INSTITUCIÓN EDUCATIVA NORMAL SUPERIOR SANTIAGO DE …€¦ · Las probabilidades de los nuevos...

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NORMAL SUPERIOR SANTIAGO DE CALI

MEN – Resolución Acreditación de Calidad y Desarrollo no. 1462 7 de Febrero de 2019 Reconocimiento Oficial de Estudios Resolución No. 4143.0.21.6478 Septiembre 17 de 2013

Carrera 34 No. 12 – 60 Colseguros. Teléfonos 3364797 – 98 – 99 Fax 3356233 Correo Electrónico: [email protected]

NIT 800243065-3

GUIAS DE APRENDIZAJE

Versión 01

Fecha:

17/03/2020

Página:

1 de 1

Código:

F-GCA 39

DOCENTE: SIMEON CEDANO ROJAS

ASIGNATURA: MATEMATICA 11-2.11-3.11-4

CONTENIDO: Probabilidad simple

Condicional.

Propiedades de la probabilidad.

Diagramas de árbol.

N° DE HORAS: 3

DESEMPEÑOS: Determino el espacio muestral de un experimento aleatorio.

Determina el evento de un experimento.

Resuelvo problemas de la vida cotidiana que involucren el cálculo de una probabilidad simple o condicional de un evento.

NOMBRE DE LA GUÍA: Uso de la Teoría probabilidad simple y condicional para analizar eventos de la vida diaria. ACTIVIDADES PROPUESTAS:

Reconocimiento y diferenciación entre los distintos fenómenos probabilísticos.

Análisis de cada una de las distintas fórmulas y propiedades utilizadas en el cálculo de las probabilidades.

Analizar ejercicios de situaciones reales donde se ve fácilmente la aplicación de los métodos de las técnicas de probabilidad y realizar una conclusión práctica.

Plantear y resolver problemas prácticos de probabilidad, como son las rifas y las loterías.

Desarrollar talleres de diferentes ejercicios donde se apliquen todas las definiciones y propiedades de las probabilidades.

Describir las situaciones o de eventos en particular por medio de las probabilidades.

Coherencia en el proceso de aplicación de las operaciones matemáticas en la resolución de problemas de situaciones de la vida real al uso y cálculo de las probabilidades.

Observación de la aplicación de los procesos lógicos matemáticos operativos en el desarrollo de los diferentes ejercicios planteados para la casa en la época de crisis y de educación virtual, donde aplique los conceptos de las probabilidades.

Análisis de ejercicios que involucren situaciones de la vida práctica en el desarrollo de la probabilidad, y con aplicación a las técnicas de contar.

INTRODUCCIÓN: El Cálculo de Probabilidades nos permite calcular el grado de fiabilidad o error de las conclusiones obtenidas mediante inferencia estadística. † La probabilidad mide o cuantifica la incertidumbre que tenemos sobre el resultado de un experimento aleatorio. Un experimento es determinista cuando existe un conjunto de circunstancias que, antes de su ejecución, determinan completamente su resultado. Un experimento es aleatorio si no podemos predecir su resultado de antemano: Se conocen previamente y con exactitud los posibles resultados del experimento. Es imposible saber su resultado antes de su realización. Se puede repetir indefinidamente, en las mismas condiciones iniciales, obteniendo resultados distintos. En la vida cotidiana aparecen muchas situaciones en las que los resultados observados son diferentes aunque las condiciones iniciales en las que se produce la experiencia sean las mismas. Por ejemplo, al lanzar una moneda unas veces resultará cara y otras, cruz. Estos fenómenos, denominados aleatorios, se ven afectados por la incertidumbre. En el lenguaje habitual, frases como "probablemente...", "es poco probable que...", "hay muchas posibilidades de que..." hacen referencia a esta incertidumbre. La teoría de la probabilidad pretende ser una herramienta para modelizar y tratar con situaciones de este tipo. Por otra parte, cuando aplicamos las técnicas estadísticas, análisis e interpretación de los datos, la teoría de la probabilidad proporciona una base para evaluar la fiabilidad de las conclusiones alcanzadas y las inferencias realizadas. Debido al importante papel desempeñado por la probabilidad dentro de la estadística, es necesario familiarizarse con sus elementos básicos, lo que constituye el objetivo de esta clase. Comenzamos con una motivación sobre la incertidumbre y los distintos grados de incertidumbre, relacionándolos de manera intuitiva con los enfoques más tradicionales para asignar probabilidades. Posteriormente, se introduce el sentido de la probabilidad en términos de experimentos aleatorios, espacio muestral, sucesos, etc. , llegando a la formalización axiomática de la probabilidad y sus principales propiedades, junto con las expresiones de la probabilidad condicionada. Objetivos de la clase

Familiarizar al estudiante con experiencias de la vida cotidiana en las que

interviene el azar. Comprender los enfoques de la probabilidad más usuales así

como sus peculiaridades, ventajas e inconvenientes. Manejar el lenguaje de la probabilidad, sus propiedades y aplicarlo a problemas concretos.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN:

Aplicar los conceptos básicos de las probabilidades, como son fenómenos condicionales y los diagramas de árbol, en distintas situaciones problémicas.

Desarrollar trabajos en casa por la situación de crisis y con la ayuda de las herramientas tecnológicas se puedan realizar bien sea en grupo o de manera individual. Se evalúa en un proceso de seguimiento en el trabajo en casa, la participación en el desarrollo de los talleres y la resolución de los mismos sobre teoría de la probabilidad.

Aplica los conocimientos matemáticos para interpretar, argumentar, y proponer soluciones a diferentes situaciones de su entorno relacionados con la probabilidad.

Utiliza las nuevas tecnologías para su aprendizaje y para el desarrollo de sus tareas, trabajos, talleres, exposiciones y guías.

Utiliza las páginas de internet dadas por los profesores para resolver dudas matemáticas y geométricas, sobre temas de probabilidad.

Exposiciones, corrección y socialización individual de cada una de las tareas, o guías de trabajo con los demás compañeros sobre la probabilidad.

Trabajos en grupos realizados en casa, con socialización respectiva de cada uno de los trabajos y de la misma forma el seguimiento y acompañamiento de los padres de familia en al realización de los trabajos sobre probabilidad.

EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE: Desarrollo de los talleres en la casa sobre teoría de la probabilidad y sus

propiedades.

Socialización de los ejercicios de mayor complicación y de las definiciones de mayor relevancia con sus compañeros por medio del uso de la tecnología, internet, redes sociales, WhatsApp, etc.

Reflexión y análisis de los conceptos básicos y apropiación de los ejemplos propuestos sobre los temas tratados en la guía sobre probabilidad.

Evidencias del acompañamiento, seguimiento y colaboración de los Padres de Familia.

Afianzamiento de los talleres y definiciones en los cuadernos sobre la guía y ejercicios de probabilidad.

BIBLIOGRAFÍA:

Matemática elemental de grado 11.

Internet. Google.

YouTube.

Matemática de grado 11. Editorial Norma.

INSTITUCION EDUCATIVA NORMAL SUPERIOR “Santiago de Cali” DEPTO DE MATEMATICA TALLER DE ESTADISTICA TEMA: TECNICAS DE CONTAR y PROBABILIDAD

NOMBRE:

GRADO COD: FECHA

INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD. Es el estudio de experimentos o fenómenos aleatorios o de libre determinación o de libre ocurrencia. Históricamente, la Teoría de la probabilidad comenzó con el estudio de los juegos de azar, tales como dados, cartas, ruletas y otros, para un determinación de cómo serían sus resultados para ganar o perder. La probabilidad de un evento A se define:

P(A) = #𝐴

#𝑆

1. ESPACIO MUESTRAL: Regularmente se representa con una letra mayúscula S, pero de igual manera usted puede utilizar otra diferente. Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento o un fenómeno.

mailto:[email protected]




NIT 800243065-3


Versión 01

Fecha:

17/03/2020

Página:

2 de 1

Código:

F-GCA 39

Ej. Se lanza un dado y se analiza su resultado: Observamos que el dado puede caer en 1, 2, 3, 4, 5, o 6., por lo tanto el espacio muestral será: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

2. EVENTO: Un evento es un conjunto de resultados posibles del fenómeno a analizar. Es un subconjunto del espacio muestral. Dado el evento de que el dado pueda caer en una cifra par, entonces los posibles resultados en que puede caer el dado serán: dos, cuatro y seis, por lo tanto el evento será: A = { 2, 4, 6 } La combinación de los eventos se puede dar para formar nuevos eventos: 1. A U B si y solo si A o B suceden o ambos. 2. A ∩ B si y solo si A Y B suceden simultáneamente. 3. Ac Complemento de A, si y solo si A no sucede.

3. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS: Se llaman mutuamente exclusivos, si son disyuntos, ósea que la intersección de los conjuntos sea vacía. A ∩ B = φ ( No pueden suceder simultáneamente )

Ejemplo No 1: Se S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } un espacio muestral, de las posibilidades de salir un numero al ser lanzado un dado y los eventos A = {2, 4, 6} de salir un numero par. B = {1, 3, 5} de salir un número impar. C = {2, 3, 5} A ∩ B = φ, Observamos que no hay elementos comunes, por lo tanto los eventos son mutuamente exclusivos. Determinando la probabilidad de cada uno de los eventos.

P(A) = #𝐴

#𝑆 =

3

6 = 0.5 o equivalente a un 50%

P(B) = #𝐵

#𝑆 =

3


P(A) = #𝐶

#𝑆 =

3


P(S) = #𝑆

#𝑆 =

6

6 = 1 o equivalente a un 100%

P(C) = #𝐶

#𝑆 =

3


Formando nuevos eventos con la combinación de los eventos anteriores A, B y C: A U B = { 2, 4, 6, 1, 3, 5} A U C = { 2, 4, 6, 3, 5 } B ∩ C = { 3, 5 } CC = { 1, 4, 6 } Las probabilidades de los nuevos eventos serán:

P(AUB) = #(𝐴𝑈𝐵)

#𝑆 =

6

6 = 1 o equivalente a un 100%

P(AUC) = #(𝐴𝑈𝐶)

#𝑆 =

5


P(B∩C) = #𝐶

#𝑆 =

2


P(Cc) =

#Cc

#𝑆 =

3


1. AXIOMAS DE PROBABILIDAD. Si consideramos el espacio muestral S y los eventos A y B, cuyas funciones de probabilidad son P(S) probabilidad de S. P(A) probabilidad del evento A. P(C

c) probabilidad del evento Cc. Se cumplen los siguientes

axiomas: P1 Para todo evento A, se cumple que 0 ≤ P(A) ≤ 1 P2 P(S) = 1 P3 Si A y B son eventos mutuamente exclusivos, entonces se cumple que P(AUB) = P(A) + P(B) .

Para el ejemplo No 1, observamos que: 1. 0 ≤ P(A) ≤ 1. Observamos que el valor de cada una de las

probabilidades es menor que 1 y mayor que 0.

2. P(S) = 1. Se ve fácilmente que la probabilidad del espacio muestral S es 1.

3. P (AUB) = P(A) + P (B). La probabilidad de cada evento es P(A) = 0.5 P(B) = 0.5 y la probabilidad de P(AUB) = 1.0

2. TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD. Estos teoremas se deducen de los axiomas: T1. La probabilidad del conjunto vacio es 0. P(𝜙) = 0 T2. Si Ac es el complemento del evento A, entonces P(A

c) = 1 - P(A)

T3. Si A c B, entonces P(A) ≤ P(B) T4. Si a y b son dos eventos, entonces P(A-B) = P(A) - P(A∩B) T5. Si A y B son dos eventos, entonces P (AUB) = P(A) + P (B) + P(A∩B)

EJEMPLO No2: Sea S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, el espacio muestral de los resultados del fenómeno dado y los eventos A = {0, 1, 2, 4, 6, 8} y B = {1, 2, 3, 4, 5}. La grafica del conjunto será: A B

0 0 1 3

6 2

4 5

8 7 9

Calculado: A U B = { 0, 1, 2, 4, 6, 8, 3, 5 } A ∩ B = { 1, 2, 4 } Ac = { 3, 5, 7, 9 } Bc = { 0, 6, 7, 8, 9 } A – B = { 0, 6, 8 } B – A = { 3, 5 } Los cardinales de cada uno de los conjuntos: #A = 6, #B = 5, #(AUB) = 8, #(A∩B) = 3, #(Ac) = 4, #(Bc) = 5 #(A-B) = 3 #(B-A) = 2. Calculando las probabilidades.

P(A) = #𝐴

#𝑆 =

6

10 =

3

5 = 0.6 equivalente en porcentaje 60%

P(B) = #𝐵

#𝑆 =

5

10 =

1


P(AUB) = #(𝐴𝑈𝐵)

#𝑆 =

8

10 =

4


P(A∩B) = #(𝐴∩𝐵)

#𝑆 =

3


P(A-B) = #(𝐴−𝐵)

#𝑆 =

3


P(B-A) = #(𝐵−𝐴)

#𝑆 =

2


P(AC

) = #(𝐴𝑐)

#𝑆 =

4


P(𝐵𝑐) =

#(𝐵𝑐)

#𝑆 =

5


Si aplicamos los teoremas obtenemos: T2. P(A

C) = 1 - P(A) = 1 - 0.60 = 0.40

T2. P(BC

) = 1 - P(B) = 1 - 0.50 = 0.50 T4. P(A-B) = P(A) - P(A∩B) = 0.60 - 0.30 = 0.30 T5. P(B-A) = P(B) - P(B∩A) = 0.50 - 0.30 = 0.20 T6. P (AUB) = P(A) + P (B) + P(A∩B) = 0.60 + 0.50 - 0.30 = 0.80 T6. P (AUB) = P(A-B) + P (B-A) + P(A∩B) = 0.30 + 0.20 + 0.30 = 0.80

3. ESPACIOS FINITOS DE PROBABILIDAD. Sea un espacio muestral finito tal que S = { a1, a2, a3, ……. an }la probabilidad del espacio muestral será la suma de las probabilidades parciales e igual a 1. P(S) = P(a1) + P(a2) + P(a3) + ……………… + P(an) = 1

EJEMPLO No 3. Lanzamos cuatro monedas una a una y observamos los números de sellos que pueden salir en cada lanzamiento.





NIT 800243065-3


Versión 01

Fecha:

17/03/2020

Página:

3 de 1

Código:

F-GCA 39

El espacio muestral sería así: 1. Que no salga ningún sello. 0S

CCCC 2. Que salga un sello y tres caras. 1S

SCCC, CSCC, CCSC, CCCS. 3. Que salgan dos sellos y dos caras. 2S.

SSCC, CSSC, CCSS, SCSC, CSCS, SCCS. 4. Que salgan tres sellos y 1 cara. 3S

SSSC, CSSS, SCSS, SSCS. 5. Que salgan cuatro sellos y o caras. 4S

SSSS. El conjunto S = { 0, 1, 2, 3, 4 } de los posibles resultados de caer las monedas. Observamos que existen 16 posibilidades de salir los resultados. Si calculamos las siguientes probabilidades. 1. La probabilidad de que salgan 4 caras o no salga un sello.

P(0) = 1

16 = 0.0625

2. La probabilidad de que salga un sello.

P(1) = 4

16 = 0.25

3. La probabilidad de que salgan dos sellos.

P(2) = 6

16 =

3

8 = 0.375

4. Probabilidad de que salgan 3 sellos.

P(3) = 4

16 =

1

4 = 0.25

5. Probabilidad de que salgan 4 sellos.

P(4) = 1

16 = 0.0625

P(S) = P(0) + P(0) + P(0) + P(0) + P(0)

= 1

16 +

1

4 +

3

8 +

1

4 +

1

16 = 1

6. La probabilidad de que por lo menos salga un sello. Los resultados son C = { 1S, 2S, 3S, 4S }

P(C) = P(1S) + P(2S) + P(3S) + P(4S)

= 1

4 +

3

8 +

1

4 +

1

16 =

15

16

7. Sea D el evento de que salgan todos sellos o todas caras. Los resultados de D = { 4S, 4C }

P(D) = P(4C) + P(4S)

= 1

16 +

1

16 =

2

16 =

1

8

EJEMPLO No 4. Cuatro caballos A, P, S, Q, intervienen en una carrera. Si A tiene el doble de probabilidades de ganar que P, y P el doble de probabilidades de ganar que S, S el doble de probabilidades de ganar que Q. Cuáles son las respectivas probabilidades de ganar cada uno de los caballos. Sea p la probabilidad de ganar el menos factible. Q = p S = 2Q = 2p P = 2S = 2(2Q) = 4Q = 4p A = 2P = 2(2S) = 2(2(2Q))) = 8Q = 8p Como el valor total de una probabilidad de un espacio muestral debe ser uno, entonces. P(A) + P(P) + P(S) + P(Q) = 1 8p + 4p + 2p + p = 1 15p = 1

P = 1

15

Los valores de la probabilidad de ganar cada caballo es de:

P(A) = 8p = 8 x 1

15 =

8

15

P(P) = 4p = 4 x 1

15 =

4

15

P(S) = 2p = 2 x 1

15 =

2

15

P(Q) = 1p = 1 x 1

15 =

1

15

Cuál es la probabilidad de que A o P ganen la carrera. El evento es F = { A, P } P(F) = P(A) + P(P)

= 8

15 +

4

15 =

12

15 =

4

5 = 0.80

La probabilidad de que A o P ganen es de 4

5 o de 0.80, o también equivale

a decir que tienen el 80% de probabilidades de ganar, que es equivalente a decir que tienen el 20% de probabilidades de perder.

EJEMPLO No 5. Se lanzan 2 dados al mismo instante, pero sin identificarlos y se observan cada uno de los resultados. El espacio muestral de los posibles resultados seria: (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (5, 5) (5, 6) (6, 6) El total de posibilidades de caer los dados son S = 21 1. Cuál es la probabilidad de que la suma sea 6.

A = {La suma sea 6 } = { (1, 5), (2, 4), (3, 3) }

P(A) = 3

21 =

1

7

2. La probabilidad de B = { La suma sea 5 } = { (1, 4), (2, 3) }

P(B) = 2

21

3. La probabilidad C = {Salgan pares} Los números sea iguales. C = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) }

P(C) = 6

21 =

2

7

4. La probabilidad D = { La suma sea impar } D ={(1, 2),(1, 4),(1, 6),(2, 3),(2, 3), (3, 4), (3, 6), (4, 5), (5, 6)}

P(D) = 9

21 =

3

7

5. La probabilidad de E = { La suma sea 7 } = { (1, 6), (2, 5), (3, 4) }

P(E) = 3

21 =

1

7

6. La probabilidad de F = { La suma sea par } 7. La probabilidad de G = { Los dos dados sean números impares } 8. La probabilidad de H = {Uno de los dados sea un número impar }

EJERCICIO No 1. Qué pasaría si los dados están identificados posiblemente con un color, en el cual uno es verde y el otro es rojo.

1. Cuál sería el espacio muestral. S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), ………(6,6)} = 36

2. Probabilidad de que la suma sea 6. E={(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} = 5

𝑃(𝐴) =𝐸

𝑆=

5

36= 0.1388 ≡ 13.88%

3. Probabilidad de que la suma de los dados sea 5. E = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} = 4

𝑃(𝐴) =𝐸

𝑆=

4

36= 0.1111 ≡ 11.11%

4. Probabilidad de que ambos sean iguales (pares o cenas). E = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} = 6

𝑃(𝐴) =𝐸

𝑆=

6

36= 0.1666 ≡ 16.66%

5. Probabilidad de que la suma sea 7. E= {(1,6), (2,5),(3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} = 6

𝑃(𝐴) =𝐸

𝑆=

6

36= 0.1666 ≡ 16.66%

6. La probabilidad de que la suma de los dados sea par. E = {(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,3), (4,5), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6)} = 18





NIT 800243065-3


Versión 01

Fecha:

17/03/2020

Página:

4 de 1

Código:

F-GCA 39

𝑃(𝐴) =𝐸

𝑆=

18

36= 0.5000 ≡ 50%

7. La probabilidad de que los dos dados sean números impares. E = {(1,1), (1,3), (1,5), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5)} = 10

𝑃(𝐸) =𝐸

𝑆=

10

36= 0.2777 ≡ 27.77%

8. La probabilidad de que uno de los dados sea un número impar. E = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,3), (2,5), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,3), (4,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,3), (6,5)} = 27

𝑃(𝐸) =𝐸

𝑆=

27

36= 0.7500 ≡ 75%

9. Compare los resultados y que concluye. Diferentes resultados.

4. ESPACIOS FINITOS EQUIPROBABLES. Es un espacio muestral S finito de probabilidad, donde cada punto muestral tiene la misma probabilidad.

P(A) = 𝑎

𝑠

EJEMPLO No 1. Selecciónese una carta al azar de una baraja Española corriente de 52 cartas. Determínese la probabilidad de:

1. Que al sacar una carta sea una espada. Evento A 2. Que sea una figura, J, Q, K. Evento B 3. Hallar la P(A) - P(B) - P(AUB) - P(A∩B)

El evento A = {As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K }. Tenemos que son 13 cartas diferentes de espadas, de un total de 52 cartas de la baraja.

P(A) = 13

52 =

1

4 = 0.25 = 25%

El evento B = {Que sea una figura}. Las figuras que se encuentran en la baraja son: ESPADAS: J Q K COPAS: J Q K OROS: J Q K BASTOS: J Q K El total de cartas son 12 posibles, de un total de 52 cartas.

P(B) = 12

52 =

3

13 = 0.2307 = 23.07%

A∩B = {Que la carta sea una Espada y Figura}. Son un total de 3 cartas de 52 posibles.

P(A∩B) = 3

52 = 0.0576 = 5.76%

AUB = {Sea Espada o Figura}. ESPADA: As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K OROS: J, Q, K ESPADAS: J, Q, K BASTOS: J, Q, K Hay un total de 22 posibilidades de un total de 52 cartas.

P(AUB) = 22

52 =

11

26 = 0.4230 = 42.30%

EJERCICIOS 2: 1. Sean 2 Boliches escogidos al azar de un grupo de 12, de los cuales

4 de estos son o están en mal estado y sea: A={Dos boliches en mal estado} = 2 B={Dos boliches en buen estado} = 2 1. El espacio muestral serán los posibles grupos de 2 boliches que

se pueden formar de los 12 posibles.

𝐶(12,2) =12!

(12 − 2)! 2!=

12!

10! 2!=

12𝑥11𝑥10!

10! 𝑥2𝑥1=

12𝑥11

2𝑥1= 66

2. De los 4 boliches en mal estado se pueden formar grupos de 2 boliches.

𝐶(4,2) =4!

(4 − 2)! 2!=

4!

2! 2!=

4𝑥3𝑥2!

2! 𝑥2𝑥1=

4𝑥3

2𝑥1= 6

3. La probabilidad de A será: P(A) =

𝑃(𝐴) =𝐸

𝑆=

6

66=

1

11= 0.0909 ≡ 9.09%

4. De los 8 boliches en buen estado se pueden formar grupos de 2 boliches.

𝐶(8,2) =8!

(8 − 2)! 2!=

8!

6! 2!=

8𝑥7𝑥6!

6! 𝑥2𝑥1=

8𝑥7

2𝑥1= 28

5. La probabilidad de B será: P(B) =

𝑃(𝐴) =𝐸

𝑆=

28

66=

14

33= 0.4242 ≡ 42.42%

6. Probabilidad de que por lo menos un boliche este en mal estado. Halla uno malo o halla dos malos.

𝐶(4,1)𝐶(12,1) + 𝐶(4,2) = 4𝑥12 + 6 = 48 + 6 = 54

𝐶(4,1) =4!

(4 − 1)! 1!=

4!

3! 𝑥1!=

4𝑥3!

3! 𝑥1!=

4

1= 4

𝐶(12,1) =12!

(12 − 1)! 1!=

12!

11! 𝑥1!=

12𝑥11!

11! 𝑥1!=

12

1= 12

𝑃(𝐴) =𝐸

𝑆=

54

66=

9

11= 0.8181 ≡ 81.81%

EJERCICIOS 3: Una moneda está cargada (aumentada de peso) de modo que la posibilidad de salir cara (C), sea el doble que la de salir el sello (S). Hallar la probabilidad P(C) y P(S).

La probabilidad de salir cara es el doble de la de salir sello. 𝑃(𝐶) = 2𝑃(𝑆)

Por el teorema fundamental de la probabilidad, tenemos que: 𝑃(𝐶) + 𝑃(𝑆) = 1

2𝑃(𝑆) + 𝑃(𝑆) = 1

3𝑃(𝑆) = 1

Despejando la 𝑃(𝑆), tenemos que:

𝑃(𝑆) =1

3

Como la probabilidad de

𝑃(𝐶) = 2𝑃(𝑆) = 2 (1

3) =

2

3

1. Sea un dado cargado tal que la probabilidad de salir un numero cuando es lanzado el dado es proporcional a dicho numero (Por ejemplo la probabilidad de salir 3 es la mitad de salir 6). Sea A={Un numero par} B={Numero primo} C={Número impar} D={Numero par y primo} E={Número impar y primo}. La probabilidad de salir cada número es:

𝑃(1) = 𝑝, 𝑃(2) = 2𝑝, 𝑃(3) = 3𝑝, 𝑃(4) = 4𝑝, 𝑃(5) = 5𝑝, 𝑃(6) = 6𝑝

Por teorema fundamental de probabilidad, tenemos que: 𝑃(1) + 𝑃(2) + 𝑃(3) + 𝑃(4) + 𝑃(5) + 𝑃(6) = 1

𝑝 + 2𝑝 + 3𝑝 + 4𝑝 + 5𝑝 + 6𝑝 = 1 21𝑝 = 1

𝑝 =1

21

a.) El evento A={2,4,6}

𝑃(𝐴) = 𝑃(2) + 𝑃(4) + 𝑃(6) = 2 (1

21) + 4 (

1

21) + 6(

1

21)

2

21+

4

21+

6

21=

2 + 4 + 6

21=

12

21

b.) El evento B={3,5}

𝑃(𝐵) = 𝑃(3) + 𝑃(5) = 3 (1

21) + 5 (

1

21)

3

21+

5

21=

3 + 5

21=

8

21

c.) El evento numero C={1,3,5}

𝑃(𝐶) = 𝑃(1) + 𝑃(3) + 𝑃(5) = (1

21) + 3 (

1

21) + 5(

1

21)

1

21+

3

21+

5

21=

9

21=

3

7

d.) El evento D={2}





NIT 800243065-3


Versión 01

Fecha:

17/03/2020

Página:

5 de 1

Código:

F-GCA 39

𝑃(𝐷) = 𝑃(2) = 2 (1

21) =

2

21

2. Determínese la probabilidad p de cada uno de los siguientes eventos finitos equiprobables. 1. Que salga un número par al lanzar un dado normal.

Hallamos el espacio muestral: 𝑆 = {1,2,3,4,5,6} = 6

El evento es {2,4,6} = 3 La probabilidad es:

𝑃(𝑝𝑎𝑟) =𝐸

𝑆=

3

6= 0.5 ≡ 50%

2. Que resulte un Rey al sacar una carta de una baraja Española. El espacio muestral es la baraja española, que tiene en cada pinta: As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, sota, caballo y rey. Son cuatro pintas: Oros, copas, espadas y bastos. S = 48 El evento es: Hay 4 reyes, uno por cada pinta. E = 4

𝑃(𝑅𝑒𝑦) =𝐸

𝑆=

4

48= 0.0833 = 8.33%

3. Que aparezca por lo menos un sello al lanzar tres monedas normales. S = {CCC, CCS, SSC, SSS} = 4 E = {CCS, SSC, SSS} = 3

𝑃(𝑈𝑁𝑆) =𝐸

𝑆=

3

4= 0.75 ≡ 75%

4. Sacar un 4 en una baraja de póker. Espacio muestral. 4 pintas: Trébol, pica, corazones y diamantes. As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K., Son 13 cartas por pinta. S = 13x4 = 52 El evento: Hay 4 cuatros en la baraja de póker. E = 4

𝑃(4) =𝐸

𝑆=

4

52= 0.0769 ≡ 7.69%

5. Que resulte una figura al sacar una carta de una baraja de Póker. S = 52 E = 3x4 = 12

𝑃(𝐹𝐼𝐺𝑈𝑅𝐴) =𝐸

𝑆=

12

52= 0.2307 ≡ 23.07%

6. Que aparezca una bola blanca al sacar una sola bola de una urna que contiene 4 blancas, 3 rojas y 5 bolas azules. S = Todas las bolas = 4+3+5 = 12 E = Las bolas blancas = 4

𝑃(𝑏𝑙𝑎𝑛𝑐𝑎) =𝐸

𝑆=

4

12= 0.3333 ≡ 33.33%

7. Sacar un As de una baraja Española, en un solo intento en una carta. S = Todas las cartas = 4pintas x 12 cartas = 48 E = Las pintas x As = 4x1 = 4

𝑃(𝐴𝑆) =𝐸

𝑆=

4

48= 0.0833 ≡ 8.33%

3. Se sacan dos cartas al azar de una barja Española. Hallar la probabilidad p de que: 1. Las dos cartas escogidas sean Espadas.

S = Grupos de a dos, formados de las 48 cartas.

𝐶(48,2) =48!

(48 − 2)! 2!=

48!

46! 2!=

48𝑥47𝑥46!

46! 𝑥2!=

48𝑥47

2𝑥1= 1.128

E = Grupos formados de a dos cartas de las 12 espadas.

𝐶(12,2) =12!

(12 − 2)! 2!=

12!

10! 𝑥2!=

12𝑥11𝑥10!

10! 𝑥2!=

12𝑥11

2𝑥1= 66

𝑃(2𝑒𝑠𝑝𝑎𝑑𝑎𝑠) =𝐸

𝑆=

66

1.128= 0.0585 ≡ 5.85%

Otro método.

𝑃(2𝑒𝑠𝑝𝑎𝑑𝑎𝑠) = (12

48) (

11

47) =

132

2.256=

66

1.128 = 0.0585

≡ 5.85% 2. Las dos cartas escogidas al azar sean el mismo número.

S = 1.128 E = Grupos de 4(As)+Grupos de 4(2)+ +Grupos de 4(Reyes)=

12𝐶(4,2) = 124!

(4 − 2)! 𝑥2!= 12

4!

2! 𝑥2!= 12

4𝑥3𝑥2𝑥1

2𝑥1𝑥2𝑥1= 12𝑥6 = 72

𝑃(2𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠) =𝐸

𝑆=

72

1.128= 0.0638 ≡ 6.38%

Otro método.

𝑃(𝑁𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠) = 12 (4

48) (

3

47) =

144

2.256=

72

1.128 = 0.0638

≡ 6.38% 3. Las dos cartas sean figuras.

E = 3 Figuras x 4 pintas = 3x4 = 12. Formar grupos de 2 cartas.

𝐶(12,2) =12!

(12 − 2)! 2!=

12!

10! 𝑥2!=

12𝑥11𝑥10!

10! 𝑥2!=

12𝑥11

2𝑥1= 66

𝑃(2𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎𝑠) =𝐸

𝑆=

66

1.128= 0.0585 = 5.85%

Otro método.

𝑃(2𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎𝑠) = (12

48) (

11

47) =

132

2.256=

66

1.128 = 0.0585

≡ 5.85% 4. La una sea Espada y la otra Bastos.

E = De cada pinta se escoge de una.

𝐶(12,1) =12!

(12 − 1)! 1!=

12!

11! 𝑥1!=

12𝑥11!

11! 𝑥1!=

12

1= 12

= 12x12 = 144

𝑃(𝐸𝑠𝑝𝑎𝑑𝑎𝑦𝑏𝑎𝑠𝑡𝑜) =𝐸

𝑆=

144

1.128= 0.1276 = 12.76%

Otro método.

𝑃(1𝐸,1𝐵) = 2 (12

48) (

12

47) =

2𝑥144

2.256=

144

1.128 = 0.1276

≡ 12.76% 5. Las dos sean Ases.

E = Grupos de a dos ases.

𝐶(4,2) =4!

(4 − 2)! 2!=

4!

2! 𝑥2!=

4𝑥3𝑥2!

2! 𝑥2!=

4𝑥3

2𝑥1= 6

𝑃(2𝑎𝑠𝑒𝑠) =𝐸

𝑆=

6

1.128= 0.0053 = 0.53%

Otro método.

𝑃(2𝐴) = (4

48) (

3

47) =

12

2.256=

6

1.128 = 0.0053 ≡ 0.53%

6. Las dos sean Oros o Figuras. E= Los grupos de a dos Oros + Grupos de 2 figuras.

𝐶(10,2) =10!

(10 − 2)! 2!=

10!

8! 𝑥2!=

10𝑥9𝑥8!

8! 𝑥2!=

10𝑥9

2𝑥1= 45

𝐶(12,2) =12!

(12 − 2)! 2!=

12!

10! 𝑥2!=

12𝑥11𝑥10!

10! 𝑥2𝑥1=

132

2= 66

E = 45+66 = 111

𝑃(2𝑂,2𝐹) =𝐸

𝑆=

111

1.128= 0.0984 = 9.84%

Otro método.





NIT 800243065-3


Versión 01

Fecha:

17/03/2020

Página:

6 de 1

Código:

F-GCA 39

𝑃(2𝑂,2𝐹) = (10

48) (

9

47) + (

12

48) (

11

47) =

90

2.256+

132

2.256

=222

2.256

111

1.128= 0.0984 ≡ 9.84%

4. De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas. Calcular la probabilidad de que: Hallamos el espacio muestral. Grupos de r=2 cartas de n=48 posibles.

S=𝐶(48,2) =48!

(48−2)!2!=

48!

46!2!=

48𝑥47𝑥46!

46!𝑥2!=

48𝑥47

2𝑥1= 1.128

1. Las dos Sean copas. El evento. Son grupos de r=2, de n=12 posibles.

𝐶(12,2) =12!

(12 − 2)! 2!=

12!

10! 𝑥2!=

12𝑥11𝑥10!

10! 𝑥2!=

12𝑥11

2𝑥1= 66

𝑃(2𝐶) =𝐸

𝑆=

66

1.128= 0.0585 = 5.85%

Otro método.

𝑃(2𝐶) = (12

48) (

11

47) =

132

2.256=

66

1.128= 0.0585 ≡ 5.85%

2. Al menos una sea copas. E=Grupos de r=2 cartas en orden, de n=12 posibles. E= Las dos sean copas + Una copa y otra cualquiera.

𝐶(12,2) =12!

(12 − 2)! 2!=

12!

10! 𝑥2!=

12𝑥11𝑥10!

10! 𝑥2!=

12𝑥11

2𝑥1= 66

𝐶(12,1) =12!

(12 − 1)! 1!=

12!

11! 𝑥1!=

12𝑥11!

11! 𝑥1!=

12

1= 12

𝐶(36,1) =36!

(36 − 1)! 1!=

36!

35! 𝑥1!=

36𝑥35!

35! 𝑥1!=

36

1= 36

E = 66+12x36 = 66+432 = 498

𝑃(𝐴𝐿𝑀𝐸𝑁𝑂𝑆1𝐶) =𝐸

𝑆=

498

1.128= 0.4414 = 44.14%

Otro método.

𝑃(𝐴𝐿𝑀𝐸𝑁𝑂𝑆1𝐶) = (12

48) (

11

47) + 2 (

12

48) (

36

47) =

132

2.256+

864

2.256

996

2.256=

498

1.128= 0.4414 ≡ 44.14%

Otro método. 𝑃(𝐴𝐿𝑀𝐸𝑁𝑂𝑆1𝐶) = 1 − 𝑃(𝑁𝑂𝐶𝑂𝑃𝐴) =

𝑃(𝐴𝐿𝑀𝐸𝑁𝑂𝑆1𝐶) = 1 − (36

48) (

35

47) = 1 −

1260

2.256

=2.256 − 1.260

2.256

996

2.256=

498

1.128= 0.4414 ≡ 44.14%

3. Una sea copa y la otra espada. E = (Copa, Espada). Se cumple para cada una de las pintas.

𝐶(12,1) =12!

(12 − 1)! 1!=

12!

11! 𝑥1!=

12𝑥11!

11! 𝑥1!=

12

1= 12

E= 12x12 = 144 = 288

𝑃(𝐶𝑂𝑃𝐴,𝐸𝑆𝑃𝐴𝐷𝐴) =𝐸

𝑆=

144

1.128= 0.0124 = 1.24%

5. Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos Han elegido francés como asignatura optativa. Organizamos un diagrama de Venn que nos muestre la situación de los estudiantes

El espacio muestral del problema. E = Chicos + Chicas = 10 + 10 = 20 1. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea

chico o estudio francés? El evento es: Chico o Estudie francés. E = 10 + 5 Chicas que estudian francés = 15

P(H o F) =E

S=

15

20= 0.75 = 75%

2. ¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudié francés? El evento. E = 5 chicas que no estudian francés.

P(M o ~F) =E

S=

5

20= 0.25 = 25%

6. En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar: Se hace el llenado de la tabla para determinar el espacio muestral y el evento.

C.C C No C T

O C 15 10 25

O No C 25 50 75

T 40 60 100

1. Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños?

𝑃(OC/CC) =𝐸

𝑆=

15

40= 0.375 = 37.5%

2. Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?

𝑃(~CC/OC) =𝐸

𝑆=

10

25= 0.400 = 40%

3. ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?

𝑃(~CC,~OC) =𝐸

𝑆=

50

100= 0.500 = 50%

7. Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas diferentes, salgan: El espacio muestral de lanzar las dos monedas. S = {CC, SS, CS, SC} = 4 1. Dos caras. E = {CC} = 1

𝑃(2C) =𝐸

𝑆=

1

4= 0.250 = 25%

2. Dos sellos. E = {SS} = 1

𝑃(2S) =𝐸

𝑆=

1

4= 0.250 = 25%

3. Una cara y un sello. E = {CS, SC} = 2

𝑃(2C) =𝐸

𝑆=

2

4= 0.50 = 50%

8. Busca la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga: El espacio muestral es: S ={1, 2, 3, 4, 5, 6} 1. Un número par. E = {2, 4, 6} entonces 3.

𝑃(𝑃𝐴𝑅) =𝐸

𝑆=

3

6= 0.5 = 50%

2. Un múltiplo de tres. E = {3, 6} entonces 2.

𝑃(𝑃𝐴𝑅) =𝐸

𝑆=

2

6= 0.6666 = 66.66%

3. Mayor que cuatro. E = {5, 6} entonces 2.





NIT 800243065-3


Versión 01

Fecha:

17/03/2020

Página:

7 de 1

Código:

F-GCA 39

𝑃(𝑀𝐴𝑌𝑂𝑅 𝐴 4) =𝐸

𝑆=

2

6= 0.6666 = 66.66%

4. Menor que 4. E = {1, 2, 3} entonces 3.

𝑃(𝑀𝐸𝑁𝑂𝑅) =𝐸

𝑆=

3

6= 0.5 = 50%

5. Múltiplo de tres, en pares. E = {6} entonces 1.

𝑃(𝑀𝑈𝐿𝑇 3 𝐸𝑁 𝑃𝐴𝑅𝐸𝑆) =𝐸

𝑆=

1

6= 0.1666 = 16.66%

9. Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Describir el espacio muestral cuando: 1. La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la

segunda. El espacio muestral está formado por todas las posibilidades que existen de combinar dos bolas. S= {BB, BR, BV, BN, RB, RR, RV, RN, VB, VR, VV, VN, NB, NR, NV, NN} = 16

a. Probabilidad que las sacadas sean iguales. El evento. E = {BB, RR, VV, NN} = 4

𝑃(iguales) =𝐸

𝑆=

4

16= 0.250 = 25%

b. Probabilidad que las sacadas sean diferentes. El evento. E = {BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV} = 12

𝑃(iguales) =𝐸

𝑆=

12

16= 0.750 = 75%

2. La primera bola no se devuelve. El espacio muestral está formado por todas las posibilidades que existen de combinar dos bolas. S= {BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV} = 12

a. Probabilidad que las sacadas sean iguales. El evento. E = { } = 0

𝑃(iguales) =𝐸

𝑆=

0

16= 0.000 = 0%

b. Probabilidad que las sacadas sean diferentes. El evento. E = {BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV} = 12

𝑃(iguales) =𝐸

𝑆=

12

12= 1.00 = 100%

10. Una urna tiene 8 bolas rojas, 5 amarilla y 7 verdes. Se extrae una al azar, Cual es la probabilidad de que: Espacio muestral es la suma de todas las bolas. S = 8+5+7 = 20 1. Sea roja.

E = 8

𝑃(ROJA) =𝐸

𝑆=

8

20= 0.40 = 40%

2. Sea verde. E = 7

𝑃(VERDE) =𝐸

𝑆=

7

20= 0.350 = 35%

3. Sea amarilla. E = 5

𝑃(ROJA) =𝐸

𝑆=

5

20= 0.25 = 25%

4. No sea roja. E = Son amarillas o verdes = 5 + 7 = 12

𝑃(~ROJA) =𝐸

𝑆=

12

20= 0.60 = 60%

5. No sea amarilla. E = Que sea verde o roja = 8 + 7 = 15

𝑃(ROJA) =𝐸

𝑆=

15

20= 0.750 = 75%

11. Una urna contiene 3 bolas rojas y 7 blancas. Se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de: S = {RR, RB, BB, BR}, 1. Extraer las dos bolas Rojas con reemplazamiento.

𝑃(𝑅𝑅) = (3

10) (

3

10) =

9

100= 0.09

2. Extraer las dos bolas Blancas con reemplazamiento.

𝑃(𝑅𝑅) = (7

10) (

7

10) =

49

100= 0.49

3. Extraer una bola Roja y otra Blanca con reemplazamiento.

𝑃(𝑅𝐵) = (3

10) (

7

10) =

21

100= 0.21

4. Extraer una bola Blanca y otra Roja con reemplazamiento.

𝑃(𝑅𝑅) = (7

10) (

3

10) =

21

100= 0.21

5. Extraer las dos bolas Rojas sin reemplazamiento.

𝑃(𝑅𝑅) = (3

10) (

2

9) =

6

90= 0.066

6. Extraer las dos bolas Blancas sin reemplazamiento.

𝑃(𝑅𝑅) = (7

10) (

6

9) =

42

90= 0.466

7. Extraer una bola Roja y otra Blanca sin reemplazamiento.

𝑃(𝑅𝐵) = (3

10) (

7

9) =

21

90= 0.233

8. Extraer una bola Blanca y otra Roja sin reemplazamiento.

𝑃(𝑅𝑅) = (7

10) (

3

9) =

21

90= 0.233

12. Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 12 bombillas, de las cuales hay cinco fundidas; en la segunda hay ocho bombillas, estando tres de ellas fundida, y la tercera caja hay cinco bombillas fundidas de un total de quince. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas? 1. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar

de la primera caja, esté fundida?

𝑃(𝐶1𝐹) =1

3(

5

12) =

5

36

2. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de la segunda caja, esté buena?

𝑃(𝐶2𝐵) =1

3(

5

8) =

5

24

3. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de la segunda caja, esté fundida?

𝑃(𝐶2𝐹) =1

3(

3

8) =

3

24=

1

8

4. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar

de una cualquiera de las cajas, esté fundida?

URNA

CAJA1-12

CAJA2-8

CAJA3-15

F

B

F

B

F

B

5

7

3

5

5

10





NIT 800243065-3


Versión 01

Fecha:

17/03/2020

Página:

8 de 1

Código:

F-GCA 39

𝑃(𝐶𝐹) =1

3(

5

12) +

1

3(

3

8) +

1

3(

5

15) =

5

36+

3

24+

5

45=

3

8

5. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté buena?

𝑃(𝐶𝐵) =1

3(

7

12) +

1

3(

5

8) +

1

3(

10

15) =

7

36+

5

24+

10

45=

5

8

6. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté buena o esté fundida?

𝑃(𝐶𝐹𝑂𝐶𝐵) =3

8+

5

8=

8

8= 1

7. En una competencia ciclística, donde solo hay cuatro corredores, que tienen la opción de ganar. Si Metelón tiene el cuádruplo de probabilidad de ganar que Sobarrón, y Sobarrón tiene el doble de probabilidad de ganar que Pedalero y Pedalero el doble de Cipriano.

A. Determinar la probabilidad de ganar cada uno. Se plantean las probabilidades de cada uno de los ciclistas en función de los demás y se halla la probabilidad de cada uno de ellos.

𝑃(𝑀) = 4𝑃(𝑆), 𝑃(𝑆) = 2𝑃(𝑃), 𝑃(𝑃) = 2𝑃(𝐶)

𝑃(𝑀) = 4𝑃(𝑆) = 4(4𝑃(𝐶)) = 16𝑃(𝐶)

𝑃(𝑆) = 2(2𝑃(𝐶)) = 4𝑃(𝐶)

𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑃(𝑀) + 𝑃(𝑆) + 𝑃(𝑃) + 𝑃(𝐶) = 1

16𝑃(𝐶) + 4𝑃(𝐶) + 2𝑃(𝐶) + 𝑃(𝐶) = 1

23𝑃(𝐶) = 1

𝑃(𝐶) =1

23

𝑃(𝑀) = 16𝑃(𝐶) = 16𝑋1

23=

16

23

𝑃(𝑆) = 4𝑃(𝐶) = 4𝑥1

23=

4

23

𝑃(𝑃) = 2𝑃(𝐶) = 2𝑥1

23=

2

23

B. Quien ganara la carrera, según el estudio de la probabilidad?

Gana La carrera el de mayor probabilidad que es Metelón con 16

23.

PROBABILIDAD CONDICIONAL. Ej. No 1. Una caja contiene bolitas blancas y negras, además, cada una tiene grabada una letra que puede sea A o Z. Si la composición de la caja es:

NEGRA(N) BLANCA(B) TOTAL

A 5 3 8

Z 1 2 3

TOTAL 6 5 11

Si se selecciona al azar una bolita de la caja. Hallar la probabilidad de: 1. 𝑃(𝑁) = Probabilidad de obtener una bolita negra.

𝐸(𝑁) = 6 S = 11

𝑃(𝑁) =𝐸𝑁

𝑆=

6

11

2. 𝑃(𝑁/𝐴) = Probabilidad de obtener una bolita negra suponiendo que

tenga grabada una letra A. S = Bolita con letra A = 8 A = Bolitas negras con letra A = 5

𝑃(𝑁/𝐴) =5

8 𝑃(𝑁/𝐴) =

𝑃(𝑁∩𝐴)

𝑃(𝐴)=

5

118

11

=5

8

3. 𝑃(𝐴) = Probabilidad de obtener una bolita con la letra A.

𝐴 = Bolitas con letra A = 8 𝑆 = Total de bolitas = 11

𝑃(𝐴) =𝐸𝐴

𝑆=

8

11

4. 𝑃(𝐴∩𝑁) = Probabilidad de obtener una bolita con la letra A y sea

negra.

𝐴 = Bolitas negras con letra A = 5 𝑆 = Total de bolitas = 11


𝑆=

5

11

5. 𝑃(𝐵/𝐴) = Probabilidad de B dado A.

Probabilidad de obtener una bolita blanca suponiendo que tenga grabada la letra A. A = Bolita con letra A = 8 B = Bolitas blancas con la con letra A = 3

𝑃(𝐵/𝐴) =3

8


𝑆=

8

11; 𝑃(𝐴∩𝐵) =

3

11, 𝑃(𝐵/𝐴) =

𝑃(𝐴∩𝐵)

𝑃(𝐴)=

3118

11

=3

8

Ej. No 2. Se lanza un dado cargado. Dado que el resultado es un número par. Cuál es la probabilidad de que sea mayor que 3? S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = Total de resultados del dado. = 6 A = {2, 4, 6} = Resultados pares = 3 B = {4, 5, 6} = Resultados mayores que 3 = 3 A∩B = {4, 6} = Pares mayores que 3 = 2 𝑃(𝐵/𝐴) = Probabilidad de obtener un número mayor que 3, dado que sea

par.

𝑃(𝐴) =3

6; 𝑃(𝐵) =

3

6; 𝑃(𝐴∩𝐵) =

2

6, 𝑃(𝐵/𝐴) =

𝑃(𝐴∩𝐵)

𝑃(𝐴)=

2636

=2

3

Analizándolo de otro modo. S = {2, 4, 6} S = 3 números pares; E = {4, 6} =Mayores que 3 = 2

𝑃(𝐴) =𝐸

𝑆=

2

3

1. Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa.

Eléctrico Mecánico Chapas Total

Mañana 3 8 3 14

Tarde 2 3 1 6

Total 5 11 4 20

A. Cuál es la probabilidad de que atiendan un carro y sea de la jornada de la tarde:

𝑃(TARDE) =𝐸

𝑆=

6

20= 0.30 = 30%

B. Cuál es el porcentaje de los carros que acuden por problemas mecánicos. Recuerde que hallar el porcentaje y la probabilidad son operaciones equivalentes.

𝑃(MECANICOS) =𝐸

𝑆=

11

20= 0.55 = 55%

C. Calcular la probabilidad de que atiendan un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana:

𝑃(M/E) =𝐸

𝑆=

3

5= 0.60 = 60%

D. Calcular la probabilidad de que atiendan un automóvil con problemas mecánicos acuda por la tarde:

𝑃(T/M) =𝐸

𝑆=

3

11= 0.2727 = 27.27%

13. En un aula de clases hay 100 alumnos, de los cuales: 40 son hombres, 30 usan gafas, y 15 son varones y usan gafas. Si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso.

Gafas Sin Gafas Total

Hombres 15 25 40

Mujeres 15 45 60

Total 30 70 100





NIT 800243065-3


Versión 01

Fecha:

17/03/2020

Página:

9 de 1

Código:

F-GCA 39

A. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas?

𝑃(MY~G) =𝐸

𝑆=

45

100= 0.45 = 45%

B. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y use gafas?

𝑃(MYG) =𝐸

𝑆=

15

100= 0.15 = 15%

C. Hallar el porcentaje de los estudiantes que usan gafas

𝑃(G) =𝐸

𝑆=

30

100= 0.30 = 30%

D. La probabilidad de que un estudiante con gafas sea mujer.

𝑃(M/G) =𝐸

𝑆=

15

30= 0.50 = 50%

E. Probabilidad de que un estudiante sin gafas sea hombre.

𝑃(M/G) =𝐸

𝑆=

25

70= 0.25 = 25%

F. Sabemos que el estudiante seleccionado no usa gafas, ¿Qué probabilidad hay de que sea hombre?

𝑃(H/~G) =𝐸

𝑆=

25

70=

5

14= 0.3571 = 35.71%

G. Sabemos que el estudiante seleccionado no usa gafas, ¿Qué probabilidad hay de que sea mujer?

𝑃(H/~G) =𝐸

𝑆=

45

70=

9

14= 0.6428 = 64.28%

REGLA DE LA MULTIPLICACION. Ej. No1. Se sacan dos cartas simultáneamente de una baraja de 52 cartas. Cuál es la probabilidad de que ambos sean ases? A = Primera carta As. B = Segunda carta As.

𝑃(𝐴) =𝐸

𝑆=

4

52; 𝑃(𝐵) =

𝐸

𝑆=

3

51

𝑃(𝐴;𝐴) = 𝑃(𝐴). 𝑃(𝐵) =4

52.

3

51=

12

2.652=

1

221

Otro método. 𝐶(52,2) = Combinaciones de grupos de dos cartas diferentes.

𝑆 = 𝐶(52,2) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!=

52!

(52 − 2)! 2!=

52𝑥51𝑥50!

50! 𝑥2!= 1.326

𝐶(4,2) = Combinaciones de grupos de dos, de 4 ases posibles.

𝐸 = 𝐶(4,2) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!=

4!

(4 − 2)! 2!=

4𝑥3𝑥2!

2! 𝑥2!= 6

𝑃(𝐴;𝐴) =𝐸

𝑆=

6

1.326=

1

221

Ej. No2. Una urna contiene 6 bolitas Blancas y 4 bolitas Negras. Se extraen dos bolitas sucesivamente y sin sustitución. Hallar. a. Probabilidad de que ambas bolitas sean blancas. Como son 10

bolitas en total, pero Blancas B = 6 y Negras N = 4

𝑃(2𝐵) = 𝑃(𝐵1)𝑃(𝐵2) = (6

10) (

5

9) =

30

90=

1

3

Otro método. El espacio muestral. Combinaciones de 10 en 2.

𝑆 = 𝐶(10,2) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!=

10!

(10 − 2)! 2!=

10𝑥9𝑥8!

8! 𝑥2!= 45

El evento. Grupos de 2 bolitas blancas de las 6 posibles.

𝐸 = 𝐶(6,2) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!=

6!

(6 − 2)! 2!=

6𝑥5𝑥4!

4! 𝑥2𝑥1= 15

𝑃(𝐵𝐵) =𝐸

𝑆=

15

45=

1

3

b. Probabilidad de que la primera sea blanca y la segunda negra.

𝑃(1𝐵,2𝑁) = 𝑃(𝐵1)𝑃(𝐵2) = (6

10) (

4

9) =

24

90=

4

15

Otro método. El espacio muestral. Variaciones de 10 en 2.

𝑆 = 𝑉(10,2) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)!=

10!

(10 − 2)!=

10𝑥9𝑥8!

8!= 90

El evento. Grupos de 1 bolitas de 6 blancas y 1 de 4 Negras.

𝑃(1𝐵) = 𝐶(6,1) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!=

6!

(6 − 1)! 1!=

6𝑥5!

5! 𝑥1= 6

𝑃(2𝑁) = 𝐶(4,1) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!=

4!

(4 − 1)! 1!=

4𝑥3!

3! 𝑥1= 4


𝑆=

24

90=

4

15

c. Probabilidad de que la primera sea negra y la segunda blanca.

𝑃(1𝑁,2𝐵) = 𝑃(1𝑁)𝑃(𝐵2) = (4

10) (

6

9) =

24

90=

4

15

Otro método. El espacio muestral. Variaciones de 10 en 2.

𝑆 = 𝑉(10,2) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)!=

10!

(10 − 2)!=

10𝑥9𝑥8!

8!= 90

El evento. Grupos de 1 bolitas de 4 blancas y 1 de 6 negras.

𝑃(1𝑁) = 𝐶(4,1) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!=

4!

(4 − 1)! 1!=

4𝑥3!

3! 𝑥1= 4

𝑃(2𝐵) = 𝐶(6,1) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!=

6!

(6 − 1)! 1!=

6𝑥5!

5! 𝑥1= 6


𝑆=

24

90=

4

15

d. Probabilidad de que ambas bolitas sean negras. Como son 10 bolitas en total, pero Blancas B = 6 y Negras N = 4

𝑃(2𝑁) = 𝑃(𝑁1)𝑃(𝑁2) = (4

10) (

3

9) =

12

90=

2

15

Otro método. El espacio muestral. Combinaciones de 10 en 2.

𝑆 = 𝐶(10,2) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!=

10!

(10 − 2)! 2!=

10𝑥9𝑥8!

8! 𝑥2!= 45

El evento. Grupos de 2 bolitas blancas de las 6 posibles.

𝐸 = 𝐶(4,2) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!=

4!

(4 − 2)! 2!=

4𝑥3𝑥2!

2! 𝑥2𝑥1= 6

𝑃(𝑁𝑁) =𝐸

𝑆=

6

45=

2

15

Ej. No 3. Se extraen 3 cartas de una baraja de póker en forma sucesiva y sin restitución. Hallar la: a. Probabilidad de que no haya ningún as entre las 3 cartas?

𝑃(~𝐴) = 𝑁𝑜 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎𝑠.

Como son 52 cartas en total, de las cuales 4 son as. Quedan 48 cartas.

𝑃(~𝐴) =48

52𝑥

47

51𝑥

46

50=

103.776

132.600=

4.324

5.525

b. Las dos primeras sean As y la última Rey.

𝑃(2𝐴,1𝑅) =4

52𝑥

3

51𝑥

4

50=

48

132.600=

2

5.525

𝑆 = 𝑉(52,3) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)!=

52!

(52 − 3)!=

52𝑥51𝑥50𝑥49!

49!= 132600

𝐸1 = 𝐶(4,2) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!=

4!

(4 − 2)! 2!=

4𝑥3𝑥2!

2! 𝑥2𝑥1= 6

𝐸2 = 𝐶(4,1) =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)! 𝑟!=

4!

(4 − 1)! 1!=

4𝑥3!

3! 𝑥1= 4

𝐸𝑇 = 2𝐶(4,2)𝐶(4,1) = 2𝑥6𝑥4 = 48

𝑃(2𝐴.1𝑅) =𝐸𝑇

𝑆=

48

132600=

2

5.525

c. Probabilidad que solo las 2 primeras sean Ases..

𝑃(2𝐴,1𝐶) =4

52𝑥

3

51𝑥

48

50=

576

132.600=

24

5.525

d. Probabilidad de un As en la última salida.

𝑃(2𝐴,1𝐶) =48

52𝑥

47

51𝑥

4

50=

9.024

132.600=

376

5.525

Ej. No4. De 100 personas que solicitaron empleo de programación de computadores en una Universidad durante el año pasado, 40 tenían experiencia anterior (W). 30 tenían certificación profesional ©. Sin





NIT 800243065-3


Versión 01

Fecha:

17/03/2020

Página:

10 de 1

Código:

F-GCA 39

embargo 20 de los solicitantes tenían experiencia anterior y un certificado y se los incluye en ambos conteo. a. Diagrama de Venn. U W C

20 20 10 50 b. Probabilidad de que un solicitante escogido aleatoriamente tenga

experiencia o certificación.

𝑃(𝑊∪𝐶) =20 + 20 + 10

100=

50

100=

1

2= 0.5 ≡ 50%5

c. Probabilidad de que un solicitante escogido aleatoriamente tenga experiencia o certificación pero no ambas..

𝑃(𝑊∪𝐶−𝑊∩𝐶) =20 + 10

100=

30

100=

3

10= 0.3 ≡ 30%

d. Probabilidad condicional de que un solicitante escogido aleatoriamente tenga un certificado, dado que tiene experiencia anterior.

𝑃(𝐶/𝑊) =𝑃(𝐶∩𝑊)

𝑃(𝑊)=

20

10040

100

=20

40=

1

2= 0.5 ≡ 50%

Ej. No 5. De 12 CxC de un archivo financiero de una empresa de zapatos, se examinó que 4 contienen un error de procedimiento al contabilizar los saldos. 1. Si un auditor selecciona aleatoriamente dos de estas CXC (Sin

reemplazo). Cuál es la probabilidad que ninguna CXC contenga un error de procedimiento de digitación? N = 12 Con error E = 4 Sin error SE = 8

𝑃(2𝐶𝑋𝐶 𝑆𝐸) = (8

12) (

7

11) =

56

132=

14

33= 0.4242 ≡ 42.42%

2. Si el auditor muestrea 3 CXC. Cuál es la probabilidad de que ninguna de las CXC tenga un error de procedimiento?

𝑃(3𝐶𝑋𝐶 𝑆𝐸) = (8

12) (

7

11) (

6

10) =

336

1320=

14

55= 0.2545 ≡ 25.45%

3. Si el auditor muestrea una sola CXC. Cuál es la probabilidad de que esta tenga error?

𝑃(1𝐶𝑋𝐶 𝑆𝐸) =4

12=

1

3= 0.3333 ≡ 33.33%

4. Probabilidad de que por lo menos una tenga error de 2CXC auditadas:

𝑃(1𝐸) = 𝑃(2𝐸) + 𝑃(1𝐸,2𝑁) + 𝑃(1𝑁,2𝐸)

𝑃(1𝐸) =4

12𝑥

3

11+

4

12𝑥

8

11+

8

12𝑥

4

11=

12

132+

32

132+

32

132

𝑃(1𝐸) =76

132=

19

33= 0.5757 ≡ 57.57%

5. Auditadas 3CXC. Cuál es la probabilidad de que por lo menos una tenga error.

𝑃(1𝐸) = 𝑃(3𝐸) + 3𝑃(2𝐸,1𝑁) + 3𝑃(1𝐸,2𝑁)

𝑃(1𝐸) =4

12

3

11

2

10+ 3(

4

12

3

11

8

10) + 3(

4

12

8

11

7

10) =

24

1320+

288

1320+

672

1320=

984

1320=

41

55= 0.7454 ≡ 74.54%

𝑃(1𝐶𝑋𝐶 𝑆𝐸) = 1 − 𝑃(𝑆𝐸)

1 −8

12𝑥

7

11𝑥

6

10= 1 −

336

1320=

984

1320=

41

55

Ej No 6. Tenemos dos urnas. La primera Urna 𝑈1, contiene 8 bolitas blancas y 2 negras y la urna 𝑈2, contiene 3 bolitas blancas y 7 negras. Se elige una urna al azar y se saca una bolita de la urna elegida. Si

obtenemos un premio de $100.000 cuando la bolita es blanca. Cuál es la probabilidad de ganar en este juego? 𝑃(𝐵 / 𝑈1)

1

2

𝑃(𝐵 / 𝑈2)

1

2

Existen dos maneras de ganar el juego. 1. Si elige la 𝑈1 y saca la bolita Blanca.

𝑃(𝐵𝑈1) =1

2𝑋

8

10=

8

20=

2

5= 0.4 ≡ 40%

2. Si elige la 𝑈2 y saca la bolita Blanca.

𝑃(𝐵𝑈2) =1

2𝑋

3

10=

3

20= 0.15 ≡ 15%

El resultado de ganar con cualquiera de las urnas se suma.

𝑃(𝐺𝐵) = 𝑃(𝐵𝑈1) + 𝑃(𝐵𝑈2) =8

20+

3

20=

11

20= 0.55 ≡ 55%

RESUELVA: Cada uno de los ejercicios presentados a continuación y haciendo el paso a paso de ellos para explicar su resultado. 1. Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se

obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

2. Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales a los números de estas. Hallar: a. La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento. b. La probabilidad de conseguir un número impar en un

lanzamiento. 3. Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos

obtenidos. Se pide: 1. La probabilidad de que salga el 7. 2. La probabilidad de que el número obtenido sea par. 3. La probabilidad de que el número sea múltiplo de tres.

4. Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que: 1. Salga 6 en todos. 2. Los puntos obtenidos sumen 7.

5. En una casa matriz de venta de carros se realiza un sorteo de un vehículo entre sus clientes y se selecciona por sorteo a uno de ellos y se le introducen tres llaveros A, B y C, para poder abrir la puerta del vehículo y así ser el ganador: El primero llavero con cinco llaves y dos abren el auto, el segundo con siete y tres abren el auto y el tercero con ocho y 6 bloquean el auto. Se escoge al azar un llavero. Cuál es la probabilidad de que: A. Sea el ganador con el primer llavero. B. Abra el carro con cualquiera de los llaveros. C. No abra con el tercer llavero. D. Con cuál de los llaveros tiene mayor probabilidad de ganar.

6. En una urna hay 3 monedas, con las siguientes características. La primera es una moneda normal, la segunda es una moneda que tiene dos caras y la tercera es una moneda cargada, en la cual la

probabilidad de salir cara es 1

3 de la probabilidad de salir sello.

Si se saca una moneda al azar, cuál será la probabilidad de que al lanzarla salga: A. Cara. B. Sello.

7. En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90%

B=8

N=2

B=3

N=7

𝑈1

𝑈2

Urnas





NIT 800243065-3


Versión 01

Fecha:

17/03/2020

Página:

11 de 1

Código:

F-GCA 39

de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. Al elegir un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?

8. Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Se extrae una al azar de que: 1. Sea roja. 8/20 4. Sea verde. 3/5 2. Sea amarilla. 7/20 5. No sea roja. 5/20 3. No sea amarilla. 3/4

9. Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de: 1. Extraer las dos bolas con reemplazamiento. 9/100, 21/100,

21/100 y 49/100. 2. Sin reemplazamiento. 6/90, 21/90, 21/90, 42/90.

10. Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? 3/5¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?2/3

11. En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los alumnos juega al fútbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Si además hay un 60% que no juega al fútbol, ¿cuál será la probabilidad de que escogido al azar un alumno de la clase:

F B 0.30 0.10 0.20 0.40 A. Juegue ni futbol, ni baloncesto. B. Juegue sólo al fútbol: C. Juegue sólo al baloncesto. D. Practique uno solo de los deportes: E. Que practique baloncesto: F. Si en total en la escuela hay 80 estudiantes practicando Deportes.

Cuál es el número de estudiantes que practica Futbol? G. De total de estudiantes de la escuela Deportes. Cuál es el número

de estudiantes que practica Baloncesto? H. Si del total estudiantes practicando Deportes se quiere hallar el

número de estudiantes que practica solo Futbol? I. Cuál es el número de estudiantes que practica Futbol y Baloncesto? J. Cuál es el número de estudiantes que practica Futbol o Baloncesto? 12. En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos

rubios y 10 morenos. Un día asisten 44 alumnos, encontrar la probabilidad de que el alumno que falta: 1. Sea hombre. 2. Sea mujer morena. 3. Sea hombre o mujer.

13. En un sobre hay 20 papeletas, ocho llevan dibujado un coche las restantes son blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de un coche: 1. Si se saca una papeleta. 2. Si se extraen dos papeletas. 3. Si se extraen tres papeletas.

14. Se extraen cinco cartas de una baraja de 52. Hallar la probabilidad de extraer: 1. 4 ases. 2. 4 ases y un rey. 3. 3 cincos y 2 sotas. 4. Un 9, 10, sota, caballo y rey en cualquier orden. 5. 3 de un palo cualquiera y 2 de otro.

15. Al menos un as. Calcular la probabilidad de obtener un 6 al tirar un dado sabiendo que ha salido par.

16. Se tiene una baraja de 40 cartas, se saca una y se vuelve a meter. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos ases?

1 7 . Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de suspender un examen. La probabilidad de que suspendan el examen simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen.

1 8 . Dos hermanos salen de casa. El primero mata un promedio de 2 piezas cada 5 disparos y el segundo una pieza cada 2 disparos. Si los dos disparan al mismo tiempo a una misma pieza, ¿cuál es la probabilidad de que la maten?

19. Calcular la probabilidad de sacar exactamente dos cruces al tirar una moneda cuatro veces.

20. Se extraen cinco cartas de una baraja de 52. Hallar la probabilidad de extraer: 1. 4 ases. 2. 4 ases y un rey. 3. 3 cincos y 2 sotas. 4. Un 9, 10, sota, caballo y rey en cualquier orden. 5. 3 de un palo cualquiera y 2 de otro. 6. Al menos un as.

21. De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas. Calcular la probabilidad de que. Las dos sean copas. Al menos una sea copas. Una sea copa y la otra espada.

22. Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza en trayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados

23. Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa 1. Hacer una tabla ordenando los datos anteriores 2. Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde 3. Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas

mecánicos 4. Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas

eléctricos acuda por la mañana. 24. En un aula hay 100 alumnos, de los cuales: 40 son hombres, 30 usan

gafas, y 15 son varones y usan gafas. Si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso: 1. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas? 2. Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, ¿qué

probabilidad hay de que sea hombre? 25. Una clase consta de 6 niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de

tres al azar, hallar la probabilidad de: 1. Seleccionar tres niños.





NIT 800243065-3


Versión 01

Fecha:

17/03/2020

Página:

12 de 1

Código:

F-GCA 39

2. Seleccionar exactamente dos niños y una niña. 3. Seleccionar por lo menos un niño. 4. Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.

26. En una casa hay tres llaveros A, B y C; el primero con cinco llaves, el segundo con siete y el tercero con ocho, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge a Lázaro llavero y, de él, una llave intenta abrir el trastero. Se pide: 1. ¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave?

2. ¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el

tercero y la llave no abra? 3. Y si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad

de que pertenezca al primer llavero A? 27. Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Se extrae

una al azar de que: 4. Sea roja. 5. Sea verde. 6. Sea amarilla. 7. No sea roja. 8. No sea amarilla.

28. Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de: 3. Extraer las dos bolas con reemplazamiento. 4. Sin reemplazamiento.

29. Las preguntas siguientes, se refieren al siguiente enunciado. En una casa hay tres llaveros A, B y C; el primero con cinco llaves, el segundo con siete y el tercero con ocho, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge a Lázaro llavero y, de él, una llave intenta abrir el trastero. Se pide:

A. ¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave? B. ¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero

y la llave no abra? C. Y si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de

que pertenezca al primer llavero A? D. ¿Cuál será la probabilidad de que se no acierte con la llave? E. ¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el primero

y la llave no abra?: F. ¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el segundo

y la llave no abra?: G. Si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de que

pertenezca al segundo llavero B? H. Si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de que

pertenezca al tercer llavero C? OBSERVACIONES. El estudiante tendrá en sus manos esta guía donde se recuerdan algunas operaciones, con sus respectivos procesos y deberá resolver los que aparecen con rojo como trabajo de práctica y afianzamiento de los procesos con las operaciones. Esto es un repaso de lo visto anteriormente en grados anteriores y que dio muestra que no se recordaba y que no se trabaja en la casa y no se hacía seguimiento, esto según resultados de prueba diagnóstica. Algunas ecuaciones son cuadráticas pero tienen una solución aplicada a la raíz y a las potencias y de fácil solución. En algunos problemas usted debe utilizar la ecuación x=vt.

Simeón Cedano Rojas Profesor de la materia UIA 3-4.MATEMATICA.PROBABILIDAD.11-2.11-3.11.4.SCR.





NIT 800243065-3


Versión 01

Fecha:

17/03/2020

Página:

13 de 1

Código:

F-GCA 39

I.E. NORMAL SUPERIOR Santiago de Cali DEPTO DE MATEMATICA-FISICA AREA DE MATEMATICA GUIA DE TRABAJO PARA ENVIAR AL PROFESOR No3.

NOMBRE:

GDO 11.2.3.4 COD FECHA

Este es el taller que usted debe enviar, con las siguientes condiciones 1. Marcarlo con el nombre suyo completo la materia y el grado. Ejemplo.

Guía 3.Simeon Cedano Rojas.Matematica.9-6. 2. Debe ser enviado en el mismo archivo toda la evaluación. 3. Del total de los ejercicios que usted resuelve en el cuaderno y como

practica solo resuelve 6 para enviarlo, de los ejercicios resueltos no deben ser seguidos. Saltearlos, hasta copar la totalidad de ellos.

4. Deben tener todos los procesos completos de operación. 5. Deben ser bien claros. 6. Formato que no sea tan grande porque se dificulta la apertura. 7. Recuerde que todas las guías deben ser resueltas en el cuaderno. 8. Tratar de resolver todos los ejercicios como proceso de mecanización,

aplicación y de practica de conocimiento NOTA: Si incumple alguna de las condiciones anteriores no se le tendrá en cuenta el trabajo.

RESUELVA: Cada uno de los ejercicios presentados a continuación y haciendo el paso a paso de ellos para explicar su resultado. Usted puede resolver los ejercicios sobre la misma guía, bien sea resolviendo el ejercicio en la misma guía donde se encuentra el ejercicio o adjuntando una imagen del mismo. 1. Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se

obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

Las fichas de dominó son 28. S=28 Número de fichas mayor que 9=15 Múltiplos de 4=11 El evento es 15+11

𝑃 =𝐸

𝑠=

26

28=

13

14

2. Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales a los números de estas. Hallar: c. La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento. d. La probabilidad de conseguir un número impar en un

lanzamiento. 3. Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos

obtenidos. Se pide: 4. La probabilidad de que salga el 7. 5. La probabilidad de que el número obtenido sea par. 6. La probabilidad de que el número sea múltiplo de tres.

4. Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que: 3. Salga 6 en todos. 4. Los puntos obtenidos sumen 7.

5. En una casa matriz de venta de carros se realiza un sorteo de un vehículo entre sus clientes y se selecciona por sorteo a uno de ellos y se le introducen tres llaveros A, B y C, para poder abrir la puerta del vehículo y así ser el ganador: El primero llavero con cinco llaves y dos abren el auto, el segundo con siete y tres abren el auto y el tercero con ocho y 6 bloquean el auto. Se escoge al azar un llavero. Cuál es la probabilidad de que: E. Sea el ganador con el primer llavero. F. Abra el carro con cualquiera de los llaveros. G. No abra con el tercer llavero. H. Con cuál de los llaveros tiene mayor probabilidad de ganar.

6. En una urna hay 3 monedas, con las siguientes características. La primera es una moneda normal, la segunda es una moneda que

tiene dos caras y la tercera es una moneda cargada, en la cual la

probabilidad de salir cara es 1

3 de la probabilidad de salir sello.

Si se saca una moneda al azar, cuál será la probabilidad de que al lanzarla salga: B. Cara. B. Sello.

7. En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. Al elegir un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?

8. Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Se extrae una al azar de que: 9. Sea roja. 8/20 4. Sea verde. 3/5 10. Sea amarilla. 7/20 5. No sea roja. 5/20 11. No sea amarilla. 3/4

9. Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de: 5. Extraer las dos bolas con reemplazamiento. 9/100, 21/100,

21/100 y 49/100. 6. Sin reemplazamiento. 6/90, 21/90, 21/90, 42/90.

10. Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? 3/5¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?2/3

11. En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los alumnos juega al fútbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Si además hay un 60% que no juega al fútbol, ¿cuál será la probabilidad de que escogido al azar un alumno de la clase:

F B 0.30 0.10 0.20 0.40 K. Juegue ni futbol, ni baloncesto. L. Juegue sólo al fútbol: M. Juegue sólo al baloncesto. N. Practique uno solo de los deportes: O. Que practique baloncesto: P. Si en total en la escuela hay 80 estudiantes practicando Deportes.

Cuál es el número de estudiantes que practica Futbol? Q. De total de estudiantes de la escuela Deportes. Cuál es el número

de estudiantes que practica Baloncesto? R. Si del total estudiantes practicando Deportes se quiere hallar el

número de estudiantes que practica solo Futbol? S. Cuál es el número de estudiantes que practica Futbol y

Baloncesto? T. Cuál es el número de estudiantes que practica Futbol o

Baloncesto? 12. En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos

rubios y 10 morenos. Un día asisten 44 alumnos, encontrar la probabilidad de que el alumno que falta: 4. Sea hombre. 5. Sea mujer morena. 6. Sea hombre o mujer.

13. En un sobre hay 20 papeletas, ocho llevan dibujado un coche las restantes son blancas. Hallar la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de un coche: 4. Si se saca una papeleta.





NIT 800243065-3


Versión 01

Fecha:

17/03/2020

Página:

14 de 1

Código:

F-GCA 39

5. Si se extraen dos papeletas. 6. Si se extraen tres papeletas.

14. Se extraen cinco cartas de una baraja de 52. Hallar la probabilidad de extraer: 6. 4 ases. 7. 4 ases y un rey. 8. 3 cincos y 2 sotas. 9. Un 9, 10, sota, caballo y rey en cualquier orden. 10. 3 de un palo cualquiera y 2 de otro.

15. Al menos un as. Calcular la probabilidad de obtener un 6 al tirar un dado sabiendo que ha salido par.

16. Se tiene una baraja de 40 cartas, se saca una y se vuelve a meter. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos ases?

1 7 . Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de suspender un examen. La probabilidad de que suspendan el examen simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen.

1 8 . Dos hermanos salen de casa. El primero mata un promedio de 2 piezas cada 5 disparos y el segundo una pieza cada 2 disparos. Si los dos disparan al mismo tiempo a una misma pieza, ¿cuál es la probabilidad de que la maten?

19. Calcular la probabilidad de sacar exactamente dos cruces al tirar una moneda cuatro veces.

20. Se extraen cinco cartas de una baraja de 52. Hallar la probabilidad de extraer: 7. 4 ases. 8. 4 ases y un rey. 9. 3 cincos y 2 sotas. 10. Un 9, 10, sota, caballo y rey en cualquier orden. 11. 3 de un palo cualquiera y 2 de otro. 12. Al menos un as.

21. De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas. Calcular la probabilidad de que. Las dos sean copas. Al menos una sea copas. Una sea copa y la otra espada.

22. Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza en trayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados

23. Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa 5. Hacer una tabla ordenando los datos anteriores 6. Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde 7. Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas

mecánicos 8. Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas

eléctricos acuda por la mañana. 24. En un aula hay 100 alumnos, de los cuales: 40 son hombres, 30

usan gafas, y 15 son varones y usan gafas. Si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso: 3. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas? 4. Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, ¿qué

probabilidad hay de que sea hombre? 25. Una clase consta de 6 niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de

tres al azar, hallar la probabilidad de:

5. Seleccionar tres niños.

6. Seleccionar exactamente dos niños y una niña. 7. Seleccionar por lo menos un niño. 8. Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.

26. En una casa hay tres llaveros A, B y C; el primero con cinco llaves, el segundo con siete y el tercero con ocho, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge a Lázaro llavero y, de él, una llave intenta abrir el trastero. Se pide: 4. ¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave?

5. ¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el

tercero y la llave no abra? 6. Y si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad

de que pertenezca al primer llavero A? 27. Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Se

extrae una al azar de que: 12. Sea roja. 13. Sea verde. 14. Sea amarilla. 15. No sea roja. 16. No sea amarilla.

28. Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de: 7. Extraer las dos bolas con reemplazamiento. 8. Sin reemplazamiento.

29. Las preguntas siguientes, se refieren al siguiente enunciado. En una casa hay tres llaveros A, B y C; el primero con cinco llaves, el segundo con siete y el tercero con ocho, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge a Lázaro llavero y, de él, una llave intenta abrir el trastero. Se pide:

I. ¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave? J. ¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el

tercero y la llave no abra? K. Y si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de

que pertenezca al primer llavero A? L. ¿Cuál será la probabilidad de que se no acierte con la llave? M. ¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el

primero y la llave no abra?: N. ¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el

segundo y la llave no abra?: O. Si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de

que pertenezca al segundo llavero B? Si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de que

pertenezca al tercer llavero C?

OBSERVACIONES. Guías de trabajo en casa donde se recuerdan algunas operaciones, sus respectivos procesos y solo se entregar máximo el 30% de los ejercicios, donde aparece titulado Resuelva y como trabajo de práctica y afianzamiento el resto de los ejercicios. Debe haber acompañamiento y





NIT 800243065-3


Versión 01

Fecha:

17/03/2020

Página:

15 de 1

Código:

F-GCA 39

seguimiento de papas. Toda la guía debe desarrollarse también en el cuaderno como evidencia del trabajo en casa.

Lic. Simeón Cedano Rojas Profesor de la materia GUIA 3-4 APRENDIZAJE.PII.MATEMATICA.112.113.11.4.SCR


INSTITUCIÓN EDUCATIVA NORMAL SUPERIOR SANTIAGO DE …€¦ · Las probabilidades de los nuevos...

Documents

Transcript of INSTITUCIÓN EDUCATIVA NORMAL SUPERIOR SANTIAGO DE …€¦ · Las probabilidades de los nuevos...