INDICE

I- PRINCIPIOS BASICOS DE TRANSFERENCIA DE CALORIntroduccin 1Transmisin de calor por conduccin 2 Pared plana 3 Paredes planas en serie 4Analoga elctrica de la conduccin 4 Paredes en paralelo 5 Resistencia de contacto 6Conductividad trmica 7 Coeficientes de conductividad trmica para las aleaciones 8 Conductividad trmica en lquidos 9 Conductividad trmica de gases y vapores 10Transmisin de calor por conveccin 11Transmisin de calor por radiacin 16Mecanismos combinados de transmisin de calor 18

II- CONDUCCION DE CALOR EN REGIMEN ESTACIONARIO (I)Introduccin 21Ecuacin fundamental de la transmisin de calor por conduccin 22Conduccin en un cilindro sin generacin de energa 24Espesor de aislamiento crtico para un cilindro; nmero de Biot 26Pared esfrica sin generacin de energa 28Conduccin monodimensional en rgimen estacionario con generacin de energa 30Pared plana 30Placa plana rodeada por un fluido convector 32Pared cilndrica 33Pared cilndrica rodeada con una vaina 34

III- CONDUCCION DE CALOR EN REGIMEN ESTACIONARIO (II)Conduccin de calor en funcin de dos o ms variables independientes.- Mtodo analtico 39Conduccin en rgimen permanente en placas rectangulares 39 Placa rectangular con una distribucin de temperatura dada en una arista y nula en las dems 41 Placa con un borde a temperatura uniforme 44 Placa rectangular con distribucin de la temperatura en dos bordes opuestos 45 Distribucin de temperaturas en ms de una superficie de contorno 46 Condicin de contorno de conveccin 47 Conduccin en un cilindro circular de longitud finita 48Tablas de Funciones de Bessel 51Distribucin de temperaturas en secciones rectangulares 53Distribucin de temperaturas en paraleleppedos 56Distribucin de temperaturas en cilindros 57Distribucin de temperaturas en tubos 59Mtodo grfico 61

Factor de forma para la conduccin para diferentes geometras 62Mtodos numricos 64Mtodo de relajacin 67Ecuaciones para los residuos en el caso de nudos en los lmites 68Mtodo matricial 69Tcnicas de iteracin 71

IV- CONDICION DE CONTORNO DE CONVECCION EN SOLIDOS INFINITOSIntroduccin 73Conduccin transitoria en placa infinita 76Conduccin transitoria en un cilindro 81Conduccin transitoria en una esfera 85Conduccin transitoria en 2 y 3 dimensiones 89Transmisin de calor por conduccin en rgimen transitorio con generacin de calor E 90

V- CONDICION DE CONTORNO ISOTERMICA EN SOLIDOS INFINITOSConduccin transitoria en placa infinita con condicin de contorno isotrmica 97Conduccin transitoria en pared cilndrica infinita con condicin de contorno isotrmica 103Conduccin transitoria en una esfera con condicin de contorno isotrmica 107Transmisin de calor por conduccin en rgimen transitorio con generacin de calor E 109

VI- CONDUCCION DE CALOR TRANSITORIA EN SOLIDOS SEMIINFINITOS Conduccin transitoria en un slido semiinfinito 111Condicin de contorno isotrmica en slido semiinfinito 112Condicin de contorno de conveccin en slido semiinfinito 115Slido semiinfinito sometido a un flujo trmico uniforme en su superficie 117Slido semiinfinito sometido a un pulso de energa en su superficie 118Contacto entre slidos semiinfinitos 118Slido semiinfinito sometido a una variacin peridica de su temperatura superficial 119Conduccin transitoria en un slido con resistencia trmica despreciable 123Pared que se calienta por una cara y se mantiene en contacto con un fluido por la otra 125

VII.- CONDUCCION TRANSITORIA DEL CALOR EN SOLIDOS FINITOSConduccin transitoria bidimensional y tridimensional 127 Sistemas bidimensionales 131 Sistemas tridimensionales 132Calor disipado 132Conduccin transitoria en 2 y 3 dimensiones (c.c. isotrmica) 133Conduccin transitoria en 2 y 3 dimensiones (c.c. conveccin) 133Transmisin de calor por conduccin en rgimen transitorio con generacin de calor E 136

VIII- CONDUCCION TRANSITORIA DEL CALOR EN SOLIDOS FINITOS. METODO GRAFICOSoluciones numricas a problemas de conduccin monodimensionales en rgimen transitorio 141Nudos interiores 141Nudos perifricos 144Ecuaciones trmicas de los nudos y condiciones de estabilidad 146Aplicacin del mtodo grfico a paredes compuestas 147Resolucin grfica con choque trmico 149Resolucin grfica con conveccin en la superficie 150IX.- SUPERFICIES AMPLIADAS DE SECCION TRANSVERSAL CONSTANTEIntroduccin 153

Transferencia de calor mediante aletas de seccin transversal constante 154Aleta muy larga 156Aleta con su extremo libre aislado trmicamente 157Aleta con conveccin desde su extremo libre 158Aleta entre dos paredes a temperaturas diferentes 159Campo de aplicacin de las aletas rectas de seccin uniforme 160 Perfil ptimo 161

X- SUPERFICIES AMPLIADAS DE SECCION TRANSVERSAL VARIABLEAletas de seccin variable 165Aleta anular de espesor constante 166Aleta longitudinal de perfil trapecial 172Aleta longitudinal de perfil triangular 173Perfil ptimo de la aleta longitudinal de perfil triangular 174Rendimiento de la aleta; casos particulares 174Aletas longitudinales de perfil parablico 174Protuberancias 178Coeficiente global de transmisin de calor con aletas, para el aire 180

XI.- TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCION. CAPA LIMITE TERMICA E HIDRODINMICAIntroduccin 183Ecuacin diferencial de la transmisin de calor en un medio en movimiento 185Capa limite laminar en flujo sobre placa plana: polinomios de grado 2 y 3 188Espesores y caudales de la capa lmite 191Espesor de desplazamiento de la capa lmite 191Espesor de la cantidad de movimiento de la capa lmite 192Espesor de energa de la capa lmite 193Caudal de la capa lmite 193Caudal de la cantidad de movimiento de la capa lmite 193Ecuacin integral del impulso de la capa lmite laminar 194Caudal de la cantidad de movimiento 194Fuerza de arrastre.- Casos particulares con perfiles de segundo y tercer grado 195Ecuaciones de Prandtl de la capa lmite 197Ecuacin clsica de Krmn 198Ecuacin integral de la energa de la capa lmite.- Casos particulares 199Relacin entre el coeficiente de arrastre y el de conveccin en flujo laminar sobre placa plana 204Capa lmite turbulenta para placa plana 205Desprendimiento de la capa lmite 207Tabla de coeficientes de arrastre de algunos cuerpos y perfiles inmersos en una corriente fluida 207

XII.- TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCION EN CONDUCTOSFlujo en conductos circulares; flujo isotrmico; Ec. de Poiseuille 211Flujo en conductos no circulares circulares 214Fluidos que circulan por tuberas en conveccin forzada en rgimen laminar con flujo de calor constante 216

XIII.- TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCION. ANALOGAS Y ANALISIS DIMENSIONAL Analoga entre la transmisin de calor y la cantidad de movimiento en flujo turbulento 217Capa lmite trmica sobre placa plana. Conductividad trmica. Cantidad de movimiento 217

Expresin general de la relacin bsica de la analoga entre el calor y la cantidad de movimiento 219Analoga de Reynolds 220Analoga de Prandtl 222Analoga de Von Karman 224Diagrama de Moody 225Analoga de Colburn 226Anlisis dimensional. Teorema de Buckinghan 227Ecuacin general de resistencia 229Ecuacin general de la prdida de carga en una conduccin cilndrica 230El mtodo bsico de anlisis dimensional 230

XIV.- CORRELACIONES PARA LA CONVECCION NATURALCorrelaciones analticas para la conveccin natural en placa plana vertical 237Solucin integral en pared isotrmica 239Placa con flujo de calor constante 241Correlaciones para la conveccin natural en placas 241Conveccin natural, sobre placa vertical 242Conveccin natural sobre placa vertical a temperatura uniforme 242Conveccin natural sobre placa vertical con flujo de calor constante 244Conveccin natural sobre placa inclinada 245Conveccin natural en placa horizontal 245Conveccin natural entre placas horizontales 246Conveccin natural entre placas verticales 247Conveccin natural entre placas inclinadas 248Correlaciones para la conveccin natural en tubos 249Conveccin natural sobre un tubo o un cilindro horizontal 249Conveccin natural entre cilindros concntricos 250

XV.- CORRELACIONES PARA LA CONVECCION FORZADACorrelaciones para la conveccin forzada en placas 253Flujo laminar sobre placa plana horizontal 253Flujo laminar totalmente desarrollado entre placas planas paralelas 253Flujo turbulento sobre placa plana horizontal 254Correlaciones para la conveccin forzada en el interior de tuberas 255Flujo laminar por el interior de tuberas 255Flujo turbulento desarrollado por el interior de tuberas 256Flujo turbulento no desarrollado por el interior de tuberas 260Flujo turbulento de metales lquidos por el interior de tuberas 261Flujo turbulento por un serpentn tubular 261Correlaciones para la conveccin forzada por el exterior de tuberas 262Flujo paralelo turbulento por el exterior de un tubo 262Flujo paralelo turbulento por el exterior de tubos en batera 262Correlaciones para la conveccin en esferas 263Conveccin natural y forzada combinadas 264Correlaciones para la conveccin en flujos cruzados 265Flujo cruzado en tubo nico liso 265Flujo cruzado en tubos en batera 267Correlaciones para la conveccin a travs de un lecho compacto 273Correlaciones para la conveccin en superficies giratorias 274

XVI.- CONDENSACION Y VAPORIZACIONTransferencia de calor por condensacin 277

Condensacin en forma de pelcula 277Condensacin en pelcula laminar sobre placas y tubos verticales 281Condensacin en pelcula laminar sobre placas y tubos inclinados 284Condensacin en pelcula laminar sobre un tubo horizontal 284Condensacin en rgimen turbulento 285Efecto de la velocidad del vapor en placas y tubos verticales 286Condensacin en rgimen turbulento en el interior de tubos horizontales 287Condensacin en forma de gotas 288Transferencia de calor por ebullicin de lquidos en reposo 288Evaporacin en pelcula descendente sobre una pared vertical 288Ebullicin nucleada en recipientes con un lquido en reposo 289Ebullicin en la superficie exterior de un hilo horizontal caliente sumergido en un lquido 292Ebullicin de lquidos en flujo forzado en el interior de tubos horizontales 294Ebullicin de lquidos en flujo forzado en el interior de tubos verticales 295Gradiente de presin en el interior de tubos verticales 298Formulacin para la evaporacin en tubos verticales 299

XVII.- INTERCAMBIADORES DE CALOR: METODO DE LA (LMTD)Introduccin 303Tipos bsicos de intercambiadores de calor 303Intercambiadores de paso simple 1-1 304Intercambiador de corrientes paralelas en contracorriente 1-2 307Intercambiador 2-4 309Intercambiador de flujos cruzados 310Coeficiente U de transferencia trmica global 311Factor de suciedad 312Transmisin de calor entre fluidos en movimiento, a temperaturas variables, a travs de una pared 314Temperatura media logartmica (LMTD) 316Factores de correccin de la (LMTD) 316Factores de correccin de la (LMTD), para diversas configuraciones de intercambiadores 319

XVIII- INTERCAMBIADORES DE CALOR: METODO DE LA EFICIENCIAEficacia de los intercambiadores de calor 323Flujos paralelos en equicorriente 325Flujos paralelos en contracorriente 327Valores de la eficiencia trmica para diversas configuraciones de intercambiadores 330Intercambiadores de calor compactos 332

XIX- RADIACION TERMICA: FUNDAMENTOSIntroduccin 343Fsica de la radiacin 344Concepto de cuerpo negro 344Ley de Planck 344Ley del desplazamiento de Wien 345Ley de Stefan-Boltzman 346Funciones de radiacin 346Transmisin de calor por radiacin 348Factor de forma de la radiacin 349Factor de forma para dos superficies infinitesimales 349

Factor de forma para una superficie finita y otra infinitesimal 351Factor de forma para dos superficies finitas 352Propiedades de los factores de forma 352lgebra de factores de forma.- Casos particulares 354Eliminacin de superficies cncavas 356Factores de visin para superficies convexas generadas a lo largo de una recta 357Mtodo de las cuerdas cruzadas 359Grficas para la determinacin de factores de forma 360

XX- RADIACION TERMICA: INTERCAMBIOS RADIATIVOSIntercambio radiativo entre superficies negras 367Intercambio radiativo entre dos superficies negras y una refractaria 370 Superficies refractarias 370Clculo de la temperatura de la superficie refractaria 371Factor de forma general.- Casos particulares 371Intercambio radiativo entre superficies grises 373Superficies refractarias 375Recinto formado por dos superficies grises.- Casos particulares 376Recinto formado por dos superficies grises y una o varias pantallas de radiacin 377Recinto formado por tres superficies grises, dos opacas y una refractaria 381Tcnicas matriciales 382Superficies con temperaturas conocidas 382Superficies con flujo neto de calor conocido 385

XXI- RADIACION TERMICA EN GASESRadiacin a travs de un medio transmisor y absorbente 389Superficies infinitas 389Superficies finitas 392Propiedades radiativas de los gases 394Determinacin prctica de la emisividad de algunos gases y vapores 400Radiacin de nubes de partculas 402Llamas luminosas 404Llamas de carbn pulverizado 405Clculos en hornos y hogares 406Medida de temperaturas 408

TABLAS de propiedades trmicas de slidos, lquidos, gases y vapores 411

BIBLIOGRAFA 441

INDICE 443

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA

ELECTRICA Y ENERGETICA

UNIVERSIDAD DE CANTABRIA

INGENIERIA TERMICAY DE FLUIDOS

Pedro Fernndez Dez

I.- PRINCIPIOS BSICOS

DE TRANSFERENCIA DE CALOR

I.1.- INTRODUCCIN

La Ingeniera Trmica trata de los procesos de transferencia de calor y la metodologa para

calcular la velocidad conque stos se producen para as disear los componentes y sistemas en

los que tiene lugar una transferencia de calor.

A ttulo de ejemplo, determinados casos de diseo requieren disminuir las cantidades de calor

transferido mediante un aislante trmico; otros implican procesos de transferencia de calor de

un fluido a otro mediante intercambiadores de calor; a veces el problema de diseo es controlar

trmicamente un proceso manteniendo las temperaturas de funcionamiento de los componentes

sensibles al calor dentro de unos mrgenes predeterminados, etc.

De todo esto se desprende que la transferencia de calor abarca una amplia gama de fenme-

nos fsicos que hay que comprender antes de proceder a desarrollar la metodologa que conduzca

al diseo trmico de los sistemas correspondientes.

Siempre que existe una diferencia de temperatura, la energa se transfiere de la regin de

mayor temperatura a la de temperatura ms baja; de acuerdo con los conceptos termodinmi-

cos la energa que se transfiere como resultado de una diferencia de temperatura, es el calor. Sin

embargo, aunque las leyes de la termodinmica tratan de la transferencia de energa, slo se

aplican a sistemas que estn en equilibrio; pueden utilizarse para predecir la cantidad de energa

requerida para cambiar un sistema de un estado de equilibrio a otro, pero no sirven para predecir

la rapidez (tiempo) con que puedan producirse estos cambios. La fenomenologa que estudia la

transmisin del calor complementa los Principios Primero y Segundo de la Termodinmica clsi-

ca, proporcionando unos mtodos de anlisis que permiten predecir esta velocidad de transferen-

cia trmica.

Para ilustrar los diferentes tipos de informacin que se pueden obtener desde ambos puntos

I.-1

I.2.- TRANSMISIN DE CALOR POR CONDUCCIN

La conduccin es el nico mecanismo de transmisin del calor posible en los medios slidos

opacos; cuando en estos cuerpos existe un gradiente de temperatura, el calor se transmite de la

regin de mayor temperatura a la de menor temperatura, siendo el calor transmitido por con-

duccin Qk, proporcional al gradiente de temperatura dT/dx, y a la superficie A, a travs de la

cual se transfiere, Fig I.1.a, es decir:

Qk @ A

dTdx

en donde T es la temperatura y x la direccin del flujo de calor.

Fig I.1- Convenio de signos para la transmisin del calor por conduccin

I.-2

El flujo real de calor depende de la conductividad trmica k, que es una propiedad fsica del

cuerpo, por lo que la ecuacin anterior se puede expresar en la forma:

Qk = - k A

dTdx

en la que el signo (-) es consecuencia del Segundo Principio de la Termodinmica, segn el cual, el

calor debe fluir hacia la zona de temperatura ms baja. El gradiente de temperaturas, ser

negativo si la temperatura disminuye para valores crecientes de x; si se considera que el calor

transferido en la direccin positiva debe ser una magnitud positiva, en el segundo miembro de la

ecuacin anterior hay que introducir un signo negativo.

Esta ecuacin expresa la ley de conduccin del calor de Fourier, y se utiliza para definir la

conductividad trmica k; por ejemplo, si la superficie de intercambio trmico se expresa en m2, la

temperatura en grados Kelvin, la distancia x en metros y la transmisin del calor en W, las uni-

dades de k sern W/mK.

PARED PLANA..- Una aplicacin inmediata de la ley de Fourier corresponde al caso de la

transmisin del calor a travs de una pared plana, Fig I.2. Cuando las superficies de la pared se

encuentran a temperaturas diferentes, el calor fluye slo en direccin perpendicular a las super-

ficies. Si la conductividad trmica es uniforme, la integracin de la ecuacin anterior proporcio-

na:

Qk = -

k A L

(T2 - T1 ) = k A L

(T1 - T2 )

en la que L es el espesor de la pared, T1 es la temperatura de la superficie de la izquierda x = 0, y

T2 es la temperatura de la superficie de la derecha x = L

Fig I.2.- Muro plano Fig I.3.- Pared compuesta

PAREDES PLANAS EN SERIE..- Si el calor se propaga a travs de varias paredes en buen

contacto trmico, como por ejemplo, en la construccin de capas mltiples, el anlisis del flujo de

I.-3

calor en estado estacionario a travs de todas las secciones tiene que ser el mismo.

Sin embargo, y tal como se indica en la Fig I.3 en un sistema de tres capas, los gradientes de

temperatura en stas son distintos. El calor transmitido se puede expresar para cada seccin y

como es el mismo para todas las secciones, se puede poner:

Qk = T1 - T2

( Lk A

)A =

T2 - T3

( Lk A

)B =

T3 - T4

( Lk A

)C =

T1 - T4

( Lk A

)A + (L

k A)B + (

Lk A

)c

Si se considera un conjunto de n capas en perfecto contacto trmico el flujo de calor es:

Qk = Ti - Ti+1

( Lk A

)i =

T1 - Tn+1

(L

k A) i

i=1

i=n

en la que T1 es la temperatura superficial de la capa 1 y Tn+1 la temperatura superficial de la

capa N.

ANALOGA ELCTRICA DE LA CONDUCCIN.- La analoga entre el flujo de calor y la electrici-

dad, permite ampliar el problema de la transmisin del calor por conduccin a sistemas ms

complejos, utilizando conceptos desarrollados en la teora de circuitos elctricos. Si la transmi-

sin de calor se considera anloga al flujo de electricidad, la expresin L/k A equivale a una resis-

tencia y la diferencia de temperaturas a una diferencia de potencial, por lo que la ecuacin ante-

rior se puede escribir en forma semejante a la ley de Ohm:

Qk = D TRk

, siendo, Potencial trmico, D T = T1 - T2

Resistencia trmica, Rk = L

k A

La inversa de la resistencia trmica se denomina conductividad trmica, k/L, W/m2K., o con-

ductancia trmica unitaria del flujo de calor por conduccin.

PAREDES EN PARALELO..- Las ecuaciones anteriores se pueden utilizar tambin en la reso-

lucin de problemas ms complejos, en los que la conduccin tiene lugar en paredes dispuestas

en paralelo. La Fig I.4 muestra un bloque formado por dos materiales de reas A1 y A2 en para-

lelo; para su resolucin hay que tener en cuenta que para una determinada diferencia de tempe-

raturas a travs del bloque, cada capa del conjunto se puede analizar por separado, teniendo

presentes las condiciones impuestas para el flujo unidimensional a travs de cada una de las dos

secciones.

Si la diferencia de temperaturas entre los materiales en contacto es pequea, el flujo de calor

paralelo a las capas dominar sobre cualquier otro flujo normal a stas, por lo que el problema

se puede tratar como unidimensional sin prdida importante de exactitud.

Como el calor fluye a travs de los dos materiales segn trayectorias separadas, el flujo total

I.-4

de calor Qk ser la suma de los dos flujos:

Qk = Q1 + Q2 = T1 - T2

( Lk A

)1 +

T1- T2

( Lk A

)2 = (

1R1

+ 1

R2)(T 1 - T2) =

T1 - T2R1 R2

R1 + R2

en la que el rea total de transmisin del calor es la suma de las dos reas individuales y la

inversa de la resistencia total es igual a la suma de las inversas de todas las resistencias indivi-

duales.

Fig I.4.- Transmisin de calor a travs de una pared con dos secciones en paralelo

Una aplicacin ms compleja del enfoque del circuito trmico es la indicada en la Fig I.5, en la

que el calor se transfiere a travs de una estructura formada por una resistencia trmica en

serie, otra en paralelo y una tercera en serie; para este sistema, el flujo trmico por unidad de

superficie es:

Qk = D Tglobal

Rii=1

i=n

=

D TglobalRA + R2 + RD

=

1 R2

= 1 RB

+ 1 RC

R2 = RB RC

RB + RC

= D Tglobal

RA + RB RC

RB + RC + RD

en la que n es el nmero de capas en serie, Ri es la resistencia trmica de la capa i, y D Tglobal es

la diferencia de temperaturas entre las dos superficies exteriores.

Fig I.5.- Circuito trmico en serie-paralelo-serie

I.-5

El anlisis del circuito precedente supone flujo unidimensional. Si las resistencias RB y RC

son muy diferentes, los efectos bidimensionales pueden ser importantes.

RESISTENCIA DE CONTACTO.- Cuando superficies a distintas temperaturas se ponen en

contacto, aparece una resistencia trmica en la interfase de los slidos, que se conoce como resis-

tencia de contacto, y que se desarrolla cuando los dos materiales no ajustan exactamente, por lo

que entre ambos puede quedar atrapada una delgada capa de fluido. Una vista ampliada del con-

tacto entre las dos superficies mostrara que los slidos se tocan slo en picos superficiales,

mientras que los huecos estaran ocupados por un fluido, o el vaco.

La resistencia de la interfase depende de:

- La rugosidad superficial

- La presin que mantiene en contacto las dos superficies

- Del fluido de la interfase

- De su temperatura

En la interfase, el mecanismo de la transmisin del calor, y su determinacin, es complejo; la

conduccin del calor tiene lugar a travs de los puntos de contacto del slido en forma tridimen-

sional por cuanto el calor se transmite por las reas de contacto a travs del fluido de la inter-

fase por conveccin, y entre las superficies por radiacin.

Si el calor a travs de las superficies slidas en contacto es Q, la diferencia de temperaturas

a travs del fluido que separa los dos slidos es D Ti y la resistencia de contacto Ri se expresa en

funcin de una conductancia interfacial hi, W/m2K, se tiene:

Q = h i A D Ti = D Ti1

hi A

= D TiRi

Cuando las dos superficies estn en contacto trmico perfecto, la diferencia de temperaturas

a travs de la interfase es nula, por lo que su resistencia trmica es cero; un contacto trmico

imperfecto tiene lugar cuando existe una diferencia de temperaturas en la interfase.

Tabla I.1.- Conductancias interfaciales de algunos materiales a presiones moderadas

InterfaceCermica-cermica 500-3000Cermica-metal 1500-8500Grafito metal 3000-6000Acero inoxidable-acero inoxidable 1700-3700Aluminio-aluminio 2200-12000Acero inoxidable-aluminio 3000-4500Cobre-cobre 10000-25000Hierro-aluminio 4000-40000

hi, W/m2K

La resistencia por contacto depende de la presin conque se mantiene el contacto, y muestra

un descenso notable cuando se alcanza el lmite elstico de alguno de los materiales.

I.-6

En los slidos mecnicamente unidos no se suele considerar la resistencia de la interfase, a

pesar de que siempre est presente. Sin embargo hay que conocer la existencia de la resistencia

de la interfase y la diferencia de temperaturas resultante a travs de la misma; en superficies

rugosas y bajas presiones de unin, la cada de temperatura a travs de la interfase puede ser

importante, incluso dominante, y hay que tenerla en cuenta.

La problemtica de la resistencia de la interfase es compleja y no existe ninguna teora, o

base de datos empricos, que la describa exactamente para situaciones de inters industrial.

I.3.- CONDUCTIVIDAD TRMICA

La conductividad trmica k es una propiedad de los materiales que, excepto en el caso de los

gases a bajas temperaturas, no es posible predecir analticamente; la informacin disponible

est basada en medidas experimentales. En general, la conductividad trmica de un material

vara con la temperatura, pero en muchas situaciones prcticas se puede considerar con un

valor medio constante, si el sistema tiene una temperatura media, lo que proporciona resultados

bastante satisfactorios.

En la Tabla I.2 se relacionan los valores tpicos de la conductividad trmica de algunos meta-

les, slidos no metlicos, lquidos y gases, que nos dan una idea del orden de magnitud conque se

presenta en la prctica, mientras que en la Fig I.6, se presentan dos grficas de conductividades

trmicas, una entre 0 y 450 W/mK para metales y aleaciones (buenos conductores trmicos), y

otra entre 0 y 0,8 W/mK para algunos gases y lquidos, observndose la gran diferencia exis-

tente entre sus coeficientes de conductividad k.

Tabla I.2.- Conductividad trmica de algunos materiales

Material k (W/mK), a 300KCobre 386Aluminio 204Vidrio 0,75Plstico 0,2-0,3Agua 0,6Aceite de motores 0,15Fren (lquido) 0,07Aire 0,026

El mecanismo de la transmisin de calor por conduccin en los materiales conductores est

asociado a las vibraciones de la estructura reticular y al movimiento de los electrones libres,

(metales y aleaciones), al igual que en los conductores elctricos, por lo que materiales buenos

conductores de la electricidad son tambin, en general, buenos conductores del calor, (cobre, pla-

ta, aluminio, etc).

Los buenos aislantes elctricos, (que requieren de una estructura porosa y un gas atrapado en

la misma), son tambin buenos aislantes trmicos, (vidrio, plsticos, etc). En estos materiales,

la transferencia de calor puede tener lugar de diversas formas:

a) Conduccin a travs de la estructura slida porosa o fibrosa

I.-7

b) Conduccin y/o conveccin a travs del aire atrapado en los espacios vacos

c) Radiacin entre porciones de la estructura slida, lo cual es especialmente importante a temperaturas

elevadas o en recintos vacos

Se han desarrollado materiales superaislantes para aplicaciones criognicas, que constan de

varias capas de materiales altamente reflectantes separados por espacios vacos, que minimi-

zan la conduccin y la conveccin, alcanzndose conductividades trmicas del orden de 0,02

W/mK.

En muchos materiales, el valor de k no es constante, sino que vara con la temperatura y con

la composicin qumica de los mismos. Cuando slo depende de la temperatura, se puede poner el

valor de k en la forma:

k = k(T) = k0 (1 + b T)

siendo k0 el valor de la conductividad a la temperatura de referencia, y b es una constante,

(coeficiente de dilatacin). En tal caso la integracin de la ecuacin de Fourier proporciona:

Qk = - A k0(1 + b T) dT =

k0 A

L {T1 - T2 +

b2

(T12 - T2

2)}T1

T2

= k m A

L (T1 - T2)

en la que k m es el valor de k a la temperatura

T1 + T22

COEFICIENTES DE CONDUCTIVIDAD TRMICA PARA LAS ALEACIONES.- En la Fig I.6.a

se muestra el comportamiento con la temperatura de las conductividades trmicas de algunos

metales y aleaciones, (cobre, aluminio, acero al carbono, acero inoxidable 18-8.

La conductividad trmica de las aleaciones, en general, y de los aceros en particular, se puede deter-

minar mediante la relacin:

k = k0 1 + x 1 + x 2 + ... + x n

en la que k0 es la conductividad trmica del metal base, y x 1, x 2,..., x n, son unos factores de

correccin de dicha conductividad, propios de cada metal que la caracterizan. La conductividad

trmica del hierro puro viene representada en la Fig I.7, mientras que los factores caractersti-

cos de los metales adicionales que entran en la composicin de un acero aleado, x 1, x 2,..., x n, en la

Fig I.8.

CONDUCTIVIDAD TRMICA DE LQUIDOS.- En la Fig I.6 se indica la conductividad tr-

mica de algunos lquidos en funcin de la temperatura, observndose que, excepto en el caso del

agua, la conductividad trmica de los lquidos decrece a medida que aumenta su temperatura,

pero el cambio es tan pequeo que en la mayor parte de las situaciones prcticas, la conductivi-

I.-8

dad trmica se puede suponer constante para ciertos intervalos de temperatura; asimismo, en

los lquidos no hay una dependencia apreciable con la presin, debido a que stos son prctica-

mente incompresibles.

Fig I.6.a.- Conductividad trmicametales y aleaciones

Fig I.6.b.- Conductividad trmicalquidos, gases y vapores

Fig I.7.- Conductividad trmica del hierro puro

Fig I.8.- Factores de correccin de la conductividad trmica de los aceros aleados

I.-9

Para la determinacin de la difusividad trmica en lquidos, se propone la frmula:

a =

kr c p

= 54

r

M3

en la que M es la masa molecular y r la densidad del lquido. Como la ecuacin no es homognea,

conviene precisar las unidades en que deben expresarse las magnitudes que en ella figuran:

k en Kcal/C.m.hora, r en kg/dm3 y cp en Kcal/Ckg

Para definir la variacin de la conductividad trmica k en funcin de la temperatura, Riedel

propone la ecuacin:

k = k K{1 - 6,7 (1 - Tr )2/3 }

siendo:

k la conductividad a la temperatura T = Tr Tk en K

kk la conductividad a la temperatura crtica Tk en K

Tr la temperatura reducida igual a

TTk

En el caso en que se desconozca la conductividad kk, la ecuacin anterior se puede emplear

para determinar la conductividad a una temperatura para la que no existen resultados de medi-

da; en estas circunstancias el valor de kK se calcula para unas ciertas condiciones en las que se

conozca Tk con ayuda de la citada ecuacin. Si no se conoce Tk se pueden determinar los valores

de kk y de Tk efectuando dos medidas de k a temperaturas suficientemente espaciadas una de

otra; esta ecuacin se puede utilizar para temperaturas reducidas del orden de 0,9, aproximada-

mente.

Tabla I.3.- Valores de k/ k

T/Tk 0,4 0,5 0,6 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 1k/k 38 33 27 19,3 15,5 12 9,3 4,3 1

La conductividad de los lquidos vara con la temperatura; en las proximidades del punto cr-

tico disminuye ms rpidamente, ya que la conductividad del vapor es siempre ms baja.

Si se conocen la conductividad del vapor saturado k y la temperatura crtica del lquido Tk en

K, la conductividad del lquido a la temperatura de saturacin se puede deducir de la siguiente

relacin:

k'k

= f (T

Tk)

que precisa de la Tabla I.3.

I.-10

CONDUCTIVIDAD TRMICA DE GASES Y VAPORES.- En la Fig I.6 y a ttulo de ejemplo, se

muestran algunas conductividades trmicas de gases y vapores, observndose su variacin con

la temperatura.

La conductividad trmica de los gases crece con la presin, pero este aumento a presiones

normales es tan pequeo que se puede despreciar; sin embargo, en las proximidades del punto

crtico, y para presiones o muy bajas, o muy altas, la variacin de la conductividad trmica en

funcin de la presin, no se puede despreciar.

La conductividad trmica de los gases se incrementa con la raz cuadrada de la temperatura

absoluta. Los gases presentan conductividades trmicas muy bajas, tanto ms, cuanto ms

elevado es su peso molecular.

Por analoga con el proceso de la transmisin del calor, y sobre la base de la teora molecular,

se propone la siguiente relacin (Sutherland) entre la conductividad y la viscosidad dinmica de

un gas, de la forma:

k = e cv h = e c v h 0

1 + CT0

1 + CT

TT0

en la que C es una constante con dimensiones de temperatura, y e un coeficiente numrico que

depende del nmero n de tomos contenidos en la molcula, de la forma (B. Koch):

e = 1 +

4,51 + 2 n , con,

e = 2,50 , para gases monoatmicos ; e = 1,90 , para gases biatmicos e = 1,64 , para gases triatmicos ; e = 1,50 , para gases tetratmicos

Tabla I.4.- Valores de C y h o de la frmula de Sutherland

Fluido CAire 114 0,166Oxgeno 128 0,18Hidrgeno 74 0,083Nitrgeno 110 0,16Anhdrido carbnico 260 0,137Monxido de carbono --- 0,16Vapor de agua 673 0,087

h 0 = (Kg seg/m2)

En la Tabla I.4 se indican los valores de C y h 0 para diversos gases industriales.

I.4. - TRANSMISIN DE CALOR POR CONVECCIN

Cuando un fluido a TF se pone en contacto con un slido cuya superficie de contacto est a

una temperatura distinta TpF, el proceso de intercambio de energa trmica se denomina transmi-

sin de calor por conveccin. En este captulo introductorio no vamos a desarrollar procedimientos

analticos, sino una visin general del fenmeno, planteando las ecuaciones bsicas que se utili-

zan en los clculos.

I.-11

Existen dos tipos de conveccin:

a) Conveccin libre o natural

b) Conveccin forzada

En la conveccin libre , la fuerza motriz procede de la variacin de densidad en el fluido como

consecuencia del contacto con una superficie a diferente temperatura, lo que da lugar a unas

fuerzas ascensionales; ejemplos tpicos de tal conveccin libre son la transmisin de calor entre

la pared o el tejado de una casa en un da sin viento, la conveccin en un tanque que contiene un

lquido en el que se encuentra sumergida una bobina de calefaccin, el calor transferido desde la

superficie de un colector solar en un da en calma, etc.

La conveccin forzada tiene lugar cuando una fuerza motriz exterior mueve un fluido con una

velocidad uF sobre una superficie que se encuentra a una temperatura TpF, mayor o menor que

la del fluido TF. Como la velocidad del fluido en la conveccin forzada uF es mayor que en la con-

veccin libre, se transfiere, por lo tanto, una mayor cantidad de calor para una determinada

temperatura.

Fig I.9.- Distribucin de la temperatura y la velocidad sobre una placa plana en conveccin forzada

I.-12

Fig I.10.- Distribucin de la temperatura y la velocidad en conveccin libre sobre una placa plana inclinada

Independientemente de que la conveccin sea libre o forzada, la cantidad de calor transmitida

Qc, se puede escribir (Ley de Newton):

Qc = hcF A (TpF - TF )

en la que:

hcF es la conductancia convectiva trmica unitaria o coeficiente de transmisin del calor por conveccin

en la interfase lquido-slido, en W/m2K

A es el rea superficial en contacto con el fluido, en m2

TpF es la temperatura de la superficie, en K.

TF es la temperatura del fluido no perturbado, en K.

La ecuacin anterior slo sirve como definicin del coeficiente de conveccin hcF; su valor

numrico se tiene que determinar analtica o experimentalmente.

En la Tabla I.5 se relacionan algunos valores aproximados de los coeficientes de transmisin

de calor por conveccin, incluyendo la vaporizacin (ebullicin) y la condensacin, consideradas

usualmente como una parte del rea de la conveccin.

La relacin entre el calor transmitido a un fluido por conveccin y el flujo del fluido, se puede

obtener a partir de la Fig I.9, que muestra una placa plana caliente que se enfra mediante una

corriente de aire que fluye sobre aqulla, (conveccin forzada), y las distribuciones de la velocidad

y temperatura.

Tabla I.5.- Valores aproximados de coeficientes de transmisin de calor por conveccin

Tipo de conveccin y fluidoConveccin libre, aire 5-25Conveccin libre, agua 20-100Conveccin forzada, aire 10-200Conveccin forzada agua 50-10.000Agua en ebullicin 3.000-100.000Vapor de agua en condensacin 5.000-100.000

hc (W/m2K)

Se observa que la velocidad u = u(y) decrece en la direccin y hacia la superficie como resul-

tado de la fuerza de rozamiento (viscosidad). Como la velocidad de la capa de fluido adyacente a

la pared es u = 0, la transmisin de calor por unidad de rea entre la superficie y esta capa de

fluido se puede considerar debida exclusivamente a la conduccin:

QcA

= - kF( T y

)y=0= hC(T pF - TF )

Este punto de vista sugiere que el proceso pudiera ser eminentemente conductivo, pero como

el gradiente de temperaturas en la superficie viene determinado por la velocidad conque el fluido

situado ms all de la pared puede transportar la energa a la corriente principal, (el gradiente de

I.-13

temperaturas sobre la pared depende del campo de velocidades del fluido), resulta que a mayor

velocidad se produce un mayor gradiente de temperaturas y una transferencia de calor superior,

por lo que el proceso es prcticamente convectivo, sin despreciar la conductividad trmica que

tiene igualmente un papel importante.

La situacin es muy similar en la conveccin libre, como puede verse en la Fig I.10; la dife-

rencia principal consiste en que en la conveccin forzada la velocidad lejos de la superficie se

aproxima al valor de la corriente libre impuesta por una fuerza externa, mientras que en la con-

veccin natural la velocidad depende de las propiedades del fluido, que se indican a continuacin,

En los gases la densidad disminuye y la viscosidad aumenta, cuando la temperatura aumenta.

En los lquidos la densidad disminuye y la viscosidad disminuye, cuando la temperatura aumenta.

Si el fluido es un lquido, la velocidad crece al principio con la distancia a la placa, debido a que

la viscosidad disminuye ms rpidamente que la densidad, que lo hace ms lentamente, fen-

meno que se invierte desde la zona de velocidad mxima hasta el resto del fluido; la fuerza ascen-

sional decrece a medida que la densidad del fluido se aproxima a la del fluido de los alrededores,

por lo que la velocidad alcanza, en primer lugar, un mximo y, posteriormente, se aproxima a

cero lejos de la superficie caliente.

Fig I.11.- Viscosidad del agua y de algunos lquidos derivados del petrleo

La distribucin de temperaturas en la conveccin libre y forzada tiene una forma similar y,

en ambos casos, el mecanismo de la transmisin del calor en la interfase (fluido/slido) corres-

ponde a la conduccin.

I.-14

El coeficiente de transmisin de calor por conveccin depende, en general, de la densidad, de la vis-

cosidad y de la velocidad del fluido, as como de sus propiedades trmicas (conductividad trmica

y calor especifico), es decir:

hcF = f ( r , h , u, k , cp )

En la conveccin forzada la velocidad viene impuesta al sistema por una bomba, ventilador,

etc, y se puede medir directamente, uF = Q/W

En la conveccin natural, la velocidad es de la forma: uF = f ( D T, b ,g) , es decir, depende de:

- La diferencia de temperaturas D T entre la superficie y el fluido

- Del coeficiente de dilatacin trmica del fluido b que determina el cambio de densidad por unidad de

diferencia de temperatura

- Del campo de fuerzas exteriores que, en general, es la gravedad

El nmero adimensional caracterstico para la conveccin natural es el nmero de Grassof, de la forma:

Gr =

g b n 2

D T L3

El nmero adimensional para la conveccin forzada es el nmero de Reynolds: Re =

uF Ln

El nmero adimensional que define al fluido es el n de Prandtl, clasificndoles, en primera apro-

ximacin, en cuatro grandes grupos:

Gases: Pr @ 1

Lquidos (agua, aceites calientes, etc): Pr > 1

Aceites a bajas temperaturas: Pr > 1000

Metales lquidos: Pr

Fig I.12.- Analoga elctrica correspondiente a la transmisin decalor a travs de una pared plana con conveccin en sus dos caras.

El calor transmitido viene dado por:

Q = Ti - T0

R 1i=1

i = 3

=

Ti - T0R1 + R2 + R3

= Ti - T0

1hci A

+ 1k A

+ 1hc0 A

I.6.- TRANSMISIN DE CALOR POR RADIACIN

Mientras que la conduccin y la conveccin trmicas tienen lugar slo a travs de un medio

material, la radiacin trmica puede transportar el calor a travs de un fluido o del vaco, en

forma de ondas electromagnticas que se propagan a la velocidad de la luz. Existen muchos

fenmenos diferentes de radiacin electromagntica pero en Ingeniera Trmica slo considera-

remos la radiacin trmica, es decir, aquella que transporta energa en forma de calor.

La cantidad de energa que abandona una superficie en forma de calor radiante depende de la

temperatura absoluta a que se encuentre y de la naturaleza de la superficie.

Un radiador perfecto o cuerpo negro emite una cantidad de energa radiante de su superficie Qr,

dada por la ecuacin:

Qr = s A T4 = A Eb

en la que Eb es el poder emisivo del radiador, viniendo expresado el calor radiante Qr en W, la

temperatura T de la superficie en K, y la constante dimensional s de Stefan-Boltzman en uni-

dades SI, en la forma:

s = 5,67.10-8

Wm2 K 4

La ecuacin anterior dice que toda superficie negra irradia calor proporcionalmente a la

cuarta potencia de su temperatura absoluta. Aunque la emisin es independiente de las condi-

ciones de los alrededores, la evaluacin de una transferencia neta de energa radiante requiere

I.-16

una diferencia en la temperatura superficial de dos o ms cuerpos entre los cuales tiene lugar el

intercambio. Si un cuerpo negro irradia calor a un recinto que le rodea completamente y cuya

superficie es tambin negra, es decir, absorbe toda la energa radiante que incide sobre l, la

transferencia neta de energa radiante viene dada por:

Qr = s A1 (T14 - T2

4 )

siendo T1 y T2 la temperatura del cuerpo negro y la temperatura superficial del recinto en K,

respectivamente.

Si los dos cuerpos negros tienen entre s una determinada relacin geomtrica, que se deter-

mina mediante un factor de forma F, el calor radiante transferido entre ellos es:

Qr = Q1 2 = s A1 F12 (T14 - T2

4 )

Los cuerpos reales no cumplen las especificaciones de un radiador ideal, sino que emiten

radiacin con un ritmo inferior al de los cuerpos negros. Si a una temperatura igual a la de un

cuerpo negro emiten una fraccin constante de la energa que emitiran considerados como

cuerpo negro para cada longitud de onda, se llaman cuerpos grises.

Un cuerpo gris emite radiacin segn la expresin:

Qr = e A Eb = e s A T4

El calor radiante neto transferido por un cuerpo gris a la temperatura T l a un cuerpo negro

que le rodea a la temperatura T2 es:

Qr = e 1 s A1(T 14 - T2

4 )

siendo e 1 la emitancia de la superficie gris, igual a la relacin entre la emisin de la superficie gris

y la emisin de un radiador perfecto a la misma temperatura. El hecho de que la transferencia

de calor dependa de T4 complica los clculos.

Si T1 y T2 no difieren demasiado, se puede poner:

Qr = s A1 e 1 (T14 - T2

4 ) = s A1 e 1 (T12 + T2

2 ) (T1 + T2 ) (T1 - T2 ) = T1 T2 Tm

Tm= T1 + T2

2 =

=

(T1 + T2 )2 - 2 T1T2 = (T1

2+ T22 ) = 4 Tm- 2 Tm

T1 + T2 = 2 Tm = s A1 e 14 Tm

3 (T1 - T2 ) = A1 hr (T1 - T2 )

habiendo considerado:

(T12 + T2

2 ) (T1 + T2 ) = {(T1 + T2 )2 - 2 T1 T2 } 2 Tm= (4 Tm2 - 2 Tm

2 ) 2 Tm= 4 Tm3

I.-17

siendo: hr = 4 e 1 s Tm3 , el coeficiente de transferencia de calor por radiacin.

A la temperatura de 25C = 298K, se obtiene: hr= 6 e 1 W/m2K, por lo que el coeficiente de

transferencia de calor por radiacin a la temperatura ambiente es del orden de 6 veces la emi-

tancia de la superficie.

Para: T1 = 320K y T2 = 300K, el error debido al empleo de la aproximacin es del 0,1%

Para: T1 = 400K y T2 = 300K, el error debido al empleo de la aproximacin es del 2%

Si ninguno de los dos cuerpos es un radiador perfecto, pero poseen entre s una determinada rela-

cin geomtrica, el calor radiante neto transferido entre ellos viene dado por:

Q1 2 = s A1 F1-2* (T1

4 - T24 ) =

Eb1 - Eb2r 1e 1

+ 1F12

+ A1A2

r 1e 1

A1

en la que F*1-2 es un factor de forma que modifica la ecuacin de los radiadores perfectos para

tener en cuenta las emitancias y las geometras relativas de los cuerpos reales.

En muchos problemas industriales, la radiacin se combina con otros modos de transmisin

del calor. La solucin de tales problemas se puede simplificar utilizando una resistencia trmica

Rr para la radiacin; su definicin es semejante a la de la resistencia trmica de conveccin y

conduccin.

Si el calor transferido por radiacin se escribe en la forma convectiva:

Qr =

T1 - T2'Rr

en la que T2 es una temperatura de referencia cuya eleccin viene impuesta por las condiciones

de conveccin, (temperatura media del entorno en contacto con la superficie), mientras que T2

es una temperatura de referencia que viene impuesta por las condiciones de radiacin, (medio

ambiente), la resistencia trmica radiativa viene dada por:

Rr =

T1 - T2s A1 F1-2 (T1

4 - T24 )

= 1

s A1 F1-2 (T12 + T2

2 ) (T1 + T2 )

La conductividad trmica unitaria de la radiacin hr se define mediante la expresin:

h r =

1Rr A1

= s F1-2 (T1

4- T24)

T1 - T2 = s F1-2 (T 1

2 + T22) (T 1 + T2)

en la mayora de los casos T2 y T2 coinciden.

I.7.- MECANISMOS COMBINADOS DE TRANSMISIN DE CALOR

I.-18

Normalmente la energa trmica se transmite en etapas a travs de un cierto nmero de sec-

ciones conectadas en serie, intercalando entre ellas otras situaciones en paralelo; para dar una

idea, consideraremos una aplicacin de la transmisin de calor en la cmara de combustin de

una turbina de gas, en la que los productos de la combustin que la atraviesan, calientan las

paredes siendo estas refrigeradas mediante un refrigerante que circula por un anillo exterior a la

pared, Fig I.13. Los productos de la combustin contienen gases como el CO, CO2 y H2O que

emiten y absorben la radiacin; en la primera seccin de este sistema el calor se transfiere del

gas incandescente a la superficie interna de la pared de la cmara de combustin por los meca-

nismos de conveccin y radiacin que actan en paralelo.

El calor total Q en la superficie de la pared, a cierta distancia de la tobera es:

Q = Qc (gases ) + Qr = hcg A (Tg - Tpg ) + hr A (Tg - Tpg ) = (hcg + h r ) (Tg - Tpg ) A =

Tg - TpgR1

R1 =

1(hcg + hr ) A

en la que Tg es la temperatura del gas incandescente y Tpg es la temperatura de la superficie

interna de la pared.

En estado estacionario el calor se conduce a travs de la pared perifrica a la misma veloci-

dad que en la superficie y en la que el valor de Q es:

Q = Qk =

k Ae

(T pg - TpF ) = Tpg - TpF

R2 ; R 2 =

ek A

siendo TpF la temperatura superficial de la pared en el lado refrigerado y R2 la resistencia tr-

mica de la segunda seccin.

I.-19

Fig I.13.- Transmisin de calor en la cmara de combustin de una turbina de gas

Despus de atravesar la pared, el calor fluye por conveccin a travs de la tercera seccin

del sistema hacia el refrigerante. El calor en la ltima etapa es:

Q = Qc = hCF A (T pF - TF ) =

TpF - TFR3

; R 3 = 1

hcF A

siendo TF la temperatura del refrigerante y R3 la resistencia trmica en la tercera seccin del

sistema.

Hay que hacer constar que los valores numricos de los coeficientes de conveccin en la pri-

mera hCg y tercera hCF seccin del sistema dependen de muchos factores y, por lo tanto, son

diferentes. Adems, las reas de las tres secciones sometidas al flujo de calor no son iguales. No

obstante, como la pared es muy delgada, el cambio en el rea del flujo de calor es tan pequeo

que puede despreciarse en este sistema. En la prctica ocurre con frecuencia que slo se cono-

cen las temperaturas de los gases incandescentes y del refrigerante, por lo que el calor es:

Q = Tg - TF

R1 + R2 + R3 =

Tg - TF1

hcg + hr + e

k + 1

hcF

A

En la ecuacin anterior el flujo de calor se ha expresado exclusivamente en funcin de un

potencial global de temperaturas y las caractersticas de transmisin del calor de las secciones

individuales en que se ha dividido el camino seguido por el flujo. A partir de estas relaciones es

posible evaluar cuantitativamente la importancia de cada resistencia trmica individual de la

transmisin, por lo que una inspeccin del orden de magnitud de los trminos individuales del

denominador indican, frecuentemente, la forma de simplificar el problema, de modo que cuando

uno u otro trmino domine cuantitativamente, se puede, a veces, despreciar el resto.

I.-20

Existen ciertos tipos de problemas, principalmente en el diseo de intercambiadores de calor,

en los que conviene simplificar la ecuacin anterior combinando las resistencias o conductancias

individuales del sistema trmico, reducindolas a una magnitud llamada coeficiente global de

transmisin del calor U; la ltima ecuacin se puede expresar en funcin de este coeficiente global

en la forma:

Q = U A D Ttotal =

D TtotalR1 + R2 + R3

U A = 1

R1 + R2 + R3

Para una pared plana de espesor e entre dos fluidos:

1U A

= 1

hc A +

ek A

+ 1

hF A

Para el ejemplo anterior:

1U A

= 1

(h cg + hr ) A +

ek A

+ 1

hcF A

El coeficiente global U se calcula siempre en funcin de una superficie A de intercambio tr-

mico del sistema, que habr que fijar de antemano.

I.-21

II.- CONDUCCIN DE CALOR UNIDIRECCIONAL

EN RGIMEN ESTACIONARIO

II.1.- INTRODUCCIN

La conduccin es una forma de transferencia trmica segn la cual, el calor viaja desde una

regin de temperatura elevada a otra de menor temperatura, pudiendo aparecer en los slidos,

en los lquidos y en los gases. Para el caso de los lquidos y gases, la conduccin se encuentra nor-

malmente en combinacin con la conveccin; la conduccin pura tiene lugar, fundamentalmente,

en los slidos opacos.

En lo que sigue consideraremos que el medio conductor es un slido, pero los principios que

se desarrollan pueden aplicarse asimismo a aquellos lquidos y gases en los que el movimiento

convectivo se encuentre limitado por el mecanismo que sea.

El estudio de la conduccin trmica se puede realizar siguiendo tres directrices principales:

a) En la primera interviene la conduccin en rgimen estacionario (en el que la temperatura resulta ser

funcin de una determinada direccin)

b) En la segunda se trata la conduccin estacionaria en la que la temperatura es funcin de dos o tres

direcciones

c) La tercera se corresponde con la conduccin en rgimen transitorio

La ecuacin de la conduccin es una expresin matemtica, consecuencia del Principio de

Conservacin de la Energa en una sustancia slida; se obtiene mediante un balance energtico

en un elemento de volumen del material en el que se realiza la transferencia de calor por conduc-

cin. Dentro del slido se supondrn despreciables las transferencias de calor por conveccin y

radiacin. Las transferencias de calor debidas a la conduccin estn relacionadas con la distribu-

cin de temperaturas mediante la ley de Fourier.

El balance de energa tiene en cuenta el hecho de que pueda generarse energa en el interior

del material; ejemplos tpicos de generacin interna de energa en un slido lo constituyen las

II.-21

almacenamiento de ener-

ga en el material. Como la energa interna de un sistema, U = U(T,t), aumenta con la tempera-

tura del mismo, una sustancia slida experimentar un incremento neto de la energa en ella

almacenada cuando aumente su temperatura T a lo largo del tiempo t, y viceversa. Si la tempe-

ratura es independiente del tiempo, el sistema est en rgimen estacionario; si la temperatura es

funcin del tiempo, se dice que el sistema est en rgimen no estacionario o transitorio, y el

incremento de su energa interna viene asociado directamente al almacenamiento de energa.

Se puede clasificar la conduccin tambin por el nmero de dimensiones de las coordenadas de

que dependa la temperatura; si sta es funcin de una sola coordenada, el problema es monodi-

mensional, y si es funcin de dos o tres, entonces se dice que es un problema bi o tridimensional,

respectivamente; si la temperatura es funcin del tiempo y de la direccin x en coordenadas rec-

tangulares, o sea, T = T(x,t), se dice que el problema es monodimensional y transitorio.

II.2.- ECUACIN FUNDAMENTAL DE LA TRANSMISIN DE CALOR POR CONDUC-

CIN

La conduccin es la forma de transferencia de calor en la que se realiza un intercambio de

energa desde la regin de mayor temperatura a la de menor temperatura, por el movimiento

cintico de sus partculas, o por el impacto directo de sus molculas, como es el caso de los fluidos

en reposo, o por el arrastre de electrones como es el caso de los metales.

La ley bsica de la conduccin del calor, a partir de observaciones experimentales, proviene

de Biot, pero en general se conoce con el nombre de ecuacin de Fourier, ya que fue l quien la

aplic a su teora analtica del calor. Esta ley establece que la tasa de transferencia de calor por

conduccin en una direccin dada, es proporcional al rea normal a la direccin del flujo de calor,

y al gradiente de temperatura en esa direccin.

Para el flujo trmico en la direccin x la ley de Fourier viene dada por:

Qx = - k A

Tx qx =

QxA

= - k Tx

en la que Qx es el calor que atraviesa la superficie A en la direccin positiva de las x, y qx es el

flujo de calor por unidad de superficie transversal, tambin en la direccin positiva de las x. La

constante k es la conductividad trmica del material y es, como sabemos, una magnitud positiva.

Consideraremos en lo que sigue que el flujo es unidireccional segn x; la ecuacin de Fourier

dice que se puede calcular el flujo de calor en la direccin x si se conoce el gradiente de tempera-

turas en esa direccin; la distribucin de la temperatura en un medio se puede calcular a partir

de la solucin de la ecuacin diferencial de la conduccin del calor, cuando se somete a unas con-

diciones apropiadas de frontera.

Para su determinacin consideraremos un elemento de volumen infinitesimal, de dimensio-

II.-22

nes D x, D y, D z, pudindose establecer el siguiente balance energtico:

(Energa que atraviesa por conduccin el elemento) + (Energa generada en el elemento) = (Variacin de la

energa interna del elemento)

La energa que entra por conduccin al elemento de volumen infinitesimal, Fig II.1, en la

direccin x, viene dada por:

Qx = qx D y D z

y la energa saliente por:

Qx +

Qx x

D x

siendo el balance de energa que atraviesa el

elemento de volumen en la direccin x:

Qx - (Qx +

Qx x

D x) = - Qx x

D x = - qx x

D x D y D z

Haciendo lo mismo para las direcciones y y z se obtiene:

Qy - (Qy +

Qy y

D y) = - Qy y

D y = - qy y

D x D y D z

Qz - (Q z +

Qz z

D z) = - Qz z

D z = - q z z

D x D y D z

La energa que por conduccin atraviesa el elemento de volumen es:

- ( qx x

+ qy y

+ q z z

) D x D y D z

La energa generada o disipada en el elemento de volumen, por fuentes o sumideros de energa, viene

dada por:

E D x D y D z

y la variacin d U de la energa interna en dt, para el caso de slidos y lquidos, en los que los calores

especficos a presin y volumen constante son iguales, cp = cv , es de la forma:

d U = m cp T t

= r c p T t

D x D y D z

en la que r y cp no varan con el tiempo.II.-23

Fig II.1.- Paraleleppedo elemental de fluido

En consecuencia, el balance energtico total proporciona la ecuacin diferencial de la conduc-

cin de calor, en la forma:

- ( qx x

+ qy y

+ q z z

) + E = r cp T t

y teniendo en cuenta la ecuacin de Fourier para cada direccin:

qx = - k T x

qy = - k T y

qz = - k T z

, resulta:

x

(k T x

) + y

(k T y

) + z

(k T z

) + E = r c p T t

en la que:

T = T(x, y , z, t ) y E = E(x , y , z, t )

obtenindose:

2T x2

+ 2T y2

+ 2T z 2

+ Ek

= r c p

k T t

= a = kr c p

= 1a

T t

; 2T + Ek

= 1a

T t

que es la ecuacin diferencial de la transmisin de calor por conduccin en rgimen transitorio

con generacin de energa, y en la que a es la difusividad trmica.

Para analizar la conduccin de calor en un cilindro, se utilizan coordenadas cilndricas, que-

dando la ecuacin anterior en la forma:

1r

r

(r T r

) + Ek

= 1a

T t

y para el caso de transmisin de calor a travs de una esfera:

1r 2

r

(r 2 T r

) + 1

r 2 sen q q

(sen q Tq

) + 1

r 2 sen 2 q 2TF 2

+ Ek

= 1a

T t

en las que hay que tener en cuenta las condiciones de frontera, propias de cada caso a estudiar.

II.3.- CONDUCCIN EN UN CILINDRO

Para estudiar la conduccin de calor en un cilindro, conviene utilizar la ecuacin de coordena-

das cilndricas, que en ausencia de fuentes y sumideros, E = 0, y para rgimen estacionario, es de

la forma:

1r

r

(r T r

) = 1a

T t

= 0 ; r

(r T r

) = 0 ; r T r

= C1 ; T r

= C1r

II.-24

T(r) = C1 ln r + C2

Suponiendo que para un punto a la distancia ri la temperatura

es Ti y que para el radio exterior re la temperatura es Tpe, las

condiciones en los lmites son, Fig II.2:

Para,

r = r i ; Ti = C1 ln r i + C2

r = r e ; Tpe = C1 ln re + C2

deducindose de las mismas las constantes C1 y C2, de la forma:

C1 = Tpe - Ti

ln r er i

; C2 = Ti - Tpe - Ti

ln r er i

ln r i

La distribucin de temperaturas T(r) es de la forma:

T(r) - TiTpe - Ti

=

ln rr i

ln r er i

; T(r) = Ti + (T pe - Ti )

ln rr i

ln r er i

Q(r) = - 2 p r L k dT(r)

dr = - 2 p r L k

C1r

= - 2 p k L Tpe - Ti

ln rer i

= Ti - Tpe

ln r er i

2 p k L

Cuando, re = r i + e, con,

er i

>> 1, la resistencia trmica se reduce a la resistencia de una placa,

e2 p r i k L

= e

k A

El valor de Q es independiente de la posicin radial r en la que Tp0 y T i son temperaturas del

cilindro, y L es la longitud del mismo. Este estudio se puede ampliar a un tubo, en el que su tem-

peratura interior sea TpF = Ti resultando la siguiente distribucin de temperaturas:

T - TpFTpe - TpF

=

ln rr i

ln rer i

El calor transmitido es de la forma: Q = 2 p k L TpF - Tp0

ln r er i

Si k es variable, funcin de la temperatura, k = k(T), el flujo de calor es de la forma:

II.-25

Fig II.2.- Cilindro

Q = 2 p L

ln rer i

TpF

Tp0

k(T) dT

Para el caso de cilindros de capas mltiples con conveccin y radiacin al medio exterior, Fig

II.3, se puede poner:

Q = U A (TpF - Tp0 ) = TpF - Tp0

1U A

1U A =

12 p r 1 L hCi

+ ln

r Ar 1

2 p k1 L +

ln r 2r A

2 p k2 L +

12 p r 2 L (hCF + h rF )

Fig II.3.- Tubera aislada, distribucin de temperaturas y circuito trmico correspondiente

en la que la resistencia en paralelo se puede sustituir por una nica, considerando un coeficiente

de conveccin: h C = hcF + hrF

II.4.- ESPESOR DE AISLAMIENTO CRITICO PARA UN CILINDRO

Cuando se recubre un cilindro con una capa de material aislante, cuya resistencia trmica es

baja, de modo que este aislamiento exterior est rodeado por un fluido, se pretende conocer el

efecto que producir el aislamiento adicional sobre la transferen-

cia de calor, desde el interior del cilindro, (con o sin generacin

de energa, ya que se mantiene constante la temperatura exterior

Tpi del cilindro), o lo que es lo mismo, que este aislamiento adicio-

nal aumente o disminuya la cantidad de calor que se transfiere a

partir del cilindro compuesto, (ncleo ms aislamiento).

La nomenclatura a utilizar viene indicada en la Fig II.4, en la

que se supondr constante el valor de Tpi que es la temperatura

de la superficie del cilindro (ncleo).

El calor Q que se transfiere a partir del mismo, en rgimen permanente, es igual a la prdida

por conveccin desde la superficie.

Q = hC A0 (TpF - TF ) = TpF - TF

12 p r0 L hC

II.-26

Fig II.4.- Aislamiento de un cilindro,radio crtico

Cuando se aade aislamiento y dado que en l no hay generacin de energa, la cantidad de

calor a disipar se mantiene constante, A0 aumenta y TpF disminuye. Para determinar cual de

estos efectos predomina, el calor Q transmitido se puede calcular entre la temperatura exterior

de la pared Tpi, y la del medio exterior TF, en la siguiente forma:

Q = Tpi - TFRk1 + RC

= Tpi - TF

ln r0r i

2 p k1 L + 1

2 p r 0 L hC

= 2 p L (T pi - TF )

1k1

ln r 0r i

+ 1r0 hC

= Tpi - TF

R

siendo R la resistencia trmica global.

Derivando la expresin de Q respecto de r0 se obtiene la condicin de disipacin de calor

mxima o mnima:

dQdr0

= - 2 p L (T pi - TF )

1k1 r0

- 1r0

2 hC

( 1k1

ln r0r i

+ 1r0 hC

)2 = 0

1k1

= 1

r 0 hC ;

r 0 hCk1

= 1 ; r 0 =

La magnitud adimensional

hC r0k1

se conoce como nmero de Biot: Bi = hC r0

k1

Al valor, r0 =

k1hC

, se le denomina radio crtico, y se cumple para un valor del nmero de Biot

igual a la unidad.

Si se calcula la derivada segunda de Q y se aplica la condicin: r0 =

k1hC

, se obtiene:

d2Qdr0

2 = - 2 p L (Tpi - TF )

- r0k1

2 ln r 0r i

- 2 r 0k1

2 + 2

hC k1 ln

r 0r i

+ 3hC k1

( 1hC

+ r0k1

ln r 0r i

)3

d2Qdr0

2 r0 = k1hC

= - 2 p L (T pi - TF )

hC2

k1

(1 + ln r0r i

)2

que siempre es negativa, por lo que el radio crtico rC, o radio ptimo, dado por el nmero de Biot

igual a la unidad, se corresponde con una prdida o disipacin de calor mxima, para, rC = r0.

Tambin se poda haber resuelto considerando que el valor de Q ser mximo cuando la resis-

tencia R sea mnima, es decir:

R = 1k1

ln r0r i

+ 1

r 0 hC ;

dRdr0

= 1k1

1

r 0 -

1r0

2 hC = 0

r 0 =

r 0 = k1hC

II.-27

d2Rdr0

2 = - 1

k1

1r0

2 + 2

r03 hC

= 1

r 02 (-

1k1

+ 2

r0hC) =

1r0

2 (- 1k1

+ 2k1

) = 1

k1r02

que siempre es (+) luego R siempre ser mnima y Q mximo, de la forma:

Q = 2 p L (T pi - TF )

1k1

ln r 0r i

+ 1r0 hC

= 2 p L (T pi - TF )

1k1

ln r 0r i

+ 1k1

= 2 p L (T pi - TF )

1k1

(ln r 0r i

+ 1)

Por lo tanto es posible aumentar la disipacin de calor de una tubera o de un cilindro,

mediante la adicin de un aislante, siempre que el radio crtico rC = hC/k1 sea mayor que el radio,

exterior de la tubera, o cilindro, sin recubrir. El radio crtico es constante para cada tipo de ais-

lamiento y fluido exterior convector, por serlo k1 y hC.

Es posible que para tuberas pequeas, o para alambres, el radio ri sea menor que rC, en cuyo

caso la adicin de aislante a la tubera o cilindro, descubiertos, (punto a), determina un aumento

del calor cedido, hasta que se alcance el radio crtico rC, tal como se muestra en la Fig II.5.a.

Fig II.5.a.b- Posiciones del radio crtico en tuberas de distinto dimetro

Un aumento posterior del espesor del aislante har que el calor disipado descienda desde el

mximo a otro valor inferior (punto b), de radio r*, en que el calor disipado es igual que el del

tubo o cilindro desnudos.

Por lo tanto, para conseguir una prdida de calor menor que la que cede el tubo o cilindro al

descubierto, ser preciso aadir un espesor de aislante e superior a (r* - ri), e > r* - ri.

En la Fig II.5.b, se tiene una situacin tpica de tubera de gran dimetro, 2 ri, en la que el

radio exterior de la misma ri es mayor que el radio crtico rC y, en consecuencia, cualquier ais-

lante que se aada, disminuir la prdida de calor.

Para, Bi < 1, que implica que, ri < rC, la adicin de aislamiento en cilindros o tuberas de

pequeo dimetro, incrementa la cantidad de calor transferida al exterior.

Para, Bi > 1, que implica que, ri > rC, el aislamiento adicional a tuberas y conducciones de

gran dimetro, har disminuir la transferencia de calor, lo que implica un mejor aislamiento.

II.-28

Si se considera la radiacin: rC =

khC + h r

En realidad el valor de r0 es slo una aproximacin ya que se ha supuesto que el coeficiente

de transmisin de calor era independiente de r0; sin embargo, desde un punto de vista prctico,

no se necesita un valor exacto de r0, por cuanto al ser el valor de Q mximo, la prdida de calor

no es sensible a los cambios de r, cuando r est cerca de r0.

II.5.- PARED ESFRICA SIN GENERACIN DE ENERGA

En rgimen permanente se tiene que

T t

= 0, y si no existen fuentes ni sumideros, E = 0; pa-

ra un material istropo, T = T(r), y por lo tanto, el flujo de calor se puede considerar monodimen-

sional.

La ecuacin diferencial de la distribucin de temperaturas es:

2T =

2T x 2

+ 2T y2

+ 2T z2

= 0

Haciendo:

r = x2 + y2 + z 2 ;

r x

= xr ;

T x

= Tr

r x

= Tr

xr

se obtiene:

2T x2

= 2Tr 2

r x

xr +

Tr

r - x

r x

r 2 = 2Tr 2

(xr )

2 + Tr

r 2 - x 2

r 3

Resultados similares se obtendran para,

2T y 2

y 2T z2

, por lo que:

2T =

2Tr 2

x2 + y2 + z 2

r 2 + Tr

(3r -

x 2 + y2 + z 2

r 3) = 2Tr 2

+ Tr

2r = 0

Si al gradiente de temperaturas en la direccin radial le llamamos u, la distribucin de tem-

peraturas es de la forma:

Tr

= u = ur

+ 2 ur

= 0 ; duu

+ 2 drr

= 0

ln u + 2 ln r = ln C ; u r 2 = C =

Cr 2

; T = - Cr + B

Las condiciones en los lmites, son:

T1 = - C 1r 1

+ B

T2 = - C 1r 2

+ B

T1 - T2 = - C er 1 r 2

C = -

T1 - T2e r 1 r 2

B = T1 - T1 - T2

e r 2

II.-29

Fig II.6.- Esfera

siendo: e = r 2 - r 1

La distribucin de temperaturas en paredes esfricas es de la forma:

T =

r 1 r 2e r (T1 - T2 ) -

r 2e (T1 - T2 ) + T1 = T1 +

T1 - T2e r 2 (

r 1r - 1)

viniendo dado el calor transmitido por conduccin por la expresin:

Q = - k A

Tr

= - k 4 p r 2 Tr

= - 4 p k r 2Cr 2

= 4 p k r 1 r 2 T1 - T2

e

observndose que Q no es constante, sino que depende de r 1 y se va diluyendo a medida que

aumenta r 1, (r 2 es constante), por cuanto aumenta la seccin.

Esta expresin para el calor se puede poner tambin en la forma:

Q = T1 - T2

e4 p r 1 r 2 k

= T1 - T2Resf

= T1 - T2r 2 - r 1

4 p r 1 r 2 k

= 4 p k T1 - T21r 1

- 1r 2

en la que Resf se denomina resistencia trmica de la esfera, en analoga con la ley de Ohm.

Para determinar el calor evacuado a travs de una esfera hueca, de radio interior r1 y radio

exterior r2, calentada por un fluido a TF, a un medio exterior a T0, se tendr:

Q = TF - T0

14 p r 1

2hpF + e

4 p r1r 2 k + 1

4 p r 22hp0

siendo hpF el coeficiente de conveccin en el interior de la esfera y hp0 en el exterior.

Para una esfera el radio crtico viene dado por, r C =

2 khC

Si se considera la radiacin, r C =

2 khC + hr

II.6.- CONDUCCIN MONODIMENSIONAL CON GENERACIN DE ENERGA

Hasta ahora slo hemos considerado problemas de conduccin trmica sin generacin de calor

dentro del propio material. Cuando haya que tener en cuenta la generacin interna de calor se

resuelve en primer lugar la ecuacin de la energa para la distribucin de temperaturas que

exista en el material de que se trate. La solucin contendr dos constantes de integracin que

debern determinarse mediante condiciones de contorno adecuadas. A continuacin se utilizar

la ley de Fourier para determinar el flujo de calor a travs del slido.

Sabemos que el calor puede generarse internamente de diversas maneras; dentro de un

material slido pueden producirse reacciones qumicas tanto endotrmicas como exotrmicas.

Una reaccin exotrmica generar calor, mientras que una reaccin endotrmica absorber calor

del material, originando un sumidero de calor. Si una corriente elctrica pasa a travs de una

II.-30

resistencia, se genera calor en el conductor. Tambin se produce calor en los materiales fisiona-

bles como consecuencia de las reacciones nucleares que tienen lugar dentro de los mismos.

PARED PLANA.- Como ejemplo en el que interviene la generacin de calor, consideraremos

una pared plana de espesor, e = 2 L, Fig II.7, en la que se produce

la generacin constante de calor, uniformemente distribuida a

travs de la totalidad del volumen de material.

Para su estudio consideraremos la mitad de su espesor, que nos

va a permitir introducir el concepto de frontera aislada o adiab-

tica; partiendo de la ecuacin:

2T +

Ek =

1a T t

= 0

Integrndola en la direccin x se tiene:

d2Tdx2

+ Ek

= 0 ; dTdx

= - E xk

+ C1 T = - E x2

2 k + C1 x + C2

Condiciones de contorno:

Para, x = 0, T = T1 ; C2 = T1

Para: x = L, se tiene una frontera aislada o adiabtica; como el calor transferido ha llegado a

esta frontera por conduccin, la correspondiente condicin a una superficie adiabtica es:

q x=L= - k

T x x=L = 0 ;

T x x=L = 0 0 = -

E Lk + C1 ; C 1 =

E Lk

Una frontera o lmite aislado en un material slido es aquella en la que resulta ser nulo el

gradiente de temperaturas en dicho lmite; sustituyendo Cl y C2 se obtiene la distribucin de

temperaturas:

T = T1 +

E L xk (1 -

x2 L )

que es una distribucin parablica con respecto a x; el valor mximo de la temperatura, supuesto

E manantial, se presenta en la superficie aislada, x = L:

TL = Tmx= T1 +

E L22 k

TmxT1

= 1 + E L2

2 k T1

Toda la energa generada dentro de la pared se conduce hacia la superficie libre en x = 0, en

la forma:

Q = - k A

T x

= - k A (- E xk +

E Lk ) = A E (L - x)

II.-31

Fig II.7.- Pared plana

(Distribucin de temperaturas)

No puede transferirse ninguna energa calorfica a travs de la superficie extrema correspon-

diente a, x = L, porque est aislada y no puede almacenarse ninguna energa en el material, por

cuanto se han impuesto condiciones estacionarias.

Un balance de energa de la pared en la superficie, x = 0, implica:

Q x= 0 = - k A

T x x=0 =

T x x=0 = -

E xk +

E Lk x=0 =

E Lk = - A E L = - V E

siendo V el volumen de la pared plana.

PLACA PLANA RODEADA POR UN FLUIDO CONVECTOR..- Si a continuacin se supone que

rodeando a la placa se encuentra un fluido convector, Fig II.8, con temperatura TF y coeficiente

hC, el calor generado en la placa atraviesa sta por con-

duccin, y luego va escapando al fluido exterior por con-

veccin; partiendo de:

T = -

E x22 k + C1 x + C2 ;

dTdx = -

E xk + C1

y dado que en esta nueva situacin la condicin de:

Tmx

T x x=0= 0

se encuentra en el eje de la placa, x = 0 C1 = 0 ; Tmx= C2

Para calcular T1 y Tmx se tendr en cuenta que el calor que atraviesa por conduccin la

cara exterior de la placa, escapa al fluido convector por conveccin, luego para, x = L se tiene:

C2 = Tmx= T1 +

E L22 k

- k T x x = L = hC(T1 - TF ) ;

T x x = L = -

hC(T1 - TF )k = -

E Lk

T1 = TF +

E LhC

= - E L22 k + Tmx ; Tmx = TF +

E LhC

+ E L22 k

Distribucin de temperaturas:

T = Tmx -

E x22 k = -

E x22 k + T1 +

E L22 k = T1 +

E2 k (L

2 - x 2 ) = TF + E L22 k -

E x22 k +

E LhC

=

= TF +

E Lk (

L2 -

x22 L +

khC

)

El calor que pasa de la placa al fluido es:

Q = 2 A hC (T1 - TF ) = 2 A hC (TF +

E LhC

- TF ) = 2 A E L = E V

II.-32

Fig II.8.- Placa plana rodeada por un fluido

(Distribucin de temperaturas)

PARED ClLNDRICA.- Supongamos un conductor cilndrico macizo, Fig II.9, por el que circula

una corriente elctrica de intensidad I y resistencia R. La superficie lateral del cilindro est a la

temperatura T0.

La energa generada en el cilindro por unidad de volumen es:

E =

R I 2V

siendo V el volumen del cilindro.

El valor de E es constante para: I = Cte y R = Cte.

La ecuacin de la conduccin monodimensional y estacionaria en coordenadas cilndricas es:

1r r

(r T r

) + Ek = 0

y la distribucin de temperaturas se obtiene por integracin:

dTdr = -

E r2 k +

C1r ; T = -

E r 24 k + C1 ln r + C2

Para calcular las constantes Cl y C2 se tendrn en cuenta las siguientes consideraciones:

Para: r = r0 y T = T0, resulta:

T0 = -

E r02

4 k + C1 ln r 0 + C2

Para determinar la temperatura de la lnea central del

cilindro r = 0, se tiene:

ln r = ln 0 = -

es decir, la temperatura correspondiente tendra que

ser , lo cual no es posible, luego C1 = 0 y, por lo tanto:

C2 = T0 +

E r 02

4 k

T - T0 = -

E r 24 k +

E r02

4 k = E r0

2

4 k {1 - (rr0

)2 } ; T - T0

T0 =

E r02

4 k T0 {1 - (

rr0

)2 }

La temperatura mxima del cilindro se encuentra a lo largo del eje del mismo, y vale:

Para, r = 0 ; T = Tmx = T0 +

E r02

4 k

Si se supone que el conductor cilndrico emite calor al exterior, se tiene que:

II.-33

Fig II.9.- Pared cilndrica

T r r = r0 = -

hCk (T0 - TF ) = -

E r 02 k T0 = TF +

E r02 hC

Teniendo en cuenta:

T - T0 =

E r 02

4 k {1 - (rr0

)2 }

resulta la siguiente distribucin de temperaturas:

T - TF =

E r02 hC

+ E r0

2

4 k - E r 24 k =

E r02 hC

(1 + r0 hC2 k -

r 2 hC2 k r0

)

Tmx= TF +

E r 02 hC

(1 + r0 hC2 k ) = TF +

E r02 hC

(1 + Bi2 )

Si, Bi 0, slido isotermo, k , por lo que la temperatura variar preferentemente en el fluido

T = TF +

E r02 hC

Si, Bi , resulta todo lo contrario, es decir, hC , por lo que el fluido ser isotermo, y la dife-

rencia de temperaturas se originar en el slido, T = TF

Calor eliminado al exterior:

Q = - k A (

T r

)r=r0 = - k A E r02 k = - E p r0

2 L = - E V

PARED CILNDRICA RODEADA CON UNA VAINA.- En este

caso, supondremos que el ncleo genera calor, mientras que

el recubrimiento no; en consecuencia, habr que estudiar

por separado el ncleo del recubrimiento o vaina, teniendo

en cuenta que tienen una frontera comn.

Supondremos el conjunto (ncleo-vaina) de la Fig II.10, en

rgimen estacionario y conduccin monodimensional, es

decir, T = T(r).

Para el ncleo, que genera E, se tiene:

1r

ddr (r

dTdr ) +

Ek = 0 ;

dTdr = -

E r2 k +

C1r ; T = -

E r 24 k + C1 ln r + C2

y como para, r = 0, C 1 = 0, resulta:

T = -

E r 24 k + C2

La distribucin de temperaturas para la vaina, E = 0 , es:

II.-34

Fig II.10.- Ncleo generador de calor rodeado con una vaina

1r

ddr (r

dTdr ) = 0 ; T = C3 ln r + C4

Condiciones de contorno:

a) Para: r = ri y T = Ti comn al ncleo y a la vaina, por ser la unin perfecta, se tiene:

Ti = C2 -

E r i2

4 k = C3 ln r i + C4 ; C2 = Ti + E r i

2

4 k = E r i

2

4 k + C3 ln r i + C4

que es una primera ecuacin que relaciona las constantes de integracin C2, C3 y C4.

Como:

T = C2 -

E r 24 k = Ti +

E r i2

4 k - E r 24 k

para r = 0 se tiene la temperatura mxima: Tmx= C2 = Ti +

E ri2

4 k

b) Como el calor desprendido por el ncleo, tiene que ser absorbido por la vaina, se tendr:

q r=r i

vaina = q r=r incleo ; - k

dTdr r=r i

ncleo = - k* dTdr r=r i

vaina

- k (-

E r i2 k

) = - k* C3r i

; C3 = - E r i

2

2 k*

c) En la superficie perifrica de la vaina en contacto con el medio exterior se tiene:

q r=revaina = q r=re

fluido ; q r=re

vaina = - k* dTdr r=re = - k*

C3r e

q r=refluido = hC(T pF - TF )

- k* C3r e

= hC(T pF - TF )

C3 =

- hC (TpF - TF ) r ek* = -

E r i2

2 k* ; TpF = TF + E r i

2

2 hC re

T = C3 ln r + C4 = para: r = r e , T = TpF

TpF = C3 ln re + C4

TF + E r i

2

2 hC r e =

- E r i2

2 k* ln r e + C4

C4 = TF +

E r i2

2 hC r e +

E r i2

2 k* ln re

Con los valores de C3 y C4 as encontrados, calculamos el valor de C2

C2 =

E r i2

4 k + C3 ln r i + C4 = TF + E r i

2(1

2 hC r e +

14 k

+ 1

2 k* ln

r er i

)

II.-35

Fig II.11.- Distribucin de temperaturas en el ncleo y en la vaina

Las funciones de los flujos trmicos unitarios son las siguientes:

NUCLEO:

dTdr

= - E r2 k

; q = - k dTdr

= r E2

(aumenta con r )

VAINA:

dTdr

= - E r i

2

2 k* r ; q = - k*

dTdr

= r i

2 E

2 r (disminuye cuando aumenta r )

El calor total que se disipa al exterior es:

Q = q r=re 2 p re L = p r i2 L E = V E

siendo V el volumen del ncleo.

Si en el reactor hubiere N elementos: Q = p r i2 L E N = V E

La distribucin de temperaturas en el ncleo es parablica:

Tncleo = Ti +

E r i2

4 k - E r 24 k = -

E r 24 k + TF + E r i

2 (1

2 hC r e +

14 k +

12 k* ln

r er i

)

mientras que a la salida de la vaina es logartmica:

Tvaina = -

E r i2

2 k* ln r + TF + E r i2 (

12 hC r e

+ ln r e2 k* )

En el entronque comn para r = ri se tiene:

q = q * ; - k dTdr )ncleo = - k*

dTdr )vaina

* ;

dTdr

)ncleodTdr

)vaina* =

k*k

que dice que las tangentes a las curvas, T = T(r) y T* = T*(r), son tanto ms divergentes, cuanto

ms distintas sean las conductividades k y k*.

II.-36

III.- CONDUCCION DE CALOR EN REGIMEN ESTACIONARIO

EN FUNCION DE DOS O MAS VARIABLES

III.1.- METODO ANALITICO

En los casos de conduccin de calor estudiados se supone que la distribucin de la tempera-

tura es funcin de una sola variable, es decir, slo se han estudiado los sistemas unidimensiona-

les en rgimen permanente. A continuacin vamos a estudiar los problemas de conduccin defini-

dos por dos o ms variables independientes, es decir, los casos de conduccin estacionaria en dos

dimensiones espaciales o los de conduccin variable en una sola direccin (la otra variable es el

tiempo).

Aunque las soluciones analticas obtenidas para estos casos tienen muy poco valor prctico,

se incluyen para hacer resaltar las tcnicas matemticas que han de utilizarse en los casos ms

complejos y de mayor utilidad que se abordarn ms adelante. Cuando se tenga ms inters en

los resultados finales que en los desarrollos matemticos de las soluciones, la obtencin de stas

en algunos problemas de importancia prctica se han representado por grficos relativamente

sencillos.

CONDUCCION EN REGIMEN PERMANENTE EN PLACAS RECTANGULARES.- Vamos a estu-

diar en primer lugar la conduccin en rgimen permanente de una placa rectangular, como la

representada en la Fig III.1.

Para calcular la distribucin de temperaturas en la placa utilizaremos coordenadas cartesia-

nas, considerando como plano (x,y) el de la placa y como origen de coordenadas el vrtice. Supo-

nemos que no existe conduccin en la direccin z, normal a la placa; sto se cumplir si la placa

tiene una gran longitud en esta ltima direccin, de forma que no se produzcan efectos de borde

L >> b; L >> a, o si las caras x, y estn aisladas trmicamente.

La ecuacin de conduccin del calor para el rgimen permanente, en coordenadas cartesianas

III.-37

2Tx2 +

2Ty2 = 0

La solucin de la ecuacin anterior se obtiene suponiendo que la distribucin de temperaturas se puedeexpresar como el producto de dos funciones, cada una de las cuales depende solamente de una de las variablesindependientes; es decir, que si X(x) es nicamente funcin de x y si Y(y) es nicamente funcin de y, podemossuponer que la temperatura T, viene dada por:

T = X(x) Y(y)

Sustituyendo este valor en la ecuacin diferencial de partida y ordenando la expresin resul-

tante, se tiene:

Y 2X x2 + X

2Y y2 = 0 ; -

1 X

2X x2 =

1 Y

2Y y2

Como cada miembro de esta ecuacin depende slo de una variable, los dos miembros tienen

que ser iguales a una constante, l 2, por lo que se puede poner:

- 1 X

2X x2 =

1 Y

2Y y2 = l

2

sistema que es equivalente al de las dos ecuaciones diferenciales siguientes:

2X x2 + l

2 X = 0 ;

2Y y2 - l

2 Y = 0

cuyas soluciones son,

Y = B1 Sh ( l y) + B2 Ch ( l y)

X = B3 sen ( l x) + B4 cos (l x)

por lo que la distribucin de temperaturas T es:

T = { B1 Sh ( l y) + B2 Ch (l y)} {B3 sen (l x) + B4 cos ( l x)}

en la que l y las B son constantes que hay que determinar mediante las condiciones de contorno.

PLACA RECTANGULAR CON UNA DISTRIBUCION DE TEMPERATURA DADA EN UNA ARISTA

Y NULA EN LAS DEMAS.- Consideremos la placa rectangular de la Fig III.2 de dimensiones res-

pectivas a y b, segn los ejes x e y.

Se puede suponer que la temperatura es nula en los bordes, x = 0, x = a, y = 0, y variable en

el borde, y = b, que se puede representar como f(x) en el campo 0 x L, de forma que se puedeIII.-38

operar como si fuese conocida. La anulacin de la temperatura en los otros bordes no es esencial,

pues basta conque se mantenga constante, tal como Tc, por lo que el problema puede reducirse al

expuesto anteriormente mediante la superposicin de una constante - Tc a toda la configuracin.

Fig III.1 Fig III.2

Las condiciones de contorno que han de aplicarse a la ecuacin general para la determinacin

de las constantes son las siguientes,

Para,

x = 0, T = 0 ; x = a, T = 0

y = 0, T = 0 ; y = b, T = f(x)

La aplicacin de las condiciones,

y = 0, T = 0 B 2 = 0

x = 0, T = 0 B 4 = 0

que la ecuacin general se re-

duzca a:

T = B1 Sh ( l y) B3 sen ( l x) = B Sh ( l y) sen ( l x)

en la que B sustituye al producto, B = B1 B3

La aplicacin de la condicin:

x = a, T = 0, 0 = B Sh ( l y) sen (l a)

Para que esta ecuacin se cumpla para todos los valores de y, es necesario que:

sen ( l a) = 0

que se satisface para, l = 0,

pa,

2 pa , ..., y en general por, l n =

p na , siendo, n = 0, 1, 2, ...

Para cada valor de n se obtiene un valor de l que proporciona una solucin diferente de la

ecuacin:

T = B Sh ( l y) sen (l x)

por lo que la solucin general ser la suma de todas estas soluciones parciales, por lo que:

T =

n=0

Bn Sh ( l ny) sen ( l nx)

III.-39

en la que Bn representa la constante B para cada una de las soluciones.

Como para, n = 0 resulta que, l n = 0, el primer trmino de la serie se anula, por lo que:

T =

n=1

Bn Sh ( l ny) sen ( l nx)

La aplicacin de la condicin, y = b, T= f(x), conduce al clculo de Bn

T = f(x)