INSTITUCIÓN EDUCATIVA MANUEL E. MENDOZA El Carmen de Bolívar - Colombia Prof. Lic. JORGE FERRER S....
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INSTITUCIÓN EDUCATIVA “MANUEL E. MENDOZA”
El Carmen de Bolívar - Colombia
Prof. Lic. JORGE FERRER S.Ferrermiprofe.worpress.com
TRIGONOMETRÍA
ÁNGULOS Y SISTEMAS DE MEDICIÓN
Concepto de ángulo• Es la región del plano situada
entre dos semirrectas que tienen un origen común.
• Las dos semirrectas se llaman LADOS y el origen común se llama VERTICE.
• Un ángulo se genera (origina) por la rotación de uno de sus lados.
B
C O
Lado inicial
Lado final
Vértice
B
C A
Formas de nombrar un ángulo
• Utilizando tres letras mayúsculas:
una en un punto de cada lado y la otra en el vértice
B
C
A
Leemos “ ángulo A“
Se escribe < BAC
•Escribiendo una letra griega entre los lados
β
Leemos: ángulo beta
Escribimos : < β
* Consultar las letras griegas con sus respectivos nombres
•Colocando una letra mayúscula en el vértice
C
se escribe : < A ángulo A
se lee: “ángulo A” ángulo B
ángulo C
A A B
Ángulos trigonométricos
Ángulos positivos: son aquellos que se generan haciendo la
rotación del lado inicial, en sentido contrario a la rotación de las manecillas de un reloj.
Lado inicial
Lado final
45º
Ángulos negativos:
son aquellos que se generan haciendo la rotación del lado inicial, en el sentido de la rotación de las manecillas de un reloj.
Lado inicial
Lado final
- 45º
Ángulos en Posición Normal
Un ángulo está en posición normal si su vértice coincide con el origen del plano cartesiano y el lado inicial con el semieje positivo de las x.
Pueden ser: • Ángulos del primer (I) cuadrante • Ángulos del segundo (II) cuadrante • Ángulos del tercer (III) cuadrante • Ángulos del cuarto (IV) cuadrante
I II
III IV
I II
III IV
(x , y) (- , +)
(x , y) (+ , +)
(x , y) (- , -)
(x , y) (+ , -)
x
y
Ángulos del Primer Cuadrante
Un ángulo θ es del primer (I) cuadrante si es mayor que 0º y menor
que 90º, es decir, 0º < θ < 90º
60º
Ej. Θ = 60º I cuadrante
Ángulos del segundo Cuadrante
Un ángulo θ es del segundo (II) cuadrante si es mayor que 90º y menor
que 180º, es decir, 90º < θ < 180º
130ºEj. Θ = 130º II cuadrante
Ángulos del tercer Cuadrante
Un ángulo θ es del tercer (III) cuadrante si es mayor que 180º y menor que 270º,
es decir, 180º < θ < 270º
240ºEj. Θ = 240º III cuadrante
Ángulos del cuarto Cuadrante
Un ángulo θ es del cuarto (IV)
cuadrante si es mayor que 270º y menor que 360º, es decir, 270º < θ < 360º
300ºEj. Θ = 300º IV cuadrante
x
Ángulo Giro o Completo
Es aquel que se genera cuando el lado inicial hace una rotación de una vuelta o un solo giro. Su valor es de 360º.
x
Θ = 360º Θ
Ángulos Complementarios
Dos ángulos A y B son complementarios, si la suma de ellos es igual a 90º.
Es decir, Si A y B son complementarios,
A + B = 90º
Ej: 30º y 60º ; 20º y 70º
Ángulos Suplementarios
Dos ángulos A y B son suplementarios, si la suma de ellos es igual a 180º.
Es decir, Si A y B son suplementarios,
A + B = 180º
Ej: 120º y 60º ; 30º y 150º
Ángulos Coterminales
Dos ángulos son coterminales si sus lados iniciales y terminales coinciden respectivamente.
100º y 460º 120º y - 240º
Ángulo Central
Es aquel cuyo vértice es el centro de un círculo y los lados cortan a la
circunferencia en uno, o, en dos puntos
yx
AB
C
< BAC con arco ByC
< BAC con arco BxC
SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS
• Sistema Sexagesimal• Sistema Cíclico
• Sistema Centesimal
Sistema Sexagesimal
Es aquel en el que las unidades varían de 60 en 60 unidades.
Unidades :Su unidad principal es el GRADO (º), que
se define como la trescientos sesenta ava parte del ángulo giro.
1º = (1/360) del ángulo giro
OBSERVEMOS:
1 vuelta completa Ξ 1 ángulo giro = 360º
1 vuelta completa = 360º
1/2 Vuelta = 180º
1/4 de vuelta = 90º
3/4 de vuelta = 270º
0º
90º
180º
270º
360º
OTRAS UNIDADES
El minuto (´) y el segundo (´´)
1º = 60´ 1´ = 60´´
Medida de una Circunferencia = 360º
ACTIVIDADES
1. Expresar en grados, minutos y segundos
los siguientes ángulos:
A. 40,28º
B. 5259´´
C. 325,4´
D. 356´ 125´´
E. 36° 158´ 305´´
Sistema Cíclico
Llamado también Sistema Circular; porque la medida de
los ángulos se hace con referencia al círculo.
La unidad de medida utilizada en éste sistema es el Radián.
Radián
Es la medida del ángulo central que subtiende un arco de longitud igual al radio de la circunferencia.
r r
r0
B
A
Si AB = r, entonces, < O = 1 radián
Medida en radianes de una Circunferencia
Longitud de la circunferencia
mC = --------------------------------------------
radio
2πr
mC = ------------ = 2 π
r
mC = 2 π rad
Equivalencia entre el sistema sexagesimal y el
cíclico360° = 2 π rad
Equivale a decir,
180° = π rad
Conversión de unidades
De Grados a Radianes
1. Expresar en radianes un ángulo de
30°.
Solución:
Formamos una regla de tres simple, así : 180° π rad
30° x
Luego, 1 3 0° ( π rad) 3 π x = ----------------------- = ----- rad 1 8 0° 18 6 π
Por lo tanto, 30° = ------- rad. 6
Conclusión: Para expresar de grados a Radianes, multiplicamos la cantidad de grados , por el factor de conversión, π ------- y simplificar, si es posible. 180°
Usemos este factor de conversión
2. Expresar en radianes, un ángulo de
150°.
Solución: π
150° = 1 5 0° ------- rad 1 8 0°
15 π 5 π 150° = -------- rad = ------- rad.
18 6
Ahora, vamos a practicar
Expresar en radianes los siguientes ángulos1.45°2.60°3.120°4.210°5.330°
De Radianes a Grados1. Expresar en grados un ángulo de
5 π
---------- rad.
4
Solución: Planteamos una regla de tres, similar a la anterior :
180° π rad
x 5 π / 4
Entonces, 5 π 180° -------- 4 X = --------------------------- π
Cancelamos los π , y simplificamos a 180° con el 4 , nos queda,
45° 90° 5 π 180° -------- 4 2 1 X = ------------------------ = 45° x 5 = 225° π Por lo tanto, 5 π / 4 rad = 225°.
Conclusión:
Para expresar de radianes a grados, multiplicamos la cantidad de radianes, por el factor de conversión, 180° -------- , y simplificar, si es π posible.
Usemos este factor de Conversión2. Expresar en grados un ángulo de
2 π
------ rad.
3
Solución: 60°
2 π 180°
2 π / 3 rad = --------- ------- = 2x60° =120°
3 π
1
Ahora, vamos a practicar
Expresar en grados los siguientes ángulos
1.π /3 rad
2.4 π / 3 rad
3.5 π /12 rad
4.3 π / 2 rad
5.π / 4 rad