eso no se usa un va lo r de aproximacion p

n = 1 ;

%datos para g r a f i c o sSn = [ ] ; %Suces ion de nSpn = [ ] ; %Suces ion pnSfpn = [ ] ; %Suces ion f (pn)

%metodof p r i n t f ( '\nMetodo de Punto F i j o \n ' )i f ( abs ( eva l ( dg ) )

A ANEXOS A.4 Metodo de Newton Modificado

f p r i n t f ( '\nMetodo de Newton\n ' )f p r i n t f ( '\ tn\ tpn\n ' )n = 0 ;

whi le ( n limiteIteraciones ) %se e j e cuta ron todas l a s i t e r a c i o n e sf p r i n t f ( '\nSe l l e g o a l maximo de i t e r a c i o n e s . Ajuste e l i n t e r v a l o o l a t o l e r a n c i a .\

nPos ib le s o l u c i on aproximada ( s i e l i n t e r v a l o es aduecuado ) : %f \n ' , x )Sn = 0 : n1;

e l s e %no se e j e cuta ron todas l a s i t e r a c i o n e sf p r i n t f ( '\nLa r a i z en e l i n t e r v a l o dado es aproximadamente %.8 f \n ' , x )Sn = 0 : n ;

end

A.4. Metodo de Newton Modificado

%Metodo de newton modi f icado usando Horner para eva luar f ( x ) / f ' ( x )func t i on [ Sn , Spn , Sfpn , SPpn , SQpn , SQx , n ] = newtonmod ( fx , a , b )

f = inline ( fx ) ;syms xlimiteIteraciones = 15 ;tol = 0 .0001 ; %t o l e r a n c i a%datos para g r a f i c o sSn = [ ] ; %Suces i ones nSpn = [ ] ; %suce i one s pnSfpn = [ ] ; %suc e s i on e s f (pn)SPpn = [ ] ; %suc e s i on e s P(pn)SQpn = [ ] ; %suc e s i on e s Q(pn)SQx = [ ] ; %suc e s i on e s de po l inomios Q(x )

%metodof p r i n t f ( '\nMetodo de Newton Modif icado\n ' )f p r i n t f ( '\ tn\ tpn\n ' )n = 0 ;

whi le ( n

A.5 Algoritmo de Horner A ANEXOS

SPpn ( n ) = Ppn ;SQpn ( n ) = Qpn ;SQx{n} = Qx ;x = x ( Ppn / Qpn ) ;e r r o r = abs ( xxant ) ;

endFp = f ( x ) ;%datos para g r a f i c o sSpn ( n+1) = x ;Sfpn ( n+1) = Fp ;f p r i n t f ( '\ t %d\ t %.8 f \n ' , n , x )

i f ( e r r o r < tol )break

endn = n+1;

end

i f ( n > limiteIteraciones ) %se e j e cuta ron todas l a s i t e r a c i o n e sf p r i n t f ( '\nSe l l e g o a l maximo de i t e r a c i o n e s . Ajuste e l i n t e r v a l o o l a t o l e r a n c i a .\

nPos ib le s o l u c i on aproximada ( s i e l i n t e r v a l o es aduecuado ) : %f \n ' , x )Sn = 0 : n1;

e l s e %no se e j e cuta ron todas l a s i t e r a c i o n e sf p r i n t f ( '\nLa r a i z en e l i n t e r v a l o dado es aproximadamente %.8 f \n ' , x )Sn = 0 : n ;

end

A.5. Algoritmo de Horner

%Metodo de Horner , r e to rna f ( x ) / f ' ( x ) y e l pol inomio Q(x )func t i on [ Ppn Qx Qpn ] = horner ( f , x )%Ppn P(pn)%Qx pol inomio Q(x )%Qpn Q(pn)fx = sym ( f ) ;an = sym2poly ( fx ) ;r1 = an (1 ) ;r2 = an (1 ) ;n = length ( an ) ;%datos para g r a f i c o sQx = [ ] ;Qx (1 ) = r2 ;

f o r j = 2 : nr1 = r1*x + an ( j ) ;i f ( j

A ANEXOS A.7 Metodo de Muller

%metodof p r i n t f ( '\nMetodo de Secante Modif icada\n ' )f p r i n t f ( '\ tn\ tpn\n ' )q0 = f ( p0 ) ;q1 = f ( p1 ) ;n = 0 ;p = 0 ;whi le ( n limiteIteraciones ) %se e j e cuta ron todas l a s i t e r a c i o n e sf p r i n t f ( '\nSe l l e g o a l maximo de i t e r a c i o n e s . Ajuste e l i n t e r v a l o o l a t o l e r a n c i a .\

nPos ib le s o l u c i on aproximada ( s i e l i n t e r v a l o es aduecuado ) : %f \n ' , p )Sn = 0 : n1;

e l s e %no se e j e cuta ron todas l a s i t e r a c i o n e sf p r i n t f ( '\nLa r a i z en e l i n t e r v a l o dado es aproximadamente %.8 f \n ' , p )Sn = 0 : n ;

end

A.7. Metodo de Muller

%Metodo de Mullerfunc t i on [ Sn , Spn , Sfpn ] = muller ( fx , p0 , p1 , p2 )%fx f ( x )%a y b extremos de l i n t e r v a l o [ a , b ]f = inline ( fx ) ;syms xlimiteIteraciones = 25 ;tol = 0 .0001 ; %t o l e r a n c i a%datos para g r a f i c o sSn = [ ] ; %Suces ion de nSpn = [ ] ; %Suces ion pnSfpn = [ ] ; %Suces ion f (pn)

%metodoh1 = p1 p0 ;h2 = p2 p1 ;

d1 = ( f ( p1 )f ( p0 ) ) /h1 ;

15

A.8 Graficas A ANEXOS

d2 = ( f ( p2 )f ( p1 ) ) /h2 ;d = ( d2d1 ) /( h2+h1 ) ;n=0;h=1;

f p r i n t f ( '\nMetodo de Muller\n ' )f p r i n t f ( '\ tn\ tpn\n ' )%metodowhi le ( n limiteIteraciones ) %se e j e cuta ron todas l a s i t e r a c i o n e sf p r i n t f ( '\nSe l l e g o a l maximo de i t e r a c i o n e s . Ajuste e l i n t e r v a l o o l a t o l e r a n c i a .\

nPos ib le s o l u c i on aproximada ( s i e l i n t e r v a l o es aduecuado ) : %f \n ' , p )Sn = 0 : n1;

e l s e %no se e j e cuta ron todas l a s i t e r a c i o n e sf p r i n t f ( '\nLa r a i z en e l i n t e r v a l o dado es aproximadamente %.8 f \n ' , p )Sn = 0 : n ;

end

A.8. Graficas

%Facultad de I n g en i e r i a de Sistemas%Proyecto Nro 2 : Raices de Funciones%Algoritmos Numericos GR2%Autor : Jonathan Morocho

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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A ANEXOS A.8 Graficas

% 1. Metodo de newton y a lgor i tmo de hornerc l cfx = ' 3*x339*x2135*x+675 ' ;

%g r a f i c a de l a func ion para d e f i n i r e l i n t e r v a l o [ a , b ]z = 10 :0 .5 : 10 ;y = subs ( fx , z ) ;f i g u r e (1 ) ;p l o t ( z , y , 'b ' )x l ab e l ( 'x ' )y l ab e l ( ' f ( x ) ' )t i t l e ( 'Graf i co de f ( x ) ' )ax i s squareg r id on

% 1.1 Para x1 = 5, g r a f i c a de l a s su c e s i on e s pn vs n

%llamado de l a s func i one s que son n e c e s a r i a s[ nSn , nSpn , nSfpn ] = newton ( fx ,8 ,4) ;[ NSn , NSpn , NSfpn , NSPpn , NSQpn , NSQx , Nn ] = newtonmod ( fx ,8 ,4) ;

imagen = f i g u r e (11) ;hold ong r id onax i s square%Suces ion pn vs n Metodo de Newtonp lo t ( nSn , nSpn , 'b* ' )%Suces ion pn vs n Metodo de Newton y Hornerp l o t ( NSn , NSpn , ' r * ' )x l ab e l ( 'n ' )y l ab e l ( ' p n ' )t i t l e ( 'Graf i co de Suces i one s p n vs n ' )legend ( 'Newton ' , 'NewtonHorner ' )p r i n t ( imagen , 'depsc ' , ' f i gu r a11 . eps ' )

% 1 .2 Para x2 = 3 , g r a f i c a de l a s su c e s i on e s P(pn) vs n y Q(pn) vs n

%llamado de l a s func i one s que son n e c e s a r i a s[ nSn , nSpn , nSfpn ] = newton ( fx , 0 , 4 ) ;[ NSn , NSpn , NSfpn , NSPpn , NSQpn , NSQx , Nn ] = newtonmod ( fx , 0 , 4 ) ;

imagen = f i g u r e (12) ;hold ong r id onax i s squarea = 1 : Nn ;%Suces ion P(pn) vs np lo t ( a , NSPpn , 'b* ' )%Suces ion Q(pn) vs np lo t ( a , NSQpn , ' r * ' )x l ab e l ( 'n ' )y l ab e l ( 'P( p n ) y Q( p n ) ' )t i t l e ( 'Graf i co de Suces i one s P( p n ) y Q( p n ) vs n ' )legend ( 'P( p n ) ' , 'Q( p n ) ' )p r i n t ( imagen , 'depsc ' , ' f i gu r a12 . eps ' )

% 1 .3 para x3 = 15 , g r a f i c a de l pol inomio P(x ) y l o s po l inomios Qi (x )%P(x )=f (x )

%llamado de l a s func i one s que son n e c e s a r i a s[ nSn , nSpn , nSfpn , ] = newton ( fx , 1 4 , 20 ) ;[ NSn , NSpn , NSfpn , NSPpn , NSQpn , NSQx , Nn ] = newtonmod ( fx , 1 4 , 20 ) ;z = 10 :0 .5 : 20 ;

imagen = f i g u r e (13) ;hold ong r id onax i s squarestr1 = 'Q ' ;str2 = ' ( x ) ' ;arrayleyenda = [ ] ;%Polinomio P(x )y = subs ( fx , z ) ;p l o t ( z , y , 'b ' )%Pol inomios Qi (x )arrayleyenda {1} = 'P(x ) ' ;f o r i=1: Nn

b = polyva l ( NSQx{i } , z ) ;

17

A.8 Graficas A ANEXOS

p lo t ( z , b , ' c o l o r ' , [ rand rand rand ] )arrayleyenda {i+1} = [ 'Q ' num2str ( i ) ' ( x ) ' ] ;

endx l ab e l ( 'x ' )y l ab e l ( 'P(x ) y Q i (x ) ' )t i t l e ( 'Graf i co de P(x ) y Q i (x ) ' )legend ( arrayleyenda ) ;p r i n t ( imagen , 'depsc ' , ' f i gu r a13 . eps ' )

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2. Metodos de Secante , Falsa po s i c i on y Muller

fx = ' (2*x2* s i n (x ) ) /(x2+3) ' ;

%g r a f i c a de l a func ionz = 10 :0 .5 : 10 ;y = subs ( fx , z ) ;f i g u r e (2 ) ;p l o t ( z , y , 'b ' )x l ab e l ( 'x ' )y l ab e l ( ' f ( x ) ' )t i t l e ( 'Graf i co de f ( x ) ' )ax i s squareg r id on

%llamado de l a s func i one s que son nece sa r i a s , i n t e r v a l o [ 1 , 5 ][ nSn , nSpn , nSfpn ] = newton ( fx , 1 , 5 ) ;[ sSn , sSpn , sSfpn ] = secantemod ( fx , 1 , 5 ) ;[ mSn , mSpn , mSfpn ] = muller ( fx , 1 , 3 , 5 ) ;

%Para l o s metodos Newton , Falsa po s i c i on y Muller :% 2 .1 Suce s i ones pn vs nimagen = f i g u r e (21) ;hold ong r id onax i s square%Suces ion pn vs n Newtonp lo t ( nSn , nSpn , 'b* ' )%Suces ion pn vs n Falsa po s i c i onp lo t ( sSn , sSpn , ' r * ' )%Suces ion pn vs n Mullerp l o t ( mSn , mSpn , ' g* ' )x l ab e l ( 'n ' )y l ab e l ( ' p n ' )t i t l e ( 'Graf i co de p n vs n de l o s metodos Newton , Falsa po s i c i on y Muller ' )legend ( 'Newton ' , ' Falsa po s i c i on ' , 'Muller ' )p r i n t ( imagen , 'depsc ' , ' f i gu r a21 . eps ' )

% 2 .2 Suce s i ones f (pn) vs nimagen = f i g u r e (22) ;hold ong r id onax i s square%Suces ion f (pn) vs n Newtonp lo t ( nSn , nSfpn , 'b* ' )%Suces ion f (pn) vs n Falsa po s i c i onp lo t ( sSn , sSfpn , ' r * ' )%Suces ion f (pn) vs n Mullerp l o t ( mSn , mSfpn , ' g* ' )x l ab e l ( 'n ' )y l ab e l ( ' f ( p n ) ' )t= 'Graf i co de f ( p n ) vs n de l o s metodos Newton , Falsa po s i c i on y Muller ' ;t i t l e ( t )legend ( 'Newton ' , ' Falsa po s i c i on ' , 'Muller ' )p r i n t ( imagen , 'depsc ' , ' f i gu r a22 . eps ' )

% 2 .3 Suce s i ones f (pn) vs pnimagen = f i g u r e (23) ;hold ong r id onax i s square%Suces ion f (pn) vs pn Newtonp lo t ( nSpn , nSfpn , 'b* ' )%Suces ion f (pn) vs pn Falsa po s i c i onp lo t ( sSpn , sSfpn , ' r * ' )%Suces ion f (pn) vs pn Mullerp l o t ( mSpn , mSfpn , ' g* ' )x l ab e l ( ' p n ' )

18

A ANEXOS A.8 Graficas

y l ab e l ( ' f ( p n ) ' )t= 'Graf i co de f ( p n ) vs p n de Newton , Falsa po s i c i on y Muller ' ;t i t l e ( t )legend ( 'Newton ' , ' Falsa po s i c i on ' , 'Muller ' )p r i n t ( imagen , 'depsc ' , ' f i gu r a23 . eps ' )

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 3. Raices de po l inomios

fx = ' 3*x339*x2135*x+675 ' ;

%para todos l o s metodos v i s t o s :% 3 .1 Para x1 = 5, g r a f i c a de l a s su c e s i on e s pn vs n

gx = ' (((3*x3135*x+675) /39) ) (1/2) ' ;%llamado de l a s func i one s que son n e c e s a r i a s[ bSn , bSpn , bSfpn ] = biseccion ( fx ,8 ,4) ;[ pSn , pSpn , pSfpn ] = puntofijo ( fx , gx ,8 ,4) ;[ nSn , nSpn , nSfpn ] = newton ( fx ,8 ,4) ;[ NSn , NSpn , NSfpn , NSPpn , NSQpn , NSQx , Nn ] = newtonmod ( fx ,8 ,4) ;[ sSn , sSpn , sSfpn ] = secantemod ( fx ,8 ,4) ;[ mSn , mSpn , mSfpn ] = muller ( fx ,8,7,4) ;

imagen = f i g u r e (31) ;hold ong r id onax i s square%Suces ion pn vs n Metodo de B i s e c c i onp lo t ( bSn , bSpn , 'b* ' )%Suces ion pn vs n Metodo de i t e r a c i o np lo t ( pSn , pSpn , ' r * ' )%Suces ion pn vs n Metodo de Newtonp lo t ( nSn , nSpn , ' g* ' )%Suces ion pn vs n Metodo de Newton modi f icadop lo t ( NSn , NSpn , 'm* ' )%Suces ion pn vs n Metodo de Secante modi f icadop lo t ( sSn , sSpn , 'k* ' )%Suces ion pn vs n Metodo de Mullerp l o t ( mSn , mSpn , ' c* ' )x l ab e l ( 'n ' )y l ab e l ( ' p n ' )t i t l e ( 'Graf i co de Suces i one s p n vs n ' )legend ( ' Bi se c c i on ' , 'Punto f i j o ' , 'Newton ' , 'Newton Modif icado ' , ' Secante modi f icado ' , 'Muller '

)p r i n t ( imagen , 'depsc ' , ' f i gu r a31 . eps ' )

% 3 .2 Para x2 = 3 , g r a f i c a de l a s su c e s i on e s P(pn) vs n

gx = '675/(3*x239*x135) ' ;%llamado de l a s func i one s que son n e c e s a r i a s[ bSn , bSpn , bSfpn ] = biseccion ( fx , 0 , 4 ) ;[ pSn , pSpn , pSfpn ] = puntofijo ( fx , gx , 0 , 4 ) ;[ nSn , nSpn , nSfpn ] = newton ( fx , 0 , 4 ) ;[ NSn , NSpn , NSfpn , NSPpn , NSQpn , NSQx , Nn ] = newtonmod ( fx , 0 , 4 ) ;[ sSn , sSpn , sSfpn ] = secantemod ( fx , 0 , 4 ) ;[ mSn , mSpn , mSfpn ] = muller ( fx , 0 , 2 , 4 ) ;

imagen = f i g u r e (32) ;hold ong r id onax i s squarea = 1 : Nn ;%Suces ion pn vs n Metodo de B i s e c c i onp lo t ( bSn , bSfpn , 'b* ' )%Suces ion pn vs n Metodo de i t e r a c i o np lo t ( pSn , pSfpn , ' r * ' )%Suces ion pn vs n Metodo de Newtonp lo t ( nSn , nSfpn , ' g* ' )%Suces ion pn vs n Metodo de Newton modi f icadop lo t ( a , NSPpn , 'm* ' )%Suces ion pn vs n Metodo de Secante modi f icadop lo t ( sSn , sSfpn , 'k* ' )%Suces ion pn vs n Metodo de Mullerp l o t ( mSn , mSfpn , ' c* ' )x l ab e l ( 'n ' )y l ab e l ( 'P( p n ) ' )t i t l e ( 'Graf i co de Suces i one s P( p n ) vs n ' )

19

A.8 Graficas A ANEXOS

l egend ( ' Bi se c c i on ' , 'Punto f i j o ' , 'Newton ' , 'Newton Modif icado ' , ' Secante Modif icado ' , 'Muller ')

p r i n t ( imagen , 'depsc ' , ' f i gu r a32 . eps ' )

% 3 .3 para x3 = 15 , g r a f i c a de l a s su c e s i on e s P(pn) vs pn%P(x )=f (x )

gx = ' ( (39*x2+135*x675) /3) (1/3) ' ;%llamado de l a s func i one s que son n e c e s a r i a s[ bSn , bSpn , bSfpn ] = biseccion ( fx , 1 4 , 20 ) ;[ pSn , pSpn , pSfpn ] = puntofijo ( fx , gx , 1 4 , 20 ) ;[ nSn , nSpn , nSfpn ] = newton ( fx , 1 4 , 20 ) ;[ NSn , NSpn , NSfpn , NSPpn , NSQpn , NSQx , Nn ]= newtonmod ( fx , 1 4 , 20 ) ;[ sSn , sSpn , sSfpn ] = secantemod ( fx , 1 4 , 20 ) ;[ mSn , mSpn , mSfpn ] = muller ( fx , 1 4 , 17 , 20 ) ;z = 10 :0 .5 : 20 ;

imagen = f i g u r e (33) ;hold ong r id onax i s square%Suces ion pn vs n Metodo de B i s e c c i onp lo t ( bSpn , bSfpn , 'b* ' )%Suces ion pn vs n Metodo de i t e r a c i o np lo t ( pSpn , pSfpn , ' r * ' )%Suces ion pn vs n Metodo de Newtonp lo t ( nSpn , nSfpn , ' g* ' )%Suces ion pn vs n Metodo de Newton modi f icadop lo t ( NSpn , NSfpn , 'm* ' )%Suces ion pn vs n Metodo de Secante modi f icadop lo t ( sSpn , sSfpn , 'k* ' )%Suces ion pn vs n Metodo de Mullerp l o t ( mSpn , mSfpn , ' c* ' )x l ab e l ( ' p n ' )y l ab e l ( 'P( p n ) ' )t i t l e ( 'Graf i co de Suces i one s P( p n ) vs p n ' )legend ( ' Bi se c c i on ' , 'Punto f i j o ' , 'Newton ' , 'Newton Modif icado ' , ' Secante Modif icado ' , 'Muller '

)p r i n t ( imagen , 'depsc ' , ' f i gu r a33 . eps ' )

20

Mtodo de Newton y Algoritmo de HornerDiferencias Divididas Interpolantes de NewtonDiscusin y ConclusionesAnexosMtodo de BiseccinMtodo de Punto FijoMtodo de NewtonMtodo de Newton ModificadoAlgoritmo de HornerMtodo de Secante ModificadoMtodo de MullerGrficas