RESUMEN UNIDAD 1 Y 2 INGENIERIA ECONOMICA

UNIDAD 1 CONCEPTOS GENERALES DE INGENIERÍA ECONÓMICA

1.1 GENERALIDADES SOBRE LA INGENIERÍA ECONÓMICA En el mundo actual ninguna persona adulta, por muy alejada que se encuentre de la civilización, puede vivir sin involucrarse con el manejo del dinero. Hasta los aborígenes de cualquier tribu asiática o africana se ve en la necesidad de adquirir ciertos bienes (principalmente ropa y alimentos) para subsistir, adquisición que implica empleo del dinero. Por otro lado, en el mundo llamado “civilizado”, cada día es más necesario comprender los términos elementales en el manejo del dinero. Sin hablar, por el momento, de la gran carpa de los negocios, piénsese en una persona que quiere comprar un mueble para su hogar a quien el vendedor le dice: “lo que usted desea vale $100 de contado, pero tenemos un plan de pago con el 15% de enganche y 24 mensualidades de $6.50; y si usted, en el próximo diciembre, paga otro 20% del valor inicial, entonces podrá elegir entre el monto de las mensualidades restantes o bien reducir el número de pagos...” Este tipo de situaciones son frecuentes en nuestros días, donde el comprador decide más por gusto o por una situación económica personal forzada, que con una base analítica simple. Es obvio que en la mayoría de los casos el vendedor es quien gana, pues el comprador paga mas intereses al no elegir el mejor plan de pagos. En situaciones mas serias, la mayoría de los profesionales de cualquier rama de la administración y la ingeniería en su trabajo se enfrentan a situaciones en las cuales tienen que tomar las decisiones que involucran dinero. Decisiones cotidianas tales como: Ø Aumento de personal eventual o pago de turnos extras.Ø Justificación de un aumento de publicidad solo a cambio de ciertos beneficios en ventas.Ø Creación de un departamento de investigación y desarrollo sin beneficios inmediatos, sino a largo plazo.Ø Apertura de nuevas sucursales.Ø Elaboración de nuevos productos.Ø Reemplazo de maquinaria obsoleta.Ø Adquisición de nueva maquinaria o rentarla solo por un tiempo.Ø Financiar el crecimiento de la empresa con préstamo bancario o con retención de utilidades.Ø Crear una fabrica totalmente nueva.Ø Elegir entre dos procesos alternativos, etcétera. Este tipo de decisiones, y otras mas, dentro del ámbito de industrial y de negocios, tienen una base monetaria. Por lo anterior, el personal responsable de decidir en las empresas (administradores e ingenieros) por fuerza necesita tener los conocimientos indispensables para tomar cada vez mejores decisiones económicas, pues del resultado de la mayoría de ellas dependerá que la empresa sobreviva en un mundo empresarial cada vez más competitivo. De hecho cada vez son más las instituciones educativas de nivel superior que introducen en el

contenido curricular de sus licenciaturas, relacionadas con la actividad industrial de cualquier tipo, materias que tienen que ver con aspectos económicos. DEFINICION DE IE Y SU TERMINOLOGIA BASICA

Así, como los viejos conceptos financieros y bancarios pasan ahora al ámbito industrial y particularmente al área productiva de las empresas, a este conjunto de técnicas de análisis para la toma de decisiones monetarias, empieza a llamársele ingeniería económica.

OBJETIVO DE LA IE

En el nombre, la ingeniería económica lleva implícita su aplicación, es decir, en la industria productora de bienes y servicio. Los conceptos que se utilizan en análisis financiero, como las inversiones en bolsa de valores, son los mismos, aunque para este caso también se han desarrollado técnicas analíticas especiales.

Su principal objetivo es la toma de decisiones basàda en las comparaciones económicas de las distintas alternativas tecnológicas de inversión. Las técnicas empleadas abarcan desde la utilización de planillas de cálculo estandarizadas para evaluaciones de flujo de caja, hasta procedimientos más elaborados, tales como análisis de riesgo e incertidumbre, y pueden aplicarse tanto a inversiones personales como a emprendimientos industriales.

DE QUE SE ENCARGA LA IE

Se encarga del aspecto monetario de las decisiones tomadas por los ingenieros al trabajar para hacer que una empresa sea lucrativa en un mercado altamente competitivo. Inherentes a estas decisiones son los cambios entre diferentes tipos de costos y el desempeño (tiempo de respuesta, seguridad, peso, confiabilidad, etc.) proporcionado por el diseño propuesto a la solución del problema.

Con el paso del tiempo se desarrollan técnicas específicas para situaciones especiales dentro de la empresa como:

Ø Análisis sólo de costos en el área productiva

Ø Reemplazo de equipo sólo con análisis de costos

Ø Reemplazo de equipo involucrando ingresos e impuestos

Ø Creación de plantas totalmente nuevas

Ø Análisis de la inflación

Ø Toma de decisiones económicas bajo riesgo, etcétera

PRINCIPIOS DE LA IE

La ingeniería económica es la aplicación práctica de los principios económicos en el campo de la tecnología de ingeniería. Aunque los ingenieros buscan soluciones para los problemas, los ingenieros economistas buscan la conveniencia económica del proyecto objetivamente y evalúa su valor. Simplemente ayuda a elegir una solución económicamente más viable entre todas las soluciones posibles. Los principios de la ingeniería económica es un curso que introduce a un estudiante a este vasto tema a través de algunas técnicas introductorias que luego se pueden ser aplicadas directamente a situaciones del mundo real.

INTERES

Interés es una cuota que se carga por el uso del dinero de otra persona. A cuanto ascienda esta cuota dependerá de la cantidad que se pida prestada y del tiempo que dure el préstamo.

EJEMPLO: Un ingeniero desea pedir prestados $20,000 para comenzar su propio negocio. Un banco puede prestarle el dinero siempre y cuando el ingeniero esté de acuerdo en pagar $920 mensuales durante dos años. ¿Cuánto interés le están cobrando?

La cantidad total que pagará al banco es 24*$920 = $22,080. Como el préstamo original es de $20,000, el interés es $22,080 - $20,000 = $2,080.

Siempre que se pide prestado o se invierte dinero, una parte actúa como prestador y otra como prestatario. El prestador es el propietario del dinero y el prestatario paga un interés al prestador por el uso de su dinero. Por ejemplo, cuando se deposita dinero en una cuenta de ahorros, el que deposita es el prestador y el banco es el prestatario. Entonces el banco paga interés por usar el dinero del cuenta habiente. (Después el banco hará el papel de prestador al dar este dinero como préstamo a otra persona a una tasa de interés mas alta.)

TASA DE INTERES

Si se pide prestada una cantidad de dinero durante un periodo especifico, se cobra un cierto porcentaje de ese dinero como interés. Este porcentaje se llama tasa de interés.

EJEMPLO: (a) Un estudiante deposita $1,000 en una cuenta de ahorros que paga interés a una tasa del 6% anual. ¿Cuánto dinero tendrá después de un año? (b) Un inversionista hace un préstamo de

$5,000 que deberán pagarle en una sola suma después de un año. ¿Qué tasa de interés anual corresponde a un pago único de $5,425?

(a) El estudiante tendrá sus $1,000 originales mas un pago de interés de

0.06*$1,000 = $60. Así, habrá acumulado un total de $1,060 al cabo de un año. (Nótese que la tasa de interés se expresa como decimal cuando se hacen los cálculos.)

(b) La cantidad total de interés pagado es $5,425 - $5,000 = $425. Entonces la tasa de interés es

Por lo general, las tasas de interés dependen de las condiciones económicas que prevalecen y del grado de riesgo asociado a cada préstamo especifico.

1.2 INTERÉS SIMPLE E INTERES COMPUESTO

El interés simple se define como un porcentaje fijo del principal (cantidad de dinero prestada) multiplicado por la vida del préstamo, Así, I = niP

Donde I = cantidad total de interés simple

n = periodo del préstamo

i = tasa de interés (expresada como un decimal)

P = principal

Se entiende que tanto n como i se refieren a la misma unidad de tiempo (por ejemplo un año).

Casi siempre, cuando se hace un préstamo con interés simple, no se hacen pagos hasta el final del periodo del préstamo; en ese momento se pagan tanto el principal como el interés acumulado. La cantidad total que se debe puede expresarse como: F=P+I=P(1+ni)

EJEMPLO: Un estudiante pide a su tío $3,000 para terminar sus estudios. Su tío accede a hacerlo si le paga un interés simple a una tasa de de 5½ % anual. Supóngase que el estudiante tarda 2 años en pagar el préstamo completo. ¿Cuánto dinero tendrá que pagar?

F = $3000[1+(2)(0.055)] = $3,330

INTERES COMPUESTO

Cuando el interés se capitaliza, el tiempo total se divide en varios periodos de interés (por ejemplo, un año, tres meses, un mes). El interés se acredita al final de cada periodo de interés y se deja acumular de un periodo al siguiente.

Durante un periodo de interés determinado, el interés actual se determina como un porcentaje de la cantidad total que se debe (es decir, el principal mas el interés acumulado previamente). Así, para el primer periodo el interés se determina como

I1 = iP

y la cantidad total acumulada es

F1 = P+I1 =P+iP=P(1+i)

para el segundo periodo el interés se determina como

I2 = i F1 = i(1+i) P

y la cantidad total acumulada es

F2=P+ I1+ I2 =P+iP+i(1+i)P=P(1+i)2

para el tercer periodo de interés

I3=i(1+i)2P F3=P(1+i)3

y así sucesivamente. En general si existen n periodos de interés, se tiene (eliminando los subíndices)

F3=P(1+i)n

que es la llamada ley del interés compuesto. Nótese que F, la cantidad total de dinero acumulada aumenta exponencialmente con n, el tiempo medido en periodos de interés.

EJEMPLO: Un estudiante deposita $1,000 en una cuenta de ahorros que paga intereses a una tasa de 6% anual capitalizado anualmente. Si se deja acumular todo el dinero, ¿cuánto dinero tendrá el estudiante después de 12 años? Compárese esto con la cantidad que hubiera acumulado si le hubieran pagado interés simple.

F=$1,000(1+0.06)12 = $2,012.20

Así, la inversión original del estudiante se habrá convertido en mas del doble a lo largo del periodo de 12 años. Si se le pagara interés simple, la cantidad total acumulada sería

F = $1,000[1+(12)(0.06)] = $1,720.00

1.3 EQUIVALENCIA Y DIAGRAMA DE FLUJO

Cuando se consideran juntos, el valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés ayudan a desarrollar el concepto de equivalencia, el cual significa que sumas diferentes de dinero en momentos diferentes son iguales en valor económico. Por ejemplo, si la tasa de interés es de 6% anual, $100 hoy serían equivalentes a $106 en un año a partir de hoy ó $94.34 hace un año.

1.4 FACTORES DE INTERES Y SU EMPLEO:

VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

Como el dinero puede ganar interés, su valor aumenta a través del tiempo. Por ejemplo $100 de hoy son equivalentes a F = $100(1+0.07 )5 = $140.26 dentro de cinco años si la tasa de interés es 7% anual, capitalizado cada año. Se dice que el valor futuro de $100 es $140.26 si i = 7% (por año) y n = 5 (años).

Como el valor del dinero aumenta desde el presente hacia el futuro, este valor debe decrecer si se va del futuro al presente; entonces, el valor presente de $140.26 es $100 si i = 7% (por año) y n = 5 (años).

EJEMPLO: Un estudiante que heredará $5,000 dentro de tres años tiene una cuenta de ahorros que paga 5½% anual, capitalizado cada año. ¿Cuál es el valor presente de la herencia del estudiante?

En la ecuación del interés compuesto se puede despejar el valor de P dado el valor de F:

El valor presente de $5,000 es $4,258.07 si i = 5% capitalizado cada año y n = 5.

 

VALOR FUTURO

El valor futuro como base de comparación es una cantidad equivalente a un flujo de caja, calculado en un tiempo futuro para una tasa dada de interés. El valor futuro de la propuesta j, en un tiempo futuro n años a partir de este momento es:

Fj(i) = Fj0 (F/P,i,n) +Fj1(F/P,i,n-1) + ... Fj,n-1(F/P,i,1) + Fj,n (F/P,i,0)

n

Fj(i)= å Fjt ( F/Pi,n-t).

t=0

Pero como

(F/P,i,n-t ) = (1+i) n-t

n

Fj (i) =å Fjt (1+i) n-t

t=0

También se puede calcular el valor futuro de una cantidad determinando primero el valor actual de flujo de efectivo y convirtiendo luego dicha cifra a su equivalente futuro después de n años. Por tanto, también se puede expresar el futuro de una propuesta j en la siguiente forma:

Fj (i) =Pj(i) ( F/P,i,n).

Con base en esta relación se ve fácilmente que, para valores finitos de i y n dados, el valor futuro es simplemente el valor actual multiplicado por una constante. Por consiguiente, las diferencias relativas entre alternativas, estimadas con base en el valor actual, serán iguales a las diferencias relativas entre alternativas que se comparen sobre la base del valor futuro, teniendo fijos los valores de i y n. Por tanto, una alternativa que tenga un valor presente tres veces mayor que el valor actual de otra, también tendrá un valor futuro tres veces mayor que el valor futuro de la otra alternativa.

El valor futuro, el valor anual equivalente y el valor presente son bases de comparación compatibles. Siempre y cuando los valores de i y n sean fijos, la siguiente relación será valida cuando se comparen dos propuestas A y B:

PA(i) = AEA(i) = FA(i)

PB(i) AEB(i) FB(i)

Puesto que el valor actual, el valor anual equivalente, y el valor futuro son medidas de equivalencia cuya única diferencia esta en el tiempo en el que se sitúan los valores, no es de extrañar que sean bases de comparación compatibles para el análisis de alternativas de inversión. Por tanto se debe esperar que al utilizar el valor actual para la comparación de alternativas también se pueda utilizar el método del valor futuro o del valor anual equivalente como bases de comparación, sin que por esto se altere el resultado final.

UNIDAD 2 ANALISIS DE ALTERNATIVAS DE INVERSION

2.1 METODO DEL VALOR PRESENTE

Hay un fenómeno económico conocido como inflación, el cual consiste en la pérdida de poder adquisitivo del dinero con el paso del tiempo. Ningún país en el mundo está exento de inflación, ya sea que tenga un valor bajo, de 2 a 5 % anual en países desarrollados, o por arriba del 1 000 % anual, como en algunos países de América del Sur. Nadie puede escapar de ella. De la misma forma, nadie sabe con certeza por qué es necesaria la inflación o por qué se origina en cualquier economía. Lo único que se aprecia claramente es que en países con economías fuertes y estables, la inflación es muy baja, pero nunca de cero.

Lo único en que se hace énfasis, es que el valor del dinero cambia con el tiempo debido principalmente a este fenómeno, de lo contrario, es decir, si no hubiera inflación, el poder adquisitivo del dinero sería el mismo a través de los años y la evaluación económica probablemente se limitaría a hacer sumas y restas simples de las ganancias futuras.

Pero sucede lo opuesto. Es posible, mediante algunas técnicas, pronosticar cierto ingreso en el futuro. Por ejemplo, hoy se adquiere un auto por $ 20,000 Y se espera poder venderlo dentro de cinco años en $ 60,000, en una economía de alta inflación. El valor nominal del dinero, por la venta del auto, es mucho mayor que el valor actual, pero dadas las tasas de inflación que se tendrán en los próximos cinco años el valor de $ 60,000 traído o calculado a su equivalente al día de hoy, resulta mucho más bajo que $ 20,000.

Este fenómeno de "ilusión monetaria" se presenta en mayor o menor proporción en cualquier país que padezca la inflación. Es aquí donde interviene la ingeniería económica, que intenta resolver el problema del cambio en el valor del dinero a través del tiempo. La solución que aporta es calcular el valor equivalente del dinero en un solo instante de tiempo. Si retornamos el ejemplo del auto, sería erróneo afirmar que éste se podría vender dentro de cinco años al triple de su valor. Aunque es cierto en términos nominales, es decir, sólo por lo que se observa en las cifras, para hacer una adecuada comparación se debe obtener el poder adquisitivo real, tanto de los $ 20,000 como de los $ 60,000 en cierto punto en el tiempo, que puede ser el momento de adquirir el auto o el momento de venderlo. Cuando se calcula el valor real del dinero en esta situación, se puede percibir la "ilusión monetaria" de que se ha hablado.

SERIE UNIFORME DE PAGOS Y SU RELACIÓN CON EL PRESENTE

Existen multitud de ocasiones en la vida cotidiana en que la forma de pago común es la aportación de una serie de cantidades iguales durante ciertos periodos. Por ejemplo, en la compra a crédito de autos, casas o muebles, la forma usual de pago son 12, 24, 36 o más mensualidades iguales. Para resolver este tipo de problemas, se utilizan las mismas fórmulas básicas 2.6 y 2.7.

EJEMPLO 2.4. Una persona compró una casa por $ 100,000 y decidió pagarla en 10 anualidades iguales, haciendo el primer pago un año después de adquirida la casa. Si la inmobiliaria cobra un interés del 10% capitalizando anualmente, ¿a cuánto ascienden los pagos iguales anuales que deberán hacerse, de forma que con el último pago se liquide totalmente la deuda?

SOLUCIÓN. Sea A el pago anual uniforme; P = $ 100,000 o el valor presente que tiene la casa; n = 10 pagos; i = 10 %. El diagrama de flujo de efectivo para el vendedor es la gráfica 2.4.

Para plantear una ecuación que resuelva este problema se utiliza la fórmula (formula 2.7), pero aquí se tienen 10 cantidades futuras con respecto al presente, con la particularidad de que todas son iguales y desconocidas. La ecuación que iguala los $ 100,000 en el presente a las diez A en cada uno de los diez años futuros es:

2.7

 

Factorizando: 

     de donde A = 16,274.54. 

Hay que observar dos cosas importantes en este problema. Primero, se designa como A al pago anual uniforme que se efectúa. Es adecuado llamarle A por ser ésta la primera letra de anualidad, pero cuando se efectúan pagos uniformes (iguales) cada trimestre, cada mes o aun cada semana, según lo señalé el problema, se seguirá designando a ese pago uniforme como A, de forma que en lo sucesivo, A será sinónimo de pago uniforme sin importar la frecuencia con que éste se efectúe. Segundo, si el número de periodos por analizar es muy alto, el problema se vuelve engorroso por la cantidad de operaciones aritméticas simples que es necesario efectuar. Para simplificar la solución de problemas de este tipo se ha desarrollado una fórmula. Su desarrollo matemático no es muy importante, pues sólo puede confundir al estudiante que se enfrenta por primera vez con la ingeniería económica; lo importante es entender el concepto implícito en esa fórmula, tanto como todas las que manejan series uniformes de pagos. Así, para obtener la fórmula que simplifique la obtención del resultado del problema 2.4, se parte de la siguiente generalización:

a) El valor presente es conocido.

b) Se desconoce el valor de n pagos iguales llamados A.

c) El primer pago se efectúa en el periodo 1 y el último pago, en el periodo n.

d) Los pagos no se suspenden en el transcurso de los n periodos.

La fórmula es: 

  2.8   

EJEMPLO Resuélvase el ejemplo anterior, pero ahora empleando la fórmula 2.8.

SOLUCIÓN. Los datos son: P = 100,000, n = 10, i = 10%. Sustituyendo en la fórmula 2.8 se tiene

 

SERIE UNIFORME DE PAGOS Y SU RELACIÓN CON EL FUTURO (F)

En la vida cotidiana existen problemas en que se relaciona el futuro con una serie de pagos iguales, por tanto, es necesario contar con fórmulas que ayuden a la solución de estos problemas. Los siguientes ejemplos muestran esas fórmulas.

EJEMPLO 2.7 A. Si una persona ahorra $800 cada año en un banco que paga el 12% de interés capitalizado anualmente, ¿cuánto tendrán ahorrado al finalizar el noveno año, luego de hacer nueve depósitos de fin de año?

SOLUCIÓN. Los datos del problema son: A = 800; i = 12 %; n = 9. El diagrama de flujo del problema es el de la gráfica 2.7.

Si se desea utilizar la fórmula básica 2.6 considérese que cada pago de $800 es un presente P que debe trasladarse a su valor equivalente en el futuro, cada uno a diferente número de periodos. El cálculo es:

Es importante señalar que el primer pago de $800 en el periodo 1 se traslada al futuro ocho periodos; el último pago en el año nueve se eleva a la potencia cero puesto que ya está en el año futuro que se desea, es decir, el año nueve, por lo que ya no gana interés.

Para simplificar este cálculo se ha desarrollado una fórmula, cuya deducción matemática no se presenta por razones ya expuestas con anterioridad; lo que resulta evidente es que ésta es una simplificación del cálculo presentado en el problema 2.7a, puesto que el resultado es el mismo. Dicha fórmula es:

2.10

El diagrama generalizado de la fórmula 2.9 es la gráfica 2.8.

La aplicación de la fórmula 2.9 tiene las siguientes restricciones:

1. El pago de la primera A siempre se efectúa en el periodo uno y no en el periodo cero.

2. El último pago se verifica en el periodo n, es decir, en el momento en el que se calcula la F, por tanto, la última A ya no gana interés.

3. Los pagos de A son continuos, del periodo 1 al periodo n.

 

Cualquier variación de estas condiciones en el problema hace que se invalide la aplicación de la fórmula 2.10.

EJEMPLO 2.7B. Resuélvase el ejemplo 2.7a con la aplicación de la fórmula 2.9.

SOLUCIÓN. Como el ejemplo 2.7a está planteado de tal forma que no viola las restricciones para el empleo de la fórmula 2.10, se aplica directamente. Los datos son:A = 800; i = 12%; n = 9.

Una serie de pagos uniformes también puede relacionarse en forma inversa con respecto al futuro, es decir, se conoce el futuro pero se desconoce el monto de los pagos uniformes. El diagrama de esta situación es similar a la gráfica 2.8; la fórmula es la inversa de la fórmula 2.10, es decir:

2.11 

Para plantear una ecuación que resuelva este problema se utiliza la fórmula (formula 2.7), pero aquí se tienen 10 cantidades futuras con respecto al presente, con la particularidad de que todas son iguales y desconocidas. La ecuación que iguala los $ 100,000 en el presente a las diez A en cada uno de los diez años futuros es:

Factorizando

de donde A = 16,274.54.

Hay que observar dos cosas importantes en este problema. Primero, se designa como A al pago anual uniforme que se efectúa. Es adecuado llamarle A por ser ésta la primera letra de anualidad, pero cuando se efectúan pagos uniformes (iguales) cada trimestre, cada mes o aun cada semana, según lo señalé el problema, se seguirá designando a ese pago uniforme como A, de forma que en lo sucesivo, A será sinónimo de pago uniforme sin importar la frecuencia con que éste se efectúe. Segundo, si el número de periodos por analizar es muy alto, el problema se vuelve engorroso por la cantidad de operaciones aritméticas simples que es necesario efectuar. Para simplificar la solución de problemas de este tipo se ha desarrollado una fórmula. Su desarrollo matemático no es muy importante, pues sólo puede confundir al estudiante que se enfrenta por primera vez con la ingeniería económica; lo importante es entender el concepto implícito en esa fórmula, tanto como todas las que manejan series uniformes de pagos. Así, para obtener la fórmula que simplifique la obtención del resultado del problema 2.4, se parte de la siguiente generalización:

a) El valor presente es conocido.

b) Se desconoce el valor de n pagos iguales llamados A.

c) El primer pago se efectúa en el periodo 1 y el último pago, en el periodo n.

d) Los pagos no se suspenden en el transcurso de los n periodos.

La fórmula es:

2.8

EJEMPLO Resuélvase el ejemplo anterior, pero ahora empleando la fórmula 2.8.

SOLUCIÓN. Los datos son: P = 100,000, n = 10, i = 10%. Sustituyendo en la fórmula 2.8 se tiene

Obsérvese que el problema 2.4 se planteó de forma que el primer pago se hiciera en el periodo 1 (año 1) y el último en el periodo n (año 10). Si cualquiera de estas condiciones no se cumple, el uso de la fórmula 2.8 se invalida, como podría suceder al empezar a pagar en el año 2, aunque se hicieran 10 pagos; o bien, si se hicieran 10 pagos y se suspendiera un año el pago para liquidar totalmente la deuda en el año 11. Por lo demás, se puede demostrar que haciendo 10 pagos de $16,275.54 en forma continua durante 10 periodos consecutivos, con el último pago se liquida totalmente la deuda de 100,000 si la tasa de interés es de 10%.

DEMOSTRACIÓN. En el periodo cero se deben $ 100,000; al final del año 1 se deberán 100,000 x 1.1 = 110,000, pero en ese mismo momento se hace el primer pago, por lo que la deuda al final del año 1 será de 110,000 –16,275.54 = 93,725.46. Al final del año 2, dado que se cobra un interés de 10%, se deberán 93,725.46 x 1.1 = 103,098 y se efectúa en ese momento el segundo pago, y así sucesivamente. Para observar los movimientos de efectivo durante los 10 años, se puede construir la tabla siguiente.

SERIE UNIFORME DE PAGOS Y SU RELACIÓN CON EL FUTURO (F)

En la vida cotidiana existen problemas en que se relaciona el futuro con una serie de pagos iguales, por tanto, es necesario contar con fórmulas que ayuden a la solución de estos problemas. Los siguientes ejemplos muestran esas fórmulas.

EJEMPLO 2.7 A. Si una persona ahorra $800 cada año en un banco que paga el 12% de interés capitalizado anualmente, ¿cuánto tendrán ahorrado al finalizar el noveno año, luego de hacer nueve depósitos de fin de año?

SOLUCIÓN. Los datos del problema son: A = 800; i = 12 %; n = 9.

Si se desea utilizar la fórmula básica 2.6 considérese que cada pago de $800 es un presente P que debe trasladarse a su valor equivalente en el futuro, cada uno a diferente número de periodos. El cálculo es:

Es importante señalar que el primer pago de $800 en el periodo 1 se traslada al futuro ocho periodos; el último pago en el año nueve se eleva a la potencia cero puesto que ya está en el año futuro que se desea, es decir, el año nueve, por lo que ya no gana interés.

Para simplificar este cálculo se ha desarrollado una fórmula, cuya deducción matemática no se presenta por razones ya expuestas con anterioridad; lo que resulta evidente es que ésta es una simplificación del cálculo presentado en el problema 2.7a, puesto que el resultado es el mismo.

Dicha fórmula es:

2.2 METODO DEL VALOR ANUAL

El método VA se utiliza comúnmente para comparar alternativas. El VA significa que todos los ingresos y desembolsos son convertidos en una cantidad anual uniforme equivalente de fin de periodo, que es la misma cada periodo.

La ventaja principal de éste método sobre todos los demás radica en que en este no se requiere hacer comparación sobre el mínimo común múltiplo de los años cuando las alternativas tienen vidas útiles diferentes, es decir, el VA de la alternativa se calcula para un ciclo de vida únicamente, porque como su nombre lo implica, el VA es un valor anual equivalente sobre la vida del proyecto. Si el proyecto continúa durante más de un ciclo, se supone que el valor anual equivalente durante el siguiente ciclo y todos los ciclos posteriores es exactamente igual que para el primero, siempre y cuando todos los flujos de efectivo actuales sean los mismos para cada ciclo.

La condición repetible de la serie anual uniforme a través de diversos ciclos de vida puede demostrarse con el siguiente ejemplo.

El valor anual para dos ciclos de vida de un activo con un costo inicial de $20,000, un costo de operación anual de $8,000 una vida de 3 años y una i=22%.

El VA para un ciclo de vida se calculará de la siguiente manera:

VA = -20,000(A/P,22%,3[0.48966])-8000 = -$17793.20

El VA para dos ciclos de vida:

VA = -20,000(A/P,22%,6[0.31576])-20,000(P/F,22%,3[0.5507])(A/P,22%,6)-8000 = -$17793.20

El Método del Valor Anual Equivalente (VAE)

Este método consiste en convertir en una Anualidad con pagos iguales todos los ingresos y gastos que ocurren durante un período. Cuando dicha anualidad es positiva, entonces es recomendable que el proyecto sea aceptado.

El método se utiliza comúnmente para comparar alternativas. El VAE significa que todos los ingresos y desembolsos (irregulares y uniformes) son convertidos en una cantidad uniforme anual equivalente, que es la misma cada período.

1-Cálculo de la Recuperación de Capital y de Valores de VA

Una alternativa debería tener las siguientes estimaciones de flujos de efectivo:

Inversión inicial P: representa el costo inicial total de todos los activos y servicios necesarios para empezar la alternativa. Cuando partes de estas inversiones se llevan a cabo durante varios años, su valor presente constituye una inversión inicial equivalente, se denota con P.

Valor de salvamento S. valor terminal estimado de los activos al final de su vida útil. Tiene un valor de cero si no se anticipa ningún valor de salvamento y es negativo si la disposición de los activos tendrá un costo monetario. S es el valor comercial al final del periodo de estudio.

Cantidad anual A. Es la cantidad anual equivalente "costos exclusivos" para alternativas de servicio.

El valor anual para una alternativa está conformado por dos elementos: la recuperación del capital para la inversión inicial P a una tasa de interés establecida y la cantidad anual equivalente A.

RC y A son negativos porque representan costos. A se determina a partir de los costos periódicos uniformes y cantidades no periódicas. Los factores P/A y P/F pueden ser necesarios para obtener una cantidad presente y, después, el factor A/P convierte esta cantidad en el valor A.

La recuperación de capital es el costo anual equivalente de la posesión del activo más el rendimiento sobre la inversión inicial. A/P se utiliza para convertir P a un costo anual equivalente. Si hay un valor de salvamento positivo anticipado S al final de la vida útil del activo, su valor anual equivalente se elimina mediante el factor A/F.

2-Alternativas de Evaluación Mediante El Análisis de Valor Anual

La alternativa elegida posee el menor costo anual equivalente o el mayor ingreso equivalente. Directrices de elección para el método del VA:

Para alternativas mutuamente exclusivas, calcule el VA usando la TMAR:

Una alternativa: VA=0, la TMAR se alcanza o se rebasa.

Dos o más alternativas: se elige el costo mínimo o el ingreso máximo reflejados en el VA.

Si los proyectos son independientes, se calcula el VA usando la TMAR. Todos los proyectos que satisfacen la relación VA=0 son aceptables.

3-VA de Una Inversión Permanente

Esta sección es acerca del valor anual equivalente del costo capitalizado que sirve para evaluación de proyectos del sector público, exigen la comparación de alternativas con vidas de tal duración que podrían considerarse infinitas en términos del análisis económico. En este tipo de análisis, el

valor anual de la inversión inicial constituye el interés anual perpetuo ganado sobre la inversión inicial, es decir, A =Pi.

Los flujos de efectivo periódicos a intervalos regulares o irregulares se manejan exactamente como en los cálculos convencionales del VA; se convierten a cantidades anuales uniformes equivalentes A para un ciclo. Se suman los valores de "A" a la cantidad RC para determinar el VA total.

4-Ventajas y Aplicaciones Del Análisis Del Valor Anual

El VA es el valor anual uniforme equivalente de todos los ingresos y desembolsos, estimados durante el ciclo de vida del proyecto. El VA es el equivalente de los valores VP y VF en la TMAR para n años. Los tres valores se pueden calcular uno a partir del otro: Cuando todas las estimaciones del flujo de efectivo se convierten a un VA, este valor se aplica a cada año del ciclo de vida y para cada ciclo de vida adicional.

El VA debe calcularse exclusivamente para un ciclo de vida. Por lo tanto, no es necesario emplear el MCM de las vidas.

Supuestos fundamentales del método del VA:

Cuando las alternativas que se comparan tienen vidas diferentes, se establecen los siguientes supuestos en el método:

1) Los servicios proporcionados son necesarios al menos durante el MCM de las alternativas de vida.

2) La alternativa elegida se repetirá para los ciclos de vida subsiguientes.

3) Todos los flujos de efectivo tendrán los mismos valores calculados en cada ciclo de vida.

Para la suposición 1, el periodo de tiempo puede ser el futuro indefinido. En la tercera suposición, se espera que todos los flujos de efectivo cambien exactamente con la tasa de inflación. Si ésta no fuera una suposición razonable, deben hacerse estimaciones nuevas de los flujos de efectivo para cada ciclo de vida. El método del VA es útil en estudios de reemplazo de activos y de tiempo de retención para minimizar costos anuales globales, estudios de punto de equilibrio y decisiones de fabricar o comprar, estudios relacionados con costos de fabricación o producción, en lo que la medida costo/unidad o rendimiento/unidad constituye el foco de atención.

EJEMPLO:

1- El diagrama de la figura presentada, muestra los flujos de efectivo de los tres ciclos de vida (costo inicial, $15000; costos anuales; $3500; devolución del depósito, $1000). Demuestre la equivalencia al i=15% del valor anual VA, durante un ciclo, teniendo en cuenta que el valor presente "VP" durante tres ciclos de vida es de $45036.