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LORENA LÓPEZ PINOCHET

PROFESORA DE EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA,UNIVERSIDAD DE CHILE

MAGÍSTER EN EDUCACIÓN CON MENCIÓN EN CURRÍCULUM,UNIVERSIDAD LA REPÚBLICA

KARLA SILVA PAVEZ

LICENCIADA EN EDUCACIÓN,PROFESORA DE EDUCACIÓN GENERAL BÁSICA,

UNIVERSIDAD DE LOS LAGOS

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El material didáctico Educación Matemática 4º, para Cuarto Año de Educación Básica, es una obra colectiva, creada y diseñada por el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección de:

MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA

COORDINACIÓN DEL PROYECTO: EUGENIA ÁGUILA GARAY

COORDINACIÓN ÁREA MATEMÁTICA: VIVIANA LÓPEZ FUSTER

EDICIÓN:VIVIANA LÓPEZ FUSTERPALOMA FERNÁNDEZ VÁZQUEZMARÍA DEL PILAR POLLONI ERAZO

AUTORAS:LORENA LÓPEZ PINOCHETKARLA SILVA PAVEZ

CORRECCIÓN DE ESTILO:ISABEL SPOERER VARELAASTRID FERNÁNDEZ BRAVO

DOCUMENTACIÓN:PAULINA NOVOA VENTURINOJUAN CARLOS REYES LLANOS

La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de:

VERÓNICA ROJAS LUNA

COORDINACIÓN GRÁFICA:CARLOTA GODOY BUSTOS

DISEÑO Y DIAGRAMACIÓN:PATRICIA LÓPEZ FIGUEROA

ILUSTRACIONES:MARTÍN OYARCE GALLARDO

FOTOGRAFÍAS:ARCHIVO SANTILLANA

CUBIERTA: XENIA VENEGAS ZEVALLOS

PRODUCCIÓN:GERMÁN URRUTIA GARÍN

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o

parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella

mediante alquiler o préstamo público.

© 2009, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones, Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile)

PRINTED IN CHILE Impreso en Chile por Quebecor World Chile S.A.

ISBN: 978–956–15–1484–3Inscripción N°: 176.750

www.santillana.cl


3Presentación

Presentación

Mi nombre es:

Tengo años.

Estudio en:

Junto con darte la bienvenida a tu Cuarto Año de EducaciónBásica, te invitamos a participar de las actividades de este libro para

que sigas avanzando en el conocimiento de la matemática que te

ayudará a comprender mejor el mundo que te rodea.

Con este texto, durante el año conocerás nuevas estrategias para

resolver diversas situaciones.

¡Buena suerte y éxito!


4 Educación Matemática 4

Organización del textoEl texto Educación Matemática 4 está organizado en 6 unidades que están compuestaspor las siguientes páginas y secciones:

Páginas de inicio

• RECUERDO LO APRENDIDOResolverásejercicios quete permitiránrecordar loque sabes.

En estas páginas podrás explorar yconstruir nuevos conceptos y aplicarlospara resolver diversas situaciones,actividades y problemas.

Páginas de desarrollo

• ¿CÓMO VOY?Desarrollarás actividadesque te permitirán evaluarlo que has logrado hastaese momento.

• TE INVITAMOS A…Conocerás losprincipalesaprendizajes quese espera quelogres con eldesarrollo de launidad.

• CONVERSEMOS DE…Por medio depreguntas explorarásel contenidomatemático queaprenderás y pondrásen práctica lo que yasabes.

• TOMA NOTAEncontrarásexplicaciones,descripcioneso definicionesque destacany precisan loque vasaprendiendo.

• OBSERVA YCOMENTATe enfrentarása preguntasrelacionadascon laimagen, tusexperiencias ylos temas dela unidad.


5Organización del texto

Además, en el texto se incluyen dos talleres de evaluación con actividades que tepermitirán evaluar lo que has logrado en el primer y segundo semestre.

• DESAFÍOTrabajarás conactividadesque podrásresolverusando tuingenio yconocimientos.

Páginas de cierre

• ¿QUÉ LOGRÉ?Evaluarás yreflexionarás sobrelos aprendizajesque adquiriste enesta unidad.

• TRABAJO ENEQUIPOResolverásentretenidasactividadesgrupales que tepermitiránprogresar en tuaprendizaje.

• PUEDO RESOLVER…Dos páginas en las que aprenderás distintas estrategiaspara resolver problemas, usando los siguientes pasos:comprender, planificar, resolver, responder y revisar.

• TALLER DE EJERCITACIÓNUtilizarás y reforzarás lo que aprendiste enla unidad, resolviendo diversas actividadesy problemas.

• PARA NO OLVIDAREn esta página sintetizarás yaclararás lo aprendido usandoalgunos organizadores gráficos.

• LO QUE APRENDÍResolverásactividades paraevaluar lo que hasaprendido en launidad.



Recuerdo lo aprendido

Puedo resolver…Taller de ejercitaciónPara no olvidarLo que aprendí

Números del 0 al 1 000 000Recta numéricaUnidades de medida y sus equivalenciasSistema monetario, medidas y nuestrosistema de numeraciónUnidades de tiempoFracciones en la vida cotidianaPartes de un entero

9

101418

20222426

30323334

Índice

Números en nuestra vidaUnidad 1


Adición y sustracciónBúsqueda de informaciónMultiplicación y divisiónMultiplicación como relaciónproporcionalComparación por cuociente y por diferenciaRelación entre la multiplicación y la divisiónMultiplicación por 10, 100, 1 000, 10 000 y 100 000Cálculo mental de productos y cuocientesCálculo escrito de productos y cuocientesPropiedades de la multiplicación

384042

44

46

48

50

52

5456

Cálculos y operacionesUnidad 2


60626364

8 36

37



Rectas paralelas y perpendicularesClasificación de cuadriláterosConstrucción de cuadriláterosRotaciones de objetos y figurasAmpliación y reducción

67

6872767882

86888990

Formas y figurasUnidad 3

66

¡Mira lo queaprenderemos

este año!

¡Me gusta, haymuchos trabajos

en equipo!

Taller de evaluación 1 92


7Índice



Números y fracciones en la rectanuméricaComparación de fraccionesFracciones equivalentesOrden y comparación de fraccionesen la rectaTablas y gráficosInterpretación de la informaciónConstrucción de tablas y gráficos

97

98100104

106110112114

118120121122

Números, fraccionesy nueva información

Unidad 4

96



Combinaciones multiplicativas básicasEstrategias de cálculo mentalEstrategias de multiplicaciónEstrategias de divisiónOperaciones combinadasRelación entre las operaciones adición y sustracciónRelación entre las operacionesmultiplicación y divisiónMultiplicación como adición iterada y división como sustracción iteradaPropiedades de las operaciones

97

126128130132134

138

140

142144

148150151152

Nuevas estrategiaspara buscar información

Unidad 5

124

125



Caracterización de cilindros y conosCilindros, conos, prismas rectos ypirámidesRepresentaciones planas de cuerposgeométricosDiferentes puntos de vistaRedes de cuerpos geométricosPosicionesTrayectosRepresentaciones de posicionesy trayectos

97

156

158

160162164168170

172

174176177178

Cuerpos geométricosy trayectorias

Unidad 6

154

155

Taller de evaluación 2 180

Material recortable 185

Bibliografía 191


8 Unidad 1

UNIDAD

11

OBSERVA Y COMENTA

• ¿Para qué se usan los números que aparecen en la imagen?

• ¿Cuántos habitantes tiene la ciudad de Antofagasta?, ¿cómo leerías

esa cantidad?

• ¿A qué número aproximarías esa cantidad?, ¿por qué?

NNúúmmeerroosseenn nnuueessttrraa vviiddaa

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9Números en nuestra vida

Te invitamos a...• Leer, escribir y ordenar números del cero al millón.• Construir una recta numérica y ubicar números en ella.• Estimar y comparar cantidades y medidas.• Relacionar el sistema monetario nacional y las unidades de medida

con el sistema de numeración decimal.• Reconocer que las fracciones permiten obtener información que los

números naturales no pueden entregar.• Asociar partes de objetos y unidades de medida con fracciones.

Observa los datos de la tabla y responde.1

a) ¿Cuál de las ciudades o pueblos tiene la menor cantidad de habitantes?

b) Ordena las ciudades o pueblos, de mayor a menor, según su cantidad de habitantes.

c) Escribe con palabras cuántos habitantes tiene San Pedro de Atacama.

a) Boris quiere saber la diferencia de habitantes que hay entre Antofagasta y Calama.

¿Qué operación debe realizar para averiguarlo?

Adición Sustracción

b) ¿Qué valor representa el dígito 6 en el número 126 135, según la posición en que se ubica?

60 600 6 000 60 000

Marca con un la alternativa correcta.2

Fuente: INE 2005.

Ciudades o pueblos Cantidad de habitantes

Antofagasta 285 255

Calama 126 135

San Pedro de Atacama 1 938

RECUERDO LO APRENDIDO

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10 Unidad 1

1

• ¿Qué información entrega la tabla?

• ¿Cuál de las ciudades tiene más habitantes?, ¿y cuál menos?,¿cómo lo supiste?

• Observa la imagen. ¿Es correcto lo que dice Boris?, ¿por qué?

Números del 0 al 1 000 000

1 Según los datos de la tabla, responde:

En sus vacaciones, Nadia y Boris fueron junto a su familia al norte denuestro país. Interesados en conocer más, buscaron información de las

ciudades visitadas y encontraron la siguiente tabla:

Fuente: INE 2005.

a) ¿Cuántos habitantes tiene Iquique?

b) ¿Qué ciudades tienen más habitantes que Iquique?

c) ¿Qué ciudades tienen menos de cien mil habitantes?

d) ¿Qué ciudades tienen entre cincuenta mil y doscientos mil habitantes?

2 La cantidad de habitantes de Arica, ¿está más cerca de 180 000 o de 181 000?Explica cómo lo supiste.

Ciudades Cantidad de habitantes

Arica 180 879

Iquique 145 139

Tocopilla 24 574

Antofagasta 285 255

Copiapó 99 188

CONVERSEMOS DE ...

3 Compara la cantidad de habitantes de las ciudades visitadas por Boris y Nadia, yescribe el signo <, > o =, según corresponda.

a) 24 579 99 188

b) 180 879 145 139

c) 145 139 285 255

d) 285 255 180 879

Tocopilla tieneaproximadamente

veinticinco milhabitantes.

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a) ¿Quién tiene la razón?, ¿por qué?

b) ¿Cómo escribirías en palabras la cantidad de habitantes de las otras ciudades queaparecen en la tabla de la página anterior? Responde en tu cuaderno.

4 Forma, con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 0, tres números de cinco cifras que sean mayoresque la cantidad de habitantes de Tocopilla y luego escríbelos en palabras.

a)

b)

c)

5 Observa el siguiente diálogo y luego responde en tu cuaderno:

No, hay ciento ochomil setenta y nueve.

En Aricahay ciento ochenta milochocientos setenta y

nueve habitantes.

6 Los siguientes números están formados por los mismos dígitos. Obsérvalos yresponde en tu cuaderno.

a) ¿Cuál de los números es mayor?, ¿y cuál menor?

b) ¿Qué valor tiene el dígito 2 en cada número, según su posición?, ¿y el dígito 3?

c) ¿Cuál es el número formado por 200 000 + 10 000 + 3 000 + 500 + 70 + 9?

d) La descomposición: 1 CM + 2 DM + 3 UM + 5 C + 7 D + 9 U, ¿a qué númerocorresponde?

e) Si en el número 132 579 intercambiamos las posiciones de los dígitos 3 y 7, ¿qué númeroresulta?, ¿qué valores representan el 3 y el 7 en estas nuevas posiciones?

f) La descomposición: 1 • 100 000 + 3 • 10 000 + 2 • 1 000 + 5 • 100 + 7 • 10 + 9 • 1, ¿a qué número corresponde?

123 579 132 579 231 579 213 579

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12 Unidad 1

1La familia de Boris y Nadia ha cancelado 4 peajes por el mismo valor desde Santiagoa La Serena.

7

Según los datos de la imagen, responde en tu cuaderno:

a) ¿Cuánto dinero han cancelado en los 4 peajes?, ¿cómo lo resolviste?

b) Representa con billetes de $ 1 000 el total del dinero que cancelaron en peajes. ¿Acuántas monedas de $ 100 equivale?

c) Si por la caseta Nº 5 de la plaza de peaje solo han pasado 8 buses, ¿cuánto dinero harecaudado la cajera? Escribe el total y luego represéntalo con monedas de $ 100 y billetesde $ 1 000.

d) ¿Un automóvil puede pagar el peaje con un billete de $ 1 000 o de $ 2 000?, ¿por qué?

e) ¿Un bus puede pagar el peaje con dos o tres billetes de $ 1 000?, ¿por qué?

a) Dos mil seiscientos y seis mil veinte están formados por los mismos dígitos, perodichos números tienen valores diferentes.

b) Veintiséis mil cuatrocientos veintidós se puede descomponer en 26 000 + 400 + 22.

c) El número formado por 6 x 1 000 + 5 x 10 000 es igual a 65 000.

8 Escribe una V si la afirmación es verdadera y una F si es falsa. Corrige lasfalsas en tu cuaderno.

Caseta Nº4 Caseta Nº5

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Completa la tabla, redondeando a la unidad de mil.9

Fuente: INE 2005

Ciudades Cantidad de habitantes AproximaciónArica 180 879

Iquique 145 139Tocopilla 24 574

Antofagasta 285 255Copiapó 99 188

Pinta la cantidad o medida a la que aproximarías los siguientes datos. Explica tuelección.

10

a) Tu estatura. Entre 100 cm y 150 cm. Entre 100 m y 150 m.

b) Tu peso. Entre 30 g y 60 g. Entre 30 kg y 60 kg.

c) El precio de un televisor. Entre $ 10 000 y $ 20 000. Entre $ 100 000 y $ 200 000.

d) Seis cajitas individuales de leche. Entre 100 cc y 150 cc. Entre 1 000 cc y 1 500 cc.

Completa cada secuencia numérica. Escribe la regla de formación que utilizaste entu cuaderno.

11

a)

b)

c)

a) Boris ha ahorrado para comprarse unas zapatillas que cuestan $ 23 900. Para sabercuánto tiene, cambia sus ahorros y le dan 3 billetes de $ 10 000 y 2 billetes de $ 1 000.¿Le alcanza para comprárselas?, ¿cuánto dinero le sobra o falta?

b) En casa de Nadia se les echó a perder el refrigerador y necesitan comprar uno. Después decotizar en varios lugares, deciden comprar uno que vale $ 129 000. Si cancelan enefectivo, ¿con qué billetes pueden pagarlo de manera exacta? Escribe tres posibilidadesdistintas.

180 000 200 000 240 000 280 000

10 100 1 000 1 000 000

20 000 40 000 80 000 160 000 640 000

Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas. Explica la estratregia utilizada.12

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14 Unidad 1

1 Recta numérica

En la siguiente recta numérica han ubicado a los integrantes de la familiade Boris y Nadia, según sus edades. Observa.

0 10 20 30 40 50 60

Abu

ela

Papá

Mam

á

Boris

Nad

ia

TRABAJO EN EQUIPO

• ¿Cómo es la distancia entre las marcas azules dibujadas?

• ¿Cuál de los integrantes de la familia tiene menor edad?, ¿cómo lo supiste?

• ¿Qué otra información te entrega la recta?

CONVERSEMOS DE ...

En esta actividad deberán construir una rectanumérica para ubicar en ella sus estaturasaproximadas.

Reúnanse en grupos de 4 integrantes y sigan lasinstrucciones.

1. Con la huincha, midan la estatura de cada integrante, aproxímenla al centímetro máscercano y regístrenla en la siguiente tabla:

2. Utilizando la regla, dibujen una recta en la hoja de papel milimetrado y ubiquen en ellala medida aproximada de estaturas.

3. Según la recta obtenida, respondan en sus cuadernos:a) ¿Quién es más alto?, ¿y quién más bajo?b) ¿Qué otra información pueden obtener de la recta construida? c) ¿En qué número comienza la recta que dibujaron?, ¿y en cuál termina?, ¿por qué?d) ¿Cómo graduaron la recta?, ¿por qué lo hicieron así?

Materiales:

• Huincha de medir.

• Regla.• 1 hoja cuadriculada o

de papel milimetrado.

Nombre del integrante Estatura (en cm)

Años

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Fuente: www.turistel.cl (consultado en abril de 2008).

Ciudad Distancia

Viña del Mar 120 km

El Quisco 132 km

Cartagena 110 km

Algarrobo 140 km

Responde en tu cuaderno:

a) ¿Cuáles fueron los errores cometidos por Boris y Nadia?

b) ¿Cómo los corregirías?

1 En cada una de las siguientes rectas se ha ubicado la cantidad de habitantes deArica (180 879), Iquique (145 139) y de Antofagasta (285 255). Observa ambas rectasy responde en tu cuaderno.

100

000

150

000

200

000

250

000

300

000

Iquique Arica Antofagasta

100

000

150

000

200

000

250

000

300

000

Iquique Arica Antofagasta

a) ¿Cuál de las rectas está bien construida?, ¿por qué?

b) ¿En qué número comienzan las rectas?, ¿y en cuál terminan?

c) ¿De qué otra manera podrías graduar la recta correctamente? Explica.

2 Boris y Nadia representaron lasdistancias entre Santiago yalgunos lugares del litoral central,que aparecen en la tabla, en lassiguientes rectas:

110 115 120 125 130 135 140 145 150

100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150

Cartagena El Quisco AlgarroboViñadel Mar

Cartagena El Quisco AlgarroboViña del Mar

Habitantes

Habitantes

kilómetros

kilómetros

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16 Unidad 1

13 Las temperaturas máximas que se

registraron algunos días en Antofagastafueron las siguientes:

a) Representa en la siguiente recta numérica las temperaturas anteriores.

b) Inventa dos preguntas que podrías responder a partir de los datos de la recta.

En una recta numérica los números están ordenados.Al construir una recta numérica debes elegir el número de inicio y término ydecidir cómo la graduarás, según los datos que desees representar en ella.

4 Nadia ubicó los números 352 000, 325 000, 235 000 y 253 000 en una recta numérica,pero su profesora le dijo que no lo hizo bien. ¿En qué se equivocó?

235 000253 000 352 000 325 000

Corrige los errores de Nadia en la siguiente recta.

5 Averigua las edades de cinco de tus familiares y represéntalas en una recta numérica.

a) Comparte tu trabajo con tus compañeros y compañeras.

b) Comenten acerca de qué consideraron al momento de construir la recta.

Lunes 18 ºC

Martes 21 ºC

Miércoles 19 ºC

Jueves 25 ºC

Viernes 20 ºC

Toma nota

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¿CÓMO VOY?

Sé hacerlo fácilmente.

Sé hacerlo, pero con dificultad.

No sé hacerlo todavía.

Leo y escribo números del cero al millón.

Construyo rectas numéricas y ubico números en ella.

Estimo y comparo cantidades y medidas.

Descompongo un número como una adición.

Evalúa tu desempeño hasta aquí, de acuerdo a la siguiente pauta:

Pinta 1, 2 ó 3 cuadraditos, según la pauta anterior.

3. ¿Con qué billetes o monedas pagarías de manera exacta un computador que vale$ 315 000? Explica tu elección.

4. Completa la siguiente recta numérica con la graduación correcta. Luego, ubica en ellalos números: 135 000, 155 000 y 175 000.

1. Escribe con palabras el número 145 139.

2. Une cada ejemplo con la estimación de su medida.

El ancho de una ventana. 10 cm

La longitud de un lápiz. 10 m

La altura de un edificio de 5 pisos. 1 m

120 000 200 000

• ¿Qué puedes hacer para mejorar tu desempeño? Comenta.

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18 Unidad 1

1Los padres deNadia y Borisvan a viajar a Talcapara visitar a laabuela María.Prepararon todo lonecesario y yaestán listos parasalir. Observa.

Un paquete de tallarines.

Unidades de medida y sus equivalencias

Llevemos2 bebidas de1 litro parael camino.

¿Guardoel kilo de azúcar

en la caja?

1 Relaciona las siguientes frases con las unidades de medida que puedan utilizar.

centímetros

metros

kilómetros

gramos

kilogramos

metros cuadrados

litros

centímetros cúbicos

Distancia entre Antofagasta y Calama.

Una bebida grande.

Una caja de leche individual.

El largo de una regla.

La superficie de un terreno.

El alto de una puerta.

Un paquete de azúcar.

• ¿En qué situaciones has escuchado hablar de gramos okilogramos?

• ¿Qué se mide en metros?, ¿y en kilómetros? • ¿Qué productos se venden en litros?, ¿y cuáles en centímetros

cúbicos? • ¿Qué otras unidades de medida conoces?

CONVERSEMOS DE ...

Debemosrecorrer 372 km,

pasaremos a echarbencina.

Aquí estáel paquete de tallarines

que me pediste, dice400 gramos.

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Un kilómetro (1 km) 1 000 metros (1 000 m)

Un metro (1 m) 100 centímetros (100 cm)

Un centímetro (1 cm) 10 milímetros (10 mm)

Una tonelada (1 t) 1 000 kilogramos (1 000 kg)

Un kilogramo (1 kg) 1 000 gramos (1 000 g)

Un metro cuadrado (1 m2) 10 000 centímetros cuadrados (10 000 cm2)

Un litro (1 L) 1 000 centímetros cúbicos (1 000 cm3 o cc)

2 Observa la siguiente tabla con algunas equivalencias entre unidades de medida.

Según los datos de la tabla, comenta y responde en tu cuaderno:

a) ¿Qué unidad de medida es mayor, una tonelada o un kilogramo?

b) Medio kilogramo, ¿a cuántos gramos equivale?

c) Si una persona caminó 1 km y otra caminó 1 000 m, ¿caminaron lo mismo o algunacaminó más?

d) ¿Cuántos centímetros cúbicos corresponden a dos litros?

e) Un terreno tiene 10 000 centímetros cuadrados. ¿A cuántos metros cuadrados equivalen?

En esta actividad deberán medir diferentes objetos, yestimar y comparar sus medidas. Reúnanse en grupos de 4 integrantes y sigan las instrucciones.

1. Estimen y comenten cuánto mide aproximadamente: • El ancho y el largo de uno de sus escritorios.• La superficie de uno de sus escritorios y la del suelo de su sala.

2. Registren los resultados en una tabla y compárenlos con los de otros grupos.

3. Comenten y respondan en sus cuadernos:a) ¿Qué unidades de medida utilizaron en sus estimaciones?

b) ¿Por qué no todos los grupos obtuvieron los mismos resultados?

4. Verifiquen sus estimaciones midiendo con la huincha.

Materiales:

• Huincha de medir.

Cuando te paras sobre una balanza, lo que realmente mides es tu masa.Por lo tanto, la masa de una persona se expresa en kilogramos (kg).El sufijo kilo equivale a 1 000 unidades.

TRABAJO EN EQUIPO

Toma nota

UNIDADES DE LONGITUD

UNIDADES DE MASA

UNIDAD DE SUPERFICIE

UNIDAD DE VOLUMEN

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20 Unidad 1

1

¿Te quedabebida?

Sí,la mitad.

Son$ 19 520, se llenó

con 30 litros ymedio.

Sistema monetario, medidas y nuestrosistema de numeraciónBoris y su familia ya salieron a visitar a la abuelita. Hacen su primeraparada en una estación de servicio. Observa.

1 Piensa y responde. Puedes utilizar la tabla de equivalencias de la actividad 2 de lapágina 19.a) Un metro equivale a 100 centímetros, ¿por qué?

b) Cinco vasos de 200 centímetros cúbicos, ¿a cuántos litros equivalen?

c) Para ir a la escuela, Boris debe caminar 12 cuadras. Si una cuadra mide aproximadamente 100 metros, lo que camina Boris para ir y volver del colegio, ¿es más o menos que 2 km?

d) Si 2 tazas llenas contienen 250 gramos de azúcar flor, ¿cuántos kilogramos de azúcar florpueden contener 8 tazas llenas?

• Si pagaron la bencina en forma exacta, solo con billetes de $ 10 000, $ 1 000 y con monedas de $ 100 y de $ 10,¿cuántos billetes y monedas de cada valor necesitaron?

• Si hubiesen pagado con un billete de $ 20 000, ¿cuántorecibirían de vuelto? ¿Sería lo mismo que al cancelar con dosbilletes de $ 10 000?, ¿por qué?

• Si la bebida de Nadia era de 1 litro, ¿a cuántos centímetroscúbicos equivale? ¿Cuántos centímetros cúbicos tomó?

• Si hubiesen echado 10 litros más de bencina, ¿cuánto dinerohabrían pagado?, ¿cómo lo supiste?

CONVERSEMOS DE ...

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4 Comenta con tus compañeros y compañeras y, luego, responde en tu cuaderno.

a) ¿Por cuántas monedas de $ 1 se puede cambiar un billete de $ 1 000?, ¿y uno de $ 10 000?

b) ¿A cuántos gramos equivale 1 kilogramo?, ¿y 1 tonelada?

c) ¿A cuántos metros equivale 1 kilómetro?, ¿y a cuántos centímetros cúbicos equivale 1 litro?

d) ¿A cuántas unidades equivale una unidad de mil?, ¿y una decena de mil?

e) ¿Qué tienen en común nuestro sistema de numeración y las unidades de medida?

f) ¿Cómo se relaciona el sistema monetario nacional con nuestro sistema de numeración?

2 Completa las siguientes afirmaciones para que sean verdaderas.

3 En un banco reciben la siguiente boleta de depósito. Observa y responde en tu cuaderno.

a) Un billete de $ 1 000 lo puedo cambiar por monedas de $ 100.

b) Un billete de $ 10 000 lo puedo cambiar por billetes de $ 1 000.

c) $ 100 000 los puedo pagar de manera exacta con billetes de $ 10 000.

d) Nadia ahorró 40 monedas de $ 100, las puede cambiar por billetes de $ 1 000.

a) ¿Cuánto dinero depositaron?

b) Víctor dice que por este depósito se entregaron 1 000 billetes de $ 10 000 al cajero del banco. ¿Estás de acuerdo con Víctor?, ¿por qué?

c) ¿Si hubiesen realizado el depósito solo en billetes de $ 1 000?, ¿cuántos billetes habríarecibido el cajero?

En nuestro sistema de numeración:Una unidad de mil equivale a 10 centenas o a 1 000 unidades.1 UM = 10 C = 1 000 UUna decena de mil equivale a 10 unidades de mil o a 10 000 unidades.1 DM = 10 UM = 10 000 UUna centena de mil equivale a 10 decenas de mil o a 100 000 unidades.1 CM = 10 DM = 100 000 U

Toma nota

BANCO DEL MUNDO

**345679888

BOLETA UNICA DE DEPOSITO EN MONEDA NACIONAL

DIA MES AÑO

TIMBRE Y VºBº

CAJA

CUENTA

CORRIENTE

CUENTA

DE AHORRO OTROS

Nº CUENTA

NOMBRE DEL TITULAR

DEPÓSITADO PORTELÉFONO

20.000

10.000

5.000

2.000

1.000

500

MONEDAS

Nº DOCTOS.

DETA

LLE

EFEC

TIVO

/ DOC

UMEN

TOS

1.000.000

1.000.000

Víctor Pérez

V. Pérez

09-4-70045-019 5 09

2095477

U1 21x27 10/12/08 12:22 Página 21

22 Unidad 1

1 Unidades de tiempo

1 Estima el tiempo que demoras en realizar las siguientes actividades.

a) Lavarte los dientes. c) Ordenar tu pieza.

b) Ducharte. d) Tomar desayuno.

2 Completa las siguientes afirmaciones para que sean verdaderas:

3 Averigua qué es una década, un siglo y un milenio. ¿En qué siglo vivimos? Comentacon tus compañeros y compañeras.

a) En un año hay meses y aproximadamente semanas.

b) En un mes hay aproximadamente semanas y en una semana días.

c) Deben transcurrir minutos para completar una hora.

d) Deben transcurrir 60 segundos para completar un .

4 Para comprarse el auto, Javier pidió un crédito que acordó pagar en 48 cuotasmensuales. ¿Cuántos años demorará en pagar su auto? Resuélvelo en tu cuaderno.

¡Hola,niños!

¡Nos vamosa quedar 3 días!

¡Justo alalmuerzo! ¿Te

ayudo?

Los niños y su familia llegan a las 14 horas a la casa de la abuelita.Observa.

• ¿Cuántos meses hay en un año?, ¿cuántas semanas tiene un mes?,¿y cuántos días? ¿Cómo lo calculaste?

• ¿En qué situaciones has escuchado hablar de horas?, ¿y de minutos?

• ¿Cuántos segundos hay en un minuto?, ¿y cuántos minutos enuna hora?

• Si comenzaron el viaje a las 10 horas, ¿cuánto demoró el viaje de lafamilia de Boris y Nadia a Talca? ¿Cómo lo supiste?

CONVERSEMOS DE ...

U1 21x27 10/12/08 12:22 Página 22


¿CÓMO VOY?

5 Boris y Nadia quieren ir al cine. Ellos estiman que la película dura 2 horas, y que enir y volver del cine demorarán 1 hora. Aproximadamente, ¿de cuánto tiempodeberán disponer para esta salida?

60 minutos 120 minutos 180 minutos 200 minutos

6 ¿Qué operación utilizaste para resolver el ejercicio anterior?

1. Completa las siguientes estimaciones, escribiendo si su medida está entre 0 y 10, 10 y100, 100 y 1 000, 1 000 y 10 000 ó 10 000 y 100 000.

a) La superficie de tu escritorio mide entre metros cuadrados.

b) La altura de la sala de clases está entre centímetros.

c) La longitud de Chile está entre kilómetros.

2. Si tengo $ 10 000, ¿por cuántos billetes de $ 1 000 los puedo cambiar?, ¿y porcuántas monedas de $ 100? Responde en tu cuaderno.

3. Completa las siguientes equivalencias:

a) 1 CM = DM b) 1 DM = UM c) 1 UM = C

Evalúa tu desempeño, pintando 1, 2 ó 3 cuadraditos, según la pauta de lapágina 17.

Identifico diferentes unidades de medida y sus equivalencias.

Conozco el sistema monetario nacional y sus equivalencias.

Reconozco la relación entre las unidades de medida, el sistemamonetario y el sistema de numeración decimal.

El sistema monetario, las unidades de medida y nuestro sistema denumeración son sistemas decimales, porque utilizan agrupaciones enbase 10. En cambio, las unidades de tiempo como las horas, minutos ysegundos se relacionan por agrupaciones en base 60.

Toma nota


U1 21x27 10/12/08 12:22 Página 23

24 Unidad 1

1 Fracciones en la vida cotidiana

La abuela quierepreparar unasricas galletas parala hora del té.Observa losingredientes queutiliza.

En esta actividad deberán realizar actividades dereparto con material concreto.


1. Formen dos parejas, repartan las hojas de papel lustre rojo en partes iguales para cadapareja y respondan:

a) ¿Cuántas hojas enteras de papel lustre recibió cada pareja?

b) ¿Qué hicieron con la hoja de papel que sobró para que cada pareja quedara con lamisma cantidad de papeles lustre?

2. Ahora repartan las hojas de papel lustre azul en partes iguales para cada integrante yrespondan:

a) ¿Cuántas hojas enteras de papel lustre recibió cada integrante?

b) ¿Qué hicieron con la hoja de papel que sobró para que cada integrante quedara con lamisma cantidad de papeles lustre?

Materiales:

• 5 hojas de papel

lustre rojo.

• 5 hojas de papel

lustre azul.

TRABAJO EN EQUIPO

Acá tengokg de harina,

kg de maicena,kg de mantequilla

y L de leche.

12

18 1

4 12

Acá estánlos 250 g de

azúcar.

Yo tengo los3 huevos,

¡empecemos aprepararlas!

• ¿Qué te llama la atención de las medidas de los ingredientes?

• ¿Puedes escribir todas las medidas mencionadas utilizandonúmeros naturales?, ¿por qué?

• La abuelita utilizó fracciones para indicar la medida de algunosingredientes. ¿En qué otras situaciones se utilizan las fracciones?

CONVERSEMOS DE ...

U1 21x27 10/12/08 12:22 Página 24


1 La abuela les repartió a sus dos nietos una barra de chocolate en partes iguales.

a) ¿En cuántas partes iguales tuvo que partir la barra de chocolate?

b) ¿Cuántas de esas partes recibió cada uno?

c) ¿Qué nombre le pondrías a cada una de esas partes?

2 Boris hizo 9 galletas y quiere compartirlas con tres amigos. Si él y cada uno de susamigos se quedan con la misma cantidad de galletas:

a) ¿Con cuántas galletas enteras se quedó cada uno?

b) ¿En cuántas partes tuvo que partir la galleta quesobraba para que todos recibieran la misma cantidad?

c) ¿Con cuántas de esas partes se quedó cada uno?

d) ¿Qué nombre le pondrías a cada una de esas partes?

3 Nadia y Boris se comieron un sándwich cada uno, pero estaban tan ricos que cadauno se comió la mitad de otro. ¿Cuántos sándwich se comieron entre los dos?Responde en tu cuaderno.

4 Observa los cortes que Nadia hizo en la torta antes de repartirla, y completa.

Cuando un entero se divide en dos partes iguales, cada parte es la mitad delentero y se representa por .Cuando un entero se divide en cuatro partes iguales, cada parte es la cuartaparte del entero y se representa por .Cuando un entero se divide en ocho partes iguales, cada parte es la octavaparte del entero y se representa por .

Toma nota

La partió en partes

iguales. Cada parte es la

mitad de la torta.

La fracción que representa

cada mitad de la torta es .



cuarta parte de la torta.


cada cuarto de la torta es .



octava parte de la torta.


cada octavo de la torta es .12

14

18

18

12

14

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26 Unidad 1

1En esta actividad deberán dividir en partes iguales untrozo de lana de 30 cm.


1. Repartan un trozo de lana para cada uno y el que sobra déjenlo estirado al centro dela mesa.

2. Uno de los integrantes corta su trozo de lana en tres partes iguales.

3. Observen los trozos que obtuvo, comenten y respondan:

a) ¿En cuántas partes quedó cortado el trozo de cinta?

b) ¿Qué fracción del trozo de 30 cm representauno de los trozos obtenidos?

4. Comparen cada trozo obtenido con el que dejaron alcentro de la mesa y estimen su medida. Verifiquen suestimación, midiendo con la huincha.

5. Por turno, repitan la actividad con los trozos de lanaque tiene cada uno, pero dividiéndolos ahora en cuatro, seis y diez partes iguales.

Materiales:

• 5 trozos de lana de

30 cm cada uno.

• Tijeras.• Huincha de medir.

TRABAJO EN EQUIPO

Partes de un entero

• ¿Cómo se lee la fracción ?, ¿y ?

• ¿Con cuántos de los trozos de la lana que se cortó en 3 partes

iguales puedo representar ?, ¿y ?

CONVERSEMOS DE ...16

110

23

33

Cada parterepresenta .1

3

Cada parterepresenta .

Cada parterepresenta .

14

16 Cada parte

representa .110

U1 21x27 10/12/08 12:22 Página 26

24

68

45

46


1 Observa los siguientes diagramas y luego responde las preguntas:

a)

• ¿En cuántas partes iguales se dividió la figura?

• ¿Cuántas partes se pintaron?

• ¿A qué fracción del entero corresponde la región pintada?

• ¿Cómo se lee esa fracción?

b)

• ¿En cuántas partes iguales se dividió la figura?

• ¿Cuántas partes se pintaron?

• ¿A qué fracción del entero corresponde la región pintada?

• ¿Cómo se lee esa fracción?

numeradordenominador

25

Toma nota

DESAFÍO

Escribe tres fracciones que cumplan la siguiente condición: “si aumentas el numerador ydisminuyes el denominador, en una unidad, la fracción es igual a un entero”.

En las actividades anteriores, cada diagrama estabadividido en partes iguales y solo se habían pintadoalgunas de ellas. La cantidad de partes en que estabadividido cada diagrama corresponde al denominadorde la fracción que lo representa y la cantidad de partespintadas, a su numerador.

2 Une cada diagrama con la fracción que representa la parte pintada.

U1 21x27 10/12/08 12:22 Página 27

28 Unidad 1

13 Escribe la fracción correspondiente a cada situación.

a) Juan se comió tres trozos de este kuchen.

Lo que se comió Juan corresponde a del kuchen.

Paula se comió dos trozos de este kuchen.

Lo que se comió Paula corresponde a del kuchen.

b) Mónica se tomó un cuarto de la leche que viene en esta caja.

La leche que se tomó Mónica corresponde a de litro.

4 Observa los diagramas e indica la fracción que se ha pintado en cada uno.

110

1100

Toma nota

Miguel se tomó la mitad de la leche que viene en esta caja.

La leche que se tomó Miguel corresponde a litro.

Si un entero está dividido en 10 partes iguales, cada parte es la décimaparte del entero y se representa por la fracción .

se lee: un décimo.

Si un entero está dividido en 100 partes iguales, cada parte es la centésimaparte del entero y se representa por la fracción .

se lee: un centésimo.

110

1100

U1 21x27 10/12/08 12:22 Página 28


1. Responde en tu cuaderno, según la lista.

a) ¿Qué parte de un litro de leche se utilizó en el queque?

b) Si tenía 1 kg de azúcar, ¿qué fracción representa lo quequedó del kilogramo de azúcar, después de hacer el queque?

2. En tu cuaderno, representa en diagramas las fraccionesindicadas en la lista de ingredientes. Guíate por el ejemplo.

Si representa 1 kg de margarina representa kg de margarina.

a) Pedro ha leído de un libro. ¿Qué fracción del libro le falta por leer?

b) La señora Berta recortó una tela que mide 1 m de largo. Si para hacer una falda necesita60 cm de largo, ¿qué fracción del largo de la tela le queda sin ocupar?

6 Lee, identifica la pregunta del problema y resuelve en tu cuaderno. Luego, comparatus respuestas y el procedimiento utilizado con tus compañeros y compañeras.

5 Lee las siguientes afirmaciones y responde en tu cuaderno:

a) Juan se comió los de un queque. ¿Qué parte del queque se comió?, ¿por qué?

b) María dice que de una manzana es lo mismo que de una manzana. ¿Es correcto lo que

dice María?, ¿por qué?

La mamá de Jaime está haciendo un queque con los siguientes ingredientes:

310

33

22

88

kg de margarina

kg de azúcar

kg de harina

litro de leche

4 huevos

14183412

¿CÓMO VOY?

14

Reconozco que las fracciones permiten obtener información quelos números naturales no pueden entregar.

Asocio partes de objetos y unidades de medida con fracciones.

Evalúa tu desempeño, pintando 1, 2 ó 3 cuadraditos, según la pauta dela página 17.


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Puedo resolver...

Comprender• ¿Qué sabes del problema?

La cantidad de kilogramos de tomates con que salió cada camión.La fracción que representa la cantidad de tomates que quedaron en buen estado en cadacamión después del viaje.

• ¿Qué debes encontrar?El camión que llegó con mayor cantidad de kilogramos de tomates en buen estado.

Planificar• ¿Cómo resolver el problema?

Podemos hacer un diagrama cuyo entero representa la cantidad total de kilogramos quetransporta cada camión.Luego, representamos en cada diagrama la fracción de kilogramos de tomates que llegaronen buen estado del viaje y los comparamos.

Resolver

ResponderEl segundo camión llegó con mayor cantidad de kilogramos de tomates en buen estado.

RevisarLee nuevamente el problema y representa en los siguientes diagramas la fracción que representa la cantidad de kilogramos de tomates que llegó en buen estado en cada camión.

Compara tu resultado con el anterior.

Lee atentamente la situación y sigue paso a paso su resolución.

Dos camiones salieron con destino a Coquimbo con 100 kg de tomates cada uno.

Durante el viaje se dañó parte del cargamento de cada camión. El primer camión

llegó con del total de los tomates en buen estado, y el segundo, solo con . ¿Cuál

de los camiones llegó con mayor cantidad de kilogramos de tomates en buen estado?

Primer camión

Segundo camión

34

Primer camión Segundo camión

78

30 Unidad 1

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Comprender• ¿Qué sabes del problema?

• ¿Qué debes encontrar?

Planificar• ¿Cómo resolver el problema?

Resolver

Responder

Revisar

1 Ahora resuelve el siguiente problema utilizando la estrategia aprendida.

En San Felipe abundan las uvas. Don Jorge recolectó de kilogramo de uvas verdes y

de kilogramo de uvas moradas. ¿De qué tipo de uvas recolectó más?

Compara la estrategia utilizada con la de tus compañeros y compañeras.

2 Resuelve el siguiente problema utilizando la estrategia aprendida u otra.Explica paso a paso cómo lo resolviste.

Juan compró una docena de huevos. Si al llegar a su casa se dio cuenta de que se

había roto del total de los huevos, ¿cuántos huevos se rompieron?

281

4

16


U1 21x27 10/12/08 12:22 Página 31

32 Unidad 1

Taller de ejercitación

A. 1 manzana.B. 1 manzana y un cuarto.C. 1 manzana y media.D. 2 manzanas.

En las preguntas 1 a 4, marca con una la alternativa correcta.

1 La aproximación del número 343 046, a la centena más cercana es:

A. 343 000B. 343 100C. 350 000D. 400 000

2 ¿Cuál de las siguientes equivalencias es incorrecta?

A. 3 000 equivale a 3 unidades de mil.B. 60 000 equivale a 6 centenas de mil.C. 500 equivale a 5 centenas.D. 700 000 equivale a 7 centenas de mil.

3 Elizabeth repartió 6 manzanas entre sus 4 hijos. Si a todos les dio igual cantidad,cada uno recibió:

5 Ubica en la recta numérica los números correspondientes a la cantidad dehabitantes de la tabla anterior.

Ciudad Población (habitantes)Hualpén 85 928

Talcahuano 161 692San Pedro de la Paz 80 159

Lota 48 975Concepción 212 003

4 En tu cuaderno, escribe conpalabras, la población de algunasciudades de la Región del Biobío,presentadas en la tabla.

• ¿Qué graduación hiciste en la recta?, ¿por qué?

Fuente: INE 2005

U1 21x27 10/12/08 12:22 Página 32


Para no olvidar

NÚMEROS

Te invitamos a que recuerdes lo más importante que aprendiste en esta unidad y loresumas en un organizador gráfico, llamado mapa semántico. Para ello, complétaloescribiendo los términos que trabajaste en la unidad y que se relacionan con elconcepto NÚMEROS.

Responde en tu cuaderno.

a) ¿Cómo se relaciona cada término que escribiste con NÚMEROS?

b) Explica con tus palabras qué aprendiste sobre cada uno de los términos que escribiste.

c) Compara tu mapa semántico con el de tus compañeros y compañeras, ¿crees que te faltóincluir algún término?, ¿cuál?, ¿por qué?

d) ¿En qué situaciones de tu vida puedes utilizar lo que aprendiste en la unidad?

e) ¿Qué conocimientos que ya tenías facilitaron tu aprendizaje en esta unidad?

U1 21x27 10/12/08 12:22 Página 33

Lo que aprendí

34 Unidad 1

1 ¿Cómo puedes combinar billetes de $ 1 000 y monedas de $ 500 para obtener$ 3 500? Da 3 ejemplos.

2 Completa cada secuencia numérica. Escribe la regla de formación que utilizaste.

4 Completa la tabla con las aproximaciones que se indican.

5 Descubre los siguientes números:

a) Soy un número de cuatro cifras. Si cambias el orden de mis dígitos sigo siendo elmismo. Si me sumas una unidad me convierto en un número de 5 cifras. ¿Quién soy?

b) Somos cinco números que tenemos 0 decenas y 0 unidades y si nos redondean a launidad de mil más cercana nos transformamos en 15 000. ¿Qué números somos?

6 Representa con un diagrama, en tu cuaderno, las siguientes fracciones.

23

34

18

58

310

Número Decena más cercana Centena más cercana Decena de mil más cercana89 91189 916

343 046345 000

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3

Cantidad de

Cantidad de

a)

b)

21 300 31 300 51 300 71 300 81 300

Regla de formación:

60 00030 000

Regla de formación:

120 000 240 000 960 000

a) b) c) d) e)

3 Dibuja, en tu cuaderno, dos rectas numéricas y ubica en ellas los números de lassecuencias anteriores.

U1 21x27 10/12/08 12:22 Página 34


4. ¿Qué valor tiene el dígito 7 enel número 867 952?

A. 70

B. 700

C. 7 000

D. 70 000

2. Camila dividió una hoja de papelen 10 partes iguales y ocupó tresde ellas. ¿Qué parte de la hojaocupó?

A.

B.

3. En llegar al colegio Jaime sedemora 45 minutos y Carlosmedia hora. ¿Cuánto más sedemora Jaime?

A. Media hora.

B. Diez minutos.

C. Un cuarto de hora.

D. Cinco minutos.

Marca con una la alternativa correcta.

1. ¿Cuántos metros hacen faltanpara llegar de 360 m a 1 km?

A. 540 m

B. 640 m

C. 660 m

D. 760 m

110

210

310

710

C.

D.

¿QUÉ LOGRÉ?

Evalúa tu desempeño, pintando 1, 2 ó 3 cuadrados, según la pauta de

la página 17.

Leo, escribo y ordeno números del 0 al 1 000 000.

Construyo rectas numéricas y ubico números en ellas.

Estimo y comparo cantidades y medidas.

Asocio partes de objetos y unidades de medidas con fracciones.

Reconozco la relación entre el sistema monetario nacional,las unidades de medida y nuestro sistema de numeración.

Resuelvo problemas que involucran números del 0 al 1 000 000,o fracciones.

• ¿Qué te gustó más de esta unidad?, ¿por qué?

• ¿Qué fue lo más difícil?, ¿cómo lo superaste?

U1 21x27 10/12/08 12:22 Página 35

36 Unidad 2

UNIDAD

22 CCáállccuulloossyy ooppeerraacciioonneess

OBSERVA Y COMENTA

• ¿Alguna vez has estado en una feria como la de la imagen?, ¿quéproductos venden en una feria?

• ¿Qué información te comunican los números de la imagen?

• ¿Qué operaciones matemáticas ocupas cuando vas a comprar a la feria?

U2 21x27 10/12/08 12:35 Página 36

37Cálculos y operaciones

Te invitamos a...• Calcular mentalmente y de forma escrita adiciones, sustracciones,

multiplicaciones y divisiones, y estimar resultados.

• Aplicar la multiplicación por 10, 100, 1 000, 10 000 y 100 000.

• Reconocer la relación inversa entre multiplicación y división.

• Comprender y aplicar las propiedades de la multiplicación.

• Resolver problemas en que se utilicen las operaciones aritméticasestudiadas.

Observa los datos de la imagen y responde. 1

a) Felipe quiere comprar 2 kilogramos de tomates, 2 lechugas y 1 kilogramo de manzanas.

¿Le alcanza con $ 5 000?, ¿cómo lo supiste?

b) La señora Juana guardó 24 manzanas en dos bolsas. Si puso la misma cantidad en cada

una, ¿cuántas manzanas colocó en cada bolsa?

c) ¿Qué operación utilizaste para resolver la situación anterior? Marca con un la

respuesta correcta.

Observa la cantidad de dinero con que se pagaron los productos y anota el vueltosegún los datos de la imagen.

2


PRODUCTO SE PAGÓ CON VUELTO

3 kilogramos de naranjas

4 lechugas

3 kilogramos de manzanasy una docena de huevos

Adición Sustracción Multiplicación División

U2 21x27 10/12/08 12:35 Página 37

180

+1 000

650

180$10

1 050 = 1 000+ 50

2 500 = 2 000+500

990 =900 + 90

650 =600 + 50

+ 180 =100 + 80

3 000 + 2 100 + 270

5 100 + 270

Total: 5 370

Método 1:

1 kg de tomates

$ 1 050

10 cebollas$ 2 500

1 L de aceite$ 990

2 kg de naranjas

$ 650

+ kg de plátanos

$ 180

Total : $ 5 3701 2

38 Unidad 2

2

• ¿Qué información obtuvo Felipe a partir de sus cálculos?

• ¿Por qué crees que realizó sus cálculos con dos métodos?,¿cómo son los resultados de ambos métodos?

• ¿Cuál de los dos métodos hubieras usado tú?, ¿por qué?

Adición y sustracción

CONVERSEMOS DE ...

1 Escribe en tu cuaderno una estrategia para revisar las compras que hizo la mamá deFelipe en la feria. Explica paso a paso los cálculos que realizaste.

2 Responde.

a) Si la mamá de Felipe solo llevó $ 4 000 a la feria, ¿cuánto dinero quedó debiendo alcasero de la feria al comprar todos los productos de la lista?

b) Si solo hubiera gastado sus $ 4 000, ¿qué productos de la lista hubiese podido comprar?

Lista.

1 kg de tomates

10 cebollas

1 L de aceite

2 kg de naranjas

kg de plátanos1

2

Felipe ayuda a su mamá a revisar los gastos que realizaron en la feria.Observa cómo lo hace.

1 kg de tomates

10 cebollas

1 L de aceite

2 kg de naranjas

kg de plátanos

1 2

Método 2:

U2 21x27 10/12/08 12:35 Página 38


3 Resuelve en tu cuaderno.

La familia de Felipe compró frutas y verduras en la feria durante dos semanas, gastando unacantidad aproximada de $ 3 450 por día.

a) Si fue los días martes, jueves y sábado de cada semana, ¿cuánto dinero gastó esas dossemanas?

b) ¿Cuánto dinero gastaría en un mes, si sigue yendo 3 veces a la semana y gastaaproximadamente la misma cantidad?

4 Inventa una pregunta que se pueda responder a partir de los datos dados, indicaqué operación puedes usar para resolver la situación, realiza los cálculos y respondela pregunta.

Calcula mentalmente, aplicando las estrategias anteriores.

a) 47 000 + 9 000 b) 53 000 + 6 000 c) 74 000 – 7 000 d) 85 000 – 8 000

5 Observa las siguientes estrategias para calcular mentalmente algunas adiciones ysustracciones.

40 000 + 3 000 = 43 000

35 000 + 8 000 =

35 000 + 5 000 + 3 000 =

60 000 – 5 000 = 55 000

63 000 – 8 000 =

63 000 – 3 000 – 5 000 =

b) Tengo $ 10 589y gasté $ 6 596.

a) Compré $ 3 699 en frutasy $ 4 178 en verduras.

c) Compré $ 8 890 ygasté $ 8 890.

¿ ?

Operación: .

Respuesta: .

¿ ?

Operación: .

Respuesta: .

¿ ?

Operación: .

Respuesta: .

U2 21x27 23/12/08 12:50 Página 39

40 Unidad 2

2

a) Ana pagó 1 entrada de $ 3 500 y 2 entradas de $ 2 500.

• ¿Qué días pudo haber ido al parque? .

• ¿Cuántas entradas de niños canceló? .

• ¿Cuánto dinero gastó en total? .

b) Ana tenía $ 12 000 antes de entrar al parque.

• ¿Cuánto dinero le quedó después de pagar las entradas? .

• ¿Cuánto dinero habría gastado si el paseo lo hubiera realizado un día jueves?

.

Búsqueda de información

1 Lee las situaciones y resuelve en tu cuaderno a partir de la información entregadaen el cartel del parque.

Ana, que es la mamá de Camila y Felipe, llevó a sus hijos al parque“Vida Silvestre”. En la entrada se encontraron con el siguiente cartel:

VIDA SILVESTRE

de martes a viernes

Adultos: $ 3 000

Niños, niñas: $ 2 000

Adultos mayores: $ 2 500

sábado, domingo y festiv

os

Adultos: $ 3 500

Niños, niñas y adultos mayores $ 2 500

• ¿Qué datos nos entrega el afiche?, ¿qué podrías calcular con esosdatos?

• Si una familia quiere ir al parque, ¿qué información debeaveriguar?

• Si un adulto y un niño van el jueves al parque, ¿cuánto debenpagar por las entradas?, ¿y si van el domingo? ¿Cómo lo supiste?

CONVERSEMOS DE ...

U2 21x27 10/12/08 12:35 Página 40


2 La tabla muestra la cantidad aproximada de visitantes que tiene el parque “VidaSilvestre” cada día. Observa.

a) ¿Cuántas personas visitan el parque “Vida Silvestre” de lunes a viernes?

b) ¿Cuántas personas visitan el parque “Vida Silvestre” los sábados y domingos?

c) ¿Hay más personas que visitan el parque los sábados y domingos, que de lunes a viernes?,¿por qué?

Días Cantidad aproximadade visitantes

Lunes 360

Martes 410

Miércoles 520

Jueves 640

Viernes 860

Sábado 1 100

Domingo 1 300

3 Encuentra el número secreto y escríbelo en el recuadro.

Al número secreto le llamaremos N. Si a N le resto 12 500 y al resultado de esa sustracción lesumo 22 500, obtengo el número 29 300.

N =

DESAFÍO

Inventa un problema en el que se tenga que descubrir un número secreto. Pídele a uncompañero o compañera que lo resuelva y luego revisa si lo hizo correctamente.

Según los datos de la tabla, responde:

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42 Unidad 2

2Ana decidió tener un huerto en el jardín de su casa. Primero va a plantar lechugas.

El jardinero le mostró cómo debía distribuir las semillas.

a) Si 18 semillas se reparten en 6 filas con igual cantidad de semillas cada una, ¿cuántassemillas tiene cada fila?

: = Cada fila tiene semillas.

b) Con 20 semillas, ¿cuántas filas se pueden hacer de modo que cada una tenga 4 semillas?

: = Se pueden hacer filas.

• ¿Con qué otra operación matemática Ana puede calcular eltotal de lechugas que va a plantar?

• ¿En qué situaciones has ordenado objetos en filas y columnas?

CONVERSEMOS DE ...

1 Escribe la operación realizada en cada situación y represéntala con un dibujo en elrecuadro.

a) 4 filas con 3 zanahorias cada una.

• =

b) 3 filas con 4 zanahorias cada una.

• =

2 Resuelve y completa.

• ¿Qué observas en tus resultados? Comenta con tus compañeros y compañeras.

Vamos a colocar5 filas de 8 lechugas

cada una.

Entonces, 5 • 8,plantaremos 40

lechugas en total.

Multiplicación y división

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3 Observa la conversación entre Ana y el jardinero. Luego, completa.

• ¿Qué relación observas entre los resultados? Comenta con tus compañerosy compañeras.

4 Verifica tus conclusiones resolviendo las multiplicaciones de cada recuadro.

1 000 • 4 =

4 • 1 000 =

2 500 • 2 =

2 • 2 500 =

15 000 • 3 =

3 • 15 000 =

20 000 • 5 =

5 • 20 000 =

5 Responde en tu cuaderno.

a) Un profesor pidió a sus estudiantes que formaran 5 filas con 3 niños cada una. ¿Cuántosniños se formaron?

b) Una profesora quiere formar 3 filas con igual cantidad de niños y niñas. Si en total hay 21 estudiantes, ¿cuántos niños y niñas tendrá cada fila?

6 Pinta de color amarillo la expresión con que se puede resolver cada problema.Completa los datos que faltan.

a) Héctor formó 5 filas de lentejas. Si en total repartió 100 lentejas y colocó la mismacantidad de lentejas en cada fila, ¿cuántas lentejas colocó en cada una?

En cada fila hay lentejas.

b) Pía formó 4 filas de lentejas. Si en cada fila colocó 30 lentejas, ¿cuántas lentejas ocupó entotal?

En total ocupó lentejas.

5 • 100 = 100 : 5 =

4 • 30 = 30 : 4 =

7 • 8 =

8 • 7 = Aquí podemos

plantar 7 filas de8 papas cada una.

O bien, podemosplantar 8 filas de

7 papas cada una.

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44 Unidad 2

2

• ¿Qué relación observas entre la cantidad de manzanas y el precio que se debe pagar porellas?

Multiplicación como relación proporcional

Camila y Felipe estáncalculando cuántasmanzanas van acomprar y cuántodeberán pagar segúnla cantidad demanzanas que lleven.

1 Completa la siguiente tabla y, luego, comenta con tus compañeros y compañeras.

1 manzana 1 • 110 = 110 $ 110

2 manzanas 2 • 110 = 220 $ 220

3 manzanas 3 • 110 =

4 manzanas

5 manzanas

6 manzanas

7 manzanas

2 Lee y completa. Guíate por el ejemplo.

En la feria hay una promoción: “dos botellas de aceite de 1 litro por $ 1 500”, entonces:4 botellas de aceite se pueden comprar por $ 3 000, es decir, el doble de $ 1 500.

a) 6 botellas de aceite se pueden comprar por $ , es decir, el triple de $ .

b) botellas de aceite se pueden comprar por $ 6 000, es decir, 4 veces $ 1 500.

c) 10 botellas de aceite se pueden comprar por $ , es decir, veces $ .

Si una manzanacuesta $ 110, ¿cuánto

me costarán dosmanzanas?

$ 220, el doblede $ 110.

• ¿Cuánto costarán tres manzanas?, ¿y cinco? ¿Cómo lo supiste?

• ¿Qué pasa con el precio de la compra mientras más manzanaslleven Felipe y Camila?

CONVERSEMOS DE ...

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3 Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas y explica paso a paso cómo lohiciste.

a) En la feria cada cebolla cuesta $ 250. ¿Cuánto dinero debo pagar por 4 cebollas?¿Cuántas cebollas llevó José si pagó $ 1 500 por ellas?

b) En un puesto de la feria venden 3 sobres de salsa de tomates por $ 1 000. ¿Cuántos sobres de salsa de tomates se llevó María, si pagó $ 4 000 por ellos?¿Cuántas veces $ 1 000 debe pagar una persona que quiere llevar 9 sobres de salsa detomates? ¿Cuánto dinero se debe pagar por 15 sobres de salsa de tomate?

c) Felipe compró lechugas y pagó $ 3 200 por ellas. Si en el puesto donde las compró elprecio es de $ 800 por 2 lechugas, ¿cuántas lechugas llevó en total? ¿Cuántas veces$ 800 tendría que pagar si llevara 10 lechugas y cuánto pagaría en total por ellas?

¿CÓMO VOY?

1. Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas.

a) En la feria se vendieron 4 500 manzanas el mes pasado y 8 250 este mes.¿Cuántas manzanas se vendieron en total en ambos meses? ¿Cuál es la diferenciaentre la venta de manzanas en ambos meses?

b) Si Ana ha plantado lechugas en su patio y las ha distribuido en 9 filas de4 lechugas cada una. ¿Cuántas lechugas plantó en total? ¿De qué otras maneraspodría haber distribuido la misma cantidad de lechugas? Escribe las 5 posibilidades.¿Cómo las distribuirías tú?, ¿por qué?

2. Completa.

a) El doble de 5 000 es , entonces 15 000 es el de 5 000.

b) El doble de 2 000 es , entonces es el triple de 2 000.


Calculo de forma escrita adiciones y sustracciones.Calculo mentalmente adiciones y sustracciones.Calculo de forma escrita multiplicaciones y divisiones.


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46 Unidad 2

2

• Observa lo que cada uno calculó mentalmente.

• Ambos vendedores compararon dos cantidades de distinta forma: por cuociente y pordiferencia. Por lo tanto, ambos están en lo correcto.

Comparación por cuociente y por diferencia

• ¿Cuántas manzanas caben en la caja?, ¿cómo lo supiste?

• ¿Cuántas manzanas les faltan por colocar en la caja?

• ¿Por qué los dos vendedores dicen lo correcto?

CONVERSEMOS DE ...

En la feria hay 14 puestos de frutas y verduras y 7 puestos de ropa.

a) ¿Qué información te entrega el cuociente de 14 : 7?

b) ¿Qué información te entrega la diferencia de 14 – 7?

Pancho y Manolo, unosvendedores de la feria,están cargandomanzanas en una cajapara trasladarlas.

1 Responde.

80 : 40 = 2La mitad de 80 es 40 oel doble de 40 es 80.

80 – 40 = 40La diferencia entre 80y 40 es 40.

Pancho Manolo

Hemos colocado 40 manzanas que correspondena la mitad de las manzanas que

caben en la caja.Nos faltan

40 manzanas paracompletar la caja.

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2 Lee y resuelve en tu cuaderno.

En la feria se venden cajas de chocolates que tienen 6 chocolates negros y 2 chocolatesblancos.

a) A partir de la información entregada, realiza los cálculos de comparación por cuociente ypor diferencia.

b) ¿Cuál de los cálculos que realizaste te indica cuántos chocolates negros más hay queblancos?, ¿y cuál te indica cuántos chocolates negros hay por cada chocolate blanco?

3 Responde en tu cuaderno y luego compara tus respuestas con las de tuscompañeros y compañeras.

a) Manolo vendió en un día $ 5 000 en frutas y $ 15 000 en verduras. Si quiere sabercuánto dinero más vendió en verduras que en frutas, ¿qué procedimiento debería realizarpara comparar estas cantidades?, ¿por qué?

b) Ana necesita comprar naranjas. En un puesto de la feria le ofrecen 3 kg de naranjas por$ 900, y en otro puesto, le ofrecen 4 kg por $ 1 200. ¿En cuál de los dos puestos leconviene comprar naranjas?, ¿por qué?

c) Un matrimonio que vive en el sur de Chile se dedica a la fabricación de chocolatesartesanales. Ellos fabrican 12 000 barras de chocolate al año y una fábrica de la mismaregión produce 240 000. Si quieren saber cuántas barras de chocolate produce la otrafabrica, por cada una de las barras de chocolate que producen ellos, ¿qué comparacióndeberían realizar, por cuociente o por diferencia?, ¿por qué?

TRABAJO EN EQUIPO

En esta actividad reforzarán, a través de lacreación de problemas, la comparación porcuociente y por diferencia. Para esto reúnanse en grupos de 3 ó 4 integrantes ysigan las instrucciones.

1. En una hoja de cuaderno inventen problemas, en los cuales tengan que utilizarcomparación de resultados por diferencia y por cuociente.

2. Intercámbienlos con los problemas realizados por otro grupo del curso y resuélvanlos.

Materiales:

• Hoja de cuaderno.

• Lápiz.

4 En un curso hay más niños que niñas. La profesora desea calcular cuántos niños másque niñas hay y un estudiante le sugiere realizar una comparación por cuociente.¿Está en lo correcto el estudiante?, ¿por qué? Responde en tu cuaderno.

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48 Unidad 2

2 Relación entre la multiplicación y divisiónFelipe y Camila están estudiando para una prueba de matemática.

• ¿Cuánto tiempo en total estudió Camila en la semana?

• Si Felipe estudió la misma cantidad de minutos cada día de lasemana, ¿cuántos minutos diarios estudió? ¿Tiene sentido queestudie diariamente ese tiempo?, ¿por qué?

• ¿Quién estudió las tablas más tiempo en la semana?

CONVERSEMOS DE ...

1 Resuelve las siguientes operaciones y responde, en tu cuaderno, según lainformación entregada en la imagen.

5 • 7 = 35 : 7 =

a) ¿Qué pregunta se puede responder al resolver la multiplicación presentada?

b) ¿Qué pregunta se puede responder al resolver la división presentada?

2 Pinta la operación que permite resolver cada problema, complétala y luegoresponde el problema en tu cuaderno.

a) Gabriel estudió 5 días para la prueba de Comprensión del Medio. Cada día estudió la mismacantidad de tiempo. En total estudió 1 hora (60 minutos). ¿Cuánto tiempo estudió cada día?

60 • 5 = 60 : 5 =

b) Andrés y sus amigos están haciendo helados para una convivencia del colegio. En elrefrigerador colocaron 27 bandejas con 9 helados cada una. ¿Cuántos helados hicieronAndrés y sus amigos?

27 • 9 = 27 : 9 =

Yo he repasadolas tablas durante

5 minutos los 7 díasde la semana.

Yo he estudiado35 minutos esta

semana.

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a) b) c) d)

3 Escribe en tu cuaderno un problema que se resuelva con cada operación.

72 : 9 9 • 8 40 : 5 5 • 8

¿CÓMO VOY?

1. Une con una línea la operación que utilizarías para resolver los siguientes problemas.Luego, resuélvelos en tu cuaderno.

2. En un 4º básico asisten regularmente a clases 25 niñas y 17 niños. ¿Cuántas niñasmás que niños asisten a clases regularmente?, ¿qué comparación utilizarías: porcuociente o por diferencia? Responde en tu cuaderno.

3. Completa.


Comparo cantidades por diferencia y por cuociente.Comprendo la relación que existe entre la multiplicación y la división.Aplico la multiplicación y la división en la resolución de problemas.


La familia de Felipe y Camilagastan $ 860 diarios de pan.¿Cuánto gastarán en una semana?

¿Qué valor tiene cada lechuga siseis lechugas cuestan $ 2 400?

Multiplicación División

Una multiplicación entre dos factores distintos se puede relacionar con dosdivisiones. Por ejemplo:

Toma nota

a) Si 6 • 5 = , entonces 30 : 6 = .

b) Si 4 • 8 = , entonces 32 : 4 = y 32 : 8 = .

c) Si 9 • 5 = , entonces 45 : 9 = y 45 : 5 = .

10 • 12 = 120

120 : 10 = 12 120 : 12 = 10

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50 Unidad 2

2 Multiplicación por 10, 100, 1 000, 10 000 y 100 000

En la feria, la señora Matilde está ordenando las frutillas en el mesón de su puesto.

• ¿Qué información entregan los números en la situación anterior?

• ¿Cómo podrías calcular la cantidad de frutillas que va a colocarla señora Matilde en el mesón?, ¿qué operación matemáticautilizarías?

• ¿Qué información obtienes con la división 600 : 20?,¿y con 600 : 30?

CONVERSEMOS DE ...

2 Piensa y responde en tu cuaderno.

a) ¿De qué manera desarrollas la multiplicación 20 • 30? Explícalo paso a paso.

b) ¿Qué información te entrega el producto de esa multiplicación?

1 Observa una estrategia para resolver esa multiplicación,luego comenta con tus compañeros y compañeras.

a) ¿Qué otra estrategia utilizarías para resolver esta multiplicación?

b) Compárala con las de tus compañeros y compañeras: ¿es igual odistinta? ¿En qué se parecen y en qué se diferencian?

20 • 30

2 • 10 • 3 • 10

2 • 3 • 10 • 10

6 • 100

600

Voy a hacer20 filas de30 frutillas.

3 Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas.

a) Un comerciante de la feria colocó en el mesón las cabezas de ajos en 20 hileras con40 cabezas de ajos cada una. ¿Cuántas cabezas de ajos tiene sobre el mesón?

b) Una plantación de lechugas está ordenada en 80 hileras con 200 lechugas cada una.¿Cuántas lechugas hay en la plantación?

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4 Completa el cuadro, utilizando la estrategia que consideres más adecuada pararesolver cada multiplicación.

5 Pinta la expresión que permite resolver el problema y luego escribe la respuesta alproblema en tu cuaderno.

6 Completa y luego, responde.

a) Para un concierto de música realizado en un colegio se dispusieron filas de 30 sillas cada una.El organizador del evento necesita 1 200 sillas para el concierto. ¿Cuántas filas de sillas sedispusieron para el concierto?

30 • 1 200 1 200 : 30

400 • 10 400 : 10

b) En el concierto se venderán latas de bebidas. Para ello el organizador compró 400 cajas con10 latas de bebida cada una. ¿Cuántas bebidas se compraron en total?

Operación Estrategia Resultado

50 • 3 000

7 • 10 000

40 000 • 30

9 000 • 100

100 000 • 10

5 • 10 = 50 • 1 =

5 • 100 = 50 • 10 =

5 • 1 000 = 50 • 100 =

5 • 10 000 = 50 • 1 000 =

5 • 100 000 = 50 • 10 000 =

a) ¿Qué relación observas entre los productos obtenidos en cada fila?, ¿ocurrirá siemprelo mismo?

b) ¿Qué podrías concluir al finalizar este ejercicio?

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52 Unidad 2

2 Cálculo mental de productos y cuocientes

a) ¿Qué relación observas entre las operaciones que resolviste anteriormente?

b) ¿Con qué otros números puedes observar una relación similar a esta? Verifícalo con lacalculadora.

En esta actividad deberán descubrir regularidades enalgunos cálculos.Reúnanse en grupos de 3 ó 4 integrantes y sigan las instrucciones.

1. Cada uno escoge un dígito del 1 al 9.

2. Con la calculadora, multiplica ese dígito por 3. Luego, multiplica el producto obtenidonuevamente por 3 y anota el resultado.

3. Multiplica el dígito escogido por 9 y anota el resultado.

4. Comparen los productos que cada uno anotó en el papel, comenten y respondan:

a) ¿Cómo son los productos obtenidos en ambos casos?

b) ¿A qué conclusión pueden llegar?

5. Presenten al curso la conclusión a la que llegaron.

Materiales:

• Calculadora.

• Lápiz y papel.

TRABAJO EN EQUIPO

• ¿Todos los grupos llegaron a una misma conclusión?Explica por qué.

• ¿A qué equivale el triple del triple de un número?, ¿cómo losupiste?

CONVERSEMOS DE ...

1 Calcula mentalmente las siguientes operaciones y responde.

3 • 2 = y 9 • 2 =

3 • 3 = y 9 • 3 =

3 • 4 = y 9 • 4 =

3 • 5 = y 9 • 5 =

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2 Felipe y Camila están haciendo una competencia de cálculo mental. Observa.

Camila hizo los siguientes cálculos en su mente.

9 • 2 = 10 + 10 – 2 = 18

9 • 3 = 10 + 10 + 10 – 3 = 27

3 Relaciona, completa y luego responde.

a) Si 9 • 2 es , 18 : 2 = y 18 : 9 =

b) Si 9 • 5 es , 45 : 5 = y 45 : 9 =

c) Si 7 • 8 es , 56 : 8 = y 56 : 7 =

d) Si 7 • 4 es , 28 : 4 = y 28 : 7 =

• ¿Qué relación observas entre las operaciones que resolviste anteriormente? Comenta contus compañeros y compañeras.

En esta actividad deberán practicar el cálculo mentalde productos.Reúnanse en grupos de 3 ó 4 integrantes y sigan lasinstrucciones.

1. Recorten 10 tarjetas y escriban en cada una los números del 1 al 10.

2. Por turno, cada uno debe sacar dos tarjetas y calcular mentalmente el producto de losnúmeros escritos en las tarjetas.

3. Tienen 30 segundos para responder. Si lo hacen correctamente ganan 1 punto. ¡Ganael que acumula más puntos!

Materiales:

• Cartulina.

• Tijeras.

• Plumón.

TRABAJO EN EQUIPO

Aplica la estrategia de Camila para resolver las siguientes multiplicaciones.

a) 9 • 4 b) 9 • 6 c) 9 • 7 d) 9 • 9

9 • 2. 18. 9 • 3. 27.

¿Cómocalculas tan

rápidamente?

Para 9 • 2, sumodos veces 10 y le

resto 1 por cada 10que sumé.

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54 Unidad 2

2 Cálculo escrito de productosy cuocientes

• ¿Con qué operación podrías calcular cuánto ha recibido laseñora Matilde por la venta de manzanas en la mañana?

• ¿Podrías realizar otra operación para averiguarlo?, ¿cuál?

• ¿En qué otras situaciones podrías aplicar estas operaciones?

CONVERSEMOS DE ...

2 Resuelve en tu cuaderno las siguientes multiplicaciones y explica la estrategia queutilizaste.

a) 640 • 8 = b) 360 • 15 =

1 Observa la siguiente estrategia para calcular multiplicaciones y explícasela a uncompañero o compañera.

a) 146 • 7 =

100 40 6 • 7

700 280 42

1 022

• 10 2

b) 432 • 12 =

3 Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas, utilizando la estrategia aprendida.

a) Si los pinches para el pelo cuestan $ 236 cada uno, ¿cuánto dinero tendrías que pagarpor 9 pinches?

b) Si un kilogramo de limones vale $ 357, ¿cuánto dinero tendrías que pagar por22 kilogramos de limones?

En la feria, el puesto de frutasy verduras ha tenido unaexcelente venta. Lo que másse ha vendido son manzanas.

Hoy en la mañanahe vendido 9 kg de

manzanas.

400 30 2

4 000 300 20

800+ 60 4

4 800 360 24

5 184

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La señora Matilde quiere ordenar 134 frutillas en 5 bandejas y dejar igualcantidad de frutillas en cada una. Ella piensa: ¿5 multiplicado por qué númeroda un resultado cercano a 134? y escribe:

4 Don Rafael debe repartir 647 papas en 2 sacos en partes iguales. Para calcularcuántas papas debe echar en cada saco divide 647 en 2 de la siguiente manera:

600 : 2 = 30040 : 2 = 20

7 : 2 = 31

Resuelve en tu cuaderno utilizando la estrategia de don Rafael para repartir en partesiguales 860 papas en:

a) 2 sacos b) 3 sacos c) 4 sacos d) 6 sacos

5

134 : 5 = 26– 130

4

dividendo divisor cuociente

resto

Resuelve en tu cuaderno las siguientes divisiones utilizando la estrategia de Matilde.

a) 223 : 6 = b) 367 : 5 = c) 629 : 7 =

¿CÓMO VOY?

1. Calcula mentalmente o de forma escrita las siguientes operaciones. Explica cómo lohiciste en cada caso.


Calculo mentalmente productos y cuocientes.Calculo de forma escrita productos y cuocientes.


a) 416 : 3 =

b) 212 • 24 =

e) 15 000 : 3 =

f) 9 • 100 000 =

c) 28 : 7 =

d) 700 • 1 000 =

Por 30 son 150…Por 25 son 125…Por 26 son 130,

este sí.

////

//

Cada sacoqueda con323 papasy sobra 1.

647 : 2 =647 : 2 = 323

1(600 + 40 + 7) : 2 =

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56 Unidad 2

2 Propiedades de la multiplicación

• ¿Quién obtuvo más puntos?

• ¿Cómo podrías calcular la cantidad de puntos que obtuvocada uno, utilizando solo multiplicaciones?

• ¿Qué relación observas entre los factores de ambasmultiplicaciones?, ¿cómo son sus resultados?, ¿ocurrirásiempre lo mismo?

CONVERSEMOS DE ...

144 • 5 7 • 9125 • 144

3 • 2 781

912 • 7

2 781 • 3

12 289 • 66 • 12 289

4 • 35 57635 576 • 4

Cuando cambias el orden de losfactores, que son los términos de unamultiplicación, el resultado no cambia.Esta es la propiedad conmutativa dela multiplicación. Por ejemplo:

Toma nota

2 Después de realizar los ejercicios anteriores, ¿qué concluyes? Responde en tucuaderno.

Felipe y Camila compraronnaipes en la feria. En la casajugaron a que cada vez quealguien tenía la carta mayor,ganaba 6 puntos y, el quetenía la menor, 5 puntos.Camila sacó 5 puntos 6 vecesseguidas y Felipe sacó6 puntos 5 veces seguidas.

1 Resuelve con calculadora las siguientes multiplicaciones. Pinta de un mismo color lasque tienen el mismo resultado o producto.

21 • 8 = 8 • 21

168 = 168

Factores Factores

Producto Producto

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La feria seinstala por 5 horas, 3 vecesa la semana y en un meshay 4 semanas, es decir,

(5 • 3) • 4.

Yo multiplico 3 vecespor semana, por las

4 semanas del mes y luegopor las 5 horas, es decir,

5 • (3 • 4).

a) ¿Qué relación observas en los cálculos realizados por los niños?

b) ¿Cuál de los dos procedimientos utilizados por los niños crees que es correcto?,¿por qué?

Las operaciones que están entre paréntesis se resuelven en primer lugar.

Toma nota

4 Sin resolver, ¿cuáles de las siguientes multiplicaciones crees que tienen el mismoresultado?, ¿por qué? Píntalas de un mismo color.

(7 • 8) • 9 7 • (8 • 9) 40 • (20 • 2)

5 Verifica tu respuesta anterior, resolviendo las multiplicaciones en tu cuaderno.

Aunque los factores se agrupen de distinta forma,el producto obtenido de una multiplicación de tresnúmeros no varía. Esta es la propiedad asociativade la multiplicación. Por ejemplo:

Toma nota

2 • (3 • 5)

(2 • 3) • 5 (40 • 20) • 2 (30 • 10) • 2 30 • (10 • 2)

3 Camila y Felipe quieren saber cuántas horas al mes se instala la feria en su barrio.Obseva y responde.

6 Después de realizar los ejercicios anteriores, ¿qué concluyes? Comenta.

(3 • 7) • 2 = 3 • (7 • 2)

21 • 2 = 3 • 14

42 = 42

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58 Unidad 2

2

Para multiplicar un número por una suma, se puedehacer primero la suma y luego multiplicar, o bien,multiplicar cada sumando por el factorcorrespondiente y luego sumar ambos resultados.Esta es la propiedad distributiva de la multiplicaciónrespecto de la adición. Por ejemplo:

Toma nota

8 Une con una flecha la operación con su correspondiente desarrollo y resultado,tal como muestra el ejemplo.

6 • (8 + 1) 4 • 5 + 4 • 2 72

8 • (3 + 6) 6 • 8 + 6 • 1 28

4 • (5 + 2) 5 • 7 + 5 • 9 54

5 • (7 + 9) 8 • 3 + 8 • 6 80

Podemos sumar elnúmero de cajas, y luego,

multiplicar el resultado por 6.Es decir, 4 + 2 = 6 y 6 • 6 = 36,

llevamos 36 huevosen total.

Yo multiplico:2 • 6 = 12 y 4 • 6 = 24. Luego

calculo 12 + 24 = 36.

7 Felipe compró 4 cajas de huevos y Camila 2.Cada caja tiene 6 huevos, ¿cuántos huevosllevarán los niños en total? Observa y responde.

a) ¿Cuál de los dos está en lo correcto?, ¿por qué?

b) ¿Qué procedimiento elegirías tú, el de Felipe o el de Camila?, ¿por qué?

c) ¿Por qué crees que ambos obtuvieron el mismo resultado?

3 • (2 + 5) = 3 • 2 + 3 • 5

3 • 7 = 6 + 15

21 = 21

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TRABAJO EN EQUIPO

(15 • 4) • 7 = 15 • (4 • 7)

32 • 5 = 5 • 32 (3 + 7) • 40 = 3 • 40 + 7 • 40 (12 • 4) • 20 = 12 • (4 • 20)

6 • (9 + 8) = 6 • 9 + 6 • 8 10 • 7 = 7 • 10 6 • 11 = 11 • 6

9 Aplica la propiedad distributiva de la multiplicación, usando tu calculadora y anotatus resultados.

a) 37 • (18 + 25) = .

b) 610 • (152 + 214) = .

En esta actividad ejercitarán las propiedades de lamultiplicación recién estudiadas. Reúnanse en gruposde 3 ó 4 integrantes y sigan las instrucciones.

Materiales:

• Tarjetas de cartulina

de 6 cm de largo por

1 cm de ancho.

• Lápiz y cuaderno.

60 • 20 = 20 • 60 (45 • 3) • 10 = 45 • (3 • 10)

c) 215 • (179 + 356) = .

d) 86 • (49 + 74) = .

1. Copien las siguientes operaciones en las tarjetas de cartulina.

2. Realicen en el cuaderno una tabla como la siguiente.

3. Revuelvan las tarjetas. Por turno sacan una tarjeta y la pegan en la columna de lapropiedad de la multiplicación que corresponde.

4. En la segunda columna escriban con sus palabras en qué consiste cada una de laspropiedades de la multiplicación.

5. Luego, desarrollen los ejercicios, anoten y comparen sus resultados.

6. Finalmente comenten:• ¿Cómo decidieron en qué columna pegar cada tarjeta?• ¿Qué fue lo que más les costó en esta actividad?, ¿y qué les resultó más fácil?

Propiedades de lamultiplicación

Descripción de lapropiedad

OperacionesResultados de las

operaciones

Conmutativa

Asociativa

Distributiva respectode la adición


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Puedo resolver...

60 Unidad 2


Felipe y Camila se encontraron y se dieron cuenta de que ambos habían compradochocolates. Felipe compró 3 bolsas con 5 chocolates cada una y Camila 4 bolsastambién con 5 chocolates cada una. ¿Cuántos chocolates tienen entre los dos?

Comprender

• ¿Qué sabes del problema?

La cantidad de bolsas de chocolates que tienen Felipe y Camila.La cantidad de chocolates que tiene cada bolsa.


La cantidad de chocolates que tienen en total Felipe y Camila.

Planificar

• ¿Cómo resolver el problema?

Podemos multiplicar la cantidad de bolsas que compró Felipe por la cantidad de chocolatesque tiene cada una de ellas. Luego, multiplicamos la cantidad de bolsas que compróCamila por la cantidad de chocolates que tiene cada una y finalmente sumamos ambosproductos.

Resolver

Responder

Entre los dos niños tienen 35 chocolates.

Revisar

3 • 5 + 4 • 5

15 + 20 = 35

Podemos solucionar el problema de otraforma. Multiplicamos la cantidad dechocolates que tiene cada bolsa por la sumade la cantidad de bolsas que tiene Felipe másla cantidad de bolsas que tiene Camila.

5 • (3 + 4)

5 • 7 = 35

Finalmente, comparamos este resultado con el que obtuvimos anteriormente.

U2 21x27 10/12/08 12:35 Página 60

Comprender



Planificar


Resolver

Responder

Revisar


1 Ahora resuelve el siguiente problema utilizando la estrategia aprendida.Camila quiere comprar chicles. En un puesto compró 2 cajas de chicles. Cada caja tiene5 bolsas con 8 chicles cada una. ¿Cuántos chicles compró en total?

2 En tu cuaderno, resuelve el siguiente problema utilizando la estrategiaaprendida u otra. Explica paso a paso cómo lo resolviste.Felipe quiere comprar dulces en la feria. En un puesto hay dos cajas con el mismotipo de dulces, pero una trae 4 bolsas con 15 dulces cada una y la otra, 15 bolsascon 4 dulces cada una. ¿Cuál de las dos cajas tiene más dulces?

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62 Unidad 2


40 • 70 (12 • 3) • 2

350 : 50 7 • (9 + 3)

623 • 14 8 • 30

20 • 8 426 : 6

a) ¿Cuánto pagará una familia por dos heladossimples con baño de chocolate y dos heladosdobles con porción de crema?

b) ¿Cuántos billetes y monedas le darán de vuelto auna señora que compró tres helados simples ypagó con un billete de $ 5 000?

1 Observa el siguiente cuadro de precios de una heladería y luego, responde.

2 Resuelve y completa.

3 Resuelve las siguientes operaciones y pinta su resultado en la tabla, según elcolor que corresponda.

Simples : $ 780

Dobles : $ 1 500

Baño de chocolate $ 300

Porción de crema $ 300

a) Si tengo una huerta en la que planté 5 filas con 20 papas cada una, en total

planté papas.

b) Si reparto 42 semillas en 6 filas con igual cantidad de semillas cada una, cada fila

tendrá semillas.

c) Si por una lechuga debo pagar $ 400, por 4 lechugas, al mismo precio, tendré que

pagar $ .

d) Jorge está cosechando acelgas. La semana pasada cosechó 7 acelgas. Esta

semana cosechó 21 acelgas, es decir, cosechó 3 veces más que la semana

anterior, cosechó el de acelgas.

4 Escoge un dígito del 1 al 9, multiplica ese dígito por 2, multiplica el productoobtenido por 2, luego divide el resultado por el mismo dígito escogido. ¿Quéresultado obtuviste? Repite la misma operación con otro dígito, ¿qué resultadoobtuviste?

• HELADOS •

240 72

84 8 722

2 800 160

71 7

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Para no olvidar

Te invitamos a que recuerdes lo más importante que aprendiste en esta unidad y loresumas en el organizador gráfico, llamado esquema.

Este organizador gráfico permite resumir las ideas principales de un contenido y susdetalles. En un esquema se deben utilizar palabras o frases cortas y claras.

Completa el siguiente esquema con las palabras indicadas.


a) ¿Por qué se relacionan las operaciones de adición y sustracción?

b) ¿Por qué se relacionan las operaciones de multiplicación y división?

c) ¿Qué conceptos nuevos aprendiste en esta unidad?

Operaciones aritméticas

Adición Multiplicación División Sustracción

Cálculo escrito

Cálculo mental

Cálculo mental

Cálculo escrito

Relación proporcional

Por 10, 100, 1 000,10 000 y 100 000

Propiedades: conmutativa,asociativa y distributiva

Comparación por cuocientey diferencia

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64 Unidad 2

Lo que aprendí

1 Resuelve cada ejercicio paso a paso. Explica cómo los calculaste.a) ¿Cuál es el resultado de dividir 936 : 3?

b) ¿Cuál es el resultado de 60 • 70?

3 Pinta la respuesta que consideres correcta.

4 Calcula mentalmente y anota el resultado obtenido.

2 Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas. Explica la estrategia utilizadaen cada caso.

a) Laura compró en la librería 5 lápices a $ 200 cada uno, 3 cuadernos a $ 350 cadauno y dos gomas de borrar a $ 250 cada una. ¿Cuánto gastó Laura?

b) Lorena pagó $ 10 890 con un billete de $ 20 000, ¿cuánto le dieron de vuelto?

a) A fines del año pasado Carlos medía 128 cm y Mónica 125 cm. Después de 6 mesesambos crecieron 3 cm, ¿qué expresión usarías para comparar las nuevas estaturas deCarlos y Mónica?

b) Darío juntó piedras en el patio y las ordenó en 5 filas con la misma cantidad depiedras cada una. Si juntó 45 piedras en total, ¿qué cálculo te permitiría sabercuántas piedras colocó en cada fila?

Comparación por cuociente Comparación por diferencia

45 • 5 45 : 5

4 • 3 • 3 = 4 • 9 =

5 • 2 • 2 = 5 • 4 =

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4. ¿Qué expresión tiene igualresultado que 24 • (48 + 2)?

A. (48 + 2) • (48 + 24)

B. (2 • 24) + (48 + 24)

C. 48 • (24 + 2)

D. (48 • 24) + (24 • 2)

2. ¿Qué expresión tiene igualresultado que 32 • 5?

A. 30 • 2 • 5

B. 32 : 5

C. 5 • 32

D. 30 : 2 • 5

3. ¿Qué expresión tiene igualresultado que 6 • (8 • 4)?

A. 6 + (8 • 4)

B. (6 • 8) + 4

C. 6 • (8 : 4)

D. (6 • 8) • 4


1. ¿Cuántas veces 120 es igual a 600?

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

¿QUÉ LOGRÉ?

Evalúa tu desempeño, pintando 1, 2 ó 3 cuadrados, según la pautaque usaste en la página 17.

Calculo de forma mental y escrita adiciones y sustracciones. Calculo de forma mental y escrita multiplicaciones y divisiones.Aplico la comparación por cuociente y por diferencia en diversassituaciones.Desarrollo multiplicaciones por 10, 100, 1 000, 10 000 y 100 000.Comprendo la relación inversa entre multiplicación y división.Comprendo y aplico las propiedades de la multiplicación.Resuelvo problemas que involucran multiplicaciones y divisiones.



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66 Unidad 3

UNIDAD

33 FFoorrmmaass yy ffiigguurraass

OBSERVA Y COMENTA

• ¿Por qué es importante tener una biblioteca en la escuela?

• Felipe y Carla están ordenando las piezas de un rompecabezas, ¿quéfiguras geométricas reconoces en él?

• ¿Qué otras formas geométricas reconoces en la imagen?

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67Formas y figuras

Pinta de color verde los lados, de azul los vértices y de rojo los ángulos de lassiguientes figuras.

1

Observa las repisas que se construyeron para la biblioteca y responde en tucuaderno.

2


Te invitamos a...• Reconocer rectas paralelas y perpendiculares.

• Conocer las características de los cuadriláteros.

• Clasificar, dibujar y construir cuadriláteros.

• Identificar y trazar ejes de simetría en cuadriláteros.

• Transformar figuras y formas geométricas a través de rotaciones,ampliaciones y reducciones.

a) ¿Qué tipos de ángulos es posible observar en cada una de las repisas?

• Marca cuatro ángulos rectos en cada una de ellas y explica cómo supiste que son

ángulos rectos.

b) ¿En cuál de las repisas es posible trazar una línea recta, dividiendo el dibujo en dos

partes iguales? Dibújala.

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68 Unidad 3

3 Rectas paralelas y perpendiculares

1 Antes de construir la repisa para la biblioteca, el papá de Felipe hizo un dibujo deella. Observa.

• ¿A qué se refiere la profesora al decir “debemos ponerle

escuadras”?, ¿habías escuchado esa expresión alguna vez?

• ¿En qué se debieron fijar al construir la repisa para que, al poner

los libros en ella, estos no se deslizaran hacia alguno de los

costados?

CONVERSEMOS DE ...

a) ¿Cuáles de los ángulos del dibujo son rectos?, ¿cómo lo supiste?

b) ¿Cómo son las rectas que al cortarse forman un ángulo recto? Explica.

La profesora del 4º B y el papá de Felipe construyen una de las repisas.

Para que quedemás firme, debemosponerle escuadras.

¡Está quedandomuy bien!

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69Formas y figuras

Toma nota

Las rectas perpendiculares son aquellas que secortan formando ángulos rectos.Recuerda que los ángulos, según su medida,pueden ser rectos (como el que se destaca en laescuadra), agudos (menores que el ángulo recto)u obtusos (mayores que el ángulo recto).

2 Manuel dice que dos rectas son perpendiculares, si se cortan. ¿Estás de acuerdo conél?, ¿por qué? Dibuja en tu cuaderno rectas que se corten y verifica tu respuesta,utilizando regla y escuadra.

3 Vuelve a observar el dibujo de la repisa, en la página anterior, y responde en tucuaderno.

4 Observa los siguientes pares de rectas, comenta y responde.

a) ¿Qué líneas no se cortan en el dibujo?

b) Si estas líneas se alargaran, ¿se cortarían en algún momento? Explica cómo lo supiste.

a) ¿Qué tienen en común todos estos pares de rectas?, ¿y en qué se diferencian?

b) ¿En qué se diferencian estas rectas de las rectas perpendiculares?

Toma nota

Las rectas paralelas son aquellas que, aunque se prolonguen, nunca se cortan.

A

B

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70 Unidad 3

3TRABAJO EN EQUIPO

En esta actividad identificarán, en las piezas de un

tangrama, rectas perpendiculares y paralelas. Para

esto, reúnanse en grupos de 4 integrantes y realicen

las siguientes actividades.

1. Peguen el tangrama de la página 185 en una hoja

de bloc o cartón, luego recorten las piezas del

tangrama. Cada pieza representa una figura

geométrica. ¿Qué figuras reconocen en sus

tangramas?

2. Seleccionen figuras que tengan lados o “bordes”

paralelos. Copien estas figuras en una hoja y

marquen con un lápiz de color rojo los lados que

son paralelos.

3. Seleccionen figuras que tengan lados o “bordes”

perpendiculares. Copien estas figuras en una hoja y marquen con un lápiz de color azul

los lados que son perpendiculares.

4. Utilizando las piezas del tangrama, formen distintas figuras geométricas y distingan

en ellas lados paralelos y perpendiculares.

5. Copien las figuras que formaron en las hojas blancas y clasifíquenlas según su

cantidad de lados paralelos y según la presencia de lados perpendiculares.

6. Busquen un procedimiento para verificar si hay lados perpendiculares y lados paralelos en

las figuras anteriores.

7. Expliquen a sus compañeros y compañeras los procedimientos que realizaron y

compartan sus conclusiones.

Guarden las piezas del tangrama para utilizarlas en otras actividades.

Materiales:

• Tangrama (material

recortable de la

página 185).

• 8 hojas blancas.

• Lápices rojo y azul.

• 1 hoja de bloc o

cartón.

• Tijeras y pegamento.

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71Formas y figuras

¿CÓMO VOY?

1. El siguiente plano muestra la ubicación de la escuela dentro del barrio. Obsérvalo.

• Escribe una si la afirmación es verdadera y una si es falsa.

Las calles Los Cerezos y Las Abejas son perpendiculares entre sí.

La calle Los Pensamientos es perpendicular a la calle Los Tordos.

Los Cóndores es una calle perpendicular a la calle Los Pensamientos.

2. Dibuja en tu cuaderno, un par de rectas perpendiculares y un par de rectas paralelas,

utilizando los cuadrados de tu cuaderno de Matemática. Verifica los ángulos rectos

con tu escuadra.


Identifico y trazo rectas paralelas.

Identifico y trazo rectas perpendiculares.


V F

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72 Unidad 3

3Los niños y niñas del 4° C hicieron un cuadro en Educación Artística para poner en unade las paredes de la biblioteca.

1 Los niños y niñas del 4º C utilizaron variadas figuras para hacer el cuadro.Obsérvalas con atención y responde en tu cuaderno.

Clasificación de cuadriláteros

• ¿Qué figuras geométricas reconoces en el cuadro?

• ¿Cuáles tienen lados paralelos?, ¿y cuáles tienen lados

perpendiculares?, ¿cómo lo supiste?

CONVERSEMOS DE ...

a) ¿En qué se parecen todas las figuras del cuadro?, ¿y en qué se diferencian?

b) ¿Qué objetos de tu sala de clase tienen formas similares a las de las figuras del cuadro?

c) Observa la figura roja y la azul, ¿en qué se parecen?, ¿y en qué se diferencian?

d) Observa la figura verde y la amarilla, ¿en qué se parecen?, ¿y en qué se diferencian?

• Compara tus respuestas con las de tus compañeros y compañeras.

Toma nota

Los polígonos que tienen 4 lados y 4 ángulos se llaman cuadriláteros.

DIEGOANDREA

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73Formas y figuras

2 Observa los cuadriláteros, mide con una regla y responde en tu cuaderno.

3 Vuelve a observar los cuadriláteros y completa escribiendo el o los números de lasfiguras que se piden.

Toma nota

Los cuadriláteros se pueden clasificar según el número de lados paralelos quetengan. Observa.

a) Tienen dos pares de lados paralelos.

b) Tienen solo un par de lados paralelos.

c) No tiene lados paralelos.

Cuadriláteros

Paralelogramos:tienen sus lados

opuestos paralelos.

Trapezoides:no tienen pares de

lados paralelos.

Trapecios:tienen solo un par de lados paralelos.

• Averigua en Internet o en la biblioteca de tu colegio el nombre de los cuadriláteros

anteriores y comenta con tus compañeros y compañeras.

a) ¿Qué cuadriláteros tienen todos sus lados de igual medida?

b) ¿Qué cuadriláteros tienen sus lados opuestos de igual medida?

c) ¿Qué cuadrilátero tiene un par de lados de igual medida?

d) ¿Qué cuadriláteros no tienen lados de igual medida?

e) ¿Qué procedimiento usaste para comparar la longitud de los lados de cadacuadrilátero?

1 2 3 4

75 6

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74 Unidad 3

3TRABAJO EN EQUIPO

En esta actividad utilizarán las piezas del tangrama

para formar cuadriláteros. Para ello, reúnanse en

grupos de 3 integrantes y sigan las instrucciones.

1. Utilizando las piezas del tangrama, formen 2 trapecios, 2 paralelogramos y 2 trapezoides.

2. Cada vez que formen una nueva figura, cópienla en sus cuadernos y anoten su nombre.

Materiales:

• Piezas del tangrama

que utilizaron en la

página 70.

6 Rodrigo dice que el rombo es igual que el cuadrado, pues ambos tienen 2 pares delados paralelos y todos sus lados iguales. ¿Estás de acuerdo con Rodrigo?, ¿por qué?

5 ¿Cómo son los ángulos en un trapezoide?, ¿tiene ángulos rectos?, ¿cómo podríasverificarlo? Comenta.

Tienen sus 4ángulos rectos

Tiene solo 2ángulos rectos

No tienenángulos rectos

Rectángulo CuadradoTrapecio

RectánguloRombo Romboide Trapecio

• Completa la tabla en tu cuaderno, calcando las figuras del cuadro que correspondan.

4 Andrea y Diego están verificando con su escuadra cuáles de los cuadriláteros delcuadro tienen ángulos rectos. Observa.

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75Formas y figuras

TRABAJO EN EQUIPO

En esta actividad clasificarán cuadriláteros según la

cantidad de ejes de simetría. Reúnanse en grupos de

3 integrantes y sigan las instrucciones.

1. Cada uno calque en una hoja blanca los siguientes

cuadriláteros, utilizando una regla, y luego recórtenlos.

Materiales:

• Tijeras.

• Lápices.

• Regla.

• 3 hojas blancas.

DESAFÍO

Si sumas los ejes de simetría de cada cara de un cubo, ¿cuántos obtienes?

2. En cada figura, determinen si se puede doblar en dos partes iguales,

haciendo coincidir sus lados. Indiquen, en cada caso, cuántas veces

pueden hacerlo y marquen con un lápiz cada doblez realizado. Estos

dobleces representan los ejes de simetría.

3. Peguen las figuras en sus cuadernos según el número de ejes de simetría.

cuadrado rectángulo

rombo

trapecioisóscelestrapecio

rectágulo

romboide trapezoide trapezoide

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76 Unidad 3

3 Construcción de cuadriláteros

TRABAJO EN EQUIPO

En esta actividad construirán algunos

cuadriláteros. Para ello, formen grupos de

3 integrantes y sigan las instrucciones.

1. Construyan un cuadrado y un rectángulo utilizando las bombillas como lados y las bolitas

de plasticina para unirlas, a modo de vértices.

2. Con la escuadra, verifiquen que todos sus ángulos sean rectos.

3. Busquen una forma de transformar el cuadrado en un rombo y el rectángulo en un

romboide.

4. Compartan sus trabajos con sus compañeros y compañeras.

Materiales:

• Tijeras.

• 10 bolitas de

plasticina.

• 10 bombillas.

• ¿Qué ocurrió con los ángulos del cuadrado y el rectángulo al

transformarlos en un rombo y un romboide?CONVERSEMOS DE ...

1 Dibuja en la cuadrícula los cuadriláteros construidos en la actividad anterior,utilizando regla y escuadra.

2 En muchas de las construcciones que nos rodean podemos reconocer formassimilares a los cuadriláteros que has dibujado.

a) ¿Qué construcciones has visto con forma similar a la de un cuadrilátero?

b) Dibuja en tu cuaderno un edificio que esté formado solo por cuadriláteros. Para ello,utiliza regla y escuadra.

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77Formas y figuras

¿CÓMO VOY?

1. Observa los siguientes cuadriláteros y responde, anotando los números de las figuras.

2. Dibuja, en tu cuaderno, cuadriláteros que cumplan con las características que se

indican en cada caso.

a) 1 par de lados paralelos y dos ángulos rectos.

b) Todos sus lados de igual medida y ningún ángulo recto.

c) 4 ejes de simetría y sus lados opuestos paralelos.


Conozco las características de los cuadriláteros.

Clasifico cuadriláteros según sus lados, ángulos y ejes de simetría.

Dibujo y construyo cuadriláteros.


a) ¿Qué cuadriláteros tienen solo un par de lados paralelos?

b) ¿Qué cuadrilátero tiene todos sus lados iguales?

c) ¿Qué cuadrilátero tiene solo dos ángulos rectos?

d) ¿Qué cuadriláteros tienen solo dos ejes de simetría?

2

3

45

61

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78 Unidad 3

3 Rotaciones de objetos y figuras

Felipe tiene su primer recreo a las 10:00 horas. A los 15 minutos lacampana avisa que hay que volver a la sala de clase.

• ¿Qué duración tiene el recreo?, ¿y qué ocurre con el minutero

cada vez que transcurre esa cantidad de tiempo?CONVERSEMOS DE ...

1 El bus que toma Felipe para ir a la escuela pasa por su paradero a las 7:30 horas.Dibuja la posición del minutero en cada reloj, según cada momento de la historia.


• El ángulo en que rota el minutero cada vez que pasan 15 minutos, ¿es mayor, menor

o igual que un ángulo recto?, ¿y cómo es el ángulo en que rota el minutero cuando

pasa media hora?

Son las sietede la mañana.

Ya son lassiete y cuarto. ¡Llegó justo

a la hora!

U3 21x27 10/12/08 15:01 Página 78

79Formas y figuras

a) Marca el punto de apoyo en el ángulo recto de la escuadra.

b) Dibuja la nueva posición de la escuadra después de realizar un cuarto de giro a la

izquierda.

c) Dibuja otra escuadra y determina su nueva posición después de medio giro a la izquierda.

d) Explica, paso a paso, cómo realizaste las rotaciones.

2 Al igual que el minutero de un reloj, otras formas pueden rotar pero en sentidocontrario al de las manecillas del reloj. Observa cómo rotó la escuadra respecto desu punto de apoyo y responde en tu cuaderno.

a) ¿Cuántos giros en un ángulo recto realizó la escuadra para llegar desde su posición inicial

a la posición final?

b) Si un giro en un ángulo recto corresponde a un cuarto de giro, ¿cómo se expresaría a

través de una fracción la rotación que realizó la escuadra?

c) ¿Qué cambió y qué se mantuvo en la escuadra al rotarla?

3 Dibuja una escuadra en tu cuaderno y sigue las instrucciones.

Posición inicial

Posición final

Punto de apoyo

Toma nota

La rotación es el movimiento que se efectúa al girar una figura en torno a unpunto. En este movimiento se mantiene la forma y el tamaño de la figura.

U3 21x27 10/12/08 15:01 Página 79

80 Unidad 3

34 Observa los siguientes rectángulos dibujados en la cuadrícula y luego responde en

tu cuaderno.

a) El rectángulo A ha sufrido un giro respecto a uno de sus vértices. Su nueva posición está

dada por el rectángulo B. ¿Cuál es la fracción que indica el giro que sufrió el rectángulo

A?, ¿y cuál es su punto de apoyo?

b) ¿Dónde crees que quedará el rectángulo C, luego de medio giro a la izquierda, en torno

a uno de sus vértices?

c) Verifica tu respuesta realizando el giro indicado y compárala con la de tus compañeros y

compañeras. ¿Todos llegaron a la misma respuesta?, ¿por qué?

5 Observa el volantín y encierra el dibujo correcto.

a) ¿Cómo se verá la cola del volantín luego de rotarlo un cuarto de giro a la izquierda?

b) ¿Cómo se verá la cola del volantín luego de rotar medio giro a la derecha?

c) ¿Cómo se verá la cola del volantín luego de rotar un giro completo?

B

A

C

Punto de apoyo

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81Formas y figuras

6 Determina qué movimientos se realizaron con el triángulo A para formar la figuradada. Explica cómo lo supiste.

7 Rota las siguientes figuras según las indicaciones y dibuja cómo se ve luego de estarotación en el recuadro.

a) Giro de un cuarto hacia la derecha.

b) Medio giro hacia la izquierda.

A

• Compara tus dibujos con los de tus compañeros y compañeras.

punto de apoyo

punto de apoyo

U3 21x27 12/12/08 10:16 Página 81

82 Unidad 3

3 Ampliación y reducción

Durante la inauguración de la nueva biblioteca, los niños y niñas de loscuartos años básicos tomaron muchas fotografías con una cámara digital.

1 En la escuela, imprimieron varias copias de una de las fotografías, de distintostamaños. Obsérvalas y luego responde en tu cuaderno.

a) ¿Cuántos cuadraditos mide cada lado de la foto 1?, ¿y de la foto 2?, ¿y de la foto 3?

b) ¿Cuál es la relación entre el número de cuadraditos del largo y el ancho de la foto 1 con

el número de cuadraditos del largo y el ancho de la foto 2?, ¿y entre las fotos 1 y 3?

c) ¿Cuál de las fotos corresponde a una ampliación de la foto 1?, ¿cómo lo supiste?

d) ¿Cuál de las fotos corresponde a una reducción de la foto 1?, ¿cómo lo supiste?

Foto 1

Foto 2

Foto 3

¿Y si ampliamosalgunas fotografías para

ponerlas en el diariomural de la escuela?

¡IMPRIMA

SUS FOTOS

AQUÍ!

• ¿En qué situaciones has visto objetos que se han reducido o

ampliado respecto de su forma inicial?

• ¿Qué cambia al hacer una ampliación?, ¿y qué se mantiene?

• ¿Qué cambia al hacer una reducción?, ¿y qué se mantiene?

CONVERSEMOS DE ...

U3 21x27 10/12/08 15:01 Página 82

83Formas y figuras

2 Observa las siguientes figuras y luego responde.

3 Pedro dice que para ampliar o reducir un cuadrado basta con conocer la medida deuno de sus lados. ¿Estás de acuerdo con Pedro?, ¿por qué?

.

a) ¿Cuántos cuadraditos mide cada lado de la figura 1?, ¿y de la figura 2?, ¿y de la figura 3?

b) La figura 3 ¿es una ampliación de la figura 1?, ¿por qué?

.

c) La figura 2 ¿es una reducción de la figura 1?, ¿por qué?

.

d) ¿Cuándo podemos hablar de una ampliación y una reducción de una figura?

Comenta con tus compañeros y compañeras y lleguen a una respuesta.

.

Toma nota

Al ampliar y reducir una figura, esta no pierde su forma, sino cambian susmedidas.

1

2 3

Figura 1: Figura 2: y Figura 3: y

U3 21x27 10/12/08 15:01 Página 83

84 Unidad 3

34 Amplía o reduce las siguientes figuras, según las indicaciones.

a) Reduce a la mitad.

b) Amplía al triple.

• Explica, paso a paso, cómo realizaste la reducción y ampliación anteriores. Compara tuprocedimiento con el de tus compañeros y compañeras.

DESAFÍO

Recorta algún dibujo de una revista, pégalo en una hoja de papel cuadriculado y marca

sobre él las líneas del cuadriculado. Luego amplíalo al doble.

U3 21x27 10/12/08 15:01 Página 84

85Formas y figuras

¿CÓMO VOY?

1. Describe la transformación que se realizó con el triángulo A para obtener el triángulo B.

.

2. Amplía al doble la figura A y reduce a la mitad la figura B. Escribe lo que se mantuvo y

lo que cambió en cada caso, en la nueva figura, respecto de la inicial.


Reconozco y realizo rotaciones de figuras geométricas.

Reconozco ampliaciones y reducciones de figuras geométricas.

Realizo ampliaciones y reducciones de figuras geométricas.


A B

A B

U3 21x27 10/12/08 15:01 Página 85

Puedo resolver...

86 Unidad 3


Juan formó 2 triángulos rectángulos, trazando un eje de simetría en uncuadrilátero. ¿Qué cuadrilátero usó Juan?

Comprender

• ¿Qué sabes del problema?Las figuras que formó Juan.La cantidad de lados de la figura que usó Juan para formar los triángulos rectángulos.Lo que hizo Juan para poder formar los triángulos rectángulos.


El nombre del cuadrilátero que usó Juan.

Planificar

• ¿Cómo resolver el problema?Dibujar cuadriláteros sobre una cuadrícula y trazar los ejes de simetría con lápices dediferentes colores, hasta encontrar aquel cuadrilátero que permite formar dos triángulosrectángulos al trazar uno de sus ejes.

Resolver

Responder

El cuadrilátero que utilizó Juan es un cuadrado.

RevisarPodemos resolver el problema de otra forma. Dibujamos y recortamos distintos cuadriláterosen hojas de papel. Marcamos los ejes de simetría en cada uno de ellos a través de dobleces yobservamos en cuál se forman dos triángulos rectángulos.

U3 21x27 10/12/08 15:01 Página 86

Comprender


• ¿Qué debes resolver?

Planificar


Resolver

Responder

Revisar

87Formas y figuras

1 Ahora resuelve el siguiente problema utilizando la estrategia aprendida.Anita afirma que es posible dibujar un cuadrado a partir de la rotación de un triángulo.¿Estás de acuerdo con ella?, ¿por qué?

2 En tu cuaderno, resuelve el siguiente problema utilizando la estrategia quequieras. Explica paso a paso cómo lo resolviste.Consuelo afirma que con dos trapecios iguales se puede formar un romboide. ¿Estás deacuerdo con Consuelo?, ¿por qué?

U3 21x27 10/12/08 15:01 Página 87


88 Unidad 3

1 Describe la rotación que tuvo la siguiente figura. Considera el punto de apoyoseñalado y que la rotación se realizó hacia la derecha.

2 Completa la figura B de manera que cada lado mida la mitad de lo que mide lafigura A.

3 Marca con una la alternativa correcta.• ¿Qué cuadrilátero tiene solo un par de lados paralelos?

A. El rombo.

B. El rectángulo.

C. El trapecio.

D. El trapezoide.

• ¿En cuál de los siguientes rectángulos se ha trazado un eje de simetría?

A.

B.

C.

D.

Posición inicial

Posición final

Punto de apoyo

AB

U3 21x27 10/12/08 15:01 Página 88

89Formas y figuras

Para no olvidar

Te invitamos a que recuerdes lo más importante que aprendiste en esta unidad y loresumas en el organizador gráfico, llamado mapa conceptual.

Para ello, complétalo con los conceptos que aprendiste en esta unidad.


a) ¿Qué características tienen los cuadriláteros?

b) ¿Qué diferencia existe entre un cuadrado y un rombo?, ¿y entre un rectángulo y unromboide?

c) ¿Qué tienen en común un trapezoide y un cuadrado?, ¿y en qué se diferencian?

d) ¿Cómo se puede determinar la cantidad de ejes de simetría de un cuadrilátero? Explica.

e) ¿Qué cambia en una figura cuando se le aplica una rotación?, ¿y qué se mantiene?

f) ¿Qué se debe considerar al realizar la ampliación de una figura? Explica.

Figuras y formas

sufrentransformaciones

como pueden ser

se clasificansegún

Ampliaciones CUADRILÁTEROS

en

Medidade sus lados

Paralelogramos

Cantidad delados paralelos

U3 21x27 10/12/08 15:01 Página 89

Lo que aprendí

90 Unidad 3

2 Completa la siguiente tabla.

3 Dibuja un cuadrilátero que tenga dos pares de lados paralelos, dos pares delados iguales y ningún ángulo recto.

1 Encierra con color rojo los pares de rectas perpendiculares y con azul los pares derectas paralelas.

Figura NombreNúmero de lados

paralelosNúmero de

ángulos rectosNúmero de ejes

de simetría

U3 21x27 10/12/08 15:01 Página 90

91Formas y figuras

2. ¿Cómo se vería la figura inicial sise le aplica una rotación demedio giro a la derecha?

A.

B.

C.

D.

3. ¿Cuántos ejes de simetría tieneun rectángulo?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4


1. El cuadrilátero que tiene todossus lados iguales y ningún ángulorecto es el:

A. rombo.

B. trapecio.

C. romboide.

D. trapezoide.

¿QUÉ LOGRÉ?

Evalúa tu desempeño, pintando 1, 2 ó 3 cuadrados, según la pautade la página 17.

Reconozco y trazo rectas paralelas y perpendiculares.Caracterizo, dibujo y clasifico cuadriláteros.Construyo cuadriláteros.Identifico y trazo ejes de simetría.Reconozco y realizo rotaciones, ampliaciones y reduccionesde figuras.



Figurainicial

4. ¿Cuál de las siguientes figurases una reducción de la figurainicial?

A.

B.

C.

D.Figurainicial

U3 21x27 10/12/08 15:01 Página 91


Taller de evaluación 1

I. Marca con una la alternativa correcta.

A partir de los datos de la siguiente tabla, responde las preguntas 1 a la 6.

Gastos

Pasajes $ 253 900

Alimentación $ 30 570

Alojamiento $ 55 300

Imprevistos $ 12 080

En esta tabla se presentan los gastos

que realizaron los cuartos básicos en un

paseo a la playa.

4. ¿Cuál es el ítem en que gastaronmenos dinero?

A. Pasajes.

B. Alimentación.

C. Alojamiento.

D. Imprevistos.

1. El número que representa el dineroque gastaron en alimentación se lee:

A. tres mil quinientos setenta.

B. treinta quinientos setenta.

C. treinta mil quinientos setenta.

D. trescientos mil quinientos sesenta.

5. La cantidad de dinero que gastaronen pasajes, aproximado a la unidadde mil más cercana queda en:

A. 254 000

B. 253 000

C. 250 900

D. 250 000

2. El número “cincuenta y cinco miltrescientos” corresponde al dinerogastado en:

A. pasajes.

B. alimentación.

C. alojamiento.

D. imprevistos.

6. ¿Qué expresión representa lacantidad de dinero que gastaronen imprevistos?

A. 1 • 100 000 + 2 • 10 000

B. 1 • 10 000 + 2 • 10 000 + 8

C. 1 • 10 000 + 2 • 1 000 + 8 • 10

D. 1 • 1 000 + 2 • 1 000 + 8 • 100

3. El valor del dígito 3, en el númeroque representa la cantidad de dineroque gastaron en alimentación, es:

A. 3

B. 300

C. 3 000

D. 30 000

taller 1 10/12/08 12:56 Página 92

93Taller de evaluación 1

11. Un alpinista sube un volcán de6 000 metros de altura. Si en lanoche subió 1 230 metros ydurante el día subió 2 530,¿cuántos metros le quedan porescalar?

A. 2 240

B. 3 470

C. 3 760

D. 9 760

7. ¿Qué número debes escribir en elpara completar la recta

numérica?

A. 871 400

B. 871 450

C. 871 500

D. 871 550

12. Felipe repartió en partes iguales100 dulces entre sus 20 amigos.¿Qué expresión da como resultadola cantidad de dulces que recibiócada uno de ellos?

A. 100 + 20

B. 100 : 20

C. 100 – 20

D. 100 : 5

8. Si a las 4 de la tarde comienzo a veruna película que dura 1 h 45 min,pero la detengo por 10 minutos paratomar un jugo, ¿a qué hora terminode ver la película?

A. A las 5:35 horas de la tarde.

B. A las 5:45 horas de la tarde.

C. A las 5:55 horas de la tarde.

D. A las 6:00 horas de la tarde.

9. ¿Qué fracción del cuadrado estápintada?

A.

B.

C.

D.

10. Si me como de una barra de

chocolate, ¿qué fracción de la barra

me queda sin comer?

A.

B.

C.

D.

34

24

38

58

23

13

23

33

35

871 150 871 300 871 600

taller 1 10/12/08 12:56 Página 93


16. ¿Cuántos ejes de simetría tiene uncuadrado?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

13. En el trapecio se cumple que:

A. todos sus lados son iguales.

B. todos sus lados son paralelos.

C. solo dos de sus lados son paralelos.

D. solo tres de sus ángulos son rectos.

17. ¿En qué se diferencia un cuadradode un rombo?

A. En la cantidad de lados.

B. En la cantidad de ángulos rectos.

C. En la cantidad de lados paralelos.

D. En la cantidad de lados de iguallongitud.

14. ¿Cuál de los siguientescuadriláteros tiene 1 par de ladosperpendiculares?

A. Rombo.

B. Trapecio.

C. Rectángulo.

D. Trapezoide.

18. En la siguiente cuadrícula, lafigura B:

A. es una ampliación de la figura A.

B. es una reducción de la figura C.

C. es una reducción de la figura A.

D. es una ampliación de la figura D.

A

D

B

C

Punto de apoyo

Figurainicial

15. ¿Cómo se vería la figura inicial si sele aplica una rotación de un cuartode giro a la derecha?

A.

B.

C.

D.

taller 1 10/12/08 12:56 Página 94


II. Resuelve las siguientes situaciones.

1. Piensa y responde.

Andrés dividió una hoja rectangular en 8 partes iguales.

a) ¿Qué fracción representa una de las partes que se obtuvieron al dividir la hoja?, ¿por qué?

.

b) ¿Qué fracción representa 8 de las partes que se obtuvieron al dividir la hoja?, ¿por qué?

.

2. Observa la boleta y responde.

a) ¿Si pagas esta cuenta con $ 10 000,

¿cuánto recibes de vuelto?

b) ¿Cuál es el valor de 1 kg arroz?

c) ¿Cuánto tendrías que pagar por

7 latas de atún?

3. Realiza las siguientes actividades

en la cuadrícula.

a) Reduce cada lado a la mitad y construye un nuevo cuadrado con esas medidas.

b) Rota el nuevo cuadrado, realizando un cuarto de giro a la derecha. Considera el mismo

punto de apoyo del cuadrado original.

c) Responde: ¿qué cambia y qué se mantiene al reducir el cuadrado original?, ¿y al rotar el

cuadrado nuevo?

“La Esquina”

“La Esquina”

“La Esquina”

“La Esquina”

Supermercado “La Esquina”

Avda. Prat 780 Los Andes

BOLETA: 14467 - CAJA: 5

Descrip. artículo

TOTAL

Precio

3 kg de arroz$ 2 100

2 L de bebida

desechable

$ 1 100

5 unidades de atún$ 3 500

$ 6 700

12

**GRACIAS POR SU COMPRA**

Punto de apoyo

taller 1 23/12/08 12:52 Página 95

96 Unidad 4

UNIDAD

44 NNúúmmeerrooss,, ffrraacccciioonneessyy nnuueevvaa iinnffoorrmmaacciióónn

OBSERVA Y COMENTA

• ¿Alguna vez has ocupado un computador para hacer algún trabajo de laescuela?, ¿y has visitado algún sitio en Internet?

• ¿Qué información numérica puedes encontrar al navegar por Internet?

U4 21x27 10/12/08 12:58 Página 96

97Números, fracciones y nueva información

Observa la tabla y responde.1

Completa, observando las representaciones de la tabla.2


Te invitamos a...• Identificar y representar números naturales y fracciones en una recta

numérica.

• Comparar y ordenar fracciones y números naturales.

• Reconocer fracciones de igual valor.

• Interpretar y construir tablas y gráficos de barras.

Problema Cantidad de votantes Representación

Contaminación del aire 300

Contaminación del agua 150

Contaminación del suelo 75

No responde 75

a) ¿Qué información entrega la tabla?

b) ¿Cuál es la cantidad total de personas que votaron?, ¿cómo lo sabes?

a) Para del total de encuestados el problema medioambiental que más le preocupa es la

contaminación del .

b) Para del total de encuestados el problema medioambiental que más le preocupa es la

contaminación del .

12

14

¿Qué problema del medioambiente te preocupa más?

U4 21x27 10/12/08 12:58 Página 97

98 Unidad 4

4 Números y fracciones en la recta numérica

Manuel vive a 1 km de la escuela. En la mitad del camino se encuentra elparadero de buses. Observa cómo se representa esta información en unarecta numérica.

• ¿A cuántos kilómetros de la casa de Manuel está el paradero?,

¿cómo lo supiste?

• ¿En cuántas partes iguales se ha dividido la distancia que hay

entre 0 y 1?

• ¿Entre qué números se encuentra la fracción en la recta

numérica?, ¿y cómo se lee esta fracción?

CONVERSEMOS DE ...

0 1 km12

Observa la recta que hizo Camila para representar la distancia que existe entre sucasa y la escuela, y luego responde en tu cuaderno.

1

0 1 2 4 5 63

1

221

25

B Aa) ¿En cuántas partes iguales se ha dividido la distancia entre cada par de números naturales

consecutivos?

b) ¿Entre qué números se encuentra 2 ?, ¿y 5 ?

c) ¿Qué número indica la letra A?, ¿y la letra B?

d) ¿Dónde ubicarías 3 ?, ¿por qué?

1

2

1

2

1

2

PARADA

12

U4 21x27 10/12/08 12:58 Página 98

Toma nota

Para representar números naturales, fracciones y números formados pornúmeros naturales y fracciones (números mixtos) como por ejemplo , se deben seguir estos pasos:

1º Ubica los números naturales en orden, de menor a mayor, manteniendo lamisma distancia entre dos números naturales consecutivos (0 y 1, 1 y 2, 2 y 3, etc.).

2º Divide la distancia entre dos de estos números, en tantas partes igualescomo indica el denominador de las fracciones.

3º Para ubicar las fracciones, avanza desde el 0 el número de veces queindica el numerador.

4º Para ubicar los números mixtos, avanza desde el número natural, el númerode veces que indica el numerador de la fracción.Por ejemplo:


Completa la siguiente recta numérica y luego comenta.2

Camila debe ubicar los siguientes números en la recta numérica:3

1

4

3

4

3

4

2

42

• ¿En cuántas partes iguales se ha dividido la distancia entre dos números naturales

consecutivos?, ¿por qué?

1

32

2

3

2

31

1

31

a) Responde y comenta con tus compañeros y compañeras.

• ¿En qué número debe comenzar la recta numérica?, ¿por qué?

• ¿En cuántas partes iguales se debe dividir la distancia entre cada par de números

naturales consecutivos?, ¿por qué?

b) Dibuja en tu cuaderno una recta numérica y ubica en ella los números, fracciones y

números mixtos anteriores. Explica paso a paso cómo lo hiciste.

1

0 34

141

4 partes iguales 4 partes iguales

141

1 2

0 1 3

U4 21x27 23/12/08 13:00 Página 99

100 Unidad 4

4TRABAJO EN EQUIPO

En esta actividad aprenderán a comparar fraccionesde igual denominador, utilizando material concreto.Formen grupos de 4 integrantes y sigan lasinstrucciones.

1. Cada integrante divide un cuadradode papel lustre en 4 cuadradosiguales, haciendo dobleces comose muestra en la figura.

2. Uno de los integrantes representa en su cuadrado la fracción , otro debe representar

la fracción , otro la fracción y otro la fracción , pintando 1, 2, 3 ó 4 partes,

según corresponda.

3. Comparen sus representaciones y respondan en sus cuadernos:

a) Si comparan la representación de con la de , ¿cuál representa una mayor parte

del cuadrado?, ¿cómo lo saben?

b) ¿Y al comparar con , ¿cuál es mayor?, ¿cómo lo saben?

4. Ahora busquen una forma para representar las fracciones , , , , , , ,

y en nuevos cuadrados de papel lustre.

5. Comparen las fracciones anteriores y ordénenlas, desde la menor hasta la mayor.

6. Compartan sus resultados con el curso y guarden sus representaciones para una próximaactividad.

Materiales:

• 12 cuadrados de

papel lustre.

• Lápices de colores.

Comparación de fracciones

24

144

434

14

24

14

34

18

28

38

48

58

68

• ¿Qué tienen en común las fracciones y ?, ¿y en qué se

diferencian?

• Al comparar fracciones de igual denominador, ¿cómo puedessaber cuál es mayor?

CONVERSEMOS DE ...18

38

78

88

U4 21x27 10/12/08 12:58 Página 100


Observa cada pareja de diagramas y compara las fracciones que representan laspartes pintadas, usando los signos > o <, según corresponda.

1

Compara las siguientes parejas de fracciones, usando los signos >, < o =, segúncorresponda.

2

Resuelve el siguiente problema en tu cuaderno, utilizando diagramas pararepresentar cada fracción.

3

38

78

410

610

Para el aniversario de la escuela, los niños y niñas del cuarto básico prepararon queques. El

grupo de Manuel dividió su queque en 6 partes iguales. Camila se comió del queque y

Manuel comió el doble de Camila. ¿Quién comió más de este queque?

DESAFÍO

Inventa y resuelve un problema en el que debas comparar fracciones de igual denominador

para llegar a la solución. Compártelo con un compañero o compañera.

Toma nota

Al comparar fracciones de igual denominador, es mayor la que tiene el mayornumerador.

a)

a)

b)

58

28

b) 17

17

c) 35

45

d) 810

510

e) 1012

1112

f) 1213

1313

16

U4 21x27 10/12/08 12:58 Página 101

102 Unidad 4

4TRABAJO EN EQUIPO

En esta actividad, deberán comparar fracciones dedistinto denominador, utilizando material concreto.Para esto, formen los mismos grupos del trabajo enequipo de la página 100 y sigan las instrucciones.

1. Reúnan los cuadrados de papel lustre que usaron para representar los cuartos y losoctavos en el trabajo en equipo de la página 100.

2. Comparen sus representaciones de y y respondan en sus cuadernos:

a) ¿Qué tienen en común ambas representaciones?, ¿y en qué se diferencian?

b) ¿Cuál representa una mayor parte del cuadrado?, ¿cómo lo saben?

3. Ahora comparen las siguientes fracciones y determinen cuál es la mayor. Luego,expliquen el procedimiento que usaron para compararlas.

a) y

b) y

4. Comparen sus representaciones de y y respondan en sus cuadernos:

a) ¿Qué tienen en común ambas representaciones?, ¿y en qué se diferencian?

b) ¿Cuál representa una fracción mayor?, ¿cómo lo saben?

5. Finalmente, compartan sus respuestas con los otros grupos.

Materiales:

• 12 cuadrados de

papel lustre utilizados

en la actividad de la

página 100.

14

18

24

28

24

68

34

38

c) y

d) y34

58

44

88

e) y

f) y14

78

24

48

Los siguientes diagramas son de igual tamaño y se han dividido en partes iguales.Obsérvalos y responde en tu cuaderno.

1

23

24

a) ¿En qué se parecen y en qué se diferencian los diagramas pintados con rojo?, ¿y las

fracciones que representan?

b) Al comparar esos diagramas, ¿cuál representa una fracción mayor?, ¿cómo lo supiste?

c) Millaray dice que es mayor que . ¿Estás de acuerdo con ella?, ¿por qué?

U4 21x27 10/12/08 12:58 Página 102


Resuelve el siguiente problema en tu cuaderno, utilizando diagramas pararepresentar cada fracción.

2

La mamá de Manuel y Catalina les regaló un chocolate a cada uno. Manuel comió de su

chocolate y Catalina ? Si los chocolates eran iguales, ¿quién comió más chocolate?

¿CÓMO VOY?


Identifico y ubico números naturales y fracciones en la recta numérica.

Comparo fracciones con apoyo de material concreto.


1. Dibuja en tu cuaderno una recta numérica como la que aparece a continuación y ubica

en ella las paradas que va realizando Camila en el bus hasta llegar a la escuela, según

las indicaciones.

2. Utiliza cuadrados de papel lustre para representar cada una de las siguientes fracciones

y compara cada pareja, usando los signos >, < o =, según corresponda.

a) En un cuarto del camino se encuentra el primer paradero.

b) En la mitad del camino pasa por la municipalidad de su comuna.

c) En los tres cuartos del camino se encuentra con el segundo paradero.

1101

4

a) 18

48

b) 34

14

c) 36

34

d) 25

23

e) 44

55

f) 35

35

U4 21x27 10/12/08 12:58 Página 103

104 Unidad 4

4

• ¿Quién utilizará más espacio del afiche en poner fotografías?,¿cómo lo sabes?

• Las fracciones y , ¿qué tienen en común?, ¿y en qué se

diferencian?

• Si hubiesen ocupado y del afiche en fotografías,

respectivamente, ¿quién utilizaría más espacio del afiche para

fotografías?, ¿por qué?

• ¿Qué puedes concluir acerca de los pares de fraccionesanteriores?

CONVERSEMOS DE ...

Toma nota

Hay fracciones que representan la misma parte de un entero, pero seescriben de forma diferente. En esos casos se dice que las fraccionestienen igual valor y se llaman fracciones equivalentes.

Fracciones equivalentesManuel y Millaray están trabajando en un afiche para promover el usoadecuado de Internet en la sala de computación.

28

14

24

48

Yo utilizaré 2/8del afiche para las

fotografías.

14Voy a utilizar 1/4

del afiche para ponerfotografías.

28

U4 21x27 10/12/08 12:58 Página 104


TRABAJO EN EQUIPO

En esta actividad identificarán fraccionesequivalentes o fracciones del mismo valor. Para esto,formen grupos de 3 integrantes y sigan lasinstrucciones.

1. Cada integrante recorta una tira de papel rectangular en la hoja de cuaderno, de 20 cmde largo y 3 cm de ancho. Divídanlo en 2 rectángulos iguales haciendo un doblez aljuntar los extremos de la tira, como se muestra en la figura.

2. Pinten uno de los rectángulos formados. ¿Qué fracción de la tira de papel representa laparte que pintaron?

3. Un integrante hace un doblez más en la tira para que quede dividida en 4 rectángulosiguales. ¿Qué fracción representa ahora la parte pintada?

4. Otro integrante hace dos dobleces más, dividiendo la tira en 8 rectángulos iguales. ¿Quéfracción representa ahora la parte pintada?

5. Compartan sus resultados y respondan:

a) ¿En qué se parecen las fracciones , y ?, ¿y en qué se diferencian?

b) ¿Podrían decir que las fracciones anteriores son equivalentes?, ¿por qué?

Materiales:

• 3 hojas de cuaderno.


• Regla.

• Tijeras.

12

24

48

Representa y escribe dos fracciones equivalentes a la fracción dada. Apóyatehaciendo los dobleces respectivos en papel lustre.

1

Resuelve en tu cuaderno.

Manuel y Camila están leyendo un libro de 120 páginas. Manuel ha leído del libro y

Camila . Ambos dicen que han leído hasta la página 60. ¿Es esto posible?, ¿por qué?

212

48

14

U4 21x27 10/12/08 12:58 Página 105

106 Unidad 4

4 Orden y comparación de fracciones en la recta

• ¿Quién ha avanzado mayor parte de su trabajo?

• ¿A quién aún le falta más de la mitad del trabajo por hacer?,

¿cómo lo sabes?

• A medida que las fracciones se alejan del 0, ¿se hacen mayores

o menores?

CONVERSEMOS DE ...

0 1

18

48

78

Ubica las siguientes fracciones en la recta y compara usando los signos > o <, segúncorresponda.

1

Ordena las fracciones anteriores de mayor a menor y luego explica cómo lo hiciste.2

4

10

1

10

3

10

7

10

0 1

410

310

410

110

310

710

Yo llevo 4/8 deltrabajo hecho.

48

Y yo tengo 7/8 deltrabajo hecho.

78Yo tengo 1/8 del

trabajo hecho.

18

CamilaManuelMillaray

Los niños y niñas de cuarto básico están haciendo un trabajo deinvestigación sobre las nuevas tecnologías. Para ello, deben presentarun trabajo de 16 páginas.

a) b) c)

> > >

U4 21x27 10/12/08 12:58 Página 106

0 1


Completa los casilleros en las siguientes rectas y luego responde en tu cuaderno.3

Ubica las siguientes fracciones en las rectas numéricas correspondientes y luegocompara usando los signos > o <, según corresponda.

4

0 1

101

0 1

81

0 1

0

0 1

1

a) ¿Cómo es el numerador de estas fracciones?, ¿y el denominador?

b) ¿Qué ocurre con el denominador a medida que las fracciones representadas se van

alejando del 0?

a) 34

38

b) 12

15

0

0

1

1

Toma nota

Al comparar fracciones con igual numerador, es mayor la que tiene eldenominador menor.

U4 21x27 23/12/08 13:00 Página 107

108 Unidad 4

4En la clase de educación física los niños y niñas realizaron un circuito de carrera.Observa cuánto recorrieron del circuito en 20 segundos. Luego responde.

5

Usando las rectas numéricas, encuentra parejas de fracciones equivalentes. Luego,responde en tu cuaderno.

6

0 5

101

0 4

8

2

4

1

0 1

a) ¿En qué punto de la recta se ubica cada recorrido?, ¿qué puedes concluir acerca de las

fracciones , y a partir de esto?

.

b) ¿Quién recorrió una mayor parte del circuito?, ¿cómo lo sabes?

.

0 1

4

10

0 1

• ¿Qué tienen en común estas fracciones?, ¿podrías encontrar una relación entre los

numeradores de las fracciones?, ¿y entre los denominadores? Comenta con tus

compañeros y compañeras.

Manuel

Millaray

Camila

510

48

24

U4 21x27 10/12/08 12:58 Página 108


¿CÓMO VOY?


Reconozco fracciones equivalentes.

Ordeno y comparo fracciones apoyándome en la recta numérica.


1. Recorta una tira de papel rectangular de una hoja de cuaderno y divídela en3 rectángulos iguales, como muestra la figura.

2. Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno.

a) Después de recorrer de un viaje a la playa, Catalina se quedó dormida. Gabriel

se durmió después de del viaje. ¿Quién se durmió primero?

b) Daniela ya leyó las partes de la lista de libros que dieron a principio de año en la

escuela y Pedro ha leído partes de esta misma lista. ¿Quién ha leído una mayor

parte de la lista de libros? Explica cómo lo supiste.

c) Don Carlos y don Andrés tienen un terreno con la misma superficie. Don Carlos

plantará de su terreno y Andrés . ¿Quién ocupará mayor terreno para

plantar?, ¿por qué?

25

45

34

35

48

510

a) Pinta uno de los rectángulos y determina qué fracción de la tira de papelrepresenta.

b) Determina al menos dos fracciones equivalentes a la fracción pintada, realizandonuevos dobleces en la tira y escríbelas en tu cuaderno.

U4 21x27 10/12/08 12:58 Página 109

¿Cómo prefieresentretenerte al salir de la

escuela?

110 Unidad 4

4 Tablas y gráficos

• ¿Qué información entrega la tabla que hizo Manuel?

• ¿Qué indica la primera columna de la tabla?, ¿y la segundacolumna?

• ¿Qué opinas acerca de la cantidad de niños y niñas queprefieren entretenerse haciendo deporte en comparación conlos que prefieren ver televisión?

CONVERSEMOS DE ...

Observa la tabla anterior y responde.1

a) ¿Cuál de las entretenciones es la preferida por los niños y niñas encuestados?, ¿y cuál es

la menos votada?

.

b) ¿Cuántos niños y niñas se entretienen con otras personas, es decir, jugando y haciendo

deporte?

.

Manuel decidió encuestar a los niños y niñas de su escuela. Después,presentará los resultados de su encuesta a sus compañeros y compañerasde curso. Observa.

U4 21x27 10/12/08 12:58 Página 110

Preferencias de actividades pararealizar después de la escuela


Observa el gráfico que hizo Manuel con los resultados de su encuesta y responde entu cuaderno.

2

a) ¿Qué representa la barra azul de este gráfico?, ¿y la naranja?, ¿cómo lo supiste?

b) ¿Qué indica el eje vertical del gráfico?, ¿y cuál es su relación con una recta numérica?

c) ¿Qué elementos del gráfico indican que la entretención preferida por los niños y niñas deeste curso es jugar con los amigos y amigas?

Toma nota

Las tablas de datos permiten organizar la información numérica recogida, porejemplo, a través de una encuesta.Los gráficos de barras permiten representar información numérica en formaclara y ordenada, para comunicarla a otras personas.

TRABAJO EN EQUIPO

En esta actividad deberán realizar una encuesta yorganizar la información en una tabla. Formengrupos de 4 integrantes y sigan las instrucciones.

1. Realicen la misma encuesta que hizo Manuel a un curso de su escuela. Deben presentar,como opciones, los tipos de entretención que aparecen en la tabla de la página 110.

2. Reúnan toda la información recopilada y organicen los resultados en una tabla.

3. Finalmente, formulen algunas conclusiones respecto de la información obtenida ycompártanlas con sus compañeros y compañeras.

Materiales:

• Cuaderno.

• Lápices.

• Regla.

10

20

30

40

50

Cantidad deniños y niñas

Tipos deentretenciónViendo

TVJugando

con amigos y amigas

Escuchandomúsica

Leyendo Haciendodeporte

U4 21x27 10/12/08 12:58 Página 111

73 73

Actividad física realizada en el último mes

112 Unidad 4

4 Interpretación de la informaciónLos niños y niñas del cuarto básico decidieron buscar información acercade la frecuencia con que realizan alguna actividad física las personas ennuestro país. Observa lo que encontraron en Internet.

• ¿Qué representan las barras azules y las moradas en estegráfico?

• ¿En qué años se realizó la investigación?, ¿cómo lo sabes?

• ¿Crees que es importante practicar alguna actividad física?,¿por qué?

CONVERSEMOS DE ...

10

20

30

40

50

60

70

3 o más vecespor semana

1 a 2 vecespor semana

Menos de 4veces en el mes

No practicódeporte en el mes

Cantidadde personas

Frecuencia deactividad física

Fuente: http://www.minsal.cl (consultado en abril de 2008, adaptación).

A partir de la información entregada por el gráfico responde las siguientespreguntas en tu cuaderno.

1

a) ¿A qué conclusión podrías llegar al observar este gráfico, con respecto a la actividad físicade las personas encuestadas?

b) ¿Qué se puede esperar, de acuerdo a la información entregada en el gráfico, respecto a laactividad física de las personas en el futuro? Explica.

9 11 13 13

5 4

20002006

U4 21x27 10/12/08 12:59 Página 112


La siguiente tabla muestra los resultados de una encuesta realizada a losapoderados de un escuela básica. Obsérvala y luego, escribe una si laafirmación es verdadera y una si es falsa.

2

En su hogar, ¿se permite fumar dentro de la casa?

RespuestasCantidad de personas encuestadas

Año 2007 Año 2008

Nunca. 55 65

Sí, en ocasiones especiales. 20 15

Sí, pero algunas personas pueden fumar. 10 5

Sí, está permitido para todas las personas. 20 15

a) La cantidad de encuestados el 2008 es de 100 personas.

b) El año 2007 se encuestaron más personas que el 2008.

c) Tanto en el año 2007 como en el 2008, la mayoría de los encuestados nuncapermitió fumar dentro de la casa.

d) De los encuestados el año 2008, 5 permitieron fumar en su hogar solo a algunaspersonas.

e) La cantidad de personas que permite fumar dentro de la casa disminuyó entre elaño 2007 y el 2008.

f) La diferencia entre los encuestados del año 2007 y del 2008, es de 15 personas.

Inventa 2 preguntas que se puedan responder con la información de la tablaanterior y respóndelas en tu cuaderno.

3

• ¿

?

• ¿

?

• Justifica las falsas en tu cuaderno.

VF

U4 21x27 10/12/08 12:59 Página 113

Estudiantes de cuartos básicos según sexo

114 Unidad 4

4 Construcción de tablas y gráficos

Manuel y Millaray construyeron un gráfico que representa el número deniños y niñas que hay en los cuartos básicos de su escuela. Obsérvalo.

• ¿De qué forma distinguieron las barras que representan a losniños de aquellas que representan a las niñas?

• ¿Cómo graduaron el eje vertical?, ¿por qué crees quedecidieron graduarlo de esta manera?

• ¿Cuántos niños o niñas representan 2 cuadrados del gráfico?,¿cómo lo sabes?

CONVERSEMOS DE ...

Representa en la siguiente tabla los datos del gráfico anterior.1

Curso Cantidad de niños Cantidad de niñas

4º A

4º B

4º C

Cantidadde niñosy niñas

4º A 4º B 4º C

5

10

15

20

25

30

Curso

niñosniñas

• Explica paso a paso cómo lo hiciste.

U4 21x27 10/12/08 12:59 Página 114

Yo en el futuro quiero…


En un curso los alumnos y alumnas hicieron una encuesta entre sus compañeros ycompañeras sobre lo que quieren hacer en el futuro. Observa los resultados queanotaron y completa la tabla.

2

Con los datos de la tabla, completa el siguiente gráfico de barras. Para ello, escogeuna graduación para el eje vertical adecuada a las cantidades que debes representary luego pinta las barras que correspondan.

3


Estudiar en launiversidad

Trabajar Serdeportista

No sabe

• Compara tu gráfico con el de un compañero o compañera.

Estudiar en la universidado en un instituto

Trabajar

Ser deportista

No sabe

Yo en el futuroquiero…

Cantidad de niñosy niñas

Ocupaciones

U4 21x27 10/12/08 12:59 Página 115

Pasajeros escolares que utilizaron elMetro de Santiago

116 Unidad 4

4Millaray y Camila investigaron en Internet la cantidad anual de pasajeros queutilizan el Metro de Santiago. Observa la información que encontraron y respondeen tu cuaderno.

4

Construye un gráfico para comunicar la cantidad de pasajeros escolares queutilizaron el Metro de Santiago los años 2003, 2004 y 2005. Para esto sigue lasinstrucciones.

5

Año Pasajeros comunes Pasajeros escolares

2003 160 747 36 321

2004 182 223 42 587

2005 210 508 48 985

Fuente: http://www.ine.cl (consultado en abril de 2008).

• ¿Qué ha ocurrido con la cantidad de pasajeros comunes y de pasajeros escolares desde el

2003 hasta el 2005?, ¿por qué crees que ha ocurrido esto?

a) Aproxima las cantidades de pasajeros escolares. Decide si las aproximarás a la unidad de

mil o a la decena de mil más cercana. Justifica tu decisión.

b) Escoge una graduación para el eje vertical, de acuerdo a las cantidades aproximadas.

c) Construye el gráfico y compáralo con el de un compañero o compañera.

Cantidad depasajeros

2003 2004 2005Año

U4 21x27 10/12/08 12:59 Página 116


a) ¿Cuál es el deporte preferido por las niñas de este curso?, ¿y por los niños?

b) ¿Cuántas niñas hay en total en este curso?, ¿y niños?

¿CÓMO VOY?


Interpreto información de tablas y gráficos de barras.

Organizo información en tablas de datos.

Dibujo el gráfico correspondiente a un conjunto de datos.


Un curso realizó una encuesta sobre los deportes favoritos de suscompañeros y compañeras. Observa.

Deporte Niños Niñas

1. Cuenta para completar la tabla con los datos anteriores.

2. Construye un gráfico de barras con los deportes preferidos de las niñas en tucuaderno.

3. Responde en tu cuaderno según el gráfico y la tabla anteriores.

FútbolNiños:

Niñas:

BásquetbolNiños:

Niñas:

VoleibolNiños:

Niñas:

OtroNiños:

Niñas:

U4 21x27 10/12/08 12:59 Página 117

Puedo resolver...

118 Unidad 4


Dos buses salieron desde Temuco haciaConcepción desde el mismo punto. La tablamuestra la parte del camino que llevarecorrido cada bus a las 15:30 horas.

Comprender

• ¿Qué sabes del problema?La parte del camino que había recorrido el bus Halcón cuando se detuvo.La parte del camino que había recorrido el bus Cóndor hasta ese momento.


Si el bus Cóndor ya pasó al bus Halcón o no.

Planificar

• ¿Cómo resolver el problema?Hacemos dos rectas numéricas. Una representa la distancia recorrida por el bus Halcón y laotra, la distancia recorrida por el bus Cóndor.

Resolver

Responder

Es posible que el otro bus los ayude pues aún no ha pasado por el lugar.

Revisar

Podemos verificar la solución del problema, representando gráficamente ambas fracciones enrectángulos de papel y comparándolas.

Bus Parte recorridadel camino

Bus Halcón

Bus Cóndor

347

10

Si en ese mismo momento el bus Halcón se detiene debido a un desperfecto; el busCóndor ¿podrá ayudarlo o ya pasó por el lugar?

7

101

13

4

0

0

U4 21x27 10/12/08 12:59 Página 118

Comprender



Planificar


Resolver

Responder

Revisar



2 En tu cuaderno, resuelve el siguiente problema utilizando la estrategia aprendidau otra. Explica paso a paso cómo lo resolviste.

Pablo y Lucía caminan por la misma calle para ir a la escuela. Si comenzaron en el mismo

punto y a Pablo le falta del camino y a Lucía , ¿a quién le falta menos para llegar a la

escuela?

14

15

Competidor 20 segundosde carrera

Camila

Manuel

Camila y Manuel compiten en una carrera. Cada20 segundos se determina qué parte del caminohan avanzado. Según los datos de la tabla, ¿quiénlleva más camino recorrido a los 20 segundos decarrera?

2526

U4 21x27 10/12/08 12:59 Página 119


120 Unidad 4

1 Ubica en la recta numérica los siguientes números mixtos y fracciones. Utilizauna regla para hacer la graduación.

2 Observa los ingredientes de esta receta y luego responde en tu cuaderno.

• ¿Cómo graduaste la recta?, ¿y qué consideraste para hacer la graduación? Explica.

2

6

5

61

3

6

0 21

5

61

3 Observa la siguiente tabla y desarrolla las actividades.

a) ¿Se utiliza más o menos que kg de harina?

b) ¿Se utiliza más harina o maicena?

c) ¿Cuál es el ingrediente que más se ocupa en la receta?

d) ¿Cómo es la cantidad de azúcar y de sal que se ocupa?, ¿por qué?

taza de azúcar12 kg de maicena

14

kg de harina23

23

kg de margarina

cucharada de sal

12

Isla de Pascua

Meses Tº promedio

agosto 18 ºC

septiembre 18 ºC

octubre 19 ºC

noviembre 20 ºC

diciembre 22 ºC

a) Construye en tu cuaderno un gráfico con los

datos anteriores.

b) Inventa 2 preguntas que se puedan contestar

a partir de la información de tu gráfico y

respóndelas.

Fuente: http://www.meteochile.cl/ (consultado en abril de 2008).

13

1

6

U4 21x27 23/12/08 13:02 Página 120


Para no olvidar

Te invitamos a que recuerdes lo más importante que aprendiste en esta unidad y loresumas en un mapa semántico.

Para ello, complétalo con los conceptos que aprendiste en esta unidad.


a) ¿En qué te debes fijar al ubicar fracciones en una recta numérica?

b) ¿Qué harías para determinar entre dos fracciones de igual denominador cuáles la mayor?, ¿y si tienen distinto denominador pero igual numerador?

c) ¿Cuándo dos fracciones son equivalentes? Da un ejemplo.

d) ¿Para qué sirven las tablas de datos?, ¿y los gráficos de barra?

e) ¿Cómo puedes construir un gráfico de barras a partir de la información deuna tabla? Explica los pasos que seguirías para hacerlo.

Nueva información

Tablas y gráficos

Fracciones

U4 21x27 10/12/08 12:59 Página 121

Lo que aprendí

122 Unidad 4

1 Dibuja una recta numérica en tu cuaderno y ubica en ella los siguientes números.

2 Observa los datos de la tabla respecto de las frutas favoritas de niños y niñas dedos cuartos básicos y completa el gráfico de barras.

3 A partir de la información de la tabla y el gráfico que hiciste, responde en tucuaderno.

Frutas Cantidad de niños y niñaspera 12

melón 10

uva 10

kiwi 6

sandía 14


pera melón uva kiwi sandía

a) ¿Cuáles son las dos frutas más elegidas por los niños y niñas de los cuartos básicos

encuestados?

b) ¿Cuántos niños y niñas escogieron el kiwi como su fruta preferida?

Frutas

1

3

2

3

2

31 1 2

• Explica en qué te fijaste para graduar la recta numérica y ubicar cada fracción.

Frutas preferidas por los cuartos básicos

16

14

12

10

8

6

4

2

U4 21x27 10/12/08 12:59 Página 122


4. ¿Cuál de las siguientes fraccioneses menor que ?

A.

B.

C.

D.


¿QUÉ LOGRÉ?


Ubico y represento números y fracciones en la recta numérica.Reconozco fracciones de igual valor.Ordeno y comparo fracciones.Construyo e interpreto información de tablas y gráficos.


• ¿Qué fue lo más difícil?, ¿y qué hiciste para entenderlo?

2. ¿Cuál de los siguientes grupos defracciones está ordenado de mayora menor?

A.

B.

C.

D.

1. ¿Qué fracción se ubica en la

posición que señala el punto rojo?

A.

B.

C.

D.

3. ¿Cuál de las siguientes fraccioneses equivalente a ?

A.

B.

C.

D.

0 1 2 322

25

36

38

34

45

55

310

12

35

1323

2313

1

2

15

35

25

45

37

47

67

77

68

48

38

18

66

56

36

46

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

U4 21x27 10/12/08 12:59 Página 123

124 Unidad 5

UNIDAD

55 NNuueevvaass eessttrraatteeggiiaassppaarraa bbuussccaarriinnffoorrmmaacciióónn

OBSERVA Y COMENTA

• ¿Qué información entregan los números de la imagen?

• ¿Cómo calcularías el dinero que gastaría una persona al mes, sicomprara de lunes a viernes el diario El estratégico?, ¿por qué lo haríasde esa forma?

U5 21x27 10/12/08 15:02 Página 124

125Nuevas estrategias para buscar información

Marca con un la respuesta correcta.1


Te invitamos a...• Manejar el cálculo mental y escrito de productos y cuocientes, incorporando

nuevas estrategias.• Resolver problemas utilizando la combinación de dos o más operaciones y

aplicar la prioridad en las operaciones, según el contexto.• Establecer diferencias y semejanzas entre las características asociadas a las

operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división.

a) Una botella de agua mineral cuesta $ 600. Si una persona quisiera saber cuánto dineronecesita para comprar 2 aguas minerales, ¿cuál de las siguientes operaciones le permitiríaobtener la respuesta?

600 : 2 600 • 2 600 + 2

2 500 : 30 2 500 • 50 2 500 : 50

b) Juan gasta $ 2 500 mensuales en enviar mensajes de texto desde su celular. Si en cadamensaje gasta $ 50, ¿cuál de las siguientes operaciones permitiría saber cuántos mensajesenvía en un mes?

Resuelve utilizando los datos de la imagen.2a) Un joven compra una vez al mes la revista científica Ventana a la ciencia. ¿Cuánto dinero

ha gastado en esta revista, luego de medio año? Explica cómo lo calculaste.

b) Andrés y Pablo quieren comprar una botella de agua mineral en el quiosco, para lo cual,cada uno pagará la mitad del precio. ¿Cuánto dinero deberá pagar cada uno?

U5 21x27 10/12/08 15:02 Página 125

126 Unidad 5

5 Combinaciones multiplicativas básicas

TRABAJO EN EQUIPO

En esta actividad reforzarán, a través de lacreación de un memorice, las combinacionesmultiplicativas básicas. Para ello, formen grupos de4 integrantes y sigan las instrucciones.

Materiales:

• Cartulina.

• Tijeras.

• Plumón.

• ¿Todos los integrantes de tu equipo utilizaron la mismaestrategia para resolver las multiplicaciones?, ¿qué tienen encomún y en qué se diferencian las distintas estrategiasempleadas?

• ¿Observaste multiplicaciones que tuvieran el mismo producto?,¿cuáles?

• ¿Puede un número representarse a través de dosmultiplicaciones diferentes? Da un ejemplo.

CONVERSEMOS DE ...

4. Por turnos, saquen dos tarjetas. Cada vez que alguno de ustedes logre juntar unamultiplicación con su producto, debe guardar esta pareja de tarjetas.

5. Gana quién logre juntar más parejas de multiplicaciones y sus productos.

4 • 3

4 • 4

4 • 5

4 • 6

4 • 7

4 • 8 5 • 9

4 • 9

5 • 3

5 • 5

5 • 6

5 • 7

5 • 8

6 • 3

6 • 6

6 • 7

6 • 8

6 • 9

7 • 3

7 • 7

7 • 8

7 • 9

7 • 10

8 • 3

8 • 8

8 • 9

8 • 10

4 • 10

9 • 3

9 • 9

9 • 10

6 • 10

5 • 10

1. Recorten tarjetas decartulina y escriban enellas las siguientesmultiplicaciones.

2. Resuelvan cadamultiplicación yescriban su productoen una nueva tarjeta.Aunque se repita unresultado, debenvolverlo a escribir.

3. Pongan las tarjetasdesordenadas y bocaabajo sobre la mesa.

U5 21x27 10/12/08 15:02 Página 126


Observa la pareja de tarjetas que juntó Marcela jugando al memorice.2

Resuelve las siguientes multiplicaciones y escribe las divisiones que se puedenrelacionar con cada una de ellas.

3

Carlos jugó con su equipo al memorice. Piensa y responde en tu cuaderno.1

a) Si Carlos sacó la tarjeta con el número 24, ¿qué multiplicación o multiplicaciones lesirven para formar una pareja de tarjetas?

b) Si uno de los compañeros de Carlos saca el número 36, ¿qué multiplicaciones podríaencontrar con ese número como producto?, ¿y si saca el número 12?, ¿cómo losabes?

c) ¿A qué conclusión puedes llegar a partir de lo anterior? Comenta con tus compañerosy compañeras.

• Ella dice que, si se sabe que 6 • 5 = 30, entonces se puede deducir que 30 : 6 = 5 y30 : 5 = 6. ¿Estás de acuerdo con Marcela?, ¿por qué? Comenta con tus compañeros ycompañeras.

DESAFÍO

Inventa un problema que se pueda resolver a través de una multiplicación. Luego, deducelas divisiones respectivas y plantea el problema de tal forma que se deba utilizar alguna delas divisiones para resolverlo.

a) 4 • 6 = : = y : =

b) 9 • 7 = : = y : =

c) 6 • 9 = : = y : =

6 • 5 30

U5 21x27 10/12/08 15:02 Página 127

128 Unidad 5

5 Estrategias de cálculo mental

Observa los pasos de cada estrategia y luego explícaselos a un compañero ocompañera.

1

Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno, utilizando alguna de lasestrategias anteriores.

2

• ¿En qué se parecen las estrategias que proponen Camilo y Sofíapara calcular el precio de 4 historietas?, ¿y en qué sediferencian?

• ¿Cuál de las dos estrategias crees que permite obtener larespuesta correcta?, ¿por qué?

• ¿Cómo lo habrías calculado tú? Explica.

CONVERSEMOS DE ...

a) Si una revista científica cuesta $ 3 200, ¿cuánto se debe pagar por 6 de estas revistas?

b) Si el dueño de un quiosco reúne aproximadamente $ 122 000 diarios, ¿cuánto dineroreúne en 10 días?

• ¿Cuál de las dos estrategias te resultó más fácil de entender y aplicar? Comenta con tuscompañeros y compañeras.

2 100 • 4 =

2 100 • 2 • 2 =

4 200 • 2

Puedescalcularlo así:

2 100 • 4 = 2 100 • 2 • 2

Sofía y Camilo observan las historietas que venden en el quiosco.

8 400

2 100 • 4 =

(2 000 + 100) • 4 =

2 000 • 4 + 100 • 4

8 000 + 400

8 400

Entonces tambiénpodría calcularlo así:2 000 • 4 + 100 • 4

Si quierocomprar 4 historietas

Cómic, ¿cuánto dinerotendría que juntar?

U5 21x27 10/12/08 15:02 Página 128


Camilo desafió a Sofía a resolver rápidamente una multiplicación. Observa.3

Don Mario dividió en dos partes iguales el dinero que recaudó en el día en suquiosco. Observa su estrategia y comenta.

4

a) ¿Qué característica especial tiene el dividendo?

b) ¿Qué pasos se deben seguir al aplicar la estrategia de don Mario?

c) ¿Qué otra estrategia utilizarías para resolver esta división? Comenta.

122 000 : 2 =

100 000 : 2 + 20 000 : 2 + 2 000 : 2 =

50 000 + 10 000 + 1 000 = 61 000

¿CÓMO VOY?


Calculo mentalmente multiplicaciones y divisiones.


1. Resuelve en tu cuaderno, utilizando las estrategias de cálculo mental estudiadas.

a) El papá de Rosa ahorra mensualmente $ 25 000. ¿Cuánto dinero logra ahorrar en6 meses?

b) La biblioteca de una escuela compró dos libros en $ 11 000. Si los libros tenían elmismo precio, ¿cuánto costó cada uno?

24 • 50

120

¿Cómo localculaste tan

rápido?

Multipliqué 24 • 100y como 100 es el doble

de 50, dividí el resultadoen dos.

Sofía calculó mentalmente la multiplicación propuesta de la siguiente manera:

24 • 50 = ? ; 24 • 100 = 240 y 240 : 2 = 120

Aplica la estrategia de Sofía para resolver las siguientes multiplicaciones.

a) 46 • 50 b) 88 • 500 c) 6 420 • 5

U5 21x27 10/12/08 15:02 Página 129

130 Unidad 5

5 Estrategias de multiplicaciónCamilo y Sofía conversan con una de las personas que atienden elalmacén del barrio.

• ¿Qué nueva información podrías descubrir a partir de lasituación anterior?

• ¿Cómo calcularías la cantidad aproximada de personas queentran a la panadería en dos días?

• ¿Qué información se obtiene con la división 570 : 2?, ¿y con570 : 285?, ¿cómo lo sabes?

CONVERSEMOS DE ...

Piensa y responde en tu cuaderno.1

Observa una estrategia para resolver esa multiplicación y luego comenta.2

Resuelve las siguientes multiplicaciones, utilizando la estrategia anterior.3

a) ¿De qué manera desarrollarías la multiplicación 285 • 7? Explícalo paso a paso.

b) ¿Qué información te entrega ese producto?

a) ¿En qué se parece esta estrategia a la que tú propusiste?, ¿y en qué se diferencia?b) ¿De qué manera se considera en esta estrategia el valor posicional de los dígitos?, ¿y en

tu estrategia? Explica.

a) 798 • 6 b) 245 • 5 c) 672 • 7

• Compara tus resultados con los de un compañero o compañera y corrige si encuentraserrores.

Todos los díasentran aproximadamente

285 personas a estealmacén.

285 • 735

560+ 1 400

1 995

U5 21x27 10/12/08 15:02 Página 130


7 543 • 32

6

80

1 000

14 000

90

1 200

15 000

+ 210 000

241 376

Escoge una de las multiplicaciones anteriores e inventa un problema en tu cuadernoque se pueda resolver a través de ella.

4

Observa la siguiente estrategia para resolver multiplicaciones y explícasela a uncompañero o compañera.

5

Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas, utilizando la estrategia queprefieras. Explica paso a paso cómo lo hiciste.

6


a) Observa el factor 32, ¿desde qué cifra se partió multiplicando?, ¿esta cifra ocupa el lugarde las unidades o de las decenas?

b) ¿Es posible obtener el mismo producto si se parte por la cifra que ocupa el lugar de lasdecenas?, ¿por qué? Verifica tu respuesta.

c) ¿En qué situaciones crees que necesitarías utilizar alguna estrategia para calcularmultiplicaciones por escrito? Comenta.

a) En una tienda de alimentos se venden 9 435 productos en un día. ¿Cuántos productosvenden en una semana?

b) Si ahorro mensualmente $ 2 655, ¿cuánto dinero tendré ahorrado luego de 3 años?

c) Ariel calculó que en un día trascurren 86 400 segundos. ¿Estás de acuerdo con él?Comprueba tu respuesta realizando los cálculos necesarios.

2 • 3

2 • 40

2 • 500

2 • 7 000

30 • 3

30 • 40

30 • 500

30 • 7 000

U5 21x27 10/12/08 15:02 Página 131

624 : 5 = 100 + 20 + 4- 500

124- 100

24- 20

4//

132 Unidad 5

5 Estrategias de división

Observa los cálculos que realizó el encargado del teatro y comenta con tuscompañeros y compañeras.

1

a) ¿Qué representa el dividendo en la situación anterior?, ¿y el divisor?, ¿y el resto?b) ¿Qué información entrega el cuociente de esta división?c) ¿Cuántas sillas deberán poner en cada fila del teatro?, ¿podrán poner la misma cantidad

de sillas en cada fila?, ¿por qué?d) ¿Cuántas sillas pondrías tú en cada una de las 5 filas, para que alcancen para todo el

público?e) ¿Qué información te entrega la expresión: 5 • 124 + 4, en esta situación?

Hoy se hanvendido 624 entradas. En la

sala del teatro tenemoscinco filas para ubicar lassillas que ocuparán estas

personas.

El vendedor de entradas del teatro conversa con Camiloy Sofía sobre la gran cantidad de personas que asistendiariamente.

• ¿Qué nueva información podrías descubrir a partir de los datosanteriores?

• ¿Qué procedimiento utilizarías para calcular la cantidad de sillasque es necesario poner en cada una de las filas, de modo quetodas tengan la misma cantidad de sillas y que haya una paracada persona?, ¿podrías realizar alguna operación paraaveriguarlo?

CONVERSEMOS DE ...

124

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Busca un procedimiento para revisar los cálculos que realizó el encargado del teatro.Ayúdate con la calculadora.

2

Resuelve en tu cuaderno el siguiente problema, utilizando la estrategia queprefieras. Explica paso a paso cómo lo hiciste.

3

En una tienda se vende una cocina con un valor de $ 224 852. La forma de pago es en trescuotas precio contado. ¿A cuánto dinero corresponde cada cuota?

¿CÓMO VOY?

1. Resuelve en tu cuaderno las siguientes multiplicaciones, utilizando algúnprocedimiento escrito. Explica cómo lo hiciste en cada caso.

3. Escoge una multiplicación y una división de las anteriores e inventa un problemaque se pueda resolver con cada una de ellas. Escríbelos en tu cuaderno.

a) 8 452 • 23 b) 67 980 • 12


Conozco y aplico estrategias de cálculo escritode multiplicaciones y divisiones.


2. Resuelve en tu cuaderno las siguientes divisiones, estimando los resultados y luego,calcula por escrito el resultado exacto y compáralo con el cuociente estimado.

a) 21 687 : 7 b) 876 435 : 9

Estima la cantidad de veces que “cabe” el divisoren el dividendo para obtener el cuociente.Luego, calcula por escrito el resultado exacto ycompáralo con el cuociente estimado.

4

a) 987 : 5

b) 5 943 : 6

c) 6 348 : 9

Por ejemplo,2 105 : 7;

7 por 300 es 2 100,por lo tanto, el cuociente

estimado es 300.

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134 Unidad 5

5 Operaciones combinadas

• ¿Qué tienen en común ambos procedimientos?, ¿y en qué sediferencian?

• ¿Quién crees que realizó los cálculos correctamente?, ¿por qué?

• ¿Qué ocurre con el resultado al variar el orden de lasoperaciones, en la situación anterior?

CONVERSEMOS DE ...

La mamá de Sofía compra 2 kg de pan y un yogur natural en el almacéndel barrio.

TRABAJO EN EQUIPO

En esta actividad resolverán y analizaránproblemas que combinan operaciones. Reúnanseen grupos de 3 ó 4 integrantes y sigan las instrucciones.

1. Lean las siguientes situaciones y decidan el orden en que se deben realizar los cálculos,de acuerdo al contexto de cada problema. Desarrollen los cálculos en sus cuadernos.

a) La expresión 3 • 20 : 4 permite encontrar la solución de la siguiente situación: laabuelita le trajo a sus 4 nietos 3 cajas con 20 dulces cada una. Si la reparten enpartes iguales, ¿cuántos le tocan a cada uno?

b) La expresión 5 000 – 1 350 • 3 deriva de la siguiente situación: Jaime compró3 mazos de cartas a $ 1 350 cada uno. Si pagó con un billete de $ 5 000, ¿cuántorecibió de vuelto?

2. Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y compañeras.

Materiales:

• Lápiz y papel.

365 + 990 = 1 355y 1 355 • 2 = 2 710

Todo cuesta $ 2 710.2 • 990 = 1 980

y 1 980 + 365 = 2 345

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Toma nota

Al resolver problemas y ejercicios en que se combinan adiciones,sustracciones, multiplicaciones y divisiones, es necesario seguir el siguienteorden:1º Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.2º Adiciones y sustracciones, de izquierda a derecha.

Resuelve los siguientes ejercicios con la calculadora, utilizando el orden de lasoperaciones mencionado.

1

La siguiente tabla muestra el consumo de energía eléctrica de algunos artefactos.Obsérvala y comenta.

2

Plantea la secuencia de operaciones que se deben realizar para resolver cadaproblema, y luego resuélvelos en tu cuaderno.

3

a) 2 560 • 11 + 2 900 – 1 500 c) 121 453 • 3 – 870 : 5

b) 8 966 : 2 – 345 • 2 d) 45 000 : 15 + 123 • 12

• Compara tus resultados con los de tus compañeros y compañeras.

a) ¿Qué información te entrega esta tabla?

b) ¿Qué preguntas podrías plantear a partirde la información de la tabla? Planteados.

c) ¿De qué forma crees que puedes utilizaresta información en tu vida diaria?

a) Pablo ocupa el computador todos los días durante 2 horas en la mañana y el televisor4 horas en la tarde. ¿Cuál es el consumo total del computador en un día?

b) La familia Rojas quiere ahorrar energía, para eso restringió el uso de la lavadora de12 horas semanales a 8 horas. ¿Cuál es la diferencia entre el consumo antes de iniciar sucampaña de ahorro y el actual?

Artefactos eléctricos Consumo de watts(por hora)

Televisor 50

Lavadora 800

Microondas 1 200

Refrigerador 575

Computador 150

Fuente: http://www.paritarios.cl/especial_consumo_electricidad_hogar.htm (consultado en abril de 2008).

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136 Unidad 5

5Resuelve los siguientes ejercicios combinados, resolviendo primero los paréntesis.Ayúdate con la calculadora.

4

Resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno y responde.5

a) (45 + 38) • (48 – 12) c) (230 000 – 150 000) : 2

b) 3 • (20 • 5 – 4 • 12) d) (90 + 1 600) • 7

• Compara tus resultados con los de tus compañeros y compañeras.

a) ¿Hay alguna diferencia en los resultados de los ejercicios anteriores?, ¿por qué?

b) Ana compró 5 revistas a $ 2 500 cada una y 5 paquetes de gallletas a $ 300 cada uno.¿Cuál de los ejercicios anteriores le permite saber el precio total de su compra?, ¿cómo losabes?

c) Pedro compró 5 revistas a $ 2 500 cada una y un paquete de gallletas a $ 300. ¿Cuál delos ejercicios le permite saber el precio total de su compra?, ¿cómo lo sabes?

Toma nota

Al resolver ejercicios combinados en los cuales hay paréntesis, primero sedebe resolver lo que hay dentro de cada paréntesis. Por ejemplo:

5 • 2 500 + 300 5 • (2 500 + 300)

(25 + 5) : (20 – 17)

30 : 3

10

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Escoge la frase numérica que mejor represente la siguiente situación y comenta contus compañeros y compañeras.

6

El papá de Juan tiene dos cajones de tomates, uno con 15 kg y el otro con 21 kg.Quiere repartirlos en bandejas de 3 kg cada una. ¿Cuántas bandejas puede llenar?

(15 + 21) : 3 15 + 21 : 3

DESAFÍO

Inventa un problema que se deba resolver aplicando las cuatro operaciones y cuyoresultado esté entre 15 000 y 20 000.

¿CÓMO VOY?

1. Lee el siguiente problema y realiza las actividades en tu cuaderno.

2. En tu cuaderno, inventa un problema a partir de cada una de las siguientesexpresiones y resuélvelo.

a) Plantea la secuencia de operaciones que se debe realizar para resolverlo y explicapor qué se deben realizar en ese orden.

b) Resuelve el problema y revisa tu resultado usando la calculadora.


Planteo las operaciones necesarias para resolver un problema.Conozco y aplico el orden entre las operaciones al resolverproblemas que combinan más de una operación.


Daniela compró 4 revistas con fotos de su artista favorito. Las pagó con 3 billetes de$ 2 000 y recibió de vuelto $ 1 380. Si cada revista tenía el mismo precio, ¿cuántocostó cada revista?

420 + 8 • 38 (420 + 8) • 38

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138 Unidad 5

5 Relación entre las operacionesadición y sustracción

• ¿Qué operación tienes que realizar para responder lapregunta de Sofía?, ¿y la pregunta de Carlos?

• ¿Qué operaciones te permiten comprobar los resultados encada una de las situaciones anteriores?

• ¿Qué relación observas entre las situaciones planteadas porSofía y Carlos?

• ¿En qué otras situaciones se podrá observar esta mismarelación?

CONVERSEMOS DE ...

Carlos y Sofía van de compras al almacén del barrio.

En las siguientes situaciones, pinta la operación que te ayude a comprobar que loscálculos han sido realizados correctamente.

1

a) Los niños y niñas de un grupo scout están juntando dinero para asistir al teatro. El díasábado juntaron $ 20 000 y el día miércoles juntaron $ 6 500. Ellos calcularon que entotal reunieron $ 26 500.

b) La familia Ortiz pagó las entradas para una función de teatro con $ 25 000 y recibióde vuelto $ 4 000. Ellos calcularon que las entradas les costaron, en total, $ 21 000.

• Explica en tu cuaderno cómo realizarías la comprobación y comenta con tuscompañeros y compañeras.

adición divisiónsustracción multiplicación

adición divisiónsustracción multiplicación

Si gasté$ 2 340 y me dieron de

vuelto $ 660, ¿con cuántopagué?

Si gasté$ 2 340 y voy a pagar con

$ 3 000, ¿cuánto me tienenque dar de vuelto?

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Toma nota

Cuando se resuelve un problema a través de una adición es posiblecomprobar los cálculos a través de una sustracción. Del mismo modo, cuandose resuelve un problema a través de una sustracción, es posible comprobarlos resultados mediante una adición. Por ejemplo, podemos comprobar elresultado de la adición 55 + 21 = 76 a través de la sustracción 76 – 55 = 21 ó 76 – 21 = 55.Esto ocurre porque la adición es la operación inversa de la sustracción.

TRABAJO EN EQUIPO

En esta actividad reforzarán, a través de lacreación de problemas, la relación inversa entre laadición y la sustracción. Reúnanse en grupos de3 ó 4 integrantes y sigan las instrucciones.

1. Creen un problema que se resuelva con una adición y escríbanlo en sus cuadernos.

2. Utilizando los datos del problema que crearon, planteen la situación contraria que seresuelva a través de una sustracción.

3. Compartan los problemas que crearon con sus compañeros y compañeras.

Materiales:


• Lápiz.

Juan calculó que si paga una entrada al cine que cuesta $ 2 500 con $ 3 000, deberecibir $ 500 pesos de vuelto. Camila le dice que para comprobar sus cálculos deberealizar la adición 3 000 + 500. ¿Está en lo correcto?, ¿por qué?

2

Redondea los datos de los siguientes problemas para estimar su resultado ycompruébalos en tu cuaderno.

3

a) La granja educativa recibió 6 682 visitantes el fin de semana y 4 980 de lunes aviernes. ¿Cuál es la diferencia entre la cantidad de personas que asistieron el fin desemana y de lunes a viernes?

b) Un bus debía cancelar dos peajes durante su viaje, uno de ellos costaba $ 3 800 y elotro $ 1 400. Si el chofer llevaba $ 11 950 para los gastos de peaje, ¿cuánto dinero lesobró?

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140 Unidad 5

5 Relación entre las operacionesmultiplicación y división

Don Ariel cuenta el dinero reunidocon las ventas en su quiosco.

• ¿Cuánto dinero recaudó don Ariel en billetes de $ 20 000?, ¿y de $ 5 000?, ¿y de $ 1 000?

• ¿Qué operación u operaciones utilizaste para realizar loscálculos anteriores?, ¿por qué?

• ¿Qué operación u operaciones utilizarías para comprobartus cálculos?, ¿por qué?

CONVERSEMOS DE ...

Toma nota

Cuando se resuelve un problema a través de una multiplicación es posiblecomprobar los cálculos a través de una división. Esto ocurre porque la divisiónes la operación inversa de la multiplicación. Por ejemplo, podemos comprobarla multiplicación 3 · 10 = 30 a través de la división 30 : 10 = 3 ó 30 : 3 = 10.

Indica en cada situación la operación que usarías para comprobar y explica por qué.1

a) Andrea calculó que para hacer 5 pulseras necesitaría 740 mostacillas, porque cadauna lleva 148 mostacillas.

b) Un jarro puede llegar a contener 3 litros de jugo, por lo que 5 de estos mismos jarrospueden llegar a contener 15 litros de jugo.

4 billetes de $ 20 000,7 billetes de $ 5 000,10 billetes de $ 1 000

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Lee cada situación y responde en tu cuaderno.2

a) Susana quiere 4 paquetes de galletas para repartir entre sus amigos. Ella calcula quenecesita $ 480 ya que cada paquete cuesta $ 120.

• ¿Cómo crees que calculó Susana cuánto debía pagar en total por los 4 paquetes degalletas?

• Carlos dice que para comprobar sus cálculos, Susana debe realizar la división480 : 120 y así podrá saber exactamente cuántos paquetes de galletas se puedencomprar con $ 480. ¿Estás de acuerdo con Carlos?, ¿por qué?

b) Pedro tiene $ 420 y calcula que le alcanza para comprar 8 alfajores, pues cada unocuesta $ 50, y le sobrarán $ 20.

• ¿Cómo comprobarías los cálculos que realizó Pedro?

• Pablo dice que para comprobar sus cálculos, Pedro solo debe realizar lamultiplicación 8 • 50. Ana le dice que debe realizar la multiplicación 8 • 50 y a eseproducto sumarle 20, y así podrá saber si realizó los cálculos correctamente.

- ¿En qué se diferencian los procedimientos propuestos por Pablo y Ana?

- ¿Cuál de estos procedimientos crees que permite comprobar exactamente loscálculos que realizó Pedro?, ¿por qué?

Resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno y luego compruébalos. Explica encada caso cómo realizaste la comprobación.

3

Toma nota

Cuando resolvemos una división podemos comprobar los cálculos multiplicandoel cuociente por el divisor, siempre que se trate de una división con resto 0. En el caso de las divisiones con resto distinto de 0 podemos comprobar loscálculos multiplicando el cuociente por el divisor y sumándole el resto. Porejemplo, para comprobar la división 15 : 2 = 7 podemos calcular (7 · 2) + 1 = 15.

1

a) 7 891 • 5 d) 7 492 : 2 g) 985 : 2

b) 654 • 13 e) 374 : 3 h) 2 263 : 3

c) 12 987 • 21 f) 1 524 : 6 i) 98 456 : 6

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142 Unidad 5

5 Multiplicación como adición iterada y divisióncomo sustracción iteradaDoña María, don Alonso y don Carlosatienden en el almacéndel barrio.

• ¿Quién realizó los cálculos correctamente?, ¿cómo losabes?

• ¿Cómo habrías calculado tú la cantidad de huevos que sedeben poner en cada canasto?, ¿por qué?, ¿y cómopodrías comprobar tus cálculos?

• ¿Qué significa el resultado de la adición 4 + 4 + 4 en elcontexto de la situación anterior?

• ¿Qué puedes concluir respecto de la relación entre laadición y la multiplicación?, ¿y entre la sustracción y ladivisión?

CONVERSEMOS DE ...

Toma nota

Es posible calcular el resultado de una multiplicación mediante una adicióniterada. Observa.

3 · 5 = 15 5 + 5 + 5 = 15

Así mismo, es posible calcular el resultado de una división realizando restassucesivas o iteradas al minuendo. Por ejemplo:

15 : 5 = 3 15 – 5 – 5 – 5 = 0

Quiero 12 huevos,repartidos en partes

iguales en 3 canastos.

12 : 3 = 412 – 3 = 9, 9 – 3 = 6,6 – 3 = 3 y 3 – 3 = 0

Tengo que poner 4 huevosen cada canasto.

¿3 • = 12?,¡3 • 4 = 12!

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a) Pablo ha recaudado $ 18 000 por vender cajas de chocolates en el colegio. Si cadacaja la vendió a $ 3 000. ¿Cuántas cajas de chocolates vendió?

b) Javier se dedica a vender helados en las tardes. En su refrigerador colocó 5 bandejascon la misma cantidad de helados en cada una. Si en total puso 25 helados, ¿cuántoshelados puso en cada bandeja?


Resuelve los siguientes problemas, utilizando el procedimiento de la división comosustracción reiterada, que usó doña María.

1

Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas, utilizando una adición iterada yluego una multiplicación.

2

Lee y resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno, utilizando el procedimientoque prefieras.

3

a) Andrés repartió una cantidad de kilogramos de tomates en 4 cajas. Si en cada cajapuso 17 kg de tomates, ¿cuántos kilogramos de tomates repartió en total?

b) La biblioteca de una escuela presta alrededor de 120 libros al mes. Si esto fuese asídurante todo el año, ¿cuántos libros prestaría, aproximadamente, en un año?

a) Una caja de hamburguesas trae 12 unidades.

• ¿Cuántas hamburguesas se necesitan para completar 9 cajas?

• Si un negocio vende alrededor de 300 hamburguesas al mes, ¿cuántas cajas dehamburguesas necesita al mes?, ¿y en un año?

b) Una panadería envasa queques en bandejas de 8 unidades.

• Si en un día envasaron 32 queques, ¿cuántas bandejas ocuparon?

• Si en un mes envasan alrededor de 1 000 queques, ¿cuántos queques envasanaproximadamente al año?, ¿y cuántas bandejas necesitan para ello?

• Compara tus procedimientos y respuestas con las de tus compañeros y compañeras.

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144 Unidad 5

5 Propiedades de las operacionesConmutatividad y asociatividad en la adicióny en la multiplicaciónDoña Rosa y don Felipe compran en el supermercado los mismos productos.

• ¿Quién pagó más por el pan y la caja de leche?, ¿cómo losabes?

• ¿Qué tienen en común y en qué se diferencian lasadiciones 780 + 640 y 640 + 780?, ¿y cómo son susresultados?, ¿por qué?

CONVERSEMOS DE ...

Resuelve con calculadora las siguientes adiciones y multiplicaciones y pinta delmismo color las que tengan el mismo resultado.

2

Juan y Andrea compraron en el supermercado cajas con chocolates. La de Juan tiene4 bolsas con 10 chocolates en cada una y la de Andrea tiene 10 bolsas con4 chocolates en cada una. ¿Quién tiene más chocolates en su caja?, ¿cómo lo sabes?

1

Después de realizar los ejercicios anteriores, ¿qué puedes concluir? Comenta.3

689 999 + 167 890 78 556 + 477 835 21 • 13 102

68 978 • 14 477 835 + 78 556

14 • 68 978 13 102 • 21 167 890 + 689 999

Son $ 780 depan más $ 640por la caja de

leche.

Son $ 640por la caja de leche

más $ 780de pan.

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Javier compró 3 revistas. Si en cada revista venían 2 páginas con 9 autoadhesivoscada una, ¿cómo calcularías cuántos autoadhesivos hay en total?

4

Observa cómo lo calcularíanJavier y Francisca y luegoresponde en tu cuaderno.

a) ¿Qué resultado se obtiene con elprocedimiento de Javier?, ¿y con elde Francisca?, ¿por qué?

b) Si los precios de las revistas que compró Javier son $ 340, $ 500 y $ 120, ¿cómocalcularías cuánto pagó en total por las 3 revistas?

c) Si Javier calculó el precio total de las 3 revistas así: (340 + 500) + 120 y Francisca leayudó, calculándolo así: 340 + (500 + 120), ¿quién hizo correctamente los cálculos?,¿por qué?

Toma nota

La multiplicación y la adición cumplen con la propiedad conmutativa. En unaadición, al cambiar el orden de los sumandos, el resultado no cambia y enuna multiplicación, al cambiar el orden de los factores, el resultado nocambia.La sustracción y la división no cumplen con la propiedad conmutativa.Además, la multiplicación y la adición cumplen con la propiedad asociativa.En una adición, al agrupar los sumandos de distinta manera, el resultado nocambia y en una multiplicación, al agrupar los factores de distinta manera,el resultado no cambia.

TRABAJO EN EQUIPO

En esta actividad, verificarán si la sustracción y ladivisión cumplen con las propiedades queaprendieron. Reúnanse en grupos de 3 integrantesy sigan las instrucciones.

1. Verifiquen si la sustracción y la división cumplen con las propiedades conmutativa yasociativa planteando ejemplos y usando la calculadora para realizar los cálculos.

2. Formulen conclusiones respecto de cuáles son las operaciones que cumplen con lapropiedad conmutativa y asociativa, y cuáles no.

Materiales:


• Lápiz.

• Calculadora.

3 • (2 • 9) (3 • 2) • 9

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146 Unidad 5

5 Propiedades de las operacionesEl 0 y el 1 en las operaciones

TRABAJO EN EQUIPO

En esta actividad deberán explorar situacionesrelacionadas con la intervención del 0 y el 1 en lasoperaciones estudiadas. Reúnanse en grupos de3 integrantes y sigan las instrucciones.

1. Utilizando la calculadora, busquen el número que se debe multiplicar por cualquierotro número natural para obtener siempre como producto cero. ¿Qué número es?Escriban en la hoja de cuaderno 3 ejemplos.

2. Ahora, busquen el número por el que se debe multiplicar cualquier número natural,para obtener siempre este último. ¿Qué número es? Escriban 3 ejemplos.

3. Busquen el número por el que se debe dividir cualquier otro número, para que elcuociente sea igual al dividendo. ¿Qué número es? Escriban 3 ejemplos.

4. Busquen el número que se puede restar o sumar a cualquier otro número, paraobtener siempre este último. Escriban 3 ejemplos.

5. Utilizando la calculadora, determinen lo que ocurre al dividir un número por 0 yescriban una conclusión al respecto en la hoja de cuaderno.

Materiales:


• Calculadora.

• Lápiz.

• ¿Qué ocurre al multiplicar cualquier número natural por 0?

• ¿Qué ocurre cuando divides o multiplicas un númeronatural cualquiera por 1?

• ¿Qué ocurre al sumar o restar 0 a cualquier númeronatural?, ¿por qué?

• ¿Es posible dividir un número por 0?, ¿por qué?

CONVERSEMOS DE ...

Calcula mentalmente los resultados de los siguientes ejercicios.1

Escribe en tu cuaderno un problema para cada uno de los ejercicios de la actividadanterior.

2

a) 0 + 992 549 c) 634 701 : 1 e) 545 224 • 0

b) 888 524 • 1 d) 260 754 – 0 f) 0 • 1 000 000

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¿CÓMO VOY?

1. Pinta la operación que te permite comprobar los resultados en cada caso.

2. Sin calcular, une las expresiones que tienen el mismo resultado y explica en tucuaderno cómo lo supiste.

3. Completa las siguientes multiplicaciones y división.

a) 390 + 560 = 950

b) 8 000 : 4 = 2 000


Conozco la relación entre la adición y la sustracción, y entre lamultiplicación y la división, y la aplico al comprobar resultados.

Asocio la adición iterada con la multiplicación y la sustraccióniterada con la división.

Conozco y aplico las propiedades de las operaciones.

Identifico lo que ocurre cuando interviene el 0 y el 1 en lasoperaciones estudiadas.


950 + 560

4 • 200

950 – 390 950 : 390

2 000 + 8 000 2 000 • 4

Toma nota

Al multiplicar un número natural cualquiera por 1, el producto es el mismonúmero.Al multiplicar un número natural cualquiera por 0, el producto es 0.Al dividir un número natural cualquiera por 1, el cuociente es el mismo número.La división de un número por 0 no existe.

a) 8 999 • = 0 b) 97 443 • = 97 443 c) 6 104 : = 6 104

2 • (500 • 40)

900 + (7 020 • 60)

200 • 17

(2 • 500) • 40

25 000 + 99 000

17 • 200

(900 + 7 020) + 60

99 000 + 25 000

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Puedo resolver...

148 Unidad 5


Sara compró 16 choclos que repartirá, en cantidades iguales, en 4 ollas paracocerlos. Si cada choclo pesa aproximadamente 200 gramos. ¿Cuántos gramos dechoclo tendrá cada olla?

Comprender

• ¿Qué sabes del problema?La cantidad de choclos que compró Sara.La cantidad de ollas en que quiere repartir los choclos.El peso aproximado de cada choclo.

• ¿Qué debes encontrar?El peso, en gramos, de choclo que tendrá cada olla.

Planificar

• ¿Cómo resolver el problema?Planteamos la combinación de operaciones que permiten resolver el problema ydeterminamos el orden en que realizaremos los cálculos, según el contexto delproblema. Primero, calculamos la cantidad de choclos que tendrá cada olla y luegocalculamos el peso en gramos de choclo que tendrá cada una.

Resolver

ResponderCada olla tendrá 800 gramos de choclo.

RevisarPodemos resolver el problema de otra forma. Calculamos el peso total en gramos de los16 choclos y luego este peso lo dividimos en partes iguales en las 4 ollas.

(16 : 4) • 200

4 • 200

800

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Comprender



Planificar


Resolver

Responder

Revisar



En el almacén del barrio había un oferta: dos leches con chocolate a $ 450. Andreaquiere comprar 4 leches con chocolate y además dos cajas de cereal a $ 992 cadauna. ¿Le alcanzará con $ 3 000?

2 En tu cuaderno, resuelve el siguiente problema utilizando la estrategia quequieras. Explica paso a paso cómo lo resolviste.

Camilo nació en 1997. Su hermano Pablo es 4 años mayor que él.¿Qué edad tiene Pablo?

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a) Felipe utilizó 6 bandejas para distribuir las empanadas de queso que compró. Sicolocó 12 empanadas en cada bandeja, ¿con qué operación puedes calcular eltotal de empanadas que tiene Felipe?, ¿cómo puedes comprobar tus cálculos?

b) Tenía 240 láminas y perdí algunas. Ahora tengo 189. ¿Cómo puedo saber cuántasláminas perdí?, ¿y cómo puedo comprobar mis cálculos?


150 Unidad 5

1 Completa los siguientes procedimientos.

2 Resuelve los siguientes ejercicios, respetando los paréntesis y el orden de lasoperaciones.

• Explica en tu cuaderno la estrategia que se utilizó en cada caso.

3 Responde.

a) 31 346 + 54 603 • 1 – 30 143

b) 1 000 000 : 1 – 180 942 • 0

c) 765 • (13 – 7)

d) 410 • (1 + 98 : 2)

• Elige uno de los ejercicios anteriores e inventa un problema que se pueda resolver através de él.

a) b) 679 : 4 =

– 400

279– 240

39– 36

126 • 23

1860

120400

+//

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Para no olvidar

Te invitamos a recordar lo más importante que aprendiste en esta unidad y loresumas en un organizador gráfico, llamado esquema.

Completa el siguiente esquema, escribiendo los nombres de las operacionesaritméticas que estudiaste en esta unidad donde corresponda.


a) ¿En qué te debes fijar al resolver un ejercicio que involucre operacionescombinadas?

b) ¿Cómo se relacionan las operaciones de multiplicación y división?

c) ¿Cómo se relacionan las operaciones de adición y multiplicación?

d) ¿Qué conceptos nuevos aprendiste en esta unidad?, ¿y para qué crees quete servirán?

Operaciones aritméticas

Cálculo mental Cálculo escrito

Sustraccióniterada

Propiedadconmutativa

Propiedadasociativa

Adicióniterada

Operacionescombinadas

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Lo que aprendí

152 Unidad 5

1 Calcula mentalmente los siguientes ejercicios y únelos con su resultado.

2 Calcula, utilizando alguna estrategia de cálculo escrito. Explica cómo realizastelos cálculos en tu cuaderno.

3 Lee y pinta la expresión que corresponda. Luego, resuelve el problema.

4 Piensa y responde en tu cuaderno.

5 Resuelve en tu cuaderno.Paulina cortó 360 flores de su invernadero. Vendió 20 ramos con 6 flores cada uno.Las flores que le quedaron, las repartió en partes iguales en 20 floreros. ¿Cuántasflores puso en cada florero?

a) 3 654 • 15 b) 129 843 • 9 c) 7 824 : 4 d) 94 756 : 3

Felipe ha comprado 7 bolsas de dulces con 50 dulces en cada una. Si los dulces serepartieron en partes iguales entre 10 niños, ¿qué expresión permite determinar lacantidad de dulces que recibió cada niño?

a) Si sabemos que 17 • 7 es 119, ¿cuál es el resultado de 119 : 7?, ¿cómo lo sabes?

b) Juan calculó que el cuociente de la división 24 647 : 12 es 2 053 y el resto es 11.¿Cómo puede comprobar su resultado?

c) ¿Por qué número se debe multiplicar o dividir un número cualquiera para obtenersiempre este último?

d) ¿Qué número al ser multiplicado por cualquier otro da como resultado 0?

e) ¿Qué número al ser restado a cualquier otro da como resultado el minuendo?

2 200 • 4

47 • 50

432 000 : 2

86 400 : 2

8 800

43 200

216 000

2 350

(7 • 10) : 50 (7 • 50) : 10 (50 • 10) : 7

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4. ¿En cuál de las siguientes parejasde multiplicaciones, ambosproductos son iguales a 24?

A. 2 • 6 y 4 • 20.

B. 3 • 7 y 3 • 1.

C. 6 • 4 y 3 • 8.

D. 8 • 4 y 12 • 3.

2. Sin calcular, ¿cuál de las siguientesmultiplicaciones tiene el mismoresultado que 56 • (12 • 90)?

A. 56 • (12 • 9)

B. (56 • 12) • 90

C. (90 • 56) • 120

D. 56 • (12 • 900)

1. Ana tiene un billete de $ 2 000 y4 billetes de $ 1 000. ¿Quésecuencia de operaciones permitesaber la cantidad total de dineroque tiene?

A. (4 + 1) • 1 000

B. (4 • 1 000) + (4 • 2 000)

C. (4 • 1 000) + 2 000

D. (1 000 + 2 000) • 4

3. Si compro la oferta del recuadro,¿cuánto dinero estoy ahorrandoen la compra?

A. $ 333

B. $ 999

C. $ 1 998

D. $ 2 997

ARROZ a $ 999

“Pague 2 y lleve 3”

¿QUÉ LOGRÉ?


Manejo estrategias de cálculo mental y escrito de productosy cuocientes.Resuelvo problemas aplicando la prioridad en las operaciones.Conozco la relación entre las operaciones y la aplico paracomprobar cálculos. Conozco las características de las operaciones y establezcodiferencias y semejanzas entre ellas.


• ¿Qué fue lo más difícil?, ¿y qué hiciste para superarlo?

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154 Unidad 6

UNIDAD

66 CCuueerrppooss ggeeoommééttrriiccoossyy ttrraayyeeccttoorriiaass

OBSERVA Y COMENTA

• ¿Conoces alguna plaza que esté cerca de tu casa o de tu escuela?,¿qué actividades puedes realizar en ella?

• ¿Qué objetos de la lámina tienen una forma parecida a la de algúncuerpo geométrico que tú conozcas?

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155Cuerpos geométricos y trayectorias

Une con una línea cada objeto con el cuerpo geométrico al que se parece. Luegoresponde en tu cuaderno.

1

Observa el siguiente plano y describe el recorrido que seguirías para ir desde elalmacén hasta la plaza.

2


Te invitamos a...• Identificar, caracterizar y dibujar conos y cilindros.

• Comparar conos y cilindros con prismas y pirámides.

• Identificar y describir representaciones de cuerpos geométricos.

• Armar conos y cilindros en base a sus redes.

• Describir y elaborar representaciones de trayectos y posiciones de objetos.

• ¿En qué te fijaste para relacionar los objetos con los cuerpos geométricos? Explica.

LOS ARÁNDANOS

LOS OLMOS

LOS

PL

ÁT

AN

OS

LOS

CE

RE

ZO

S

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156 Unidad 6

6 Caracterización de cilindros y conos

Los fines de semana, los niños y niñas del barrio de Carlos se reúnen enla plaza a jugar.

• ¿Qué objetos de la imagen tienen forma parecida a la dealgún cuerpo geométrico redondo?, ¿cómo lo sabes?

• ¿Qué objetos tiene una forma similar a un cilindro?, ¿y a uncono?

• ¿Qué otro cuerpo geométrico redondo conoces?

CONVERSEMOS DE ...

Toma nota

El cilindro, el cono y la esfera, son cuerpos redondos ya que parte de susuperficie es curva. En cambio, los cuerpos como el prisma y la pirámide, soncuerpos poliedros, ya quetodas sus caras son planas.

Utiliza el material recortable de la página 187 para armar un cono y un cilindro yluego descríbelos en tu cuaderno. Ayúdate con los conceptos de los recuadros.

1

• ¿En qué se parecen las formas del cono y el cilindro?, ¿y en qué se diferencian?Comenta con tus compañeros y compañeras.

caras cúspide base curva plana

cúspide

base

bases

CONO CILINDRO

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Observa cada cono y cilindro y pinta del mismo color las redes que sirven paraarmarlos.

2

a) ¿En qué se diferencian las bases del cilindro azul y del cilindro verde?, ¿y en qué sediferencian las redes de estos cilindros?

b) ¿En qué se diferencian el cono amarillo y el rojo?, ¿y en qué se diferencian susrespectivas redes?

c) ¿Qué objetos tienen una forma parecida a los cilindros y conos anteriores?

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158 Unidad 6

6 Cilindros, conos, prismas rectos y pirámides

Observa los siguientes cuerpos y responde.1

a) Encierra con color rojo los cuerpos geométricos que tengan dos bases paralelas.

b) Encierra con color azul los cuerpos geométricos que tengan solo una base.

A final de año, los niños y niñas del barrio de Carlos intercambianregalos para lo que crean ingeniosos paquetes de regalo.

• ¿En qué se parecen todos los paquetes de regalo anteriores?,¿y en qué se diferencian?

• ¿Cuál es el regalo que le tocó a Carlos?, ¿y a Daniela?,¿cómo lo supiste?

CONVERSEMOS DE ...

El paquetecon el regalo

que le tocó a Carlostiene dos bases

circulares.

El paquetecon el regalo que letocó a Daniela tiene

caras lateralesrectangulares.

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Completa la siguiente tabla, comparando cada pareja de cuerpos.2

Semejanzas Diferencias

• ¿En qué te fijaste al comparar los cuerpos anteriores? Comenta.

¿CÓMO VOY?

1. Une cada cuerpo con la descripción que le corresponde.


Conozco las características de los conos y cilindros.

Conozco diferencias y semejanzas entre conos, cilindros, prismasy pirámides.


2. Responde en tu cuaderno.

a) ¿En qué se parecen un prisma y un cilindro?, ¿y en qué se diferencian?

b) ¿En qué se parecen una pirámide y un cono?, ¿y en qué se diferencian?

Dos bases iguales, paralelas y circulares.

Caras triangulares y una base triangular.

Dos bases cuadradas y caras rectangulares.

Solo una base circular.

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160 Unidad 6

6 Representaciones planas de cuerpos geométricos

A Mario le encanta dibujar. Antes de abrir su regalo lo dibujó en unahoja.

• ¿En qué crees que se fijó Mario al hacer su dibujo?

• ¿Qué forma tiene el dibujo que hizo Mario?, ¿cómo lo sabes?

CONVERSEMOS DE ...

Observa con atención el dibujo que hizo Mario y sigue las instrucciones.1a) Cópialo en la cuadrícula.

b) Amplía este dibujo al doble y explica paso a paso cómo lo hiciste.

c) Compara tus dibujos con los de tus compañeros y compañeras.

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Une cada cuerpo con el dibujo del cuerpo geométrico al que se parece y luegoresponde, en tu cuaderno.

2

a) ¿Cómo se llaman los cuerpos geométricos dibujados?

b) ¿En qué se parecen el dibujo del cuerpo geométrico que representa la lata de bebida y elque representa el tarro de pintura?, ¿y en qué se diferencian?

Dibuja en tu cuaderno el cuerpo geométrico que mejor representa a cada uno de lossiguientes objetos y explica cómo lo hiciste.

3

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162 Unidad 6

6 Diferentes puntos de vista

• ¿A qué cuerpo geométrico se parece cada palo de madera deljuego que observa Mario?, ¿por qué?

• Mario dice que ve varios círculos, ¿es esto posible?, ¿por qué?

CONVERSEMOS DE ...

En la plaza, Mario observa los palos que forman uno de los juegos.Observa lo que descubrió.

a) ¿Cómo se ve el cilindro si lo miras desde arriba?, ¿y el cono?

.

b) ¿Cómo se ve el cilindro si lo miras desde un lado?, ¿y el cono?

.

c) ¿Cómo se vería el cilindro si lo miras desde abajo?, ¿y el cono?, ¿por qué?

d) ¿Por qué al observar un cuerpo geométrico desde diferentes posiciones a veces noobservamos lo mismo?

Toma el cono y el cilindro que armaste para la actividad 1 de la página 156 yapóyalos en tu escritorio sobre su base. Obsérvalos y responde.

1


Almirar los palos

de madera desde aquí,veo varioscírculos.

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Daniela hizo el siguiente dibujo de un cuerpo geométrico. Obsérvalo y responde.2

a) ¿Qué cuerpo geométrico crees que estaba observando Daniela?, ¿por qué?

b) ¿Desde qué posición crees que Daniela miraba el cuerpo geométrico para hacer eldibujo?

c) ¿Puede un cuerpo geométrico verse de la misma forma al mirarlo desde arriba o desdeabajo? Da un ejemplo.

d) ¿Pueden dos cuerpos geométricos distintos verse de la misma forma mirados desdeabajo? Da un ejemplo.


Observa cada dibujo, determina a qué cuerpo o cuerpos pueden corresponder ydesde qué posición fueron vistos. Escribe tus respuestas en tu cuaderno.

3

Observa el cono y el cilindro que armaste para la actividad 1 de la página 156 ydibújalos en tu cuaderno, primero mirados desde abajo y luego, mirados desde unlado.

4

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164 Unidad 6

6TRABAJO EN EQUIPO

En esta actividad descubrirán las formas de lascaras de algunos cuerpos geométricos. Reúnanseen grupos de 3 ó 4 integrantes y sigan lasinstrucciones.

1. Tomen la caja con forma de prisma. Pinten cada unade sus caras y bases con témpera y estámpenlas, unaa una en una hoja blanca como si fuera un timbre.Repitan el mismo procedimiento con el objeto conforma de pirámide.

2. Luego, tomen el cilindro de papel higiénico. Como este objeto no tiene las bases deun cilindro, pinten los bordes que corresponderían a ellas y estámpenlas en una hojade papel. Luego, pinten su manto y estámpenlo en una hoja de papel, haciendorodar el cilindro.

3. Repitan el procedimiento con el gorro de cumpleaños con forma de cono.

4. Comparen con otro equipo los estampados que hicieron con cada uno de los objetosanteriores. Establezcan semejanzas y diferencias entre ellos.

Materiales:

• Caja con forma de

prisma recto.

• Cilindro de papel

higiénico.

• Gorro de cumpleaños

con forma de cono.

• Objeto con forma de

pirámide.

• Hojas de papel.

• Témpera y pinceles.

Redes de cuerpos geométricos

• ¿Qué forma tienen las caras laterales y las bases del prismaque estamparon?, ¿en todos los prismas tienen esa forma?

• ¿Qué forma tiene la base y las caras laterales de la pirámideque estamparon?, ¿en todas las pirámides la base tiene esaforma?

• ¿Qué forma tienen las bases del cilindro que estamparon?,¿en todos los cilindros tienen la misma forma?, ¿y qué formaresulta al hacer rodar el cilindro y estamparlo en una hoja?

• ¿Qué forma tienen las bases del cono que estamparon?, ¿entodos los conos tiene la misma forma?, ¿y qué forma resultaal hacer rodar el cono y estamparlo en una hoja?

CONVERSEMOS DE ...

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Pinta las figuras planas que son necesarias para formar la red de cada cuerpogeométrico.

1

• ¿Cómo supiste qué figuras se necesitan para armar la red de cada cuerpo? Explica.

DESAFÍO

¿Puedes introducir un cono dentro de un cilindro?, ¿y un cilindro dentro de un cono?

Inténtalo modelando estos cuerpos con plasticina y explica qué características deben tener

estos cuerpos para que sea posible.

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166 Unidad 6

6TRABAJO EN EQUIPO

En esta actividad identificarán las característicasde las redes de conos y cilindros. Para ello,reúnanse en grupo de hasta 3 integrantes y siganlas instrucciones.

1. Desarmen con mucho cuidado el cilindro y el cono que habían armado usando lasredes de la página 187.

2. Marquen con lápices de colores las diferentes formas que observan en cada una delas redes.

3. Describan cada una de las redes de acuerdo al número y forma de las figuras planasque las conforman y la forma en que están dispuestas en cada red.

4. Respondan en sus cuadernos:

Materiales:

• Un cilindro y un

cono.


Encierra con color rojo las redes que permiten armar un cilindro y con color azul lasque permiten armar un cono. Luego responde en tu cuaderno.

2

• ¿Hay alguna red que no permita armar un cilindro ni un cono?, ¿cómo lo supiste?

a) ¿En qué se parece la red de un cilindro a la de un cono?, ¿y en qué sediferencian?

b) Si se amplían las circunferencias que forman la red del cilindro, ¿se podrá armareste cilindro, utilizando el mismo rectángulo?, ¿por qué?

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¿CÓMO VOY?


Represento en forma plana cilindros y conos.

Identifico la red de diferentes de cilindros y conos.

Dibujo y reconozco cuerpos geométricos vistos desde diferentesposiciones.


1. Observa el siguiente cilindro con atención. Pinta la red que permite armar uncilindro de forma parecida al que observas. Explica cómo lo supiste.

2. Dibuja en tu cuaderno un cilindro como el anterior, visto desde arriba y desde unlado. Describe qué ves en cada una de esas posiciones.

3. Antonio está observando un cuerpo geométrico. Él dice que, desde su posición,solo ve un cuadrado. ¿Qué cuerpo puede estar viendo Antonio?, ¿y desde qué posición? Explica.

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168 Unidad 6

6 Posiciones

TRABAJO EN EQUIPO

En esta actividad aprenderán a ubicar la posiciónde un objeto en una cuadrícula. Reúnanse engrupos de 4 integrantes y sigan las instrucciones.

1. Para realizar esta actividad deberán dividirse en parejas.

2. Cada pareja debe recortar una cuadrícula del material recortable de la página 189.Antes de recortar, peguen la página en una hoja de bloc.

3. Sin que la otra pareja los observe, peguen en su cuadrícula 2 veleros, 2 barcos y unsubmarino, del material recortable. Estos pueden estar en las posiciones queprefieran, pero deben ubicarse procurando que ocupen de forma exacta el siguienteespacio:

• un cuadrado.

• dos cuadrados.

• tres cuadrados.

4. El juego consiste en recuperar los veleros, barcos y el submarino que la otra pareja“escondió” en su cuadrícula. Para ello deben indicar una posición utilizando una letray un número, por ejemplo F7, intentado descubrir la posición de la flota que deseanrecuperar. Cada pareja debe indicar una posición por turnos, en forma alternada.

5. Si aciertan la posición de un velero, la otra pareja deberá decir “recuperado” y siaciertan a la posición de un barco o del submarino, deberá decir “tocado”. Cuandohayan acertado a todos los cuadrados de un barco o submarino, deberán decir“recuperado”. El juego termina cuando una pareja logra recuperar toda su flota.

6. Intercambien las parejas y jueguen nuevamente, utilizando las cuadrículas del materialrecortable que les quedan.

Materiales:

• Pegamento.

• Tijeras.

• 1 hoja de bloc.

• ¿Habías visto alguna vez una cuadrícula como la queutilizaron en el juego anterior?

• ¿En qué se debieron fijar para decir una posición?

• ¿Para qué otras cosas creen que puede servir este tipo decuadrícula?

CONVERSEMOS DE ...

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Carlos y Daniela siempre juegan en sus cuadrículas. Obsérvalas y responde en tucuaderno.

1

a) ¿Qué posiciones podría indicar Carlos para tocar algún barco de la cuadrícula deDaniela?, ¿y para tocar el submarino?

b) ¿Qué posiciones debería indicar Daniela para recuperar todos sus veleros y barcos?, ¿ypara recuperar su submarino?

c) Carlos dijo F2 y Daniela respondió “tocado”. ¿Qué posiciones crees que debería decirCarlos ahora?, ¿por qué?

Dibuja en un papel cuadriculado tu sala de clases y ubica dónde están tuscompañeras y compañeros. Pon sus nombres en la posición correspondiente a cadauno. Luego, explica paso a paso cómo lo hiciste.

2

A B C D E F

123456

DANIELA

A B C D E F123456

CARLOS

¡F2!Tocado

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170 Unidad 6

6 Trayectos

• ¿Conoces el trayecto que debes realizar desde tu casa hastala casa de algún amigo o amiga?, ¿y el trayecto desde tucasa hasta tu escuela?

• ¿Qué otro trayecto habrías realizado tú para llegar en menostiempo a la casa de Daniela desde la plaza?

• Si Ignacio hiciera el siguiente recorrido: desde B3, unacuadra hacia el este, 2 cuadras hacia el sur, 2 cuadras haciael este y una más hacia el sur, ¿se demoraría menos en llegara la casa de Daniela?, ¿por qué?

CONVERSEMOS DE ...

Daniela estará de cumpleaños el próximo mes. Para celebrarlo envió asus amigos y amigas del barrio un plano con el trayecto que se debeseguir para llegar a su casa ubicada en el punto E5, desde la plaza,ubicada en el punto A1.

A B C D E F

123456

Describe en tu cuaderno el trayecto que seguirías para llegar a la casa de Camiladesde las posiciones que se indican.

1

a) Si estás en D2. b) Si estás en A10.

1º 3 cuadras hacia el este.

2º 2 cuadras hacia el sur.

3º 1 cuadra hacia el este.

4º 3 cuadras hacia el sur.

Si cada representa

1 cuadra caminen:

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Observa la cuadrícula que inventaron Daniela y Carlos para jugar al tesoroescondido.

2

TRABAJO EN EQUIPO

En esta actividad aprenderán a elaborar y seguirtrayectorias de acuerdo a pistas. Reúnanse engrupos de hasta 4 integrantes y sigan lasinstrucciones.

1. Escojan un objeto y escóndanlo en algún lugar del patio de la escuela.

2. En una cuadrícula, indiquen la posición del objeto en el patio y el trayecto que hayque seguir para encontrarlo desde la sala de clases. En la cuadrícula deben ponerpuntos de referencia como los baños de la escuela o alguna otra dependencia.Utilicen los puntos cardinales para la dirección y la cantidad de cuadros para losdesplazamientos.

3. Intercambien su cuadrícula con la de otro equipo y busquen el objeto que el otroequipo escondió, siguiendo las indicaciones de la cuadrícula. Gana el equipo queprimero encuentra el objeto escondido.

Materiales:

• Hoja de papel

cuadriculado.

• Objeto cualquiera.

• Lápices.

• Dibuja en la cuadrícula el trayectoque sigue cada barco, según lasiguiente tabla. Fíjate que lostrayectos señalan la cantidad decuadrados que recorre y ladirección, según los puntoscardinales.

Trayecto5 E, 2 S, 3 E, 1 N, 4 E

3 S, 5 E, 2 N, 2 O, 3 N

7 E, 3 S, 5 E, 3 N, 3 O

4 O, 6 N, 9 E, 1 S, 7 E

2 O, 3 N, 3 E, 2 S, 10 E

3 S, 2 E, 2 S, 25 O, 2 N

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172 Unidad 6

6 Representaciones de posiciones y trayectos

José y Claudia observan un plano con algunas de las calles de PuntaArenas.

• ¿En qué te debes fijar para ubicar una calle en un planocomo el anterior?

• ¿Por qué crees que es importante saber usar un plano comoel anterior?, ¿en qué situaciones te puede servir?

CONVERSEMOS DE ...

Toma nota

En algunos planos es posible ver un cuadriculado que permite ubicar másfácilmente algún punto o calle que se desea localizar. Por ejemplo, en el planoanterior: • La intersección de las calles Chiloé y Avenida Colón está en el sector D1.• La calle Menéndez está en los sectores A2, B2, C2, D2, E2 y F2.

Avda. Colón

Menéndez

Seguel

Fagnano

Errázuriz21

de

May

o

Bo

ries

Ch

iloé

San

hu

eza

Avd

a. E

spañ

a

A B C D E F

1

2

3

4

5

6

U6 21x27 10/12/08 13:02 Página 172


De acuerdo al plano anterior, escribe el sector donde se ubican las siguientesintersecciones de calles.

1

a) Seguel con Avenida España.

.

b) Errázuriz con Fagnano.

.

En tu cuaderno, indica la trayectoria que seguirías para ir desde Avenida Colón conSanhueza hasta Fagnano con Bories.

2

¿CÓMO VOY?


Ubico posiciones en una cuadrícula.

Describo trayectorias y posiciones de distintos objetos.


1. Ubica los símbolos en el sector que se indica.

2. En tu cuaderno, describe el trayecto que seguirías para ir desde la escuela hasta elparque.

A B C D E12345

Casa: C3

Escuela: E5

Parque: A1

Cancha: D5

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Puedo resolver...

174 Unidad 6


Daniela modeló un cilindro usando plasticina. Ella dice que puede obtener dosnuevos cilindros realizando un corte en el cilindro que modeló. ¿Cómo debería sereste corte para que esto fuera posible?

Comprender

• ¿Qué sabes del problema?Los cuerpos geométricos que armó Daniela.Los cuerpos que quiere obtener Daniela haciendo un corte en el cilindro.

• ¿Qué debes encontrar?La forma en que se debe hacer el corte en el cilindro para obtener dos nuevos cilindros.

Planificar

• ¿Cómo resolver el problema?Modelamos cilindros de diferentes tamaños, utilizando plasticina. Probamos distintoscortes en los cilindros hasta encontrar aquel que permita formar dos nuevos cilindros.

Resolver

ResponderSi se apoya el cilindro en una de sus bases, el corte a realizar debe ser horizontal,formándose dos nuevos cilindros.

RevisarPodemos solucionar el problema de otra forma. Armamos cilindros utilizando redes ydibujamos el lugar donde irían los cortes. Observando cada cilindro, imaginamos quéocurriría si se realizan los cortes marcados y formulamos conclusiones.

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Comprender



Planificar


Resolver

Responder

Revisar


1 Ahora resuelve el siguiente problema utilizando la estrategia aprendida.Pablo dice que es posible obtener dos nuevos conos realizando un corte en un cono.¿Estás de acuerdo con Pablo?, ¿por qué?

2 En tu cuaderno, resuelve el siguiente problema utilizando la estrategiaaprendida u otra. Explica paso a paso cómo lo resolviste.Ángela y Enrique armaron cuerpos geométricos con redes. Ángela dice que armóun cuerpo con dos bases iguales y paralelas. Enrique piensa que armaron el mismocuerpo pues el que armó también tiene dos bases iguales y paralelas. ¿Estás deacuerdo con Enrique?, ¿por qué?

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176 Unidad 6

1 Observa los siguientes objetos y responde en tu cuaderno.

2 Observa el siguiente plano y responde en tu cuaderno.

a) ¿En qué se parecen las formas de la lata de bebida y del dado?, ¿y en qué sediferencian?

b) ¿En qué se parecen las formas de la lata de bebida, del gorro de cumpleaños y dela pelota?

c) ¿Cuál de los objetos anteriores tiene una forma parecida a un cilindro?, ¿y cuál aun cono?, ¿cómo lo sabes?

d) ¿Cómo crees que se ve la lata de bebida, vista desde abajo?, ¿y el gorro decumpleaños? Explica cómo lo supiste y luego dibújalos.

A B C D E F G H12345

a) ¿En qué posición se ubica la escuela?, ¿y el hospital?

b) ¿Qué puedes encontrar en la posición G2?

c) ¿Cuál es el trayecto que seguirías para ir desde la escuela hasta el correo?,¿por qué?

Escuela

Correo

Parada de buses

Hospital

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Para no olvidar

Te invitamos a que recuerdes lo más importante que aprendiste en esta unidad y loresumas en un organizador gráfico, llamado mapa conceptual.

Completa el siguiente mapa conceptual con lo que has aprendido en esta unidad.


a) ¿Cómo son las caras de un cilindro y un cono?

b) ¿Qué tienen en común un cilindro y un prisma?, ¿y un cono y una pirámide?

c) ¿Qué figuras planas permiten formar la red de un cilindro?, ¿cómo deben ser estas

figuras?

d) ¿En qué te debes fijar para describir la posición de un objeto representado en una

cuadrícula?

Nuestro entorno

Cuerpos geométricos Posiciones y trayectos

Cuerpospoliedros

Prisma

Esfera

se clasifican en se pueden representar en

podemos observar nos orientamos con

que sonque son

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Lo que aprendí

178 Unidad 6

1 Lee cada descripción y dibuja el cuerpo geométrico que se pide visto de frente.

2 Observa el siguiente plano del centro cívico de la ciudad de Santiago y respondeen tu cuaderno.

a) ¿En qué casillero se ubica la intersección entre las calles San Antonio y Agustinas?

b) ¿Qué puedes encontrar en el casillero D1?, ¿y en el G3?

c) ¿Qué indicaciones le darías a un amigo o amiga para que se dirija desde la Plazade la Constitución hasta la Plaza de Armas?

A B

1

2

3

4

5

C D E F G

PLAZA DEARMAS

CERRO

STA. LUCÍA

PLAZADE LA

CONSTITUCIÓN

LAMONEDA

BIBLIOTECANACIONAL

ALAMEDA

MONEDA

HUÉRFANOS

AGUSTINAS

BA

ND

ERA

SAN

AN

TON

IO

Dos bases iguales,paralelas y circulares. Una base circular.

U6 21x27 10/12/08 13:02 Página 178



¿QUÉ LOGRÉ?


Identifico, caracterizo y represento conos y cilindros.Comparo conos, cilindros, prismas y pirámides.Armo cilindros y conos en base a una red.Describo y elaboro trayectorias y posiciones de objetos.


• ¿Qué fue lo más difícil?, ¿y qué hiciste para superarlo?

3. ¿Qué figura verías si observasdesde abajo el siguiente cuerpo,apoyado en una de sus bases?

A. Un rombo.

B. Un cuadrado.

C. Un rectángulo.

D. Un círculo.

1. ¿Qué tienen en común loscuerpos geométricos dibujados?

A. Tienen caras triangulares.

B. Tienen una base circular.

C. Tienen solamente una base.

D. Tienen caras triangulares eiguales.

2. ¿Qué cuerpo geométrico seobtiene al armar la siguientered?

A. Cono.

B. Cilindro.

C. Pirámide.

D. Prisma triangular.

4. ¿Cuál de las siguientesdescripciones corresponde a uncilindro?

A. Tiene una cara basal circular.

B. Tienen una cara lateral rectangular.

C. Tiene dos caras basales circulares.

D. Tiene 2 caras basales y unacúspide.

U6 21x27 10/12/08 13:02 Página 179


Taller de evaluación 2

I. Marca con una la alternativa correcta.

5. ¿Cuál de las siguientes fracciones seencuentra ubicada más cerca del 1en la recta numérica?

A.

B.

C.

D.

1. ¿Cómo se lee el número 20 708?

A. Veinte mil setenta y ocho.

B. Dos mil setecientos ocho.

C. Veinte mil setecientos ocho.

D. Doscientos mil setecientos ocho.

4. ¿Cuántos cuartos forman un medio?

A. Uno.

B. Dos.

C. Tres.

D. Cuatro.

2. ¿Cuál de las siguientes cantidadesequivale a una decena de mil?

A. 1 000

B. 10 000

C. 100 000

D. 1 000 000

6. Si de un chocolate, Lucía se comió

y Pablo se comió , ¿cuál de las

siguientes afirmaciones es

verdadera?

A. Los dos comieron lo mismo.

B. Lucía comió más que Pablo.

C. Pablo comió más que Lucía.

D. Sobró la mitad del chocolate.

3. Los números 47 937 y 82 654redondeados a la unidad de mil máspróxima correspondenrespectivamente a:

A. 47 930 y 82 650

B. 47 900 y 82 600

C. 47 000 y 82 000

D. 48 000 y 83 000

241

2

121646112

taller 2 10/12/08 13:02 Página 180


11. La capacidad de un bus es de47 pasajeros. Si deben viajar126 personas, ¿cuántos de estosbuses se necesitan?

A. 2 buses.

B. 3 buses.

C. 4 buses.

D. 5 buses.

7. Ana gastó $ 5 000 en comprar todoslos materiales que necesitaba parahacer collares. Ella vendió los collaresque hizo, juntando $ 12 000. ¿Qué sepuede saber a partir de esainformación?

A. El precio en que vendió cada collar.

B. La cantidad de collares que hizo.

C. El dinero que ganó por la venta delos collares.

D. La cantidad de personas quecompraron los collares.

12. Entre 6 compañeros de cursocompramos 7 cajas de 12 lápicescada una, para repartirlas entrenosotros en partes iguales.¿Cuántos lápices le tocarán a cadauno?

A. 11

B. 12

C. 13

D. 14

8. La diferencia entre dos números es127 280. Si el sustraendo es 27 070,¿cuál es el minuendo?

A. 100 210

B. 154 350

C. 227 490

D. 254 560

9. José compró 7 paquetes de galletasde 275 g cada uno y 3 bolsas demermelada de 250 g cada una. Simete todo en una bolsa, ¿cuántosgramos pesará la bolsa?

A. 525 gramos.

B. 750 gramos.

C. 1 925 gramos.

D. 2 675 gramos.

10. La suma de dos números es203 524. Si uno de los sumandos es108 001, ¿cuál es el otro sumando?

A. 95 523

B. 216 002

C. 311 525

D. 407 084

taller 2 10/12/08 13:02 Página 181


19. ¿Qué cuerpo se obtiene al armar lasiguiente red?

A. Un cono.

B. Un prisma.

C. Un cilindro.

D. Una pirámide.

15. ¿Cuántos ejes de simetría tiene lasiguiente figura?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

20. ¿Cuál de los siguientes cuerpos esun cuerpo redondo?

A. Cubo.

B. Prisma.

C. Cilindro.

D. Pirámide.

16. ¿Cuál de las siguientes figuras sepuede formar con un cuadrado y untriángulo?

A. Un rombo.

B. Un trapecio.

C. Un rectángulo.

D. Un trapezoide.

17. ¿Cuál es el ángulo total de giro querealiza el minutero de un relojdesde las 9:30 hasta las 10:30 h?

A. Un ángulo recto.

B. Dos ángulos rectos.

C. Tres ángulos rectos.

D. Cuatro ángulos rectos.

18. ¿Qué tienen en común un cono yuna pirámide?

A. Tienen solo una base.

B. Tienen una cara basal circular.

C. Tienen caras lateralestriangulares.

D. Tienen la misma cantidad devértices.

14. ¿En cuál de las siguientesmultiplicaciones se obtiene comoproducto el número 72?

A. 2 • 3 • 9

B. 4 • 3 • 6

C. 3 • 6 • 2

D. 6 • 6 • 3

13. Rosa compró un computador a$ 482 000. Si lo pagó en dos cuotasiguales, ¿cuál es el valor de cadacuota?

A. $ 240 000

B. $ 241 000

C. $ 482 000

D. $ 964 000

taller 2 23/12/08 16:47 Página 182


II. Resuelve las siguientes situaciones.

1. Construye un gráfico de barras con la información de la tabla.

a) ¿En qué sector se encuentra la Plaza deArmas?

b) ¿Qué calles puedes encontrar en elsector C1?

c) ¿Cómo le explicarías a un amigo cómoir desde la Plaza de Armas hasta ellugar donde se cruzan las calles SanAntonio y Moneda?

Tipo de película Cantidadde niños y niñas

Acción 200

Ficción 325

Comedia 250

Terror 300


Tipo depelícula

2. Responde en tu cuaderno a partir del gráfico y tabla anteriores.

a) ¿Cuántos niños y niñas fueron encuestados en total?

b) ¿Cuál es la diferencia entre el tipo de película más votado y el menos votado?

3. Observa el siguiente plano y responde.

Película preferida por niños y niñas

Acción Ficción Comedia Terror

MERCED

MONEDA

HUÉRFANOS

BA

ND

ERA

SAN

AN

TON

IO

SANTO DOMINGO

CATEDRAL

AH

UM

AD

A

ESTAD

O

MA

C IV

ER

PLAZADE

ARMAS

1 2 3 4

A

B

C

D

taller 2 10/12/08 13:02 Página 183


recortable 21x27 10/12/08 13:03 Página 184

185Material recortable

Material recortable TANGRAMA



Material recortable REDES CONOS Y CILINDROS



Material recortable CUADRÍCULA

A B C D E F

1

2

3

4

5

6


191Bibliografía

Bibliografía

• Textos

- Alsine, Claudi; Burgués, Carme. 1992. Invitación a la didáctica de la geometría. Colección“Matemática, cultura y aprendizaje”, Editorial Síntesis, España.

- Cofré, A., Tapia, L. 2003. Cómo desarrollar el razonamiento lógico matemático. EditorialUniversitaria, Chile.

- Cofré, A., Tapia, L. 2002. Matemática recreativa en el aula. Ediciones Universidad Católicade Chile, Chile.

- Espinoza, L., Barbé, J., Mitrovich, D. 2007. Propuesta de acciones remediales para elestudio del campo multiplicativo en el primer ciclo básico. Grupo Félix Klein, Centro deInvestigación y Experimentación en Didáctica de las Matemáticas y la Ciencia. Santiago,Chile.

- Fernández, F.; Llopis, A.; Pablo, C. 1999. Matemáticas básicas: Dificultades de aprendizajey recuperación. Aula XXI. Santillana, España.

- Jouette, A. 2000. El secreto de los números. Ediciones Robinbook, España.- Llinares, S.; Sánchez, G. 1998. Fracciones. Editorial Síntesis, España.- Riveros, M.; Zanocco, P.; Cunde, V.; León, I. 2002. Resolver problemas matemáticos: una

tarea de profesores y alumnos. Publicaciones Facultad de Educación, PontificiaUniversidad Católica de Chile.

- Zanoco S., Pierina; León L., Ivette; Pedreros M., Alejandro. 2006. Transformacionesisométricas en la educación general básica. Talleres nacionales: XIII jornadas nacionales deeducación matemática. Pontificia Universidad Católica de Chile. Viña del Mar, Chile.

• Material Centro de Recursos del Aprendizaje (CRA)

- Adams, Judith. 1999. Figuras geométricas. The super source. Cuisenaire. Nueva York.- Adams, Judith. 1999. Geoplanos. The super source. Cuisenaire. Nueva York.- Baldor, Aurelio. 2002. Geometría plana y del espacio. Publicaciones Cultural, México D.F.- Baldor, Aurelio. 2002. Aritmética teórico–práctica. Publicaciones Cultural, México D.F.- Baroody, A. 2000. El pensamiento matemático de los niños. Visor, España.

• Sitios webs

- Centro Comenius http://www.comenius.usach.cl/website/- Currículum nacional http://www.curriculum-mineduc.cl/- Ejercicios, Sugerencias metodológicas, Planificaciones

http://www.educarchile.cl/Portal.Herramientas/SIMCE2006/default.aspx- Recursos digitales http://www.comenius.usach.cl/recursos_digitales/- SIMCE http://www.simce.cl/- TIC en aula http://www.ticenaula.cl- Textos escolares http://www.textosescolares.cl/


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