INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7...

52
INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR 7 Funciones INTERNET LECTURA INICIAL ESQUEMA Las funciones no tienen una forma única de expresión, y sin embargo, de todas ellas podemos extraer propiedades. ACTIVIDAD

Transcript of INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7...

Page 1: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

7 Funciones

INTERNET

LECTURA INICIAL

ESQUEMA

Las funciones no tienen una forma única de expresión, y sin embargo, de todas ellas podemos extraer propiedades.

ACTIVIDAD

Page 2: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

G. W. Leibniz

Busca en la web

Enlace a la biografía de

Leibniz

Trabajando por separado y con métodos distintos, Newton antes y

sin dar publicidad a sus resultados, y Leibniz unos años

después, pero publicándolos antes, van a crear la herramienta

más potente y universal de la historia de las Matemáticas y de

todas las ciencias: el Cálculo.

El calculo

Page 3: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Esquema de contenidos

Funciones

Coordenadas cartesianas

Concepto de función

Estudio de una función

Continuidad

Puntos de corte

Crecimiento y decrecimiento

Simetrías

Periodicidad

Representación gráfica

Tablas

Dominio y recorrido

Funciones definidas a trozos

Page 4: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas de un punto P en el plano vienen determinadas por un par ordenado de

números, x e y, llamados coordenadas cartesianas del punto, y se escribe:

P (x , y)

SIGUIENTE

Page 5: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Concepto de función

Una función es una relación entre dos variables numéricas, x e y, de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y.

SIGUIENTE

Una función puede cortar varias veces al eje X, pero solo puede cortar una vez al eje Y

Page 6: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Concepto de función. Función real de variable real.

Una función es una relación entre dos variables numéricas, x e y, de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y.

No es función

Sí es función

SIGUIENTE

Una función real, f, de variable real, es una relación que asocia a cada número real, x, un único número real y =f(x). Se puede expresar de esta forma:

f : D⊂ℝ ℝ

x y=f x

Una función puede cortar varias veces al eje X, pero solo puede cortar una vez al eje Y

Page 7: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Concepto de función

Una función es una relación entre dos variables numéricas, x e y, de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y.

La variable x es la variable independiente, y es un valor prefijado.

Y la variable y es la variable dependiente, y su valor depende del valor de x.

No es función

Sí es función

SIGUIENTE

Page 8: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Concepto de función

SIGUIENTE

A B C

D

SI es función SI es función

SI es función

NO es función

Page 9: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Función expresada mediante tabla de valores, gráfica, fórmula o enunciado

Representar gráficamente los siguientes datos que relacionan las horas transcurridas desde la apertura de una exposición con el número de personas que asisten.

Horas desde la apertura

pe

rso

na

s

x 1 2 3 4 5 6 7 8

y 100 150 50 150 250 100 200 50

SIGUIENTE

Gráfica (x,f(x)) Fórmula o expresión analítica

f x =x2−4

EnunciadoAltura de una piedra, en función del tiempo, que cae desde una altura inicial de 20 metros

Page 10: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Dominio y recorrido

Se llama dominio de una función f(x) es el conjunto de los valores para los que está definida la función (variable independien- te, x).

Se representa por Dom f(x)

El recorrido o la imagen de una función f(x) es el conjunto de valores que toma la función (variable dependiente, y).

Se representa por Im f(x)

SIGUIENTE

D⊂ℝ

Page 11: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Dominio y recorrido

Dom f x =−∞ ,0 ] ∪ [ 2,5 ] ∪ [6,∞

I m f x = [0,∞ ∪ {−1 } SIGUIENTE

Se llama dominio de una función f(x) es el conjunto de los valores para los que está definida la función (variable independien- te, x).

Se representa por Dom f(x)

D⊂ℝ

El recorrido o la imagen de una función f(x) es el conjunto de valores que toma la función (variable dependiente, y).

Se representa por Im f(x)

Page 12: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Cómo determinamos el Dominio de una función

SIGUIENTE

• Las funciones polinómicas están definidas para todos los números reales.

• Las funciones racionales son funciones del tipo donde P(x) y Q(x) son polinomios (con x en el denominador). No están definidas cuando el denominador se anula

• Las funciones radicales de índice par solo están definidas para radicandos mayores o iguales que cero

Hallamos los valores que anulan el numerador y el denominador, x=-4 y x=2, y situamos estos valores sobre la recta real que queda, de este modo, dividida en tres intervalos. Evaluamos el signo de la fracción en cada intervalo, y nos quedamos con aquellos que verifican la inecuación, comprobando si incluyen los extremos:

Funciónlineal f ( x )=2x+1→Dom f =ℝFunción cuadrática f (x )=x2−2x+1→Dom f =ℝFunción polinómica de grado superior : f (x)=x5−2x3+x+1→Dom f =ℝ

f (x )=√ x+4→ x+4≥0→Dom f ={x∈ℝ∣x≥−4}=[−4,+∞ )

f (x )=x

x−3→Dom f =ℝ−{3}

f (x )=P(x )Q ( x)

f ( x )=x

x2−1→Dom f =ℝ−{1,−1}

f ( x)=√ x+4x−2

→x+4x−2

≥0

Dom f ( x)=(−∞ ,−4 ]∪( 2,+∞ ]

Page 13: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Cómo determinamos el Dominio de una función

SIGUIENTE

• Las funciones logarítmicas solo están definidas para números reales positivos.

• Las funciones trigonométricas de seno y coseno siempre está definidas en R

• La función tangente no está definida cuando el coseno es cero

• La funciones exponenciales son de la forma Su dominio es el conjunto de los números reales R.

f x =log x−1 x−10Dom f={x∈ℝ∣x1}=[1,∞ )

f x =tg x Dom f={x∈ℝ∣cos x≠0}=ℝ−{

2k ,k∈ℤ}

f x =cos xDom f=ℝ

y= f (x)=a x , a>0

f (x )=2x→Dom f=ℝ f (x )=( 12 )

x

→Dom f =ℝ

f (x )=tg (2x )→Dom f ={x∈ℝ∣cos(2x)≠0}=ℝ−{π4+k π

2k∈ℤ}

f (x )=cos 2x→Dom f =ℝ

ya que cos 2x=0 en 2x=π2+k π k∈ℤ→ x=π

4+k π

2k∈ℤ

Page 14: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Funciones definidas a trozos

En ocasiones, no podemos dar la expresión algebraica de la función de forma global, pero sus valores responden a distintas expresiones dependiendo del intervalo en el que estamos.

SIGUIENTE

Cuando definimos una función con expresiones parciales y se especifica el dominio de cada una de ellas, estamos definiendo una función a trozos.

Page 15: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Funciones definidas a trozos

En ocasiones, no podemos dar la expresión algebraica de la función de forma global, pero sus valores responden a distintas expresiones dependiendo del intervalo en el que estamos.

Cuando definimos una función con expresiones parciales y se especifica el dominio de cada una de ellas, estamos definiendo una función a trozos.

La función definida es:

SIGUIENTE

y= {2 −∞x≤−2−2x −2x4−x25 4≤x∞

Page 16: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Propiedades de funciones

Continuidad

Puntos de corte

Crecimiento y decrecimiento

Simetrías

Periodicidad

SIGUIENTE

Page 17: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Función continua

Una función es continua si su gráfica se puede dibujar de un solo trazo.

Es discontinua si su gráfica no se puede dibujar de un solo trazo.

Los puntos donde se corta el trazo de la función se llaman puntos de discontinuidad de la función.

SIGUIENTE

Page 18: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Función continua

Una función es continua si su gráfica se puede dibujar de un solo trazo.

Es discontinua si su gráfica no se puede dibujar de un solo trazo.

Los puntos donde se corta el trazo de la función se llaman puntos de discontinuidad de la función.

discontinua

continua

continua

discontinua

SIGUIENTE

Page 19: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Puntos de corte

Los puntos de corte con los ejes coordenados de una función son los puntos de intersección de su gráfica con los ejes coordenados.

P.C: Eje X, hacemos y = 0

Son de la forma (a, 0).

Se hallan calculando los valores

de la variable x, cuando la variable

y toma el valor 0.

P.C: Eje Y,hacemos x = 0

Son de la forma (0, b).

Se hallan calculando los valores de la variable y cuando la variable x toma el valor 0.

SIGUIENTE

Page 20: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Puntos de corte

(0, 2) corte con eje Y

(-3, 0) corte con eje X

SIGUIENTE

Los puntos de corte con los ejes coordenados de una función son los puntos de intersección de su gráfica con los ejes coordenados.

P.C: Eje X, hacemos y = 0

Son de la forma (a, 0).

Se hallan calculando los valores

de la variable x, cuando la variable

y toma el valor 0.

P.C: Eje Y,hacemos x = 0

Son de la forma (0, b).

Se hallan calculando los valores de la variable y cuando la variable x toma el valor 0.

x y

0

0

Page 21: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Crecimiento y decrecimiento en un intervalo

Una función es creciente en un intervalo (a,b) si al aumentar el valor de x, también aumenta el valor de y.

SIGUIENTE

f : si∀ x1, x2∈a , b: x1x2 f x1f x2

f : si∀ x1, x2∈a , b : x1x2 f x1f x2

Una función es decreciente en un intervalo (a,b) si al aumentar el valor de x, disminuye el valor de y.

Page 22: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Crecimiento y decrecimiento en un intervalo (a,b)

Decreciente en (-∞, -5)

Decreciente

en (4, + ∞)

Creciente en (-5, 4)

SIGUIENTE

Una función es creciente en un intervalo (a,b) si al aumentar el valor de x, también aumenta el valor de y.

Una función es decreciente en un intervalo (a,b) si al aumentar el valor de x, disminuye el valor de y.

f : si∀ x1, x2∈a , b: x1x2 f x1f x2

f : si∀ x1, x2∈a , b : x1x2 f x1f x2

Page 23: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Crecimiento y decrecimiento en un punto de abcisa x=xo

Decreciente en x=7

Decreciente en x=5

Creciente x=0

SIGUIENTE

Una función es creciente en un punto si existe un intervalo centrado en xo, (xo-h,xo+h) para el que la función es creciente

Una función es decreciente en un punto si existe un intervalo centrado en xo, (xo-h,xo+h) para el que la función es creciente

Page 24: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Ejemplos de crecimiento y decrecimiento.

SIGUIENTE

Page 25: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Ejemplos de crecimiento y decrecimiento.

SIGUIENTE

Page 26: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Concavidad y convexidad en un punto.

SIGUIENTE

Una función es concava en un punto si la recta tangente a la gráfica de f en ese punto está por debajo de la gráfica

Una función es convexa en un punto si la recta tangente a la gráfica de f en ese punto está por encima de la gráfica

Si la recta tangente en un punto atraviesa la gráfica de la función, decimos que la función tiene un punto de inflexión. Un punto de inflexión es, por tanto, un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otro.

Cóncava

Convexa

Convexa

Cóncava

P.Inflexión

Page 27: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Máximos y mínimos relativos

Mínimo en x = -5 Máximo en x = 4

En los puntos donde la gráfica pasa de ser creciente a decreciente se dice que la función alcanza un máximo relativo.

Una función f presenta un máximo relativo en un punto xo si existe un intervalo centrado en xo, (xo-h,xo+h) tal que para cualquier punto x del intervalo se

cumple que f(x)<f(xo)

En los puntos donde la gráfica pasa de ser decreciente a creciente se dice que la función alcanza un mínimo.

Una función f presenta un mínimo relativo en un punto xo si existe un intervalo centrado en xo, (xo-h,xo+h tal que para cualquier punto x del intervalo

se cumple que f(x)>f(xo)

SIGUIENTE

Page 28: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Máximos y mínimos absolutos

Máximo absoluto en x = -8 Mínimo absoluto

en x = 7,2

Una función f presenta un máximo absoluto en un punto xo si para cualquier

valor de x del dominio de la función se cumple que: f(x)<f(xo)

Una función f presenta un mínimo absoluto en un punto xo si para

cualquier valor del dominio de la función se cumple que: f(x)>f(xo)

SIGUIENTE

Page 29: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Ejemplos máximos y mínimos relativos y absolutos

SIGUIENTE

Page 30: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Ejemplos máximos y mínimos relativos y absolutos

SIGUIENTE

Page 31: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Simetrías

Simetría respecto del eje de ordenadas (eje Y)

o simetría PAR

Una función es simétrica respecto del eje de ordenadas si para cualquier punto x del dominio se

cumple que:

f −x =f x ∀ x∈Dom f

Simetría respecto del origen de coordenadas

o simetría IMPAR

Una función es simétrica respecto del origen de coordenadas si para cualquier punto x del dominio se

cumple que:

f −x =−f x ∀ x∈Dom fSIGUIENTE

Page 32: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Simetrías: ejemplos con fórmulas y gráficas

f x =x2−4

f x =x35x

)()( par xfxfSimetría −=

)()( impar xfxfSimetría −−=

SIGUIENTE

f x=x2−4

f −x =−x 2−4=x2−4

f x =x35x

f −x = [−x35 −x ]= [−x3−5x ]=−[x35x ]=−f x

Page 33: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Periodicidad

Una función f es periódica si su gráfica, o las imágenes de los valores de x, se repiten cada cierto intervalo. A la longitud del intervalo, T (T>0), se le llama periodo. Es decir, se cumple que:

PeriodoT=2

Conocido el valor de la función en un intervalo de amplitud T, se puede construir el resto de la gráfica trasladándola a la derecha e izquierda por todo el dominio.

SIGUIENTE

f x=f xT =f x2T=...=f xkT ,∀ k∈ℤ

y=f x =x−[x ] , parte decimal

Page 34: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Estudia la función de la gráfica.

SIGUIENTE

Dominio:

Recorrido:

Continuidad:

Puntos de cortes con los ejes:

Crecimiento y decrecimiento:

Concavidad y convexidad:

Máx. y mín. absolutos y relativos:

Simetrías:Periodicidad:

Y

X

Page 35: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Estudia la función de la gráfica.

SIGUIENTE

Dominio:

Recorrido:

Continuidad:

Puntos de cortes con los ejes:

Crecimiento y decrecimiento:

Concavidad y convexidad:

Máx. y mín. absolutos y relativos:

Simetrías:Periodicidad:

Dom f=[−4,∞ )

Im f=[−∞ ,0 ]

No es continua

(-2,0) y (0,-9)

No es simétrica

No es periódica

f =(−4,−2 )∪(0,∞ )

f =(−2,0 )

La función es convexa (cóncava hacia abajo)

Max. Abs. en x=-2. No tiene extremos relativos.

Y

X

Page 36: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Estudia la función de la gráfica.

SIGUIENTE

Dominio:

Recorrido:

Continuidad:

Puntos de cortes con los ejes:

Crecimiento y decrecimiento:

Concavidad y convexidad:

Máx. y mín. absolutos y relativos:

Simetrías:Periodicidad:

X

Page 37: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Estudia la función de la gráfica.

SIGUIENTE

Dominio:

Recorrido:

Continuidad:

Puntos de cortes con los ejes:

Crecimiento y decrecimiento:

Concavidad y convexidad:

Máx. y mín. absolutos y relativos:

Simetrías:Periodicidad:

Dom f=ℝ−{2,−2 }

Im f=ℝ

No es continua en 2 y -2

(0,0)

Impar f(-x)=-f(x)

No es periódica

f =−∞ ,−3.5∪3.5,∞

Max. Relativo en x=-3.5, mínimo relativo en x=3.5. No tiene extremos absolutos.

X

f∪=−2,0∪2,∞

f∩=−∞ ,−2∪0,2

f =−3.5,−2∪−2,2∪2,3.5

P. Inflexión en x=0

Page 38: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Estudia la función de la gráfica.

SIGUIENTE

Dominio:

Recorrido:

Continuidad:

Puntos de cortes con los ejes:

Crecimiento y decrecimiento:

Concavidad y convexidad:

Máx. y mín. absolutos y relativos:

Simetrías:Periodicidad:

X

Page 39: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Estudia la función de la gráfica.

SIGUIENTE

Dominio:

Recorrido:

Continuidad:

Puntos de cortes con los ejes:

Crecimiento y decrecimiento:

Concavidad y convexidad:

Máx. y mín. absolutos y relativos:

Simetrías:Periodicidad:

Dom f=[−8,−4 ]∪[−3,∞ )

Im f=[−1,4 ]

No es continua

(0,-1) (-4,0) (-3,0) (-1,0)

No es simétrica

No es periódica

f =−3,−1∪0,2

f =−8,−4∪−1,0

Mín. Relativo en x=0Mín abs en x= 0 y Máx. Abs. en x=-8

X

f∪=−2,−1∪0,2f∩=−3,−2

Es constante en 2,∞

P. Inflexión en x=-2

Page 40: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Transformaciones de funciones I

y=f x kLa gráfica se obtiene trasladando f(x) verticalmente k unidades hacia arriba, si k>0, y k unidades hacia abajo, si k<0

y=f xk La gráfica se obtiene trasladando f(x) horizontalmente k unidades hacia la izquierda, si k>0, y k unidades hacia la derecha, si k<0

Page 41: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Transformaciones de funciones II

y=−f x La gráfica es la gráfica simétrica de y=f(x) respecto al eje X.

y=f −x La gráfica es la gráfica simétrica de y=f(x) respecto del eje Y.

Page 42: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Ejemplo: Transformaciones de funciones

y=1

x12 y=

1x−2

−4y=−1

x3y=−1

x2

Relacionamos las expresiones de las siguientes funciones con su representación gráfica.

1 unidad izquierda

2 unidades arriba

2 unidades arriba2 unidades derecha

4 unidades abajo

3 unidades izquierda

Todas son transformadas de la función y=f x =1x

ó y=−1x

Page 43: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Operaciones con funciones Dadas dos funciones f y g:

●Suma de funciones: (f+g)(x)

●Producto: (f·g)(x)

●Cociente: ( fg ) ( x )

El dominio de las funciones f+g y f·g es el conjunto de valores que pertenecen a Dom f y Dom g: Dom fg=Dom f∩Dom g

El dominio de las función es el conjunto de valores que pertenecen a Dom f y Dom g y, además, no anulan el denominador g(x).

Dom fg =Dom f∩Dom g−{x∈ℝ/ g x=0 }

fg x

Dom logx

x−3 =Dom log x ∩Dom x−3 − {x∈ℝ/ x−3=0 }=0,∞∩[3,∞ )−{ x=3}=3,∞

Ejemplo:

Dom( x · log x)=Dom( x)∩Dom (log x )=(−∞ ,+∞)∩( 0,+∞ )=(0,+∞)

Dom( x+√ x−1)=Dom (x )∩Dom (√ x−1)=(−∞ ,+∞)∩[ 1,+∞ )=[1,+∞ )

Page 44: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Composición de funciones

Dadas dos funciones, f y g, se llama función compuesta de f con g a la función (g o f) que cumple que:

El dominio de la función g o f es el conjunto de valores que cumplen que:● x está en el dominio de f● f(x) está en el dominio de g

x f x

g° f x =g [ f x]

g [ f (x)]f g

g ° f

x f x =x21 g [ f x ]= x2

1f x =x2

1 g x = x

x g° f x = x21

Se lee f compuesta con g de x

g° f x

La composición de funciones no es commutativa: g° f≠ f ° g

f ° g x =f [g x ]=x1

Es el resulta- do de actuar sucesivamen-te sobre x, primero f y después g

g [ f x ]

Page 45: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Ejemplo de composición de funciones

x f ( x)=x2g [ f (x)]=

1

x 2+1

f (x )= x2 gx =1

x1

x (g ∘ f )(x )=1

x2+1

Se lee f compuesta con g de x

g° f x

La composición de funciones no es commutativa: g ∘ f ≠ f ∘ g

x g x =1

x1 f [g (x)]=1

( x+1)2

g ( x)= 1x+1

f ( x)=x2

x ( f ∘ g )(x )=1

(x+1)2

Dadas y calculaf ( x)=x2 g x =1

x1g° f x y f ° g x

Page 46: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Función inversa

La función inversa de una función f es otra, f -1 tal que para para cualquier valor x de su dominio se cumple que:

Se cumple que:

x f x =b f−1[b ]=x

f f−1

f−1° f

x f x =bf

f−1bf−1b=x

f−1° f=f ° f−1

=Id

A IdId se le denomina función Identidad y se define como Id x =x

Page 47: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Gráfica de la Función inversa. Procedimiento para su cálculo.

Las gráficas de una función y de su inversa son simétrica respecto a la recta y = x (bisectriz del primer y tercer cuadrante)

f−1° f=f ° f−1

=Id Id x =x

¿Cómo calculamos la función inversa de una función? : 1.º) Expresamos la función en la forma y=f(x) e intercambiamos x por “y” en ambos miembros. 2.º) Despejamos “y” en la ecuación resultante.

Page 48: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Cálculo de función inversa de una función f−1° f=f ° f−1=Id Id x =x

y= f x=7xx

1.º x⇔ y x=7 yy

2.º y · x=7 y y · x− y=7 y x−1=7

y=f−1 x =7x−1

y= f x=2x

1.º x⇔ y x=2y

2.º log2 x=log22y log2 x= y

y= log 2x

En GEOGEBRA ln(x) o log(x) es el logaritmo neperiano, y lg(x) es el logaritmo decimal o de base diez.

Page 49: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Estudio de una función I

Dominio:

Recorrido:

Puntos de corte:

P(0,0) 0 x

P(-5,0) -5 x: X

==Eje

P(0,0) 0 y: Y =Eje

Continuidad:

Crecimiento y decrecimiento:

Máximos y mínimos:

Simetría

Periodicidad.

) (0, ,-3)(- creciente

(-3,0)

∞+∪∞edecrecient

,0)0( en mínimo

(-3,3) en áximom

Dom f x =−∞ ,∞ℝtodos los números reales

Im f x =−∞ ,∞ℝtodos los números reales

la función es continua.

No

No

Máximos y mínimos absolutos: No

Page 50: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Estudio de una función II

Dominio:

Recorrido:

Puntos de corte:

Continuidad:

Crecimiento y decrecimiento:

Máximos y mínimos:

Simetría.Periodicidad

Im f x =−∞ ,12 ]

La función NO es continuaEn el intervalo (-4,-2) no está definida

Dom f x =ℝ−−4 ,−2

P.C. eje X : x=−4 ; x=−2 ; x=2 ; x=10P.C. eje Y : y=−4

f en −∞ ,−4∪0,4f en −2,0∪4,∞

Máximo relativo en x=4Mínimo relativo en x=0Máximo absoluto en x=4

NoNo

Page 52: INICIO MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: 7 Funcionesplatea.pntic.mec.es/jcarpint/presentaciones/Unidad7_funciones_bach.pdf · Unidad 7: Funciones ANTERIOR SALIR G. W. Leibniz Busca

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º Bach. Unidad 7: Funciones

ANTERIOR SALIR

Actividad: La función lineal y la función afín

En la sección chilena de la Editorial Santillana, se propone una actividad en la que se podrá realizar la gráfica de la función f (x)= ax + b y g (x)= mx + n para distintos valores de la variable x y los parámetros m, n, a y b.

Para conocerlo, sigue este enlace.

Dirección:

http://www.santillana.cl/mat2/unidad3b.htm